段考詳解範圍：三角函數（弧度量、弧長與扇形面積、弧度角的三角函數值、正弦函數的圖形與週期、週期性數學模型）

高師大附中 114 上
高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

Q: 高師大附中 114 上 高二第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 18 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

Q: 高師大附中 114 上 高二第一次段考數學哪幾題最容易錯？

多重選擇第 2 題（本頁第 6 題）十點二十分兩針相差超過半圈，劣夾角要用一圈去減，重疊時刻也要自己列式算；多重選擇第 3 題（第 7 題）平移量要先把 x 的係數提出來再看；填充第 6 題（第 13 題）月亮形要拆成半圓減弓形；填充第 8 題（第 15 題）交點要分段數，原點只算一次。

Q: 我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

Q: 這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

原卷 18 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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題原卷全文

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01 · 試題

原卷 18 題，照原卷順序

單選題 4 題、多重選擇題 3 題、填充題 11 題；流傳版本未印配分

一、單選題（原卷題號 1～4）

- 5

弧度為第幾象限角？

(1) 一
(2) 二
(3) 三
(4) 四
(5) 剛好在軸上的角

將函數

y = sin x

的圖形由

y

軸左右往中央壓縮為

\frac{1}{2}

倍，再向上平移

\frac{π}{6}

個單位，所得新圖形的函數為何？

(1) $y = sin (\frac{1}{2} x + \frac{π}{6})$
(2) $y = sin (2 x - \frac{π}{6})$
(3) $y = sin 2 x - \frac{π}{6}$
(4) $y = sin (2 x + \frac{π}{3})$
(5) $y = sin 2 x + \frac{π}{6}$

設

a = sin 4

，則下列何者正確？

(1) $- 1 < a < - \frac{3}{2}$
(2) $- \frac{3}{2} < a < - \frac{2}{2}$
(3) $- \frac{2}{2} < a < - \frac{1}{2}$
(4) $\frac{2}{2} < a < \frac{3}{2}$
(5) $\frac{3}{2} < a < 1$

有五個聲音的聲波函數：

f_{1} (x) = sin (10 π x)

，

f_{2} (x) = 3 sin (40 π x)

，

f_{3} (x) = sin (200 π x)

，

f_{4} (x) = 10 sin (1000 π x)

，

f_{5} (x) = 20 sin (3000 π x)

，若某一臺鋼琴能發出聲波頻率是 30Hz 到 300Hz，則下列哪個是此鋼琴能發出的聲波？

(1) $f_{1}$
(2) $f_{2}$
(3) $f_{3}$
(4) $f_{4}$
(5) $f_{5}$

二、多重選擇題（原卷題號 1～3，本頁接續編為第 5～7 題）

設函數

f (x) = 2 sin 3 x - 1

，關於

f (x)

的描述下列哪些選項是正確的？

(1) 定義域為 $[0, \frac{2}{3} π]$
(2) 值域為 $[- 3, 1]$
(3) $f (x) = f (x - \frac{2 π}{3})$
(4) 振幅為 $3$
(5) 圖形對稱於點 $(0, - 1)$

時鐘從 10 點 20 分到 11 點 00 分，共經過 40 分鐘，下列哪些選項是正確的？

(1) 分針繞了 $\frac{4 π}{3}$ 弳
(2) 時針繞了 $\frac{π}{6}$ 弳
(3) 11 點 00 分時，時針與分針的劣夾角為 $\frac{π}{6}$ 弳
(4) 10 點 20 分時，時針與分針的劣夾角為 $\frac{17 π}{18}$ 弳
(5) 在 10 點 $\frac{580}{11}$ 分，時針與分針會相重疊

如右圖，三角函數

y = 4 sin (a x + b)

的部分圖形，其中

a > 0

，

0 < b < π

，下列各項敘述哪些正確？

(1) $a = 3$
(2) $b = \frac{π}{3}$
(3) $y$ 的週期為 $π$
(4) $y = 4 sin (a x + b)$ 的圖形與 $y$ 軸交點坐標為 $(0, 3)$
(5) 其圖形可由 $y = 4 sin 2 x$ 向左平移 $\frac{π}{3}$ 而得

載入中...

三、填充題（原卷題號 1～11，本頁編為第 8～18 題）

試求

5 7^{\circ} =

____ 弳。

試求

- \frac{7 π}{12}

弳

=

____ 度。

試求

sin \frac{π}{6} \times cos \frac{2 π}{3} + tan \frac{7 π}{4} + sin \frac{7 π}{2} =

____。

有一輪子，其半徑為 60 公分，讓它在地上滾動，若輪子繞軸轉動了

12 0^{\circ}

，則輪子在地面上滾動了 ____ 公分。

一直圓錐底半徑為 8 公分，高為 15 公分，沿斜高剪開成一扇形，設此扇形的圓心角為

θ

弳，面積為

A

，求數對

(θ, A) =

____。

載入中...

設計師為天文館設計以不鏽鋼片製成的月亮形狀，其中有一款設計圖如右圖所示：圖中，圓弧

QR T

是一個以

O

點為圓心、

\overline{QT}

為直徑的半圓，

\overline{QT} = 43

。圓弧

QS T

的圓心在

P

點，

\overline{P Q} = \overline{P T} = 4

。圓弧

QR T

與圓弧

QS T

所圍出的灰色區域

QR T S Q

即為某一天所見的月亮形狀。設此灰色區域的面積為 ____。

載入中...

