段考詳解範圍：三角函數（弧度量、三角函數的圖形、和差角與倍角半角公式、正餘弦的疊合）

成功高中 114 上
高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

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01 · 試題

原卷 19 題，照原卷順序

多選題 2 題（12 分）、填充題 15 題共 16 格（80 分）、混合題 1 題組 2 小題（8 分）

第壹部分：選擇（填）題（占 92 分）　一、多選題（占 12 分）說明：第 1 題至第 2 題，每題 6 分。（6－4－2－0）

下列各選項中，哪些選項之數值為正？

(1) $cos 1 - cos 2$
(2) $sin (3 π)^{\circ}$
(3) $cos (π^{2})$
(4) $sin (\frac{π}{2} - 1) + sin (\frac{π}{2} + 1)$
(5) $tan 1 0^{\circ} - tan 7 0^{\circ} + 3 tan 1 0^{\circ} tan 7 0^{\circ}$

設

0 \leq θ \leq 2 π

，且方程式

x^{2} - a = 0

之兩根恰為

sin θ

與

- cos θ

。請選出正確的選項。

(1) $tan θ = 1$
(2) $sin (θ + \frac{π}{4}) = 1$
(3) $sin 2 θ = 1$
(4) $x^{2} - 2 a = 0$ 之兩根恰為 $2 sin θ$ 與 $- 2 cos θ$
(5) $sin \frac{θ}{2} > 0$

二、填充題（占 80 分）說明：第 3 題至第 17 題，每格 5 分。

已知三數

a = sin 5

、

b = cos 5

、

c = tan 5

，試比較

a

、

b

、

c

之大小關係 ____。

一扇形的半徑是

8

公分，弧長是

3 π

公分，則此扇形面積為 ____。

方程式

sin π x = \frac{x}{4}

之實根個數為 ____ 個。

圖為

y = a cos (b x - c) + d

的部分圖形，其中

a > 0

、

b > 0

、

0 \leq c \leq π

，試求

(a, b, c, d) =

____。

載入中...

將

y = cos x

經 ①水平伸縮

\frac{1}{2}

倍、②右移

2

單位、③上移

3

單位依序變換後，所得到的函數為 ____。

設

tan A = 4

，

tan B = 3

，試求

\frac{cos ( A + B )}{sin ( A - B )}

之值為 ____。

設

\frac{π}{2} < α < \frac{3 π}{4}

，化簡

1 - sin 2 α - 1 + sin 2 α =

____。

設

\frac{π}{4} < θ < \frac{π}{2}

，且

tan θ + \frac{1}{tan θ} = \frac{25}{12}

，試求

sin \frac{θ}{2}

之值為 ____。

在

△ A B C

中，已知

cos A = - \frac{4}{5}

，

sin B = \frac{5}{13}

，試求

cos C

之值為 ____。

2 sin \frac{5 π}{12} cos \frac{5 π}{12} + tan \frac{3 π}{4} + 6 sin \frac{π}{6} - 8 sin^{3} \frac{π}{6} =

____。

\frac{1}{sin 7 0 ^{\circ}} - \frac{3}{sin 2 0 ^{\circ}} =

____。

試在

0 \leq x < 2 π

的範圍內，求方程式

3 cos x - sin x = - 1

的解為 ____。

f (x) = cos 2 x + 4 sin x - 2

　(1) 若

x \in R

，則

f (x)

有最小值 ____。　(2) 若

π \leq x \leq \frac{3}{2} π

，則

f (x)

有最大值 ____。

設

27 0^{\circ} < A < 45 0^{\circ}

且

cos A + 3 sin A = 2 cos 230 0^{\circ}

，若

A = m^{\circ}

，則

m =

____。

如圖，已知

\overline{A B} = \overline{A C}

，且直線

A B

之斜率

m = - \frac{4}{3}

，試求

tan ∠ B C A =

____。

載入中...

第貳部分：混合題（占 8 分）說明：本部分共有 1 題組，每一子題配分標於題末。限在標示題號作答區內作答。選擇題與「非選擇題作圖部分」使用 2B 鉛筆作答，更正時，應以橡皮擦擦拭，切勿使用修正液（帶）。非選擇題由左而右橫式書寫，作答時必須寫出計算過程或理由，否則將酌予扣分。

18－19 題組（第 18～19 題）　設

0 \leq x \leq π

，則

f (x) = (3 sin x + 4 cos x) cos x

試求

f (x)

之最大值。（非選擇題，5 分）

試問最大值發生時，

cos 2 x

之值。（非選擇題，3 分）

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(1)(2)(4)

第 2 題(1)(3)(4)(5)

第 3 題

b > a > c

第 4 題

12 π

（平方公分）

第 5 題

7

第 6 題

(2, 2, \frac{π}{4}, 1)

第 7 題

y = cos 2 (x - 2) + 3

第 8 題

- 11

第 9 題

- 2 cos α

第 10 題

\frac{5}{5}

第 11 題

\frac{63}{65}

第 12 題

\frac{3}{2}

第 13 題

- 4

第 14 題

x = \frac{π}{2}

或

\frac{7 π}{6}

第 15 題(1)

- 7

；(2)

