段考詳解範圍：三角函數與指數函數（弧度量、弧長與扇形面積、正弦函數的圖形與週期、週期性數學模型、指數函數及其圖形）

苑裡高中 113 上
高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

Q: 苑裡高中 113 上 高二第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 21 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

Q: 苑裡高中 113 上 高二第一次段考數學哪幾題最容易錯？

第 16 題數交點時左右兩端不對稱，左端只蓋到半個凹谷，要一段一段數；第 7 題選項 D 除了兩個整數交點，在負的那一邊還有一個交點；第 19 題要先換成從紀元起算的第幾天，再用乙曆的一年與一個月去除；第 21 題的灰色部分要拆成兩塊，各自用扇形減去三角形。詳解逐題寫在本頁。

Q: 我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

Q: 這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

原卷 21 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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題原卷全文

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則逐題詳解

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01 · 試題

原卷 21 題，照原卷順序

單選題 5 題與填充題 11 題（13 格）合併計分，共 18 格、78 分（依答對格數給分，對照表見填充題標題）；多選題 2 題，每題 5 分，共 10 分；進階題 3 題，每題 4 分，共 12 分。答案已與學校公布的答案逐題核對

一、單一選擇題（與填充題合併計分）

居禮夫人所發現的元素鐳-226 的半衰期大約

1600

年，則現有

64

克的鐳-226，經過

4800

年後重量會變為幾克？

(A) $4$
(B) $8$
(C) $16$
(D) $32$
(E) $64$

將正弦函數

y = sin x

的圖形向右平移

1

單位，再以

x

軸為中心沿鉛直方向伸長為

2

倍而得出之圖形是下列哪個函數的圖形？

(A) $y = 2 sin (x + 1)$
(B) $y = 2 sin (x - 1)$
(C) $y = - 2 sin (x + 1)$
(D) $y = - 2 (x - 1)$
(E) $y = 1 + 2 sin x$

已知標準位置角

θ

滿足

\frac{61}{12} π < θ < \frac{65}{12} π

，則

θ

角位於第幾象限？

(A) 第一象限
(B) 第二象限
(C) 第三象限
(D) 第四象限
(E) 以上皆非

指數函數

y = a^{x}

、

y = b^{x}

、

y = c^{x}

、

y = d^{x}

的圖形分別如圖之甲、乙、丙、丁，則

a

，

b

，

c

，

d

的大小關係為？

(A) $a < b < c < d$
(B) $a < b < d < c$
(C) $b < a < c < d$
(D) $b < a < d < c$
(E) $c < d < a < b$

載入中...

若

a = sin 2

，則下列何者正確？

(A) $- 1 < a < - \frac{3}{2}$
(B) $- \frac{3}{2} < a < - \frac{2}{2}$
(C) $- \frac{2}{2} < a < - \frac{1}{2}$
(D) $\frac{2}{2} < a < \frac{3}{2}$
(E) $\frac{3}{2} < a < 1$

二、多重選擇題（每題 5 分，答錯一個選項扣 2 分，扣至該題零分為止，共 10 分）

假設函數

f (x) = 5 sin 3 x

，請選出正確的選項。

(A) $f (x)$ 的值域為 $[- 3, 3]$
(B) $f (x)$ 的振幅為 $5$
(C) $f (x)$ 的週期為 $2 π$
(D) $f (1 + 2 π) = f (1)$
(E) $y = f (x)$ 的圖形可以由 $y = sin x$ 的圖形伸縮而得

坐標平面上，在函數圖形

y = 2^{x}

上標示

A

、

B

、

C

、

D

四個點，其

x

坐標分別為

- 1

、

0

、

1

、

2

，請選出正確的選項。

(A) 點 $B$ 落在直線 $A C$ 下方
(B) 在直線 $A B$ 、直線 $B C$ 、直線 $C D$ 中，以直線 $A B$ 的斜率最大
(C) $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 四個點，以點 $A$ 最靠近 $x$ 軸
(D) 直線 $y = x^{2}$ 與 $y = 2^{x}$ 的圖形有兩個交點
(E) 在 $\overline{A B}$ 、 $\overline{B C}$ 、 $\overline{C D}$ 中，以 $\overline{C D}$ 最長

三、填充題（與單選題合併計分，配分如下表，共 78 分；答對格數 1～18 格依序得 5、10、15、20、25、30、34、38、42、46、50、54、58、62、66、70、74、78 分）

角度的轉換：(1)

1 5^{\circ} =

____ 弳。(2)

\frac{11}{6} π

弳

=

____ 度。

已知扇形的半徑為

24

公分，圓心角為

3 6^{\circ}

，求扇形的：(1) 弧長 ____。(2) 面積 ____。

設

a = (0.5)^{0.5}

，

b = 2^{- 3}

，

c = (\frac{1}{4})^{- 2}

，則三數的大小順序為 ____。

解不等式

(\frac{1}{9})^{x + 1} > (\frac{1}{3})^{3 x + 4}

，試求

x

的範圍 ____。

試解指數方程式

2^{2 x + 2} + 7 \cdot 2^{x} - 2 = 0

的解為 ____。

若將函數

y = sin x

的圖形想像成高高低低的山。從原點開始順著函數圖形往右走，試問走到第五個山谷（最低點）時的

x

坐標是 ____。

若

- \frac{π}{4} \leq x \leq \frac{5}{6} π

，函數

y = sin x

的最大值為

M

與最小值為

m

，求

M \times m =

____。

右圖為邊長

4

的正方形，今分別以

A

、

C

為圓心，正方形的邊長為半徑畫兩圓弧，則鋪色區域面積為 ____。

載入中...

試問

y = sin \frac{x}{2}

與

y = - \frac{1}{3}

兩圖形在

- 15 \leq x \leq 15

的區間內共有 ____ 個交點。

公司舉辦抽獎活動，

2000

名員工分別領到編號

0001

至

2000

的對獎聯。首先，抽出一個不大於

60

的正整數，將此數字逐次加上

60

，但不可大於

2000

，這些號碼都可以獲得獎品。試問抽出的正整數是

45

，則共有 ____ 人中獎。

海水受到月球引力的影響會發生漲落的潮汐現象，下表是某港口在一天內海水漲落的記錄表：

時間 t （小時） 水深 y （公尺） 010313610971210151318102172410

經過長期的觀測得知，水深

y

與時間

t

可以用函數

f (t) = a sin b t + c

描述，根據上述資料，求出正數

a

，

b

，

c

的值，則序組

(a, b, c) =

____。

四、進階題（每題 4 分，共 12 分）

在一個遙遠的國度裡，經過專家研究以後，頒布兩種曆法同時施行。甲曆以

20

天為一個月，

13

個月為一年，一年有

260

天。乙曆以

20

天為一個月，

18

個月為一年，年底再加

5

天，一年有

365

天。假設這兩種曆法都以數字為月份名稱，如

1

月、

2

月、……、

10

月、

11

月、……等，以西元

2023

年

1

月

1

日為甲曆、乙曆紀元

1

年

1

月

1

日。試問已知某人出生於甲曆

4

年

3

月

2

日，當天是乙曆何年何月何日 ____。

觀察一個時鐘，

2

點

22

分時，時針與分針所夾的較小角為 ____。

如右圖，

\overline{A B} = 8

，以

\overline{A B}

為直徑的半圓，

C

為弧長

A B

中點，今以

B

為圓心，

\overline{A B}

為半徑作一圓弧與直線

B C

交於

D

點，則灰色部分面積為 ____ 平方單位。

載入中...

