段考詳解範圍：三角函數（三角函數的圖形與週期、和差角公式、倍角與半角公式、正餘弦的疊合）

道明高中 114 上
高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

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01 · 試題

原卷 14 題，照原卷順序

單選題 4 題、多重選擇題 3 題、填充題 7 題，共 14 題；流傳版本未印各題配分與作答規定

一、單選題

下列哪個選項正確？

(1) $cos (A + B) = cos A cos B - sin A sin B$
(2) $tan (A - B) = \frac{tan A + tan B}{1 - tan A tan B}$
(3) $cos 2 θ = 1 - sin θ$
(4) $tan \frac{θ}{2} = \frac{1 - cos θ}{1 + cos θ}$
(5) $sin 3 θ = 3 sin θ - 4 sin^{3} θ$

附圖是函數

y = f (x) = a sin b x + c

在某一個週期內的圖形，其中

a

、

b

、

c

是常數，且

a > 0

、

b > 0

，則數對

(a, b, c)

的值為以下何者？

(1) $(3, \frac{2 π}{3}, 1)$
(2) $(2, 3, 1)$
(3) $(3, 2 π, \frac{π}{3})$
(4) $(2, \frac{2 π}{3}, 1)$
(5) $(3, 3, \frac{π}{3})$

載入中...

已知函數

y = 5 sin (\frac{π}{3} x - 2) + 2

的週期為

a

，振幅為

b

，最大值為

c

，最小值為

d

，則

a - b + c - d

的值為下列何者？

(1) $8$
(2) $5$
(3) $11$
(4) $- \frac{2}{3}$
(5) $15 + \frac{π}{3}$

已知在

x \in R

時，

y = 3 sin x - 4 cos x + 2

的最大值為

M

，最小值為

m

，試問

M + m

的值為下列何者？

(1) $4$
(2) $0$
(3) $2$
(4) $- 4$
(5) $5$

二、多重選擇題

下列哪些選項正確？

(1) 函數 $y = 2 sin (\frac{1}{2} x + \frac{π}{2}) + 7$ 的週期為 $π$
(2) 函數 $y = 7 cos (2 x - \frac{3}{2} π)$ 的對稱軸為 $x = - \frac{π}{4}$
(3) 函數 $y = \frac{1}{2} tan (4 x + \frac{π}{3})$ 的週期為 $\frac{π}{2}$
(4) $y = cos x$ 的圖形與 $y = cos (- x)$ 的圖形重合
(5) $y = ∣ tan x ∣$ 的週期為 $π$

設

θ

為第四象限角，且

cos 2 θ = \frac{7}{25}

，試問以下哪些選項正確？

(1) $cos θ = \frac{4}{5}$
(2) $sin 2 θ = \frac{24}{25}$
(3) $sin θ - cos θ = \frac{7}{5}$
(4) $tan θ + \frac{1}{tan θ} = \frac{25}{12}$
(5) $sin^{6} θ + cos^{6} θ = \frac{193}{625}$

試問下列選項中的方程式，哪些恰有兩個相異實根？

(1) $tan x = 4$ ，其中 $0 \leq x \leq 2 π$
(2) $2 cos 2 x = ∣ cos x ∣ + ∣ sin x ∣$ ，其中 $- \frac{π}{2} \leq x \leq \frac{π}{2}$
(3) $sin x + cos x = 1$ ，其中 $0 \leq x \leq π$
(4) $x^{2} = sin x$ ，其中 $- π \leq x \leq π$
(5) $π cos x = x$ ，其中 $0 \leq x \leq π$

三、填充題（原卷題號 A～G，本頁編為第 8～14 題）

若

x \in R

，則方程式

cos x - \frac{1}{7} x = 0

有 ____ 個解。

△ A B C

中，

sin A : sin B : sin C = 4 : 4 : 7

，則

sin 2 A : sin 2 B : sin 2 C =

____。

設函數

y = cos (x - \frac{7}{12} π)

的圖形可由

y = sin x

圖形往左移

h

單位後得到，且

0 < h < 2 π

，則

h

的值為 ____。（化為最簡分數）

已知函數

f (x) = 1 + sin (\frac{x}{2}) + cos x

的最大值為

a

，最小值為

b

，則

(a, b) =

____。（化為最簡分數）

如圖，直角三角形

A B C

中，

∠ C

為直角，在

\overline{A C}

上找到兩點

P

、

Q

，使得

∠ QB C = ∠ P B Q = ∠ A B P = θ

。已知

cos θ = \frac{7}{8}

，則

\frac{QB}{A B} =

____。（化為最簡分數）

載入中...

y = \frac{1 + 2 sin θ}{2 + cos θ}

在

0 \leq θ \leq 2 π

得最大值為 ____。（化為最簡根式）

如圖（此為參考圖），半圓

O

的半徑為

1

，

A

為直徑延長線上一點，

\overline{O A} = 2

，

B

為半圓上任一點，以

\overline{A B}

為一邊做正三角形

A B C

，求四邊形

O A C B

面積的最大值為 ____。（化為最簡根式）

載入中...

