段考詳解範圍：三角函數（弧度量、三角函數的圖形與週期、和差角、倍角與半角、正餘弦的疊合）

板橋高中 114 上
高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

Q: 板橋高中 114 上 高二第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 15 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

Q: 板橋高中 114 上 高二第一次段考數學哪幾題最容易錯？

第 2 題的 54 與 55 沒有度的符號是弧度、第 8 題疊合後的 r 可以是負數而且最大值要看絕對值、第 14 題限制範圍後取不到 5，以及第 15 題要把正弦定理和和角公式接起來。詳解逐題寫在本頁。

Q: 我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

Q: 這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

原卷 15 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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題原卷全文

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01 · 試題

原卷 15 題，照原卷順序

單選題 4 題（24 分）、多選題 5 題（40 分）、填充題 6 題（36 分）

一、單選題（占 24 分）說明：第 1 題至第 4 題，每題 6 分。

下列何者之值最大？

(1) $sin 1$
(2) $sin 2$
(3) $sin 3$
(4) $sin 7$
(5) $sin 8$

求

sin 54 cos 55 - cos 54 sin 55

之值最接近哪個數值？

(1) $0$
(2) $- \frac{3}{2}$
(3) $- \frac{1}{2}$
(4) $\frac{1}{2}$
(5) $\frac{3}{2}$

若

0 \leq x < π

，則滿足

3 sin 2 x = 2 sin x

，有多少個實數解？

(1) $1$
(2) $2$
(3) $3$
(4) $4$
(5) $5$

若

5 sin x - 6 cos x = 61 sin (x + θ)

，則

tan θ

之值為何？

(1) $\frac{5}{6}$
(2) $- \frac{5}{6}$
(3) $\frac{6}{5}$
(4) $- \frac{6}{5}$
(5) $- 1$

二、多選題（占 40 分）說明：第 5 題至第 9 題，每題 8 分。（8−5−2−0）

下列函數何者週期為

π

？

(1) $y = sin x cos x$
(2) $y = 1 - sin^{2} x$
(3) $y = 1 - 2 sin^{2} x$
(4) $y = tan x$
(5) $y = 3 sin x + 4 cos x$

下列何者正確？

(1) $π = 180$
(2) 若 $0 \leq θ \leq \frac{π}{2}$ ，則 $sin θ \leq θ$
(3) $sin 1 = sin 57. 2^{\circ}$
(4) 若 $sin 2 x = sin 2 y$ 且 $0 < x < \frac{π}{2}$ ， $0 < y < \frac{π}{2}$ ，則 $x = y$
(5) 若 $cos 2 x = cos 2 y$ 且 $0 < x < \frac{π}{2}$ ， $0 < y < \frac{π}{2}$ ，則 $x = y$

下列敘述何者正確？

(1) 將 $y = sin x$ 向右平移 $\frac{π}{6}$ 得到 $y = sin (x + \frac{π}{6})$
(2) 將 $y = sin 3 x$ 向右平移 $\frac{π}{6}$ 得到 $y = sin (3 x - \frac{π}{6})$
(3) 將 $y = tan (2 x - \frac{π}{6})$ 向左平移 $\frac{π}{12}$ 得到 $y = tan 2 x$
(4) 將 $y = sin x$ 以 $x$ 軸為基準鉛直伸長 $3$ 倍得到 $\frac{y}{3} = sin x$
(5) 將 $y = sin x + 1$ 以 $x$ 軸為基準鉛直伸長 $3$ 倍得到 $y = 3 sin x + 1$

設

y = 3 a sin x + 4 b cos x = r sin (x + θ)

，

x

為實數，則下列敘述何者正確？

(1) 若 $a = 1$ 且 $b = 1$ ，則 $r = 5$
(2) 若 $a$ ， $b$ 皆為正數，則 $θ$ 銳角
(3) 若 $a = b = 2024$ ，則 $y$ 的最大值為 $10120$
(4) 若 $a \leq 3$ ， $b \leq 3$ ，則 $y$ 最大值為 $15$
(5) 若 $(a, b)$ 在以原點為圓心半徑為 $1$ 的圓上，則 $y$ 最大值為 $4$

下列哪些方程式有實數解？

(1) $3 sin x + 4 cos x = π$
(2) $∣3 - cos x ∣ + ∣2 sin x - 6∣ = 7$
(3) $sin x + \frac{4}{sin x} = 4$
(4) $(4 sin x + cos x)^{2} + (4 sin x + cos x) - 30 = 0$
(5) $(cos x - 3)^{2} + (sin x - 4)^{2} = 3 π$

三、填充題（占 36 分）說明：第 10 題至第 15 題，每題 6 分。

如圖，直圓錐中，底圓直徑

\overline{B C} = 12

，

\overline{A B} = 18

，

D

是

\overline{A C}

邊上一點，且

\overline{A D} = 6

。今有一螞蟻從

C

點繞曲面一周到達

D

點，則此螞蟻所爬行的最短距離為 ____。

載入中...

