段考詳解範圍：三角函數（弧度量、弧長與扇形面積、弧度角的三角函數值、正弦函數的圖形與週期、週期性現象的數學模型）

臺東高中 114 上
高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 24 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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01 · 試題

原卷 24 題，照原卷順序

填充題 20 格（答對 1～20 格依序得 8、16、24、32、38、44、50、54、58、60、61、62、63、66、69、71、74、77、80、82 分）、多重選擇題 2 題（10 分）、混合題 2 小題（3 分與 5 分）。本頁第 1～4 題為原卷填充 1、2 的各兩格，第 5～20 題為填充 3～18，第 21、22 題為多重選擇，第 23、24 題為混合題。答案已與學校公布的答案逐題核對：第 22 題答案照學校公布，本站計算的結果不同；第 24 題學校公布的末行係數疑為筆誤，答案寫本站計算；第 23 題學校註明送分。說明見各題詳解。

一、填充題：共 82 分

(1) 將

42 0^{\circ}

換算成弧度為 ____。

(2) 將

\frac{2 π}{3}

弳換算成度為 ____。

已知扇形的半徑為

8

公分，弧長

10

公分，試問：(1) 扇形圓心角為 ____ 弳。

已知扇形的半徑為

8

公分，弧長

10

公分，試問：(2) 扇形面積為 ____ 平方公分。

試求

tan \frac{π}{4} - cos \frac{π}{3}

之值為 ____。

如下圖，扇形的半徑為

2

公分，圓心角為

12 0^{\circ}

，求塗色面積為 ____。

載入中...

試問

3

弳位於第幾象限？　第 ____ 象限。

已知

tan θ = \frac{4}{5}

，且

π < θ < \frac{3 π}{2}

，試求

sin θ + cos θ =

____。

觀察一個時鐘，

6

點

45

分時，時針與分針所夾的較小角為 ____ 弳。

函數

f (x) = 2 sin 3 x

作圖於直角坐標後，其振幅為

A

、週期為

T

，試求數對

(A, T) =

____。

下圖為

y = sin (x + h)

一個週期的圖形，其中

0 < h \leq 2 π

，試求

h

的值為 ____。

載入中...

若一位同學計畫在

10

月

25

日連假的下午

4

點到

5

點至海中步道遊玩。海床露出期間如圖所示，其中海面上升至最高時稱為滿潮，下降至最低時稱為乾潮。已知自

10

月

25

日凌晨起的海床露出時刻符合正弦函數

y = sin (\frac{π}{3} x)

的圖形，

x

的單位為小時。為了安全考量，這位同學要在乾潮時立刻離開此步道，則他會在下午

4

點 ____ 分時離開。

載入中...

國定古蹟「彰化扇形車庫」是如同一面摺扇造形的火車車庫，扇形車庫的構成包括了車庫、軌道與轉車台，其軌道以轉車台為中心朝車庫區分散，總共有

12

股道，如下圖所示。若扇形

A O B

半徑為

45

公尺、

\overline{O C}

為

30

公尺、弧長

C D

為

60

公尺，試問車庫

A B D C

圍成的區域面積為何？ ____ 平方公尺。

載入中...

設

0 \leq x \leq 2 π

，若

sin x \geq - \frac{1}{2}

，試問

x

的範圍？ ____。

在音樂領域依據十二平均律原理，由 C4 往上

k

個半音的聲波函數為

y = sin (440 π \times 2^{\frac{k + 3}{12}} x)

，

x

的單位為秒。若 F4 為 C4 往上

5

個半音、C4 的頻率為

f_{1}

、F4 的頻率為

f_{2}

，試問

\frac{f _{2}}{f _{1}} =

____。

載入中...

下圖為

y = sin (x + a) + b

的部分圖形，其中

0 < a \leq 2 π

，試求

(a, b) =

____。

載入中...

扇形

A O B

的圓心角為

\frac{π}{3}

，其內切一圓半徑為

3

，如下圖所示，試問扇形

A O B

的面積為 ____。

載入中...

在坐標平面上作

y = 6 sin x

與

y = x

的圖形，試問兩圖形有 ____ 個交點。

如圖一，有一扇形紙張，半徑為

13

，且其圓心角為

\frac{10 π}{13}

，將此紙張二邊接齊黏成一個直圓錐，如圖二，則此圓錐之高為何？ ____。

載入中...