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(5)

第 2 題(2)

第 3 題(3)

第 4 題(1)

第 5 題(2)(4)(5)

第 6 題(1)(5)

第 7 題(1)(2)(3)(4)

第 8 題

5

第 9 題

16 : 16 : (- 17)

第 10 題

\frac{23}{12} π

第 11 題

(\frac{17}{8}, - 1)

第 12 題

\frac{1}{2}

第 13 題

\frac{2 + 13}{3}

第 14 題

2 + \frac{5 3}{4}

03 · 勾錯題號

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

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01單選題（第 1～4 題）：公式辨正誤、讀圖定係數、週期振幅、疊合

第 1 題答案 (5)。

sin 3 θ = sin (2 θ + θ) = sin 2 θ cos θ + cos 2 θ sin θ = 2 sin θ cos^{2} θ + (1 - 2 sin^{2} θ) sin θ

，把

cos^{2} θ

換成

1 - sin^{2} θ

得

2 sin θ - 2 sin^{3} θ + sin θ - 2 sin^{3} θ = 3 sin θ - 4 sin^{3} θ

，(5) 正確。(2) 錯：

tan (A - B) = \frac{tan A - tan B}{1 + tan A tan B}

，分子分母的符號都印反。(3) 錯：

cos 2 θ = 1 - 2 sin^{2} θ

。(4) 錯：右邊的根號不會是負的，但

tan \frac{θ}{2}

可以是負的，例如

θ = \frac{3 π}{2}

時左邊

tan \frac{3 π}{4} = - 1

、右邊是

1

；正確的寫法要加

\pm

，由

\frac{θ}{2}

的象限決定。

流傳版本的選項 (1) 印作

cos (A + B) = cos A cos B - sin A sin B

，這條就是餘弦的和角公式，照這個印法它也成立；流傳版本的參考答案寫 (5)，單選題只有一個答案，選項 (1) 在重打時可能有一個符號與原卷不同（例如左邊是

cos (A - B)

，或右邊是加號），本頁照流傳版本的印法轉錄。

第 2 題答案 (2)。圖形最高到

3

、最低到

- 1

，所以中心線

c = \frac{3 + ( - 1 )}{2} = 1

，振幅

a = \frac{3 - ( - 1 )}{2} = 2

。最高點在

x = \frac{π}{6}

、相鄰的最低點在

x = \frac{π}{2}

，相隔半個週期

\frac{π}{3}

，所以週期是

\frac{2 π}{3}

；由

\frac{2 π}{b} = \frac{2 π}{3}

得

b = 3

。

(a, b, c) = (2, 3, 1)

。

代回檢查：

f (\frac{π}{6}) = 2 sin \frac{π}{2} + 1 = 3

，

f (0) = 1

，都與圖相符。(4) 把週期

\frac{2 π}{3}

當成

b

了；

b

是

2 π

除以週期。

第 3 題答案 (3)。週期

a = \frac{2 π}{π /3} = 6

，振幅

b = 5

。正弦值介於

- 1

與

1

之間，所以最大值

c = 5 + 2 = 7

，最小值

d = - 5 + 2 = - 3

。

a - b + c - d = 6 - 5 + 7 - (- 3) = 11

。

括號裡的

- 2

只讓圖形左右平移，不影響週期、振幅與最大最小值。

第 4 題答案 (1)。

3 sin x - 4 cos x = 5 (\frac{3}{5} sin x - \frac{4}{5} cos x) = 5 sin (x - φ)

，其中

cos φ = \frac{3}{5}

、

sin φ = \frac{4}{5}

。

x

是任意實數，

5 sin (x - φ)

的範圍是

- 5

到

5

，所以

M = 5 + 2 = 7

，

m = - 5 + 2 = - 3

，

M + m = 4

。

M + m

就是中心線高度

2

的兩倍，與疊合出來的振幅無關。

02多重選擇題（第 5～7 題）：週期與對稱、倍角與象限、方程式的實根個數

第 5 題答案 (2)(4)(5)。(1) 錯：

x

的係數是

\frac{1}{2}

，週期

\frac{2 π}{1/2} = 4 π

。(2) 對：餘弦型函數的對稱軸通過最高點或最低點；

x = - \frac{π}{4}

時角度是

- \frac{π}{2} - \frac{3 π}{2} = - 2 π

，

cos (- 2 π) = 1

，函數值

7

是最大值，所以

x = - \frac{π}{4}

是一條對稱軸。(3) 錯：正切函數的週期是

π

除以

x

的係數，

\frac{π}{4}

。(4) 對：

cos (- x) = cos x

，兩個函數相同。(5) 對：

y = tan x

的週期是

π

，取絕對值只把

x

軸下方的部分翻到上方，每一段

(- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})

內圖形先降到

0

再上升，沒有更短的重複，週期仍是

π

。

對照：

y = ∣ sin x ∣

取絕對值後週期由

2 π

變成

π

，但

y = ∣ tan x ∣

的週期不變。(2) 的對稱軸不只一條，

x = - \frac{π}{4} + \frac{k π}{2}

（

k

為整數）都是。

第 6 題答案 (1)(5)。

cos^{2} θ = \frac{1 + cos 2 θ}{2} = \frac{16}{25}

，

sin^{2} θ = \frac{9}{25}

；

θ

在第四象限，

cos θ > 0

、

sin θ < 0

，所以

cos θ = \frac{4}{5}

、

sin θ = - \frac{3}{5}

。(1) 對。(2) 錯：

sin 2 θ = 2 sin θ cos θ = - \frac{24}{25}

。(3) 錯：

sin θ - cos θ = - \frac{7}{5}

。(4) 錯：

tan θ = - \frac{3}{4}

，

tan θ + \frac{1}{tan θ} = - \frac{3}{4} - \frac{4}{3} = - \frac{25}{12}

。(5) 對：

sin^{6} θ + cos^{6} θ = (\frac{9}{25})^{3} + (\frac{16}{25})^{3} = \frac{729 + 4096}{15625} = \frac{4825}{15625} = \frac{193}{625}