直角三角形

A B C

中

∠ C

為直角，

\overline{B C} = 10

，

\overline{A C} = 3

，若

D

在

\overline{B C}

上且

\overline{C D} = 4

，求

tan ∠ B A D =

____。

若

\frac{π}{2} \leq x \leq \frac{7 π}{2}

，方程式

9 sin^{2} x - 1 = 0

，其所有解的總和為 ____

π

。

三角形

A B C

中，

\overline{A B} = \overline{A C}

，令

∠ B A C = θ

，

sin θ = \frac{3 7}{8}

，且

θ > \frac{π}{2}

，求

cos ∠ A B C =

____。

設

\frac{π}{2} \leq x \leq π

，函數

f (x) = 3 sin x + 4 sin (x + \frac{π}{2})

的最大值為何 ____。

在三角形

A B C

中，

\overline{B C} = 12

，

\overline{A C} = 4

，且

cos (A - B) = - \frac{1}{5}

，則

cos 2 B =

____。

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(5)

第 2 題(2)

第 3 題(2)

第 4 題(4)

第 5 題(1)(2)(3)(4)

第 6 題(2)(5)

第 7 題(3)(4)

第 8 題(3)(5)

第 9 題(1)(2)

第 10 題

613

第 11 題

\frac{18}{49}

第 12 題

12

（總和為

12 π

）

第 13 題

\frac{3}{4}

第 14 題

3

第 15 題

\frac{29}{35}

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

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還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選 1～4：弧度制比大小、差角、倍角、疊合

第 1 題答案 (5)。沒有寫「度」的角都是弧度。用

sin (π - t) = sin t

與週期

2 π

，把每個角換成

0

到

\frac{π}{2} \approx 1.571

之間、正弦值相同的角：

sin 2 = sin (π - 2) \approx sin 1.142

；

sin 3 = sin (π - 3) \approx sin 0.142

；

sin 7 = sin (7 - 2 π) \approx sin 0.717

；

sin 8 = sin (8 - 2 π) \approx sin 1.717 = sin (π - 1.717) \approx sin 1.425

。

sin

在

0

到

\frac{π}{2}

遞增，而

0.142 < 0.717 < 1 < 1.142 < 1.425

，所以

sin 8

最大。

也可以直接比「離

\frac{π}{2}

（或

\frac{5 π}{2} \approx 7.854

）多近」：

8

只差

0.146

，是五個角裡最近的。

第 2 題答案 (2)。由正弦的差角公式，原式

= sin (54 - 55) = sin (- 1) = - sin 1

。

1

弧度約

57. 3^{\circ}

，介於

4 5^{\circ}

與

6 0^{\circ}

之間，所以

sin 1

介於

\frac{2}{2} \approx 0.707

與

\frac{3}{2} \approx 0.866

之間；

\frac{1}{2}

與

\frac{3}{2}

的中點約

0.683

，

sin 1

比它大，所以離

\frac{3}{2}

較近。故

- sin 1

最接近

- \frac{3}{2}

。

題目的

54

、

55

沒有度的符號，是弧度；當成

sin (- 1^{\circ})

會誤選

0

。

第 3 題答案 (2)。用倍角公式

sin 2 x = 2 sin x cos x

：

6 sin x cos x = 2 sin x

，移項得

2 sin x (3 cos x - 1) = 0

，所以

sin x = 0

或

cos x = \frac{1}{3}

。在

0 \leq x < π

：

sin x = 0

只有

x = 0

（

x = π

不在範圍內）；

cos x

在這段由

1

遞減到

- 1

，

cos x = \frac{1}{3}

恰有一個解。共

2

個。

兩邊不可以直接約掉

sin x

，會漏掉

x = 0

。

第 4 題答案 (4)。右邊展開：

61 sin (x + θ) = 61 cos θ sin x + 61 sin θ cos x

。與左邊比對

sin x

、

cos x

的係數：

61 cos θ = 5

，

61 sin θ = - 6

。所以

tan θ = \frac{sin θ}{cos θ} = \frac{- 6}{5} = - \frac{6}{5}

。

sin x

的係數對到

cos θ

、

cos x

的係數對到

sin θ

，分子分母不要放反。

沒有度的符號就是弧度；

1

弧度約

57. 3^{\circ}

，

π \approx 3.14

、

2 π \approx 6.28

這幾個數要能隨手用。

02多選 5～7：週期、弧度的意義、圖形的平移與伸縮

第 5 題答案 (1)(2)(3)(4)。先化簡再看週期。(1) 對：

sin x cos x = \frac{1}{2} sin 2 x

，週期

\frac{2 π}{2} = π

。(2) 對：

1 - sin^{2} x = cos^{2} x = \frac{1 + cos 2 x}{2}

，週期

π

。(3) 對：

1 - 2 sin^{2} x = cos 2 x

，週期

π

。(4) 對：

tan x

的週期是

π

。(5) 錯：

3 sin x + 4 cos x = 5 sin (x + φ)

（

φ

為定角），

x

的係數是

1

，週期

2 π

。

第 6 題答案 (2)(5)。(1) 錯：

π

是一個數，約

3.14

；正確的說法是

π

弧度

= 18 0^{\circ}

。(2) 對：

θ = 0

時兩邊都是

0

；

0 < θ \leq \frac{π}{2}

時，在單位圓上取圓心角

θ

，兩半徑與弦圍成的三角形面積

\frac{1}{2} sin θ

不超過扇形面積

\frac{1}{2} θ

，所以

sin θ \leq θ

。(3) 錯：

1

弧度

= \frac{18 0 ^{\circ}}{π} \approx 57.29 6^{\circ}

，不等於

57. 2^{\circ}

；兩個角都是銳角且不相等，正弦值就不相等。(4) 錯：

2 x

、

2 y

都在

0

到

π

之間，

sin

在這段不是一對一，

2 x + 2 y = π

時也成立，例如

x = \frac{π}{6}

、

y = \frac{π}{3}

。(5) 對：

cos

在

0

到

π

之間遞減，是一對一，所以

2 x = 2 y

，

x = y

。

(4) 和 (5) 的差別在於：

0

到

π

之間，

sin

的圖形左右對稱（同一個值出現兩次），

cos

的圖形一路下降。

第 7 題答案 (3)(4)。向右平移

h

是把

x

換成

x - h

；以

x

軸為基準鉛直伸縮

k

倍是把整個函數值乘

k

（也就是把

y

換成

\frac{y}{k}

）。(1) 錯：向右平移

\frac{π}{6}

得

y = sin (x - \frac{π}{6})