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(B)

第 2 題(B)

第 3 題(C)

第 4 題(D)

第 5 題(E)

第 6 題(B)(D)(E)

第 7 題(A)(C)(E)

第 8 題(1)

\frac{π}{12}

　(2)

330

第 9 題(1)

\frac{24 π}{5}

公分　(2)

\frac{288 π}{5}

平方公分

第 10 題

c > a > b

第 11 題

x > - 2

第 12 題

- 2

第 13 題

\frac{19}{2} π

第 14 題

- \frac{2}{2}

第 15 題

8 π - 16

第 16 題

5

第 17 題

33

第 18 題

(3, \frac{π}{6}, 10)

第 19 題乙曆

3

年

5

月

12

日

第 20 題

\frac{61}{180} π

（即

6 1^{\circ}

）

第 21 題

8 π - 16

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

考前先拿一份自己的考前藍圖

註冊之後，在首頁填上你們下一次段考的日期和範圍，練滿 15 題，系統就會照你做過的題、錯過的題，出一份考前藍圖 PDF：一份模擬卷、詳解，還有考前每天練哪一章。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選題：半衰期、圖形平移伸縮、象限、指數函數的底數、估計正弦值

第 1 題答案 (B)。每經過一個半衰期（

1600

年）重量變成原來的

\frac{1}{2}

。

4800 \div 1600 = 3

，共經過

3

個半衰期，重量為

64 \times (\frac{1}{2})^{3} = 64 \times \frac{1}{8} = 8

（克）。

第 2 題答案 (B)。向右平移

1

單位是把

x

換成

x - 1

，得

y = sin (x - 1)

；再以

x

軸為中心沿鉛直方向伸長為

2

倍，是把每一點的

y

坐標乘以

2

，得

y = 2 sin (x - 1)

。

向右平移是「

x

減」，向左平移才是「

x

加」。選項 (D) 原卷印作

y = - 2 (x - 1)

，沒有

sin

，本頁照卷面原樣；它是一條直線，不會是答案。

第 3 題答案 (C)。同界角相差

2 π

的整數倍：

\frac{61}{12} π = 4 π + \frac{13}{12} π

，

\frac{65}{12} π = 4 π + \frac{17}{12} π

，所以

θ

與介於

\frac{13}{12} π

和

\frac{17}{12} π

之間的角同界。因為

π < \frac{13}{12} π

且

\frac{17}{12} π < \frac{18}{12} π = \frac{3 π}{2}

，這個範圍完全落在第三象限。

換成度來看是

19 5^{\circ}

到

25 5^{\circ}

之間。原卷的不等式中間印作

x

（

\frac{61}{12} π < x < \frac{65}{12} π

），題幹前後都是

θ

，依題意應為

θ

，本頁題幹已改寫。

第 4 題答案 (D)。四個圖形都通過

(0, 1)

。甲、乙由左往右下降，底數小於

1

；丙、丁由左往右上升，底數大於

1

，所以

a

、

b

都小於

c

、

d

。在

y

軸右邊畫鉛直線

x = 1

，它與各圖形交點的

y

坐標就是底數本身：丙在丁的上方，所以

c > d

；甲在乙的上方（在

y

軸右邊，乙比甲更貼近

x

軸），所以

a > b

。合起來

b < a < d < c

。

也可以看

y

軸左邊：

x = - 1

時

y

坐標是底數的倒數，乙在甲的上方，所以

\frac{1}{b} > \frac{1}{a}

，同樣得到

b < a

。底數小於

1

時，底數越小圖形下降得越陡。

第 5 題答案 (E)。

π \approx 3.14

，所以

\frac{π}{2} \approx 1.57

、

\frac{2 π}{3} \approx 2.09

，

2

弧度滿足

\frac{π}{2} < 2 < \frac{2 π}{3}

，是第二象限角。正弦函數在

\frac{π}{2}

到

π

之間遞減，所以

sin \frac{π}{2} > sin 2 > sin \frac{2 π}{3}

，即

\frac{3}{2} < a < 1

。

2

弧度約

114. 6^{\circ}

，

sin 2 \approx 0.909

，而

\frac{3}{2} \approx 0.866

。

sin 2

的

2

沒有度的記號，單位是弧度，不是

2^{\circ}

。

弧度角先用 π 約等於 3.14 判斷落在哪一段，再用正弦在那一段的增減來比較。

02多選題：正弦型函數的性質、指數函數圖形上的四個點

第 6 題答案 (B)(D)(E)。

sin 3 x

的值在

- 1

到

1

之間，所以

f (x) = 5 sin 3 x

的值在

- 5

到

5

之間。(A) 錯：值域是

[- 5, 5]

。(B) 對：振幅是

5

。(C) 錯：週期是

\frac{2 π}{3}

。(D) 對：

2 π

是週期

\frac{2 π}{3}

的

3

倍，所以

f (1 + 2 π) = f (1)

；直接算也是

5 sin (3 + 6 π) = 5 sin 3

。(E) 對：把

y = sin x

的圖形以

y

軸為中心沿水平方向伸縮為

\frac{1}{3}

倍得

y = sin 3 x

，再以

x

軸為中心沿鉛直方向伸縮為

5

倍得

y = 5 sin 3 x

。

(C)(D) 要分清楚：

2 π

不是週期（週期指最小的正數），但它是週期的整數倍，所以加上

2 π

後函數值仍然相同。

第 7 題答案 (A)(C)(E)。四點為

A (- 1, \frac{1}{2})

、

B (0, 1)

、

C (1, 2)

、

D (2, 4)

