段考詳解範圍：極限與函數（數列的極限、Σ 與無窮等比級數、函數的概念、合成函數與反函數、函數的極限、連續函數）

苑裡高中 114 上
高三第一次段考
數學試題、答案與詳解

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01 · 試題

原卷 24 題，照原卷順序

單選題 3 題與填充題 17 格合併計分，共 20 格 80 分，依答對格數給分：答對 1 格 5 分、2 格 10 分，第 3 格到第 18 格每多對一格加 4 分（18 格 74 分），19 格 77 分，20 格 80 分。多重選擇題 4 題，每題 5 分，每答錯一格扣 2 分，扣至該題 0 分為止，共 20 分。本頁題號全卷連續：第 1～3 題是單選題，第 4～7 題是多重選擇題第 1～4 題，第 8～24 題是填充題第 1～17 題。答案已與學校公布的答案逐題核對；第 18 題（填充 11）另加定義域的說明。

一、單選題

試求

n \to \infty lim \frac{1}{( \frac{9}{10} ) ^{n} + ( \frac{11}{12} ) ^{n}} =

？

(A) $0$
(B) $\frac{1}{2}$
(C) $1$
(D) $2$
(E) 不存在

設

f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{∣ x ∣}{x}, \frac{1}{2}, x \neq = 0 x = 0

，則

x \to 0 lim f (x)

之值為何？

(A) $- 1$
(B) $0$
(C) $\frac{1}{2}$
(D) $1$
(E) 不存在

x \to 3^{-} lim \frac{x ^{2} - 9}{∣ x - 3∣} =

？

(A) $- 6$
(B) $- 3$
(C) $3$
(D) $6$
(E) $9$

二、多重選擇題（4 題，每題 5 分，每答錯一格扣 2 分，扣至該題 0 分為止，共 20 分）

下列各無窮數列中，哪些是收斂數列？

(A) $⟨ (\frac{4}{3})^{n} ⟩$
(B) $⟨ 1^{n} ⟩$
(C) $⟨ 100 \times (- \frac{π}{3})^{n} ⟩$
(D) $⟨ (- \frac{9}{10})^{n} ⟩$
(E) $⟨ (- 1)^{n} ⟩$

設

⟨ a_{n} ⟩

，

⟨ b_{n} ⟩

為兩無窮數列，下列哪些是正確的？

(A) 若 $⟨ a_{n} ⟩$ 收斂， $⟨ b_{n} ⟩$ 發散，則 $⟨ a_{n} + b_{n} ⟩$ 發散
(B) 若 $⟨ a_{n} ⟩$ ， $⟨ b_{n} ⟩$ 皆發散，則 $⟨ a_{n} + b_{n} ⟩$ 發散
(C) 若 $⟨ a_{n} ⟩$ ， $⟨ b_{n} ⟩$ 皆收斂，則 $⟨ a_{n} - b_{n} ⟩$ 收斂
(D) 若 $⟨ a_{n} ⟩$ ， $⟨ b_{n} ⟩$ 皆發散，則 $⟨ a_{n} b_{n} ⟩$ 發散
(E) 若 $⟨ a_{n} ⟩$ 收斂， $⟨ b_{n} ⟩$ 發散，且 $n \to \infty lim a_{n} \neq = 0$ ，則 $⟨ \frac{b _{n}}{a _{n}} ⟩$ 必發散

試判斷下列哪些圖形是

y = f (x)

的函數圖形？（五個選項的圖形見附圖）

(A) 圖 (A)
(B) 圖 (B)
(C) 圖 (C)
(D) 圖 (D)
(E) 圖 (E)

載入中...

設

f (x)

之圖形如下，則下列何者正確？

(A) $f (2)$ 不存在
(B) $x \to 2 lim f (x)$ 不存在
(C) $x \to 3 lim f (x) = 5$
(D) $f (x)$ 在 $x = 5$ 連續
(E) $x \to 2^{+} lim f (x)$ 不存在

載入中...

