段考詳解範圍：三角函數（弧度量、三角函數的圖形、和差角與倍角半角公式、正餘弦的疊合）

大同高中 114 上
高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

Q: 大同高中 114 上 高二第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 15 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

Q: 大同高中 114 上 高二第一次段考數學哪幾題最容易錯？

第 2 題數正切圖形與直線的交點，頭尾兩段只有半支圖形，最後一段沒有交點；第 4 題只用 A 點會多出一個不合的角，要用最低點 B 決定；第 10 題半角的正負號要先看半角落在哪個象限；第 12 題範圍內取不到振幅，最大值在端點；第 15 題除了一段區間，還有 x 等於 0 這個單獨的解。詳解逐題寫在本頁。

Q: 我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

Q: 這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

原卷 15 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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01 · 試題

原卷 15 題，照原卷順序

單選題 3 題（18 分）、多選題 3 題（24 分）、填充題 7 題（49 分）、混合題 1 題組 2 小題（9 分）

第壹部分：選擇（填）題（占 91 分）　一、單選題（占 18 分）說明：第 1 題至第 3 題，每題 6 分。

試比較

sin 1

，

sin 2

，

sin 3

及

cos 1

，

cos 2

，

cos 3

的大小並選出正確的選項。

(1) $sin 1 < sin 2 < sin 3$ 且 $cos 3 < cos 2 < cos 1$
(2) $sin 3 < sin 2 < sin 1$ 且 $cos 3 < cos 2 < cos 1$
(3) $sin 3 < sin 2 < sin 1$ 且 $cos 2 < cos 3 < cos 1$
(4) $sin 3 < sin 1 < sin 2$ 且 $cos 2 < cos 3 < cos 1$
(5) $sin 3 < sin 1 < sin 2$ 且 $cos 3 < cos 2 < cos 1$

試問在

0 \leq x \leq 2 π

的範圍中，多少個實數

x

滿足

x - tan 2 x + 1 = 0

？

(1) $1$ 個
(2) $2$ 個
(3) $3$ 個
(4) $4$ 個
(5) $5$ 個（含）以上

若直線

L

與

x

軸有一條斜率為

\frac{1}{3}

的角平分線，且

L

的斜率為正，則

L

的斜率為何？

(1) $\frac{1}{2}$
(2) $\frac{2}{3}$
(3) $\frac{3}{4}$
(4) $1$
(5) $\frac{4}{3}$

二、多選題（占 24 分）說明：第 4 題至第 6 題，每題 8 分。（8－5－3－0）

若函數

f (x) = 3 sin (\frac{1}{2} x + θ)

的部分圖形如圖所示，圖形上有點

A (- \frac{π}{3}, 0)

，點

B (\frac{2 π}{3}, - 3)

，其中

0 \leq θ \leq 2 π

，試選出正確的選項。

(1) $θ = \frac{π}{6}$
(2) $y = f (x)$ 的圖形對稱於點 $A$
(3) 將 $y = 3 sin (\frac{1}{2} x)$ 向左平移 $\frac{π}{3}$ 單位後的圖形與 $y = f (x)$ 的圖形重合
(4) 將 $y = 3 sin (\frac{1}{2} x)$ 向左平移 $\frac{7 π}{3}$ 單位後的圖形與 $y = f (x)$ 的圖形重合
(5) 將 $y = 3 sin (\frac{1}{2} x)$ 向右平移 $\frac{5 π}{3}$ 單位後的圖形與 $y = f (x)$ 的圖形重合

載入中...

試求下列選項之值，並選出其值為整數的選項。

(1) $sin 1 5^{\circ} \cdot cos 1 5^{\circ} \cdot cos 3 0^{\circ}$
(2) $1 - 2 sin^{2} 1 5^{\circ}$
(3) $(1 + tan 7 0^{\circ}) (1 - tan 2 5^{\circ})$
(4) $sin 16 9^{\circ} \cdot sin 7 1^{\circ} + sin 7 9^{\circ} \cdot sin 1 9^{\circ}$
(5) $cos 16 9^{\circ} \cdot cos 7 1^{\circ} + sin 7 9^{\circ} \cdot sin 1 9^{\circ}$