。

(2)(3)(4) 的數字大小都對，只差一個負號；第四象限角的正弦是負的。(5) 也可以用

sin^{6} θ + cos^{6} θ = 1 - 3 sin^{2} θ cos^{2} θ = 1 - \frac{432}{625}

。

第 7 題答案 (1)(2)(3)(4)。(1)

tan x = 4 > 0

，在

0 \leq x \leq 2 π

內第一象限、第三象限各一個解，共

2

個。(2) 兩邊把

x

換成

- x

都不變，先看

0 \leq x \leq \frac{π}{2}

：方程式是

2 (cos x - sin x) (cos x + sin x) = cos x + sin x

，這一段

cos x + sin x > 0

，約去得

cos x - sin x = \frac{1}{2}

，即

2 cos (x + \frac{π}{4}) = \frac{1}{2}

；

x + \frac{π}{4}

從

\frac{π}{4}

到

\frac{3 π}{4}

，餘弦由

\frac{2}{2}

一路降到

- \frac{2}{2}

，恰有

1

個解，且不是

x = 0

。由對稱，負的一邊也有

1

個，共

2

個。(3)

2 sin (x + \frac{π}{4}) = 1

，

x + \frac{π}{4}

在

\frac{π}{4}

到

\frac{5 π}{4}

之間，

sin = \frac{2}{2}

的角是

\frac{π}{4}

、

\frac{3 π}{4}

，得

x = 0

、

\frac{π}{2}

，共

2

個。(4)

x = 0

是一個解；

- π \leq x < 0

時

sin x \leq 0 < x^{2}

，無解；

0 < x \leq π

時，

y = sin x

的圖形向上凸、

y = x^{2}

的圖形向下凸，

x = \frac{1}{2}

時

sin x \approx 0.48 > 0.25

，

x = 1

時

sin x \approx 0.84 < 1

，兩圖形在

\frac{1}{2}

與

1

之間交

1

點，

x > 1

之後

x^{2} > 1 \geq sin x

不再相交，共

2

個。(5) 即

cos x = \frac{x}{π}

；

0 \leq x \leq π

時左邊由

1

一路降到

- 1

，右邊由

0

一路升到

1

，只交

1

點，不選。

(2) 不能直接約掉就算一個解，要記得另一半

- \frac{π}{2} \leq x < 0

由對稱再得一個；(3) 兩個解一個在端點

x = 0

，範圍含端點才算得到。

03填充 A～D（第 8～11 題）：數交點、正餘弦定理配倍角、平移、化成二次函數

第 8 題數

y = cos x

與直線

y = \frac{x}{7}

的交點。餘弦值介於

- 1

與

1

之間，只需看

- 7 \leq x \leq 7

，而

7 \approx 2.23 π

。

x > 0

：直線為正，只在

cos x > 0

的區間可能相交。

(0, \frac{π}{2})

內餘弦由

1

降到

0

、直線由

0

上升，交

1

點；

(\frac{3 π}{2}, 7]

內，餘弦先升到

x = 2 π

的

1

再下降，直線在

x = 2 π

的高度是

\frac{2 π}{7} \approx 0.90 < 1

，而

x = \frac{3 π}{2}

時直線

0.67 > 0

、

x = 7

時直線

1 > cos 7 \approx 0.75

，所以峰的兩側各交

1

點。

x < 0

：直線為負，只在

cos x < 0

的

(- \frac{3 π}{2}, - \frac{π}{2})

可能相交；兩端餘弦是

0

、高於直線，谷底

x = - π

時餘弦

- 1

、低於直線的

- \frac{π}{7} \approx - 0.45

，所以交

2

點；再往左到

- 7

為止餘弦是正的，不相交。合計

1 + 2 + 2 = 5

個。

直線過原點但

y = cos x

不過原點，

x = 0

不是解；左右兩邊的交點個數不同（右

3

、左

2

），不能只算一邊再乘

2

。

第 9 題由正弦定理，三邊

a : b : c = sin A : sin B : sin C = 4 : 4 : 7

，設

a = 4 k

、

b = 4 k

、

c = 7 k

。由餘弦定理

cos A = \frac{16 + 49 - 16}{2 \times 4 \times 7} = \frac{7}{8}

，同理

cos B = \frac{7}{8}

，

cos C = \frac{16 + 16 - 49}{2 \times 4 \times 4} = - \frac{17}{32}

。

sin 2 A = 2 sin A cos A

，所以

sin 2 A : sin 2 B : sin 2 C = 4 \times \frac{7}{8} : 4 \times \frac{7}{8} : 7 \times (- \frac{17}{32}) = \frac{7}{2} : \frac{7}{2} : (- \frac{119}{32}) = 112 : 112 : (- 119) = 16 : 16 : (- 17)

。

C

是鈍角，

2 C

超過

18 0^{\circ}

，

sin 2 C

是負的，比的第三項帶負號。

第 10 題先把餘弦改寫成正弦：

cos α = sin (α + \frac{π}{2})

，所以

cos (x - \frac{7}{12} π) = sin (x - \frac{7}{12} π + \frac{6}{12} π) = sin (x - \frac{π}{12})

。

y = sin x

往左移

h

單位得

y = sin (x + h)

，要與

sin (x - \frac{π}{12})