設

0 < θ < π

且

tan θ = - 3

，則

cos (\frac{3 π}{2} - θ) =

____。

坐標平面上函數

y = sin x

和

y = \frac{x}{4 π}

兩圖形之交點個數為 ____。

設

0 \leq x \leq 2 π

，若

sin x < - \frac{3}{2}

，則

x

範圍為 ____。

已知某海濱浴場海浪的高度

y

（單位：公尺）是時間

t

（

0 \leq t \leq 24

，單位：時）的函數，記作

y = f (t)

，下表示某日各時的浪高數據：

t y 0 1.1 3 0.7 6 0.3 9 0.7 12 1.1 15 0.7 18 0.3 21 0.699 24 1.1

經長期觀測，

y = f (t)

的曲線可近似地看成是函數

y = f (t) = a sin (b t + c) + d

，其中

a

、

b

、

d

為正數，

0 < c < π

，則序組

(a, b, c, d) =

____。

某動物園貓熊館打造一個圓形摩天輪，當摩天輪開始運轉時，在摩天輪的圓仔恰坐在離地最近的位置上，

x

分鐘後，圓仔離地的高度

y

（單位：公尺）可表為

y = 18 sin (\frac{2 π}{15} x + \frac{3 π}{2}) + 20

，且知圓仔恰坐一圈就離開，若經

x_{0}

分鐘後，圓仔離地最高的高度為

h

公尺，則數對

(x_{0}, h) =

____。

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(1)

第 2 題(5)

第 3 題(2)

第 4 題(3)

第 5 題(2)(3)(5)

第 6 題(1)(3)(4)

第 7 題(2)(3)

第 8 題

\frac{19 π}{60}

第 9 題

- 105

第 10 題

- \frac{9}{4}

第 11 題

40 π

第 12 題

(\frac{16 π}{17}, 136 π)

第 13 題

\frac{2 π}{3} + 43

第 14 題

- \frac{3 10}{10}

第 15 題

7

第 16 題

\frac{4 π}{3} < x < \frac{5 π}{3}

第 17 題

(0.4, \frac{π}{6}, \frac{π}{2}, 0.7)

第 18 題

(\frac{15}{2}, 38)

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

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還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選題（第 1～4 題）：弧度角的象限、圖形的伸縮平移、估計正弦值、頻率

第 1 題答案 (1)。

- 5

弧度加上一圈

2 π \approx 6.28

是同界角：

- 5 + 2 π \approx 1.28

。而

0 < 1.28 < \frac{π}{2} \approx 1.57

，所以是第一象限角。

也可以直接看：

- 2 π \approx - 6.28 < - 5 < - \frac{3 π}{2} \approx - 4.71

，順時針轉超過四分之三圈、還不到一圈，終邊落在第一象限。

第 2 題答案 (5)。左右以

y

軸為中心壓縮為

\frac{1}{2}

倍，是把

x

換成

2 x

，得

y = sin 2 x

，週期由

2 π

變成

π

。再向上平移

\frac{π}{6}

個單位，是整個函數值加上

\frac{π}{6}

，得

y = sin 2 x + \frac{π}{6}

。

向上平移是加在整個式子的外面；(4) 把數加在括號裡面，那是左右平移。

第 3 題答案 (2)。

π \approx 3.14 < 4 < \frac{3 π}{2} \approx 4.71

，

4

弧度是第三象限角，正弦值為負，參考角是

4 - π \approx 0.86

弧度，所以

sin 4 = - sin (4 - π)

。因為

\frac{π}{4} \approx 0.79 < 0.86 < \frac{π}{3} \approx 1.05

，正弦在

0

到

\frac{π}{2}

之間遞增，所以

\frac{2}{2} < sin (4 - π) < \frac{3}{2}

，加上負號得

- \frac{3}{2} < a < - \frac{2}{2}

。

流傳版本選項 (4) 印作「

\frac{2}{2} < a \frac{3}{2}

」，漏一個不等號，依其他選項的形式應為

\frac{2}{2} < a < \frac{3}{2}

；不影響答案。用計算機算

sin 4 \approx - 0.757

，介於

- 0.866

與

- 0.707

之間。

第 4 題答案 (3)。

y = sin (k x)

的週期是

\frac{2 π}{k}

，頻率是週期的倒數

\frac{k}{2 π}

，振幅不影響頻率。五個函數的頻率依序是

\frac{10 π}{2 π} = 5

、

\frac{40 π}{2 π} = 20

、

\frac{200 π}{2 π} = 100

、

\frac{1000 π}{2 π} = 500

、

\frac{3000 π}{2 π} = 1500

（Hz）。落在

30

到

300

之間的只有

f_{3}

的

100

Hz。

流傳版本題幹的

f_{1}

印作「

f_{1} (x) sin (10 π x)

」，漏了等號，依其餘四個函數的寫法應為

f_{1} (x) = sin (10 π x)

。

沒有寫「°」的角一律是弧度；先用

π \approx 3.14

找出它落在哪兩個熟悉的角之間。

02多重選擇題（第 5～7 題）：正弦函數的性質、時鐘、由圖形定係數

第 5 題答案 (2)(3)(5)。(1) 錯：

x

可以代任何實數，定義域是全體實數；

\frac{2 π}{3}

是週期，不是定義域。(2) 對：

- 1 \leq sin 3 x \leq 1

，所以

- 2 \leq 2 sin 3 x \leq 2

，

- 3 \leq f (x) \leq 1

。(3) 對：週期是

\frac{2 π}{3}

，

f (x - \frac{2 π}{3}) = 2 sin (3 x - 2 π) - 1 = 2 sin 3 x - 1 = f (x)