。(2) 錯：

y = sin 3 (x - \frac{π}{6}) = sin (3 x - \frac{π}{2})

。(3) 對：向左平移

\frac{π}{12}

得

y = tan (2 (x + \frac{π}{12}) - \frac{π}{6}) = tan 2 x

。(4) 對：得到

y = 3 sin x

，即

\frac{y}{3} = sin x

。(5) 錯：整個函數值乘

3

，得

y = 3 (sin x + 1) = 3 sin x + 3

。

平移時只換

x

本身：

sin 3 x

向右平移

\frac{π}{6}

，括號裡是

3 (x - \frac{π}{6})

，不是

3 x - \frac{π}{6}

。

週期題先用倍角公式或疊合化成單一個三角函數；平移、伸縮題把「

x

換成什麼、

y

換成什麼」寫出來再代。

03多選 8～9：疊合的最大值與方程式有沒有解

第 8 題答案 (3)(5)。右邊展開並比對係數：

r cos θ = 3 a

，

r sin θ = 4 b

，所以

r^{2} = 9 a^{2} + 16 b^{2}

，

y

的最大值是

∣ r ∣ = 9 a^{2} + 16 b^{2}

。(1) 錯：

r^{2} = 25

，

r = 5

或

r = - 5

都可以（

r = - 5

時取

cos θ = - \frac{3}{5}

、

sin θ = - \frac{4}{5}

），不一定是

5

。(2) 錯：承上，

r < 0

時

θ

是第三象限角；即使

r > 0

，

θ

加上

2 π

的整數倍也都滿足，不一定是銳角。(3) 對：最大值

= 9 + 16 \times 2024 = 5 \times 2024 = 10120

。(4) 錯：

a

、

b

只有上界，例如

a = - 10

、

b = 0

時

y = - 30 sin x

，最大值是

30

。(5) 對：

a^{2} + b^{2} = 1

，

9 a^{2} + 16 b^{2} = 9 + 7 b^{2} \leq 16

（

b = \pm 1

、

a = 0

時等號成立），最大值

16 = 4

。

流傳版本的參考答案寫 (3)(4)(5)，是把 (4) 讀成

a

、

b

不為負（

0 \leq a \leq 3

、

0 \leq b \leq 3

），這時

9 a^{2} + 16 b^{2} \leq 81 + 144 = 15

，

a = b = 3

時取到；但照題幹字面，

a

、

b

可以是絕對值很大的負數，(4) 不成立。對答案時以學校公布的為準。

第 9 題答案 (1)(2)。(1) 有解：

3 sin x + 4 cos x

的範圍是

- 5

到

5

，

π \approx 3.14

在範圍內。(2) 有解：

3 - cos x > 0

、

2 sin x - 6 < 0

，左邊

= (3 - cos x) + (6 - 2 sin x) = 9 - (2 sin x + cos x)

，方程式化為

2 sin x + cos x = 2

；

2 sin x + cos x

的範圍是

- 5

到

5

，

2 < 5

。(3) 無解：同乘

sin x

得

(sin x - 2)^{2} = 0

，

sin x = 2

不可能。(4) 無解：令

t = 4 sin x + cos x

，

(t + 6) (t - 5) = 0

，

t = 5

或

- 6

；但

t

的範圍是

- 17

到

17

，而

17 < 5

。(5) 無解：左邊是單位圓上的點

(cos x, sin x)

到點

(3, 4)

的距離平方；

(3, 4)

到原點距離

5

，所以距離在

4

到

6

之間，距離平方在

16

到

36

之間，而

3 π \approx 9.42 < 16

。

(5) 也可以展開：左邊

= 26 - (6 cos x + 8 sin x)

，

6 cos x + 8 sin x

的範圍是

- 10

到

10

，所以左邊在

16

到

36

之間。

a sin x + b cos x

的範圍是

- a^{2} + b^{2}

到

a^{2} + b^{2}

；「有沒有解」就是看右邊的數在不在這個範圍內。

04填充 10～12：圓錐展開、正切差角、方程式解的總和

第 10 題沿母線

\overline{A C}

把側面剪開，展開成半徑

18

的扇形，弧長等於底圓周長

2 π \times 6 = 12 π

，所以圓心角

= \frac{12 π}{18} = \frac{2 π}{3}

。剪開後

C

在扇形的一條邊上（

\overline{A C} = 18

），繞一周後到達的

D

在另一條邊上（

\overline{A D} = 6

），最短路徑是展開圖上的線段

\overline{C D}

。由餘弦定理：

\overline{C D}^{2} = 1 8^{2} + 6^{2} - 2 \times 18 \times 6 \times cos \frac{2 π}{3} = 324 + 36 + 108 = 468

，

\overline{C D} = 468 = 613

。

載入中...

