段考詳解範圍：指數與對數函數（對數律、換底公式、指數與對數函數的圖形、方程式與不等式、常用對數的應用）

新竹高中 114 上
高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

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01 · 試題

原卷 16 題，照原卷順序

多選題 3 題（18 分）、填充題 12 題（72 分）、計算題 1 題（10 分）

一、多選題（占 18 分；第 1 題至第 3 題，每題 6 分，6－4－2－0）

設

x

，

y

，

z

均為不等於

1

的正數。請問下列關於指數、對數這兩種運算的敘述，哪些是正確的？

(1) $lo g_{a} x \cdot lo g_{a} y = lo g_{a} (x y)$
(2) $lo g_{a} (x + y) = lo g_{a} x + lo g_{a} y$
(3) $lo g_{a} (x^{y}) = y lo g_{a} x$
(4) $\frac{lo g _{x} a}{lo g _{y} a} = lo g_{x} y$
(5) 若 $a^{x} = y$ ，則 $a = y^{\frac{1}{x}}$

設

a > 0

且

a \neq = 1

，下列哪些選項可能是函數

y = lo g_{a} x

與

y = a^{- x}

的圖形？

載入中...

設

a > 1 > b > 0

，關於下列不等式，選出正確的選項：

(1) $(- a)^{7} > (- a)^{9}$
(2) $b^{- 9} > b^{- 7}$
(3) $lo g_{10} \frac{1}{a} > lo g_{10} \frac{1}{b}$
(4) $lo g_{a} 1 > lo g_{b} 1$
(5) $lo g_{a} b \geq lo g_{b} a$

二、填充題（占 72 分；第 4 題至第 15 題，每題 6 分）

解不等式

2^{x + 1} + 2^{2 - x} - 6 < 0

為 ____。

求

(lo g_{2} 7 + lo g_{4} \frac{1}{7}) (lo g_{7} 2 + lo g_{49} \frac{1}{8})

的值為 ____。

解不等式

lo g_{2} (lo g_{\frac{1}{2}} x) < 1

為 ____。

坐標平面上，直線

x + y = 6

與

y = 2^{x}

、

y = lo g_{2} x

的圖形分別交於

A (x_{1}, y_{1})

、

B (x_{2}, y_{2})

兩點，則數對

(x_{1} + x_{2}, y_{1} + y_{2}) =

____。

若

1 0^{0.6}

介在兩連續整數

n

和

n + 1

之間，則

n =

____。

求

2^{106} + 3^{66}

是 ____ 位數字。

已知正整數

n

滿足

2^{n}

是一個最高位數字為

2

的

12

位數，求

n

的值為 ____。

右圖為某種農藥在農作物上的單位面積之殘留藥量（

y

毫克）與用藥時間（

x

天）的關係圖。設其關係為指數函數

y = k \cdot a^{x}

，

k

是常數。若單位面積之殘留藥量小於

50

毫克方可食用，則用藥 ____ 天才可以食用。（所求為整數天）

載入中...

解方程式

4 (4^{x} + 4^{- x}) - 12 (2^{x} + 2^{- x}) + 13 = 0

為 ____。

設

a = lo g_{2} 3

，

b = lo g_{3} 11

，將

lo g_{66} 99

用

a

，

b

表示為 ____。

設

a > b > 1000

，

p = lo g_{0.7} a \times lo g_{0.7} b

，

q = \frac{1}{2} (lo g_{0.7} a + lo g_{0.7} b)

，

r = lo g_{0.7} (\frac{a + b}{2})

。試比較

p

，

q

，

r

三數的大小關係為 ____。

根據統計資料，在

A

小鎮當某件訊息發布後，

t

小時之內聽到該訊息的人口是全鎮人口的

100 (1 - 2^{- k t}) %

，其中

k

是某個大於

0

的常數。今有某訊息，假設在發布後

3

小時之內已經有

70%

的人口聽到該訊息。又設最快要

T

小時候，有

99%

的人口已聽到該訊息，則

T

的值約為 ____。（四捨五入至小數點以下第一位）

三、計算題（占 10 分；第 16 題）

設

\frac{1}{10} \leq x \leq 1000

，請求出

f (x) = 3^{l o g x} \cdot x^{l o g 3} - 18 \cdot 3^{l o g (10 x)}

之最大值與最小值，並問產生最大值、最小值之

x

各為何？

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(3)(4)(5)

第 2 題(1)(3)

第 3 題(1)(2)

第 4 題

0 < x < 1

第 5 題

- \frac{1}{4}

第 6 題

\frac{1}{4} < x < 1

第 7 題

(6, 6)

第 8 題

3

第 9 題

33

第 10 題

38

第 11 題

3

第 12 題

x = \pm 1

第 13 題

\frac{2 a + ab}{1 + a + ab}

第 14 題

p > q > r

第 15 題

11.5

第 16 題

x = \frac{1}{10}

時有最大值

\frac{1}{9} - 63

；

x = 10010

時有最小值

- 243

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

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01多選題 1～3：對數律、圖形配對、比大小

第 1 題答案 (3)(4)(5)。(1) 錯：對數律是

lo g_{a} x + lo g_{a} y = lo g_{a} (x y)