。(A) 對：直線

A C

的斜率是

\frac{2 - \frac{1}{2}}{1 - ( - 1 )} = \frac{3}{4}

，在

x = 0

時的高度是

\frac{1}{2} + \frac{3}{4} = \frac{5}{4}

，比

B

的

y

坐標

1

大，所以

B

在直線

A C

下方。(B) 錯：直線

A B

、

B C

、

C D

的斜率依序是

\frac{1}{2}

、

1

、

2

，直線

A B

的斜率最小。(C) 對：四點都在

x

軸上方，到

x

軸的距離就是

y

坐標

\frac{1}{2}

、

1

、

2

、

4

，

A

最近。(D) 錯：

x = 2

時

x^{2} = 4 = 2^{2}

，

x = 4

時

x^{2} = 16 = 2^{4}

，已經有兩個交點；另外

x = - 1

時

x^{2} = 1

大於

2^{- 1} = \frac{1}{2}

，

x = 0

時

x^{2} = 0

小於

2^{0} = 1

，兩個圖形在

- 1

與

0

之間高低互換，還有一個交點，所以至少有三個交點，不是兩個。(E) 對：

\overline{A B} = 1^{2} + (\frac{1}{2})^{2} = \frac{5}{4}

，

\overline{B C} = 1^{2} + 1^{2} = 2

，

\overline{C D} = 1^{2} + 2^{2} = 5

，

\overline{C D}

最長。

選項 (D) 原卷把

y = x^{2}

稱為「直線」，本頁照卷面原樣；

y = x^{2}

的圖形是拋物線。兩個圖形恰有三個交點（

x = 2

、

x = 4

，以及一個在

- 1

與

0

之間，約

x = - 0.77

）。

指數函數的圖形越往右上升越快，所以相鄰兩點連線的斜率與長度都越來越大。

03填充題：度與弧度、扇形、指數的比大小與解方程式、不等式

第 8 題

18 0^{\circ} = π

弳。(1)

1 5^{\circ} = 15 \times \frac{π}{180} = \frac{π}{12}

（弳）。(2)

\frac{11}{6} π

弳

= \frac{11}{6} \times 18 0^{\circ} = 33 0^{\circ}

，填

330

。

第 9 題先把圓心角換成弧度：

3 6^{\circ} = 36 \times \frac{π}{180} = \frac{π}{5}

。(1) 弧長

= r θ = 24 \times \frac{π}{5} = \frac{24 π}{5}

（公分）。(2) 面積

= \frac{1}{2} r^{2} θ = \frac{1}{2} \times 2 4^{2} \times \frac{π}{5} = \frac{288 π}{5}