- 1

第 16 題

280

第 17 題

2

第 18 題

\frac{9}{2}

第 19 題

\frac{4}{5}

03 · 勾錯題號

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04 · 逐題詳解

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01多選 1～2：弧度角的正負判斷與倍角

第 1 題答案 (1)(2)(4)。(1)

1

弧度約

57. 3^{\circ}

在第一象限，

2

弧度約

114. 6^{\circ}

在第二象限，

cos 1 > 0 > cos 2

，差為正。(2)

(3 π)^{\circ} \approx 9.4 2^{\circ}

是銳角，正弦為正。(3)

π^{2} \approx 9.87

，而

3 π \approx 9.42

、

\frac{7 π}{2} \approx 11.00

，所以

3 π < π^{2} < \frac{7 π}{2}

，與

π^{2} - 2 π

（介於

π

與

\frac{3 π}{2}

）同界，在第三象限，餘弦為負。(4)

sin (\frac{π}{2} - 1) = cos 1

、

sin (\frac{π}{2} + 1) = cos 1

，和為

2 cos 1 > 0

。(5) 由

tan (7 0^{\circ} - 1 0^{\circ}) = \frac{tan 7 0 ^{\circ} - tan 1 0 ^{\circ}}{1 + tan 7 0 ^{\circ} tan 1 0 ^{\circ}} = 3

得

tan 7 0^{\circ} - tan 1 0^{\circ} = 3 + 3 tan 1 0^{\circ} tan 7 0^{\circ}

，所以原式

= - 3 < 0

。

(2) 的角有度的記號，是

3 π

「度」，不是

3 π

弧度（

sin 3 π = 0

）；沒有度的記號的

1

、

2

、

π^{2}

都是弧度。

第 2 題答案 (1)(3)(4)(5)。

x^{2} - a = 0

沒有一次項，兩根和為

0

：

sin θ - cos θ = 0

，即

sin θ = cos θ

，

tan θ = 1

，在

0 \leq θ \leq 2 π

內

θ = \frac{π}{4}

或

\frac{5 π}{4}

；兩根積

- sin θ cos θ = - a

，得

a = sin θ cos θ = \frac{1}{2}

。(1) 對。(2) 不一定：

θ = \frac{5 π}{4}

時

sin \frac{3 π}{2} = - 1

。(3) 對：

sin 2 θ = 2 sin θ cos θ = 2 a = 1

。(4) 對：

x^{2} - 2 a = x^{2} - 1 = 0

的兩根是

\pm 1

；

θ = \frac{π}{4}

時兩數為

1, - 1

，

θ = \frac{5 π}{4}

時為

- 1, 1

。(5) 對：

\frac{θ}{2} = \frac{π}{8}

或

\frac{5 π}{8}

，都在

0

與

π

之間，正弦為正。

θ

有兩個可能，每個選項都要兩個都檢查；(2) 只有

θ = \frac{π}{4}

時成立。

沒有度的記號就是弧度；先換成大約幾度、判斷象限，再看正負。

02填充 3～7：弧度、扇形與三角函數的圖形

第 3 題

\frac{3 π}{2} \approx 4.71 < 5 < 2 π \approx 6.28

，

5

弧度在第四象限，所以

b = cos 5 > 0

，

a = sin 5 < 0

，

c = tan 5 < 0

。又

0 < cos 5 < 1

，

∣ tan 5∣ = \frac{∣ sin 5∣}{cos 5} > ∣ sin 5∣

，兩個都是負數，絕對值大的比較小，

c < a

。所以

b > a > c

。

第 4 題扇形面積

= \frac{1}{2} \times

半徑

\times

弧長

= \frac{1}{2} \times 8 \times 3 π = 12 π

（平方公分）。

也可以先求圓心角

θ = \frac{3 π}{8}

，再用

\frac{1}{2} r^{2} θ = \frac{1}{2} \cdot 64 \cdot \frac{3 π}{8} = 12 π

。

第 5 題看

y = sin π x

（週期

2

）與直線

y = \frac{x}{4}

的交點個數。因為

- 1 \leq sin π x \leq 1

，交點只會在

- 4 \leq x \leq 4

。

x > 0

時，正弦圖形在

0 < x < 1

與

2 < x < 3

兩段在

x

軸上方：

0 < x < 1

這段，原點附近正弦圖形比直線陡，在直線上方，到

x = 1

時

0 < \frac{1}{4}

落到直線下方，有

1

個交點；

2 < x < 3

這段，兩端正弦值為

0

低於直線，頂點

x = \frac{5}{2}

處

1 > \frac{5}{8}

高於直線，有

2

個交點；

x = 4

時直線已到

1

而

sin 4 π = 0

，之後沒有交點。

x > 0

共

3

個。兩個圖形都對稱於原點，

x < 0

也有

3

個，再加上

x = 0

，共

7

個。

載入中...

