段考詳解範圍：三角函數（弧度量、三角函數的圖形、和差角與倍角半角公式、正餘弦的疊合）

小港高中 114 上
高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

Q: 小港高中 114 上 高二第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 16 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

Q: 小港高中 114 上 高二第一次段考數學哪幾題最容易錯？

填充第 11 題（本頁第 12 題）摩天輪要先看出相鄰車廂的夾角、再用倍角與和角公式算三倍角；填充第 10 題（第 11 題）疊合後最大值出現在端點而不是振幅；填充第 8 題（第 9 題）要先定出兩角和的範圍才不會答成銳角；多選第 3 題（第 15 題）半角的餘弦正負不固定。詳解逐題寫在本頁。

Q: 我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

Q: 這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

原卷 16 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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題原卷全文

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則逐題詳解

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01 · 試題

原卷 16 題，照原卷順序

適用班群：生物醫農、理工資訊班群（適用班級 202～208）；單選題 1 題（6 分）、填充題 11 格（依計分表給分，全對 63 分）、多重選擇題 4 題（每題 8 分，共 32 分）；卷面所列配分合計 101 分

一、單選題：每題 6 分

設

a = sin 4

，選出正確的選項

(1) $0 < a < \frac{2}{2}$
(2) $\frac{2}{2} < a < \frac{3}{2}$
(3) $\frac{3}{2} < a < 1$
(4) $- \frac{3}{2} < a < - \frac{2}{2}$
(5) $- \frac{2}{2} < a < - \frac{1}{2}$

二、填充題：（得分依所附計分表給分）｜答對格數 1～11 格依序得 7、14、21、28、33、38、43、48、53、58、63 分。（原卷題號 1～11、答案格 (A)～(K)，本頁接續編為第 2～12 題）

比較

a = cos 2

，

b = cos 3

，

c = cos 5

，

d = cos 6

的

a, b, c, d

大小 ____。

求

cos 4 4^{\circ} sin 16 4^{\circ} - sin 22 4^{\circ} cos 34 4^{\circ} =

____。

右圖是函數

y = a sin (b x + c)

（

a > 0

，

b > 0

，

0 < c < π

）的部份圖形，求實數

(a, b, c) =

____。

載入中...

在

- π \leq x \leq π

範圍內，求滿足不等式

- \frac{1}{2} < cos x < \frac{3}{2}

的

x

之範圍 ____。（弧度量作答）

試求

tan 10 0^{\circ} + tan 2 0^{\circ} - 3 tan 10 0^{\circ} tan 2 0^{\circ} =

____。

如右圖，

△ O A B

、

△ O B C

、

△ O C D

都是直角三角形，

∠ A O B = 1 5^{\circ}

，

∠ B O C = 1 5^{\circ}

，

∠ C O D = 3 0^{\circ}

，

\overline{O D} = 12

，試求

\overline{A B}

長 ____。

載入中...

已知扇形的面積為

5

平方公分，弧長為

2

公分，則其圓心角的弧度為 ____。（弧度量作答）

設

9 0^{\circ} < α < 18 0^{\circ}

，

9 0^{\circ} < β < 18 0^{\circ}

，且

sin α = \frac{1}{5}

、

cos β = - \frac{3}{10}

，求

α + β

的度數 ____。（弧度量作答）

y = sin x

和

y = sin 2 x

的函數圖形在

- π \leq x \leq π

時有多少個交點？ ____。

已知函數

f (x) = - 3 sin x + cos x

。設

f (x) = r sin (x + θ)

，其中

r > 0

，

0 < θ < 2 π

。若

0 \leq x \leq π

，當

x = x_{1}

時

f (x)

有最大值

M

；當

x = x_{2}

時

f (x)

有最小值

m

，求

(M, x_{1}, m, x_{2}) =

____。（弧度量作答）

遊樂園的摩天輪直徑為

70

公尺，若地面以

y = 0

表示，摩天輪的圓心為

K

，且

K

對地面作垂線交於原點

O (0, 0)

。摩天輪的每個車廂都有依序編號

1

、

2

、

3

、

4

、……，且持續依逆時針方向等速率運轉。當車廂在最低位置時，離地面高度

30

公尺處為乘車處，若小祈搭上

1

號車廂，小恩排在隊伍後方並搭上

3

號車廂，若緊接著的

4

號車廂從乘車處旋轉

9 0^{\circ}

時，車廂到達位置

P (35, 65)

，此時小恩到達摩天輪位置

Q (21, 93)

，則小祈車廂距離地面高度多少公尺？ ____。

載入中...