三、填充題（和單選題合併計分，共 20 格，共 80 分）

【填充 1】

n \to \infty lim \frac{1}{n ^{2}} =

＿＿＿。

【填充 2】

n \to \infty lim \frac{2 n + 2025}{6 n - 114} =

＿＿＿。

【填充 3】

n \to \infty lim \frac{2 + 3 ^{n} + 7 ^{n + 2}}{- 6 + 7 ^{n}} =

＿＿＿。

【填充 4】數列

⟨ (\frac{x - 4}{3})^{n} ⟩

為收斂數列，求

x

的範圍為＿＿＿。

【填充 5】已知無窮數列

⟨ a_{n} ⟩

滿足

5 n - 12 < 3 n a_{n} < 5 n - 4

，試求

n \to \infty lim a_{n} =

＿＿＿。

【填充 6】

k = 1 \sum 5 (2 k - 3) =

＿＿＿。

【填充 7】

k = 4 \sum 10 2 k^{2} =

＿＿＿。

【填充 8】已知

k = 1 \sum 10 a_{k} = 30

，

k = 1 \sum 10 b_{k} = 15

，則

k = 1 \sum 10 (- 2 a_{k} + 3 b_{k} + 4) =

＿＿＿。

【填充 9】無窮等比級數

3 - 2 + \frac{4}{3} - \frac{8}{9} + \dots + 3 \cdot (\frac{- 2}{3})^{n - 1} + \dots =

＿＿＿。

【填充 10】若函數

f (x) = - x^{2} + 8 x

的值域為

{y ∣ y \in R, m \leq y \leq M}

，求

m - M =

＿＿＿。

【填充 11】試求

f (x) = 10 x + 1

的反函數為＿＿＿。

【填充 12】設函數

f (x) = x^{2} - 2 x + 3

，

g (x) = 3 x + 1

，則

(f \circ g) (2) =

＿＿＿。

【填充 13】設函數

f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ 2 x + 5, x^{2} - ∣ x ∣, x^{2} - 4, 若 x > 3 若 - 3 \leq x \leq 3 若 x < - 3

，則

f (f (3)) =

＿＿＿。

【填充 14】設函數

f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{k x ^{2} + x - 4 k - 2}{x - 2}, 3, x \neq = 2 x = 2

，若

f (x)

在

x = 2

連續，則

k =

＿＿＿。

【填充 15】

x \to 3 lim (\frac{x - 4}{x - 3} + \frac{2}{x ^{2} - 4 x + 3}) =

＿＿＿。

【填充 16】

x \to 2 lim \frac{∣ x + 2∣ - ∣ x - 2∣}{x + 1} =

＿＿＿。

【填充 17】若

x \to 2 lim \frac{x ^{2} - m x + 8}{x ^{2} - ( n + 2 ) x + 2 n} = \frac{1}{5}

，則

m - n =

＿＿＿。

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(E)

第 2 題(E)

第 3 題(A)

第 4 題(B)(D)

第 5 題(A)(C)(E)

第 6 題(B)(C)(D)

第 7 題(A)(B)(D)