，相乘不成立；例如

a = x = y = 2

時左邊

= 1

，右邊

= lo g_{2} 4 = 2

。(2) 錯：

lo g_{a} x + lo g_{a} y = lo g_{a} (x y)

，不是

lo g_{a} (x + y)

；例如

a = 2

、

x = y = 4

時左邊

= lo g_{2} 8 = 3

，右邊

= 4

。(3) 對：這就是對數律

lo g_{a} x^{r} = r lo g_{a} x

。(4) 對：用換底公式都換成常用對數，

\frac{lo g _{x} a}{lo g _{y} a} = \frac{lo g a}{lo g x} \cdot \frac{lo g y}{lo g a} = \frac{lo g y}{lo g x} = lo g_{x} y

。(5) 對：

x > 0

，兩邊同取

\frac{1}{x}

次方，

(a^{x})^{\frac{1}{x}} = y^{\frac{1}{x}}

，即

a = y^{\frac{1}{x}}

。

流傳版本題幹寫「

x

，

y

，

z

」，選項裡的底數是

a

；這裡把

a

也當作不等於

1

的正數（(4) 需要

a \neq = 1

，分母

lo g_{y} a

才不為

0

）。

第 2 題答案 (1)(3)。

y = a^{- x} = (\frac{1}{a})^{x}

一定過

(0, 1)

且圖形在

x

軸上方；

y = lo g_{a} x

一定過

(1, 0)

。

a > 1

時：

lo g_{a} x

遞增，而

\frac{1}{a} < 1

，

a^{- x}

遞減，這是 (1)。

0 < a < 1

時：

lo g_{a} x

遞減，而

\frac{1}{a} > 1

，

a^{- x}

遞增，這是 (3)。所以兩條曲線一定「一增一減」：(2) 兩條都遞減、(5) 兩條都遞增，不合；(4) 有一條曲線過

(0, - 1)

、在

x

軸下方，不可能是

a^{- x}

。

注意是

a^{- x}

不是

a^{x}

，增減方向和

lo g_{a} x

剛好相反。

第 3 題答案 (1)(2)。(1) 對：

(- a)^{7} = - a^{7}

，

(- a)^{9} = - a^{9}

；

a > 1

時

a^{7} < a^{9}

，所以

- a^{7} > - a^{9}

。(2) 對：

0 < b < 1

，

y = b^{x}

遞減，

- 9 < - 7

，所以

b^{- 9} > b^{- 7}

。(3) 錯：

\frac{1}{a} < 1 < \frac{1}{b}

，

lo g_{10} x

遞增，所以

lo g_{10} \frac{1}{a} < 0 < lo g_{10} \frac{1}{b}

。(4) 錯：

lo g_{a} 1 = lo g_{b} 1 = 0

，兩者相等。(5) 錯：不一定成立，例如

a = 2

、

b = \frac{1}{4}

時

lo g_{a} b = - 2

，

lo g_{b} a = - \frac{1}{2}

，

- 2 < - \frac{1}{2}

。

(5) 令

t = lo g_{a} b < 0

，則

lo g_{b} a = \frac{1}{t}

；

t \geq \frac{1}{t}

只在

- 1 \leq t < 0

（即

ab \geq 1

）時成立，不是恆成立。

02填充 4～7：指數不等式、換底求值、對數不等式、圖形對稱

第 4 題令

t = 2^{x} > 0

，則

2^{x + 1} = 2 t

，

2^{2 - x} = \frac{4}{t}

。不等式成為

2 t + \frac{4}{t} - 6 < 0

，兩邊同乘

t

（正數，不等號不變）：

2 t^{2} - 6 t + 4 < 0

，即

(t - 1) (t - 2) < 0

，

1 < t < 2

。所以

2^{0} < 2^{x} < 2^{1}

，底數

2 > 1

，得

0 < x < 1

。

第 5 題把底數換成最小的：

lo g_{4} \frac{1}{7} = \frac{lo g _{2} 7 ^{- 1}}{lo g _{2} 4} = - \frac{1}{2} lo g_{2} 7

，

lo g_{49} \frac{1}{8} = \frac{lo g _{7} 2 ^{- 3}}{lo g _{7} 49} = - \frac{3}{2} lo g_{7} 2

。原式

= (\frac{1}{2} lo g_{2} 7) (- \frac{1}{2} lo g_{7} 2) = - \frac{1}{4} \cdot lo g_{2} 7 \cdot lo g_{7} 2 = - \frac{1}{4}