三、多重選擇題：（每題 8 分；全對得 8 分，錯 1 選項得 5 分，錯 2 選項得 2 分，其餘得 0 分）※答案以數字作答否則 0 分計算（原卷題號 1～4，本頁接續編為第 13～16 題）

試選出下列各角何者為第三象限角？

(1) $\frac{7 π}{3}$ 弳。
(2) $- \frac{13 π}{9}$ 弳。
(3) $- 3$ 弳。
(4) $\frac{10 π}{3}$ 弳。
(5) $3$ 弳。

下列敘述何者正確？

(1) 函數 $y = 2 cos 3 x$ 的圖形對稱於直線 $x = \frac{π}{6}$ 。
(2) 函數 $y = 2 sin 3 x$ 的最大值為 $2$ 。
(3) 函數 $y = tan x$ 與 $y = 50$ 的圖形有交點。
(4) 函數 $y = 2 cos 3 x$ 的圖形對稱於原點。
(5) 函數 $y = 2 sin 3 x$ 的週期為 $\frac{2 π}{3}$ 。

在坐標平面上，廣義角

θ

的頂點為原點

O

，始邊為

x

軸的正向，且滿足

tan θ = \frac{2}{3}

。若

θ

的終邊上有一點

P

，其

y

坐標為

- 4

，則下列哪些選項一定正確？

(1) $\overline{O P} = 213$
(2) $sin 2 θ > 0$
(3) $cos \frac{θ}{2} < 0$
(4) $P$ 的 $x$ 坐標是 $6$
(5) $cos θ = \frac{3}{13}$

試問

y = sin (x - \frac{π}{5})

的圖形如何由

y = sin x

的圖形平移得到？選出所有正確的選項？

(1) 往右平移 $\frac{π}{5}$ 單位
(2) 往左平移 $\frac{π}{5}$ 單位
(3) 往右平移 $\frac{9 π}{5}$ 單位
(4) 往左平移 $\frac{9 π}{5}$ 單位
(5) 往左平移 $\frac{11 π}{5}$ 單位。

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(4)

第 2 題

d > c > a > b

第 3 題

\frac{3}{2}

第 4 題

(3, 2, \frac{π}{3})

第 5 題

- \frac{2 π}{3} < x < - \frac{π}{6}

或

\frac{π}{6} < x < \frac{2 π}{3}

第 6 題

- 3

第 7 題

\frac{3 3}{2}

第 8 題

\frac{2}{5}

第 9 題

\frac{7 π}{4}

第 10 題

5

第 11 題

(1, 0, - 2, \frac{2 π}{3})

第 12 題

\frac{1933}{25}

第 13 題(3)(4)

第 14 題(2)(3)(5)

第 15 題(1)(2)

第 16 題(1)(4)

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選題（第 1 題）：用弧度估計正弦值

第 1 題答案 (4)。

π \approx 3.14

、

\frac{3 π}{2} \approx 4.71

，所以

π < 4 < \frac{3 π}{2}

，

4

弧度是第三象限角，

a = sin 4 = - sin (4 - π) < 0

。

4 - π \approx 0.86

，而

\frac{π}{4} \approx 0.79

、

\frac{π}{3} \approx 1.05

，所以

\frac{π}{4} < 4 - π < \frac{π}{3}

。正弦在

0

到

\frac{π}{2}

遞增，得

\frac{2}{2} < sin (4 - π) < \frac{3}{2}

，加上負號：

- \frac{3}{2} < a < - \frac{2}{2}

。

sin 4

的

4

沒有度的符號，是

4

弧度（約

22 9^{\circ}

），不是

4^{\circ}

。

02填充 1～3（第 2～4 題）：餘弦比大小、和角公式、由圖形定係數

第 2 題餘弦值在

0

到

π

之間遞減，先把四個角都換到這個範圍：

cos 5 = cos (2 π - 5)

、

cos 6 = cos (2 π - 6)

，其中

2 π - 5 \approx 1.28

、

2 π - 6 \approx 0.28

。四個角由小到大是

0.28 < 1.28 < 2 < 3

，都在

0

到

π

之間，餘弦值由大到小：

cos 6 > cos 5 > cos 2 > cos 3

，即

d > c > a > b

。

也可以看正負：

2

、

3

弧度在第二象限，餘弦為負；

5

、

6

弧度在第四象限，餘弦為正。再各自比兩個就好。

第 3 題先把角度化到容易配對的樣子：

sin 16 4^{\circ} = sin 1 6^{\circ}

，

sin 22 4^{\circ} = - sin 4 4^{\circ}

，

cos 34 4^{\circ} = cos 1 6^{\circ}

。原式

= cos 4 4^{\circ} sin 1 6^{\circ} + sin 4 4^{\circ} cos 1 6^{\circ} = sin (4 4^{\circ} + 1 6^{\circ}) = sin 6 0^{\circ} = \frac{3}{2}

。

22 4^{\circ} = 18 0^{\circ} + 4 4^{\circ}

在第三象限，正弦是負的，所以原式中間的減號會變成加號。

第 4 題最高

3

、最低

- 3

，且

a > 0

，所以

a = 3

。圖形在

x = - \frac{π}{6}

由下往上通過

x

軸，下一次由下往上通過是

x = \frac{5 π}{6}

，週期

= \frac{5 π}{6} - (- \frac{π}{6}) = π

，所以

b = \frac{2 π}{π} = 2

。

y = 3 sin (2 x + c) = 3 sin 2 (x + \frac{c}{2})

是

y = 3 sin 2 x

向左平移

\frac{c}{2}

；

y = 3 sin 2 x

在

x = 0

由下往上通過

x

軸，現在這個點移到

x = - \frac{π}{6}

，所以

\frac{c}{2} = \frac{π}{6}

，

c = \frac{π}{3}

，符合

0 < c < π

。答

(3, 2, \frac{π}{3})

