段考詳解範圍：三角函數（弧度量、三角函數的圖形、和差角與倍角公式、正餘弦的疊合）

高雄新興高中 114 上
高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 20 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

考前想要一份自己的模擬卷，外加每天練哪一章？免費註冊，練滿 15 題就能產生考前藍圖 PDF →

0.0

題原卷全文

0.0

則逐題詳解

0.0

個單元，勾錯題號就知道錯在哪

0.0

元，不用註冊

01 · 試題

原卷 20 題，照原卷順序

單選題 1 題（3 分）、多選題 3 題（每題 6 分，共 18 分，錯一個選項扣 2 分，扣完為止）、填充題 14 格（每格 5 分，共 70 分）、計算題 1 題（9 分：第 (1) 小題 4 分加 2 分，第 (2) 小題 3 分），合計 100 分。本頁全卷連續編號：第 1 題為單選題，第 2～4 題為多選第 1～3 題，第 5～18 題為填充第 1～14 題，第 19、20 題為計算題的 (1)(2)。本卷沒有學校公布的答案，本頁答案為本站依題目計算。

一、單選題：每題 3 分，共 3 分

將正弦函數

f (x) = sin x

的圖形以

y

軸為基準，水平方向伸縮為原來

\frac{1}{2}

倍，再將所得的圖形向左平移

\frac{π}{3}

單位，則所得新圖形會與下列哪一個選項的圖形重合？

(A) $sin (\frac{1}{2} x - \frac{π}{6})$
(B) $sin (2 x + \frac{π}{3})$
(C) $sin (2 x + \frac{2 π}{3})$
(D) $sin (2 x - \frac{2 π}{3})$
(E) $2 sin (x - \frac{π}{3})$

二、多選題：每題 6 分，共 18 分(錯一個選項扣 2 分，扣完為止)

若函數

f (x) = 1 + 4 sin 3 x

，試問下列哪些敘述是正確的？

(A) $- 2 \leq f (x) \leq 4$
(B) $y = f (x)$ 的週期為 $6 π$
(C) 當 $\frac{7 π}{6} \leq x \leq \frac{4 π}{3}$ 時， $y = f (x)$ 的圖形由左往右逐漸上升
(D) $y = f (x)$ 的圖形對稱於直線 $x + \frac{π}{6} = 0$
(E) $f (1) > 0$

下列哪些選項是正確的？

(A) $π^{\circ} = \frac{π ^{2}}{180}$ 弳
(B) $sin 1 > sin 2$
(C) $sin π > sin π^{\circ}$
(D) $cos π^{\circ} > sin π^{\circ}$
(E) $sin π^{2} > cos π^{2}$

下列哪些函數的週期為

π

？

(A) $y = 2 sin x - cos x$
(B) $y = - 3 tan x$
(C) $y = sin x cos x$
(D) $y = sin^{2} x$
(E) $y = ∣ sin x + cos x ∣$

三、填充題：每格 5 分，14 格，共 70 分

有一個半徑

30

m 的圓形廣場，在牆面上裝有一個探照燈，已知探照燈射出的光線區域所張成的角為

\frac{π}{3}

，如圖。則燈光打在圓形廣場牆面上的弧長為 ____ m。

載入中...

求

sin (- \frac{π}{6}) cos (\frac{5 π}{6}) + tan \frac{7 π}{6}

的值為 ____。

如圖，將兩個邊長為

6

、

8

、

10

的直角三角形積木疊放於桌上（

\overline{A B} = \overline{A D} = 8

、

\overline{B C} = \overline{D E} = 6

、

\overline{A C} = \overline{A E} = 10

），求最高點到桌面（即

\overline{E F}

）的距離為 ____。

載入中...

已知

x

為實數，函數

f (x) = 3 sin x + 2 cos x + 1

，求

f (x)

的最小值為 ____。

若

0 \leq x < 2 π

，試問有多少個實數

x

滿足

cos (x - \frac{π}{3}) = cos x + cos \frac{π}{3}

？ ____ 個

已知函數

f (x) = a sin (b x + c)

的部分圖形如下圖，且

a > 0

，

b > 0

，則

f (\frac{π}{6}) =

____。

載入中...

若

\frac{π}{2} < α < π

、

\frac{π}{2} < β < π

，且

sin α = \frac{2}{5}

、

cos β = - \frac{1}{10}

，則

α + β =

____。

如圖，兩個半徑為

1

的圓，已知兩圓心距離為

3

，試問重疊部分的面積為 ____。

載入中...