原點本身是一個交點，不要漏算，也不要重複算進

0 < x < 1

那一段。

第 6 題最大值

1 + 2

、最小值

1 - 2

：

d = \frac{( 1 + 2 ) + ( 1 - 2 )}{2} = 1

，

a = \frac{( 1 + 2 ) - ( 1 - 2 )}{2} = 2

。相鄰的最高點與最低點相距半個週期：

\frac{5 π}{8} - \frac{π}{8} = \frac{π}{2}

，週期

π = \frac{2 π}{b}

，

b = 2

。最高點在

x = \frac{π}{8}

：

2 \cdot \frac{π}{8} - c = 2 k π

（

k

為整數），配合

0 \leq c \leq π

得

c = \frac{π}{4}

。檢查：

x = 0

時

2 cos (- \frac{π}{4}) + 1 = 2

，與圖上

(0, 2)

相符。

第 7 題①水平伸縮

\frac{1}{2}

倍：把

x

換成

2 x

，得

y = cos 2 x

。②右移

2

單位：把

x

換成

x - 2

，得

y = cos 2 (x - 2)

。③上移

3

單位：

y = cos 2 (x - 2) + 3

，也可寫成

y = cos (2 x - 4) + 3

。

右移是把「

x

」換成「

x - 2

」，所以是

cos 2 (x - 2)

，不是

cos (2 x - 2)

。

圖形題先抓最高點、最低點：平均是上下平移，差的一半是振幅，橫向間距是半個週期。

03填充 8～12：和差角、倍角與半角公式

第 8 題

\frac{cos ( A + B )}{sin ( A - B )} = \frac{cos A cos B - sin A sin B}{sin A cos B - cos A sin B}

，分子分母同除以

cos A cos B

，得

\frac{1 - tan A tan B}{tan A - tan B} = \frac{1 - 12}{4 - 3} = - 11

。

第 9 題

1 \mp sin 2 α = sin^{2} α + cos^{2} α \mp 2 sin α cos α = (sin α \mp cos α)^{2}

，所以原式

= ∣ sin α - cos α ∣ - ∣ sin α + cos α ∣

。

\frac{π}{2} < α < \frac{3 π}{4}

時

sin α > 0 > cos α

，且

sin α > \frac{2}{2} > ∣ cos α ∣

，所以

sin α - cos α > 0

、

sin α + cos α > 0

。原式

= (sin α - cos α) - (sin α + cos α) = - 2 cos α

。

流傳版本的參考答案寫

- 2 cos x

，題目的變數是

α

，應為

- 2 cos α

。去根號一定要加絕對值，再用角的範圍判斷正負。

第 10 題令

t = tan θ

：

t + \frac{1}{t} = \frac{25}{12}

，

12 t^{2} - 25 t + 12 = 0

，

(3 t - 4) (4 t - 3) = 0

，

t = \frac{4}{3}

或

\frac{3}{4}

。

\frac{π}{4} < θ < \frac{π}{2}

時

tan θ > 1

，取

tan θ = \frac{4}{3}

，

cos θ = \frac{3}{5}

。

\frac{θ}{2}

是銳角，

sin \frac{θ}{2} = \frac{1 - cos θ}{2} = \frac{1}{5} = \frac{5}{5}

。

流傳版本題幹印作「

tan + \frac{1}{tan θ} = \frac{25}{12}

」，第一個

tan

後面漏印

θ

，依答案應為

tan θ + \frac{1}{tan θ}

。

第 11 題

cos A < 0

，

A

是鈍角，

sin A = \frac{3}{5}

；三角形最多一個鈍角，

B

是銳角，

cos B = \frac{12}{13}

。

C = π - (A + B)

，

cos C = - cos (A + B) = - (cos A cos B - sin A sin B) = - (- \frac{48}{65} - \frac{15}{65}) = \frac{63}{65}

。

第 12 題

2 sin \frac{5 π}{12} cos \frac{5 π}{12} = sin \frac{5 π}{6} = \frac{1}{2}

；

tan \frac{3 π}{4} = - 1

；

6 sin \frac{π}{6} - 8 sin^{3} \frac{π}{6} = 6 \cdot \frac{1}{2} - 8 \cdot \frac{1}{8} = 2

。合計

\frac{1}{2} - 1 + 2 = \frac{3}{2}

。

後兩項也可看成

2 (3 sin \frac{π}{6} - 4 sin^{3} \frac{π}{6}) = 2 sin \frac{π}{2} = 2

（三倍角公式）。

看到 1±sin2α 就配成完全平方；開根號出來是絕對值，正負由角的範圍決定。

04填充 13～17：疊合、二次函數求極值與斜率

第 13 題

sin 7 0^{\circ} = cos 2 0^{\circ}

，通分：

\frac{1}{cos 2 0 ^{\circ}} - \frac{3}{sin 2 0 ^{\circ}} = \frac{sin 2 0 ^{\circ} - 3 cos 2 0 ^{\circ}}{sin 2 0 ^{\circ} cos 2 0 ^{\circ}}

。分子

= 2 (\frac{1}{2} sin 2 0^{\circ} - \frac{3}{2} cos 2 0^{\circ}) = 2 sin (2 0^{\circ} - 6 0^{\circ}) = - 2 sin 4 0^{\circ}

；分母

= \frac{1}{2} sin 4 0^{\circ}

。所以值為

\frac{- 2 sin 4 0 ^{\circ}}{\frac{1}{2} sin 4 0 ^{\circ}} = - 4

。

第 14 題兩邊乘

- 1

：

sin x - 3 cos x = 1

。左邊

= 2 (\frac{1}{2} sin x - \frac{3}{2} cos x) = 2 sin (x - \frac{π}{3})

