段考詳解範圍：三角函數(弧度量、三角函數的圖形、和差角與倍角公式、正餘弦的疊合)

屏東高中 114 上
高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

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01 · 試題

原卷 20 題，照原卷順序

單一選擇題 8 題（40 分）、多重選擇題 6 題（30 分）、選填題 6 格（30 分）

一、單一選擇題（一題 5 分，共 40 分）

試選出數值最大的選項。

(A) $sin 1$
(B) $sin 2$
(C) $sin 3$
(D) $sin 4$
(E) $sin 5$

若

3 sin θ = 2 cos θ

，則

sin 2 θ =

？

(A) $\frac{4}{13}$
(B) $\frac{6}{13}$
(C) $\frac{8}{13}$
(D) $\frac{10}{13}$
(E) $\frac{12}{13}$

已知扇形的周長等於它所在圓的周長的一半，那麼這個扇形的圓心角為？

(A) $\frac{π}{2} + 1$
(B) $π - 1$
(C) $\frac{3 π}{2}$
(D) $π - 2$
(E) $2$

若

\frac{cos 2 θ}{sin ( θ + \frac{π}{4} )} = \frac{2}{2}

，則

sin θ - cos θ =

？

(A) $- \frac{7}{2}$
(B) $- \frac{3}{2}$
(C) $- \frac{1}{2}$
(D) $\frac{1}{2}$
(E) $\frac{7}{2}$

5 7^{\circ}

等於多少弳？

(A) $1$
(B) $π$
(C) $\frac{57 π}{180}$
(D) $\frac{180}{π}$
(E) $57 π$

設函數

f (x) = sin x - 3 cos x

，其中

\frac{7 π}{12} \leq x \leq \frac{7 π}{6}

。當

x

為哪個選項的值時，

f (x)

有最小值？

(A) $\frac{7 π}{12}$
(B) $\frac{2 π}{3}$
(C) $\frac{3 π}{4}$
(D) $\frac{5 π}{6}$
(E) $\frac{7 π}{6}$

在

△ A B C

中，若

tan A = \frac{1}{3}

，

tan B = \frac{1}{2}

，則

∠ C

的大小為下列何者？

(A) $4 5^{\circ}$
(B) $6 0^{\circ}$
(C) $12 0^{\circ}$
(D) $13 5^{\circ}$
(E) $15 0^{\circ}$

\frac{3}{sin 4 0 ^{\circ}} + \frac{1}{cos 4 0 ^{\circ}}

最接近哪一個選項的值？

(A) $3$
(B) $4$
(C) $5$
(D) $6$
(E) $7$

二、多重選擇題（一題 5 分，共 30 分）（原卷題號 1～6，本頁接續編為第 9～14 題）

下列各選項中，哪些值大於

\frac{1}{2}

？

(A) $2 sin 4 0^{\circ} cos 4 0^{\circ}$
(B) $2 cos^{2} 4 0^{\circ} - 1$
(C) $1 - 2 sin^{2} 2 0^{\circ}$
(D) $\frac{2 tan 2 5 ^{\circ}}{1 - tan ^{2} 2 5 ^{\circ}}$
(E) $sin 14 8^{\circ}$

y = 3 sin x + 4 cos x

的圖形中，下列敘述何者為真？

(A) 最大值為 $5$
(B) 最小值為 $- 5$
(C) 週期為 $π$
(D) 週期為 $2 π$
(E) 振幅為 $10$

已知扇形的半徑是

10

，周長是

40

，則下列選項哪些為真？

(A) 中心角為 $3 0^{\circ}$
(B) 中心角為 $2$
(C) 扇形的面積為 $100$
(D) 扇形的面積是 $200$
(E) 扇形的弧長是 $20$

已知

x \in R

，函數

f (x) = 2 sin (x - \frac{π}{2})

，則下列敘述何者正確？

(A) $f (x)$ 的週期是 $\frac{π}{2}$
(B) $f (x)$ 的週期是 $2 π$
(C) $f (x)$ 的圖形對稱 $y$ 軸
(D) $f (x)$ 的圖形對稱於原點
(E) $f (x)$ 的振幅為 $2$

將函數

y = sin x

的圖形向右平移

\frac{π}{2}

單位，所得新函數為何？

(A) $y = cos (- x)$
(B) $y = - cos x$
(C) $y = sin (x + \frac{π}{2})$
(D) $y = sin (x - \frac{π}{2})$
(E) $y = - sin x$

已知函數

f (x) = 2 sin (\frac{π}{6} - x) - 2 cos x

，則下列選項何者是正確的？

(A) $f (x)$ 的週期為 $2 π$
(B) $f (x)$ 的最大值為 $1$
(C) $f (3) > 0$
(D) $x = \frac{π}{3}$ 為 $f (x)$ 函數圖形的對稱軸
(E) 其圖形可由 $y = 2 sin x$ 的圖形向左平移 $\frac{π}{6}$ 而得

三、選填題（一格 5 分，共 30 分，分數一律約至最簡分數）（原卷題號 1～6，本頁接續編為第 15～20 題）

已知

9 0^{\circ} < α < 18 0^{\circ}

且

18 0^{\circ} < β < 27 0^{\circ}

，而

sin α = \frac{3}{5}

、

cos β = - \frac{5}{13}

，試求

sin (α + β) =

____。

y = 4 cos (\frac{x}{2} - \frac{1}{6})

之圖形是由

y = 4 cos \frac{x}{2}

之圖形向

x

軸正方向平移 ____ 單位而得。

已知

x \in R

，

a > 0

，

a

、

b \in R

，函數

f (x) = a sin 2 x + b

的最小值為

4

，且

f (\frac{π}{12}) = 7

，則數對

(a, b) =

____。

如圖，邊長為

2

的正方形，向內作四個等弧，

P

為弧上任一點，且

∠ A P B = 13 5^{\circ}

，若斜線部分面積為

a + bπ

，則

a + b =

____。

載入中...