相同，

h = - \frac{π}{12} + 2 k π

（

k

為整數）。

0 < h < 2 π

時取

k = 1

，

h = \frac{23}{12} π

。

sin (x - \frac{π}{12})

是往右移

\frac{π}{12}

；題目問往左移，往右

\frac{π}{12}

等於往左

2 π - \frac{π}{12}

。

第 11 題令

t = sin \frac{x}{2}

，

- 1 \leq t \leq 1

。由倍角公式

cos x = 1 - 2 sin^{2} \frac{x}{2} = 1 - 2 t^{2}

，所以

f (x) = 1 + t + 1 - 2 t^{2} = - 2 t^{2} + t + 2 = - 2 (t - \frac{1}{4})^{2} + \frac{17}{8}

。

t = \frac{1}{4}

在範圍內，最大值

a = \frac{17}{8}

；開口向下，最小值在離

\frac{1}{4}

較遠的端點

t = - 1

，

b = - 2 - 1 + 2 = - 1

。

(a, b) = (\frac{17}{8}, - 1)

。

另一個端點

t = 1

時值是

1

，比

- 1

大；最小值要比兩個端點。

04填充 E～G（第 12～14 題）：三等分角、分式型的最大值、面積的最大值

第 12 題

∠ QB C = θ

、

∠ A B C = 3 θ

，兩個直角三角形

QB C

、

A B C

共用

\overline{B C}

：

\overline{B C} = \overline{QB} cos θ = \overline{A B} cos 3 θ

，所以

\frac{QB}{A B} = \frac{cos 3 θ}{cos θ}

。

cos^{2} θ = \frac{7}{8}

、

sin^{2} θ = \frac{1}{8}

，

cos 2 θ = 2 cos^{2} θ - 1 = \frac{3}{4}

。由和角公式

cos 3 θ = cos 2 θ cos θ - sin 2 θ sin θ = cos 2 θ cos θ - 2 sin^{2} θ cos θ = cos θ (\frac{3}{4} - \frac{2}{8}) = \frac{1}{2} cos θ

。所以

\frac{QB}{A B} = \frac{1}{2}

。

不必求出

θ

，也用不到

P

點；只要把

3 θ

拆成

2 θ + θ

，

cos θ

會整個提出來約掉。

第 13 題分母

2 + cos θ \geq 1 > 0

，去分母：

y (2 + cos θ) = 1 + 2 sin θ

，整理成

2 sin θ - y cos θ = 2 y - 1

。左邊疊合後是

4 + y^{2} sin (θ - φ)

，範圍在

- 4 + y^{2}

到

4 + y^{2}

之間，所以要有

θ

滿足，必須

∣2 y - 1∣ \leq 4 + y^{2}

。兩邊平方：

4 y^{2} - 4 y + 1 \leq 4 + y^{2}

，

3 y^{2} - 4 y - 3 \leq 0

，解得

\frac{2 - 13}{3} \leq y \leq \frac{2 + 13}{3}

。

θ

取遍

0

到

2 π

一整圈，等號取得到，最大值為

\frac{2 + 13}{3}

。

把

y

當成已知數，問「這個

y

值有沒有

θ

做得到」，條件就是疊合後的振幅夠大。同一個不等式也給出最小值

\frac{2 - 13}{3}

。

第 14 題設

∠ A O B = θ

（

0 < θ < π

），

\overline{O B} = 1

、

\overline{O A} = 2

。四邊形

O A C B

被

\overline{A B}

分成

△ O A B

與正三角形

A B C

。

△ O A B

面積

= \frac{1}{2} \times 1 \times 2 sin θ = sin θ

。由餘弦定理

\overline{A B}^{2} = 1 + 4 - 4 cos θ = 5 - 4 cos θ

，正三角形面積

= \frac{3}{4} \overline{A B}^{2} = \frac{5 3}{4} - 3 cos θ

。總面積

= sin θ - 3 cos θ + \frac{5 3}{4} = 2 sin (θ - \frac{π}{3}) + \frac{5 3}{4}

。當

θ - \frac{π}{3} = \frac{π}{2}

，即

θ = \frac{5 π}{6}

時最大，最大值

2 + \frac{5 3}{4}

。

要確認取得到：

θ = \frac{5 π}{6}

在

0

到

π

之間，

B

確實在半圓上。

求極值的題先把式子整理成單一正弦（疊合）或二次函數，再回頭檢查角度或變數的範圍取不取得到。

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道明高中 114 上高二第一次段考數學的答案在哪裡？

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道明高中 114 上高二第一次段考數學哪幾題最容易錯？

多重選擇第 7 題要五個方程式逐一數實根，其中含絕對值的那一個要用對稱性、平方等於正弦的那一個要靠圖形；填充 A（本頁第 8 題）直線與餘弦圖形左右兩邊的交點個數不同；填充 B（第 9 題）最大角是鈍角，比的第三項是負的；填充 F（第 13 題）分式型要先去分母再用疊合的範圍列不等式。詳解逐題寫在本頁。

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

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題目取自道明高中 114 學年度上學期高二第一次段考數學A，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

御藍教育／段考卷／高二

段考詳解範圍：三角函數（三角函數的圖形與週期、和差角公式、倍角與半角公式、正餘弦的疊合）

道明高中 114 上
高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 14 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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01 · 試題