，所以

sin (x - \frac{π}{3}) = \frac{1}{2}

。

0 \leq x < 2 π

時

- \frac{π}{3} \leq x - \frac{π}{3} < \frac{5 π}{3}

，在這個範圍內

x - \frac{π}{3} = \frac{π}{6}

或

\frac{5 π}{6}

，得

x = \frac{π}{2}

或

\frac{7 π}{6}

。

代回檢查：

x = \frac{π}{2}

時

0 - 1 = - 1

；

x = \frac{7 π}{6}

時

- \frac{3}{2} + \frac{1}{2} = - 1

。

第 15 題用

cos 2 x = 1 - 2 sin^{2} x

，令

t = sin x

：

f = - 2 t^{2} + 4 t - 1 = - 2 (t - 1)^{2} + 1

。(1)

x

為任意實數時

- 1 \leq t \leq 1

，圖形開口向下、頂點在

t = 1

，離頂點最遠的

t = - 1

給最小值

- 2 \cdot 4 + 1 = - 7

。(2)

π \leq x \leq \frac{3}{2} π

時

- 1 \leq t \leq 0

，這一段在頂點左側，

t

愈大值愈大，

t = 0

（即

x = π

）時有最大值

- 1

。

換成

t

之後一定要先寫出

t

的範圍；(2) 的

t

到不了頂點

t = 1

，最大值不是

1

。

第 16 題左邊

= 2 (\frac{1}{2} cos A + \frac{3}{2} sin A) = 2 cos (A - 6 0^{\circ})

。右邊：

230 0^{\circ} = 6 \times 36 0^{\circ} + 14 0^{\circ}

，

cos 230 0^{\circ} = cos 14 0^{\circ}

。所以

cos (A - 6 0^{\circ}) = cos 14 0^{\circ}

。

27 0^{\circ} < A < 45 0^{\circ}

時

21 0^{\circ} < A - 6 0^{\circ} < 39 0^{\circ}

，這個範圍內餘弦值等於

cos 14 0^{\circ}

的角只有

36 0^{\circ} - 14 0^{\circ} = 22 0^{\circ}

，所以

A = 28 0^{\circ}

，

m = 280

。

第 17 題由圖，

A

是原點、

C

在

x

軸負向、

B

在第二象限。直線

A B

斜率

- \frac{4}{3}

，可取

B (- 3, 4)

，則

\overline{A B} = 5 = \overline{A C}

，

C (- 5, 0)

。

∠ B C A

是直線

C B

與

x

軸的夾角，

tan ∠ B C A =

直線

C B

的斜率

= \frac{4 - 0}{- 3 - ( - 5 )} = 2

。

也可以用半角：設直線

A B

的斜角為

φ

，則

cos φ = - \frac{3}{5}

、

sin φ = \frac{4}{5}

；等腰三角形兩底角相等，外角

φ = 2∠ B C A

，所以

tan ∠ B C A = tan \frac{φ}{2} = \frac{sin φ}{1 + cos φ} = \frac{4/5}{2/5} = 2

。

疊合之後，先寫出新角的範圍，再在範圍內找角。

05混合題 18～19：降次後疊合

第 18 題展開：

f (x) = 3 sin x cos x + 4 cos^{2} x

。用倍角公式

sin x cos x = \frac{1}{2} sin 2 x

、

cos^{2} x = \frac{1 + cos 2 x}{2}

，得

f (x) = \frac{3}{2} sin 2 x + 2 cos 2 x + 2

。疊合：

(\frac{3}{2})^{2} + 2^{2} = \frac{5}{2}

，

f (x) = \frac{5}{2} sin (2 x + φ) + 2

，其中

cos φ = \frac{3}{5}

、

sin φ = \frac{4}{5}

，

0 < φ < \frac{π}{2}

。

0 \leq x \leq π

時

φ \leq 2 x + φ \leq 2 π + φ

，這個範圍包含

\frac{π}{2}

，所以

sin (2 x + φ)

可以取到

1

，最大值

\frac{5}{2} + 2 = \frac{9}{2}

。

非選題要寫出降次、疊合的式子，並說明

2 x + φ

的範圍確實包含

\frac{π}{2}

，最大值才取得到。

第 19 題最大值發生在

2 x + φ = \frac{π}{2}

，即

2 x = \frac{π}{2} - φ

。所以

cos 2 x = cos (\frac{π}{2} - φ) = sin φ = \frac{4}{5}

。

檢查：此時

sin 2 x = cos φ = \frac{3}{5}

，代回

\frac{3}{2} \cdot \frac{3}{5} + 2 \cdot \frac{4}{5} + 2 = \frac{9}{10} + \frac{16}{10} + 2 = \frac{9}{2}

。

二次的 sin、cos 乘積先用倍角公式降成 2x 的一次式，再疊合。

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第 1 題要分清楚有度的記號與沒有度的記號的角、第 5 題用圖形數交點時原點要算一次且只算一次、第 9 題去根號後要用角的範圍判斷絕對值裡的正負，以及第 16 題疊合後要先換出新角的範圍再找角。詳解逐題寫在本頁。

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題目取自成功高中 114 學年度上學期高二第一次段考數學A，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