已知

18 0^{\circ} < x < 27 0^{\circ}

，且

3 cos x + sin x = 2 sin 202 0^{\circ}

，則

x =

____ 度。

設

0 < x < \frac{π}{2}

，

y = 12 sin x + 5 cos x

，當

x = θ

時，

y

有最大值

M

，試求

M \times sin θ =

____。

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(B)

第 2 題(E)

第 3 題(D)

第 4 題(C)

第 5 題(C)

第 6 題(E)

第 7 題(D)

第 8 題(B)

第 9 題(A)(C)(D)(E)

第 10 題(A)(B)(D)

第 11 題(B)(C)(E)

第 12 題(B)(C)(E)

第 13 題(B)(D)

第 14 題(A)(C)(D)

第 15 題

\frac{33}{65}

第 16 題

\frac{1}{3}

第 17 題

(2, 6)

第 18 題

6

第 19 題

260

第 20 題

12

03 · 勾錯題號

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

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01單選 1～4：弧度下比大小、二倍角、扇形周長、約分求差

第 1 題答案 (B)。這裡的

1, 2, 3, 4, 5

都是弧度，

π \approx 3.14

。

4

與

5

介於

π

與

2 π

之間，

sin 4

、

sin 5

都是負的。其餘三個用

sin (π - x) = sin x

換到

0

與

\frac{π}{2}

之間：

sin 2 = sin (π - 2) \approx sin 1.14

，

sin 3 = sin (π - 3) \approx sin 0.14

。正弦在

0

到

\frac{π}{2} \approx 1.57

之間遞增，而

0.14 < 1 < 1.14

，所以

sin 3 < sin 1 < sin 2

，最大的是

sin 2

。

換成度來看：

1

弳約

57. 3^{\circ}

，

2

弳約

114. 6^{\circ}

，

sin 114. 6^{\circ} = sin 65. 4^{\circ}

，比

sin 57. 3^{\circ}

大。

第 2 題答案 (E)。由

3 sin θ = 2 cos θ

得

sin θ = \frac{2}{3} cos θ

，代入

sin^{2} θ + cos^{2} θ = 1

：

\frac{4}{9} cos^{2} θ + cos^{2} θ = 1

，

cos^{2} θ = \frac{9}{13}

。於是

sin 2 θ = 2 sin θ cos θ = 2 \times \frac{2}{3} cos^{2} θ = \frac{4}{3} \times \frac{9}{13} = \frac{12}{13}

。

θ

在第一或第三象限都可以，兩種情形

sin θ cos θ

都是正的，答案相同。

第 3 題答案 (D)。設半徑

r

、圓心角

θ

（弧度）。扇形周長是兩條半徑加弧長：

2 r + r θ

；圓周長的一半是

π r

。由

2 r + r θ = π r

得

θ = π - 2

。

扇形的周長要把兩條半徑算進去，不是只有弧長。

第 4 題答案 (C)。分子

cos 2 θ = cos^{2} θ - sin^{2} θ = (cos θ - sin θ) (cos θ + sin θ)

；分母

sin (θ + \frac{π}{4}) = sin θ cos \frac{π}{4} + cos θ sin \frac{π}{4} = \frac{2}{2} (sin θ + cos θ)

。分母不為

0

，可約去

sin θ + cos θ

，原式成為

2 (cos θ - sin θ) = \frac{2}{2}

，所以

cos θ - sin θ = \frac{1}{2}

，

sin θ - cos θ = - \frac{1}{2}

。

題目問的是

sin θ - cos θ

，與算出來的

cos θ - sin θ

差一個負號。

02單選 5～8：度化弧度、限制範圍的極值、正切和角、通分化簡

第 5 題答案 (C)。

18 0^{\circ} = π

弳，

1^{\circ} = \frac{π}{180}

弳，所以

5 7^{\circ} = \frac{57 π}{180}

弳。

\frac{57 π}{180} \approx 0.995

，很接近

1

但不等於

1

（

1

弳約

57. 3^{\circ}

），所以 (A) 不對。流傳版本題幹印作「等於少弳」，漏一字，本頁寫作「等於多少弳」。

第 6 題答案 (E)。疊合：

f (x) = 2 (\frac{1}{2} sin x - \frac{3}{2} cos x) = 2 sin (x - \frac{π}{3})

。令

t = x - \frac{π}{3}

，由

\frac{7 π}{12} \leq x \leq \frac{7 π}{6}

得

\frac{π}{4} \leq t \leq \frac{5 π}{6}

。

sin t

在這段先增到

t = \frac{π}{2}

再減，最小值出現在端點：

sin \frac{π}{4} = \frac{2}{2} \approx 0.707

，

sin \frac{5 π}{6} = \frac{1}{2}

。較小的是

t = \frac{5 π}{6}

，即

x = \frac{7 π}{6}

，此時

f (x) = 1

。

範圍有限制時，最小值不是

- 2

；要把

x

的範圍換成

t

的範圍再看圖形。

第 7 題答案 (D)。

tan (A + B) = \frac{tan A + tan B}{1 - tan A tan B} = \frac{\frac{1}{3} + \frac{1}{2}}{1 - \frac{1}{6}} = \frac{\frac{5}{6}}{\frac{5}{6}} = 1

