段考詳解範圍：指數與對數函數（對數的定義與對數律、換底公式、指數與對數函數的圖形、首數與尾數、指對數方程式與不等式）

師大附中 114 上
高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

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01 · 試題

原卷 16 題，照原卷順序

單選題 4 題（20 分）、多選題 3 題（24 分）、填充題 8 題（48 分）、第四大題 1 題（8 分）

一、單選題（占 20 分）說明：第 1 題至第 4 題，每題 5 分。

下列選項何者為正確？

(1) $5^{- l o g_{5} 3} = - 3$
(2) $lo g_{(- 3)} 9 = 2$
(3) $lo g (1 - 3)^{2} = 2 lo g (1 - 3)$
(4) $(lo g_{2} 3)^{5} = 5 lo g_{2} 3$
(5) $lo g_{3} 5 = \frac{1}{lo g _{5} 3}$

下列哪一個方程式恰有兩實根？

(1) $2^{x} = x^{2}$
(2) $lo g_{2} ∣ x ∣ = x - 1$
(3) $∣ lo g_{2} x ∣ = x - 2$
(4) $(\frac{1}{2})^{∣ x ∣} = \frac{1}{10}$
(5) $lo g_{2} x = - 2^{x}$

指數方程式

2^{1 0^{x}} = 1 0^{6}

的解

x

最接近下列哪一個選項？

(1) $1.3$
(2) $1.4$
(3) $1.5$
(4) $1.6$
(5) $1.7$

設

a = lo g_{\frac{1}{2}} 3

，

b = lo g_{\frac{1}{3}} \frac{1}{2}

，

c = lo g_{\frac{1}{3}} 2

，

d = lo g_{\frac{1}{2}} \frac{1}{3}

，則

a

，

b

，

c

，

d

之大小順序為何？

(1) $b > d > c > a$
(2) $d > b > c > a$
(3) $b > d > a > c$
(4) $d > b > a > c$
(5) $d > c > b > a$

二、多選題（占 24 分）說明：第 5 題至第 7 題，每題 8 分。（8－5－3－0）

設

a

為大於

1

的實數，考慮函數

f (x) = a^{x}

與

g (x) = lo g_{a} x

，則下列哪些敘述正確？

(1) 函數 $y = f (x + 2)$ 與 $y = g (x) - 2$ 對稱於 $x - y = 0$
(2) $y = g (x)$ 與任何一條鉛直線 $x = k$ 都會有一個交點
(3) $\frac{g ( 2024 ) + g ( 2026 )}{2} > g (2025)$
(4) $\frac{f ( 2026 ) - f ( 2024 )}{2026 - 2024} > \frac{f ( 24 ) - f ( 20 )}{24 - 20}$
(5) 若直線 $y = 3 x$ 與 $y = f (x)$ 的圖形有兩個交點，則直線 $y = - 3 x$ 與 $y = g (x)$ 的圖形也有兩個交點

已知

x > 0

，

y > 0

，

a > 0

且

a \neq = 1

，則下列哪些敘述正確？

(1) 若 $lo g x = 15.7$ ，則 $x$ 為 $15$ 位數
(2) 若 $lo g x = - 15.7$ ，則 $x$ 小數點後第 $16$ 位不為 $0$
(3) 已知 $lo g 20.3 \approx 1.3075$ ，若 $lo g x = - 3.6925$ ，則 $x = 0.00203$
(4) 若 $lo g_{a} x$ 與 $lo g_{a} y$ 之尾數相同，則存在整數 $k$ 使得 $y = x \cdot a^{k}$
(5) 若 $lo g_{a} x$ 的尾數不為 $0$ ，則 $lo g_{a} x$ 的尾數與 $lo g_{a} \frac{1}{x}$ 的尾數和為 $0$