（平方公分）。

也可以用比例：

3 6^{\circ}

是整個圓的

\frac{1}{10}

，弧長是圓周

48 π

的

\frac{1}{10}

，面積是圓面積

576 π

的

\frac{1}{10}

。公式

r θ

與

\frac{1}{2} r^{2} θ

的

θ

要用弧度。

第 10 題都化成以

2

為底：

a = (\frac{1}{2})^{0.5} = 2^{- 0.5}

，

b = 2^{- 3}

，

c = (2^{- 2})^{- 2} = 2^{4}

。底數

2 > 1

，指數越大值越大；因為

4 > - 0.5 > - 3

，所以

c > a > b

。

數值是

c = 16

、

a = \frac{1}{2} \approx 0.707

、

b = \frac{1}{8} = 0.125

。

第 11 題化成同底：

(\frac{1}{9})^{x + 1} = (\frac{1}{3})^{2 (x + 1)} = (\frac{1}{3})^{2 x + 2}

，原式為

(\frac{1}{3})^{2 x + 2} > (\frac{1}{3})^{3 x + 4}

。底數

\frac{1}{3}

小於

1

，指數越大值越小，所以

2 x + 2 < 3 x + 4

，得

x > - 2

。

底數介於

0

與

1

之間時，拿掉底數後不等號要反向。也可以化成以

3

為底：

3^{- 2 x - 2} > 3^{- 3 x - 4}

，底數大於

1

不必反向，

- 2 x - 2 > - 3 x - 4

，同樣得

x > - 2

。

第 12 題

2^{2 x + 2} = 2^{2} \cdot (2^{x})^{2} = 4 (2^{x})^{2}

。令

t = 2^{x}

（

t > 0

），方程式變成

4 t^{2} + 7 t - 2 = 0

，分解為

(4 t - 1) (t + 2) = 0

，

t = \frac{1}{4}

或

t = - 2

。

t > 0

，所以只取

t = \frac{1}{4}

，即

2^{x} = 2^{- 2}

，

x = - 2

。

代回檢查：

2^{- 2} + 7 \cdot 2^{- 2} - 2 = \frac{1}{4} + \frac{7}{4} - 2 = 0

。

2^{x}

恆為正，

t = - 2

要捨去。

指數的比大小與不等式先化成同底數，再看底數大於 1 還是小於 1 來決定不等號方向。

04填充題：正弦函數的最低點、限制範圍的極值、葉形面積、交點個數

第 13 題

y = sin x

在

x > 0

的第一個最低點在

x = \frac{3 π}{2}

（值為

- 1

），之後每隔一個週期

2 π

出現一次。第五個最低點在

x = \frac{3 π}{2} + 4 \times 2 π = \frac{19}{2} π

。

從原點往右先遇到的是山頂（

x = \frac{π}{2}

），第一個山谷是

\frac{3 π}{2}

不是

\frac{π}{2}

；第五個是加

4

個週期，不是加

5

個。

第 14 題

x

從

- \frac{π}{4}

到

\frac{π}{2}

時

sin x

遞增，從

\frac{π}{2}

到

\frac{5 π}{6}

時遞減。範圍內包含

x = \frac{π}{2}

，所以最大值

M = 1

。最小值在兩個端點中較小的那一個：

sin (- \frac{π}{4}) = - \frac{2}{2}

，

sin \frac{5 π}{6} = \frac{1}{2}

，所以

m = - \frac{2}{2}

。

M \times m = - \frac{2}{2}

。

最大值不是右端點的

\frac{1}{2}

：要先看範圍裡有沒有包含最高點

x = \frac{π}{2}

。

第 15 題以

A

為圓心、半徑

4

的圓弧從

B

到

D

，扇形

A B D

是四分之一圓，面積

\frac{1}{4} π \cdot 4^{2} = 4 π

。連

\overline{B D}

，直角三角形

A B D

的面積是

\frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 4 = 8

，所以弦

\overline{B D}

與這段圓弧之間的弓形面積是

4 π - 8

。以

C

為圓心的圓弧同樣得到一個面積

4 π - 8

的弓形。鋪色區域正好是這兩個弓形以

\overline{B D}

為界拼起來的，面積

= 2 (4 π - 8) = 8 π - 16

。

另一種算法：兩個四分之一圓的面積和

8 π

蓋住整個正方形，其中鋪色區域被算了兩次，所以鋪色面積

= 8 π - 16

。

第 16 題

y = sin \frac{x}{2}

的週期是

2 π \div \frac{1}{2} = 4 π \approx 12.57

。只有在圖形位於

x

軸下方的地方才會與

y = - \frac{1}{3}

相交。在

- 15 \leq x \leq 15

內，

sin \frac{x}{2} < 0

的區段有三段。第一段

2 π < x < 4 π

（約

6.28

到

12.57

）：圖形由

0

降到

- 1

再回到

0

，下降、上升各通過

- \frac{1}{3}

一次，有

2

個交點。第二段

- 2 π < x < 0

：同樣有

2

個交點。第三段在

- 6 π < x < - 4 π

（約

- 18.85

到

- 12.57

），最低點在

x = - 5 π \approx - 15.71

，只有

- 15 \leq x < - 4 π

這部分在範圍內；

x = - 15

時

\frac{x}{2} = - 7.5

，與

- 7.5 + 2 π \approx - 1.22

（約

- 7 0^{\circ}

）同界，

sin (- 7.5) \approx - 0.94

，比

- \frac{1}{3}

低；圖形從這裡一路上升到

x = - 4 π

的

0

，通過

- \frac{1}{3}

一次，有

1

個交點。其餘區段（

0 \leq x \leq 2 π

、

- 4 π \leq x \leq - 2 π

、

4 π \leq x \leq 15

）圖形不在

x

軸下方，沒有交點。共

2 + 2 + 1 = 5

個。

左右兩邊不對稱：右端

x = 15

附近圖形在

x

軸上方，沒有交點；左端

x = - 15

附近圖形在下方，但範圍只蓋到那一段凹谷的右半邊，所以只有

1

個交點。

數交點時先算週期，再一段一段看圖形在水平線的上方還是下方，兩端要另外檢查。

05填充題：固定間隔的計數、由資料決定正弦型函數

第 17 題中獎號碼是

45

、

45 + 60

、

45 + 2 \times 60

、……，即

45 + 60 k

（

k = 0, 1, 2, \dots

），且不可大於

2000

。由

45 + 60 k \leq 2000

得

k \leq \frac{1955}{60} \approx 32.6

，所以

k = 0, 1, \dots, 32

，共

33

個號碼，

33

人中獎。

最後一個中獎號碼是

45 + 60 \times 32 = 1965

，再加

60

是

2025

，超過

2000

。

k

從

0

算起，個數是

32 + 1 = 33

。

第 18 題水深最大

13

、最小

7

。

a > 0

時最大值

a + c = 13

、最小值

- a + c = 7

，解得

a = 3

、

c = 10

。由表，

t = 3

與

t = 15

是相鄰兩次最高水位，週期為

15 - 3 = 12

（小時），

b > 0

，所以

\frac{2 π}{b} = 12

，

b = \frac{π}{6}

。

(a, b, c) = (3, \frac{π}{6}, 10)

。

檢查：

f (3) = 3 sin \frac{π}{2} + 10 = 13

、

f (9) = 3 sin \frac{3 π}{2} + 10 = 7

、

f (6) = 3 sin π + 10 = 10

，與表相符。只看表上每隔

3

小時的九筆資料，

b = \frac{π}{6} + \frac{2 π}{3} n

（

n

為正整數，例如

\frac{5 π}{6}

）也會通過這些點；題意是把表上相鄰兩次最高水位的間隔

12

小時當作週期，學校答案也是

b = \frac{π}{6}

。

正弦型函數 a sin bt + c：振幅是最大值與最小值之差的一半，c 是兩者的平均，週期由相鄰兩個最高點的間隔決定。

06進階題：兩種曆法的換算、時針與分針、扇形與弓形的組合

第 19 題兩種曆法的

1

年

1

月

1

日是同一天，把它當作第

1

天，先算出生那天是第幾天。甲曆

4

年

3

月

2

日之前，已過完

3

年（

3 \times 260 = 780

天）與第

4

年的前

2

個月（

2 \times 20 = 40

天），所以當天是第

780 + 40 + 2 = 822

天。換成乙曆：一年

365

天，

822 = 2 \times 365 + 92

，前兩年共

730

天，所以是乙曆第

3

年的第

92

天；一個月

20

天，

92 = 4 \times 20 + 12

，前

4

個月共

80

天，所以是

5

月

12

日。答：乙曆

3

年

5

月

12

日。

第

92

天還在前

18

個月（

360

天）之內，用不到年底多加的

5

天。日期是「第幾天」，所以除完的餘數

12

就是日，商

4

要加

1

才是月份。

第 20 題從

12

的位置順時針量：分針每分鐘走

6^{\circ}

，

22

分時在

22 \times 6^{\circ} = 13 2^{\circ}

；時針每小時走

3 0^{\circ}

、每分鐘走

0. 5^{\circ}

，

2

點

22

分時在

2 \times 3 0^{\circ} + 22 \times 0. 5^{\circ} = 7 1^{\circ}

。兩針夾角

13 2^{\circ} - 7 1^{\circ} = 6 1^{\circ}

，小於

18 0^{\circ}

，就是較小的角。化成弧度：

61 \times \frac{π}{180} = \frac{61}{180} π

。

題幹沒有指定單位，學校答案寫

\frac{61}{180} π

（弧度），與

6 1^{\circ}

是同一個角。

第 21 題半圓的圓心設為

M

（

\overline{A B}

中點），半徑

4

。

C

是半圓弧的中點，所以

\overline{M C} ⊥ \overline{A B}

，

△ M B C

是腰長

4

的等腰直角三角形，

∠ A B C = 4 5^{\circ} = \frac{π}{4}

。灰色部分有兩塊。右邊那塊是弦

\overline{B C}

與半圓弧

B C

圍成的弓形：扇形

M B C

減

△ M B C

= \frac{1}{4} π \cdot 4^{2} - \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 4 = 4 π - 8

。左邊那塊是以

B

為圓心的扇形

B A D

（半徑

8

、圓心角

\frac{π}{4}

）去掉其中屬於半圓的部分：扇形

B A D

面積

= \frac{1}{2} \cdot 8^{2} \cdot \frac{π}{4} = 8 π

；半圓在直線

B C

靠

A

那一側的部分，是扇形

M A C

加

△ M B C

= 4 π + 8

；所以左邊那塊

= 8 π - (4 π + 8) = 4 π - 8

。灰色部分面積

= (4 π - 8) + (4 π - 8) = 8 π - 16

。

D

在直線

B C

上且

\overline{B D} = 8

，而

\overline{B C} = 42 < 8

，所以

D

在

C

的外側，

\overline{C D}

是左邊那塊的一條邊。

不規則的區域拆成扇形與三角形的加減；扇形面積公式裡的圓心角要用弧度。

同一次段考的其他學校

同樣是高二第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

你們學校的段考卷也想要詳解？

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上傳考卷

常見問題

苑裡高中 113 上高二第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 21 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