第 8 題

0

第 9 題

\frac{1}{3}

第 10 題

49

第 11 題

1 < x \leq 7

第 12 題

\frac{5}{3}

第 13 題

15

第 14 題

742

第 15 題

25

第 16 題

\frac{9}{5}

第 17 題

- 4

第 18 題

y = \frac{x ^{2}}{100} - 1

（照學校公布的答案；完整的寫法要加上定義域

x \geq 0

，見詳解）

第 19 題

38

第 20 題

17

第 21 題

\frac{1}{2}

第 22 題

\frac{1}{2}

第 23 題

\frac{4}{3}

第 24 題

- 6

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

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對完答案了？勾你錯的題號

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

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01單選題：分母趨近 0 的數列、左極限與右極限

第 1 題答案 (E)。

\frac{9}{10}

與

\frac{11}{12}

都介於

0

與

1

之間，所以

(\frac{9}{10})^{n} \to 0

、

(\frac{11}{12})^{n} \to 0

，分母是正數而且趨近

0

。分子固定是

1

，整個分式會無限增大，不接近任何一個實數，極限不存在。

分母的極限是

0

時，不能用「極限的商等於商的極限」直接寫成

\frac{1}{0 + 0}

；要回頭看這個分式實際上怎麼變化。

第 2 題答案 (E)。

x > 0

時

\frac{∣ x ∣}{x} = \frac{x}{x} = 1

，所以右極限是

1

。

x < 0

時

\frac{∣ x ∣}{x} = \frac{- x}{x} = - 1

，所以左極限是

- 1

。左、右極限不相等，

x \to 0 lim f (x)

不存在。

f (0) = \frac{1}{2}

是

x = 0

那一點的函數值，與

x \to 0

的極限無關。

第 3 題答案 (A)。

x \to 3^{-}

表示

x < 3

，此時

x - 3 < 0

，

∣ x - 3∣ = - (x - 3)

。所以

\frac{x ^{2} - 9}{∣ x - 3∣} = \frac{( x - 3 ) ( x + 3 )}{- ( x - 3 )} = - (x + 3)