原卷 14 題，照原卷順序

單選題 4 題、多重選擇題 3 題、填充題 7 題，共 14 題；流傳版本未印各題配分與作答規定

一、單選題

下列哪個選項正確？

(1) $cos (A + B) = cos A cos B - sin A sin B$
(2) $tan (A - B) = \frac{tan A + tan B}{1 - tan A tan B}$
(3) $cos 2 θ = 1 - sin θ$
(4) $tan \frac{θ}{2} = \frac{1 - cos θ}{1 + cos θ}$
(5) $sin 3 θ = 3 sin θ - 4 sin^{3} θ$

附圖是函數

y = f (x) = a sin b x + c

在某一個週期內的圖形，其中

a

、

b

、

c

是常數，且

a > 0

、

b > 0

，則數對

(a, b, c)

的值為以下何者？

(1) $(3, \frac{2 π}{3}, 1)$
(2) $(2, 3, 1)$
(3) $(3, 2 π, \frac{π}{3})$
(4) $(2, \frac{2 π}{3}, 1)$
(5) $(3, 3, \frac{π}{3})$

載入中...

已知函數

y = 5 sin (\frac{π}{3} x - 2) + 2

的週期為

a

，振幅為

b

，最大值為

c

，最小值為

d

，則

a - b + c - d

的值為下列何者？

(1) $8$
(2) $5$
(3) $11$
(4) $- \frac{2}{3}$
(5) $15 + \frac{π}{3}$

已知在

x \in R

時，

y = 3 sin x - 4 cos x + 2

的最大值為

M

，最小值為

m

，試問

M + m

的值為下列何者？

(1) $4$
(2) $0$
(3) $2$
(4) $- 4$
(5) $5$

二、多重選擇題

下列哪些選項正確？

(1) 函數 $y = 2 sin (\frac{1}{2} x + \frac{π}{2}) + 7$ 的週期為 $π$
(2) 函數 $y = 7 cos (2 x - \frac{3}{2} π)$ 的對稱軸為 $x = - \frac{π}{4}$
(3) 函數 $y = \frac{1}{2} tan (4 x + \frac{π}{3})$ 的週期為 $\frac{π}{2}$
(4) $y = cos x$ 的圖形與 $y = cos (- x)$ 的圖形重合
(5) $y = ∣ tan x ∣$ 的週期為 $π$

設

θ

為第四象限角，且

cos 2 θ = \frac{7}{25}

，試問以下哪些選項正確？

(1) $cos θ = \frac{4}{5}$
(2) $sin 2 θ = \frac{24}{25}$
(3) $sin θ - cos θ = \frac{7}{5}$
(4) $tan θ + \frac{1}{tan θ} = \frac{25}{12}$
(5) $sin^{6} θ + cos^{6} θ = \frac{193}{625}$

試問下列選項中的方程式，哪些恰有兩個相異實根？

(1) $tan x = 4$ ，其中 $0 \leq x \leq 2 π$
(2) $2 cos 2 x = ∣ cos x ∣ + ∣ sin x ∣$ ，其中 $- \frac{π}{2} \leq x \leq \frac{π}{2}$
(3) $sin x + cos x = 1$ ，其中 $0 \leq x \leq π$
(4) $x^{2} = sin x$ ，其中 $- π \leq x \leq π$
(5) $π cos x = x$ ，其中 $0 \leq x \leq π$

三、填充題（原卷題號 A～G，本頁編為第 8～14 題）

若

x \in R

，則方程式

cos x - \frac{1}{7} x = 0

有 ____ 個解。

△ A B C

中，

sin A : sin B : sin C = 4 : 4 : 7

，則

sin 2 A : sin 2 B : sin 2 C =

____。

設函數

y = cos (x - \frac{7}{12} π)

的圖形可由

y = sin x

圖形往左移

h

單位後得到，且

0 < h < 2 π

，則

h

的值為 ____。（化為最簡分數）

已知函數

f (x) = 1 + sin (\frac{x}{2}) + cos x

的最大值為

a

，最小值為

b

，則

(a, b) =

____。（化為最簡分數）

如圖，直角三角形

A B C

中，

∠ C

為直角，在

\overline{A C}

上找到兩點

P

、

Q

，使得

∠ QB C = ∠ P B Q = ∠ A B P = θ

。已知

cos θ = \frac{7}{8}

，則

\frac{QB}{A B} =

____。（化為最簡分數）

載入中...

y = \frac{1 + 2 sin θ}{2 + cos θ}

在

0 \leq θ \leq 2 π

得最大值為 ____。（化為最簡根式）

如圖（此為參考圖），半圓

O

的半徑為

1

，

A

為直徑延長線上一點，

\overline{O A} = 2

，

B

為半圓上任一點，以

\overline{A B}

為一邊做正三角形

A B C

，求四邊形

O A C B

面積的最大值為 ____。（化為最簡根式）

載入中...