甲與乙搭乘摩天輪，當摩天輪開始運轉時，他們恰坐在離地最近的位置上，

t

分鐘後，他們離地的高度

y

（單位：公尺），在地面的東中學生紀錄他們的位置如下表。

t y 015910171592012593017

若可表為函數

y = a sin (b (t - h)) + k

，試問序組

(a, b, h, k) =

____。

二、多重選擇題：(每題 5 分，共 10 分，錯一個選項得 3 分、錯兩個選項得 1 分、錯三個選項以上得 0 分)

若

- \frac{1}{2} \leq sin a \leq \frac{3}{2}

，則下列弧度中哪些可能為

a

之值？

(A) $\frac{π}{2}$
(B) $- \frac{π}{4}$
(C) $\frac{17 π}{3}$
(D) $\frac{1}{2}$
(E) $- 3$

函數

f (x) = 1 + 2 sin 3 x

，關於

f (x)

圖形的描述下列哪些選項是正確的？

(A) 振幅為 $2$
(B) $- 1 \leq f (x) \leq 3$
(C) 週期為 $6 π$
(D) $f (x)$ 可由 $y = sin 3 x$ 平移後重合
(E) 若 $g (x) = 1 + 2 sin (3 x + 9 π)$ ，則 $f (x)$ 與 $g (x)$ 圖形重合

三、混合題：共 8 分，依標示配分

混合題（第 23～24 題）　棒球場的形狀非單純的扇形，如「臺東棒球村第一棒球場」即是包含兩個扇形的棒球場，也是目前職棒中唯一內野全紅土的場地，如圖所示。已知四個壘包

O A B C

形成邊長為

90

英尺的正方形、內野區扇形圓心位於

P

點、半徑

\overline{P D}

為

95

英尺、

\overline{P O}

為

60

英尺且

∠ O D P = \frac{π}{6}

。試回答下列問題：

1. 試問下列何者為內野區扇形之圓心角

∠ D P F

？（單選題，3 分）

(A) $\frac{2 π}{3}$
(B) $\frac{3 π}{4}$
(C) $\frac{4 π}{5}$
(D) $\frac{5 π}{6}$
(E) $\frac{6 π}{7}$

載入中...

2. 試計算內野區

O D E F

之面積？（註：

sin \frac{7 π}{12} = \frac{6 + 2}{4}

）（非選擇題，將計算過程書寫於答案卷才給分，5 分）

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題

\frac{7 π}{3}

第 2 題

12 0^{\circ}

第 3 題

\frac{5}{4}

第 4 題

40

第 5 題

\frac{1}{2}

第 6 題

\frac{4 π}{3} - 3

第 7 題二

第 8 題

- \frac{9 41}{41}

第 9 題

\frac{3 π}{8}

第 10 題

(2, \frac{2 π}{3})

第 11 題

\frac{3 π}{4}

第 12 題

30

第 13 題

1125

第 14 題

0 \leq x \leq \frac{7 π}{6}

或

\frac{11 π}{6} \leq x \leq 2 π

第 15 題

1232

（或

2^{\frac{5}{12}}

）

第 16 題

(\frac{7 π}{4}, 2)

第 17 題

\frac{27 π}{2}

第 18 題

3

第 19 題

12

第 20 題

(8, \frac{π}{10}, 5, 9)

（取

a > 0

、

b > 0

、

h

為最小的正數；題目沒有限制範圍，其他寫法見詳解）

第 21 題(D)(E)

第 22 題(A)(B)(D)（照學校公布的答案；嚴格來說選項 (D) 的兩個圖形振幅不同，平移後不會重合，本站計算為 (A)(B)，見詳解）

第 23 題(D)（學校公布的答案註明本題送分；題目給的三個數據彼此不相容，見詳解）

第 24 題

\frac{45125 π}{12} + 14256 + 14252

平方英尺（學校公布的答案算式與此相同，最後一行印作

1356 + 1352 + \frac{45125 π}{12}

，應是乘開時的筆誤，見詳解）

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

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還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01填充第 1～3 題（第 1～5 題）：度與弳互換、扇形、特殊角