當

x \to 3^{-}

時趨近

- (3 + 3) = - 6

。

若改成

x \to 3^{+}

，絕對值直接拿掉，極限是

6

；兩邊不同，所以

x \to 3

的極限不存在。

有絕對值的極限，先看 x 從哪一邊接近，把絕對值拆掉再算。

02多重選擇題：等比數列的斂散、數列運算的性質、函數圖形、由圖形看極限

第 4 題答案 (B)(D)。等比數列

⟨ r^{n} ⟩

收斂的條件是

- 1 < r \leq 1

；乘上不為

0

的常數不影響收斂或發散。 (A) 錯誤。 公比

\frac{4}{3} > 1

，數列無限增大，發散。 (B) 正確。

1^{n} = 1

，是常數數列，收斂到

1

。 (C) 錯誤。

π > 3

，所以公比

- \frac{π}{3} < - 1

，各項正負交錯而且絕對值愈來愈大，發散。 (D) 正確。 公比

- \frac{9}{10}

介於

- 1

與

1

之間，數列收斂到

0

。 (E) 錯誤。 公比

- 1

，數列是

- 1, 1, - 1, 1, \dots

，不接近任何一個數，發散。

\frac{π}{3} \approx 1.047

比

1

大一點；前面的

100

只是倍數，不影響判斷。

第 5 題答案 (A)(C)(E)。 (A) 正確。 假設

⟨ a_{n} + b_{n} ⟩

收斂，因為

⟨ a_{n} ⟩

收斂，兩個收斂數列相減仍收斂，

b_{n} = (a_{n} + b_{n}) - a_{n}

就會收斂，與

⟨ b_{n} ⟩

發散矛盾。 (B) 錯誤。 取

a_{n} = n

、

b_{n} = - n

，兩個都發散，但

a_{n} + b_{n} = 0

是收斂數列。 (C) 正確。 兩個收斂數列的差仍收斂，極限就是兩個極限相減。 (D) 錯誤。 取

a_{n} = b_{n} = (- 1)^{n}

，兩個都發散，但

a_{n} b_{n} = 1

是收斂數列。 (E) 正確。 設

n \to \infty lim a_{n} = α \neq = 0

。假設

⟨ \frac{b _{n}}{a _{n}} ⟩

收斂，則

b_{n} = \frac{b _{n}}{a _{n}} \cdot a_{n}

是兩個收斂數列的積，也會收斂，與

⟨ b_{n} ⟩

發散矛盾。

(A)(E) 都是反證法：把發散的那個數列用「已知收斂的數列」做加減乘表示出來，就會矛盾。(E) 的條件

α \neq = 0

讓

n

夠大以後

a_{n} \neq = 0

，分式才有意義。

第 6 題答案 (B)(C)(D)。

y

是

x

的函數，表示每一個

x

至多對應一個

y

；在圖形上就是任何一條鉛直線與圖形至多交於一點。 (A) 錯誤。 菱形：

y

軸（或菱形內部任一條鉛直線）與它交於上、下兩點。 (B) 正確。 曲線由左到右一路前進，沒有往回彎，每條鉛直線至多交一點。 (C) 正確。 五個點的

x

坐標都不同，每條鉛直線至多通過一個點；圖形只有幾個點也可以是函數圖形。 (D) 正確。 兩支曲線分別在

y

軸的右邊與左邊，同一個

x

只對到其中一支上的一點。 (E) 錯誤。 從原點向右分成上、下兩支，

y

軸右邊的鉛直線與它交於兩點。

第 7 題答案 (A)(B)(D)。空心點表示圖形不含那一點，實心點才是函數值。 (A) 正確。 在

x = 2

的上方只有兩個空心點，沒有實心點，

f (2)

沒有定義。 (B) 正確。

x

從左邊接近

2

時，圖形接近高度

5

的空心點；從右邊接近

2

時，圖形接近高度

4

的空心點。左、右極限分別是

5

與

4

，不相等，極限不存在。 (C) 錯誤。

x

從左、右兩邊接近

3

時，圖形都接近高度

3

的空心點，所以極限是

3

。高度

5

的實心點是函數值

f (3) = 5

，不是極限。 (D) 正確。 圖形在

x = 5

附近是一條沒有斷開的曲線，而且通過實心點

(5, 1)

，所以

x \to 5

的極限是

1

，等於

f (5)

，在

x = 5

連續。 (E) 錯誤。

x

從右邊接近

2

時，圖形接近高度

4

的空心點，右極限存在，等於

4

。

極限看的是「附近」的圖形接近哪裡，與那一點有沒有定義、函數值是多少都無關。所以

f (2)

不存在不影響 (E)，

f (3) = 5

也不影響 (C)。

等比數列收斂的公比範圍含 1 不含 −1；看圖求極限時，空心、實心只管函數值，不管極限。

03填充第 1～5 題：數列的極限

第 8 題答案

0

。

n

愈大，

n^{2}

愈大，

\frac{1}{n ^{2}}

愈接近

0

。

第 9 題答案

\frac{1}{3}

。分子、分母同除以

n

：

\frac{2 n + 2025}{6 n - 114} = \frac{2 + \frac{2025}{n}}{6 - \frac{114}{n}} \to \frac{2}{6} = \frac{1}{3}

分子、分母次數相同時，極限就是最高次項係數的比；常數

2025

、

114

再大也不影響。

第 10 題答案

49

。

7^{n + 2} = 49 \cdot 7^{n}

。分子、分母同除以

7^{n}

：

\frac{2 + 3 ^{n} + 49 \cdot 7 ^{n}}{- 6 + 7 ^{n}} = \frac{\frac{2}{7 ^{n}} + ( \frac{3}{7} ) ^{n} + 49}{- \frac{6}{7 ^{n}} + 1} \to \frac{0 + 0 + 49}{0 + 1} = 49