。(4) 錯：振幅是

2

；

3

是

x

的係數。(5) 對：

y = 2 sin 3 x

的圖形對稱於原點，向下平移

1

之後對稱中心變成

(0, - 1)

；用式子檢查，

f (x) + f (- x) = (2 sin 3 x - 1) + (- 2 sin 3 x - 1) = - 2

，兩點的中點高度恆為

- 1

。

第 6 題答案 (1)(3)(4)。分針

60

分鐘轉一圈

2 π

，每分鐘轉

\frac{π}{30}

；時針

12

小時轉一圈，每分鐘轉

\frac{π}{360}

。(1) 對：

40 \times \frac{π}{30} = \frac{4 π}{3}

。(2) 錯：

40 \times \frac{π}{360} = \frac{π}{9}

。(3) 對：

11

點整時針指

11

、分針指

12

，相差一大格

3 0^{\circ} = \frac{π}{6}

。(4) 對：從

12

的位置順時針量，

10

點

20

分時分針在

12 0^{\circ}

，時針在

30 0^{\circ} + 20 \times 0. 5^{\circ} = 31 0^{\circ}

，相差

19 0^{\circ}

，劣夾角是

36 0^{\circ} - 19 0^{\circ} = 17 0^{\circ} = \frac{17 π}{18}

。(5) 錯：設

10

點

m

分重疊，

6 m = 300 + 0.5 m

，

m = \frac{600}{11}

，不是

\frac{580}{11}

。

(4) 兩針相差超過

18 0^{\circ}

時，劣夾角要用

36 0^{\circ}

去減。

第 7 題答案 (2)(3)。圖形在

x = \frac{π}{3}

由上往下通過

x

軸，下一次在

x = \frac{5 π}{6}

由下往上通過

x

軸，兩者相隔半個週期：

\frac{5 π}{6} - \frac{π}{3} = \frac{π}{2}

，所以週期是

π

，

a = \frac{2 π}{π} = 2

。(1) 錯、(3) 對。

y = 4 sin (2 x + b)

在

x = \frac{π}{3}

由正變負，表示

\frac{2 π}{3} + b = π + 2 k π

（

k

為整數）；配合

0 < b < π

得

b = \frac{π}{3}

，(2) 對。(4) 錯：

x = 0

時

y = 4 sin \frac{π}{3} = 23

，交點是

(0, 23)

。(5) 錯：

4 sin (2 x + \frac{π}{3}) = 4 sin 2 (x + \frac{π}{6})

，是由

y = 4 sin 2 x

向左平移

\frac{π}{6}

。

看平移量要先把

x

的係數提出來：

2 x + \frac{π}{3} = 2 (x + \frac{π}{6})

。

03填充 1～4（第 8～11 題）：度與弧度互換、三角函數值、弧長

第 8 題

18 0^{\circ} = π

弳，所以

1^{\circ} = \frac{π}{180}

弳。

5 7^{\circ} = 57 \times \frac{π}{180} = \frac{19 π}{60}

弳。

第 9 題

π

弳

= 18 0^{\circ}

，所以

- \frac{7 π}{12}

弳

= - \frac{7}{12} \times 18 0^{\circ} = - 10 5^{\circ}

。

第 10 題逐項算：

sin \frac{π}{6} = \frac{1}{2}

；

\frac{2 π}{3} = 12 0^{\circ}

在第二象限，

cos \frac{2 π}{3} = - \frac{1}{2}

；

\frac{7 π}{4} = 31 5^{\circ}

在第四象限，

tan \frac{7 π}{4} = - tan \frac{π}{4} = - 1

；

\frac{7 π}{2} = 2 π + \frac{3 π}{2}

，

sin \frac{7 π}{2} = sin \frac{3 π}{2} = - 1

。原式

= \frac{1}{2} \times (- \frac{1}{2}) + (- 1) + (- 1) = - \frac{9}{4}

。

第 11 題輪子在地上滾動不打滑時，前進的距離等於輪緣轉過的弧長。

12 0^{\circ} = \frac{2 π}{3}

弳，弧長

s = r θ = 60 \times \frac{2 π}{3} = 40 π

（公分）。

弧長公式

s = r θ

的

θ

要用弧度。

04填充 5、6（第 12、13 題）：圓錐展開圖、月亮形面積

第 12 題斜高

= 8^{2} + 1 5^{2} = 17

，展開後的扇形半徑就是斜高

17

。扇形的弧長等於底圓周長

2 π \times 8 = 16 π

，所以圓心角

θ = \frac{16 π}{17}

弳。面積

A = \frac{1}{2} \times 17 \times 16 π = 136 π

（平方公分）。故

(θ, A) = (\frac{16 π}{17}, 136 π)

。

扇形面積

= \frac{1}{2} \times

半徑

\times

弧長；也可以用

\frac{1}{2} r^{2} θ = \frac{1}{2} \times 1 7^{2} \times \frac{16 π}{17}

得同一個值。流傳版本題幹「延斜高剪開」，本頁依文意寫作「沿斜高」。

第 13 題灰色區域

=

半圓

QR T

的面積

-

弧

QS T

與弦

\overline{QT}

所圍的弓形面積。半圓半徑

\overline{O Q} = 23

，面積

\frac{1}{2} π (23)^{2} = 6 π

。

\overline{P Q} = \overline{P T}

且

O

是

\overline{QT}

的中點，所以

\overline{P O} ⊥ \overline{QT}

。在直角三角形

P O Q

中，

\overline{P Q} = 4

、

\overline{O Q} = 23

，所以

\overline{P O} = 16 - 12 = 2

，

∠ QP O = 6 0^{\circ}

，

∠ QP T = 12 0^{\circ} = \frac{2 π}{3}

。扇形

P QT

面積

\frac{1}{2} \times 4^{2} \times \frac{2 π}{3} = \frac{16 π}{3}

；三角形

P QT

面積

\frac{1}{2} \times \overline{QT} \times \overline{P O} = \frac{1}{2} \times 43 \times 2 = 43