圓心角用「弧長 ÷ 半徑」算，半徑是母線

18

，不是底圓半徑

6

；

cos \frac{2 π}{3} = - \frac{1}{2}

，最後一項是加

108

。

第 11 題

∠ B A D = ∠ B A C - ∠ D A C

。直角在

C

，所以

tan ∠ B A C = \frac{B C}{A C} = \frac{10}{3}

，

tan ∠ D A C = \frac{C D}{A C} = \frac{4}{3}

。由正切的差角公式：

tan ∠ B A D = \frac{\frac{10}{3} - \frac{4}{3}}{1 + \frac{10}{3} \times \frac{4}{3}} = \frac{2}{\frac{49}{9}} = \frac{18}{49}

。

第 12 題

sin^{2} x = \frac{1}{9}

，

sin x = \pm \frac{1}{3}

。令

α

為銳角且

sin α = \frac{1}{3}

。在

\frac{π}{2} \leq x \leq \frac{7 π}{2}

內：

sin x = \frac{1}{3}

的解是

π - α

、

2 π + α

、

3 π - α

；

sin x = - \frac{1}{3}

的解是

π + α

、

2 π - α

、

3 π + α

。（

α < \frac{π}{2}

與

4 π - α > \frac{7 π}{2}

都在範圍外。）六個解相加，

α

全部抵消：

2 (π + 2 π + 3 π) = 12 π

，空格填

12

。

六個解是

π

、

2 π

、

3 π

各自左右偏

α

，兩兩對稱，所以不必知道

α

是多少。

05填充 13～15：半角、限制範圍的極值、正弦定理與和角

第 13 題

θ

是鈍角，

cos θ = - 1 - \frac{63}{64} = - \frac{1}{8}

。等腰三角形兩底角相等，

∠ A B C = \frac{π - θ}{2} = \frac{π}{2} - \frac{θ}{2}

，所以

cos ∠ A B C = sin \frac{θ}{2}

。由半角公式

sin^{2} \frac{θ}{2} = \frac{1 - cos θ}{2} = \frac{1 + \frac{1}{8}}{2} = \frac{9}{16}

，而

\frac{θ}{2}

是銳角，

sin \frac{θ}{2} = \frac{3}{4}

。答案

\frac{3}{4}

。

θ > \frac{π}{2}

這個條件決定

cos θ

取負；取成

+ \frac{1}{8}

會算出

\frac{7}{4}

。

第 14 題

sin (x + \frac{π}{2}) = cos x

，所以

f (x) = 3 sin x + 4 cos x

。在

\frac{π}{2} \leq x \leq π

：

sin x \leq 1

，所以

3 sin x \leq 3

；

cos x \leq 0

，所以

4 cos x \leq 0

。相加得

f (x) \leq 3

，而

x = \frac{π}{2}

時兩個等號同時成立，

f (\frac{π}{2}) = 3

。最大值

3

。

疊合成

5 sin (x + φ)

（

cos φ = \frac{3}{5}

、

sin φ = \frac{4}{5}

，

φ

為銳角）也可以：

x + φ

從

\frac{π}{2} + φ

走到

π + φ

，這段

sin

遞減，最大值在左端點

x = \frac{π}{2}

。

5

要在

x = \frac{π}{2} - φ

才取得到，不在範圍內。

第 15 題

\overline{B C}

對

∠ A

、

\overline{A C}

對

∠ B

，由正弦定理

\frac{sin A}{sin B} = \frac{12}{4} = 3

。令

δ = A - B

；大邊對大角，

A > B

，所以

0 < δ < π

，

sin δ = 1 - \frac{1}{25} = \frac{2 6}{5}

。把

A = B + δ

代入

sin A = 3 sin B

，用和角公式：

sin B cos δ + cos B sin δ = 3 sin B

，即

\frac{2 6}{5} cos B = (3 + \frac{1}{5}) sin B = \frac{16}{5} sin B

，得

tan B = \frac{2 6}{16} = \frac{6}{8}

。於是

sin^{2} B : cos^{2} B = 6 : 64

，

cos^{2} B = \frac{64}{70} = \frac{32}{35}

，

cos 2 B = 2 cos^{2} B - 1 = \frac{64}{35} - 1 = \frac{29}{35}

。

另一個做法：在

\overline{B C}

上取

E

使

∠ E A B = ∠ B

，則

\overline{E A} = \overline{E B}

、

∠ C A E = A - B

、

∠ A E C = 2 B

。設

\overline{E A} = t

，在三角形

A C E

用餘弦定理：

(12 - t)^{2} = 16 + t^{2} + \frac{8}{5} t

，得

t = 5

；再用一次餘弦定理，

cos 2 B = \frac{25 + 49 - 16}{2 \times 5 \times 7} = \frac{29}{35}

。

限制範圍的極值題，疊合後要看角度實際走到哪一段，最大值

a^{2} + b^{2}

不一定取得到。

同一次段考的其他學校

同樣是高二第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

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常見問題

板橋高中 114 上高二第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 15 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

板橋高中 114 上高二第一次段考數學哪幾題最容易錯？

第 2 題的 54 與 55 沒有度的符號是弧度、第 8 題疊合後的 r 可以是負數而且最大值要看絕對值、第 14 題限制範圍後取不到 5，以及第 15 題要把正弦定理和和角公式接起來。詳解逐題寫在本頁。