御藍教育／段考卷／高二

段考詳解範圍：三角函數（弧度量、三角函數的圖形、和差角與倍角半角公式、正餘弦的疊合）

成功高中 114 上
高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 19 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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01 · 試題

原卷 19 題，照原卷順序

多選題 2 題（12 分）、填充題 15 題共 16 格（80 分）、混合題 1 題組 2 小題（8 分）

第壹部分：選擇（填）題（占 92 分）　一、多選題（占 12 分）說明：第 1 題至第 2 題，每題 6 分。（6－4－2－0）

下列各選項中，哪些選項之數值為正？

(1) $cos 1 - cos 2$
(2) $sin (3 π)^{\circ}$
(3) $cos (π^{2})$
(4) $sin (\frac{π}{2} - 1) + sin (\frac{π}{2} + 1)$
(5) $tan 1 0^{\circ} - tan 7 0^{\circ} + 3 tan 1 0^{\circ} tan 7 0^{\circ}$

設

0 \leq θ \leq 2 π

，且方程式

x^{2} - a = 0

之兩根恰為

sin θ

與

- cos θ

。請選出正確的選項。

(1) $tan θ = 1$
(2) $sin (θ + \frac{π}{4}) = 1$
(3) $sin 2 θ = 1$
(4) $x^{2} - 2 a = 0$ 之兩根恰為 $2 sin θ$ 與 $- 2 cos θ$
(5) $sin \frac{θ}{2} > 0$

二、填充題（占 80 分）說明：第 3 題至第 17 題，每格 5 分。

已知三數

a = sin 5

、

b = cos 5

、

c = tan 5

，試比較

a

、

b

、

c

之大小關係 ____。

一扇形的半徑是

8

公分，弧長是

3 π

公分，則此扇形面積為 ____。

方程式

sin π x = \frac{x}{4}

之實根個數為 ____ 個。

圖為

y = a cos (b x - c) + d

的部分圖形，其中

a > 0

、

b > 0

、

0 \leq c \leq π

，試求

(a, b, c, d) =

____。

載入中...

將

y = cos x

經 ①水平伸縮

\frac{1}{2}

倍、②右移

2

單位、③上移

3

單位依序變換後，所得到的函數為 ____。

設

tan A = 4

，

tan B = 3

，試求

\frac{cos ( A + B )}{sin ( A - B )}

之值為 ____。

設

\frac{π}{2} < α < \frac{3 π}{4}

，化簡

1 - sin 2 α - 1 + sin 2 α =

____。

設

\frac{π}{4} < θ < \frac{π}{2}

，且

tan θ + \frac{1}{tan θ} = \frac{25}{12}

，試求

sin \frac{θ}{2}

之值為 ____。

在

△ A B C

中，已知

cos A = - \frac{4}{5}

，

sin B = \frac{5}{13}

，試求

cos C

之值為 ____。

2 sin \frac{5 π}{12} cos \frac{5 π}{12} + tan \frac{3 π}{4} + 6 sin \frac{π}{6} - 8 sin^{3} \frac{π}{6} =

____。

\frac{1}{sin 7 0 ^{\circ}} - \frac{3}{sin 2 0 ^{\circ}} =

____。

試在

0 \leq x < 2 π

的範圍內，求方程式

3 cos x - sin x = - 1

的解為 ____。

f (x) = cos 2 x + 4 sin x - 2

　(1) 若

x \in R

，則

f (x)

有最小值 ____。　(2) 若

π \leq x \leq \frac{3}{2} π

，則

f (x)

有最大值 ____。

設

27 0^{\circ} < A < 45 0^{\circ}

且

cos A + 3 sin A = 2 cos 230 0^{\circ}

，若

A = m^{\circ}

，則

m =

____。

如圖，已知

\overline{A B} = \overline{A C}

，且直線

A B

之斜率

m = - \frac{4}{3}

，試求

tan ∠ B C A =

____。

載入中...

18－19 題組（第 18～19 題）　設

0 \leq x \leq π

，則

f (x) = (3 sin x + 4 cos x) cos x

試求

f (x)

之最大值。（非選擇題，5 分）

試問最大值發生時，

cos 2 x

之值。（非選擇題，3 分）

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(1)(2)(4)

第 2 題(1)(3)(4)(5)

第 3 題

b > a > c

第 4 題

12 π

（平方公分）

第 5 題

7

第 6 題

(2, 2, \frac{π}{4}, 1)

第 7 題

y = cos 2 (x - 2) + 3

第 8 題

- 11

第 9 題

- 2 cos α

第 10 題

\frac{5}{5}

第 11 題

\frac{63}{65}

第 12 題

\frac{3}{2}

第 13 題

- 4

第 14 題

x = \frac{π}{2}

或

\frac{7 π}{6}

第 15 題(1)

- 7

；(2)

- 1

第 16 題

280

第 17 題

2

第 18 題

\frac{9}{2}

第 19 題

\frac{4}{5}

03 · 勾錯題號

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04 · 逐題詳解

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01多選 1～2：弧度角的正負判斷與倍角

第 1 題答案 (1)(2)(4)。(1)