。

lo g_{2} 7 \cdot lo g_{7} 2 = 1

（換底公式），這一步讓兩個算不出來的數消掉。

第 6 題外層：

lo g_{2} (lo g_{\frac{1}{2}} x) < 1 = lo g_{2} 2

，底數

2 > 1

，且真數要為正，所以

0 < lo g_{\frac{1}{2}} x < 2

。內層：寫成

lo g_{\frac{1}{2}} 1 < lo g_{\frac{1}{2}} x < lo g_{\frac{1}{2}} \frac{1}{4}

，底數

\frac{1}{2} < 1

，不等號反向，得

\frac{1}{4} < x < 1

。

外層的真數

lo g_{\frac{1}{2}} x

必須大於

0

，少了這個條件會多出

x \geq 1

的錯誤範圍。

第 7 題

A

：解

2^{x} = 6 - x

。左邊遞增、右邊遞減，最多一個解；

x = 2

時兩邊都是

4

，所以

A (2, 4)

。

B

：解

lo g_{2} x = 6 - x

，同理最多一個解；

x = 4

時兩邊都是

2

，所以

B (4, 2)

。故

(x_{1} + x_{2}, y_{1} + y_{2}) = (6, 6)

。

y = 2^{x}

與

y = lo g_{2} x

的圖形對稱於直線

y = x

，而直線

x + y = 6

自己也對稱於

y = x

，所以

B

就是

A

的

x

、

y

坐標對調；即使交點算不出來，也有

x_{1} + x_{2} = x_{1} + y_{1} = 6

。

指數、對數不等式先看底數比

1

大還是小，再決定不等號要不要反向；對數還要先寫真數為正。

03填充 8～11：估計、位數、最高位數字、衰退模型

第 8 題

1 0^{0.6} = 1 0^{\frac{3}{5}}

，它的

5

次方是

1 0^{3} = 1000

。而

3^{5} = 243 < 1000 < 1024 = 4^{5}

，所以

3 < 1 0^{0.6} < 4

，

n = 3

。

也可以用

lo g 3 \approx 0.4771 < 0.6 < 0.6020 \approx lo g 4

判斷。

第 9 題取

lo g 2 \approx 0.3010

，

lo g 3 \approx 0.4771

。

lo g 2^{106} = 106 \times 0.3010 = 31.906

；因為

lo g 8 = 0.9030 < 0.906 < 0.9542 = lo g 9

，所以

8 \times 1 0^{31} < 2^{106} < 9 \times 1 0^{31}

。

lo g 3^{66} = 66 \times 0.4771 = 31.4886

；因為

lo g 3 = 0.4771 < 0.4886 < 0.6020 = lo g 4

，所以

3 \times 1 0^{31} < 3^{66} < 4 \times 1 0^{31}

。相加：

11 \times 1 0^{31} < 2^{106} + 3^{66} < 13 \times 1 0^{31}

，即介於

1.1 \times 1 0^{32}

與

1.3 \times 1 0^{32}

之間，是

33

位數。

兩個數各自都是

32

位數，但最高位數字相加超過

10

會進位；只看位數不看最高位數字，會誤答

32

。

第 10 題最高位數字為

2

的

12

位數滿足

2 \times 1 0^{11} \leq 2^{n} < 3 \times 1 0^{11}

。取常用對數：

11 + lo g 2 \leq n lo g 2 < 11 + lo g 3

，即

11.3010 \leq 0.3010 n < 11.4771

。

\frac{11.3010}{0.3010} \approx 37.5

，

\frac{11.4771}{0.3010} \approx 38.1

，所以

37.5 \leq n < 38.1

（近似），整數

n = 38

。

驗算：

2^{38} = 274877906944

，確實是

12

位數、最高位是

2

。

第 11 題圖形過

(0, 405)

：

k \cdot a^{0} = 405

，

k = 405

。過

(\frac{1}{2}, 270)