第 11 題答案

1 < x \leq 7

。這是公比

r = \frac{x - 4}{3}

的等比數列，收斂的條件是

- 1 < r \leq 1

：

- 1 < \frac{x - 4}{3} \leq 1

各邊乘以

3

得

- 3 < x - 4 \leq 3

，再加

4

得

1 < x \leq 7

。

x = 7

時公比是

1

，常數數列收斂，要算進去；

x = 1

時公比是

- 1

，數列在

- 1

、

1

之間跳動，發散。

第 12 題答案

\frac{5}{3}

。

n

是正整數，各邊同除以

3 n

，不等號方向不變：

\frac{5 n - 12}{3 n} < a_{n} < \frac{5 n - 4}{3 n}

左邊

= \frac{5}{3} - \frac{4}{n} \to \frac{5}{3}

，右邊

= \frac{5}{3} - \frac{4}{3 n} \to \frac{5}{3}

。兩邊的極限相同，由夾擠定理

n \to \infty lim a_{n} = \frac{5}{3}

。

分式型的數列同除以成長最快的那一項；被兩個極限相同的數列夾住，就用夾擠定理。

04填充第 6～9 題：Σ 與無窮等比級數

第 13 題答案

15

。

k = 1 \sum 5 (2 k - 3) = 2 k = 1 \sum 5 k - 3 \times 5 = 2 \times 15 - 15 = 15

。

直接列出來也可以：

(- 1) + 1 + 3 + 5 + 7 = 15

。

第 14 題答案

742

。這個和從

k = 4

開始，用「加到

10

」減去「加到

3

」：

k = 4 \sum 10 2 k^{2} = 2 (k = 1 \sum 10 k^{2} - k = 1 \sum 3 k^{2})

其中

k = 1 \sum 10 k^{2} = \frac{10 \cdot 11 \cdot 21}{6} = 385

，

1^{2} + 2^{2} + 3^{2} = 14

，所以原式

= 2 (385 - 14) = 742

。

要減掉的是前

3

項（

k = 1, 2, 3

），不是前

4

項。

第 15 題答案

25

。把 Σ 拆開：

k = 1 \sum 10 (- 2 a_{k} + 3 b_{k} + 4) = - 2 k = 1 \sum 10 a_{k} + 3 k = 1 \sum 10 b_{k} + k = 1 \sum 10 4

= - 2 \times 30 + 3 \times 15 + 4 \times 10 = - 60 + 45 + 40 = 25

。

常數

4

加了

10

次，是

40

，不是

4

。

第 16 題答案

\frac{9}{5}

。首項

a = 3

，公比

r = - \frac{2}{3}

，

∣ r ∣ < 1

，級數收斂，和為

\frac{a}{1 - r} = \frac{3}{1 - ( - \frac{2}{3} )} = \frac{3}{\frac{5}{3}} = \frac{9}{5}

Σ 可以拆開、可以把常數提出來；常數項要乘上項數。

05填充第 10～13 題：值域、反函數、合成函數、分段定義的函數

第 17 題答案

- 4

。根號內配方：

- x^{2} + 8 x = - (x - 4)^{2} + 16

。根號內要大於或等於

0

，所以定義域是

0 \leq x \leq 8

；在這個範圍內

- (x - 4)^{2} + 16

最大是

16

（

x = 4

），最小是

0

（

x = 0

或

8

），而且

0

到

16

之間的值都取得到。開根號後

0 \leq f (x) \leq 4

，所以

m = 0

、

M = 4

，

m - M = - 4

。

題目問的是

m - M

，是小的減大的，答案是負數。

第 18 題答案

f^{- 1} (x) = \frac{x ^{2}}{100} - 1

，

x \geq 0

。令

y = 10 x + 1

，這裡

x \geq - 1

、

y \geq 0

。兩邊平方得

y^{2} = 100 (x + 1)

，所以

x = \frac{y ^{2}}{100} - 1

。把

x

、

y

對調，得

y = \frac{x ^{2}}{100} - 1

，其中

x \geq 0

。

學校公布的答案寫

y = \frac{x ^{2}}{100} - 1

，式子相同。反函數的定義域是原函數的值域：

10 x + 1

的值不會是負數，所以反函數只定義在

x \geq 0

。少了這個範圍，

y = \frac{x ^{2}}{100} - 1

是一整條拋物線，

x = 10

與

x = - 10

對到同一個

y

，就不是

f

的反函數了。作答時把

x \geq 0

一起寫出來比較完整。

第 19 題答案

38

。

(f \circ g) (2) = f (g (2))