。

驗算：

x = \frac{π}{3}

時

2 x + \frac{π}{3} = π

，函數值

0

且圖形往下走，與圖相符。

03填充 4～7（第 5～8 題）：餘弦不等式、正切和角、連續直角三角形、扇形

第 5 題先看

0 \leq x \leq π

：餘弦在這段遞減，

cos \frac{π}{6} = \frac{3}{2}

、

cos \frac{2 π}{3} = - \frac{1}{2}

，所以

- \frac{1}{2} < cos x < \frac{3}{2}

的解是

\frac{π}{6} < x < \frac{2 π}{3}

。

y = cos x

的圖形對稱於

y

軸，

- π \leq x \leq 0

的解就是把上面那段對

y

軸鏡射：

- \frac{2 π}{3} < x < - \frac{π}{6}

。兩段合起來就是答案。

兩邊都是不含等號的不等式，端點都不取；負的那一段別漏掉。

第 6 題

10 0^{\circ} + 2 0^{\circ} = 12 0^{\circ}

，由正切的和角公式

tan 12 0^{\circ} = \frac{tan 10 0 ^{\circ} + tan 2 0 ^{\circ}}{1 - tan 10 0 ^{\circ} tan 2 0 ^{\circ}} = - 3

。去分母：

tan 10 0^{\circ} + tan 2 0^{\circ} = - 3 + 3 tan 10 0^{\circ} tan 2 0^{\circ}

。移項得

tan 10 0^{\circ} + tan 2 0^{\circ} - 3 tan 10 0^{\circ} tan 2 0^{\circ} = - 3

。

式子裡同時出現兩個正切的和與積，就把和角公式去分母來用。

第 7 題由圖，直角分別在

A

、

B

、

C

。在

△ O C D

中

\overline{O C} = \overline{O D} cos 3 0^{\circ} = 63

。在

△ O B C

中

\overline{O B} = \overline{O C} cos 1 5^{\circ}

。在

△ O A B

中

\overline{A B} = \overline{O B} sin 1 5^{\circ} = 63 sin 1 5^{\circ} cos 1 5^{\circ}

。由倍角公式

sin 1 5^{\circ} cos 1 5^{\circ} = \frac{1}{2} sin 3 0^{\circ} = \frac{1}{4}

，所以

\overline{A B} = \frac{6 3}{4} = \frac{3 3}{2}

。

不必算出

sin 1 5^{\circ}

、

cos 1 5^{\circ}

各自的值，乘在一起用倍角公式一次收掉。

第 8 題設半徑

r

、圓心角

θ

（弧度）。扇形面積

= \frac{1}{2} \times r \times

弧長，所以

5 = \frac{1}{2} \times r \times 2

，

r = 5

。弧長

= r θ

，

2 = 5 θ

，

θ = \frac{2}{5}

。

04填充 8～11（第 9～12 題）：和角求角、數交點、疊合求極值、摩天輪

第 9 題

α

、

β

都是第二象限角：

cos α = - 1 - \frac{1}{5} = - \frac{2}{5}

，

sin β = 1 - \frac{9}{10} = \frac{1}{10}

。

cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β = \frac{6}{50} - \frac{1}{50} = \frac{5}{5 2} = \frac{2}{2}

。又

18 0^{\circ} < α + β < 36 0^{\circ}

，在這個範圍內餘弦等於

\frac{2}{2}

的只有

31 5^{\circ}

，換成弧度是

\frac{7 π}{4}

。

一定要先寫出

α + β

的範圍，才不會答成

4 5^{\circ}

；題目要求用弧度作答。

第 10 題交點的

x

坐標滿足

sin 2 x = sin x

。用倍角公式：

2 sin x cos x - sin x = 0

，

sin x (2 cos x - 1) = 0

。在

- π \leq x \leq π

內，

sin x = 0

得

x = - π, 0, π

；

cos x = \frac{1}{2}

得

x = \pm \frac{π}{3}

。共

5

個交點。

兩端點

x = \pm π

都在範圍內，要算進去；不可以把

sin x

直接約掉。

第 11 題

r = (- 3)^{2} + 1^{2} = 2

，

f (x) = 2 (- \frac{3}{2} sin x + \frac{1}{2} cos x) = 2 (sin x cos θ + cos x sin θ)

，其中

cos θ = - \frac{3}{2}

、

sin θ = \frac{1}{2}

，取

θ = \frac{5 π}{6}

，

f (x) = 2 sin (x + \frac{5 π}{6})

。

0 \leq x \leq π

時

\frac{5 π}{6} \leq x + \frac{5 π}{6} \leq \frac{11 π}{6}

，這段正弦值最大在左端

\frac{5 π}{6}

（值

\frac{1}{2}

），最小在

\frac{3 π}{2}

（值

- 1

）。所以

x_{1} = 0

時

M = 1

；

x_{2} = \frac{3 π}{2} - \frac{5 π}{6} = \frac{2 π}{3}

時

m = - 2

。答

(1, 0, - 2, \frac{2 π}{3})

。

x

有範圍時最大值不一定是

r = 2

：這裡角度到不了

\frac{π}{2}

，最大值出現在端點

x = 0

。

第 12 題半徑

35

，最低點離地

30

，所以圓心

K (0, 65)

。以

K

為中心、水平向右為起始方向量角：

4

號車廂在

P (35, 65)

，角度為

0

。

3

號車廂在

Q (21, 93)