△ A B C

中，若

tan A = \frac{- 1}{2}

，

tan B = \frac{1}{3}

，則

cos C =

____。

試求

\frac{1}{cos 34 0 ^{\circ}} + \frac{3}{sin 34 0 ^{\circ}}

的值為 ____。

將一木板放在圓筒上，如圖為剖面示意圖，其中圓的半徑為

30

公分，

\overline{A C}

的長度為

240

公分，

B

為

\overline{A C}

中點。假設當此木板朝一側傾斜，使得板面與地面接觸時，此時板面與地面的夾角為

θ

，則

tan θ

的值為 ____。

載入中...

設

θ

為兩直線

L_{1} : x - 3 y = 101

與

L_{2} : 4 x - y = 2025

的夾角，且

0^{\circ} < θ < 9 0^{\circ}

，則

tan θ =

____。

在

0 \leq x \leq 10

範圍內，方程式

tan x = 1 + x

的解有 ____ 個

設

18 0^{\circ} < θ < 27 0^{\circ}

，且

sin θ + 3 cos θ = 2 sin 202 5^{\circ}

，若

θ = m^{\circ}

，試求

m

的值為 ____。

四、計算題：9 分(視過程部分給分，只有答案沒寫算式不予給分)

第 19～20 題為題組（原卷計算第 1 題）（第 19～20 題）　設函數

y = 2 sin^{2} x + cos (2 x - \frac{π}{3})

。

(1) 若

0 \leq x \leq 2 π

，當

x = α

時函數

y

有最大值

M

，週期為

T

，求

(α, M) =

？（4 分）　

T =

？（2 分）

(2) 若

\frac{π}{6} \leq x \leq \frac{3 π}{4}

，求函數

y

的最小值？（3 分）

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(C)

第 2 題(C)(D)(E)

第 3 題(A)(D)(E)

第 4 題(B)(C)(D)(E)

第 5 題

20 π

第 6 題

\frac{7 3}{12}

第 7 題

\frac{48}{5}

第 8 題

1 - 13

第 9 題

2

第 10 題

2

第 11 題

\frac{5 π}{4}

第 12 題

\frac{π}{3} - \frac{3}{2}

第 13 題

\frac{7 2}{10}

第 14 題

- 4

第 15 題

\frac{8}{15}

（依圖，以 B 為木板與圓的切點）

第 16 題

\frac{11}{7}

第 17 題

3

第 18 題

255

第 19 題

(α, M) = (\frac{π}{3}, 2)

或

(\frac{4 π}{3}, 2)

；

T = π

（範圍內有兩個週期，兩個位置都算對）

第 20 題

1 - \frac{3}{2}

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

考前先拿一份自己的考前藍圖

註冊之後，在首頁填上你們下一次段考的日期和範圍，練滿 15 題，系統就會照你做過的題、錯過的題，出一份考前藍圖 PDF：一份模擬卷、詳解，還有考前每天練哪一章。

註冊就能免費體驗，不需綁定信用卡。

免費註冊

04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選題（第 1 題）：先伸縮、再平移

第 1 題答案 (C)。水平方向伸縮為原來的

\frac{1}{2}

倍，把

x

換成

2 x

，得

y = sin 2 x

。再向左平移

\frac{π}{3}

單位，把

x

換成

x + \frac{π}{3}

：

y = sin 2 (x + \frac{π}{3}) = sin (2 x + \frac{2 π}{3})

所以選 (C)。

平移時換掉的是

x

本身，所以括號裡加的是

2 \times \frac{π}{3} = \frac{2 π}{3}

；寫成

sin (2 x + \frac{π}{3})