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

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這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

題目取自板橋高中 114 學年度上學期高二第一次段考數學A，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

御藍教育／段考卷／高二

段考詳解範圍：三角函數（弧度量、三角函數的圖形與週期、和差角、倍角與半角、正餘弦的疊合）

板橋高中 114 上
高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 15 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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01 · 試題

原卷 15 題，照原卷順序

單選題 4 題（24 分）、多選題 5 題（40 分）、填充題 6 題（36 分）

一、單選題（占 24 分）說明：第 1 題至第 4 題，每題 6 分。

下列何者之值最大？

(1) $sin 1$
(2) $sin 2$
(3) $sin 3$
(4) $sin 7$
(5) $sin 8$

求

sin 54 cos 55 - cos 54 sin 55

之值最接近哪個數值？

(1) $0$
(2) $- \frac{3}{2}$
(3) $- \frac{1}{2}$
(4) $\frac{1}{2}$
(5) $\frac{3}{2}$

若

0 \leq x < π

，則滿足

3 sin 2 x = 2 sin x

，有多少個實數解？

(1) $1$
(2) $2$
(3) $3$
(4) $4$
(5) $5$

若

5 sin x - 6 cos x = 61 sin (x + θ)

，則

tan θ

之值為何？

(1) $\frac{5}{6}$
(2) $- \frac{5}{6}$
(3) $\frac{6}{5}$
(4) $- \frac{6}{5}$
(5) $- 1$

二、多選題（占 40 分）說明：第 5 題至第 9 題，每題 8 分。（8−5−2−0）

下列函數何者週期為

π

？

(1) $y = sin x cos x$
(2) $y = 1 - sin^{2} x$
(3) $y = 1 - 2 sin^{2} x$
(4) $y = tan x$
(5) $y = 3 sin x + 4 cos x$

下列何者正確？

(1) $π = 180$
(2) 若 $0 \leq θ \leq \frac{π}{2}$ ，則 $sin θ \leq θ$
(3) $sin 1 = sin 57. 2^{\circ}$
(4) 若 $sin 2 x = sin 2 y$ 且 $0 < x < \frac{π}{2}$ ， $0 < y < \frac{π}{2}$ ，則 $x = y$
(5) 若 $cos 2 x = cos 2 y$ 且 $0 < x < \frac{π}{2}$ ， $0 < y < \frac{π}{2}$ ，則 $x = y$

下列敘述何者正確？

(1) 將 $y = sin x$ 向右平移 $\frac{π}{6}$ 得到 $y = sin (x + \frac{π}{6})$
(2) 將 $y = sin 3 x$ 向右平移 $\frac{π}{6}$ 得到 $y = sin (3 x - \frac{π}{6})$
(3) 將 $y = tan (2 x - \frac{π}{6})$ 向左平移 $\frac{π}{12}$ 得到 $y = tan 2 x$
(4) 將 $y = sin x$ 以 $x$ 軸為基準鉛直伸長 $3$ 倍得到 $\frac{y}{3} = sin x$
(5) 將 $y = sin x + 1$ 以 $x$ 軸為基準鉛直伸長 $3$ 倍得到 $y = 3 sin x + 1$

設

y = 3 a sin x + 4 b cos x = r sin (x + θ)

，

x

為實數，則下列敘述何者正確？

(1) 若 $a = 1$ 且 $b = 1$ ，則 $r = 5$
(2) 若 $a$ ， $b$ 皆為正數，則 $θ$ 銳角
(3) 若 $a = b = 2024$ ，則 $y$ 的最大值為 $10120$
(4) 若 $a \leq 3$ ， $b \leq 3$ ，則 $y$ 最大值為 $15$
(5) 若 $(a, b)$ 在以原點為圓心半徑為 $1$ 的圓上，則 $y$ 最大值為 $4$

下列哪些方程式有實數解？

(1) $3 sin x + 4 cos x = π$
(2) $∣3 - cos x ∣ + ∣2 sin x - 6∣ = 7$
(3) $sin x + \frac{4}{sin x} = 4$
(4) $(4 sin x + cos x)^{2} + (4 sin x + cos x) - 30 = 0$
(5) $(cos x - 3)^{2} + (sin x - 4)^{2} = 3 π$

三、填充題（占 36 分）說明：第 10 題至第 15 題，每題 6 分。

如圖，直圓錐中，底圓直徑

\overline{B C} = 12

，

\overline{A B} = 18

，

D

是

\overline{A C}

邊上一點，且

\overline{A D} = 6

。今有一螞蟻從

C

點繞曲面一周到達

D

點，則此螞蟻所爬行的最短距離為 ____。

載入中...