；弓形面積

\frac{16 π}{3} - 43

。灰色區域面積

= 6 π - (\frac{16 π}{3} - 43) = \frac{2 π}{3} + 43

。

估算檢查：

\frac{2 π}{3} + 43 \approx 2.09 + 6.93 = 9.02

，比半圓面積

6 π \approx 18.85

小，合理。

弓形面積＝扇形面積減三角形面積；扇形的圓心角要先換成弧度。

05填充 7～9（第 14～16 題）：廣義角的三角函數值、交點個數、正弦不等式

第 14 題

0 < θ < π

且

tan θ < 0

，所以

θ

是第二象限角。在終邊上取點

(- 1, 3)

，到原點的距離

r = 1 + 9 = 10

，

sin θ = \frac{3}{10}

。又

\frac{3 π}{2} - θ = π + (\frac{π}{2} - θ)

，所以

cos (\frac{3 π}{2} - θ) = - cos (\frac{π}{2} - θ) = - sin θ = - \frac{3}{10} = - \frac{3 10}{10}

。

tan θ = \frac{y}{x} = - 3

在第二象限要取

x < 0

、

y > 0

。

第 15 題

- 1 \leq sin x \leq 1

，所以交點只可能出現在

- 1 \leq \frac{x}{4 π} \leq 1

，即

- 4 π \leq x \leq 4 π

。先看

x > 0

：直線由

0

升到

1

。在

0 < x < π

，正弦曲線一開始比直線陡、在直線上方，到

x = π

時

sin π = 0 < \frac{1}{4}

，中間交

1

次。在

π \leq x \leq 2 π

，

sin x \leq 0

而直線為正，沒有交點。在

2 π < x < 3 π

，直線高度在

\frac{1}{2}

到

\frac{3}{4}

之間，正弦由

0

升到

1

再降回

0

，交

2

次。在

3 π \leq x \leq 4 π

，

sin x \leq 0

，沒有交點（

x = 4 π

時直線是

1

、正弦是

0

）。所以

x > 0

有

3

個交點。兩個圖形都對稱於原點，

x < 0

也有

3

個；再加上原點

1

個，共

7

個。

原點本身是交點，只能算一次；兩邊各

3

個再加原點。

第 16 題在

0 \leq x \leq 2 π

內，

sin x = - \frac{3}{2}

的解是

x = \frac{4 π}{3}

與

x = \frac{5 π}{3}

（參考角

\frac{π}{3}

，第三、四象限）。看

y = sin x

的圖形，圖形在水平線

y = - \frac{3}{2}

下方的部分是這兩個解之間（中間經過最低點

x = \frac{3 π}{2}

），所以

\frac{4 π}{3} < x < \frac{5 π}{3}

。

不等式不含等號，兩個端點都不取。

06填充 10、11（第 17、18 題）：週期性數學模型

第 17 題由表：最大值

1.1

、最小值

0.3

。振幅

a = \frac{1.1 - 0.3}{2} = 0.4

，中心線

d = \frac{1.1 + 0.3}{2} = 0.7

。最大值出現在

t = 0

、

12

、

24

，週期是

12

，

b = \frac{2 π}{12} = \frac{π}{6}

。

t = 0

時在最高點：

0.4 sin c + 0.7 = 1.1

，

sin c = 1

，配合

0 < c < π

得

c = \frac{π}{2}

。所以

(a, b, c, d) = (0.4, \frac{π}{6}, \frac{π}{2}, 0.7)

。

代回檢查：

t = 3

時

0.4 sin π + 0.7 = 0.7

，

t = 6

時

0.4 sin \frac{3 π}{2} + 0.7 = 0.3

，與表相符。表中

t = 21

的

0.699

是觀測值，模型給

0.7

，題目說的是「近似地看成」。

第 18 題正弦值最大是

1

，所以最高的高度

h = 18 \times 1 + 20 = 38

（公尺）。週期是

2 π \div \frac{2 π}{15} = 15

分鐘，圓仔只坐一圈，

0 \leq x \leq 15

，括號內的角由

\frac{3 π}{2}

增加到

\frac{7 π}{2}

，其中正弦值等於

1

的只有

\frac{5 π}{2}

：

\frac{2 π}{15} x_{0} + \frac{3 π}{2} = \frac{5 π}{2}

，

x_{0} = \frac{15}{2}

。所以

(x_{0}, h) = (\frac{15}{2}, 38)

。

x = 0

時

y = 18 sin \frac{3 π}{2} + 20 = 2

，是最低點；轉半圈（半個週期

7.5

分鐘）到最高點，兩種看法一致。

振幅＝(最大值－最小值)÷2，中心線＝(最大值＋最小值)÷2，週期看相鄰兩次最大值隔多久。

同一次段考的其他學校

同樣是高二第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

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常見問題

高師大附中 114 上高二第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 18 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

高師大附中 114 上高二第一次段考數學哪幾題最容易錯？

多重選擇第 2 題（本頁第 6 題）十點二十分兩針相差超過半圈，劣夾角要用一圈去減，重疊時刻也要自己列式算；多重選擇第 3 題（第 7 題）平移量要先把 x 的係數提出來再看；填充第 6 題（第 13 題）月亮形要拆成半圓減弓形；填充第 8 題（第 15 題）交點要分段數，原點只算一次。