就是選項 (B) 的陷阱。

02多選題（第 2～4 題，原卷多選第 1～3 題）：圖形的性質、弧度與度、週期

第 2 題(A) 錯誤。

- 1 \leq sin 3 x \leq 1

，所以

1 - 4 \leq f (x) \leq 1 + 4

，即

- 3 \leq f (x) \leq 5

。例如

x = \frac{π}{6}

時

f (x) = 5

，超過

4

。 (B) 錯誤。 週期是

\frac{2 π}{3}

，不是

6 π

。 (C) 正確。

\frac{7 π}{6} \leq x \leq \frac{4 π}{3}

時，

\frac{7 π}{2} \leq 3 x \leq 4 π

。扣掉一圈

2 π

，相當於角度由

\frac{3 π}{2}

走到

2 π

，正弦值由

- 1

一路升到

0

，所以圖形由左往右上升。 (D) 正確。 直線

x + \frac{π}{6} = 0

就是

x = - \frac{π}{6}

。這時

3 x = - \frac{π}{2}

，

sin 3 x = - 1

，

f (x) = - 3

是最小值，圖形在這裡是波谷；通過波峰或波谷的鉛直線都是對稱軸。 (E) 正確。

f (1) = 1 + 4 sin 3

，這裡的

3

是弧度，

\frac{π}{2} < 3 < π

是第二象限角，

sin 3 > 0

，所以

f (1) > 1 > 0

。選 (C)(D)(E)。

sin 3 \approx 0.141

，

f (1) \approx 1.564

。

第 3 題(A) 正確。

1^{\circ} = \frac{π}{180}

弳，所以

π^{\circ} = π \times \frac{π}{180} = \frac{π ^{2}}{180}

弳。 (B) 錯誤。

1

、

2

是弧度。

sin 2 = sin (π - 2)

，而

π - 2 \approx 1.14

；

1

與

1.14

都在

0

到

\frac{π}{2}

之間，正弦在這段遞增，所以

sin 1 < sin (π - 2) = sin 2

。 (C) 錯誤。

sin π = 0

；

π^{\circ} \approx 3.1 4^{\circ}

是很小的銳角，

sin π^{\circ} > 0

。所以

sin π < sin π^{\circ}

。 (D) 正確。

π^{\circ} \approx 3.1 4^{\circ}

介於

0^{\circ}

與

4 5^{\circ}

之間，這個範圍內餘弦大於正弦。 (E) 正確。

π^{2} = 3 π + π (π - 3)

，令

t = π (π - 3) \approx 0.445

，則

0 < t < \frac{π}{4}

。

sin π^{2} = sin (3 π + t) = - sin t

，

cos π^{2} = cos (3 π + t) = - cos t

。

0 < t < \frac{π}{4}

時

sin t < cos t

，兩邊變號得

- sin t > - cos t

，即

sin π^{2} > cos π^{2}

。選 (A)(D)(E)。

有度的記號是度，沒有記號是弧度。數值：

sin 1 \approx 0.841

、

sin 2 \approx 0.909

；

sin π^{2} \approx - 0.430

、

cos π^{2} \approx - 0.903

。

第 4 題(A) 錯誤。 疊合：

2 sin x - cos x = 5 sin (x - φ)

（

φ

是某個定角），週期是

2 π

。也可以直接看：

x = 0

時

y = - 1

，

x = π

時

y = 1

，兩者不相等，

π

不是週期。 (B) 正確。

tan x

的週期是

π

，乘上

- 3

只改變上下方向與伸縮，週期不變。 (C) 正確。

sin x cos x = \frac{1}{2} sin 2 x

，週期

\frac{2 π}{2} = π

。 (D) 正確。

sin^{2} x = \frac{1 - cos 2 x}{2}

，週期

\frac{2 π}{2} = π

。 (E) 正確。

sin x + cos x = 2 sin (x + \frac{π}{4})

，週期

2 π

；加上絕對值後，

x

軸下方的部分翻到上方，每隔

π

重複一次，週期變成

π

。選 (B)(C)(D)(E)。

(E) 用式子看：

2 sin (x + π + \frac{π}{4}) = - 2 sin (x + \frac{π}{4})

，與原來相同；而相鄰兩個零點相距

π

，週期不會比

π

小。

03填充題（第 5～7 題，原卷填充第 1～3 題）：弧長、弧度角的函數值、倍角

第 5 題探照燈裝在圓周上，光線區域所張的角是圓周角。同一段弧所對的圓心角是圓周角的兩倍：

2 \times \frac{π}{3} = \frac{2 π}{3}

。弧長

=

半徑

\times

圓心角

= 30 \times \frac{2 π}{3} = 20 π

（m）。

弧長公式裡的角是圓心角，不能直接用圓周角

\frac{π}{3}

去乘（那樣會得到

10 π

）。

20 π \approx 62.8

。

第 6 題

sin (- \frac{π}{6}) = - \frac{1}{2}

；

cos \frac{5 π}{6} = - cos \frac{π}{6} = - \frac{3}{2}

；

tan \frac{7 π}{6} = tan \frac{π}{6} = \frac{3}{3}

。

(- \frac{1}{2}) \times (- \frac{3}{2}) + \frac{3}{3} = \frac{3}{4} + \frac{3}{3} = \frac{7 3}{12}