第 1 題

18 0^{\circ} = π

弳，所以

42 0^{\circ} = 420 \times \frac{π}{180} = \frac{7 π}{3}

（弳）。

第 2 題

π

弳

= 18 0^{\circ}

，所以

\frac{2 π}{3}

弳

= \frac{2}{3} \times 18 0^{\circ} = 12 0^{\circ}

。

第 3 題弧長

= r θ

，所以

10 = 8 θ

，

θ = \frac{10}{8} = \frac{5}{4}

（弳）。

用弧長除以半徑得到的圓心角，單位就是弳。

第 4 題扇形面積

= \frac{1}{2} \times

半徑

\times

弧長

= \frac{1}{2} \times 8 \times 10 = 40

（平方公分）。

也可以用

\frac{1}{2} r^{2} θ = \frac{1}{2} \times 8^{2} \times \frac{5}{4} = 40

，結果相同。

第 5 題

\frac{π}{4} = 4 5^{\circ}

，

tan \frac{π}{4} = 1

；

\frac{π}{3} = 6 0^{\circ}

，

cos \frac{π}{3} = \frac{1}{2}

。所求

= 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}

。

度與弳互換只記

18 0^{\circ} = π

弳；扇形的弧長是

r θ

、面積是

\frac{1}{2} r^{2} θ

，

θ

要用弳。

02填充第 4～7 題（第 6～9 題）：弓形面積、象限、三角函數值、時鐘夾角

第 6 題塗色部分是弓形，等於扇形減去兩條半徑與弦圍成的三角形。

12 0^{\circ} = \frac{2 π}{3}

弳，扇形面積

= \frac{1}{2} \times 2^{2} \times \frac{2 π}{3} = \frac{4 π}{3}

。三角形的兩邊都是半徑

2

、夾角

12 0^{\circ}

，面積

= \frac{1}{2} \times 2 \times 2 \times sin 12 0^{\circ} = 2 \times \frac{3}{2} = 3

。塗色面積

= \frac{4 π}{3} - 3

（平方公分）。

扇形面積公式裡的角要用弳；答案約

2.46

。

第 7 題

\frac{π}{2} \approx 1.57

、

π \approx 3.14

，而

1.57 < 3 < 3.14

，即

\frac{π}{2} < 3 < π

，所以

3

弳是第二象限角。

3

弳約

171. 9^{\circ}

，很接近

18 0^{\circ}

但還沒到。

第 8 題

θ

在第三象限，

x

、

y

坐標都是負的。

tan θ = \frac{y}{x} = \frac{4}{5}

，在終邊上取點

(- 5, - 4)

，它到原點的距離

r = (- 5)^{2} + (- 4)^{2} = 41

。所以

sin θ = \frac{- 4}{41}

、

cos θ = \frac{- 5}{41}

，相加得

- \frac{9}{41} = - \frac{9 41}{41}

。

正切是正的不代表正弦、餘弦是正的；第三象限兩個都是負的。

第 9 題以

12

點方向為

0^{\circ}

順時針量。分針每分鐘走

6^{\circ}

，

45

分時在

27 0^{\circ}

。時針每小時走

3 0^{\circ}

、每分鐘走

0. 5^{\circ}

，

6

點

45

分時在

6 \times 3 0^{\circ} + 45 \times 0. 5^{\circ} = 202. 5^{\circ}

。兩針相差

27 0^{\circ} - 202. 5^{\circ} = 67. 5^{\circ}

，小於

18 0^{\circ}

，就是較小的夾角。換成弳：

67.5 \times \frac{π}{180} = \frac{3 π}{8}

。

時針不會停在

6

的位置，

45

分鐘裡它又往前走了

22. 5^{\circ}

。

弓形面積等於扇形減三角形；已知一個三角函數值與象限，就在終邊上取一點，用坐標求其他的值。

03填充第 8～10 題（第 10～12 題）：振幅與週期、平移量、乾潮的時刻

第 10 題

- 1 \leq sin 3 x \leq 1

，所以

- 2 \leq f (x) \leq 2

，振幅

A = 2

。

x

的係數是

3

，週期

T = \frac{2 π}{3}

。所以

(A, T) = (2, \frac{2 π}{3})