自然常數

e = 2.718 \dots\dots

為一個定值。已知

a = e^{\frac{1}{e}}

，且

y = a^{x}

與

y = lo g_{a} x

的函數圖形恰有一個交點。則下列哪些敘述正確？

(1) $0 < a < 1$
(2) $(e, e)$ 為其交點
(3) 對於任意實數 $x > 0$ ，不等式 $a^{x} \geq lo g_{a} x$ 一定恆成立
(4) $y = a^{x}$ 與 $y = lo g_{a} x$ 會有兩個交點
(5) 當 $b > e^{\frac{1}{e}}$ 時， $y = b^{x}$ 與 $y = lo g_{b} x$ 有可能不只有一個交點

三、填充題（占 48 分）說明：第 8 題至第 15 題，每題 6 分。

化簡：

lo g 10310 - (3^{l o g_{7} 2})^{l o g_{3} 7} + lo g_{2} 3 \frac{1}{16} =

____。

已知

x = lo g_{2} 3

，則

8^{x} + 2^{- x} =

____。

若

\frac{1}{2} \leq x \leq 4

，則

f (x) = 16 x^{(1 + l o g_{2} x)}

最大值為 ____。

設

a = lo g_{2} 5

，

b = lo g_{3} 2

，則

2^{a + \frac{3}{b} + 1} =

____。

若芮氏規模

M

是以地震儀測得地震的波幅，

E

是地震所釋放出的能量，而

M

與

E

之關係為

M = lo g_{32} \frac{E}{a}

，其中

a

為常數。1999 年台灣 921 大地震發生芮氏規模

7.3

的地震，2008 年 5 月 12 日四川的汶川發生芮氏規模

8.0

的地震，兩次地震皆傷亡慘重。試問汶川地震釋放出的能量是台灣 921 地震釋出能量的 ____ 倍。〔原卷的作答格為「一位數的□.□次方」的形式〕

若

lo g 2 = a

，

lo g 3 = b

，請利用

a

與

b

來表示

lo g 180 =

____

+

____

a +

____

b

。

lo g \frac{4}{5} - \frac{5}{2} lo g 516 - 2 lo g 2 =

____。

滿足

- 1 \leq lo g_{\frac{1}{3}} (lo g_{3} x) < 0

的整數有 ____ 個。

四、填充題（占 8 分）說明：第 16 題，每題 8 分。

解對數不等式

lo g_{(x + 1)} (- x^{2} + 2 x + 3) > 2

得

x

的範圍為何？

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(5)

第 2 題(4)

第 3 題(1)

第 4 題(2)

第 5 題(1)(4)

第 6 題(2)(4)

第 7 題(2)(3)

第 8 題

- 2

第 9 題

\frac{82}{3}

第 10 題

1024

第 11 題

270

第 12 題

2^{3.5}

第 13 題

1 + a + 2 b

（三格依序為

1

、

1

、

2

）

第 14 題

- 1

第 15 題

24

第 16 題

0 < x < 1

03 · 勾錯題號

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選題 1～4：對數的定義、實根個數、估算、比大小

第 1 題答案 (5)。(1) 錯：

5^{- l o g_{5} 3} = (5^{l o g_{5} 3})^{- 1} = 3^{- 1} = \frac{1}{3}

；正數的任何次方都是正數，不會是

- 3

。(2) 錯：對數的底數必須是不等於

1

的正數，

lo g_{(- 3)} 9

沒有意義。(3) 錯：左邊的真數

(1 - 3)^{2} > 0

，有意義；但

1 - 3 < 0

，右邊的

lo g (1 - 3)

沒有意義。(4) 錯：對數律是

lo g_{2} 3^{5} = 5 lo g_{2} 3

，

(lo g_{2} 3)^{5}

是整個對數的

5

次方。令

t = lo g_{2} 3

，因為

2^{\frac{3}{2}} = 22 < 3

，所以

t > \frac{3}{2}

，

t^{4} > \frac{81}{16} > 5

，

t^{5} > 5 t

，兩邊不相等。(5) 對：換底公式

lo g_{3} 5 = \frac{lo g 5}{lo g 3}

，

lo g_{5} 3 = \frac{lo g 3}{lo g 5}

，兩者互為倒數。

(3) 正確的寫法是

lo g (1 - 3)^{2} = 2 lo g 1 - 3 = 2 lo g (3 - 1)