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(5)

第 2 題(2)

第 3 題(3)

第 4 題(1)

第 5 題(2)(4)(5)

第 6 題(1)(5)

第 7 題(1)(2)(3)(4)

第 8 題

5

第 9 題

16 : 16 : (- 17)

第 10 題

\frac{23}{12} π

第 11 題

(\frac{17}{8}, - 1)

第 12 題

\frac{1}{2}

第 13 題

\frac{2 + 13}{3}

第 14 題

2 + \frac{5 3}{4}

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

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還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選題（第 1～4 題）：公式辨正誤、讀圖定係數、週期振幅、疊合

第 1 題答案 (5)。

sin 3 θ = sin (2 θ + θ) = sin 2 θ cos θ + cos 2 θ sin θ = 2 sin θ cos^{2} θ + (1 - 2 sin^{2} θ) sin θ

，把

cos^{2} θ

換成

1 - sin^{2} θ

得

2 sin θ - 2 sin^{3} θ + sin θ - 2 sin^{3} θ = 3 sin θ - 4 sin^{3} θ

，(5) 正確。(2) 錯：

tan (A - B) = \frac{tan A - tan B}{1 + tan A tan B}

，分子分母的符號都印反。(3) 錯：

cos 2 θ = 1 - 2 sin^{2} θ

。(4) 錯：右邊的根號不會是負的，但

tan \frac{θ}{2}

可以是負的，例如

θ = \frac{3 π}{2}

時左邊

tan \frac{3 π}{4} = - 1

、右邊是

1

；正確的寫法要加

\pm

，由

\frac{θ}{2}

的象限決定。

流傳版本的選項 (1) 印作

cos (A + B) = cos A cos B - sin A sin B

cos (A - B)

，或右邊是加號），本頁照流傳版本的印法轉錄。

第 2 題答案 (2)。圖形最高到

3

、最低到

- 1

，所以中心線

c = \frac{3 + ( - 1 )}{2} = 1

，振幅

a = \frac{3 - ( - 1 )}{2} = 2

。最高點在

x = \frac{π}{6}

、相鄰的最低點在

x = \frac{π}{2}

，相隔半個週期

\frac{π}{3}

，所以週期是

\frac{2 π}{3}

；由

\frac{2 π}{b} = \frac{2 π}{3}

得

b = 3

。

(a, b, c) = (2, 3, 1)

。

代回檢查：

f (\frac{π}{6}) = 2 sin \frac{π}{2} + 1 = 3

，

f (0) = 1

，都與圖相符。(4) 把週期

\frac{2 π}{3}

當成

b

了；

b

是

2 π

除以週期。

第 3 題答案 (3)。週期

a = \frac{2 π}{π /3} = 6

，振幅

b = 5

。正弦值介於

- 1

與

1

之間，所以最大值

c = 5 + 2 = 7

，最小值

d = - 5 + 2 = - 3

。

a - b + c - d = 6 - 5 + 7 - (- 3) = 11

。

括號裡的

- 2

只讓圖形左右平移，不影響週期、振幅與最大最小值。

第 4 題答案 (1)。

3 sin x - 4 cos x = 5 (\frac{3}{5} sin x - \frac{4}{5} cos x) = 5 sin (x - φ)

，其中

cos φ = \frac{3}{5}

、

sin φ = \frac{4}{5}

。

x

是任意實數，

5 sin (x - φ)

的範圍是

- 5

到

5

，所以

M = 5 + 2 = 7

，

m = - 5 + 2 = - 3

，

M + m = 4

。

M + m

就是中心線高度

2

的兩倍，與疊合出來的振幅無關。

02多重選擇題（第 5～7 題）：週期與對稱、倍角與象限、方程式的實根個數

第 5 題答案 (2)(4)(5)。(1) 錯：

x

的係數是

\frac{1}{2}

，週期

\frac{2 π}{1/2} = 4 π

。(2) 對：餘弦型函數的對稱軸通過最高點或最低點；

x = - \frac{π}{4}

時角度是

- \frac{π}{2} - \frac{3 π}{2} = - 2 π

，

cos (- 2 π) = 1

，函數值

7

是最大值，所以

x = - \frac{π}{4}

是一條對稱軸。(3) 錯：正切函數的週期是

π

除以

x

的係數，

\frac{π}{4}

。(4) 對：

cos (- x) = cos x

，兩個函數相同。(5) 對：

y = tan x

的週期是

π

，取絕對值只把

x

軸下方的部分翻到上方，每一段

(- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})

內圖形先降到

0

再上升，沒有更短的重複，週期仍是

π

。

對照：

y = ∣ sin x ∣

取絕對值後週期由

2 π

變成

π

，但

y = ∣ tan x ∣

的週期不變。(2) 的對稱軸不只一條，

x = - \frac{π}{4} + \frac{k π}{2}

（

k

為整數）都是。

第 6 題答案 (1)(5)。

cos^{2} θ = \frac{1 + cos 2 θ}{2} = \frac{16}{25}

，

sin^{2} θ = \frac{9}{25}

；

θ

在第四象限，

cos θ > 0

、

sin θ < 0

，所以

cos θ = \frac{4}{5}

、

sin θ = - \frac{3}{5}

。(1) 對。(2) 錯：

sin 2 θ = 2 sin θ cos θ = - \frac{24}{25}

。(3) 錯：

sin θ - cos θ = - \frac{7}{5}

。(4) 錯：

tan θ = - \frac{3}{4}

，

tan θ + \frac{1}{tan θ} = - \frac{3}{4} - \frac{4}{3} = - \frac{25}{12}

。(5) 對：

sin^{6} θ + cos^{6} θ = (\frac{9}{25})^{3} + (\frac{16}{25})^{3} = \frac{729 + 4096}{15625} = \frac{4825}{15625} = \frac{193}{625}