直角三角形

A B C

中

∠ C

為直角，

\overline{B C} = 10

，

\overline{A C} = 3

，若

D

在

\overline{B C}

上且

\overline{C D} = 4

，求

tan ∠ B A D =

____。

若

\frac{π}{2} \leq x \leq \frac{7 π}{2}

，方程式

9 sin^{2} x - 1 = 0

，其所有解的總和為 ____

π

。

三角形

A B C

中，

\overline{A B} = \overline{A C}

，令

∠ B A C = θ

，

sin θ = \frac{3 7}{8}

，且

θ > \frac{π}{2}

，求

cos ∠ A B C =

____。

設

\frac{π}{2} \leq x \leq π

，函數

f (x) = 3 sin x + 4 sin (x + \frac{π}{2})

的最大值為何 ____。

在三角形

A B C

中，

\overline{B C} = 12

，

\overline{A C} = 4

，且

cos (A - B) = - \frac{1}{5}

，則

cos 2 B =

____。

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(5)

第 2 題(2)

第 3 題(2)

第 4 題(4)

第 5 題(1)(2)(3)(4)

第 6 題(2)(5)

第 7 題(3)(4)

第 8 題(3)(5)

第 9 題(1)(2)

第 10 題

613

第 11 題

\frac{18}{49}

第 12 題

12

（總和為

12 π

）

第 13 題

\frac{3}{4}

第 14 題

3

第 15 題

\frac{29}{35}

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選 1～4：弧度制比大小、差角、倍角、疊合

第 1 題答案 (5)。沒有寫「度」的角都是弧度。用

sin (π - t) = sin t

與週期

2 π

，把每個角換成

0

到

\frac{π}{2} \approx 1.571

之間、正弦值相同的角：

sin 2 = sin (π - 2) \approx sin 1.142

；

sin 3 = sin (π - 3) \approx sin 0.142

；

sin 7 = sin (7 - 2 π) \approx sin 0.717

；

sin 8 = sin (8 - 2 π) \approx sin 1.717 = sin (π - 1.717) \approx sin 1.425

。

sin

在

0

到

\frac{π}{2}

遞增，而

0.142 < 0.717 < 1 < 1.142 < 1.425

，所以

sin 8

最大。

也可以直接比「離

\frac{π}{2}

（或

\frac{5 π}{2} \approx 7.854

）多近」：

8

只差

0.146

，是五個角裡最近的。

第 2 題答案 (2)。由正弦的差角公式，原式

= sin (54 - 55) = sin (- 1) = - sin 1

。

1

弧度約

57. 3^{\circ}

，介於

4 5^{\circ}

與

6 0^{\circ}

之間，所以

sin 1

介於

\frac{2}{2} \approx 0.707

與

\frac{3}{2} \approx 0.866

之間；

\frac{1}{2}

與

\frac{3}{2}

的中點約

0.683

，

sin 1

比它大，所以離

\frac{3}{2}

較近。故

- sin 1

最接近

- \frac{3}{2}

。

題目的

54

、

55

沒有度的符號，是弧度；當成

sin (- 1^{\circ})

會誤選

0

。

第 3 題答案 (2)。用倍角公式

sin 2 x = 2 sin x cos x

：

6 sin x cos x = 2 sin x

，移項得

2 sin x (3 cos x - 1) = 0

，所以

sin x = 0

或

cos x = \frac{1}{3}

。在

0 \leq x < π

：

sin x = 0

只有

x = 0

（

x = π

不在範圍內）；

cos x

在這段由

1

遞減到

- 1

，

cos x = \frac{1}{3}

恰有一個解。共

2

個。

兩邊不可以直接約掉

sin x

，會漏掉

x = 0

。

第 4 題答案 (4)。右邊展開：

61 sin (x + θ) = 61 cos θ sin x + 61 sin θ cos x

。與左邊比對

sin x

、

cos x

的係數：

61 cos θ = 5

，

61 sin θ = - 6

。所以

tan θ = \frac{sin θ}{cos θ} = \frac{- 6}{5} = - \frac{6}{5}

。

sin x

的係數對到

cos θ

、

cos x

的係數對到

sin θ

，分子分母不要放反。

沒有度的符號就是弧度；

1

弧度約

57. 3^{\circ}

，

π \approx 3.14

、

2 π \approx 6.28

這幾個數要能隨手用。

02多選 5～7：週期、弧度的意義、圖形的平移與伸縮

第 5 題答案 (1)(2)(3)(4)。先化簡再看週期。(1) 對：

sin x cos x = \frac{1}{2} sin 2 x

，週期

\frac{2 π}{2} = π

。(2) 對：

1 - sin^{2} x = cos^{2} x = \frac{1 + cos 2 x}{2}

，週期

π

。(3) 對：

1 - 2 sin^{2} x = cos 2 x

，週期

π

。(4) 對：

tan x

的週期是

π

。(5) 錯：

3 sin x + 4 cos x = 5 sin (x + φ)

（

φ

為定角），

x

的係數是

1

，週期

2 π

。

第 6 題答案 (2)(5)。(1) 錯：

π

是一個數，約

3.14

；正確的說法是

π

弧度

= 18 0^{\circ}

。(2) 對：

θ = 0

時兩邊都是

0

；

0 < θ \leq \frac{π}{2}

時，在單位圓上取圓心角

θ

，兩半徑與弦圍成的三角形面積

\frac{1}{2} sin θ

不超過扇形面積

\frac{1}{2} θ

，所以

sin θ \leq θ

。(3) 錯：

1

弧度

= \frac{18 0 ^{\circ}}{π} \approx 57.29 6^{\circ}

，不等於

57. 2^{\circ}

；兩個角都是銳角且不相等，正弦值就不相等。(4) 錯：

2 x

、

2 y

都在

0

到

π

之間，

sin

在這段不是一對一，

2 x + 2 y = π

時也成立，例如

x = \frac{π}{6}

、

y = \frac{π}{3}

。(5) 對：

cos

在

0

到

π

之間遞減，是一對一，所以

2 x = 2 y

，

x = y

。

(4) 和 (5) 的差別在於：

0

到

π

之間，

sin

的圖形左右對稱（同一個值出現兩次），

cos

的圖形一路下降。

第 7 題答案 (3)(4)。向右平移

h

是把

x

換成

x - h

；以

x

軸為基準鉛直伸縮

k

倍是把整個函數值乘

k

（也就是把

y

換成

\frac{y}{k}

）。(1) 錯：向右平移

\frac{π}{6}

得

y = sin (x - \frac{π}{6})