令

f (x) = sin 2 x + 3 cos 2 x

，試選出正確的選項。

(1) 週期為 $π$
(2) 若鉛直線 $x = a$ 和 $x = b$ 均為 $y = f (x)$ 的對稱軸，則 $f (a) = f (b)$
(3) $f (x)$ 在 $x = \frac{π}{4}$ 時有最大值
(4) 在區間 $[0, π)$ 中有兩個實數 $x$ 滿足 $f (x) = 3$
(5) 在區間 $[0, π)$ 中滿足 $f (x) = 3$ 的所有實數 $x$ 之和超過 $π$

三、填充題（占 49 分）說明：第 7 題至第 13 題，每題 7 分。

如圖(一)為一扇形紙張，其半徑

\overline{O A} = 15

，面積為

135 π

。將

\overline{O A}

與

\overline{O B}

黏合成為一個正圓錐體（沒有底），如圖(二)，若此正圓錐體的高為

h

公分，底面圓半徑為

r

公分，則

r =

____。

載入中...

已知

\frac{π}{2} \leq x \leq \frac{3 π}{2}

，則不等式

3 cos x \geq sin x

解的範圍為 ____。

已知

9 0^{\circ} \leq θ \leq 18 0^{\circ}

，且

sin θ = \frac{4}{5}

，則

sin (θ + 6 0^{\circ}) =

____。

已知

π \leq θ \leq 2 π

且

cos θ = \frac{4}{5}

，則

sin \frac{θ}{2} + cos \frac{θ}{2} =

____。

設

a

、

b

、

c

是常數，圖是函數

y = f (x) = a sin x + b cos x + c

圖形的一部分，

f (x)

的週期為

T

，則

ab c + T =

____。

載入中...

在

0 \leq x \leq \frac{π}{4}

的範圍內，函數

y = 4 sin x + 3 cos x

的最大值為 ____。

若

y = 4 sin x + 3 cos x

的最小值發生在

x = α

，則此時

cos α =

____。

第貳部分：混合題（占 9 分）說明：本部分共有 1 題組，每一子題配分標於題末。限在標示題號作答區內作答。選擇題與「非選擇題作圖部分」使用 2B 鉛筆作答，更正時，應以橡皮擦擦拭，切勿使用修正液（帶）。非選擇題由左而右橫式書寫，作答時必須寫出計算過程或理由，否則將酌予扣分。（14－15 題組）

將函數

y = 2 cos (x + \frac{π}{3}) + 2 cos x

疊合成餘弦曲線的形式，即

r \cdot cos (x + θ)

，其中

r > 0

，

- π < θ < π

，則

r =

____，

θ =

____。（填充題，2 分，2 分）

在

0 \leq x \leq 2 π

的範圍內，解不等式

2 cos (x + \frac{π}{3}) + 2 cos x - 3 \geq 0

。（非選擇題，5 分）

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(5)

第 2 題(4)

第 3 題(3)

第 4 題(2)(4)(5)

第 5 題(3)(5)

第 6 題(1)(4)

第 7 題

9

第 8 題

\frac{4 π}{3} \leq x \leq \frac{3 π}{2}

第 9 題

\frac{4 - 3 3}{10}

第 10 題

- \frac{10}{5}

第 11 題

2 π - 3

第 12 題

\frac{7 2}{2}

第 13 題

- \frac{3}{5}

第 14 題

r = 23

，

θ = \frac{π}{6}

第 15 題

x = 0

或

\frac{5 π}{3} \leq x \leq 2 π

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選題（第 1～3 題）：弧度角比大小、正切圖形數交點、角平分線

第 1 題答案 (5)。這裡的

1

、

2

、

3

是弧度，

π \approx 3.14

，所以

0 < 1 < \frac{π}{2} < 2 < 3 < π

。餘弦在

0

到

π

之間遞減，所以

cos 3 < cos 2 < cos 1

。正弦用

sin 2 = sin (π - 2)

、

sin 3 = sin (π - 3)

換到第一象限：

π - 3 \approx 0.14

、

1

、

π - 2 \approx 1.14

都在

0

與

\frac{π}{2}

之間，而正弦在這段遞增，

0.14 < 1 < 1.14

，所以

sin 3 < sin 1 < sin 2

。

換成度來看：

1

弧度約

57. 3^{\circ}

，

2

弧度約

114. 6^{\circ}

，

3

弧度約

171. 9^{\circ}

；

114. 6^{\circ}

的正弦等於

65. 4^{\circ}

的正弦，比

57. 3^{\circ}

的大。

第 2 題答案 (4)。改寫成

tan 2 x = x + 1

，數

y = tan 2 x

與直線

y = x + 1

在

0 \leq x \leq 2 π

的交點。

y = tan 2 x

的週期是

\frac{π}{2}

，鉛直漸近線在

x = \frac{π}{4}

、

\frac{3 π}{4}

、

\frac{5 π}{4}

、

\frac{7 π}{4}

，把範圍切成五段。直線在這個範圍內的高度由

1

上升到

2 π + 1

，一直是正的。第一段

0 \leq x < \frac{π}{4}

：

tan 2 x

由

0

上升到無限大，起點在直線下方，之後超過直線，交

1

點。中間三段

(\frac{π}{4}, \frac{3 π}{4})