苑裡高中 113 上高二第一次段考數學哪幾題最容易錯？

第 16 題數交點時左右兩端不對稱，左端只蓋到半個凹谷，要一段一段數；第 7 題選項 D 除了兩個整數交點，在負的那一邊還有一個交點；第 19 題要先換成從紀元起算的第幾天，再用乙曆的一年與一個月去除；第 21 題的灰色部分要拆成兩塊，各自用扇形減去三角形。詳解逐題寫在本頁。

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

題目取自苑裡高中 113 學年度上學期高二第一次段考數學B，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

御藍教育／段考卷／高二

段考詳解範圍：三角函數與指數函數（弧度量、弧長與扇形面積、正弦函數的圖形與週期、週期性數學模型、指數函數及其圖形）

苑裡高中 113 上
高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 21 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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01 · 試題

原卷 21 題，照原卷順序

一、單一選擇題（與填充題合併計分）

居禮夫人所發現的元素鐳-226 的半衰期大約

1600

年，則現有

64

克的鐳-226，經過

4800

年後重量會變為幾克？

(A) $4$
(B) $8$
(C) $16$
(D) $32$
(E) $64$

將正弦函數

y = sin x

的圖形向右平移

1

單位，再以

x

軸為中心沿鉛直方向伸長為

2

倍而得出之圖形是下列哪個函數的圖形？

(A) $y = 2 sin (x + 1)$
(B) $y = 2 sin (x - 1)$
(C) $y = - 2 sin (x + 1)$
(D) $y = - 2 (x - 1)$
(E) $y = 1 + 2 sin x$

已知標準位置角

θ

滿足

\frac{61}{12} π < θ < \frac{65}{12} π

，則

θ

角位於第幾象限？

(A) 第一象限
(B) 第二象限
(C) 第三象限
(D) 第四象限
(E) 以上皆非

指數函數

y = a^{x}

、

y = b^{x}

、

y = c^{x}

、

y = d^{x}

的圖形分別如圖之甲、乙、丙、丁，則

a

，

b

，

c

，

d

的大小關係為？

(A) $a < b < c < d$
(B) $a < b < d < c$
(C) $b < a < c < d$
(D) $b < a < d < c$
(E) $c < d < a < b$

載入中...

若

a = sin 2

，則下列何者正確？

(A) $- 1 < a < - \frac{3}{2}$
(B) $- \frac{3}{2} < a < - \frac{2}{2}$
(C) $- \frac{2}{2} < a < - \frac{1}{2}$
(D) $\frac{2}{2} < a < \frac{3}{2}$
(E) $\frac{3}{2} < a < 1$

二、多重選擇題（每題 5 分，答錯一個選項扣 2 分，扣至該題零分為止，共 10 分）

假設函數

f (x) = 5 sin 3 x

，請選出正確的選項。

(A) $f (x)$ 的值域為 $[- 3, 3]$
(B) $f (x)$ 的振幅為 $5$
(C) $f (x)$ 的週期為 $2 π$
(D) $f (1 + 2 π) = f (1)$
(E) $y = f (x)$ 的圖形可以由 $y = sin x$ 的圖形伸縮而得

坐標平面上，在函數圖形

y = 2^{x}

上標示

A

、

B

、

C

、

D

四個點，其

x

坐標分別為

- 1

、

0

、

1

、

2

，請選出正確的選項。

(A) 點 $B$ 落在直線 $A C$ 下方
(B) 在直線 $A B$ 、直線 $B C$ 、直線 $C D$ 中，以直線 $A B$ 的斜率最大
(C) $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 四個點，以點 $A$ 最靠近 $x$ 軸
(D) 直線 $y = x^{2}$ 與 $y = 2^{x}$ 的圖形有兩個交點
(E) 在 $\overline{A B}$ 、 $\overline{B C}$ 、 $\overline{C D}$ 中，以 $\overline{C D}$ 最長

角度的轉換：(1)

1 5^{\circ} =

____ 弳。(2)

\frac{11}{6} π

弳

=

____ 度。

已知扇形的半徑為

24

公分，圓心角為

3 6^{\circ}

，求扇形的：(1) 弧長 ____。(2) 面積 ____。

設

a = (0.5)^{0.5}

，

b = 2^{- 3}

，

c = (\frac{1}{4})^{- 2}

，則三數的大小順序為 ____。

解不等式

(\frac{1}{9})^{x + 1} > (\frac{1}{3})^{3 x + 4}

，試求

x

的範圍 ____。

試解指數方程式

2^{2 x + 2} + 7 \cdot 2^{x} - 2 = 0

的解為 ____。

若將函數

y = sin x

的圖形想像成高高低低的山。從原點開始順著函數圖形往右走，試問走到第五個山谷（最低點）時的

x

坐標是 ____。

若

- \frac{π}{4} \leq x \leq \frac{5}{6} π

，函數

y = sin x

的最大值為

M

與最小值為

m

，求

M \times m =

____。

右圖為邊長

4

的正方形，今分別以

A

、

C

為圓心，正方形的邊長為半徑畫兩圓弧，則鋪色區域面積為 ____。

載入中...

試問

y = sin \frac{x}{2}

與

y = - \frac{1}{3}

兩圖形在

- 15 \leq x \leq 15

的區間內共有 ____ 個交點。

公司舉辦抽獎活動，

2000

名員工分別領到編號

0001

至

2000

的對獎聯。首先，抽出一個不大於

60

的正整數，將此數字逐次加上

60

，但不可大於

2000

，這些號碼都可以獲得獎品。試問抽出的正整數是

45

，則共有 ____ 人中獎。

海水受到月球引力的影響會發生漲落的潮汐現象，下表是某港口在一天內海水漲落的記錄表：

時間 t （小時） 水深 y （公尺） 010313610971210151318102172410

經過長期的觀測得知，水深

y

與時間

t

可以用函數

f (t) = a sin b t + c

描述，根據上述資料，求出正數

a

，

b

，

c

的值，則序組

(a, b, c) =

____。

四、進階題（每題 4 分，共 12 分）

在一個遙遠的國度裡，經過專家研究以後，頒布兩種曆法同時施行。甲曆以

20

天為一個月，

13

個月為一年，一年有

260

天。乙曆以

20

天為一個月，

18

個月為一年，年底再加

5

天，一年有

365

天。假設這兩種曆法都以數字為月份名稱，如

1

月、

2

月、……、

10

月、

11

月、……等，以西元

2023

年

1

月

1

日為甲曆、乙曆紀元

1

年

1

月

1

日。試問已知某人出生於甲曆

4

年

3

月

2

日，當天是乙曆何年何月何日 ____。

觀察一個時鐘，

2

點

22

分時，時針與分針所夾的較小角為 ____。

如右圖，

\overline{A B} = 8

，以

\overline{A B}

為直徑的半圓，

C

為弧長

A B

中點，今以

B

為圓心，

\overline{A B}

為半徑作一圓弧與直線

B C

交於

D

點，則灰色部分面積為 ____ 平方單位。

載入中...