，從

K

看是向右

21

、向上

28

，設它的角度為

φ

，則

cos φ = \frac{21}{35} = \frac{3}{5}

、

sin φ = \frac{28}{35} = \frac{4}{5}

。車廂等速運轉、相鄰車廂間隔相同，

3

號領先

4

號

φ

，

1

號再往前兩格，角度為

3 φ

，高度

= 65 + 35 sin 3 φ

。倍角：

sin 2 φ = 2 \times \frac{4}{5} \times \frac{3}{5} = \frac{24}{25}

，

cos 2 φ = \frac{9}{25} - \frac{16}{25} = - \frac{7}{25}

。和角：

sin 3 φ = sin 2 φ cos φ + cos 2 φ sin φ = \frac{72}{125} - \frac{28}{125} = \frac{44}{125}

。高度

= 65 + 35 \times \frac{44}{125} = 65 + \frac{308}{25} = \frac{1933}{25}

公尺。

\frac{1933}{25} = 77.32

。

3 φ

約

15 9^{\circ}

，小祈的車廂已經過了最高點、在左上方，高度比

Q

的

93

低是合理的。

05多重選擇題（第 13～16 題）：象限角、圖形性質、廣義角、平移

第 13 題答案 (3)(4)。(1)

\frac{7 π}{3} = 2 π + \frac{π}{3}

，與

\frac{π}{3}

同界，第一象限。(2)

- \frac{13 π}{9} + 2 π = \frac{5 π}{9}

，即

10 0^{\circ}

，第二象限。(3)

- π \approx - 3.14 < - 3 < - \frac{π}{2} \approx - 1.57

，

- 3

弧度在第三象限，對。(4)

\frac{10 π}{3} = 2 π + \frac{4 π}{3}

，與

\frac{4 π}{3}

（

24 0^{\circ}

）同界，第三象限，對。(5)

\frac{π}{2} < 3 < π

，第二象限。

3

比

π

小一點點，所以

3

弧度在第二象限、

- 3

弧度在第三象限。

第 14 題答案 (2)(3)(5)。(1) 錯：

y = 2 cos 3 x

的對稱軸要通過最高點或最低點，但

x = \frac{π}{6}

時

y = 2 cos \frac{π}{2} = 0

；也可以取

x = 0

與

x = \frac{π}{3}

（對

x = \frac{π}{6}

對稱的兩個位置），函數值分別是

2

與

- 2

，不相等。(2) 對：

sin 3 x

最大是

1

，所以最大值

2

。(3) 對：正切函數的值域是全體實數，

tan x = 50

有解。(4) 錯：圖形通過

(0, 2)

，對原點的對稱點

(0, - 2)

不在圖形上。(5) 對：

y = 2 sin 3 x

的週期是

\frac{2 π}{3}

。

選項 (5) 流傳版本題幹印作

y = 2 sin 3

（少了

x

），依答案應為

y = 2 sin 3 x

。

y = 2 cos 3 x

的圖形對稱於

y

軸，並以

(\frac{π}{6}, 0)

為對稱中心，不是以

x = \frac{π}{6}

為對稱軸。

第 15 題答案 (1)(2)。

tan θ = \frac{2}{3} > 0

，終邊在第一或第三象限；

P

的

y

坐標是負的，所以在第三象限。

tan θ = \frac{y}{x} = \frac{- 4}{x} = \frac{2}{3}

，

x = - 6

，

P (- 6, - 4)

。(1) 對：

\overline{O P} = 36 + 16 = 213

。(2) 對：

sin θ = \frac{- 2}{13}

、

cos θ = \frac{- 3}{13}

，

sin 2 θ = 2 sin θ cos θ = \frac{12}{13} > 0

。(3) 不一定：設

α

是銳角且

tan α = \frac{2}{3}

，則

θ = π + α + 2 k π

（

k

為整數），

\frac{θ}{2} = \frac{π}{2} + \frac{α}{2} + k π

；

k

為偶數時在第二象限，餘弦為負，

k

為奇數時在第四象限，餘弦為正。(4) 錯：

x

坐標是

- 6

。(5) 錯：

cos θ = - \frac{3}{13}

。

θ

是廣義角，只知道終邊位置；

θ

多轉一圈，

\frac{θ}{2}

就多轉半圈，餘弦的正負會跟著變，所以 (3) 不能選。

第 16 題答案 (1)(4)。往右平移

h

得

y = sin (x - h)

，往左平移

h

得

y = sin (x + h)

；角度相差

2 π

的整數倍時是同一個圖形。(1)

sin (x - \frac{π}{5})

，對。(2)

sin (x + \frac{π}{5})

，不對。(3)

sin (x - \frac{9 π}{5}) = sin (x - \frac{9 π}{5} + 2 π) = sin (x + \frac{π}{5})

，不對。(4)

sin (x + \frac{9 π}{5}) = sin (x + \frac{9 π}{5} - 2 π) = sin (x - \frac{π}{5})

，對。(5)

sin (x + \frac{11 π}{5}) = sin (x + \frac{π}{5})

，不對。

往右

\frac{π}{5}

與往左

\frac{9 π}{5}

合起來剛好差一個週期

2 π

，所以是同一個圖形。

弧度制的題先把角度換到熟悉的範圍（加減

2 π

、看介於

\frac{π}{2}

的幾倍之間），再判斷象限與正負；求極值、求角都要先寫出角度的範圍。

同一次段考的其他學校

同樣是高二第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

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常見問題

小港高中 114 上高二第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 16 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