。

第 11 題

y = sin x

的一個週期從

x = 0

開始：由

0

上升到最高、再下降到最低、最後回到

0

。圖中這樣的一個週期從

x = - \frac{3 π}{4}

開始、到

x = \frac{5 π}{4}

結束，所以圖形是

y = sin x

向左平移

\frac{3 π}{4}

，也就是

y = sin (x + \frac{3 π}{4})

。

h = \frac{3 π}{4}

在

0 < h \leq 2 π

的範圍內，而同樣圖形的其他寫法

h = \frac{3 π}{4} + 2 k π

都不在範圍內，所以

h = \frac{3 π}{4}

。

檢查：

x = - \frac{3 π}{4}

時

x + h = 0

，

y = 0

且接著上升，與圖相符；

x = 0

時

y = sin \frac{3 π}{4} \approx 0.71

是正的，也與圖相符。

第 12 題乾潮是海面最低的時候，也就是

y = sin (\frac{π}{3} x)

等於

- 1

的時刻：

\frac{π}{3} x = \frac{3 π}{2} + 2 k π

（

k

為整數），

x = 4.5 + 6 k

，即

x = 4.5

、

10.5

、

16.5

、

22.5

、

\dots

。

x

從凌晨

0

點起算，下午

4

點到

5

點是

16 \leq x \leq 17

，落在這段時間的是

x = 16.5

，也就是下午

4

點

30

分。

這個函數的週期是

\frac{2 π}{π /3} = 6

小時，所以每

6

小時乾潮一次。

y = a sin (b x + c) + d

（

a > 0

、

b > 0

）：振幅是

a

、週期是

\frac{2 π}{b}

；最低點出現在裡面的角等於

\frac{3 π}{2}

加上整數圈的時候。

04填充第 11～13 題（第 13～15 題）：車庫的面積、正弦不等式、頻率比

第 13 題

C

、

D

在半徑上，

\overline{O C} = \overline{O D} = 30

，弧

C D

是半徑

30

的扇形

C O D

的弧。設圓心角為

θ

：

30 θ = 60

，

θ = 2

（弳）。扇形

A O B

與扇形

C O D

的圓心角相同，車庫

A B D C

是大扇形減去小扇形：

\frac{1}{2} \times 4 5^{2} \times 2 - \frac{1}{2} \times 3 0^{2} \times 2 = 2025 - 900 = 1125

（平方公尺）。

圓心角

2

弳約

114. 6^{\circ}

。

第 14 題在

0 \leq x \leq 2 π

畫出

y = sin x

的圖形與水平線

y = - \frac{1}{2}

，要找曲線在這條線上方（含線上）的部分。

sin x = - \frac{1}{2}

的解是

x = \frac{7 π}{6}

、

\frac{11 π}{6}

。曲線從

x = 0

起一直在線的上方，到

x = \frac{7 π}{6}

碰到線後落到線的下方，到

x = \frac{11 π}{6}

才回到線上，之後到

2 π

都在線的上方。所以

0 \leq x \leq \frac{7 π}{6}

或

\frac{11 π}{6} \leq x \leq 2 π

。

共兩段，最後那一小段（到

2 π

為止）容易漏掉；不等式有等號，端點都要包含。

第 15 題聲波函數

y = sin (ω x)

的週期是

\frac{2 π}{ω}

秒，頻率是週期的倒數

\frac{ω}{2 π}

，所以頻率與

ω

成正比。C4 是

k = 0

：

ω_{1} = 440 π \times 2^{\frac{3}{12}}

；F4 是

k = 5

：

ω_{2} = 440 π \times 2^{\frac{8}{12}}

。

\frac{f _{2}}{f _{1}} = \frac{ω _{2}}{ω _{1}} = 2^{\frac{8}{12} - \frac{3}{12}} = 2^{\frac{5}{12}} = 12 2^{5} = 1232

。

每往上一個半音，頻率乘以

2^{\frac{1}{12}}

；往上

5

個半音就乘以

2^{\frac{5}{12}}

，約

1.335

倍。

圓心角相同的兩個扇形相減，用

\frac{1}{2} θ (R^{2} - r^{2})