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(B)

第 2 題(B)

第 3 題(C)

第 4 題(D)

第 5 題(E)

第 6 題(B)(D)(E)

第 7 題(A)(C)(E)

第 8 題(1)

\frac{π}{12}

　(2)

330

第 9 題(1)

\frac{24 π}{5}

公分　(2)

\frac{288 π}{5}

平方公分

第 10 題

c > a > b

第 11 題

x > - 2

第 12 題

- 2

第 13 題

\frac{19}{2} π

第 14 題

- \frac{2}{2}

第 15 題

8 π - 16

第 16 題

5

第 17 題

33

第 18 題

(3, \frac{π}{6}, 10)

第 19 題乙曆

3

年

5

月

12

日

第 20 題

\frac{61}{180} π

（即

6 1^{\circ}

）

第 21 題

8 π - 16

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選題：半衰期、圖形平移伸縮、象限、指數函數的底數、估計正弦值

第 1 題答案 (B)。每經過一個半衰期（

1600

年）重量變成原來的

\frac{1}{2}

。

4800 \div 1600 = 3

，共經過

3

個半衰期，重量為

64 \times (\frac{1}{2})^{3} = 64 \times \frac{1}{8} = 8

（克）。

第 2 題答案 (B)。向右平移

1

單位是把

x

換成

x - 1

，得

y = sin (x - 1)

；再以

x

軸為中心沿鉛直方向伸長為

2

倍，是把每一點的

y

坐標乘以

2

，得

y = 2 sin (x - 1)

。

向右平移是「

x

減」，向左平移才是「

x

加」。選項 (D) 原卷印作

y = - 2 (x - 1)

，沒有

sin

，本頁照卷面原樣；它是一條直線，不會是答案。

第 3 題答案 (C)。同界角相差

2 π

的整數倍：

\frac{61}{12} π = 4 π + \frac{13}{12} π

，

\frac{65}{12} π = 4 π + \frac{17}{12} π

，所以

θ

與介於

\frac{13}{12} π

和

\frac{17}{12} π

之間的角同界。因為

π < \frac{13}{12} π

且

\frac{17}{12} π < \frac{18}{12} π = \frac{3 π}{2}

，這個範圍完全落在第三象限。

換成度來看是

19 5^{\circ}

到

25 5^{\circ}

之間。原卷的不等式中間印作

x

（

\frac{61}{12} π < x < \frac{65}{12} π

），題幹前後都是

θ

，依題意應為

θ

，本頁題幹已改寫。

第 4 題答案 (D)。四個圖形都通過

(0, 1)

。甲、乙由左往右下降，底數小於

1

；丙、丁由左往右上升，底數大於

1

，所以

a

、

b

都小於

c

、

d

。在

y

軸右邊畫鉛直線

x = 1

，它與各圖形交點的

y

坐標就是底數本身：丙在丁的上方，所以

c > d

；甲在乙的上方（在

y

軸右邊，乙比甲更貼近

x

軸），所以

a > b

。合起來

b < a < d < c

。

也可以看

y

軸左邊：

x = - 1

時

y

坐標是底數的倒數，乙在甲的上方，所以

\frac{1}{b} > \frac{1}{a}

，同樣得到

b < a

。底數小於

1

時，底數越小圖形下降得越陡。

第 5 題答案 (E)。

π \approx 3.14

，所以

\frac{π}{2} \approx 1.57

、

\frac{2 π}{3} \approx 2.09

，

2

弧度滿足

\frac{π}{2} < 2 < \frac{2 π}{3}

，是第二象限角。正弦函數在

\frac{π}{2}

到

π

之間遞減，所以

sin \frac{π}{2} > sin 2 > sin \frac{2 π}{3}

，即

\frac{3}{2} < a < 1

。

2

弧度約

114. 6^{\circ}

，

sin 2 \approx 0.909

，而

\frac{3}{2} \approx 0.866

。

sin 2

的

2

沒有度的記號，單位是弧度，不是

2^{\circ}

。

弧度角先用 π 約等於 3.14 判斷落在哪一段，再用正弦在那一段的增減來比較。

02多選題：正弦型函數的性質、指數函數圖形上的四個點

第 6 題答案 (B)(D)(E)。

sin 3 x

的值在

- 1

到

1

之間，所以

f (x) = 5 sin 3 x

的值在

- 5

到

5

之間。(A) 錯：值域是

[- 5, 5]

。(B) 對：振幅是

5

。(C) 錯：週期是

\frac{2 π}{3}

。(D) 對：

2 π

是週期

\frac{2 π}{3}

的

3

倍，所以

f (1 + 2 π) = f (1)

；直接算也是

5 sin (3 + 6 π) = 5 sin 3

。(E) 對：把

y = sin x

的圖形以

y

軸為中心沿水平方向伸縮為

\frac{1}{3}

倍得

y = sin 3 x

，再以

x

軸為中心沿鉛直方向伸縮為

5

倍得

y = 5 sin 3 x

。

(C)(D) 要分清楚：

2 π

不是週期（週期指最小的正數），但它是週期的整數倍，所以加上

2 π

後函數值仍然相同。

第 7 題答案 (A)(C)(E)。四點為

A (- 1, \frac{1}{2})

、

B (0, 1)

、

C (1, 2)

、

D (2, 4)