、

(\frac{3 π}{4}, \frac{5 π}{4})

、

(\frac{5 π}{4}, \frac{7 π}{4})

：

tan 2 x

各由負無限大上升到正無限大，各交

1

點。最後一段

\frac{7 π}{4} < x \leq 2 π

：

tan 2 x

由負無限大上升到

0

，都不是正的，與直線沒有交點。共

1 + 3 + 0 = 4

個。

頭尾兩段都只有半支圖形：第一段是

x

軸上方的那一半，有交點；最後一段是

x

軸下方的那一半，沒有交點。四個解約為

x \approx 0.49

、

2.20

、

3.82

、

5.42

。

第 3 題答案 (3)。

L

與

x

軸對稱於它們的角平分線。設這條角平分線的斜角為

α

，

tan α = \frac{1}{3}

。

x

軸的斜角是

0

，對這條角平分線作對稱後斜角變成

2 α

，所以

L

的斜率是

tan 2 α = \frac{2 tan α}{1 - tan ^{2} α} = \frac{\frac{2}{3}}{1 - \frac{1}{9}} = \frac{2}{3} \times \frac{9}{8} = \frac{3}{4}

，是正的，符合條件。

兩條角平分線互相垂直，另一條的斜率是

- 3

；用它算也一樣：

\frac{2 \times ( - 3 )}{1 - ( - 3 ) ^{2}} = \frac{- 6}{- 8} = \frac{3}{4}

。

02多選題（第 4～6 題）：由圖決定相位、公式求值、疊合後的性質

第 4 題答案 (2)(4)(5)。

B

是最低點：

sin (\frac{1}{2} \cdot \frac{2 π}{3} + θ) = - 1

，所以

\frac{π}{3} + θ = \frac{3 π}{2} + 2 k π

（

k

為整數），

θ = \frac{7 π}{6} + 2 k π

；在

0 \leq θ \leq 2 π

內只有

θ = \frac{7 π}{6}

。代

A

檢查：

\frac{1}{2} \cdot (- \frac{π}{3}) + \frac{7 π}{6} = π

，

sin π = 0

，符合。(1) 錯。(2) 對：

A

是圖形與中心線

y = 0

的交點，正弦曲線對這種點都成點對稱。(3) 錯：向左平移

\frac{π}{3}

得

y = 3 sin \frac{1}{2} (x + \frac{π}{3}) = 3 sin (\frac{1}{2} x + \frac{π}{6})

，與

f (x)

的角差

π

，是

- f (x)

。(4) 對：向左平移

\frac{7 π}{3}

得

3 sin \frac{1}{2} (x + \frac{7 π}{3}) = 3 sin (\frac{1}{2} x + \frac{7 π}{6})

。(5) 對：向右平移

\frac{5 π}{3}

得

3 sin \frac{1}{2} (x - \frac{5 π}{3}) = 3 sin (\frac{1}{2} x - \frac{5 π}{6})

，而

- \frac{5 π}{6}

與

\frac{7 π}{6}

相差

2 π

，是同一個函數。

只用

A

會得到

θ = \frac{π}{6}

或

\frac{7 π}{6}

兩個候選；

θ = \frac{π}{6}

時

f (\frac{2 π}{3}) = 3 sin \frac{π}{2} = 3

，是最高點，與圖不合。平移量要乘上

x

的係數

\frac{1}{2}

才是角的變化量；

f (x)

的週期是

4 π

，(4) 與 (5) 的平移剛好差一個週期。

第 5 題答案 (3)(5)。(1)

sin 1 5^{\circ} cos 1 5^{\circ} = \frac{1}{2} sin 3 0^{\circ}

，再乘

cos 3 0^{\circ}

得

\frac{1}{2} sin 3 0^{\circ} cos 3 0^{\circ} = \frac{1}{4} sin 6 0^{\circ} = \frac{3}{8}

，不是整數。(2)