；解正弦不等式先解等式，再看圖形在水平線的哪一側。

05填充第 14～16 題（第 16～18 題）：由最高點定平移量、內切圓、交點個數

第 16 題

sin (x + a)

的最大值是

1

，所以圖形的最高點高度是

1 + b

。圖中最高點是

(\frac{3 π}{4}, 3)

，所以

1 + b = 3

，

b = 2

。最高點出現在裡面的角等於

\frac{π}{2}

加上整數圈的時候：

\frac{3 π}{4} + a = \frac{π}{2} + 2 k π

（

k

為整數），

a = - \frac{π}{4} + 2 k π

。要

0 < a \leq 2 π

，取

k = 1

，

a = \frac{7 π}{4}

。所以

(a, b) = (\frac{7 π}{4}, 2)

。

a = - \frac{π}{4}

也畫得出同一個圖形，但不在題目指定的範圍內，要加一圈

2 π

。

第 17 題設內切圓的圓心為

Q

。圓與兩條半徑

\overline{O A}

、

\overline{O B}

都相切，所以

Q

在圓心角的平分線上，

\overline{O Q}

與

\overline{O A}

的夾角是

\frac{π}{6}

，而

Q

到

\overline{O A}

的距離是半徑

3

。在這個直角三角形中

sin \frac{π}{6} = \frac{3}{O Q}

，得

\overline{O Q} = 6

。圓又與弧

A B

相切，切點在

\overline{O Q}

的延長線上，所以扇形的半徑

= \overline{O Q} + 3 = 9

。扇形面積

= \frac{1}{2} \times 9^{2} \times \frac{π}{3} = \frac{27 π}{2}

。

扇形的半徑不是圓的直徑

6

；圓心到

O

的距離已經是

6

，還要再加上圓的半徑。

第 18 題

- 6 \leq 6 sin x \leq 6

，所以交點的

x

坐標一定在

- 6

與

6

之間。

x = 0

時兩個圖形都通過原點，是一個交點。在

0 < x \leq π

：

x = \frac{π}{2}

時曲線的高度是

6

、直線才約

1.57

，曲線在上方；

x = π

時曲線的高度是

0

、直線約

3.14

，曲線在下方，所以中間交

1

點（這一段曲線是向上凸的拱形，與過原點的直線除原點外只會再交一次）。在

π < x < 2 π

：

sin x < 0

而直線的高度是正的，沒有交點。

x \geq 2 π \approx 6.28

時直線的高度已經超過

6

，也沒有交點。所以

x > 0

有

1

個交點。兩個圖形都對稱於原點，

x < 0

也有

1

個。合計

3

個。

關鍵是

2 π > 6

：第二個拱形還沒開始，直線就已經高過曲線的最大值

6

了。

方程式一邊是正弦、一邊是直線時，畫兩個圖形數交點；先用正弦值的範圍把

x

的範圍框出來。

06填充第 17、18 題（第 19、20 題）：扇形捲成圓錐、摩天輪的高度

第 19 題扇形的弧長

= 13 \times \frac{10 π}{13} = 10 π

。黏成圓錐後，這段弧變成底面的圓周：

2 π r = 10 π

，底面半徑

r = 5

。扇形的半徑

13

變成圓錐的斜高。高、底面半徑、斜高構成直角三角形，高

= 1 3^{2} - 5^{2} = 144 = 12

。

扇形的半徑是斜高，不是圓錐的高。

第 20 題由表格，高度最高

17

、最低

1

。取

a > 0

：最大值

a + k = 17

、最小值

- a + k = 1

，解得

a = 8

、

k = 9

。高度每

20

分鐘重複一次（

t = 0

與

t = 20

都在最低點），週期是

20

；取

b > 0

：

\frac{2 π}{b} = 20

，

b = \frac{π}{10}

。

y = 8 sin (b (t - h)) + 9

在

t = h

時高度是

9

而且接著上升；表格中

t = 5

時高度是

9

、之後升到

17

，所以取

h = 5

。得

(a, b, h, k) = (8, \frac{π}{10}, 5, 9)