。

第 2 題答案 (4)。(1)

x = 2

、

x = 4

都是根；另外

x = - 1

時

2^{x} = \frac{1}{2} < 1 = x^{2}

，

x = 0

時

2^{x} = 1 > 0 = x^{2}

，所以

- 1

與

0

之間還有一個根，至少三個實根。(2)

x > 0

時為

lo g_{2} x = x - 1

，

x = 1

、

x = 2

都是根；

x < 0

時為

lo g_{2} (- x) = x - 1

，

x = - \frac{1}{2}

時左邊

- 1 >

右邊

- \frac{3}{2}

，

x = - \frac{1}{4}

時左邊

- 2 <

右邊

- \frac{5}{4}

，中間還有一個根，至少三個實根。(3) 左邊

\geq 0

，所以

x \geq 2

，此時方程式是

lo g_{2} x = x - 2

。

y = lo g_{2} x

的圖形凹口向下，和直線

y = x - 2

至多交於兩點：一個在

\frac{1}{4}

與

\frac{1}{2}

之間（不合

x \geq 2

），另一個是

x = 4

。只有一個實根。(4)

2^{∣ x ∣} = 10

，

∣ x ∣ = lo g_{2} 10

，

x = \pm lo g_{2} 10

，恰兩個實根。(5)

x > 0

時

y = lo g_{2} x

遞增、

y = - 2^{x}

遞減，圖形只交於一點，一個實根。

(1)、(2) 最容易漏掉負的那個根；(3) 最容易忘記右邊

x - 2

必須不小於

0

。

第 3 題答案 (1)。兩邊取常用對數：

1 0^{x} \cdot lo g 2 = 6

，

1 0^{x} = \frac{6}{lo g 2} \approx \frac{6}{0.3010} \approx 19.93

。再取一次常用對數：

x = lo g 19.93

，比

lo g 20 = 1 + lo g 2 \approx 1.3010

小一點點，所以

x \approx 1.30

，最接近

1.3

。

不查表也能估：

2^{10} = 1024 \approx 1 0^{3}

，所以

2^{20} \approx 1 0^{6}

，即

1 0^{x} \approx 20

；同一個式子也說明

lo g 2 \approx 0.3

，

x \approx 1 + 0.3 = 1.3

。

第 4 題答案 (2)。全部換成底數大於

1

：

a = lo g_{\frac{1}{2}} 3 = - lo g_{2} 3

，

d = lo g_{\frac{1}{2}} \frac{1}{3} = lo g_{2} 3

，

b = lo g_{\frac{1}{3}} \frac{1}{2} = lo g_{3} 2

，

c = lo g_{\frac{1}{3}} 2 = - lo g_{3} 2

。因為

lo g_{2} 3 > lo g_{2} 2 = 1

，

0 < lo g_{3} 2 < lo g_{3} 3 = 1

，所以

d > 1 > b > 0 > c > - 1 > a

，即

d > b > c > a

。

lo g_{\frac{1}{p}} q = - lo g_{p} q

：底數換成倒數，對數值變號；真數換成倒數也是變號，兩個都換就不變。

對數式先檢查有沒有意義（底數為正且不等於

1

、真數為正），再套對數律；數實根個數時正的、負的範圍要分開看。

02多選題 5～7：圖形的性質、首數與尾數、恰有一個交點

第 5 題答案 (1)(4)。(1) 對：

y = f (x + 2) = a^{x + 2}

，把

x

、

y

對調得

x = a^{y + 2}

，即

y + 2 = lo g_{a} x

，

y = g (x) - 2

；兩圖形對稱於直線

y = x

。(2) 錯：

g (x)

的定義域是

x > 0

，

k \leq 0

時鉛直線

x = k

和圖形沒有交點。(3) 錯：左邊

= \frac{1}{2} lo g_{a} (2024 \times 2026) = lo g_{a} 202 5^{2} - 1

，而

a > 1

時

lo g_{a} x

遞增，所以左邊

< lo g_{a} 2025 = g (2025)