小港高中 114 上高二第一次段考數學哪幾題最容易錯？

填充第 11 題（本頁第 12 題）摩天輪要先看出相鄰車廂的夾角、再用倍角與和角公式算三倍角；填充第 10 題（第 11 題）疊合後最大值出現在端點而不是振幅；填充第 8 題（第 9 題）要先定出兩角和的範圍才不會答成銳角；多選第 3 題（第 15 題）半角的餘弦正負不固定。詳解逐題寫在本頁。

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

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題目取自小港高中 114 學年度上學期高二第一次段考數學A，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

御藍教育／段考卷／高二

段考詳解範圍：三角函數（弧度量、三角函數的圖形、和差角與倍角半角公式、正餘弦的疊合）

小港高中 114 上
高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 16 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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01 · 試題

原卷 16 題，照原卷順序

一、單選題：每題 6 分

設

a = sin 4

，選出正確的選項

(1) $0 < a < \frac{2}{2}$
(2) $\frac{2}{2} < a < \frac{3}{2}$
(3) $\frac{3}{2} < a < 1$
(4) $- \frac{3}{2} < a < - \frac{2}{2}$
(5) $- \frac{2}{2} < a < - \frac{1}{2}$

比較

a = cos 2

，

b = cos 3

，

c = cos 5

，

d = cos 6

的

a, b, c, d

大小 ____。

求

cos 4 4^{\circ} sin 16 4^{\circ} - sin 22 4^{\circ} cos 34 4^{\circ} =

____。

右圖是函數

y = a sin (b x + c)

（

a > 0

，

b > 0

，

0 < c < π

）的部份圖形，求實數

(a, b, c) =

____。

載入中...

在

- π \leq x \leq π

範圍內，求滿足不等式

- \frac{1}{2} < cos x < \frac{3}{2}

的

x

之範圍 ____。（弧度量作答）

試求

tan 10 0^{\circ} + tan 2 0^{\circ} - 3 tan 10 0^{\circ} tan 2 0^{\circ} =

____。

如右圖，

△ O A B

、

△ O B C

、

△ O C D

都是直角三角形，

∠ A O B = 1 5^{\circ}

，

∠ B O C = 1 5^{\circ}

，

∠ C O D = 3 0^{\circ}

，

\overline{O D} = 12

，試求

\overline{A B}

長 ____。

載入中...

已知扇形的面積為

5

平方公分，弧長為

2

公分，則其圓心角的弧度為 ____。（弧度量作答）

設

9 0^{\circ} < α < 18 0^{\circ}

，

9 0^{\circ} < β < 18 0^{\circ}

，且

sin α = \frac{1}{5}

、

cos β = - \frac{3}{10}

，求

α + β

的度數 ____。（弧度量作答）

y = sin x

和

y = sin 2 x

的函數圖形在

- π \leq x \leq π

時有多少個交點？ ____。

已知函數

f (x) = - 3 sin x + cos x

。設

f (x) = r sin (x + θ)

，其中

r > 0

，

0 < θ < 2 π

。若

0 \leq x \leq π

，當

x = x_{1}

時

f (x)

有最大值

M

；當

x = x_{2}

時

f (x)

有最小值

m

，求

(M, x_{1}, m, x_{2}) =

____。（弧度量作答）

遊樂園的摩天輪直徑為

70

公尺，若地面以

y = 0

表示，摩天輪的圓心為

K

，且

K

對地面作垂線交於原點

O (0, 0)

。摩天輪的每個車廂都有依序編號

1

、

2

、

3

、

4

、……，且持續依逆時針方向等速率運轉。當車廂在最低位置時，離地面高度

30

公尺處為乘車處，若小祈搭上

1

號車廂，小恩排在隊伍後方並搭上

3

號車廂，若緊接著的

4

號車廂從乘車處旋轉

9 0^{\circ}

時，車廂到達位置

P (35, 65)

，此時小恩到達摩天輪位置

Q (21, 93)

，則小祈車廂距離地面高度多少公尺？ ____。

載入中...

試選出下列各角何者為第三象限角？

(1) $\frac{7 π}{3}$ 弳。
(2) $- \frac{13 π}{9}$ 弳。
(3) $- 3$ 弳。
(4) $\frac{10 π}{3}$ 弳。
(5) $3$ 弳。

下列敘述何者正確？

(1) 函數 $y = 2 cos 3 x$ 的圖形對稱於直線 $x = \frac{π}{6}$ 。
(2) 函數 $y = 2 sin 3 x$ 的最大值為 $2$ 。
(3) 函數 $y = tan x$ 與 $y = 50$ 的圖形有交點。
(4) 函數 $y = 2 cos 3 x$ 的圖形對稱於原點。
(5) 函數 $y = 2 sin 3 x$ 的週期為 $\frac{2 π}{3}$ 。

在坐標平面上，廣義角

θ

的頂點為原點

O

，始邊為

x

軸的正向，且滿足

tan θ = \frac{2}{3}

。若

θ

的終邊上有一點

P

，其

y

坐標為

- 4

，則下列哪些選項一定正確？

(1) $\overline{O P} = 213$
(2) $sin 2 θ > 0$
(3) $cos \frac{θ}{2} < 0$
(4) $P$ 的 $x$ 坐標是 $6$
(5) $cos θ = \frac{3}{13}$

試問

y = sin (x - \frac{π}{5})