：

405 \cdot a^{\frac{1}{2}} = 270

，

a^{\frac{1}{2}} = \frac{2}{3}

，

a = \frac{4}{9}

。所以

y = 405 (\frac{4}{9})^{x}

，是遞減函數。

x = 2

時

y = 405 \times \frac{16}{81} = 80

，還不到標準；

x = 3

時

y = 405 \times \frac{64}{729} = \frac{320}{9} \approx 35.6 < 50

。所以要用藥

3

天才可以食用。

位數問題先寫成「介於

10

的幾次方之間」，再取常用對數；最高位數字看對數的小數部分落在哪兩個

lo g

值之間。

04填充 12～15：對稱代換、換底表示、比大小、反求時間

第 12 題令

t = 2^{x} + 2^{- x}

。由算幾不等式

t \geq 2 2^{x} \cdot 2^{- x} = 2

；又

t^{2} = 4^{x} + 2 + 4^{- x}

，所以

4^{x} + 4^{- x} = t^{2} - 2

。方程式成為

4 (t^{2} - 2) - 12 t + 13 = 0

，即

4 t^{2} - 12 t + 5 = 0

，

(2 t - 1) (2 t - 5) = 0

，

t = \frac{1}{2}

（小於

2

，不合）或

t = \frac{5}{2}

。再令

u = 2^{x} > 0

：

u + \frac{1}{u} = \frac{5}{2}

，

2 u^{2} - 5 u + 2 = 0

，

u = 2

或

\frac{1}{2}

，所以

x = 1

或

x = - 1

。

代換後要記得

t \geq 2

，

t = \frac{1}{2}

那個根要捨去。

第 13 題全部換成以

2

為底。

lo g_{2} 3 = a

；

lo g_{2} 11 = lo g_{2} 3 \cdot lo g_{3} 11 = ab

。

99 = 3^{2} \times 11

，

lo g_{2} 99 = 2 a + ab

；

66 = 2 \times 3 \times 11

，

lo g_{2} 66 = 1 + a + ab

。所以

lo g_{66} 99 = \frac{lo g _{2} 99}{lo g _{2} 66} = \frac{2 a + ab}{1 + a + ab}

。

第 14 題底數

0.7 < 1

，

lo g_{0.7} x

遞減，且

x > 1

時為負。

a > b > 1000

，所以

lo g_{0.7} a < lo g_{0.7} b < 0

。

p

是兩個負數乘積的正平方根，

p > 0

；

q

是兩個負數的平均，

q < 0

，所以

p > q

。又

q = \frac{1}{2} lo g_{0.7} (ab) = lo g_{0.7} ab

，由算幾不等式

\frac{a + b}{2} > ab

（

a \neq = b

，等號不成立），再由遞減得

r = lo g_{0.7} \frac{a + b}{2} < lo g_{0.7} ab = q

。故

p > q > r

。

底數小於

1

時，真數越大對數越小；

p

不能直接對兩個負數用算幾不等式，要先看正負號。

第 15 題

3

小時有

70%

：

1 - 2^{- 3 k} = 0.7

，

2^{- 3 k} = 0.3

。

T

小時有

99%

：

1 - 2^{- k T} = 0.99

，

2^{- k T} = 0.01

。兩式取常用對數：

- 3 k lo g 2 = lo g 0.3 = lo g 3 - 1 \approx - 0.5229

，

- k T lo g 2 = lo g 0.01 = - 2

。兩式相除：

\frac{T}{3} = \frac{2}{0.5229}

，

T = \frac{6}{0.5229} \approx 11.47

，四捨五入得

T \approx 11.5

。

兩式相除把

k

和

lo g 2

一起消掉，不必先求

k

。

05計算題 16：代換後求二次函數的極值

第 16 題先看

x^{l o g 3}

：取常用對數，

lo g (x^{l o g 3}) = lo g 3 \cdot lo g x = lo g (3^{l o g x})

，所以

x^{l o g 3} = 3^{l o g x}

。再看

3^{l o g (10 x)} = 3^{\frac{1}{2} + l o g x} = 3 \cdot 3^{l o g x}

。令

t = 3^{l o g x}

，則

f = t^{2} - 183 t = (t - 93)^{2} - 243

。範圍：

\frac{1}{10} \leq x \leq 1000

即

- 1 \leq lo g x \leq 3

，所以

\frac{1}{3} \leq t \leq 27

。頂點

t = 93 \approx 15.6

在範圍內，最小值

- 243

；此時

3^{l o g x} = 3^{\frac{5}{2}}

，

lo g x = \frac{5}{2}

，

x = 1 0^{\frac{5}{2}} = 10010

。最大值發生在離頂點較遠的端點：

93 - \frac{1}{3} \approx 15.3

，

27 - 93 \approx 11.4

，所以取

t = \frac{1}{3}

（即

x = \frac{1}{10}

），最大值

\frac{1}{9} - 183 \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{9} - 63

。

流傳版本的參考答案把最小值寫成

- 234

，但

(93)^{2} = 243

，配方後的常數是

- 243

；產生極值的兩個

x

與最大值都與參考答案一致。另一端

t = 27

（

x = 1000

）時

f = 729 - 4863 \approx - 112.8

，不是最大也不是最小。

看到

x^{l o g 3}

與

3^{l o g x}

先確認兩者相等，就能用同一個

t

代換；代換後一定要把

x

的範圍換成

t

的範圍，再比較頂點與兩端點。

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新竹高中 114 上高二第一次段考數學哪幾題最容易錯？

第 3 題選項 (5) 兩個對數互為倒數而且都是負數、第 9 題兩個 32 位數相加會進位成 33 位、第 14 題底數小於 1 時大小順序相反，以及第 16 題代換後要換成新變數的範圍再比較頂點與端點。詳解逐題寫在本頁。

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御藍教育／段考卷／高二

段考詳解範圍：指數與對數函數（對數律、換底公式、指數與對數函數的圖形、方程式與不等式、常用對數的應用）

新竹高中 114 上
高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 16 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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01 · 試題