，先算裡面：

g (2) = 3 \times 2 + 1 = 7

。再算

f (7) = 7^{2} - 2 \times 7 + 3 = 49 - 14 + 3 = 38

。

f \circ g

是先

g

後

f

。順序反過來是

g (f (2)) = g (3) = 10

，結果不同。

第 20 題答案

17

。先算

f (3)

：

x = 3

滿足

- 3 \leq x \leq 3

，用第二個式子，

f (3) = 3^{2} - ∣3∣ = 6

。再算

f (6)

：

6 > 3

，用第一個式子，

f (6) = 2 \times 6 + 5 = 17

。

x = 3

落在第二段（有等號），不是第一段；若誤用第一段會算成

f (3) = 11

。

反函數的定義域是原函數的值域；分段定義的函數先看 x 落在哪一段。

06填充第 14～17 題：函數的極限與連續

第 21 題答案

\frac{1}{2}

。在

x = 2

連續，要

x \to 2 lim f (x) = f (2) = 3

。分子按

k

整理後分解：

k x^{2} + x - 4 k - 2 = k (x^{2} - 4) + (x - 2) = (x - 2) (k (x + 2) + 1)

x \neq = 2

時約去

x - 2

，

f (x) = k (x + 2) + 1

，所以

x \to 2 lim f (x) = 4 k + 1

。令

4 k + 1 = 3

，得

k = \frac{1}{2}

。

分子代

x = 2

得

4 k + 2 - 4 k - 2 = 0

，不論

k

是多少都有因式

x - 2

，所以極限一定存在，再由連續的條件決定

k

。

第 22 題答案

\frac{1}{2}

。兩項在

x \to 3

時各自的極限都不存在，先通分。

x^{2} - 4 x + 3 = (x - 1) (x - 3)

，所以

\frac{x - 4}{x - 3} + \frac{2}{( x - 1 ) ( x - 3 )} = \frac{( x - 4 ) ( x - 1 ) + 2}{( x - 1 ) ( x - 3 )} = \frac{x ^{2} - 5 x + 6}{( x - 1 ) ( x - 3 )}

分子

x^{2} - 5 x + 6 = (x - 2) (x - 3)

。

x \neq = 3

時約去

x - 3

得

\frac{x - 2}{x - 1}

，代入

x = 3

得

\frac{1}{2}

。

第 23 題答案

\frac{4}{3}

。分母在

x = 2

的值是

3

，不是

0

；分子、分母都是連續函數，直接代入：

\frac{∣2 + 2∣ - ∣2 - 2∣}{2 + 1} = \frac{4 - 0}{3} = \frac{4}{3}

不是每一題極限都要化簡；先代入看分母是不是

0

。分母不為

0

就直接代。

第 24 題答案

- 6

。分母

x^{2} - (n + 2) x + 2 n = (x - 2) (x - n)

，在

x \to 2

時趨近

0

。極限存在而且是

\frac{1}{5}

，分子在

x = 2

也必須是

0

：

4 - 2 m + 8 = 0

，得

m = 6

。此時分子

x^{2} - 6 x + 8 = (x - 2) (x - 4)

，約去

x - 2

：

x \to 2 lim \frac{( x - 2 ) ( x - 4 )}{( x - 2 ) ( x - n )} = x \to 2 lim \frac{x - 4}{x - n} = \frac{- 2}{2 - n}

令

\frac{- 2}{2 - n} = \frac{1}{5}

，得

2 - n = - 10

，

n = 12

。所以

m - n = 6 - 12 = - 6

。

檢查：

m = 6

、

n = 12

時原式為

\frac{( x - 2 ) ( x - 4 )}{( x - 2 ) ( x - 12 )}

，極限

\frac{- 2}{- 10} = \frac{1}{5}

。這裡的

n

是題目給的常數，不是數列的項數。

分母趨近 0 而極限存在，分子也一定趨近 0；先用這個條件求出未知數，再約分代入。

同一次段考的其他學校

同樣是高三第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

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常見問題

苑裡高中 114 上高三第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 24 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