第 7 題直角三角形

A B C

的直角在

B

，令

∠ C A B = φ

，則

sin φ = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}

、

cos φ = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}

。三角形

A D E

與它全等（直角在

D

），所以

∠ E A D = φ

；又

D

在

\overline{A C}

上，因此

∠ E A F = 2 φ

。直角三角形

A F E

中，

\overline{E F} = \overline{A E} sin 2 φ = 10 \times 2 sin φ cos φ = 10 \times 2 \times \frac{3}{5} \times \frac{4}{5} = \frac{48}{5}

。

即

9.6

。本頁的圖是示意圖，兩個三角形沒有照

6

、

8

、

10

的比例畫。

04填充題（第 8～10 題，原卷填充第 4～6 題）：疊合求極值、疊合解方程式、讀圖

第 8 題疊合：

3 sin x + 2 cos x = 3^{2} + 2^{2} sin (x + φ) = 13 sin (x + φ)

，其中

φ

是定角。

x

是任意實數，

sin (x + φ)

可以取到

- 1

，所以

f (x)

的最小值是

1 - 13

。

約

- 2.61

。最大值是

1 + 13

。

第 9 題左邊用差角公式展開，右邊

cos \frac{π}{3} = \frac{1}{2}

：

\frac{1}{2} cos x + \frac{3}{2} sin x = cos x + \frac{1}{2}

移項得

\frac{3}{2} sin x - \frac{1}{2} cos x = \frac{1}{2}

，左邊疊合成

sin (x - \frac{π}{6})

，所以

sin (x - \frac{π}{6}) = \frac{1}{2}

。

0 \leq x < 2 π

時

- \frac{π}{6} \leq x - \frac{π}{6} < \frac{11 π}{6}

，這個範圍內正弦等於

\frac{1}{2}

的角是

\frac{π}{6}

與

\frac{5 π}{6}

，得

x = \frac{π}{3}

或

x = π

，共

2

個。

代回檢查：

x = \frac{π}{3}

時兩邊都是

1

；

x = π

時左邊

cos \frac{2 π}{3} = - \frac{1}{2}

，右邊

- 1 + \frac{1}{2} = - \frac{1}{2}

。

第 10 題最高

2

、最低

- 2

，且

a > 0

，所以

a = 2

。圖形從

x = - \frac{π}{12}

由

0

上升，經過波峰、波谷，到

x = \frac{7 π}{12}

回到

0

，剛好一個週期：週期

= \frac{7 π}{12} - (- \frac{π}{12}) = \frac{2 π}{3}

，且

b > 0

，所以

b = 3

。圖形是

y = 2 sin 3 x

向左平移

\frac{π}{12}

：

f (x) = 2 sin 3 (x + \frac{π}{12}) = 2 sin (3 x + \frac{π}{4})

。所以

f (\frac{π}{6}) = 2 sin (\frac{π}{2} + \frac{π}{4}) = 2 sin \frac{3 π}{4} = 2 \times \frac{2}{2} = 2

。

c

可以差

2 π

的整數倍，取哪一個都是同一個函數，不影響

f (\frac{π}{6})

。約

1.41

。

05填充題（第 11～14 題，原卷填充第 7～10 題）：和角求角、弓形面積、三角形的內角、通分後疊合

第 11 題

α

、

β

都是第二象限角：

cos α = - 1 - \frac{4}{5} = - \frac{1}{5}

，

sin β = 1 - \frac{1}{10} = \frac{3}{10}

。

cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β = \frac{1}{50} - \frac{6}{50} = - \frac{5}{5 2} = - \frac{2}{2}