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

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題目取自高師大附中 114 學年度上學期高二第一次段考數學B，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

御藍教育／段考卷／高二

段考詳解範圍：三角函數（弧度量、弧長與扇形面積、弧度角的三角函數值、正弦函數的圖形與週期、週期性數學模型）

高師大附中 114 上
高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 18 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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01 · 試題

原卷 18 題，照原卷順序

單選題 4 題、多重選擇題 3 題、填充題 11 題；流傳版本未印配分

一、單選題（原卷題號 1～4）

- 5

弧度為第幾象限角？

(1) 一
(2) 二
(3) 三
(4) 四
(5) 剛好在軸上的角

將函數

y = sin x

的圖形由

y

軸左右往中央壓縮為

\frac{1}{2}

倍，再向上平移

\frac{π}{6}

個單位，所得新圖形的函數為何？

(1) $y = sin (\frac{1}{2} x + \frac{π}{6})$
(2) $y = sin (2 x - \frac{π}{6})$
(3) $y = sin 2 x - \frac{π}{6}$
(4) $y = sin (2 x + \frac{π}{3})$
(5) $y = sin 2 x + \frac{π}{6}$

設

a = sin 4

，則下列何者正確？

(1) $- 1 < a < - \frac{3}{2}$
(2) $- \frac{3}{2} < a < - \frac{2}{2}$
(3) $- \frac{2}{2} < a < - \frac{1}{2}$
(4) $\frac{2}{2} < a < \frac{3}{2}$
(5) $\frac{3}{2} < a < 1$

有五個聲音的聲波函數：

f_{1} (x) = sin (10 π x)

，

f_{2} (x) = 3 sin (40 π x)

，

f_{3} (x) = sin (200 π x)

，

f_{4} (x) = 10 sin (1000 π x)

，

f_{5} (x) = 20 sin (3000 π x)

，若某一臺鋼琴能發出聲波頻率是 30Hz 到 300Hz，則下列哪個是此鋼琴能發出的聲波？

(1) $f_{1}$
(2) $f_{2}$
(3) $f_{3}$
(4) $f_{4}$
(5) $f_{5}$

二、多重選擇題（原卷題號 1～3，本頁接續編為第 5～7 題）

設函數

f (x) = 2 sin 3 x - 1

，關於

f (x)

的描述下列哪些選項是正確的？

(1) 定義域為 $[0, \frac{2}{3} π]$
(2) 值域為 $[- 3, 1]$
(3) $f (x) = f (x - \frac{2 π}{3})$
(4) 振幅為 $3$
(5) 圖形對稱於點 $(0, - 1)$

時鐘從 10 點 20 分到 11 點 00 分，共經過 40 分鐘，下列哪些選項是正確的？

(1) 分針繞了 $\frac{4 π}{3}$ 弳
(2) 時針繞了 $\frac{π}{6}$ 弳
(3) 11 點 00 分時，時針與分針的劣夾角為 $\frac{π}{6}$ 弳
(4) 10 點 20 分時，時針與分針的劣夾角為 $\frac{17 π}{18}$ 弳
(5) 在 10 點 $\frac{580}{11}$ 分，時針與分針會相重疊

如右圖，三角函數

y = 4 sin (a x + b)

的部分圖形，其中

a > 0

，

0 < b < π

，下列各項敘述哪些正確？

(1) $a = 3$
(2) $b = \frac{π}{3}$
(3) $y$ 的週期為 $π$
(4) $y = 4 sin (a x + b)$ 的圖形與 $y$ 軸交點坐標為 $(0, 3)$
(5) 其圖形可由 $y = 4 sin 2 x$ 向左平移 $\frac{π}{3}$ 而得

載入中...

三、填充題（原卷題號 1～11，本頁編為第 8～18 題）

試求

5 7^{\circ} =

____ 弳。

試求

- \frac{7 π}{12}

弳

=

____ 度。

試求

sin \frac{π}{6} \times cos \frac{2 π}{3} + tan \frac{7 π}{4} + sin \frac{7 π}{2} =

____。

有一輪子，其半徑為 60 公分，讓它在地上滾動，若輪子繞軸轉動了

12 0^{\circ}

，則輪子在地面上滾動了 ____ 公分。

一直圓錐底半徑為 8 公分，高為 15 公分，沿斜高剪開成一扇形，設此扇形的圓心角為

θ

弳，面積為

A

，求數對

(θ, A) =

____。

載入中...

設計師為天文館設計以不鏽鋼片製成的月亮形狀，其中有一款設計圖如右圖所示：圖中，圓弧

QR T

是一個以

O

點為圓心、

\overline{QT}

為直徑的半圓，

\overline{QT} = 43

。圓弧

QS T

的圓心在

P

點，

\overline{P Q} = \overline{P T} = 4

。圓弧

QR T

與圓弧

QS T

所圍出的灰色區域

QR T S Q

即為某一天所見的月亮形狀。設此灰色區域的面積為 ____。

載入中...