。

(2)(3)(4) 的數字大小都對，只差一個負號；第四象限角的正弦是負的。(5) 也可以用

sin^{6} θ + cos^{6} θ = 1 - 3 sin^{2} θ cos^{2} θ = 1 - \frac{432}{625}

。

第 7 題答案 (1)(2)(3)(4)。(1)

tan x = 4 > 0

，在

0 \leq x \leq 2 π

內第一象限、第三象限各一個解，共

2

個。(2) 兩邊把

x

換成

- x

都不變，先看

0 \leq x \leq \frac{π}{2}

：方程式是

2 (cos x - sin x) (cos x + sin x) = cos x + sin x

，這一段

cos x + sin x > 0

，約去得

cos x - sin x = \frac{1}{2}

，即

2 cos (x + \frac{π}{4}) = \frac{1}{2}

；

x + \frac{π}{4}

從

\frac{π}{4}

到

\frac{3 π}{4}

，餘弦由

\frac{2}{2}

一路降到

- \frac{2}{2}

，恰有

1

個解，且不是

x = 0

。由對稱，負的一邊也有

1

個，共

2

個。(3)

2 sin (x + \frac{π}{4}) = 1

，

x + \frac{π}{4}

在

\frac{π}{4}

到

\frac{5 π}{4}

之間，

sin = \frac{2}{2}

的角是

\frac{π}{4}

、

\frac{3 π}{4}

，得

x = 0

、

\frac{π}{2}

，共

2

個。(4)

x = 0

是一個解；

- π \leq x < 0

時

sin x \leq 0 < x^{2}

，無解；

0 < x \leq π

時，

y = sin x

的圖形向上凸、

y = x^{2}

的圖形向下凸，

x = \frac{1}{2}

時

sin x \approx 0.48 > 0.25

，

x = 1

時

sin x \approx 0.84 < 1

，兩圖形在

\frac{1}{2}

與

1

之間交

1

點，

x > 1

之後

x^{2} > 1 \geq sin x

不再相交，共

2

個。(5) 即

cos x = \frac{x}{π}

；

0 \leq x \leq π

時左邊由

1

一路降到

- 1

，右邊由

0

一路升到

1

，只交

1

點，不選。

(2) 不能直接約掉就算一個解，要記得另一半

- \frac{π}{2} \leq x < 0

由對稱再得一個；(3) 兩個解一個在端點

x = 0

，範圍含端點才算得到。

03填充 A～D（第 8～11 題）：數交點、正餘弦定理配倍角、平移、化成二次函數

第 8 題數

y = cos x

與直線

y = \frac{x}{7}

的交點。餘弦值介於

- 1

與

1

之間，只需看

- 7 \leq x \leq 7

，而

7 \approx 2.23 π

。

x > 0

：直線為正，只在

cos x > 0

的區間可能相交。

(0, \frac{π}{2})

內餘弦由

1

降到

0

、直線由

0

上升，交

1

點；

(\frac{3 π}{2}, 7]

內，餘弦先升到

x = 2 π

的

1

再下降，直線在

x = 2 π

的高度是

\frac{2 π}{7} \approx 0.90 < 1

，而

x = \frac{3 π}{2}

時直線

0.67 > 0

、

x = 7

時直線

1 > cos 7 \approx 0.75

，所以峰的兩側各交

1

點。

x < 0

：直線為負，只在

cos x < 0

的

(- \frac{3 π}{2}, - \frac{π}{2})

可能相交；兩端餘弦是

0

、高於直線，谷底

x = - π

時餘弦

- 1

、低於直線的

- \frac{π}{7} \approx - 0.45

，所以交

2

點；再往左到

- 7

為止餘弦是正的，不相交。合計

1 + 2 + 2 = 5

個。

直線過原點但

y = cos x

不過原點，

x = 0

不是解；左右兩邊的交點個數不同（右

3

、左

2

），不能只算一邊再乘

2

。

第 9 題由正弦定理，三邊

a : b : c = sin A : sin B : sin C = 4 : 4 : 7

，設

a = 4 k

、

b = 4 k

、

c = 7 k

。由餘弦定理

cos A = \frac{16 + 49 - 16}{2 \times 4 \times 7} = \frac{7}{8}

，同理

cos B = \frac{7}{8}

，

cos C = \frac{16 + 16 - 49}{2 \times 4 \times 4} = - \frac{17}{32}

。

sin 2 A = 2 sin A cos A

，所以

sin 2 A : sin 2 B : sin 2 C = 4 \times \frac{7}{8} : 4 \times \frac{7}{8} : 7 \times (- \frac{17}{32}) = \frac{7}{2} : \frac{7}{2} : (- \frac{119}{32}) = 112 : 112 : (- 119) = 16 : 16 : (- 17)

。

C

是鈍角，

2 C

超過

18 0^{\circ}

，

sin 2 C

是負的，比的第三項帶負號。

第 10 題先把餘弦改寫成正弦：

cos α = sin (α + \frac{π}{2})

，所以

cos (x - \frac{7}{12} π) = sin (x - \frac{7}{12} π + \frac{6}{12} π) = sin (x - \frac{π}{12})

。

y = sin x

往左移

h

單位得

y = sin (x + h)

，要與

sin (x - \frac{π}{12})

相同，

h = - \frac{π}{12} + 2 k π

（

k

為整數）。

0 < h < 2 π

時取

k = 1

，

h = \frac{23}{12} π

。

sin (x - \frac{π}{12})

是往右移

\frac{π}{12}

；題目問往左移，往右

\frac{π}{12}

等於往左

2 π - \frac{π}{12}

。

第 11 題令

t = sin \frac{x}{2}

，

- 1 \leq t \leq 1

。由倍角公式

cos x = 1 - 2 sin^{2} \frac{x}{2} = 1 - 2 t^{2}

，所以

f (x) = 1 + t + 1 - 2 t^{2} = - 2 t^{2} + t + 2 = - 2 (t - \frac{1}{4})^{2} + \frac{17}{8}