。

tan A

、

tan B

都是正的，

A

、

B

都是銳角，

0^{\circ} < A + B < 18 0^{\circ}

，所以

A + B = 4 5^{\circ}

，

∠ C = 18 0^{\circ} - 4 5^{\circ} = 13 5^{\circ}

。

第 8 題答案 (B)。通分：

\frac{3 cos 4 0 ^{\circ} + sin 4 0 ^{\circ}}{sin 4 0 ^{\circ} cos 4 0 ^{\circ}}

。分子疊合：

sin 4 0^{\circ} + 3 cos 4 0^{\circ} = 2 (\frac{1}{2} sin 4 0^{\circ} + \frac{3}{2} cos 4 0^{\circ}) = 2 sin (4 0^{\circ} + 6 0^{\circ}) = 2 sin 10 0^{\circ} = 2 sin 8 0^{\circ}

。分母用倍角公式：

sin 4 0^{\circ} cos 4 0^{\circ} = \frac{1}{2} sin 8 0^{\circ}

。相除得

\frac{2 sin 8 0 ^{\circ}}{\frac{1}{2} sin 8 0 ^{\circ}} = 4

。

這個式子的值恰好等於

4

，不只是接近。

03多選 1～3（第 9～11 題）：倍角公式估值、疊合的基本性質、扇形

第 9 題答案 (A)(C)(D)(E)。(A) 對：

2 sin 4 0^{\circ} cos 4 0^{\circ} = sin 8 0^{\circ} > sin 3 0^{\circ} = \frac{1}{2}

。(B) 錯：

2 cos^{2} 4 0^{\circ} - 1 = cos 8 0^{\circ} < cos 6 0^{\circ} = \frac{1}{2}

。(C) 對：

1 - 2 sin^{2} 2 0^{\circ} = cos 4 0^{\circ} > cos 6 0^{\circ} = \frac{1}{2}

。(D) 對：

\frac{2 tan 2 5 ^{\circ}}{1 - tan ^{2} 2 5 ^{\circ}} = tan 5 0^{\circ} > tan 4 5^{\circ} = 1 > \frac{1}{2}

。(E) 對：

sin 14 8^{\circ} = sin 3 2^{\circ} > sin 3 0^{\circ} = \frac{1}{2}

。

銳角範圍內，正弦與正切隨角度變大而變大，餘弦隨角度變大而變小；與

3 0^{\circ}

、

6 0^{\circ}

、

4 5^{\circ}

比就能判斷。

第 10 題答案 (A)(B)(D)。疊合：

y = 5 (\frac{3}{5} sin x + \frac{4}{5} cos x) = 5 sin (x + φ)

，其中

cos φ = \frac{3}{5}

、

sin φ = \frac{4}{5}

。

x

是任意實數，所以最大值

5

、最小值

- 5

，(A)(B) 對。

x

的係數是

1

，週期

2 π

，(C) 錯、(D) 對。振幅是

5

，(E) 錯。

振幅是最大值與最小值之差的一半，不是差本身。

第 11 題答案 (B)(C)(E)。周長

= 2 \times 10 +

弧長

= 40

，弧長是

20

，(E) 對。圓心角

= \frac{弧長}{半徑} = \frac{20}{10} = 2

（弧度），(B) 對；

2

弳約

114. 6^{\circ}

，不是

3 0^{\circ}

，(A) 錯。面積

= \frac{1}{2} \times

半徑

\times

弧長

= \frac{1}{2} \times 10 \times 20 = 100

，(C) 對、(D) 錯。

04多選 4～6（第 12～14 題）：平移後的對稱性、平移後的函數式、疊合後的綜合判斷

第 12 題答案 (B)(C)(E)。先化簡：

sin (x - \frac{π}{2}) = sin x cos \frac{π}{2} - cos x sin \frac{π}{2} = - cos x

，所以

f (x) = - 2 cos x

。週期

2 π

，(A) 錯、(B) 對。

f (- x) = - 2 cos (- x) = - 2 cos x = f (x)

，圖形對稱於

y

軸，(C) 對。

f (0) = - 2 \neq = 0

，圖形不通過原點，不可能對稱於原點，(D) 錯。振幅是

2

，(E) 對。

第 13 題答案 (B)(D)。向右平移

\frac{π}{2}

是把

x

換成

x - \frac{π}{2}

，得

y = sin (x - \frac{π}{2})

，(D) 對。再用差角公式：

sin (x - \frac{π}{2}) = - cos x

，(B) 對。(A)

cos (- x) = cos x

與 (C)

sin (x + \frac{π}{2}) = cos x

都差一個負號，錯。(E)

- sin x

在

x = 0

時是

0

，而新函數在

x = 0

時是

- 1

，錯。

向右平移是

x

減去平移量；(C) 是向左平移

\frac{π}{2}

的結果。

第 14 題答案 (A)(C)(D)。展開：

2 sin (\frac{π}{6} - x) = 2 (\frac{1}{2} cos x - \frac{3}{2} sin x) = cos x - 3 sin x

，所以

f (x) = - 3 sin x - cos x = - 2 (\frac{3}{2} sin x + \frac{1}{2} cos x) = - 2 sin (x + \frac{π}{6})

。(A) 對：週期

2 π

。(B) 錯：最大值是

2

。(C) 對：

3 + \frac{π}{6} \approx 3.52

，介於

π

與

2 π

之間，

sin (3 + \frac{π}{6}) < 0

，所以

f (3) > 0

。(D) 對：

f (\frac{π}{3}) = - 2 sin \frac{π}{2} = - 2

是最小值，正弦型圖形對稱於通過最高點或最低點的鉛直線。(E) 錯：

y = 2 sin x

向左平移

\frac{π}{6}

得

y = 2 sin (x + \frac{π}{6})

，與

f (x)

差一個負號。

(E) 若改成向右平移

\frac{5 π}{6}

就對了：

2 sin (x - \frac{5 π}{6}) = 2 sin (x + \frac{π}{6} - π) = - 2 sin (x + \frac{π}{6})