原卷 16 題，照原卷順序

多選題 3 題（18 分）、填充題 12 題（72 分）、計算題 1 題（10 分）

一、多選題（占 18 分；第 1 題至第 3 題，每題 6 分，6－4－2－0）

設

x

，

y

，

z

均為不等於

1

的正數。請問下列關於指數、對數這兩種運算的敘述，哪些是正確的？

(1) $lo g_{a} x \cdot lo g_{a} y = lo g_{a} (x y)$
(2) $lo g_{a} (x + y) = lo g_{a} x + lo g_{a} y$
(3) $lo g_{a} (x^{y}) = y lo g_{a} x$
(4) $\frac{lo g _{x} a}{lo g _{y} a} = lo g_{x} y$
(5) 若 $a^{x} = y$ ，則 $a = y^{\frac{1}{x}}$

設

a > 0

且

a \neq = 1

，下列哪些選項可能是函數

y = lo g_{a} x

與

y = a^{- x}

的圖形？

載入中...

設

a > 1 > b > 0

，關於下列不等式，選出正確的選項：

(1) $(- a)^{7} > (- a)^{9}$
(2) $b^{- 9} > b^{- 7}$
(3) $lo g_{10} \frac{1}{a} > lo g_{10} \frac{1}{b}$
(4) $lo g_{a} 1 > lo g_{b} 1$
(5) $lo g_{a} b \geq lo g_{b} a$

二、填充題（占 72 分；第 4 題至第 15 題，每題 6 分）

解不等式

2^{x + 1} + 2^{2 - x} - 6 < 0

為 ____。

求

(lo g_{2} 7 + lo g_{4} \frac{1}{7}) (lo g_{7} 2 + lo g_{49} \frac{1}{8})

的值為 ____。

解不等式

lo g_{2} (lo g_{\frac{1}{2}} x) < 1

為 ____。

坐標平面上，直線

x + y = 6

與

y = 2^{x}

、

y = lo g_{2} x

的圖形分別交於

A (x_{1}, y_{1})

、

B (x_{2}, y_{2})

兩點，則數對

(x_{1} + x_{2}, y_{1} + y_{2}) =

____。

若

1 0^{0.6}

介在兩連續整數

n

和

n + 1

之間，則

n =

____。

求

2^{106} + 3^{66}

是 ____ 位數字。

已知正整數

n

滿足

2^{n}

是一個最高位數字為

2

的

12

位數，求

n

的值為 ____。

右圖為某種農藥在農作物上的單位面積之殘留藥量（

y

毫克）與用藥時間（

x

天）的關係圖。設其關係為指數函數

y = k \cdot a^{x}

，

k

是常數。若單位面積之殘留藥量小於

50

毫克方可食用，則用藥 ____ 天才可以食用。（所求為整數天）

載入中...

解方程式

4 (4^{x} + 4^{- x}) - 12 (2^{x} + 2^{- x}) + 13 = 0

為 ____。

設

a = lo g_{2} 3

，

b = lo g_{3} 11

，將

lo g_{66} 99

用

a

，

b

表示為 ____。

設

a > b > 1000

，

p = lo g_{0.7} a \times lo g_{0.7} b

，

q = \frac{1}{2} (lo g_{0.7} a + lo g_{0.7} b)

，

r = lo g_{0.7} (\frac{a + b}{2})

。試比較

p

，

q

，

r

三數的大小關係為 ____。

根據統計資料，在

A

小鎮當某件訊息發布後，

t

小時之內聽到該訊息的人口是全鎮人口的

100 (1 - 2^{- k t}) %

，其中

k

是某個大於

0

的常數。今有某訊息，假設在發布後

3

小時之內已經有

70%

的人口聽到該訊息。又設最快要

T

小時候，有

99%

的人口已聽到該訊息，則

T

的值約為 ____。（四捨五入至小數點以下第一位）

三、計算題（占 10 分；第 16 題）

設

\frac{1}{10} \leq x \leq 1000

，請求出

f (x) = 3^{l o g x} \cdot x^{l o g 3} - 18 \cdot 3^{l o g (10 x)}

之最大值與最小值，並問產生最大值、最小值之

x

各為何？

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(3)(4)(5)

第 2 題(1)(3)

第 3 題(1)(2)

第 4 題

0 < x < 1

第 5 題

- \frac{1}{4}

第 6 題

\frac{1}{4} < x < 1

第 7 題

(6, 6)

第 8 題

3

第 9 題

33

第 10 題

38

第 11 題

3

第 12 題

x = \pm 1

第 13 題

\frac{2 a + ab}{1 + a + ab}

第 14 題

p > q > r

第 15 題

11.5

第 16 題

x = \frac{1}{10}

時有最大值

\frac{1}{9} - 63

；

x = 10010

時有最小值

- 243

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

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對完答案了？勾你錯的題號

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

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01多選題 1～3：對數律、圖形配對、比大小

第 1 題答案 (3)(4)(5)。(1) 錯：對數律是

lo g_{a} x + lo g_{a} y = lo g_{a} (x y)