設

0 < θ < π

且

tan θ = - 3

，則

cos (\frac{3 π}{2} - θ) =

____。

坐標平面上函數

y = sin x

和

y = \frac{x}{4 π}

兩圖形之交點個數為 ____。

設

0 \leq x \leq 2 π

，若

sin x < - \frac{3}{2}

，則

x

範圍為 ____。

已知某海濱浴場海浪的高度

y

（單位：公尺）是時間

t

（

0 \leq t \leq 24

，單位：時）的函數，記作

y = f (t)

，下表示某日各時的浪高數據：

t y 0 1.1 3 0.7 6 0.3 9 0.7 12 1.1 15 0.7 18 0.3 21 0.699 24 1.1

經長期觀測，

y = f (t)

的曲線可近似地看成是函數

y = f (t) = a sin (b t + c) + d

，其中

a

、

b

、

d

為正數，

0 < c < π

，則序組

(a, b, c, d) =

____。

某動物園貓熊館打造一個圓形摩天輪，當摩天輪開始運轉時，在摩天輪的圓仔恰坐在離地最近的位置上，

x

分鐘後，圓仔離地的高度

y

（單位：公尺）可表為

y = 18 sin (\frac{2 π}{15} x + \frac{3 π}{2}) + 20

，且知圓仔恰坐一圈就離開，若經

x_{0}

分鐘後，圓仔離地最高的高度為

h

公尺，則數對

(x_{0}, h) =

____。

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(1)

第 2 題(5)

第 3 題(2)

第 4 題(3)

第 5 題(2)(3)(5)

第 6 題(1)(3)(4)

第 7 題(2)(3)

第 8 題

\frac{19 π}{60}

第 9 題

- 105

第 10 題

- \frac{9}{4}

第 11 題

40 π

第 12 題

(\frac{16 π}{17}, 136 π)

第 13 題

\frac{2 π}{3} + 43

第 14 題

- \frac{3 10}{10}

第 15 題

7

第 16 題

\frac{4 π}{3} < x < \frac{5 π}{3}

第 17 題

(0.4, \frac{π}{6}, \frac{π}{2}, 0.7)

第 18 題

(\frac{15}{2}, 38)

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選題（第 1～4 題）：弧度角的象限、圖形的伸縮平移、估計正弦值、頻率

第 1 題答案 (1)。

- 5

弧度加上一圈

2 π \approx 6.28

是同界角：

- 5 + 2 π \approx 1.28

。而

0 < 1.28 < \frac{π}{2} \approx 1.57

，所以是第一象限角。

也可以直接看：

- 2 π \approx - 6.28 < - 5 < - \frac{3 π}{2} \approx - 4.71

，順時針轉超過四分之三圈、還不到一圈，終邊落在第一象限。

第 2 題答案 (5)。左右以

y

軸為中心壓縮為

\frac{1}{2}

倍，是把

x

換成

2 x

，得

y = sin 2 x

，週期由

2 π

變成

π

。再向上平移

\frac{π}{6}

個單位，是整個函數值加上

\frac{π}{6}

，得

y = sin 2 x + \frac{π}{6}

。

向上平移是加在整個式子的外面；(4) 把數加在括號裡面，那是左右平移。

第 3 題答案 (2)。

π \approx 3.14 < 4 < \frac{3 π}{2} \approx 4.71

，

4

弧度是第三象限角，正弦值為負，參考角是

4 - π \approx 0.86

弧度，所以

sin 4 = - sin (4 - π)

。因為

\frac{π}{4} \approx 0.79 < 0.86 < \frac{π}{3} \approx 1.05

，正弦在

0

到

\frac{π}{2}

之間遞增，所以

\frac{2}{2} < sin (4 - π) < \frac{3}{2}

，加上負號得

- \frac{3}{2} < a < - \frac{2}{2}

。

流傳版本選項 (4) 印作「

\frac{2}{2} < a \frac{3}{2}

」，漏一個不等號，依其他選項的形式應為

\frac{2}{2} < a < \frac{3}{2}

；不影響答案。用計算機算

sin 4 \approx - 0.757

，介於

- 0.866

與

- 0.707

之間。

第 4 題答案 (3)。

y = sin (k x)

的週期是

\frac{2 π}{k}

，頻率是週期的倒數

\frac{k}{2 π}

，振幅不影響頻率。五個函數的頻率依序是

\frac{10 π}{2 π} = 5

、

\frac{40 π}{2 π} = 20

、

\frac{200 π}{2 π} = 100

、

\frac{1000 π}{2 π} = 500

、

\frac{3000 π}{2 π} = 1500

（Hz）。落在

30

到

300

之間的只有

f_{3}

的

100

Hz。

流傳版本題幹的

f_{1}

印作「

f_{1} (x) sin (10 π x)

」，漏了等號，依其餘四個函數的寫法應為

f_{1} (x) = sin (10 π x)

。

沒有寫「°」的角一律是弧度；先用

π \approx 3.14

找出它落在哪兩個熟悉的角之間。

02多重選擇題（第 5～7 題）：正弦函數的性質、時鐘、由圖形定係數

第 5 題答案 (2)(3)(5)。(1) 錯：

x

可以代任何實數，定義域是全體實數；

\frac{2 π}{3}

是週期，不是定義域。(2) 對：

- 1 \leq sin 3 x \leq 1

，所以

- 2 \leq 2 sin 3 x \leq 2

，

- 3 \leq f (x) \leq 1

。(3) 對：週期是

\frac{2 π}{3}

，

f (x - \frac{2 π}{3}) = 2 sin (3 x - 2 π) - 1 = 2 sin 3 x - 1 = f (x)

。(4) 錯：振幅是

2

；

3

是

x

的係數。(5) 對：

y = 2 sin 3 x

的圖形對稱於原點，向下平移

1

之後對稱中心變成

(0, - 1)