的圖形如何由

y = sin x

的圖形平移得到？選出所有正確的選項？

(1) 往右平移 $\frac{π}{5}$ 單位
(2) 往左平移 $\frac{π}{5}$ 單位
(3) 往右平移 $\frac{9 π}{5}$ 單位
(4) 往左平移 $\frac{9 π}{5}$ 單位
(5) 往左平移 $\frac{11 π}{5}$ 單位。

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(4)

第 2 題

d > c > a > b

第 3 題

\frac{3}{2}

第 4 題

(3, 2, \frac{π}{3})

第 5 題

- \frac{2 π}{3} < x < - \frac{π}{6}

或

\frac{π}{6} < x < \frac{2 π}{3}

第 6 題

- 3

第 7 題

\frac{3 3}{2}

第 8 題

\frac{2}{5}

第 9 題

\frac{7 π}{4}

第 10 題

5

第 11 題

(1, 0, - 2, \frac{2 π}{3})

第 12 題

\frac{1933}{25}

第 13 題(3)(4)

第 14 題(2)(3)(5)

第 15 題(1)(2)

第 16 題(1)(4)

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選題（第 1 題）：用弧度估計正弦值

第 1 題答案 (4)。

π \approx 3.14

、

\frac{3 π}{2} \approx 4.71

，所以

π < 4 < \frac{3 π}{2}

，

4

弧度是第三象限角，

a = sin 4 = - sin (4 - π) < 0

。

4 - π \approx 0.86

，而

\frac{π}{4} \approx 0.79

、

\frac{π}{3} \approx 1.05

，所以

\frac{π}{4} < 4 - π < \frac{π}{3}

。正弦在

0

到

\frac{π}{2}

遞增，得

\frac{2}{2} < sin (4 - π) < \frac{3}{2}

，加上負號：

- \frac{3}{2} < a < - \frac{2}{2}

。

sin 4

的

4

沒有度的符號，是

4

弧度（約

22 9^{\circ}

），不是

4^{\circ}

。

02填充 1～3（第 2～4 題）：餘弦比大小、和角公式、由圖形定係數

第 2 題餘弦值在

0

到

π

之間遞減，先把四個角都換到這個範圍：

cos 5 = cos (2 π - 5)

、

cos 6 = cos (2 π - 6)

，其中

2 π - 5 \approx 1.28

、

2 π - 6 \approx 0.28

。四個角由小到大是

0.28 < 1.28 < 2 < 3

，都在

0

到

π

之間，餘弦值由大到小：

cos 6 > cos 5 > cos 2 > cos 3

，即

d > c > a > b

。

也可以看正負：

2

、

3

弧度在第二象限，餘弦為負；

5

、

6

弧度在第四象限，餘弦為正。再各自比兩個就好。

第 3 題先把角度化到容易配對的樣子：

sin 16 4^{\circ} = sin 1 6^{\circ}

，

sin 22 4^{\circ} = - sin 4 4^{\circ}

，

cos 34 4^{\circ} = cos 1 6^{\circ}

。原式

= cos 4 4^{\circ} sin 1 6^{\circ} + sin 4 4^{\circ} cos 1 6^{\circ} = sin (4 4^{\circ} + 1 6^{\circ}) = sin 6 0^{\circ} = \frac{3}{2}

。

22 4^{\circ} = 18 0^{\circ} + 4 4^{\circ}

在第三象限，正弦是負的，所以原式中間的減號會變成加號。

第 4 題最高

3

、最低

- 3

，且

a > 0

，所以

a = 3

。圖形在

x = - \frac{π}{6}

由下往上通過

x

軸，下一次由下往上通過是

x = \frac{5 π}{6}

，週期

= \frac{5 π}{6} - (- \frac{π}{6}) = π

，所以

b = \frac{2 π}{π} = 2

。

y = 3 sin (2 x + c) = 3 sin 2 (x + \frac{c}{2})

是

y = 3 sin 2 x

向左平移

\frac{c}{2}

；

y = 3 sin 2 x

在

x = 0

由下往上通過

x

軸，現在這個點移到

x = - \frac{π}{6}

，所以

\frac{c}{2} = \frac{π}{6}

，

c = \frac{π}{3}

，符合

0 < c < π

。答

(3, 2, \frac{π}{3})

。

驗算：

x = \frac{π}{3}

時

2 x + \frac{π}{3} = π

，函數值

0

且圖形往下走，與圖相符。

03填充 4～7（第 5～8 題）：餘弦不等式、正切和角、連續直角三角形、扇形

第 5 題先看

0 \leq x \leq π

：餘弦在這段遞減，

cos \frac{π}{6} = \frac{3}{2}

、

cos \frac{2 π}{3} = - \frac{1}{2}

，所以

- \frac{1}{2} < cos x < \frac{3}{2}

的解是

\frac{π}{6} < x < \frac{2 π}{3}

。

y = cos x

的圖形對稱於

y

軸，

- π \leq x \leq 0

的解就是把上面那段對

y

軸鏡射：

- \frac{2 π}{3} < x < - \frac{π}{6}

。兩段合起來就是答案。

兩邊都是不含等號的不等式，端點都不取；負的那一段別漏掉。

第 6 題

10 0^{\circ} + 2 0^{\circ} = 12 0^{\circ}

，由正切的和角公式

tan 12 0^{\circ} = \frac{tan 10 0 ^{\circ} + tan 2 0 ^{\circ}}{1 - tan 10 0 ^{\circ} tan 2 0 ^{\circ}} = - 3