由

\frac{π}{2} < α < π

、

\frac{π}{2} < β < π

得

π < α + β < 2 π

。這個範圍內餘弦等於

- \frac{2}{2}

的角只有

\frac{5 π}{4}

，所以

α + β = \frac{5 π}{4}

。

若改算正弦，

sin (α + β) = - \frac{2}{2}

，在

π

到

2 π

之間有

\frac{5 π}{4}

與

\frac{7 π}{4}

兩個角，還要再判斷一次；算餘弦可以直接確定。

第 12 題設兩圓心為

O_{1}

、

O_{2}

，兩圓交於

P

、

Q

。

\overline{P Q}

垂直平分

\overline{O_{1} O_{2}}

，設交點為

H

，則

\overline{O_{1} H} = \frac{3}{2}

、

\overline{O_{1} P} = 1

，

cos ∠ P O_{1} H = \frac{3}{2}

，

∠ P O_{1} H = \frac{π}{6}

，所以

∠ P O_{1} Q = \frac{π}{3}

。重疊部分被

\overline{P Q}

分成兩個全等的弓形。一個弓形

=

扇形

O_{1} P Q - △ O_{1} P Q

：

\frac{1}{2} \times 1^{2} \times \frac{π}{3} - \frac{1}{2} \times 1 \times 1 \times sin \frac{π}{3} = \frac{π}{6} - \frac{3}{4}

重疊部分面積

= 2 (\frac{π}{6} - \frac{3}{4}) = \frac{π}{3} - \frac{3}{2}

。

約

0.181

。扇形面積

\frac{1}{2} r^{2} θ

的

θ

要用弧度。

第 13 題

A + B + C = π

，所以

tan C = tan (π - (A + B)) = - tan (A + B)

。

tan (A + B) = \frac{tan A + tan B}{1 - tan A tan B} = \frac{- \frac{1}{2} + \frac{1}{3}}{1 + \frac{1}{6}} = \frac{- \frac{1}{6}}{\frac{7}{6}} = - \frac{1}{7}

所以

tan C = \frac{1}{7} > 0

，

C

是銳角。畫一個兩股為

1

、

7

的直角三角形，斜邊

50 = 52

，得

cos C = \frac{7}{5 2} = \frac{7 2}{10}

。

tan A < 0

表示

A

是鈍角（約

153. 4^{\circ}

），

B

約

18. 4^{\circ}

，

C

約

8. 1^{\circ}

，三個角加起來是

18 0^{\circ}

。

第 14 題通分：

\frac{1}{cos 34 0 ^{\circ}} + \frac{3}{sin 34 0 ^{\circ}} = \frac{sin 34 0 ^{\circ} + 3 cos 34 0 ^{\circ}}{sin 34 0 ^{\circ} cos 34 0 ^{\circ}}

分子疊合：

sin 34 0^{\circ} + 3 cos 34 0^{\circ} = 2 sin (34 0^{\circ} + 6 0^{\circ}) = 2 sin 40 0^{\circ} = 2 sin 4 0^{\circ}

。分母用倍角公式：

sin 34 0^{\circ} cos 34 0^{\circ} = \frac{1}{2} sin 68 0^{\circ} = \frac{1}{2} sin (- 4 0^{\circ}) = - \frac{1}{2} sin 4 0^{\circ}

。所以原式

= \frac{2 sin 4 0 ^{\circ}}{- \frac{1}{2} sin 4 0 ^{\circ}} = - 4

。

68 0^{\circ} = 72 0^{\circ} - 4 0^{\circ}

，所以

sin 68 0^{\circ} = - sin 4 0^{\circ}

。

06填充題（第 15～18 題，原卷填充第 11～14 題）：切線與倍角、兩直線夾角、解的個數、疊合解角

第 15 題依圖，板面碰到地面時，

C

在地面上，

B

是木板與圓的切點，

\overline{B C} = \frac{240}{2} = 120

。地面也與圓相切，設切點為

T

、圓心為

O

。從圓外一點

C

到圓的兩條切線段等長，且

\overline{O C}

平分兩切線的夾角：

\overline{C T} = \overline{C B} = 120

，

∠ O C T = \frac{θ}{2}

。直角三角形

O T C

中，

tan \frac{θ}{2} = \frac{O T}{C T} = \frac{30}{120} = \frac{1}{4}

。

tan θ = \frac{2 tan \frac{θ}{2}}{1 - tan ^{2} \frac{θ}{2}} = \frac{\frac{1}{2}}{1 - \frac{1}{16}} = \frac{1}{2} \times \frac{16}{15} = \frac{8}{15}

題目的圖把中點

B

畫在木板與圓接觸的位置，本頁照圖作答。本頁的圖是示意圖，夾角沒有照實際大小畫。

θ

約

28. 1^{\circ}

。

第 16 題

L_{1} : x - 3 y = 101

的斜率是

\frac{1}{3}

，

L_{2} : 4 x - y = 2025

的斜率是

4

。設兩直線的斜角分別為

θ_{1}

、

θ_{2}

，則

tan θ_{1} = \frac{1}{3}

、

tan θ_{2} = 4

。

tan (θ_{2} - θ_{1}) = \frac{4 - \frac{1}{3}}{1 + 4 \times \frac{1}{3}} = \frac{\frac{11}{3}}{\frac{7}{3}} = \frac{11}{7}