。(4) 對：左邊

= \frac{a ^{2024} ( a ^{2} - 1 )}{2}

，右邊

= \frac{a ^{20} ( a ^{4} - 1 )}{4} = \frac{a ^{20} ( a ^{2} - 1 ) ( a ^{2} + 1 )}{4}

。同除以正數

\frac{a ^{20} ( a ^{2} - 1 )}{4}

後，是比較

2 a^{2004}

與

a^{2} + 1

；

a > 1

時

a^{2004} > a^{2} > 1

，所以

2 a^{2004} > a^{2} + 1

，左邊較大。(5) 錯：

y = - 3 x

遞減、

y = g (x)

遞增，兩圖形只會交於一點。

(3)、(4) 從圖形看：

a > 1

時

y = lo g_{a} x

凹口向下，兩點連線的中點在圖形下方；

y = a^{x}

凹口向上，愈往右割線愈陡。

第 6 題答案 (2)(4)。(1) 錯：

lo g x = 15.7

，首數是

15

，

1 0^{15} < x < 1 0^{16}

，

x

的整數部分是

16

位數。(2) 對：

lo g x = - 15.7 = - 16 + 0.3

，首數是

- 16

，

x = 1 0^{0.3} \times 1 0^{- 16}

，其中

1 < 1 0^{0.3} < 10

，所以

x

在小數點後第

16

位開始出現不為

0

的數字。(3) 錯：

- 3.6925 = - 4 + 0.3075

，而

lo g 2.03 = lo g 20.3 - 1 \approx 0.3075

，所以

x \approx 2.03 \times 1 0^{- 4} = 0.000203

。(4) 對：尾數相同，表示

lo g_{a} y - lo g_{a} x

是整數

k

，即

lo g_{a} \frac{y}{x} = k

，

y = x \cdot a^{k}

。(5) 錯：設

lo g_{a} x = n + α

（

n

為整數，

0 < α < 1

），則

lo g_{a} \frac{1}{x} = - n - α = (- n - 1) + (1 - α)

，尾數是

1 - α

，兩個尾數的和是

1

。

負的對數要先寫成「整數＋介於

0

與

1

之間的數」才看得出首數與尾數：

- 15.7

的首數是

- 16

、尾數是

0.3

，不是

- 15

與

- 0.7

。

第 7 題答案 (2)(3)。(1) 錯：

\frac{1}{e} > 0

，所以

a = e^{\frac{1}{e}} > e^{0} = 1

。(2) 對：

a^{e} = (e^{\frac{1}{e}})^{e} = e

，所以

(e, e)

在

y = a^{x}

上；又

a^{e} = e

就是

lo g_{a} e = e

，所以它也在

y = lo g_{a} x

上。(4) 錯：題目已知恰有一個交點，就是

(e, e)

。(3) 對：先看交點的位置。若

a^{x} = lo g_{a} x = y

，則

a^{x} = y

且

a^{y} = x

；

a > 1

時若

x < y

會得到

a^{x} < a^{y}

，即

y < x

，矛盾，

x > y

也一樣，所以交點一定在直線

y = x

上，

y = a^{x}

和直線

y = x

也只交於

(e, e)

一點。

x = 0

時

a^{0} = 1 > 0

，曲線在直線上方；

x

很大時也在上方（例如

x = e^{2}

時

a^{e^{2}} = e^{e} > e^{2}

）。如果曲線在某處跑到直線下方，它的左右兩側就各要穿過直線一次，會有兩個交點，矛盾。所以對所有實數

x

都有

a^{x} \geq x

；由對稱性，

x > 0

時

lo g_{a} x \leq x

。合起來

a^{x} \geq x \geq lo g_{a} x

。(5) 錯：

b > a > 1

，

x > 0

時

b^{x} > a^{x} \geq x

，

x \leq 0

時

b^{x} > 0 \geq x

，所以

y = b^{x}

和直線

y = x

沒有交點；而底數大於

1

時交點只會在

y = x

上，因此兩圖形沒有交點。

這題的

e

只當成一個大約

2.718

的常數使用，用到的都是指數律與圖形對稱於

y = x

。

y = a^{x}

、

y = x

、

y = lo g_{a} x

三個圖形在

(e, e)