1

弧度約

57. 3^{\circ}

在第一象限，

2

弧度約

114. 6^{\circ}

在第二象限，

cos 1 > 0 > cos 2

，差為正。(2)

(3 π)^{\circ} \approx 9.4 2^{\circ}

是銳角，正弦為正。(3)

π^{2} \approx 9.87

，而

3 π \approx 9.42

、

\frac{7 π}{2} \approx 11.00

，所以

3 π < π^{2} < \frac{7 π}{2}

，與

π^{2} - 2 π

（介於

π

與

\frac{3 π}{2}

）同界，在第三象限，餘弦為負。(4)

sin (\frac{π}{2} - 1) = cos 1

、

sin (\frac{π}{2} + 1) = cos 1

，和為

2 cos 1 > 0

。(5) 由

tan (7 0^{\circ} - 1 0^{\circ}) = \frac{tan 7 0 ^{\circ} - tan 1 0 ^{\circ}}{1 + tan 7 0 ^{\circ} tan 1 0 ^{\circ}} = 3

得

tan 7 0^{\circ} - tan 1 0^{\circ} = 3 + 3 tan 1 0^{\circ} tan 7 0^{\circ}

，所以原式

= - 3 < 0

。

(2) 的角有度的記號，是

3 π

「度」，不是

3 π

弧度（

sin 3 π = 0

）；沒有度的記號的

1

、

2

、

π^{2}

都是弧度。

第 2 題答案 (1)(3)(4)(5)。

x^{2} - a = 0

沒有一次項，兩根和為

0

：

sin θ - cos θ = 0

，即

sin θ = cos θ

，

tan θ = 1

，在

0 \leq θ \leq 2 π

內

θ = \frac{π}{4}

或

\frac{5 π}{4}

；兩根積

- sin θ cos θ = - a

，得

a = sin θ cos θ = \frac{1}{2}

。(1) 對。(2) 不一定：

θ = \frac{5 π}{4}

時

sin \frac{3 π}{2} = - 1

。(3) 對：

sin 2 θ = 2 sin θ cos θ = 2 a = 1

。(4) 對：

x^{2} - 2 a = x^{2} - 1 = 0

的兩根是

\pm 1

；

θ = \frac{π}{4}

時兩數為

1, - 1

，

θ = \frac{5 π}{4}

時為

- 1, 1

。(5) 對：

\frac{θ}{2} = \frac{π}{8}

或

\frac{5 π}{8}

，都在

0

與

π

之間，正弦為正。

θ

有兩個可能，每個選項都要兩個都檢查；(2) 只有

θ = \frac{π}{4}

時成立。

沒有度的記號就是弧度；先換成大約幾度、判斷象限，再看正負。

02填充 3～7：弧度、扇形與三角函數的圖形

第 3 題

\frac{3 π}{2} \approx 4.71 < 5 < 2 π \approx 6.28

，

5

弧度在第四象限，所以

b = cos 5 > 0

，

a = sin 5 < 0

，

c = tan 5 < 0

。又

0 < cos 5 < 1

，

∣ tan 5∣ = \frac{∣ sin 5∣}{cos 5} > ∣ sin 5∣

，兩個都是負數，絕對值大的比較小，

c < a

。所以

b > a > c

。

第 4 題扇形面積

= \frac{1}{2} \times

半徑

\times

弧長

= \frac{1}{2} \times 8 \times 3 π = 12 π

（平方公分）。

也可以先求圓心角

θ = \frac{3 π}{8}

，再用

\frac{1}{2} r^{2} θ = \frac{1}{2} \cdot 64 \cdot \frac{3 π}{8} = 12 π

。

第 5 題看

y = sin π x

（週期

2

）與直線

y = \frac{x}{4}

的交點個數。因為

- 1 \leq sin π x \leq 1

，交點只會在

- 4 \leq x \leq 4

。

x > 0

時，正弦圖形在

0 < x < 1

與

2 < x < 3

兩段在

x

軸上方：

0 < x < 1

這段，原點附近正弦圖形比直線陡，在直線上方，到

x = 1

時

0 < \frac{1}{4}

落到直線下方，有

1

個交點；

2 < x < 3

這段，兩端正弦值為

0

低於直線，頂點

x = \frac{5}{2}

處

1 > \frac{5}{8}

高於直線，有

2

個交點；

x = 4

時直線已到

1

而

sin 4 π = 0

，之後沒有交點。

x > 0

共

3

個。兩個圖形都對稱於原點，

x < 0

也有

3

個，再加上

x = 0

，共

7

個。

載入中...