。

05選填 1～3（第 15～17 題）：和角公式、平移量、由條件定係數

第 15 題

α

在第二象限，餘弦為負：

cos α = - 1 - \frac{9}{25} = - \frac{4}{5}

。

β

在第三象限，正弦為負：

sin β = - 1 - \frac{25}{169} = - \frac{12}{13}

。

sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β = \frac{3}{5} \times (- \frac{5}{13}) + (- \frac{4}{5}) \times (- \frac{12}{13}) = \frac{- 15 + 48}{65} = \frac{33}{65}

。

兩個角各自先看象限定正負號，再代公式。

第 16 題把括號內的

\frac{1}{2}

提出來：

\frac{x}{2} - \frac{1}{6} = \frac{1}{2} (x - \frac{1}{3})

，所以

y = 4 cos (\frac{1}{2} (x - \frac{1}{3}))

，是把

y = 4 cos \frac{x}{2}

中的

x

換成

x - \frac{1}{3}

，即向右（

x

軸正方向）平移

\frac{1}{3}

單位。

平移量是

\frac{1}{3}

而不是

\frac{1}{6}

：平移是對

x

本身做的，要先把

x

的係數提出來。

第 17 題

x

是任意實數，

sin 2 x

的範圍是

- 1

到

1

；

a > 0

，所以

f (x)

的最小值是

- a + b = 4

。又

f (\frac{π}{12}) = a sin \frac{π}{6} + b = \frac{a}{2} + b = 7

。兩式相減：

\frac{3 a}{2} = 3

，

a = 2

，

b = 6

。數對

(a, b) = (2, 6)

。

06選填 4～6（第 18～20 題）：弓形面積、疊合解方程式、疊合求最大值

第 18 題設弧

A B

所在圓的圓心為

O

。

P

在弧

A B

上，圓周角

∠ A P B = 13 5^{\circ}

所對的是不含

P

的那段弧，度數為

2 \times 13 5^{\circ} = 27 0^{\circ}

，所以弧

A B

本身是

36 0^{\circ} - 27 0^{\circ} = 9 0^{\circ}

，即

∠ A O B = \frac{π}{2}

。

△ O A B

是等腰直角三角形，斜邊

\overline{A B} = 2

，半徑

\overline{O A} = 2

。弦

\overline{A B}

與弧

A B

之間的弓形面積

=

扇形

- △ O A B = \frac{1}{2} \times (2)^{2} \times \frac{π}{2} - \frac{1}{2} \times 2 \times 2 = \frac{π}{2} - 1

。四個弓形全等，斜線部分

= 4 - 4 (\frac{π}{2} - 1) = 8 - 2 π

。所以

a = 8

、

b = - 2

，

a + b = 6

。

b

是負的。四段弧在正方形的頂點相接，弓形彼此不重疊，所以可以直接用正方形減去四個弓形。

第 19 題左邊疊合：

sin x + 3 cos x = 2 (\frac{1}{2} sin x + \frac{3}{2} cos x) = 2 sin (x + 6 0^{\circ})

。右邊：

202 0^{\circ} = 5 \times 36 0^{\circ} + 22 0^{\circ}

，

sin 202 0^{\circ} = sin 22 0^{\circ}

。方程式成為

sin (x + 6 0^{\circ}) = sin 22 0^{\circ}

。由

18 0^{\circ} < x < 27 0^{\circ}

得

24 0^{\circ} < x + 6 0^{\circ} < 33 0^{\circ}

。在

0^{\circ}

到

36 0^{\circ}

之間，正弦值等於

sin 22 0^{\circ}

的角只有

22 0^{\circ}

與

18 0^{\circ} - 22 0^{\circ} + 36 0^{\circ} = 32 0^{\circ}

；落在範圍內的是

32 0^{\circ}

，所以

x + 6 0^{\circ} = 32 0^{\circ}

，

x = 26 0^{\circ}

。

22 0^{\circ}

不在

24 0^{\circ}

到

33 0^{\circ}

之間，所以不能直接取

x + 6 0^{\circ} = 22 0^{\circ}

。

第 20 題疊合：

y = 13 (\frac{12}{13} sin x + \frac{5}{13} cos x) = 13 sin (x + φ)

，其中

cos φ = \frac{12}{13}

、

sin φ = \frac{5}{13}

，

φ

是銳角。當

x + φ = \frac{π}{2}

，即

x = \frac{π}{2} - φ

時

y

最大；這個

x

在

0

與

\frac{π}{2}

之間，符合範圍，所以

M = 13

、

θ = \frac{π}{2} - φ

。

sin θ = sin (\frac{π}{2} - φ) = cos φ = \frac{12}{13}

，

M \times sin θ = 13 \times \frac{12}{13} = 12

。

不必求出

θ

是幾度；取到最大值時

sin θ

就是疊合時的

cos φ

。

看到

a sin x + b cos x

先疊合成單一正弦；

x

有範圍時，把範圍一起換到疊合後的角上，再判斷極值或解落在哪裡。

同一次段考的其他學校

同樣是高二第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

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常見問題

屏東高中 114 上高二第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 20 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

屏東高中 114 上高二第一次段考數學哪幾題最容易錯？

單選第 6 題範圍有限制，最小值出現在端點而不是負二；多選第 6 題（本頁第 14 題）要先展開再疊合，平移那個選項差一個負號；選填第 2 題（第 16 題）平移量要先把係數提出來；選填第 4 題（第 18 題）要由圓周角推出弧的圓心角是直角；選填第 5 題（第 19 題）要把角度範圍一起換過去再挑解。詳解逐題寫在本頁。