。

檢查：

t = 0

時

8 sin (- \frac{π}{2}) + 9 = 1

，

t = 10

時

8 sin \frac{π}{2} + 9 = 17

，與表格相符。題目沒有限制

a

、

b

、

h

的範圍，所以

h

加上

20

的整數倍（例如

h = 25

），或取

a = - 8

配

h = 15

，也都符合表格；學校公布的答案是這裡寫的這一組。

週期性的模型先讀最大值與最小值求出振幅和上下平移量，再由週期求

b

，最後看圖形在哪裡由中間高度往上升來定平移量。

07多重選擇第 1、2 題（第 21、22 題）：正弦值的範圍、正弦型函數的圖形

第 21 題答案 (D)(E)。

\frac{3}{2} \approx 0.866

，要檢查每個角的正弦值是否在

- 0.5

與

0.866

之間。 (A) 錯誤。

sin \frac{π}{2} = 1

，比

\frac{3}{2}

大。 (B) 錯誤。

sin (- \frac{π}{4}) = - \frac{2}{2} \approx - 0.707

，比

- \frac{1}{2}

小。 (C) 錯誤。

\frac{17 π}{3} = 6 π - \frac{π}{3}

，與

- \frac{π}{3}

是同界角，正弦值是

- \frac{3}{2} \approx - 0.866

，比

- \frac{1}{2}

小。 (D) 正確。

\frac{1}{2}

弳在

0

與

\frac{π}{6} \approx 0.524

之間，正弦值在

0

與

\frac{1}{2}

之間，在範圍內。 (E) 正確。

- 3

弳在

- π \approx - 3.14

與

- \frac{5 π}{6} \approx - 2.62

之間，是第三象限角，而且離

- π

比

- \frac{5 π}{6}

還近；角由

- π

變到

- \frac{5 π}{6}

時，正弦值由

0

降到

- \frac{1}{2}

，所以

sin (- 3)

在

- \frac{1}{2}

與

0

之間，在範圍內。

(D)、(E) 沒有

π

也沒有度的記號，都是弳。兩個值約為

sin \frac{1}{2} \approx 0.479

、

sin (- 3) \approx - 0.141

。

第 22 題學校公布的答案是 (A)(B)(D)；本站逐項計算的結果是 (A)(B)，差別在選項 (D)。 (A) 正確。

sin 3 x

前面的係數是

2

，振幅是

2

。 (B) 正確。

- 1 \leq sin 3 x \leq 1

，所以

- 2 \leq 2 sin 3 x \leq 2

，

- 1 \leq f (x) \leq 3

。 (C) 錯誤。

x

的係數是

3

，週期是

\frac{2 π}{3}

，不是

6 π

。 (D) 錯誤。（學校公布的答案把這一項算作正確。）

y = sin 3 x

的圖形最高到

1

、最低到

- 1

，上下相差

2

；

f (x)

的圖形最高到

3

、最低到

- 1

，上下相差

4

。平移只會搬動圖形，不會改變它的高低差，所以

y = sin 3 x

平移之後不可能與

f (x)

的圖形重合；要先把

y = sin 3 x

上下伸縮成

2

倍得到

y = 2 sin 3 x

，再向上平移

1

單位才行。依本站的計算這一項不成立。 (E) 錯誤。

9 π = 8 π + π

，繞整數圈不改變正弦值，所以

sin (3 x + 9 π) = sin (3 x + π)

；角度加

π

後終邊轉到正對面，正弦值變號，

sin (3 x + π) = - sin 3 x

。因此

g (x) = 1 - 2 sin 3 x

，例如

x = \frac{π}{6}

時

f = 3

、

g = - 1

，兩個圖形不重合。

(E) 也可以這樣看：

g (x) = f (x + 3 π)