。

t = \frac{1}{4}

在範圍內，最大值

a = \frac{17}{8}

；開口向下，最小值在離

\frac{1}{4}

較遠的端點

t = - 1

，

b = - 2 - 1 + 2 = - 1

。

(a, b) = (\frac{17}{8}, - 1)

。

另一個端點

t = 1

時值是

1

，比

- 1

大；最小值要比兩個端點。

04填充 E～G（第 12～14 題）：三等分角、分式型的最大值、面積的最大值

第 12 題

∠ QB C = θ

、

∠ A B C = 3 θ

，兩個直角三角形

QB C

、

A B C

共用

\overline{B C}

：

\overline{B C} = \overline{QB} cos θ = \overline{A B} cos 3 θ

，所以

\frac{QB}{A B} = \frac{cos 3 θ}{cos θ}

。

cos^{2} θ = \frac{7}{8}

、

sin^{2} θ = \frac{1}{8}

，

cos 2 θ = 2 cos^{2} θ - 1 = \frac{3}{4}

。由和角公式

cos 3 θ = cos 2 θ cos θ - sin 2 θ sin θ = cos 2 θ cos θ - 2 sin^{2} θ cos θ = cos θ (\frac{3}{4} - \frac{2}{8}) = \frac{1}{2} cos θ

。所以

\frac{QB}{A B} = \frac{1}{2}

。

不必求出

θ

，也用不到

P

點；只要把

3 θ

拆成

2 θ + θ

，

cos θ

會整個提出來約掉。

第 13 題分母

2 + cos θ \geq 1 > 0

，去分母：

y (2 + cos θ) = 1 + 2 sin θ

，整理成

2 sin θ - y cos θ = 2 y - 1

。左邊疊合後是

4 + y^{2} sin (θ - φ)

，範圍在

- 4 + y^{2}

到

4 + y^{2}

之間，所以要有

θ

滿足，必須

∣2 y - 1∣ \leq 4 + y^{2}

。兩邊平方：

4 y^{2} - 4 y + 1 \leq 4 + y^{2}

，

3 y^{2} - 4 y - 3 \leq 0

，解得

\frac{2 - 13}{3} \leq y \leq \frac{2 + 13}{3}

。

θ

取遍

0

到

2 π

一整圈，等號取得到，最大值為

\frac{2 + 13}{3}

。

把

y

當成已知數，問「這個

y

值有沒有

θ

做得到」，條件就是疊合後的振幅夠大。同一個不等式也給出最小值

\frac{2 - 13}{3}

。

第 14 題設

∠ A O B = θ

（

0 < θ < π

），

\overline{O B} = 1

、

\overline{O A} = 2

。四邊形

O A C B

被

\overline{A B}

分成

△ O A B

與正三角形

A B C

。

△ O A B

面積

= \frac{1}{2} \times 1 \times 2 sin θ = sin θ

。由餘弦定理

\overline{A B}^{2} = 1 + 4 - 4 cos θ = 5 - 4 cos θ

，正三角形面積

= \frac{3}{4} \overline{A B}^{2} = \frac{5 3}{4} - 3 cos θ

。總面積

= sin θ - 3 cos θ + \frac{5 3}{4} = 2 sin (θ - \frac{π}{3}) + \frac{5 3}{4}

。當

θ - \frac{π}{3} = \frac{π}{2}

，即

θ = \frac{5 π}{6}

時最大，最大值

2 + \frac{5 3}{4}

。

要確認取得到：

θ = \frac{5 π}{6}

在

0

到

π

之間，

B

確實在半圓上。

求極值的題先把式子整理成單一正弦（疊合）或二次函數，再回頭檢查角度或變數的範圍取不取得到。

同一次段考的其他學校

同樣是高二第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

你們學校的段考卷也想要詳解？

考完把題目頁拍照或掃描上傳，我們收到後會盡快做好放上來：題目重新打字，附答案和逐題詳解，一樣免費下載 PDF。

上傳前可以先把姓名、座號遮掉。我們只用題目，不會放你的照片或筆跡。上傳要登入 Google 帳號。

上傳考卷

常見問題

道明高中 114 上高二第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 14 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

道明高中 114 上高二第一次段考數學哪幾題最容易錯？

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

題目取自道明高中 114 學年度上學期高二第一次段考數學A，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

道明高中 114 上高二第一次段考數學試題、答案與詳解

原卷 14 題，照原卷順序

答案一覽，先對再看詳解

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

對完答案了？勾你錯的題號

考前先拿一份自己的考前藍圖

每一題，錯在哪一步

01單選題（第 1～4 題）：公式辨正誤、讀圖定係數、週期振幅、疊合

02多重選擇題（第 5～7 題）：週期與對稱、倍角與象限、方程式的實根個數

03填充 A～D（第 8～11 題）：數交點、正餘弦定理配倍角、平移、化成二次函數

04填充 E～G（第 12～14 題）：三等分角、分式型的最大值、面積的最大值

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常見問題

道明高中 114 上 高二第一次段考數學的答案在哪裡？

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03填充 A～D（第 8～11 題）：數交點、正餘弦定理配倍角、平移、化成二次函數

04填充 E～G（第 12～14 題）：三等分角、分式型的最大值、面積的最大值

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道明高中 114 上
高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

道明高中 114 上高二第一次段考數學的答案在哪裡？

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道明高中 114 上
高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

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