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題目取自屏東高中 114 學年度上學期高二第一次段考數學A，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

御藍教育／段考卷／高二

段考詳解範圍：三角函數(弧度量、三角函數的圖形、和差角與倍角公式、正餘弦的疊合)

屏東高中 114 上
高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 20 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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01 · 試題

原卷 20 題，照原卷順序

單一選擇題 8 題（40 分）、多重選擇題 6 題（30 分）、選填題 6 格（30 分）

一、單一選擇題（一題 5 分，共 40 分）

試選出數值最大的選項。

(A) $sin 1$
(B) $sin 2$
(C) $sin 3$
(D) $sin 4$
(E) $sin 5$

若

3 sin θ = 2 cos θ

，則

sin 2 θ =

？

(A) $\frac{4}{13}$
(B) $\frac{6}{13}$
(C) $\frac{8}{13}$
(D) $\frac{10}{13}$
(E) $\frac{12}{13}$

已知扇形的周長等於它所在圓的周長的一半，那麼這個扇形的圓心角為？

(A) $\frac{π}{2} + 1$
(B) $π - 1$
(C) $\frac{3 π}{2}$
(D) $π - 2$
(E) $2$

若

\frac{cos 2 θ}{sin ( θ + \frac{π}{4} )} = \frac{2}{2}

，則

sin θ - cos θ =

？

(A) $- \frac{7}{2}$
(B) $- \frac{3}{2}$
(C) $- \frac{1}{2}$
(D) $\frac{1}{2}$
(E) $\frac{7}{2}$

5 7^{\circ}

等於多少弳？

(A) $1$
(B) $π$
(C) $\frac{57 π}{180}$
(D) $\frac{180}{π}$
(E) $57 π$

設函數

f (x) = sin x - 3 cos x

，其中

\frac{7 π}{12} \leq x \leq \frac{7 π}{6}

。當

x

為哪個選項的值時，

f (x)

有最小值？

(A) $\frac{7 π}{12}$
(B) $\frac{2 π}{3}$
(C) $\frac{3 π}{4}$
(D) $\frac{5 π}{6}$
(E) $\frac{7 π}{6}$

在

△ A B C

中，若

tan A = \frac{1}{3}

，

tan B = \frac{1}{2}

，則

∠ C

的大小為下列何者？

(A) $4 5^{\circ}$
(B) $6 0^{\circ}$
(C) $12 0^{\circ}$
(D) $13 5^{\circ}$
(E) $15 0^{\circ}$

\frac{3}{sin 4 0 ^{\circ}} + \frac{1}{cos 4 0 ^{\circ}}

最接近哪一個選項的值？

(A) $3$
(B) $4$
(C) $5$
(D) $6$
(E) $7$

二、多重選擇題（一題 5 分，共 30 分）（原卷題號 1～6，本頁接續編為第 9～14 題）

下列各選項中，哪些值大於

\frac{1}{2}

？

(A) $2 sin 4 0^{\circ} cos 4 0^{\circ}$
(B) $2 cos^{2} 4 0^{\circ} - 1$
(C) $1 - 2 sin^{2} 2 0^{\circ}$
(D) $\frac{2 tan 2 5 ^{\circ}}{1 - tan ^{2} 2 5 ^{\circ}}$
(E) $sin 14 8^{\circ}$

y = 3 sin x + 4 cos x

的圖形中，下列敘述何者為真？

(A) 最大值為 $5$
(B) 最小值為 $- 5$
(C) 週期為 $π$
(D) 週期為 $2 π$
(E) 振幅為 $10$

已知扇形的半徑是

10

，周長是

40

，則下列選項哪些為真？

(A) 中心角為 $3 0^{\circ}$
(B) 中心角為 $2$
(C) 扇形的面積為 $100$
(D) 扇形的面積是 $200$
(E) 扇形的弧長是 $20$

已知

x \in R

，函數

f (x) = 2 sin (x - \frac{π}{2})

，則下列敘述何者正確？

(A) $f (x)$ 的週期是 $\frac{π}{2}$
(B) $f (x)$ 的週期是 $2 π$
(C) $f (x)$ 的圖形對稱 $y$ 軸
(D) $f (x)$ 的圖形對稱於原點
(E) $f (x)$ 的振幅為 $2$

將函數

y = sin x

的圖形向右平移

\frac{π}{2}

單位，所得新函數為何？

(A) $y = cos (- x)$
(B) $y = - cos x$
(C) $y = sin (x + \frac{π}{2})$
(D) $y = sin (x - \frac{π}{2})$
(E) $y = - sin x$

已知函數

f (x) = 2 sin (\frac{π}{6} - x) - 2 cos x

，則下列選項何者是正確的？

(A) $f (x)$ 的週期為 $2 π$
(B) $f (x)$ 的最大值為 $1$
(C) $f (3) > 0$
(D) $x = \frac{π}{3}$ 為 $f (x)$ 函數圖形的對稱軸
(E) 其圖形可由 $y = 2 sin x$ 的圖形向左平移 $\frac{π}{6}$ 而得

三、選填題（一格 5 分，共 30 分，分數一律約至最簡分數）（原卷題號 1～6，本頁接續編為第 15～20 題）

已知

9 0^{\circ} < α < 18 0^{\circ}

且

18 0^{\circ} < β < 27 0^{\circ}

，而

sin α = \frac{3}{5}

、

cos β = - \frac{5}{13}

，試求

sin (α + β) =

____。

y = 4 cos (\frac{x}{2} - \frac{1}{6})

之圖形是由

y = 4 cos \frac{x}{2}

之圖形向

x

軸正方向平移 ____ 單位而得。

已知

x \in R

，

a > 0

，

a

、

b \in R

，函數

f (x) = a sin 2 x + b

的最小值為

4

，且

f (\frac{π}{12}) = 7

，則數對

(a, b) =

____。

如圖，邊長為

2

的正方形，向內作四個等弧，

P

為弧上任一點，且

∠ A P B = 13 5^{\circ}

，若斜線部分面積為

a + bπ

，則

a + b =

____。

載入中...