原點本身是一個交點，不要漏算，也不要重複算進

0 < x < 1

那一段。

第 6 題最大值

1 + 2

、最小值

1 - 2

：

d = \frac{( 1 + 2 ) + ( 1 - 2 )}{2} = 1

，

a = \frac{( 1 + 2 ) - ( 1 - 2 )}{2} = 2

。相鄰的最高點與最低點相距半個週期：

\frac{5 π}{8} - \frac{π}{8} = \frac{π}{2}

，週期

π = \frac{2 π}{b}

，

b = 2

。最高點在

x = \frac{π}{8}

：

2 \cdot \frac{π}{8} - c = 2 k π

（

k

為整數），配合

0 \leq c \leq π

得

c = \frac{π}{4}

。檢查：

x = 0

時

2 cos (- \frac{π}{4}) + 1 = 2

，與圖上

(0, 2)

相符。

第 7 題①水平伸縮

\frac{1}{2}

倍：把

x

換成

2 x

，得

y = cos 2 x

。②右移

2

單位：把

x

換成

x - 2

，得

y = cos 2 (x - 2)

。③上移

3

單位：

y = cos 2 (x - 2) + 3

，也可寫成

y = cos (2 x - 4) + 3

。

右移是把「

x

」換成「

x - 2

」，所以是

cos 2 (x - 2)

，不是

cos (2 x - 2)

。

圖形題先抓最高點、最低點：平均是上下平移，差的一半是振幅，橫向間距是半個週期。

03填充 8～12：和差角、倍角與半角公式

第 8 題

\frac{cos ( A + B )}{sin ( A - B )} = \frac{cos A cos B - sin A sin B}{sin A cos B - cos A sin B}

，分子分母同除以

cos A cos B

，得

\frac{1 - tan A tan B}{tan A - tan B} = \frac{1 - 12}{4 - 3} = - 11

。

第 9 題

1 \mp sin 2 α = sin^{2} α + cos^{2} α \mp 2 sin α cos α = (sin α \mp cos α)^{2}

，所以原式

= ∣ sin α - cos α ∣ - ∣ sin α + cos α ∣

。

\frac{π}{2} < α < \frac{3 π}{4}

時

sin α > 0 > cos α

，且

sin α > \frac{2}{2} > ∣ cos α ∣

，所以

sin α - cos α > 0

、

sin α + cos α > 0

。原式

= (sin α - cos α) - (sin α + cos α) = - 2 cos α

。

流傳版本的參考答案寫

- 2 cos x

，題目的變數是

α

，應為

- 2 cos α

。去根號一定要加絕對值，再用角的範圍判斷正負。

第 10 題令

t = tan θ

：

t + \frac{1}{t} = \frac{25}{12}

，

12 t^{2} - 25 t + 12 = 0

，

(3 t - 4) (4 t - 3) = 0

，

t = \frac{4}{3}

或

\frac{3}{4}

。

\frac{π}{4} < θ < \frac{π}{2}

時

tan θ > 1

，取

tan θ = \frac{4}{3}

，

cos θ = \frac{3}{5}

。

\frac{θ}{2}

是銳角，

sin \frac{θ}{2} = \frac{1 - cos θ}{2} = \frac{1}{5} = \frac{5}{5}

。

流傳版本題幹印作「

tan + \frac{1}{tan θ} = \frac{25}{12}

」，第一個

tan

後面漏印

θ

，依答案應為

tan θ + \frac{1}{tan θ}

。

第 11 題

cos A < 0

，

A

是鈍角，

sin A = \frac{3}{5}

；三角形最多一個鈍角，

B

是銳角，

cos B = \frac{12}{13}

。

C = π - (A + B)

，

cos C = - cos (A + B) = - (cos A cos B - sin A sin B) = - (- \frac{48}{65} - \frac{15}{65}) = \frac{63}{65}

。

第 12 題

2 sin \frac{5 π}{12} cos \frac{5 π}{12} = sin \frac{5 π}{6} = \frac{1}{2}

；

tan \frac{3 π}{4} = - 1

；

6 sin \frac{π}{6} - 8 sin^{3} \frac{π}{6} = 6 \cdot \frac{1}{2} - 8 \cdot \frac{1}{8} = 2

。合計

\frac{1}{2} - 1 + 2 = \frac{3}{2}

。

後兩項也可看成

2 (3 sin \frac{π}{6} - 4 sin^{3} \frac{π}{6}) = 2 sin \frac{π}{2} = 2

（三倍角公式）。

看到 1±sin2α 就配成完全平方；開根號出來是絕對值，正負由角的範圍決定。

04填充 13～17：疊合、二次函數求極值與斜率

第 13 題

sin 7 0^{\circ} = cos 2 0^{\circ}

，通分：

\frac{1}{cos 2 0 ^{\circ}} - \frac{3}{sin 2 0 ^{\circ}} = \frac{sin 2 0 ^{\circ} - 3 cos 2 0 ^{\circ}}{sin 2 0 ^{\circ} cos 2 0 ^{\circ}}

。分子

= 2 (\frac{1}{2} sin 2 0^{\circ} - \frac{3}{2} cos 2 0^{\circ}) = 2 sin (2 0^{\circ} - 6 0^{\circ}) = - 2 sin 4 0^{\circ}

；分母

= \frac{1}{2} sin 4 0^{\circ}

。所以值為

\frac{- 2 sin 4 0 ^{\circ}}{\frac{1}{2} sin 4 0 ^{\circ}} = - 4

。

第 14 題兩邊乘

- 1

：

sin x - 3 cos x = 1

。左邊

= 2 (\frac{1}{2} sin x - \frac{3}{2} cos x) = 2 sin (x - \frac{π}{3})