，相乘不成立；例如

a = x = y = 2

時左邊

= 1

，右邊

= lo g_{2} 4 = 2

。(2) 錯：

lo g_{a} x + lo g_{a} y = lo g_{a} (x y)

，不是

lo g_{a} (x + y)

；例如

a = 2

、

x = y = 4

時左邊

= lo g_{2} 8 = 3

，右邊

= 4

。(3) 對：這就是對數律

lo g_{a} x^{r} = r lo g_{a} x

。(4) 對：用換底公式都換成常用對數，

\frac{lo g _{x} a}{lo g _{y} a} = \frac{lo g a}{lo g x} \cdot \frac{lo g y}{lo g a} = \frac{lo g y}{lo g x} = lo g_{x} y

。(5) 對：

x > 0

，兩邊同取

\frac{1}{x}

次方，

(a^{x})^{\frac{1}{x}} = y^{\frac{1}{x}}

，即

a = y^{\frac{1}{x}}

。

流傳版本題幹寫「

x

，

y

，

z

」，選項裡的底數是

a

；這裡把

a

也當作不等於

1

的正數（(4) 需要

a \neq = 1

，分母

lo g_{y} a

才不為

0

）。

第 2 題答案 (1)(3)。

y = a^{- x} = (\frac{1}{a})^{x}

一定過

(0, 1)

且圖形在

x

軸上方；

y = lo g_{a} x

一定過

(1, 0)

。

a > 1

時：

lo g_{a} x

遞增，而

\frac{1}{a} < 1

，

a^{- x}

遞減，這是 (1)。

0 < a < 1

時：

lo g_{a} x

遞減，而

\frac{1}{a} > 1

，

a^{- x}

遞增，這是 (3)。所以兩條曲線一定「一增一減」：(2) 兩條都遞減、(5) 兩條都遞增，不合；(4) 有一條曲線過

(0, - 1)

、在

x

軸下方，不可能是

a^{- x}

。

注意是

a^{- x}

不是

a^{x}

，增減方向和

lo g_{a} x

剛好相反。

第 3 題答案 (1)(2)。(1) 對：

(- a)^{7} = - a^{7}

，

(- a)^{9} = - a^{9}

；

a > 1

時

a^{7} < a^{9}

，所以

- a^{7} > - a^{9}

。(2) 對：

0 < b < 1

，

y = b^{x}

遞減，

- 9 < - 7

，所以

b^{- 9} > b^{- 7}

。(3) 錯：

\frac{1}{a} < 1 < \frac{1}{b}

，

lo g_{10} x

遞增，所以

lo g_{10} \frac{1}{a} < 0 < lo g_{10} \frac{1}{b}

。(4) 錯：

lo g_{a} 1 = lo g_{b} 1 = 0

，兩者相等。(5) 錯：不一定成立，例如

a = 2

、

b = \frac{1}{4}

時

lo g_{a} b = - 2

，

lo g_{b} a = - \frac{1}{2}

，

- 2 < - \frac{1}{2}

。

(5) 令

t = lo g_{a} b < 0

，則

lo g_{b} a = \frac{1}{t}

；

t \geq \frac{1}{t}

只在

- 1 \leq t < 0

（即

ab \geq 1

）時成立，不是恆成立。

02填充 4～7：指數不等式、換底求值、對數不等式、圖形對稱

第 4 題令

t = 2^{x} > 0

，則

2^{x + 1} = 2 t

，

2^{2 - x} = \frac{4}{t}

。不等式成為

2 t + \frac{4}{t} - 6 < 0

，兩邊同乘

t

（正數，不等號不變）：

2 t^{2} - 6 t + 4 < 0

，即

(t - 1) (t - 2) < 0

，

1 < t < 2

。所以

2^{0} < 2^{x} < 2^{1}

，底數

2 > 1

，得

0 < x < 1

。

第 5 題把底數換成最小的：

lo g_{4} \frac{1}{7} = \frac{lo g _{2} 7 ^{- 1}}{lo g _{2} 4} = - \frac{1}{2} lo g_{2} 7

，

lo g_{49} \frac{1}{8} = \frac{lo g _{7} 2 ^{- 3}}{lo g _{7} 49} = - \frac{3}{2} lo g_{7} 2

。原式

= (\frac{1}{2} lo g_{2} 7) (- \frac{1}{2} lo g_{7} 2) = - \frac{1}{4} \cdot lo g_{2} 7 \cdot lo g_{7} 2 = - \frac{1}{4}