已知

18 0^{\circ} < x < 27 0^{\circ}

，且

3 cos x + sin x = 2 sin 202 0^{\circ}

，則

x =

____ 度。

設

0 < x < \frac{π}{2}

，

y = 12 sin x + 5 cos x

，當

x = θ

時，

y

有最大值

M

，試求

M \times sin θ =

____。

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(B)

第 2 題(E)

第 3 題(D)

第 4 題(C)

第 5 題(C)

第 6 題(E)

第 7 題(D)

第 8 題(B)

第 9 題(A)(C)(D)(E)

第 10 題(A)(B)(D)

第 11 題(B)(C)(E)

第 12 題(B)(C)(E)

第 13 題(B)(D)

第 14 題(A)(C)(D)

第 15 題

\frac{33}{65}

第 16 題

\frac{1}{3}

第 17 題

(2, 6)

第 18 題

6

第 19 題

260

第 20 題

12

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

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對完答案了？勾你錯的題號

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選 1～4：弧度下比大小、二倍角、扇形周長、約分求差

第 1 題答案 (B)。這裡的

1, 2, 3, 4, 5

都是弧度，

π \approx 3.14

。

4

與

5

介於

π

與

2 π

之間，

sin 4

、

sin 5

都是負的。其餘三個用

sin (π - x) = sin x

換到

0

與

\frac{π}{2}

之間：

sin 2 = sin (π - 2) \approx sin 1.14

，

sin 3 = sin (π - 3) \approx sin 0.14

。正弦在

0

到

\frac{π}{2} \approx 1.57

之間遞增，而

0.14 < 1 < 1.14

，所以

sin 3 < sin 1 < sin 2

，最大的是

sin 2

。

換成度來看：

1

弳約

57. 3^{\circ}

，

2

弳約

114. 6^{\circ}

，

sin 114. 6^{\circ} = sin 65. 4^{\circ}

，比

sin 57. 3^{\circ}

大。

第 2 題答案 (E)。由

3 sin θ = 2 cos θ

得

sin θ = \frac{2}{3} cos θ

，代入

sin^{2} θ + cos^{2} θ = 1

：

\frac{4}{9} cos^{2} θ + cos^{2} θ = 1

，

cos^{2} θ = \frac{9}{13}

。於是

sin 2 θ = 2 sin θ cos θ = 2 \times \frac{2}{3} cos^{2} θ = \frac{4}{3} \times \frac{9}{13} = \frac{12}{13}

。

θ

在第一或第三象限都可以，兩種情形

sin θ cos θ

都是正的，答案相同。

第 3 題答案 (D)。設半徑

r

、圓心角

θ

（弧度）。扇形周長是兩條半徑加弧長：

2 r + r θ

；圓周長的一半是

π r

。由

2 r + r θ = π r

得

θ = π - 2

。

扇形的周長要把兩條半徑算進去，不是只有弧長。

第 4 題答案 (C)。分子

cos 2 θ = cos^{2} θ - sin^{2} θ = (cos θ - sin θ) (cos θ + sin θ)

；分母

sin (θ + \frac{π}{4}) = sin θ cos \frac{π}{4} + cos θ sin \frac{π}{4} = \frac{2}{2} (sin θ + cos θ)

。分母不為

0

，可約去

sin θ + cos θ

，原式成為

2 (cos θ - sin θ) = \frac{2}{2}

，所以

cos θ - sin θ = \frac{1}{2}

，

sin θ - cos θ = - \frac{1}{2}

。

題目問的是

sin θ - cos θ

，與算出來的

cos θ - sin θ

差一個負號。

02單選 5～8：度化弧度、限制範圍的極值、正切和角、通分化簡

第 5 題答案 (C)。

18 0^{\circ} = π

弳，

1^{\circ} = \frac{π}{180}

弳，所以

5 7^{\circ} = \frac{57 π}{180}

弳。

\frac{57 π}{180} \approx 0.995

，很接近

1

但不等於

1

（

1

弳約

57. 3^{\circ}

），所以 (A) 不對。流傳版本題幹印作「等於少弳」，漏一字，本頁寫作「等於多少弳」。

第 6 題答案 (E)。疊合：

f (x) = 2 (\frac{1}{2} sin x - \frac{3}{2} cos x) = 2 sin (x - \frac{π}{3})

。令

t = x - \frac{π}{3}

，由

\frac{7 π}{12} \leq x \leq \frac{7 π}{6}

得

\frac{π}{4} \leq t \leq \frac{5 π}{6}

。

sin t

在這段先增到

t = \frac{π}{2}

再減，最小值出現在端點：

sin \frac{π}{4} = \frac{2}{2} \approx 0.707

，

sin \frac{5 π}{6} = \frac{1}{2}

。較小的是

t = \frac{5 π}{6}

，即

x = \frac{7 π}{6}

，此時

f (x) = 1

。

範圍有限制時，最小值不是

- 2

；要把

x

的範圍換成

t

的範圍再看圖形。

第 7 題答案 (D)。

tan (A + B) = \frac{tan A + tan B}{1 - tan A tan B} = \frac{\frac{1}{3} + \frac{1}{2}}{1 - \frac{1}{6}} = \frac{\frac{5}{6}}{\frac{5}{6}} = 1