，所以

sin (x - \frac{π}{3}) = \frac{1}{2}

。

0 \leq x < 2 π

時

- \frac{π}{3} \leq x - \frac{π}{3} < \frac{5 π}{3}

，在這個範圍內

x - \frac{π}{3} = \frac{π}{6}

或

\frac{5 π}{6}

，得

x = \frac{π}{2}

或

\frac{7 π}{6}

。

代回檢查：

x = \frac{π}{2}

時

0 - 1 = - 1

；

x = \frac{7 π}{6}

時

- \frac{3}{2} + \frac{1}{2} = - 1

。

第 15 題用

cos 2 x = 1 - 2 sin^{2} x

，令

t = sin x

：

f = - 2 t^{2} + 4 t - 1 = - 2 (t - 1)^{2} + 1

。(1)

x

為任意實數時

- 1 \leq t \leq 1

，圖形開口向下、頂點在

t = 1

，離頂點最遠的

t = - 1

給最小值

- 2 \cdot 4 + 1 = - 7

。(2)

π \leq x \leq \frac{3}{2} π

時

- 1 \leq t \leq 0

，這一段在頂點左側，

t

愈大值愈大，

t = 0

（即

x = π

）時有最大值

- 1

。

換成

t

之後一定要先寫出

t

的範圍；(2) 的

t

到不了頂點

t = 1

，最大值不是

1

。

第 16 題左邊

= 2 (\frac{1}{2} cos A + \frac{3}{2} sin A) = 2 cos (A - 6 0^{\circ})

。右邊：

230 0^{\circ} = 6 \times 36 0^{\circ} + 14 0^{\circ}

，

cos 230 0^{\circ} = cos 14 0^{\circ}

。所以

cos (A - 6 0^{\circ}) = cos 14 0^{\circ}

。

27 0^{\circ} < A < 45 0^{\circ}

時

21 0^{\circ} < A - 6 0^{\circ} < 39 0^{\circ}

，這個範圍內餘弦值等於

cos 14 0^{\circ}

的角只有

36 0^{\circ} - 14 0^{\circ} = 22 0^{\circ}

，所以

A = 28 0^{\circ}

，

m = 280

。

第 17 題由圖，

A

是原點、

C

在

x

軸負向、

B

在第二象限。直線

A B

斜率

- \frac{4}{3}

，可取

B (- 3, 4)

，則

\overline{A B} = 5 = \overline{A C}

，

C (- 5, 0)

。

∠ B C A

是直線

C B

與

x

軸的夾角，

tan ∠ B C A =

直線

C B

的斜率

= \frac{4 - 0}{- 3 - ( - 5 )} = 2

。

也可以用半角：設直線

A B

的斜角為

φ

，則

cos φ = - \frac{3}{5}

、

sin φ = \frac{4}{5}

；等腰三角形兩底角相等，外角

φ = 2∠ B C A

，所以

tan ∠ B C A = tan \frac{φ}{2} = \frac{sin φ}{1 + cos φ} = \frac{4/5}{2/5} = 2

。

疊合之後，先寫出新角的範圍，再在範圍內找角。

05混合題 18～19：降次後疊合

第 18 題展開：

f (x) = 3 sin x cos x + 4 cos^{2} x

。用倍角公式

sin x cos x = \frac{1}{2} sin 2 x

、

cos^{2} x = \frac{1 + cos 2 x}{2}

，得

f (x) = \frac{3}{2} sin 2 x + 2 cos 2 x + 2

。疊合：

(\frac{3}{2})^{2} + 2^{2} = \frac{5}{2}

，

f (x) = \frac{5}{2} sin (2 x + φ) + 2

，其中

cos φ = \frac{3}{5}

、

sin φ = \frac{4}{5}

，

0 < φ < \frac{π}{2}

。

0 \leq x \leq π

時

φ \leq 2 x + φ \leq 2 π + φ

，這個範圍包含

\frac{π}{2}

，所以

sin (2 x + φ)

可以取到

1

，最大值

\frac{5}{2} + 2 = \frac{9}{2}

。

非選題要寫出降次、疊合的式子，並說明

2 x + φ

的範圍確實包含

\frac{π}{2}

，最大值才取得到。

第 19 題最大值發生在

2 x + φ = \frac{π}{2}

，即

2 x = \frac{π}{2} - φ

。所以

cos 2 x = cos (\frac{π}{2} - φ) = sin φ = \frac{4}{5}

。

檢查：此時

sin 2 x = cos φ = \frac{3}{5}

，代回

\frac{3}{2} \cdot \frac{3}{5} + 2 \cdot \frac{4}{5} + 2 = \frac{9}{10} + \frac{16}{10} + 2 = \frac{9}{2}

。

二次的 sin、cos 乘積先用倍角公式降成 2x 的一次式，再疊合。

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01多選 1～2：弧度角的正負判斷與倍角

02填充 3～7：弧度、扇形與三角函數的圖形

03填充 8～12：和差角、倍角與半角公式

04填充 13～17：疊合、二次函數求極值與斜率

05混合題 18～19：降次後疊合

同一次段考的其他學校

你們學校的段考卷也想要詳解？

常見問題

成功高中 114 上 高二第一次段考數學的答案在哪裡？

成功高中 114 上 高二第一次段考數學哪幾題最容易錯？

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

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成功高中 114 上高二第一次段考數學試題、答案與詳解

原卷 19 題，照原卷順序

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成功高中 114 上
高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

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高二第一次段考
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