。(2) 錯：

y = sin 3 (x - \frac{π}{6}) = sin (3 x - \frac{π}{2})

。(3) 對：向左平移

\frac{π}{12}

得

y = tan (2 (x + \frac{π}{12}) - \frac{π}{6}) = tan 2 x

。(4) 對：得到

y = 3 sin x

，即

\frac{y}{3} = sin x

。(5) 錯：整個函數值乘

3

，得

y = 3 (sin x + 1) = 3 sin x + 3

。

平移時只換

x

本身：

sin 3 x

向右平移

\frac{π}{6}

，括號裡是

3 (x - \frac{π}{6})

，不是

3 x - \frac{π}{6}

。

週期題先用倍角公式或疊合化成單一個三角函數；平移、伸縮題把「

x

換成什麼、

y

換成什麼」寫出來再代。

03多選 8～9：疊合的最大值與方程式有沒有解

第 8 題答案 (3)(5)。右邊展開並比對係數：

r cos θ = 3 a

，

r sin θ = 4 b

，所以

r^{2} = 9 a^{2} + 16 b^{2}

，

y

的最大值是

∣ r ∣ = 9 a^{2} + 16 b^{2}

。(1) 錯：

r^{2} = 25

，

r = 5

或

r = - 5

都可以（

r = - 5

時取

cos θ = - \frac{3}{5}

、

sin θ = - \frac{4}{5}

），不一定是

5

。(2) 錯：承上，

r < 0

時

θ

是第三象限角；即使

r > 0

，

θ

加上

2 π

的整數倍也都滿足，不一定是銳角。(3) 對：最大值

= 9 + 16 \times 2024 = 5 \times 2024 = 10120

。(4) 錯：

a

、

b

只有上界，例如

a = - 10

、

b = 0

時

y = - 30 sin x

，最大值是

30

。(5) 對：

a^{2} + b^{2} = 1

，

9 a^{2} + 16 b^{2} = 9 + 7 b^{2} \leq 16

（

b = \pm 1

、

a = 0

時等號成立），最大值

16 = 4

。

流傳版本的參考答案寫 (3)(4)(5)，是把 (4) 讀成

a

、

b

不為負（

0 \leq a \leq 3

、

0 \leq b \leq 3

），這時

9 a^{2} + 16 b^{2} \leq 81 + 144 = 15

，

a = b = 3

時取到；但照題幹字面，

a

、

b

可以是絕對值很大的負數，(4) 不成立。對答案時以學校公布的為準。

第 9 題答案 (1)(2)。(1) 有解：

3 sin x + 4 cos x

的範圍是

- 5

到

5

，

π \approx 3.14

在範圍內。(2) 有解：

3 - cos x > 0

、

2 sin x - 6 < 0

，左邊

= (3 - cos x) + (6 - 2 sin x) = 9 - (2 sin x + cos x)

，方程式化為

2 sin x + cos x = 2

；

2 sin x + cos x

的範圍是

- 5

到

5

，

2 < 5

。(3) 無解：同乘

sin x

得

(sin x - 2)^{2} = 0

，

sin x = 2

不可能。(4) 無解：令

t = 4 sin x + cos x

，

(t + 6) (t - 5) = 0

，

t = 5

或

- 6

；但

t

的範圍是

- 17

到

17

，而

17 < 5

。(5) 無解：左邊是單位圓上的點

(cos x, sin x)

到點

(3, 4)

的距離平方；

(3, 4)

到原點距離

5

，所以距離在

4

到

6

之間，距離平方在

16

到

36

之間，而

3 π \approx 9.42 < 16

。

(5) 也可以展開：左邊

= 26 - (6 cos x + 8 sin x)

，

6 cos x + 8 sin x

的範圍是

- 10

到

10

，所以左邊在

16

到

36

之間。

a sin x + b cos x

的範圍是

- a^{2} + b^{2}

到

a^{2} + b^{2}

；「有沒有解」就是看右邊的數在不在這個範圍內。

04填充 10～12：圓錐展開、正切差角、方程式解的總和

第 10 題沿母線

\overline{A C}

把側面剪開，展開成半徑

18

的扇形，弧長等於底圓周長

2 π \times 6 = 12 π

，所以圓心角

= \frac{12 π}{18} = \frac{2 π}{3}

。剪開後

C

在扇形的一條邊上（

\overline{A C} = 18

），繞一周後到達的

D

在另一條邊上（

\overline{A D} = 6

），最短路徑是展開圖上的線段

\overline{C D}

。由餘弦定理：

\overline{C D}^{2} = 1 8^{2} + 6^{2} - 2 \times 18 \times 6 \times cos \frac{2 π}{3} = 324 + 36 + 108 = 468

，

\overline{C D} = 468 = 613

。

載入中...