。

tan A

、

tan B

都是正的，

A

、

B

都是銳角，

0^{\circ} < A + B < 18 0^{\circ}

，所以

A + B = 4 5^{\circ}

，

∠ C = 18 0^{\circ} - 4 5^{\circ} = 13 5^{\circ}

。

第 8 題答案 (B)。通分：

\frac{3 cos 4 0 ^{\circ} + sin 4 0 ^{\circ}}{sin 4 0 ^{\circ} cos 4 0 ^{\circ}}

。分子疊合：

sin 4 0^{\circ} + 3 cos 4 0^{\circ} = 2 (\frac{1}{2} sin 4 0^{\circ} + \frac{3}{2} cos 4 0^{\circ}) = 2 sin (4 0^{\circ} + 6 0^{\circ}) = 2 sin 10 0^{\circ} = 2 sin 8 0^{\circ}

。分母用倍角公式：

sin 4 0^{\circ} cos 4 0^{\circ} = \frac{1}{2} sin 8 0^{\circ}

。相除得

\frac{2 sin 8 0 ^{\circ}}{\frac{1}{2} sin 8 0 ^{\circ}} = 4

。

這個式子的值恰好等於

4

，不只是接近。

03多選 1～3（第 9～11 題）：倍角公式估值、疊合的基本性質、扇形

第 9 題答案 (A)(C)(D)(E)。(A) 對：

2 sin 4 0^{\circ} cos 4 0^{\circ} = sin 8 0^{\circ} > sin 3 0^{\circ} = \frac{1}{2}

。(B) 錯：

2 cos^{2} 4 0^{\circ} - 1 = cos 8 0^{\circ} < cos 6 0^{\circ} = \frac{1}{2}

。(C) 對：

1 - 2 sin^{2} 2 0^{\circ} = cos 4 0^{\circ} > cos 6 0^{\circ} = \frac{1}{2}

。(D) 對：

\frac{2 tan 2 5 ^{\circ}}{1 - tan ^{2} 2 5 ^{\circ}} = tan 5 0^{\circ} > tan 4 5^{\circ} = 1 > \frac{1}{2}

。(E) 對：

sin 14 8^{\circ} = sin 3 2^{\circ} > sin 3 0^{\circ} = \frac{1}{2}

。

銳角範圍內，正弦與正切隨角度變大而變大，餘弦隨角度變大而變小；與

3 0^{\circ}

、

6 0^{\circ}

、

4 5^{\circ}

比就能判斷。

第 10 題答案 (A)(B)(D)。疊合：

y = 5 (\frac{3}{5} sin x + \frac{4}{5} cos x) = 5 sin (x + φ)

，其中

cos φ = \frac{3}{5}

、

sin φ = \frac{4}{5}

。

x

是任意實數，所以最大值

5

、最小值

- 5

，(A)(B) 對。

x

的係數是

1

，週期

2 π

，(C) 錯、(D) 對。振幅是

5

，(E) 錯。

振幅是最大值與最小值之差的一半，不是差本身。

第 11 題答案 (B)(C)(E)。周長

= 2 \times 10 +

弧長

= 40

，弧長是

20

，(E) 對。圓心角

= \frac{弧長}{半徑} = \frac{20}{10} = 2

（弧度），(B) 對；

2

弳約

114. 6^{\circ}

，不是

3 0^{\circ}

，(A) 錯。面積

= \frac{1}{2} \times

半徑

\times

弧長

= \frac{1}{2} \times 10 \times 20 = 100

，(C) 對、(D) 錯。

04多選 4～6（第 12～14 題）：平移後的對稱性、平移後的函數式、疊合後的綜合判斷

第 12 題答案 (B)(C)(E)。先化簡：

sin (x - \frac{π}{2}) = sin x cos \frac{π}{2} - cos x sin \frac{π}{2} = - cos x

，所以

f (x) = - 2 cos x

。週期

2 π

，(A) 錯、(B) 對。

f (- x) = - 2 cos (- x) = - 2 cos x = f (x)

，圖形對稱於

y

軸，(C) 對。

f (0) = - 2 \neq = 0

，圖形不通過原點，不可能對稱於原點，(D) 錯。振幅是

2

，(E) 對。

第 13 題答案 (B)(D)。向右平移

\frac{π}{2}

是把

x

換成

x - \frac{π}{2}

，得

y = sin (x - \frac{π}{2})

，(D) 對。再用差角公式：

sin (x - \frac{π}{2}) = - cos x

，(B) 對。(A)

cos (- x) = cos x

與 (C)

sin (x + \frac{π}{2}) = cos x

都差一個負號，錯。(E)

- sin x

在

x = 0

時是

0

，而新函數在

x = 0

時是

- 1

，錯。

向右平移是

x

減去平移量；(C) 是向左平移

\frac{π}{2}

的結果。

第 14 題答案 (A)(C)(D)。展開：

2 sin (\frac{π}{6} - x) = 2 (\frac{1}{2} cos x - \frac{3}{2} sin x) = cos x - 3 sin x

，所以

f (x) = - 3 sin x - cos x = - 2 (\frac{3}{2} sin x + \frac{1}{2} cos x) = - 2 sin (x + \frac{π}{6})

。(A) 對：週期

2 π

。(B) 錯：最大值是

2

。(C) 對：

3 + \frac{π}{6} \approx 3.52

，介於

π

與

2 π

之間，

sin (3 + \frac{π}{6}) < 0

，所以

f (3) > 0

。(D) 對：

f (\frac{π}{3}) = - 2 sin \frac{π}{2} = - 2

是最小值，正弦型圖形對稱於通過最高點或最低點的鉛直線。(E) 錯：

y = 2 sin x

向左平移

\frac{π}{6}

得

y = 2 sin (x + \frac{π}{6})

，與

f (x)