1 - 2 sin^{2} 1 5^{\circ} = cos 3 0^{\circ} = \frac{3}{2}

，不是整數。(3)

7 0^{\circ} - 2 5^{\circ} = 4 5^{\circ}

，

tan 4 5^{\circ} = \frac{tan 7 0 ^{\circ} - tan 2 5 ^{\circ}}{1 + tan 7 0 ^{\circ} tan 2 5 ^{\circ}} = 1

，所以

tan 7 0^{\circ} - tan 2 5^{\circ} = 1 + tan 7 0^{\circ} tan 2 5^{\circ}

。展開

(1 + tan 7 0^{\circ}) (1 - tan 2 5^{\circ}) = 1 + (tan 7 0^{\circ} - tan 2 5^{\circ}) - tan 7 0^{\circ} tan 2 5^{\circ} = 1 + 1 = 2

，是整數。(4)

sin 16 9^{\circ} = sin 1 1^{\circ}

，

sin 7 1^{\circ} = cos 1 9^{\circ}

，

sin 7 9^{\circ} = cos 1 1^{\circ}

，原式

= sin 1 1^{\circ} cos 1 9^{\circ} + cos 1 1^{\circ} sin 1 9^{\circ} = sin 3 0^{\circ} = \frac{1}{2}

，不是整數。(5)

cos 16 9^{\circ} = - cos 1 1^{\circ}

，

cos 7 1^{\circ} = sin 1 9^{\circ}

，原式

= - cos 1 1^{\circ} sin 1 9^{\circ} + cos 1 1^{\circ} sin 1 9^{\circ} = 0

，是整數。

0

也是整數。(4) 與 (5) 只差第一項，都先把角度換成

1 1^{\circ}

與

1 9^{\circ}

再看能不能湊成公式。

第 6 題答案 (1)(4)。疊合：

f (x) = 2 (\frac{1}{2} sin 2 x + \frac{3}{2} cos 2 x) = 2 sin (2 x + \frac{π}{3})

。(1) 對：週期

\frac{2 π}{2} = π

。(2) 錯：對稱軸通過最高點或最低點，兩條對稱軸上的函數值可能一個是

2

、一個是

- 2

；例如

x = \frac{π}{12}

與

x = \frac{7 π}{12}

都是對稱軸，

f (\frac{π}{12}) = 2

，

f (\frac{7 π}{12}) = - 2

。(3) 錯：

f (\frac{π}{4}) = sin \frac{π}{2} + 3 cos \frac{π}{2} = 1

，不是最大值

2

。(4) 對：

f (x) = 3

即

sin (2 x + \frac{π}{3}) = \frac{3}{2}

；

0 \leq x < π

時

\frac{π}{3} \leq 2 x + \frac{π}{3} < \frac{7 π}{3}

，這個範圍內只有

2 x + \frac{π}{3} = \frac{π}{3}

或

\frac{2 π}{3}

，即

x = 0

或

x = \frac{π}{6}

，共兩個。(5) 錯：兩個解的和是

\frac{π}{6}

，小於

π

。

(4) 的角度範圍右端

\frac{7 π}{3}

不含在內（

x = π

不在區間裡），所以不會多出第三個解。

03填充題（第 7～10 題）：扇形與圓錐、三角不等式、和角公式、半角公式

第 7 題設扇形的圓心角為

θ

弧度。面積

\frac{1}{2} \times 1 5^{2} \times θ = 135 π

，

θ = \frac{270 π}{225} = \frac{6 π}{5}

。弧長

= 15 \times \frac{6 π}{5} = 18 π

。黏合後，扇形的弧變成圓錐底面的圓周，所以

2 π r = 18 π

，

r = 9

。

也可以用扇形面積

= \frac{1}{2} \times

半徑

\times

弧長直接得弧長

= \frac{2 \times 135 π}{15} = 18 π

。扇形的半徑

15

變成圓錐的斜高，所以

h = 1 5^{2} - 9^{2} = 12

。

第 8 題移項：

sin x - 3 cos x \leq 0

。疊合：

sin x - 3 cos x = 2 (\frac{1}{2} sin x - \frac{3}{2} cos x) = 2 sin (x - \frac{π}{3})