這個值是正的，

θ_{2} - θ_{1}

是銳角，就是題目要的夾角，所以

tan θ = \frac{11}{7}

。

夾角只和斜率有關，常數項

101

、

2025

不影響。若算出來是負的，表示算到的是鈍角那一個夾角，取絕對值即可。

第 17 題在同一個坐標平面畫

y = tan x

與直線

y = x + 1

，數

0 \leq x \leq 10

內的交點。

tan x

的鉛直漸近線在

x = \frac{π}{2} \approx 1.57

、

\frac{3 π}{2} \approx 4.71

、

\frac{5 π}{2} \approx 7.85

、

\frac{7 π}{2} \approx 11.0

。 ①

0 \leq x < \frac{π}{2}

：

x = 0

時

tan 0 = 0 < 1

，曲線在直線下方；

x

接近

\frac{π}{2}

時

tan x

無限變大，超過直線，交

1

點。 ②

\frac{π}{2} < x < \frac{3 π}{2}

與 ③

\frac{3 π}{2} < x < \frac{5 π}{2}

：

tan x

各由負的無限大一路升到正的無限大，各與直線交

1

點。 ④

\frac{5 π}{2} < x \leq 10

：到

x = 3 π \approx 9.42

為止

tan x \leq 0

，直線是正的；

3 π < x \leq 10

時

x - 3 π \leq 0.58 < \frac{π}{4}

，

tan x = tan (x - 3 π) < 1

，而直線的高度超過

10

，沒有交點。合計

1 + 1 + 1 = 3

個。

畫圖時把漸近線與

x = 10

的位置標清楚：

10

落在

3 π

與

\frac{7 π}{2}

之間，第四段正切曲線才剛從

0

升起，還碰不到直線。三個解約為

x \approx 1.13

、

4.53

、

7.74

。

第 18 題左邊疊合：

sin θ + 3 cos θ = 2 (\frac{1}{2} sin θ + \frac{3}{2} cos θ) = 2 sin (θ + 6 0^{\circ})

。右邊：

202 5^{\circ} = 5 \times 36 0^{\circ} + 22 5^{\circ}

，

sin 202 5^{\circ} = sin 22 5^{\circ} = - \frac{2}{2}

。所以

sin (θ + 6 0^{\circ}) = - \frac{2}{2}

。

18 0^{\circ} < θ < 27 0^{\circ}

時

24 0^{\circ} < θ + 6 0^{\circ} < 33 0^{\circ}

，這個範圍內正弦等於

- \frac{2}{2}

的角只有

31 5^{\circ}

（

22 5^{\circ}

不在範圍內）。所以

θ = 31 5^{\circ} - 6 0^{\circ} = 25 5^{\circ}

，

m = 255

。

不能直接寫

θ + 6 0^{\circ} = 22 5^{\circ}

（那樣

θ = 16 5^{\circ}

，不在題目的範圍內）；正弦值相同的角還有

54 0^{\circ} - 22 5^{\circ} = 31 5^{\circ}

。

07計算題（第 19、20 題，原卷計算第 1 題）：降次、差角展開、疊合，再看角度範圍

第 19 題先把函數整理成單一正弦。由倍角公式

cos 2 x = 1 - 2 sin^{2} x

得

2 sin^{2} x = 1 - cos 2 x

；差角公式展開

cos (2 x - \frac{π}{3}) = \frac{1}{2} cos 2 x + \frac{3}{2} sin 2 x

。

y = 1 - cos 2 x + \frac{1}{2} cos 2 x + \frac{3}{2} sin 2 x = 1 + \frac{3}{2} sin 2 x - \frac{1}{2} cos 2 x = 1 + sin (2 x - \frac{π}{6})

週期

T = \frac{2 π}{2} = π

。最大值：

sin (2 x - \frac{π}{6}) = 1

時

y

最大，

M = 2

。

0 \leq x \leq 2 π

時

- \frac{π}{6} \leq 2 x - \frac{π}{6} \leq \frac{23 π}{6}

，這個範圍內正弦等於

1

的角是

\frac{π}{2}

與

\frac{5 π}{2}

，得

x = \frac{π}{3}

或

x = \frac{4 π}{3}

。所以

(α, M) = (\frac{π}{3}, 2)