相切。

y = a^{x}

與

y = lo g_{a} x

的圖形對稱於直線

y = x

；底數大於

1

時，兩者的交點一定落在

y = x

上，可以改成和直線

y = x

比較。

03填充 8～11：對數律、指對數互換、取對數求極值

第 8 題第一項：

10310 = 1 0^{\frac{4}{3}}

，

lo g 1 0^{\frac{4}{3}} = \frac{4}{3}

。第二項：

(3^{l o g_{7} 2})^{l o g_{3} 7} = 3^{l o g_{7} 2 \cdot l o g_{3} 7}

，而

lo g_{3} 7 \cdot lo g_{7} 2 = lo g_{3} 2

，所以是

3^{l o g_{3} 2} = 2

。第三項：

3 \frac{1}{16} = 2^{- \frac{4}{3}}

，

lo g_{2} 2^{- \frac{4}{3}} = - \frac{4}{3}

。原式

= \frac{4}{3} - 2 - \frac{4}{3} = - 2

。

第 9 題

x = lo g_{2} 3

就是

2^{x} = 3

。

8^{x} = (2^{x})^{3} = 27

，

2^{- x} = \frac{1}{2 ^{x}} = \frac{1}{3}

，所以

8^{x} + 2^{- x} = 27 + \frac{1}{3} = \frac{82}{3}

。

第 10 題

f (x) > 0

，取以

2

為底的對數：

lo g_{2} f (x) = lo g_{2} 16 + (1 + lo g_{2} x) lo g_{2} x

。令

t = lo g_{2} x

，由

\frac{1}{2} \leq x \leq 4

得

- 1 \leq t \leq 2

，

lo g_{2} f (x) = t^{2} + t + 4 = (t + \frac{1}{2})^{2} + \frac{15}{4}

。開口向上，離

t = - \frac{1}{2}

較遠的端點是

t = 2

，此時值為

4 + 2 + 4 = 10

。

lo g_{2} f (x)

最大為

10

，所以

f (x)

的最大值是

2^{10} = 1024

（

x = 4

時）。

另一端

t = - 1

（

x = \frac{1}{2}

）時

lo g_{2} f (x) = 4

，

f = 16

；最小值在

t = - \frac{1}{2}

。

第 11 題

\frac{1}{b} = \frac{1}{lo g _{3} 2} = lo g_{2} 3

，所以

\frac{3}{b} = 3 lo g_{2} 3 = lo g_{2} 27

。

2^{a + \frac{3}{b} + 1} = 2^{l o g_{2} 5} \cdot 2^{l o g_{2} 27} \cdot 2^{1} = 5 \times 27 \times 2 = 270

。

看到指數上有對數，先把底數湊成一樣，用

a^{l o g_{a} M} = M

把它拿掉。

04填充 12～15：對數尺度、用 a、b 表示、化簡、兩層不等式

第 12 題

M = lo g_{32} \frac{E}{a}

就是

\frac{E}{a} = 3 2^{M}

，

E = a \cdot 3 2^{M}

。設 921 地震與汶川地震的能量分別為

E_{1}

、

E_{2}

，則

\frac{E _{2}}{E _{1}} = \frac{a \cdot 3 2 ^{8.0}}{a \cdot 3 2 ^{7.3}} = 3 2^{0.7} = (2^{5})^{0.7} = 2^{3.5}

。

2^{3.5} = 82 \approx 11.3

倍；規模只差

0.7

，能量差了十一倍多。

第 13 題

180 = 10 \times 2 \times 3^{2}

，所以

lo g 180 = lo g 10 + lo g 2 + 2 lo g 3 = 1 + a + 2 b

。三格依序填

1

、

1

、

2

。

第 14 題

516 = 2^{\frac{4}{5}}

，

\frac{5}{2} lo g 2^{\frac{4}{5}} = \frac{5}{2} \cdot \frac{4}{5} lo g 2 = 2 lo g 2