。去分母：

tan 10 0^{\circ} + tan 2 0^{\circ} = - 3 + 3 tan 10 0^{\circ} tan 2 0^{\circ}

。移項得

tan 10 0^{\circ} + tan 2 0^{\circ} - 3 tan 10 0^{\circ} tan 2 0^{\circ} = - 3

。

式子裡同時出現兩個正切的和與積，就把和角公式去分母來用。

第 7 題由圖，直角分別在

A

、

B

、

C

。在

△ O C D

中

\overline{O C} = \overline{O D} cos 3 0^{\circ} = 63

。在

△ O B C

中

\overline{O B} = \overline{O C} cos 1 5^{\circ}

。在

△ O A B

中

\overline{A B} = \overline{O B} sin 1 5^{\circ} = 63 sin 1 5^{\circ} cos 1 5^{\circ}

。由倍角公式

sin 1 5^{\circ} cos 1 5^{\circ} = \frac{1}{2} sin 3 0^{\circ} = \frac{1}{4}

，所以

\overline{A B} = \frac{6 3}{4} = \frac{3 3}{2}

。

不必算出

sin 1 5^{\circ}

、

cos 1 5^{\circ}

各自的值，乘在一起用倍角公式一次收掉。

第 8 題設半徑

r

、圓心角

θ

（弧度）。扇形面積

= \frac{1}{2} \times r \times

弧長，所以

5 = \frac{1}{2} \times r \times 2

，

r = 5

。弧長

= r θ

，

2 = 5 θ

，

θ = \frac{2}{5}

。

04填充 8～11（第 9～12 題）：和角求角、數交點、疊合求極值、摩天輪

第 9 題

α

、

β

都是第二象限角：

cos α = - 1 - \frac{1}{5} = - \frac{2}{5}

，

sin β = 1 - \frac{9}{10} = \frac{1}{10}

。

cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β = \frac{6}{50} - \frac{1}{50} = \frac{5}{5 2} = \frac{2}{2}

。又

18 0^{\circ} < α + β < 36 0^{\circ}

，在這個範圍內餘弦等於

\frac{2}{2}

的只有

31 5^{\circ}

，換成弧度是

\frac{7 π}{4}

。

一定要先寫出

α + β

的範圍，才不會答成

4 5^{\circ}

；題目要求用弧度作答。

第 10 題交點的

x

坐標滿足

sin 2 x = sin x

。用倍角公式：

2 sin x cos x - sin x = 0

，

sin x (2 cos x - 1) = 0

。在

- π \leq x \leq π

內，

sin x = 0

得

x = - π, 0, π

；

cos x = \frac{1}{2}

得

x = \pm \frac{π}{3}

。共

5

個交點。

兩端點

x = \pm π

都在範圍內，要算進去；不可以把

sin x

直接約掉。

第 11 題

r = (- 3)^{2} + 1^{2} = 2

，

f (x) = 2 (- \frac{3}{2} sin x + \frac{1}{2} cos x) = 2 (sin x cos θ + cos x sin θ)

，其中

cos θ = - \frac{3}{2}

、

sin θ = \frac{1}{2}

，取

θ = \frac{5 π}{6}

，

f (x) = 2 sin (x + \frac{5 π}{6})

。

0 \leq x \leq π

時

\frac{5 π}{6} \leq x + \frac{5 π}{6} \leq \frac{11 π}{6}

，這段正弦值最大在左端

\frac{5 π}{6}

（值

\frac{1}{2}

），最小在

\frac{3 π}{2}

（值

- 1

）。所以

x_{1} = 0

時

M = 1

；

x_{2} = \frac{3 π}{2} - \frac{5 π}{6} = \frac{2 π}{3}

時

m = - 2

。答

(1, 0, - 2, \frac{2 π}{3})

。

x

有範圍時最大值不一定是

r = 2

：這裡角度到不了

\frac{π}{2}

，最大值出現在端點

x = 0

。

第 12 題半徑

35

，最低點離地

30

，所以圓心

K (0, 65)

。以

K

為中心、水平向右為起始方向量角：

4

號車廂在

P (35, 65)

，角度為

0

。

3

號車廂在

Q (21, 93)

，從

K

看是向右

21

、向上

28

，設它的角度為

φ

，則

cos φ = \frac{21}{35} = \frac{3}{5}

、

sin φ = \frac{28}{35} = \frac{4}{5}

。車廂等速運轉、相鄰車廂間隔相同，

3

號領先

4

號

φ

，

1

號再往前兩格，角度為

3 φ

，高度

= 65 + 35 sin 3 φ

。倍角：

sin 2 φ = 2 \times \frac{4}{5} \times \frac{3}{5} = \frac{24}{25}

，

cos 2 φ = \frac{9}{25} - \frac{16}{25} = - \frac{7}{25}

。和角：

sin 3 φ = sin 2 φ cos φ + cos 2 φ sin φ = \frac{72}{125} - \frac{28}{125} = \frac{44}{125}

。高度

= 65 + 35 \times \frac{44}{125} = 65 + \frac{308}{25} = \frac{1933}{25}

公尺。

\frac{1933}{25} = 77.32

。

3 φ

約

15 9^{\circ}

，小祈的車廂已經過了最高點、在左上方，高度比

Q

的

93

低是合理的。

05多重選擇題（第 13～16 題）：象限角、圖形性質、廣義角、平移

第 13 題答案 (3)(4)。(1)