或

(\frac{4 π}{3}, 2)

，

T = π

。

0 \leq x \leq 2 π

有兩個週期，最大值出現兩次，兩個位置都要寫。代回原式檢查：

x = \frac{π}{3}

時

2 sin^{2} x = \frac{3}{2}

，

cos \frac{π}{3} = \frac{1}{2}

，相加是

2

。

第 20 題由上一小題，

y = 1 + sin (2 x - \frac{π}{6})

。

\frac{π}{6} \leq x \leq \frac{3 π}{4}

時，

\frac{π}{6} \leq 2 x - \frac{π}{6} \leq \frac{4 π}{3}

角度由

\frac{π}{6}

走到

\frac{4 π}{3}

：正弦先升到

1

，再一路降到

sin \frac{4 π}{3} = - \frac{3}{2}

，走不到波谷

\frac{3 π}{2}

。左端

sin \frac{π}{6} = \frac{1}{2}

，右端

- \frac{3}{2}

較小，所以最小值在右端

x = \frac{3 π}{4}

，最小值

= 1 - \frac{3}{2}

。

代回原式檢查：

x = \frac{3 π}{4}

時

2 sin^{2} x = 1

，

cos (\frac{3 π}{2} - \frac{π}{3}) = cos \frac{7 π}{6} = - \frac{3}{2}

。最小值不是

0

，因為範圍內到不了波谷。約

0.134

。

求極值先整理成單一正弦（降次、展開、疊合），再看角度的範圍走不走得到波峰、波谷；走不到的那一邊，極值在端點。

同一次段考的其他學校

同樣是高二第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

你們學校的段考卷也想要詳解？

考完把題目頁拍照或掃描上傳，我們收到後會盡快做好放上來：題目重新打字，附答案和逐題詳解，一樣免費下載 PDF。

上傳前可以先把姓名、座號遮掉。我們只用題目，不會放你的照片或筆跡。上傳要登入 Google 帳號。

上傳考卷

常見問題

高雄新興高中 114 上高二第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 20 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

高雄新興高中 114 上高二第一次段考數學哪幾題最容易錯？

第 3 題要分清有度的記號與沒有記號的角，π 的平方要先減掉三個 π 再比大小；第 14 題通分後分子疊合、分母用倍角，還要把 680 度化成負 40 度；第 17 題要一段一段數正切圖形與直線的交點，最後一段到 10 為止沒有交點；第 18 題疊合後的角要落在 240 度到 330 度之間，答案是 315 度那一個；第 19 題的範圍有兩個週期，最大值的位置有兩個。詳解逐題寫在本頁。

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

題目取自高雄新興高中 114 學年度上學期高二第一次段考數學A，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

高雄新興高中 114 上高二第一次段考數學試題、答案與詳解

原卷 20 題，照原卷順序

答案一覽，先對再看詳解

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

對完答案了？勾你錯的題號

考前先拿一份自己的考前藍圖

每一題，錯在哪一步

01單選題（第 1 題）：先伸縮、再平移

02多選題（第 2～4 題，原卷多選第 1～3 題）：圖形的性質、弧度與度、週期

03填充題（第 5～7 題，原卷填充第 1～3 題）：弧長、弧度角的函數值、倍角

04填充題（第 8～10 題，原卷填充第 4～6 題）：疊合求極值、疊合解方程式、讀圖

05填充題（第 11～14 題，原卷填充第 7～10 題）：和角求角、弓形面積、三角形的內角、通分後疊合

06填充題（第 15～18 題，原卷填充第 11～14 題）：切線與倍角、兩直線夾角、解的個數、疊合解角

07計算題（第 19、20 題，原卷計算第 1 題）：降次、差角展開、疊合，再看角度範圍

同一次段考的其他學校

你們學校的段考卷也想要詳解？

常見問題

高雄新興高中 114 上 高二第一次段考數學的答案在哪裡？

高雄新興高中 114 上 高二第一次段考數學哪幾題最容易錯？

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

這份段考卷可以下載列印嗎？

高雄新興高中 114 上
高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

高雄新興高中 114 上高二第一次段考數學的答案在哪裡？

高雄新興高中 114 上高二第一次段考數學哪幾題最容易錯？