；用式子檢查，

f (x) + f (- x) = (2 sin 3 x - 1) + (- 2 sin 3 x - 1) = - 2

，兩點的中點高度恆為

- 1

。

第 6 題答案 (1)(3)(4)。分針

60

分鐘轉一圈

2 π

，每分鐘轉

\frac{π}{30}

；時針

12

小時轉一圈，每分鐘轉

\frac{π}{360}

。(1) 對：

40 \times \frac{π}{30} = \frac{4 π}{3}

。(2) 錯：

40 \times \frac{π}{360} = \frac{π}{9}

。(3) 對：

11

點整時針指

11

、分針指

12

，相差一大格

3 0^{\circ} = \frac{π}{6}

。(4) 對：從

12

的位置順時針量，

10

點

20

分時分針在

12 0^{\circ}

，時針在

30 0^{\circ} + 20 \times 0. 5^{\circ} = 31 0^{\circ}

，相差

19 0^{\circ}

，劣夾角是

36 0^{\circ} - 19 0^{\circ} = 17 0^{\circ} = \frac{17 π}{18}

。(5) 錯：設

10

點

m

分重疊，

6 m = 300 + 0.5 m

，

m = \frac{600}{11}

，不是

\frac{580}{11}

。

(4) 兩針相差超過

18 0^{\circ}

時，劣夾角要用

36 0^{\circ}

去減。

第 7 題答案 (2)(3)。圖形在

x = \frac{π}{3}

由上往下通過

x

軸，下一次在

x = \frac{5 π}{6}

由下往上通過

x

軸，兩者相隔半個週期：

\frac{5 π}{6} - \frac{π}{3} = \frac{π}{2}

，所以週期是

π

，

a = \frac{2 π}{π} = 2

。(1) 錯、(3) 對。

y = 4 sin (2 x + b)

在

x = \frac{π}{3}

由正變負，表示

\frac{2 π}{3} + b = π + 2 k π

（

k

為整數）；配合

0 < b < π

得

b = \frac{π}{3}

，(2) 對。(4) 錯：

x = 0

時

y = 4 sin \frac{π}{3} = 23

，交點是

(0, 23)

。(5) 錯：

4 sin (2 x + \frac{π}{3}) = 4 sin 2 (x + \frac{π}{6})

，是由

y = 4 sin 2 x

向左平移

\frac{π}{6}

。

看平移量要先把

x

的係數提出來：

2 x + \frac{π}{3} = 2 (x + \frac{π}{6})

。

03填充 1～4（第 8～11 題）：度與弧度互換、三角函數值、弧長

第 8 題

18 0^{\circ} = π

弳，所以

1^{\circ} = \frac{π}{180}

弳。

5 7^{\circ} = 57 \times \frac{π}{180} = \frac{19 π}{60}

弳。

第 9 題

π

弳

= 18 0^{\circ}

，所以

- \frac{7 π}{12}

弳

= - \frac{7}{12} \times 18 0^{\circ} = - 10 5^{\circ}

。

第 10 題逐項算：

sin \frac{π}{6} = \frac{1}{2}

；

\frac{2 π}{3} = 12 0^{\circ}

在第二象限，

cos \frac{2 π}{3} = - \frac{1}{2}

；

\frac{7 π}{4} = 31 5^{\circ}

在第四象限，

tan \frac{7 π}{4} = - tan \frac{π}{4} = - 1

；

\frac{7 π}{2} = 2 π + \frac{3 π}{2}

，

sin \frac{7 π}{2} = sin \frac{3 π}{2} = - 1

。原式

= \frac{1}{2} \times (- \frac{1}{2}) + (- 1) + (- 1) = - \frac{9}{4}

。

第 11 題輪子在地上滾動不打滑時，前進的距離等於輪緣轉過的弧長。

12 0^{\circ} = \frac{2 π}{3}

弳，弧長

s = r θ = 60 \times \frac{2 π}{3} = 40 π

（公分）。

弧長公式

s = r θ

的

θ

要用弧度。

04填充 5、6（第 12、13 題）：圓錐展開圖、月亮形面積

第 12 題斜高

= 8^{2} + 1 5^{2} = 17

，展開後的扇形半徑就是斜高

17

。扇形的弧長等於底圓周長

2 π \times 8 = 16 π

，所以圓心角

θ = \frac{16 π}{17}

弳。面積

A = \frac{1}{2} \times 17 \times 16 π = 136 π

（平方公分）。故

(θ, A) = (\frac{16 π}{17}, 136 π)

。

扇形面積

= \frac{1}{2} \times

半徑

\times

弧長；也可以用

\frac{1}{2} r^{2} θ = \frac{1}{2} \times 1 7^{2} \times \frac{16 π}{17}

得同一個值。流傳版本題幹「延斜高剪開」，本頁依文意寫作「沿斜高」。

第 13 題灰色區域

=

半圓

QR T

的面積

-

弧

QS T

與弦

\overline{QT}

所圍的弓形面積。半圓半徑

\overline{O Q} = 23

，面積

\frac{1}{2} π (23)^{2} = 6 π

。

\overline{P Q} = \overline{P T}

且

O

是

\overline{QT}

的中點，所以

\overline{P O} ⊥ \overline{QT}

。在直角三角形

P O Q

中，

\overline{P Q} = 4

、

\overline{O Q} = 23

，所以

\overline{P O} = 16 - 12 = 2

，

∠ QP O = 6 0^{\circ}

，

∠ QP T = 12 0^{\circ} = \frac{2 π}{3}

。扇形

P QT

面積

\frac{1}{2} \times 4^{2} \times \frac{2 π}{3} = \frac{16 π}{3}

；三角形

P QT

面積

\frac{1}{2} \times \overline{QT} \times \overline{P O} = \frac{1}{2} \times 43 \times 2 = 43