，是把

f

的圖形向左平移

3 π

；

3 π

是週期

\frac{2 π}{3}

的

4.5

倍，不是整數倍，所以不會重合。若 (D) 寫的是

y = 2 sin 3 x

，那一項就成立。

寫在

x

旁邊的數管週期與左右平移，寫在

sin

前面的數管振幅，外面加的常數管上下平移；平移不會改變振幅。

08混合題第 1、2 題（第 23、24 題）：棒球場內野區的圓心角與面積

第 23 題答案 (D)。

O A B C

是正方形，

P

在本壘

O

與二壘

B

的連線（對角線）上，

D

在一壘方向的邊線

O A

的延長線上，所以

∠ P O D = \frac{π}{4}

。三角形

O P D

的內角和是

π

：

∠ O P D = π - \frac{π}{4} - \frac{π}{6} = \frac{7 π}{12}

。球場左右對稱，

∠ O P F

也是

\frac{7 π}{12}

。內野區扇形的圓心角是繞

P

一圈扣掉這兩個角：

∠ D P F = 2 π - 2 \times \frac{7 π}{12} = \frac{5 π}{6}

。

學校公布的答案寫「D（送分）」。題目同時給了

\overline{P O} = 60

、

\overline{P D} = 95

、

∠ P O D = \frac{π}{4}

與

∠ O D P = \frac{π}{6}

，這些條件彼此不相容：照正弦定理，

\frac{60}{sin ( π /6 )} = 120

而

\frac{95}{sin ( π /4 )} \approx 134.35

，兩者應該相等卻不相等。只用長度來算，

∠ O D P

約

26. 5^{\circ}

而不是

3 0^{\circ}

，圓心角約

14 3^{\circ}

，不在選項裡。上面的解法照題目給的角度計算。

第 24 題內野區

O D E F

可以分成三塊：扇形

P D F

（弧通過

E

）、三角形

O P D

、三角形

O P F

。扇形的半徑是

95

、圓心角是上一小題的

\frac{5 π}{6}

，面積

= \frac{1}{2} \times 9 5^{2} \times \frac{5 π}{6} = \frac{45125 π}{12}

。三角形

O P D

的兩邊

\overline{P O} = 60

、

\overline{P D} = 95

，夾角

∠ O P D = \frac{7 π}{12}

，面積

= \frac{1}{2} \times 60 \times 95 \times sin \frac{7 π}{12} = 2850 \times \frac{6 + 2}{4}

。三角形

O P F

與它全等，兩個合計

5700 \times \frac{6 + 2}{4} = 1425 (6 + 2)

。內野區面積

= \frac{45125 π}{12} + 14256 + 14252

（平方英尺）。

學校公布的答案列的算式與這裡相同（兩個三角形是

2 \times \frac{1}{2} \times 60 \times 95 \times \frac{6 + 2}{4}

），但最後一行印作

1356 + 1352 + \frac{45125 π}{12}

；

60 \times 95 \div 4 = 1425

，

135

應是乘開時的筆誤。答案約

17319

平方英尺。又因為上一小題提到的數據不相容，若改用別的邊角組合來算三角形，會得到不同的數值；這裡照題目的提示用

sin \frac{7 π}{12}

。

不規則的區域先切成扇形與三角形；知道兩邊與夾角的三角形，面積是兩邊相乘再乘夾角的正弦值的一半。

同一次段考的其他學校

同樣是高二第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

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臺東高中 114 上高二第一次段考數學哪幾題最容易錯？

第 12 題要把下午四點到五點換成從凌晨起算的第十六到十七小時，再找函數值最低的時刻；第 16 題的平移量要落在題目指定的範圍內，不能直接寫負的；第 17 題要先由內切圓求出扇形的半徑；第 18 題的直線在第二個拱形開始之前就已經高過六，交點只有三個；第 22 題的選項 (E) 多加的角度不是整數個週期，圖形會上下顛倒。詳解逐題寫在本頁。

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題目取自臺東高中 114 學年度上學期高二第一次段考數學B，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

臺東高中 114 上高二第一次段考數學試題、答案與詳解

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01填充第 1～3 題（第 1～5 題）：度與弳互換、扇形、特殊角

02填充第 4～7 題（第 6～9 題）：弓形面積、象限、三角函數值、時鐘夾角

03填充第 8～10 題（第 10～12 題）：振幅與週期、平移量、乾潮的時刻

04填充第 11～13 題（第 13～15 題）：車庫的面積、正弦不等式、頻率比

05填充第 14～16 題（第 16～18 題）：由最高點定平移量、內切圓、交點個數

06填充第 17、18 題（第 19、20 題）：扇形捲成圓錐、摩天輪的高度

07多重選擇第 1、2 題（第 21、22 題）：正弦值的範圍、正弦型函數的圖形

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高二第一次段考
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