。

lo g_{2} 7 \cdot lo g_{7} 2 = 1

（換底公式），這一步讓兩個算不出來的數消掉。

第 6 題外層：

lo g_{2} (lo g_{\frac{1}{2}} x) < 1 = lo g_{2} 2

，底數

2 > 1

，且真數要為正，所以

0 < lo g_{\frac{1}{2}} x < 2

。內層：寫成

lo g_{\frac{1}{2}} 1 < lo g_{\frac{1}{2}} x < lo g_{\frac{1}{2}} \frac{1}{4}

，底數

\frac{1}{2} < 1

，不等號反向，得

\frac{1}{4} < x < 1

。

外層的真數

lo g_{\frac{1}{2}} x

必須大於

0

，少了這個條件會多出

x \geq 1

的錯誤範圍。

第 7 題

A

：解

2^{x} = 6 - x

。左邊遞增、右邊遞減，最多一個解；

x = 2

時兩邊都是

4

，所以

A (2, 4)

。

B

：解

lo g_{2} x = 6 - x

，同理最多一個解；

x = 4

時兩邊都是

2

，所以

B (4, 2)

。故

(x_{1} + x_{2}, y_{1} + y_{2}) = (6, 6)

。

y = 2^{x}

與

y = lo g_{2} x

的圖形對稱於直線

y = x

，而直線

x + y = 6

自己也對稱於

y = x

，所以

B

就是

A

的

x

、

y

坐標對調；即使交點算不出來，也有

x_{1} + x_{2} = x_{1} + y_{1} = 6

。

指數、對數不等式先看底數比

1

大還是小，再決定不等號要不要反向；對數還要先寫真數為正。

03填充 8～11：估計、位數、最高位數字、衰退模型

第 8 題

1 0^{0.6} = 1 0^{\frac{3}{5}}

，它的

5

次方是

1 0^{3} = 1000

。而

3^{5} = 243 < 1000 < 1024 = 4^{5}

，所以

3 < 1 0^{0.6} < 4

，

n = 3

。

也可以用

lo g 3 \approx 0.4771 < 0.6 < 0.6020 \approx lo g 4

判斷。

第 9 題取

lo g 2 \approx 0.3010

，

lo g 3 \approx 0.4771

。

lo g 2^{106} = 106 \times 0.3010 = 31.906

；因為

lo g 8 = 0.9030 < 0.906 < 0.9542 = lo g 9

，所以

8 \times 1 0^{31} < 2^{106} < 9 \times 1 0^{31}

。

lo g 3^{66} = 66 \times 0.4771 = 31.4886

；因為

lo g 3 = 0.4771 < 0.4886 < 0.6020 = lo g 4

，所以

3 \times 1 0^{31} < 3^{66} < 4 \times 1 0^{31}

。相加：

11 \times 1 0^{31} < 2^{106} + 3^{66} < 13 \times 1 0^{31}

，即介於

1.1 \times 1 0^{32}

與

1.3 \times 1 0^{32}

之間，是

33

位數。

兩個數各自都是

32

位數，但最高位數字相加超過

10

會進位；只看位數不看最高位數字，會誤答

32

。

第 10 題最高位數字為

2

的

12

位數滿足

2 \times 1 0^{11} \leq 2^{n} < 3 \times 1 0^{11}

。取常用對數：

11 + lo g 2 \leq n lo g 2 < 11 + lo g 3

，即

11.3010 \leq 0.3010 n < 11.4771

。

\frac{11.3010}{0.3010} \approx 37.5

，

\frac{11.4771}{0.3010} \approx 38.1

，所以

37.5 \leq n < 38.1

（近似），整數

n = 38

。

驗算：

2^{38} = 274877906944

，確實是

12

位數、最高位是

2

。

第 11 題圖形過

(0, 405)

：

k \cdot a^{0} = 405

，

k = 405

。過

(\frac{1}{2}, 270)