；弓形面積

\frac{16 π}{3} - 43

。灰色區域面積

= 6 π - (\frac{16 π}{3} - 43) = \frac{2 π}{3} + 43

。

估算檢查：

\frac{2 π}{3} + 43 \approx 2.09 + 6.93 = 9.02

，比半圓面積

6 π \approx 18.85

小，合理。

弓形面積＝扇形面積減三角形面積；扇形的圓心角要先換成弧度。

05填充 7～9（第 14～16 題）：廣義角的三角函數值、交點個數、正弦不等式

第 14 題

0 < θ < π

且

tan θ < 0

，所以

θ

是第二象限角。在終邊上取點

(- 1, 3)

，到原點的距離

r = 1 + 9 = 10

，

sin θ = \frac{3}{10}

。又

\frac{3 π}{2} - θ = π + (\frac{π}{2} - θ)

，所以

cos (\frac{3 π}{2} - θ) = - cos (\frac{π}{2} - θ) = - sin θ = - \frac{3}{10} = - \frac{3 10}{10}

。

tan θ = \frac{y}{x} = - 3

在第二象限要取

x < 0

、

y > 0

。

第 15 題

- 1 \leq sin x \leq 1

，所以交點只可能出現在

- 1 \leq \frac{x}{4 π} \leq 1

，即

- 4 π \leq x \leq 4 π

。先看

x > 0

：直線由

0

升到

1

。在

0 < x < π

，正弦曲線一開始比直線陡、在直線上方，到

x = π

時

sin π = 0 < \frac{1}{4}

，中間交

1

次。在

π \leq x \leq 2 π

，

sin x \leq 0

而直線為正，沒有交點。在

2 π < x < 3 π

，直線高度在

\frac{1}{2}

到

\frac{3}{4}

之間，正弦由

0

升到

1

再降回

0

，交

2

次。在

3 π \leq x \leq 4 π

，

sin x \leq 0

，沒有交點（

x = 4 π

時直線是

1

、正弦是

0

）。所以

x > 0

有

3

個交點。兩個圖形都對稱於原點，

x < 0

也有

3

個；再加上原點

1

個，共

7

個。

原點本身是交點，只能算一次；兩邊各

3

個再加原點。

第 16 題在

0 \leq x \leq 2 π

內，

sin x = - \frac{3}{2}

的解是

x = \frac{4 π}{3}

與

x = \frac{5 π}{3}

（參考角

\frac{π}{3}

，第三、四象限）。看

y = sin x

的圖形，圖形在水平線

y = - \frac{3}{2}

下方的部分是這兩個解之間（中間經過最低點

x = \frac{3 π}{2}

），所以

\frac{4 π}{3} < x < \frac{5 π}{3}

。

不等式不含等號，兩個端點都不取。

06填充 10、11（第 17、18 題）：週期性數學模型

第 17 題由表：最大值

1.1

、最小值

0.3

。振幅

a = \frac{1.1 - 0.3}{2} = 0.4

，中心線

d = \frac{1.1 + 0.3}{2} = 0.7

。最大值出現在

t = 0

、

12

、

24

，週期是

12

，

b = \frac{2 π}{12} = \frac{π}{6}

。

t = 0

時在最高點：

0.4 sin c + 0.7 = 1.1

，

sin c = 1

，配合

0 < c < π

得

c = \frac{π}{2}

。所以

(a, b, c, d) = (0.4, \frac{π}{6}, \frac{π}{2}, 0.7)

。

代回檢查：

t = 3

時

0.4 sin π + 0.7 = 0.7

，

t = 6

時

0.4 sin \frac{3 π}{2} + 0.7 = 0.3

，與表相符。表中

t = 21

的

0.699

是觀測值，模型給

0.7

，題目說的是「近似地看成」。

第 18 題正弦值最大是

1

，所以最高的高度

h = 18 \times 1 + 20 = 38

（公尺）。週期是

2 π \div \frac{2 π}{15} = 15

分鐘，圓仔只坐一圈，

0 \leq x \leq 15

，括號內的角由

\frac{3 π}{2}

增加到

\frac{7 π}{2}

，其中正弦值等於

1

的只有

\frac{5 π}{2}

：

\frac{2 π}{15} x_{0} + \frac{3 π}{2} = \frac{5 π}{2}

，

x_{0} = \frac{15}{2}

。所以

(x_{0}, h) = (\frac{15}{2}, 38)

。

x = 0

時

y = 18 sin \frac{3 π}{2} + 20 = 2

，是最低點；轉半圈（半個週期

7.5

分鐘）到最高點，兩種看法一致。

振幅＝(最大值－最小值)÷2，中心線＝(最大值＋最小值)÷2，週期看相鄰兩次最大值隔多久。

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同樣是高二第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

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本頁列出全部 18 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

高師大附中 114 上高二第一次段考數學哪幾題最容易錯？

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題目取自高師大附中 114 學年度上學期高二第一次段考數學B，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

高師大附中 114 上高二第一次段考數學試題、答案與詳解

原卷 18 題，照原卷順序

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01單選題（第 1～4 題）：弧度角的象限、圖形的伸縮平移、估計正弦值、頻率

02多重選擇題（第 5～7 題）：正弦函數的性質、時鐘、由圖形定係數

03填充 1～4（第 8～11 題）：度與弧度互換、三角函數值、弧長

04填充 5、6（第 12、13 題）：圓錐展開圖、月亮形面積

05填充 7～9（第 14～16 題）：廣義角的三角函數值、交點個數、正弦不等式

06填充 10、11（第 17、18 題）：週期性數學模型

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高師大附中 114 上
高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

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