，不等式變成

sin (x - \frac{π}{3}) \leq 0

。

\frac{π}{2} \leq x \leq \frac{3 π}{2}

時

\frac{π}{6} \leq x - \frac{π}{3} \leq \frac{7 π}{6}

；這個範圍內正弦值不大於

0

的是

π \leq x - \frac{π}{3} \leq \frac{7 π}{6}

。各加

\frac{π}{3}

：

\frac{4 π}{3} \leq x \leq \frac{3 π}{2}

。

不要直接兩邊同除以

cos x

：在這個範圍內

cos x \leq 0

，除了不等號要反向，

cos x = 0

的端點還要另外討論。驗算端點：

x = \frac{3 π}{2}

時左邊

0

、右邊

- 1

，成立；

x = \frac{4 π}{3}

時兩邊都是

- \frac{3}{2}

，等號成立。

第 9 題

θ

在第二象限，餘弦是負的：

cos θ = - 1 - (\frac{4}{5})^{2} = - \frac{3}{5}

。由和角公式

sin (θ + 6 0^{\circ}) = sin θ cos 6 0^{\circ} + cos θ sin 6 0^{\circ} = \frac{4}{5} \times \frac{1}{2} + (- \frac{3}{5}) \times \frac{3}{2} = \frac{4 - 3 3}{10}

。

33 \approx 5.2

比

4

大，答案是負的；這與

θ \approx 126. 9^{\circ}

、

θ + 6 0^{\circ} \approx 186. 9^{\circ}

落在第三象限一致。

第 10 題

π \leq θ \leq 2 π

且

cos θ > 0

，所以

θ

在第四象限，

\frac{3 π}{2} < θ < 2 π

，於是

\frac{3 π}{4} < \frac{θ}{2} < π

，

\frac{θ}{2}

在第二象限：正弦為正、餘弦為負。由半角公式

sin \frac{θ}{2} = \frac{1 - cos θ}{2} = \frac{1}{10} = \frac{1}{10}

，

cos \frac{θ}{2} = - \frac{1 + cos θ}{2} = - \frac{9}{10} = - \frac{3}{10}

。相加得

\frac{1 - 3}{10} = - \frac{2}{10} = - \frac{10}{5}

。

另一個做法：

(sin \frac{θ}{2} + cos \frac{θ}{2})^{2} = 1 + sin θ = 1 - \frac{3}{5} = \frac{2}{5}

，再判斷正負。

\frac{θ}{2}

介於

\frac{3 π}{4}

與

π

之間，餘弦的絕對值比正弦大，所以和是負的，取

- \frac{2}{5} = - \frac{10}{5}

。

04填充題（第 11～13 題）：由圖形反推係數、範圍內的極值、最小值發生的位置

第 11 題

a sin x + b cos x

疊合後是

r sin (x + φ)

（

r = a^{2} + b^{2}

），所以

f (x) = r sin (x + φ) + c

，週期

T = 2 π

（圖上最高點

A

到相鄰最低點

B

相隔

\frac{4 π}{3} - \frac{π}{3} = π

，正好是半個週期）。最大值

r + c = 1

，最小值

- r + c = - 3

，解得

c = - 1

、

r = 2

。在

x = \frac{π}{3}

取最大值，所以

\frac{π}{3} + φ = \frac{π}{2}

，

φ = \frac{π}{6}

。展開：

f (x) = 2 sin (x + \frac{π}{6}) - 1 = 2 (\frac{3}{2} sin x + \frac{1}{2} cos x) - 1 = 3 sin x + cos x - 1

。所以

a = 3

，

b = 1

，

c = - 1

，

ab c + T = - 3 + 2 π = 2 π - 3

。

檢查：

f (0) = b + c = 0

，圖形通過原點，與圖相符；

f (\frac{4 π}{3}) = 3 \times (- \frac{3}{2}) + (- \frac{1}{2}) - 1 = - 3

。

第 12 題疊合：

y = 5 (\frac{4}{5} sin x + \frac{3}{5} cos x) = 5 sin (x + φ)

，其中

cos φ = \frac{4}{5}

、

sin φ = \frac{3}{5}

，

φ

是銳角。因為

tan φ = \frac{3}{4} < 1

，所以

φ < \frac{π}{4}

。

0 \leq x \leq \frac{π}{4}

時

φ \leq x + φ \leq \frac{π}{4} + φ < \frac{π}{2}

，整個角都在第一象限，正弦遞增，所以最大值發生在

x = \frac{π}{4}

：

y = 4 \times \frac{2}{2} + 3 \times \frac{2}{2} = \frac{7 2}{2}

。

振幅

5

在這個範圍內取不到（要

x + φ = \frac{π}{2}

，即

x \approx 53. 1^{\circ}

，超過

4 5^{\circ}

）。

\frac{7 2}{2} \approx 4.95

，比

5

小一點。

第 13 題同第 12 題，

y = 5 sin (x + φ)