：

405 \cdot a^{\frac{1}{2}} = 270

，

a^{\frac{1}{2}} = \frac{2}{3}

，

a = \frac{4}{9}

。所以

y = 405 (\frac{4}{9})^{x}

，是遞減函數。

x = 2

時

y = 405 \times \frac{16}{81} = 80

，還不到標準；

x = 3

時

y = 405 \times \frac{64}{729} = \frac{320}{9} \approx 35.6 < 50

。所以要用藥

3

天才可以食用。

位數問題先寫成「介於

10

的幾次方之間」，再取常用對數；最高位數字看對數的小數部分落在哪兩個

lo g

值之間。

04填充 12～15：對稱代換、換底表示、比大小、反求時間

第 12 題令

t = 2^{x} + 2^{- x}

。由算幾不等式

t \geq 2 2^{x} \cdot 2^{- x} = 2

；又

t^{2} = 4^{x} + 2 + 4^{- x}

，所以

4^{x} + 4^{- x} = t^{2} - 2

。方程式成為

4 (t^{2} - 2) - 12 t + 13 = 0

，即

4 t^{2} - 12 t + 5 = 0

，

(2 t - 1) (2 t - 5) = 0

，

t = \frac{1}{2}

（小於

2

，不合）或

t = \frac{5}{2}

。再令

u = 2^{x} > 0

：

u + \frac{1}{u} = \frac{5}{2}

，

2 u^{2} - 5 u + 2 = 0

，

u = 2

或

\frac{1}{2}

，所以

x = 1

或

x = - 1

。

代換後要記得

t \geq 2

，

t = \frac{1}{2}

那個根要捨去。

第 13 題全部換成以

2

為底。

lo g_{2} 3 = a

；

lo g_{2} 11 = lo g_{2} 3 \cdot lo g_{3} 11 = ab

。

99 = 3^{2} \times 11

，

lo g_{2} 99 = 2 a + ab

；

66 = 2 \times 3 \times 11

，

lo g_{2} 66 = 1 + a + ab

。所以

lo g_{66} 99 = \frac{lo g _{2} 99}{lo g _{2} 66} = \frac{2 a + ab}{1 + a + ab}

。

第 14 題底數

0.7 < 1

，

lo g_{0.7} x

遞減，且

x > 1

時為負。

a > b > 1000

，所以

lo g_{0.7} a < lo g_{0.7} b < 0

。

p

是兩個負數乘積的正平方根，

p > 0

；

q

是兩個負數的平均，

q < 0

，所以

p > q

。又

q = \frac{1}{2} lo g_{0.7} (ab) = lo g_{0.7} ab

，由算幾不等式

\frac{a + b}{2} > ab

（

a \neq = b

，等號不成立），再由遞減得

r = lo g_{0.7} \frac{a + b}{2} < lo g_{0.7} ab = q

。故

p > q > r

。

底數小於

1

時，真數越大對數越小；

p

不能直接對兩個負數用算幾不等式，要先看正負號。

第 15 題

3

小時有

70%

：

1 - 2^{- 3 k} = 0.7

，

2^{- 3 k} = 0.3

。

T

小時有

99%

：

1 - 2^{- k T} = 0.99

，

2^{- k T} = 0.01

。兩式取常用對數：

- 3 k lo g 2 = lo g 0.3 = lo g 3 - 1 \approx - 0.5229

，

- k T lo g 2 = lo g 0.01 = - 2

。兩式相除：

\frac{T}{3} = \frac{2}{0.5229}

，

T = \frac{6}{0.5229} \approx 11.47

，四捨五入得

T \approx 11.5

。

兩式相除把

k

和

lo g 2

一起消掉，不必先求

k

。

05計算題 16：代換後求二次函數的極值

第 16 題先看

x^{l o g 3}

：取常用對數，

lo g (x^{l o g 3}) = lo g 3 \cdot lo g x = lo g (3^{l o g x})

，所以

x^{l o g 3} = 3^{l o g x}

。再看

3^{l o g (10 x)} = 3^{\frac{1}{2} + l o g x} = 3 \cdot 3^{l o g x}

。令

t = 3^{l o g x}

，則

f = t^{2} - 183 t = (t - 93)^{2} - 243

。範圍：

\frac{1}{10} \leq x \leq 1000

即

- 1 \leq lo g x \leq 3

，所以

\frac{1}{3} \leq t \leq 27

。頂點

t = 93 \approx 15.6

在範圍內，最小值

- 243

；此時

3^{l o g x} = 3^{\frac{5}{2}}

，

lo g x = \frac{5}{2}

，

x = 1 0^{\frac{5}{2}} = 10010

。最大值發生在離頂點較遠的端點：

93 - \frac{1}{3} \approx 15.3

，

27 - 93 \approx 11.4

，所以取

t = \frac{1}{3}

（即

x = \frac{1}{10}

），最大值

\frac{1}{9} - 183 \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{9} - 63

。

流傳版本的參考答案把最小值寫成

- 234

，但

(93)^{2} = 243

，配方後的常數是

- 243

；產生極值的兩個

x

與最大值都與參考答案一致。另一端

t = 27

（

x = 1000

）時

f = 729 - 4863 \approx - 112.8

，不是最大也不是最小。

看到

x^{l o g 3}

與

3^{l o g x}

先確認兩者相等，就能用同一個

t

代換；代換後一定要把

x

的範圍換成

t

的範圍，再比較頂點與兩端點。

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新竹高中 114 上高二第一次段考數學試題、答案與詳解

原卷 16 題，照原卷順序

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考前先拿一份自己的考前藍圖

每一題，錯在哪一步

01多選題 1～3：對數律、圖形配對、比大小

02填充 4～7：指數不等式、換底求值、對數不等式、圖形對稱

03填充 8～11：估計、位數、最高位數字、衰退模型

04填充 12～15：對稱代換、換底表示、比大小、反求時間

05計算題 16：代換後求二次函數的極值

同一次段考的其他學校

你們學校的段考卷也想要詳解？

常見問題

新竹高中 114 上 高二第一次段考數學的答案在哪裡？

新竹高中 114 上 高二第一次段考數學哪幾題最容易錯？

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

這份段考卷可以下載列印嗎？

新竹高中 114 上高二第一次段考數學試題、答案與詳解

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04填充 12～15：對稱代換、換底表示、比大小、反求時間

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新竹高中 114 上
高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

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新竹高中 114 上
高二第一次段考
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