差一個負號。

(E) 若改成向右平移

\frac{5 π}{6}

就對了：

2 sin (x - \frac{5 π}{6}) = 2 sin (x + \frac{π}{6} - π) = - 2 sin (x + \frac{π}{6})

。

05選填 1～3（第 15～17 題）：和角公式、平移量、由條件定係數

第 15 題

α

在第二象限，餘弦為負：

cos α = - 1 - \frac{9}{25} = - \frac{4}{5}

。

β

在第三象限，正弦為負：

sin β = - 1 - \frac{25}{169} = - \frac{12}{13}

。

sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β = \frac{3}{5} \times (- \frac{5}{13}) + (- \frac{4}{5}) \times (- \frac{12}{13}) = \frac{- 15 + 48}{65} = \frac{33}{65}

。

兩個角各自先看象限定正負號，再代公式。

第 16 題把括號內的

\frac{1}{2}

提出來：

\frac{x}{2} - \frac{1}{6} = \frac{1}{2} (x - \frac{1}{3})

，所以

y = 4 cos (\frac{1}{2} (x - \frac{1}{3}))

，是把

y = 4 cos \frac{x}{2}

中的

x

換成

x - \frac{1}{3}

，即向右（

x

軸正方向）平移

\frac{1}{3}

單位。

平移量是

\frac{1}{3}

而不是

\frac{1}{6}

：平移是對

x

本身做的，要先把

x

的係數提出來。

第 17 題

x

是任意實數，

sin 2 x

的範圍是

- 1

到

1

；

a > 0

，所以

f (x)

的最小值是

- a + b = 4

。又

f (\frac{π}{12}) = a sin \frac{π}{6} + b = \frac{a}{2} + b = 7

。兩式相減：

\frac{3 a}{2} = 3

，

a = 2

，

b = 6

。數對

(a, b) = (2, 6)

。

06選填 4～6（第 18～20 題）：弓形面積、疊合解方程式、疊合求最大值

第 18 題設弧

A B

所在圓的圓心為

O

。

P

在弧

A B

上，圓周角

∠ A P B = 13 5^{\circ}

所對的是不含

P

的那段弧，度數為

2 \times 13 5^{\circ} = 27 0^{\circ}

，所以弧

A B

本身是

36 0^{\circ} - 27 0^{\circ} = 9 0^{\circ}

，即

∠ A O B = \frac{π}{2}

。

△ O A B

是等腰直角三角形，斜邊

\overline{A B} = 2

，半徑

\overline{O A} = 2

。弦

\overline{A B}

與弧

A B

之間的弓形面積

=

扇形

- △ O A B = \frac{1}{2} \times (2)^{2} \times \frac{π}{2} - \frac{1}{2} \times 2 \times 2 = \frac{π}{2} - 1

。四個弓形全等，斜線部分

= 4 - 4 (\frac{π}{2} - 1) = 8 - 2 π

。所以

a = 8

、

b = - 2

，

a + b = 6

。

b

是負的。四段弧在正方形的頂點相接，弓形彼此不重疊，所以可以直接用正方形減去四個弓形。

第 19 題左邊疊合：

sin x + 3 cos x = 2 (\frac{1}{2} sin x + \frac{3}{2} cos x) = 2 sin (x + 6 0^{\circ})

。右邊：

202 0^{\circ} = 5 \times 36 0^{\circ} + 22 0^{\circ}

，

sin 202 0^{\circ} = sin 22 0^{\circ}

。方程式成為

sin (x + 6 0^{\circ}) = sin 22 0^{\circ}

。由

18 0^{\circ} < x < 27 0^{\circ}

得

24 0^{\circ} < x + 6 0^{\circ} < 33 0^{\circ}

。在

0^{\circ}

到

36 0^{\circ}

之間，正弦值等於

sin 22 0^{\circ}

的角只有

22 0^{\circ}

與

18 0^{\circ} - 22 0^{\circ} + 36 0^{\circ} = 32 0^{\circ}

；落在範圍內的是

32 0^{\circ}

，所以

x + 6 0^{\circ} = 32 0^{\circ}

，

x = 26 0^{\circ}

。

22 0^{\circ}

不在

24 0^{\circ}

到

33 0^{\circ}

之間，所以不能直接取

x + 6 0^{\circ} = 22 0^{\circ}

。

第 20 題疊合：

y = 13 (\frac{12}{13} sin x + \frac{5}{13} cos x) = 13 sin (x + φ)

，其中

cos φ = \frac{12}{13}

、

sin φ = \frac{5}{13}

，

φ

是銳角。當

x + φ = \frac{π}{2}

，即

x = \frac{π}{2} - φ

時

y

最大；這個

x

在

0

與

\frac{π}{2}

之間，符合範圍，所以

M = 13

、

θ = \frac{π}{2} - φ

。

sin θ = sin (\frac{π}{2} - φ) = cos φ = \frac{12}{13}

，

M \times sin θ = 13 \times \frac{12}{13} = 12

。

不必求出

θ

是幾度；取到最大值時

sin θ

就是疊合時的

cos φ

。

看到

a sin x + b cos x

先疊合成單一正弦；

x

有範圍時，把範圍一起換到疊合後的角上，再判斷極值或解落在哪裡。

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02單選 5～8：度化弧度、限制範圍的極值、正切和角、通分化簡

03多選 1～3（第 9～11 題）：倍角公式估值、疊合的基本性質、扇形

04多選 4～6（第 12～14 題）：平移後的對稱性、平移後的函數式、疊合後的綜合判斷

05選填 1～3（第 15～17 題）：和角公式、平移量、由條件定係數

06選填 4～6（第 18～20 題）：弓形面積、疊合解方程式、疊合求最大值

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高二第一次段考
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