。(A) 對：直線

A C

的斜率是

\frac{2 - \frac{1}{2}}{1 - ( - 1 )} = \frac{3}{4}

，在

x = 0

時的高度是

\frac{1}{2} + \frac{3}{4} = \frac{5}{4}

，比

B

的

y

坐標

1

大，所以

B

在直線

A C

下方。(B) 錯：直線

A B

、

B C

、

C D

的斜率依序是

\frac{1}{2}

、

1

、

2

，直線

A B

的斜率最小。(C) 對：四點都在

x

軸上方，到

x

軸的距離就是

y

坐標

\frac{1}{2}

、

1

、

2

、

4

，

A

最近。(D) 錯：

x = 2

時

x^{2} = 4 = 2^{2}

，

x = 4

時

x^{2} = 16 = 2^{4}

，已經有兩個交點；另外

x = - 1

時

x^{2} = 1

大於

2^{- 1} = \frac{1}{2}

，

x = 0

時

x^{2} = 0

小於

2^{0} = 1

，兩個圖形在

- 1

與

0

之間高低互換，還有一個交點，所以至少有三個交點，不是兩個。(E) 對：

\overline{A B} = 1^{2} + (\frac{1}{2})^{2} = \frac{5}{4}

，

\overline{B C} = 1^{2} + 1^{2} = 2

，

\overline{C D} = 1^{2} + 2^{2} = 5

，

\overline{C D}

最長。

選項 (D) 原卷把

y = x^{2}

稱為「直線」，本頁照卷面原樣；

y = x^{2}

的圖形是拋物線。兩個圖形恰有三個交點（

x = 2

、

x = 4

，以及一個在

- 1

與

0

之間，約

x = - 0.77

）。

指數函數的圖形越往右上升越快，所以相鄰兩點連線的斜率與長度都越來越大。

03填充題：度與弧度、扇形、指數的比大小與解方程式、不等式

第 8 題

18 0^{\circ} = π

弳。(1)

1 5^{\circ} = 15 \times \frac{π}{180} = \frac{π}{12}

（弳）。(2)

\frac{11}{6} π

弳

= \frac{11}{6} \times 18 0^{\circ} = 33 0^{\circ}

，填

330

。

第 9 題先把圓心角換成弧度：

3 6^{\circ} = 36 \times \frac{π}{180} = \frac{π}{5}

。(1) 弧長

= r θ = 24 \times \frac{π}{5} = \frac{24 π}{5}

（公分）。(2) 面積

= \frac{1}{2} r^{2} θ = \frac{1}{2} \times 2 4^{2} \times \frac{π}{5} = \frac{288 π}{5}