；

2 lo g 2 = lo g 2

。原式

= lo g \frac{4}{5} - 2 lo g 2 - lo g 2 = lo g \frac{4}{5} - lo g 8 = lo g \frac{1}{10} = - 1

。

第 15 題令

u = lo g_{3} x

。把

- 1

、

0

寫成以

\frac{1}{3}

為底的對數：

lo g_{\frac{1}{3}} 3 \leq lo g_{\frac{1}{3}} u < lo g_{\frac{1}{3}} 1

。底數

\frac{1}{3} < 1

，不等號反向：

1 < u \leq 3

（此時真數

u > 0

自動成立）。即

1 < lo g_{3} x \leq 3

，底數

3 > 1

，得

3 < x \leq 27

。整數

x = 4, 5, \dots, 27

，共

27 - 4 + 1 = 24

個。

兩端的等號要跟著走：

x = 27

時

lo g_{\frac{1}{3}} 3 = - 1

可以取；

x = 3

時

lo g_{\frac{1}{3}} 1 = 0

不可以取。

05第 16 題：底數含未知數的對數不等式

第 16 題先寫有意義的條件。底數：

x + 1 > 0

且

x + 1 \neq = 1

，即

x > - 1

且

x \neq = 0

。真數：

- x^{2} + 2 x + 3 > 0

，

(x - 3) (x + 1) < 0

，

- 1 < x < 3

。所以

- 1 < x < 3

且

x \neq = 0

。把

2

寫成

lo g_{(x + 1)} (x + 1)^{2}

，依底數分兩種情形。情形一

x + 1 > 1

（即

0 < x < 3

）：不等號不變，

- x^{2} + 2 x + 3 > (x + 1)^{2} = x^{2} + 2 x + 1

，

2 x^{2} < 2

，

- 1 < x < 1

；取交集得

0 < x < 1

。情形二

0 < x + 1 < 1

（即

- 1 < x < 0

）：不等號反向，

- x^{2} + 2 x + 3 < x^{2} + 2 x + 1

，

x^{2} > 1

，

x > 1

或

x < - 1

；和

- 1 < x < 0

沒有交集。故

0 < x < 1

。

底數含未知數時，不知道它比

1

大還是小，一定要分兩種情形；只做情形一而沒有先寫

x > 0

的人會誤答

- 1 < x < 1

。

對數不等式三步：先寫底數與真數的條件，再把兩邊化成同底，最後看底數決定不等號的方向並和條件取交集。

同一次段考的其他學校

同樣是高二第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

你們學校的段考卷也想要詳解？

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常見問題

師大附中 114 上高二第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 16 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

師大附中 114 上高二第一次段考數學哪幾題最容易錯？

第 2 題數實根個數時容易漏掉負的那個根、第 6 題負的對數首數要再往下取一、第 7 題要把兩個圖形的交點改成和直線 y＝x 比較，以及第 16 題底數含未知數必須分大於 1 與介於 0、1 之間兩種情形。詳解逐題寫在本頁。

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

題目取自師大附中 114 學年度上學期高二第一次段考數學A，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

師大附中 114 上高二第一次段考數學試題、答案與詳解

原卷 16 題，照原卷順序

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每一題，錯在哪一步

01單選題 1～4：對數的定義、實根個數、估算、比大小

02多選題 5～7：圖形的性質、首數與尾數、恰有一個交點

03填充 8～11：對數律、指對數互換、取對數求極值

04填充 12～15：對數尺度、用 a、b 表示、化簡、兩層不等式

05第 16 題：底數含未知數的對數不等式

同一次段考的其他學校

你們學校的段考卷也想要詳解？

常見問題

師大附中 114 上 高二第一次段考數學的答案在哪裡？

師大附中 114 上 高二第一次段考數學哪幾題最容易錯？

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

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師大附中 114 上
高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

師大附中 114 上高二第一次段考數學的答案在哪裡？

師大附中 114 上高二第一次段考數學哪幾題最容易錯？