\frac{7 π}{3} = 2 π + \frac{π}{3}

，與

\frac{π}{3}

同界，第一象限。(2)

- \frac{13 π}{9} + 2 π = \frac{5 π}{9}

，即

10 0^{\circ}

，第二象限。(3)

- π \approx - 3.14 < - 3 < - \frac{π}{2} \approx - 1.57

，

- 3

弧度在第三象限，對。(4)

\frac{10 π}{3} = 2 π + \frac{4 π}{3}

，與

\frac{4 π}{3}

（

24 0^{\circ}

）同界，第三象限，對。(5)

\frac{π}{2} < 3 < π

，第二象限。

3

比

π

小一點點，所以

3

弧度在第二象限、

- 3

弧度在第三象限。

第 14 題答案 (2)(3)(5)。(1) 錯：

y = 2 cos 3 x

的對稱軸要通過最高點或最低點，但

x = \frac{π}{6}

時

y = 2 cos \frac{π}{2} = 0

；也可以取

x = 0

與

x = \frac{π}{3}

（對

x = \frac{π}{6}

對稱的兩個位置），函數值分別是

2

與

- 2

，不相等。(2) 對：

sin 3 x

最大是

1

，所以最大值

2

。(3) 對：正切函數的值域是全體實數，

tan x = 50

有解。(4) 錯：圖形通過

(0, 2)

，對原點的對稱點

(0, - 2)

不在圖形上。(5) 對：

y = 2 sin 3 x

的週期是

\frac{2 π}{3}

。

選項 (5) 流傳版本題幹印作

y = 2 sin 3

（少了

x

），依答案應為

y = 2 sin 3 x

。

y = 2 cos 3 x

的圖形對稱於

y

軸，並以

(\frac{π}{6}, 0)

為對稱中心，不是以

x = \frac{π}{6}

為對稱軸。

第 15 題答案 (1)(2)。

tan θ = \frac{2}{3} > 0

，終邊在第一或第三象限；

P

的

y

坐標是負的，所以在第三象限。

tan θ = \frac{y}{x} = \frac{- 4}{x} = \frac{2}{3}

，

x = - 6

，

P (- 6, - 4)

。(1) 對：

\overline{O P} = 36 + 16 = 213

。(2) 對：

sin θ = \frac{- 2}{13}

、

cos θ = \frac{- 3}{13}

，

sin 2 θ = 2 sin θ cos θ = \frac{12}{13} > 0

。(3) 不一定：設

α

是銳角且

tan α = \frac{2}{3}

，則

θ = π + α + 2 k π

（

k

為整數），

\frac{θ}{2} = \frac{π}{2} + \frac{α}{2} + k π

；

k

為偶數時在第二象限，餘弦為負，

k

為奇數時在第四象限，餘弦為正。(4) 錯：

x

坐標是

- 6

。(5) 錯：

cos θ = - \frac{3}{13}

。

θ

是廣義角，只知道終邊位置；

θ

多轉一圈，

\frac{θ}{2}

就多轉半圈，餘弦的正負會跟著變，所以 (3) 不能選。

第 16 題答案 (1)(4)。往右平移

h

得

y = sin (x - h)

，往左平移

h

得

y = sin (x + h)

；角度相差

2 π

的整數倍時是同一個圖形。(1)

sin (x - \frac{π}{5})

，對。(2)

sin (x + \frac{π}{5})

，不對。(3)

sin (x - \frac{9 π}{5}) = sin (x - \frac{9 π}{5} + 2 π) = sin (x + \frac{π}{5})

，不對。(4)

sin (x + \frac{9 π}{5}) = sin (x + \frac{9 π}{5} - 2 π) = sin (x - \frac{π}{5})

，對。(5)

sin (x + \frac{11 π}{5}) = sin (x + \frac{π}{5})

，不對。

往右

\frac{π}{5}

與往左

\frac{9 π}{5}

合起來剛好差一個週期

2 π

，所以是同一個圖形。

弧度制的題先把角度換到熟悉的範圍（加減

2 π

、看介於

\frac{π}{2}

的幾倍之間），再判斷象限與正負；求極值、求角都要先寫出角度的範圍。

同一次段考的其他學校

同樣是高二第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

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小港高中 114 上高二第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 16 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

小港高中 114 上高二第一次段考數學哪幾題最容易錯？

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可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

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可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

題目取自小港高中 114 學年度上學期高二第一次段考數學A，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

小港高中 114 上高二第一次段考數學試題、答案與詳解

原卷 16 題，照原卷順序

答案一覽，先對再看詳解

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對完答案了？勾你錯的題號

考前先拿一份自己的考前藍圖

每一題，錯在哪一步

01單選題（第 1 題）：用弧度估計正弦值

02填充 1～3（第 2～4 題）：餘弦比大小、和角公式、由圖形定係數

03填充 4～7（第 5～8 題）：餘弦不等式、正切和角、連續直角三角形、扇形

04填充 8～11（第 9～12 題）：和角求角、數交點、疊合求極值、摩天輪

05多重選擇題（第 13～16 題）：象限角、圖形性質、廣義角、平移

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小港高中 114 上
高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

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