圓心角用「弧長 ÷ 半徑」算，半徑是母線

18

，不是底圓半徑

6

；

cos \frac{2 π}{3} = - \frac{1}{2}

，最後一項是加

108

。

第 11 題

∠ B A D = ∠ B A C - ∠ D A C

。直角在

C

，所以

tan ∠ B A C = \frac{B C}{A C} = \frac{10}{3}

，

tan ∠ D A C = \frac{C D}{A C} = \frac{4}{3}

。由正切的差角公式：

tan ∠ B A D = \frac{\frac{10}{3} - \frac{4}{3}}{1 + \frac{10}{3} \times \frac{4}{3}} = \frac{2}{\frac{49}{9}} = \frac{18}{49}

。

第 12 題

sin^{2} x = \frac{1}{9}

，

sin x = \pm \frac{1}{3}

。令

α

為銳角且

sin α = \frac{1}{3}

。在

\frac{π}{2} \leq x \leq \frac{7 π}{2}

內：

sin x = \frac{1}{3}

的解是

π - α

、

2 π + α

、

3 π - α

；

sin x = - \frac{1}{3}

的解是

π + α

、

2 π - α

、

3 π + α

。（

α < \frac{π}{2}

與

4 π - α > \frac{7 π}{2}

都在範圍外。）六個解相加，

α

全部抵消：

2 (π + 2 π + 3 π) = 12 π

，空格填

12

。

六個解是

π

、

2 π

、

3 π

各自左右偏

α

，兩兩對稱，所以不必知道

α

是多少。

05填充 13～15：半角、限制範圍的極值、正弦定理與和角

第 13 題

θ

是鈍角，

cos θ = - 1 - \frac{63}{64} = - \frac{1}{8}

。等腰三角形兩底角相等，

∠ A B C = \frac{π - θ}{2} = \frac{π}{2} - \frac{θ}{2}

，所以

cos ∠ A B C = sin \frac{θ}{2}

。由半角公式

sin^{2} \frac{θ}{2} = \frac{1 - cos θ}{2} = \frac{1 + \frac{1}{8}}{2} = \frac{9}{16}

，而

\frac{θ}{2}

是銳角，

sin \frac{θ}{2} = \frac{3}{4}

。答案

\frac{3}{4}

。

θ > \frac{π}{2}

這個條件決定

cos θ

取負；取成

+ \frac{1}{8}

會算出

\frac{7}{4}

。

第 14 題

sin (x + \frac{π}{2}) = cos x

，所以

f (x) = 3 sin x + 4 cos x

。在

\frac{π}{2} \leq x \leq π

：

sin x \leq 1

，所以

3 sin x \leq 3

；

cos x \leq 0

，所以

4 cos x \leq 0

。相加得

f (x) \leq 3

，而

x = \frac{π}{2}

時兩個等號同時成立，

f (\frac{π}{2}) = 3

。最大值

3

。

疊合成

5 sin (x + φ)

（

cos φ = \frac{3}{5}

、

sin φ = \frac{4}{5}

，

φ

為銳角）也可以：

x + φ

從

\frac{π}{2} + φ

走到

π + φ

，這段

sin

遞減，最大值在左端點

x = \frac{π}{2}

。

5

要在

x = \frac{π}{2} - φ

才取得到，不在範圍內。

第 15 題

\overline{B C}

對

∠ A

、

\overline{A C}

對

∠ B

，由正弦定理

\frac{sin A}{sin B} = \frac{12}{4} = 3

。令

δ = A - B

；大邊對大角，

A > B

，所以

0 < δ < π

，

sin δ = 1 - \frac{1}{25} = \frac{2 6}{5}

。把

A = B + δ

代入

sin A = 3 sin B

，用和角公式：

sin B cos δ + cos B sin δ = 3 sin B

，即

\frac{2 6}{5} cos B = (3 + \frac{1}{5}) sin B = \frac{16}{5} sin B

，得

tan B = \frac{2 6}{16} = \frac{6}{8}

。於是

sin^{2} B : cos^{2} B = 6 : 64

，

cos^{2} B = \frac{64}{70} = \frac{32}{35}

，

cos 2 B = 2 cos^{2} B - 1 = \frac{64}{35} - 1 = \frac{29}{35}

。

另一個做法：在

\overline{B C}

上取

E

使

∠ E A B = ∠ B

，則

\overline{E A} = \overline{E B}

、

∠ C A E = A - B

、

∠ A E C = 2 B

。設

\overline{E A} = t

，在三角形

A C E

用餘弦定理：

(12 - t)^{2} = 16 + t^{2} + \frac{8}{5} t

，得

t = 5

；再用一次餘弦定理，

cos 2 B = \frac{25 + 49 - 16}{2 \times 5 \times 7} = \frac{29}{35}

。

限制範圍的極值題，疊合後要看角度實際走到哪一段，最大值

a^{2} + b^{2}

不一定取得到。

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同樣是高二第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

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題目取自板橋高中 114 學年度上學期高二第一次段考數學A，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

板橋高中 114 上高二第一次段考數學試題、答案與詳解

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考前先拿一份自己的考前藍圖

每一題，錯在哪一步

01單選 1～4：弧度制比大小、差角、倍角、疊合

02多選 5～7：週期、弧度的意義、圖形的平移與伸縮

03多選 8～9：疊合的最大值與方程式有沒有解

04填充 10～12：圓錐展開、正切差角、方程式解的總和

05填充 13～15：半角、限制範圍的極值、正弦定理與和角

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板橋高中 114 上
高二第一次段考
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