（平方公分）。

也可以用比例：

3 6^{\circ}

是整個圓的

\frac{1}{10}

，弧長是圓周

48 π

的

\frac{1}{10}

，面積是圓面積

576 π

的

\frac{1}{10}

。公式

r θ

與

\frac{1}{2} r^{2} θ

的

θ

要用弧度。

第 10 題都化成以

2

為底：

a = (\frac{1}{2})^{0.5} = 2^{- 0.5}

，

b = 2^{- 3}

，

c = (2^{- 2})^{- 2} = 2^{4}

。底數

2 > 1

，指數越大值越大；因為

4 > - 0.5 > - 3

，所以

c > a > b

。

數值是

c = 16

、

a = \frac{1}{2} \approx 0.707

、

b = \frac{1}{8} = 0.125

。

第 11 題化成同底：

(\frac{1}{9})^{x + 1} = (\frac{1}{3})^{2 (x + 1)} = (\frac{1}{3})^{2 x + 2}

，原式為

(\frac{1}{3})^{2 x + 2} > (\frac{1}{3})^{3 x + 4}

。底數

\frac{1}{3}

小於

1

，指數越大值越小，所以

2 x + 2 < 3 x + 4

，得

x > - 2

。

底數介於

0

與

1

之間時，拿掉底數後不等號要反向。也可以化成以

3

為底：

3^{- 2 x - 2} > 3^{- 3 x - 4}

，底數大於

1

不必反向，

- 2 x - 2 > - 3 x - 4

，同樣得

x > - 2

。

第 12 題

2^{2 x + 2} = 2^{2} \cdot (2^{x})^{2} = 4 (2^{x})^{2}

。令

t = 2^{x}

（

t > 0

），方程式變成

4 t^{2} + 7 t - 2 = 0

，分解為

(4 t - 1) (t + 2) = 0

，

t = \frac{1}{4}

或

t = - 2

。

t > 0

，所以只取

t = \frac{1}{4}

，即

2^{x} = 2^{- 2}

，

x = - 2

。

代回檢查：

2^{- 2} + 7 \cdot 2^{- 2} - 2 = \frac{1}{4} + \frac{7}{4} - 2 = 0

。

2^{x}

恆為正，

t = - 2

要捨去。

指數的比大小與不等式先化成同底數，再看底數大於 1 還是小於 1 來決定不等號方向。

04填充題：正弦函數的最低點、限制範圍的極值、葉形面積、交點個數

第 13 題

y = sin x

在

x > 0

的第一個最低點在

x = \frac{3 π}{2}

（值為

- 1

），之後每隔一個週期

2 π

出現一次。第五個最低點在

x = \frac{3 π}{2} + 4 \times 2 π = \frac{19}{2} π

。

從原點往右先遇到的是山頂（

x = \frac{π}{2}

），第一個山谷是

\frac{3 π}{2}

不是

\frac{π}{2}

；第五個是加

4

個週期，不是加

5

個。

第 14 題

x

從

- \frac{π}{4}

到

\frac{π}{2}

時

sin x

遞增，從

\frac{π}{2}

到

\frac{5 π}{6}

時遞減。範圍內包含

x = \frac{π}{2}

，所以最大值

M = 1

。最小值在兩個端點中較小的那一個：

sin (- \frac{π}{4}) = - \frac{2}{2}

，

sin \frac{5 π}{6} = \frac{1}{2}

，所以

m = - \frac{2}{2}

。

M \times m = - \frac{2}{2}

。

最大值不是右端點的

\frac{1}{2}

：要先看範圍裡有沒有包含最高點

x = \frac{π}{2}

。

第 15 題以

A

為圓心、半徑

4

的圓弧從

B

到

D

，扇形

A B D

是四分之一圓，面積

\frac{1}{4} π \cdot 4^{2} = 4 π

。連

\overline{B D}

，直角三角形

A B D

的面積是

\frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 4 = 8

，所以弦

\overline{B D}

與這段圓弧之間的弓形面積是

4 π - 8

。以

C

為圓心的圓弧同樣得到一個面積

4 π - 8

的弓形。鋪色區域正好是這兩個弓形以

\overline{B D}

為界拼起來的，面積

= 2 (4 π - 8) = 8 π - 16

。

另一種算法：兩個四分之一圓的面積和

8 π

蓋住整個正方形，其中鋪色區域被算了兩次，所以鋪色面積

= 8 π - 16

。

第 16 題

y = sin \frac{x}{2}

的週期是

2 π \div \frac{1}{2} = 4 π \approx 12.57

。只有在圖形位於

x

軸下方的地方才會與

y = - \frac{1}{3}

相交。在

- 15 \leq x \leq 15

內，

sin \frac{x}{2} < 0

的區段有三段。第一段

2 π < x < 4 π

（約

6.28

到

12.57

）：圖形由

0

降到

- 1

再回到

0

，下降、上升各通過

- \frac{1}{3}

一次，有

2

個交點。第二段

- 2 π < x < 0

：同樣有

2

個交點。第三段在

- 6 π < x < - 4 π

（約

- 18.85

到

- 12.57

），最低點在

x = - 5 π \approx - 15.71

，只有

- 15 \leq x < - 4 π

這部分在範圍內；

x = - 15

時

\frac{x}{2} = - 7.5

，與

- 7.5 + 2 π \approx - 1.22

（約

- 7 0^{\circ}

）同界，

sin (- 7.5) \approx - 0.94

，比

- \frac{1}{3}

低；圖形從這裡一路上升到

x = - 4 π

的

0

，通過

- \frac{1}{3}

一次，有

1

個交點。其餘區段（

0 \leq x \leq 2 π

、

- 4 π \leq x \leq - 2 π

、

4 π \leq x \leq 15

）圖形不在

x

軸下方，沒有交點。共

2 + 2 + 1 = 5

個。

左右兩邊不對稱：右端

x = 15

附近圖形在

x

軸上方，沒有交點；左端

x = - 15

附近圖形在下方，但範圍只蓋到那一段凹谷的右半邊，所以只有

1

個交點。

數交點時先算週期，再一段一段看圖形在水平線的上方還是下方，兩端要另外檢查。

05填充題：固定間隔的計數、由資料決定正弦型函數

第 17 題中獎號碼是

45

、

45 + 60

、

45 + 2 \times 60

、……，即

45 + 60 k

（

k = 0, 1, 2, \dots

），且不可大於

2000

。由

45 + 60 k \leq 2000

得

k \leq \frac{1955}{60} \approx 32.6

，所以

k = 0, 1, \dots, 32

，共

33

個號碼，

33

人中獎。

最後一個中獎號碼是

45 + 60 \times 32 = 1965

，再加

60

是

2025

，超過

2000

。

k

從

0

算起，個數是

32 + 1 = 33

。

第 18 題水深最大

13

、最小

7

。

a > 0

時最大值

a + c = 13

、最小值

- a + c = 7

，解得

a = 3

、

c = 10

。由表，

t = 3

與

t = 15

是相鄰兩次最高水位，週期為

15 - 3 = 12

（小時），

b > 0

，所以

\frac{2 π}{b} = 12

，

b = \frac{π}{6}

。

(a, b, c) = (3, \frac{π}{6}, 10)

。

檢查：

f (3) = 3 sin \frac{π}{2} + 10 = 13

、

f (9) = 3 sin \frac{3 π}{2} + 10 = 7

、

f (6) = 3 sin π + 10 = 10

，與表相符。只看表上每隔

3

小時的九筆資料，

b = \frac{π}{6} + \frac{2 π}{3} n

（

n

為正整數，例如

\frac{5 π}{6}

）也會通過這些點；題意是把表上相鄰兩次最高水位的間隔

12

小時當作週期，學校答案也是

b = \frac{π}{6}

。

正弦型函數 a sin bt + c：振幅是最大值與最小值之差的一半，c 是兩者的平均，週期由相鄰兩個最高點的間隔決定。

06進階題：兩種曆法的換算、時針與分針、扇形與弓形的組合

第 19 題兩種曆法的

1

年

1

月

1

日是同一天，把它當作第

1

天，先算出生那天是第幾天。甲曆

4

年

3

月

2

日之前，已過完

3

年（

3 \times 260 = 780

天）與第

4

年的前

2

個月（

2 \times 20 = 40

天），所以當天是第

780 + 40 + 2 = 822

天。換成乙曆：一年

365

天，

822 = 2 \times 365 + 92

，前兩年共

730

天，所以是乙曆第

3

年的第

92

天；一個月

20

天，

92 = 4 \times 20 + 12

，前

4

個月共

80

天，所以是

5

月

12

日。答：乙曆

3

年

5

月

12

日。

第

92

天還在前

18

個月（

360

天）之內，用不到年底多加的

5

天。日期是「第幾天」，所以除完的餘數

12

就是日，商

4

要加

1

才是月份。

第 20 題從

12

的位置順時針量：分針每分鐘走

6^{\circ}

，

22

分時在

22 \times 6^{\circ} = 13 2^{\circ}

；時針每小時走

3 0^{\circ}

、每分鐘走

0. 5^{\circ}

，

2

點

22

分時在

2 \times 3 0^{\circ} + 22 \times 0. 5^{\circ} = 7 1^{\circ}

。兩針夾角

13 2^{\circ} - 7 1^{\circ} = 6 1^{\circ}

，小於

18 0^{\circ}

，就是較小的角。化成弧度：

61 \times \frac{π}{180} = \frac{61}{180} π

。

題幹沒有指定單位，學校答案寫

\frac{61}{180} π

（弧度），與

6 1^{\circ}

是同一個角。

第 21 題半圓的圓心設為

M

（

\overline{A B}

中點），半徑

4

。

C

是半圓弧的中點，所以

\overline{M C} ⊥ \overline{A B}

，

△ M B C

是腰長

4

的等腰直角三角形，

∠ A B C = 4 5^{\circ} = \frac{π}{4}

。灰色部分有兩塊。右邊那塊是弦

\overline{B C}

與半圓弧

B C

圍成的弓形：扇形

M B C

減

△ M B C

= \frac{1}{4} π \cdot 4^{2} - \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 4 = 4 π - 8

。左邊那塊是以

B

為圓心的扇形

B A D

（半徑

8

、圓心角

\frac{π}{4}

）去掉其中屬於半圓的部分：扇形

B A D

面積

= \frac{1}{2} \cdot 8^{2} \cdot \frac{π}{4} = 8 π

；半圓在直線

B C

靠

A

那一側的部分，是扇形

M A C

加

△ M B C

= 4 π + 8

；所以左邊那塊

= 8 π - (4 π + 8) = 4 π - 8

。灰色部分面積

= (4 π - 8) + (4 π - 8) = 8 π - 16

。

D

在直線

B C

上且

\overline{B D} = 8

，而

\overline{B C} = 42 < 8

，所以

D

在

C

的外側，

\overline{C D}

是左邊那塊的一條邊。

不規則的區域拆成扇形與三角形的加減；扇形面積公式裡的圓心角要用弧度。

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同樣是高二第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

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本頁列出全部 21 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

苑裡高中 113 上高二第一次段考數學哪幾題最容易錯？

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苑裡高中 113 上高二第一次段考數學試題、答案與詳解

原卷 21 題，照原卷順序

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02多選題：正弦型函數的性質、指數函數圖形上的四個點

03填充題：度與弧度、扇形、指數的比大小與解方程式、不等式

04填充題：正弦函數的最低點、限制範圍的極值、葉形面積、交點個數

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