，

cos φ = \frac{4}{5}

、

sin φ = \frac{3}{5}

。最小值

- 5

發生在

α + φ = \frac{3 π}{2} + 2 k π

（

k

為整數），即

α = \frac{3 π}{2} - φ + 2 k π

。所以

cos α = cos (\frac{3 π}{2} - φ) = - sin φ = - \frac{3}{5}

。

同理

sin α = sin (\frac{3 π}{2} - φ) = - cos φ = - \frac{4}{5}

。驗算：

4 \times (- \frac{4}{5}) + 3 \times (- \frac{3}{5}) = - 5

。

05混合題（第 14～15 題）：疊合成餘弦、解三角不等式

第 14 題先用和角公式展開：

2 cos (x + \frac{π}{3}) = 2 (cos x \cdot \frac{1}{2} - sin x \cdot \frac{3}{2}) = cos x - 3 sin x

，所以

y = 3 cos x - 3 sin x

。

3^{2} + (3)^{2} = 12 = 23

，提出來：

y = 23 (\frac{3}{2} cos x - \frac{1}{2} sin x) = 23 (cos x cos \frac{π}{6} - sin x sin \frac{π}{6}) = 23 cos (x + \frac{π}{6})

。

r = 23

，

θ = \frac{π}{6}

。

兩項的角不同（

x + \frac{π}{3}

與

x

），要先展開成同一個角。題目要餘弦的形式，所以配成

cos x cos θ - sin x sin θ

。檢查

x = 0

：原式

2 \times \frac{1}{2} + 2 = 3

，

23 cos \frac{π}{6} = 3

。

第 15 題由第 14 題，不等式是

23 cos (x + \frac{π}{6}) \geq 3

，即

cos (x + \frac{π}{6}) \geq \frac{3}{2}

。

0 \leq x \leq 2 π

時

\frac{π}{6} \leq x + \frac{π}{6} \leq \frac{13 π}{6}

。餘弦值不小於

\frac{3}{2}

的角，是與

0

、

2 π

這些角相差不超過

\frac{π}{6}

的角。在這個範圍內有兩部分：左端點

x + \frac{π}{6} = \frac{π}{6}

（餘弦剛好等於

\frac{3}{2}

，之後就變小），以及

\frac{11 π}{6} \leq x + \frac{π}{6} \leq \frac{13 π}{6}

。各減

\frac{π}{6}

：

x = 0

或

\frac{5 π}{3} \leq x \leq 2 π

。

x = 0

是單獨一個點：代入得

2 cos \frac{π}{3} + 2 cos 0 - 3 = 1 + 2 - 3 = 0

，等號成立。另一段的兩個端點

x = \frac{5 π}{3}

與

x = 2 π

代入也都是

0

，中間例如

x = \frac{11 π}{6}

得

23 - 3 > 0

。

看到

a sin x + b cos x

先疊合成單一正弦或餘弦，再把

x

的範圍換成整個角的範圍，方程式、不等式、極值都在那個範圍裡找；範圍的端點要記得代回去檢查。

同一次段考的其他學校

同樣是高二第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

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本頁列出全部 15 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

大同高中 114 上高二第一次段考數學哪幾題最容易錯？

第 2 題數正切圖形與直線的交點，頭尾兩段只有半支圖形，最後一段沒有交點；第 4 題只用 A 點會多出一個不合的角，要用最低點 B 決定；第 10 題半角的正負號要先看半角落在哪個象限；第 12 題範圍內取不到振幅，最大值在端點；第 15 題除了一段區間，還有 x 等於 0 這個單獨的解。詳解逐題寫在本頁。

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題目取自大同高中 114 學年度上學期高二第一次段考數學A，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

大同高中 114 上高二第一次段考數學試題、答案與詳解

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01單選題（第 1～3 題）：弧度角比大小、正切圖形數交點、角平分線

02多選題（第 4～6 題）：由圖決定相位、公式求值、疊合後的性質

03填充題（第 7～10 題）：扇形與圓錐、三角不等式、和角公式、半角公式

04填充題（第 11～13 題）：由圖形反推係數、範圍內的極值、最小值發生的位置

05混合題（第 14～15 題）：疊合成餘弦、解三角不等式

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大同高中 114 上
高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

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