苑裡高中 114 上高三第一次段考數學哪幾題最容易錯？

單選題第 1 題：分母的兩項都趨近 0，分式會無限增大，極限不存在，容易誤選 0 或二分之一。多重選擇題第 4 題（本頁第 7 題）：空心點與實心點只決定函數值，極限要看附近的圖形，x 等於 3 的極限是 3 不是 5。填充題第 17 題（本頁第 24 題）：分母趨近 0，要先由分子也趨近 0 求出 m，再約分求 n。填充題第 7 題（本頁第 14 題）：和從 k 等於 4 開始，要減掉前 3 項。填充題第 11 題（本頁第 18 題）：反函數要記得定義域是原函數的值域。詳解逐題寫在本頁。

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

這份段考卷可以下載列印嗎？

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題目取自苑裡高中 114 學年度上學期高三第一次段考數學甲，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

御藍教育／段考卷／高三

段考詳解範圍：極限與函數（數列的極限、Σ 與無窮等比級數、函數的概念、合成函數與反函數、函數的極限、連續函數）

苑裡高中 114 上
高三第一次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 24 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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01 · 試題

原卷 24 題，照原卷順序

一、單選題

試求

n \to \infty lim \frac{1}{( \frac{9}{10} ) ^{n} + ( \frac{11}{12} ) ^{n}} =

？

(A) $0$
(B) $\frac{1}{2}$
(C) $1$
(D) $2$
(E) 不存在

設

f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{∣ x ∣}{x}, \frac{1}{2}, x \neq = 0 x = 0

，則

x \to 0 lim f (x)

之值為何？

(A) $- 1$
(B) $0$
(C) $\frac{1}{2}$
(D) $1$
(E) 不存在

x \to 3^{-} lim \frac{x ^{2} - 9}{∣ x - 3∣} =

？

(A) $- 6$
(B) $- 3$
(C) $3$
(D) $6$
(E) $9$

二、多重選擇題（4 題，每題 5 分，每答錯一格扣 2 分，扣至該題 0 分為止，共 20 分）

下列各無窮數列中，哪些是收斂數列？

(A) $⟨ (\frac{4}{3})^{n} ⟩$
(B) $⟨ 1^{n} ⟩$
(C) $⟨ 100 \times (- \frac{π}{3})^{n} ⟩$
(D) $⟨ (- \frac{9}{10})^{n} ⟩$
(E) $⟨ (- 1)^{n} ⟩$

設

⟨ a_{n} ⟩

，

⟨ b_{n} ⟩

為兩無窮數列，下列哪些是正確的？

(A) 若 $⟨ a_{n} ⟩$ 收斂， $⟨ b_{n} ⟩$ 發散，則 $⟨ a_{n} + b_{n} ⟩$ 發散
(B) 若 $⟨ a_{n} ⟩$ ， $⟨ b_{n} ⟩$ 皆發散，則 $⟨ a_{n} + b_{n} ⟩$ 發散
(C) 若 $⟨ a_{n} ⟩$ ， $⟨ b_{n} ⟩$ 皆收斂，則 $⟨ a_{n} - b_{n} ⟩$ 收斂
(D) 若 $⟨ a_{n} ⟩$ ， $⟨ b_{n} ⟩$ 皆發散，則 $⟨ a_{n} b_{n} ⟩$ 發散
(E) 若 $⟨ a_{n} ⟩$ 收斂， $⟨ b_{n} ⟩$ 發散，且 $n \to \infty lim a_{n} \neq = 0$ ，則 $⟨ \frac{b _{n}}{a _{n}} ⟩$ 必發散

試判斷下列哪些圖形是

y = f (x)

的函數圖形？（五個選項的圖形見附圖）

(A) 圖 (A)
(B) 圖 (B)
(C) 圖 (C)
(D) 圖 (D)
(E) 圖 (E)

載入中...

設

f (x)

之圖形如下，則下列何者正確？

(A) $f (2)$ 不存在
(B) $x \to 2 lim f (x)$ 不存在
(C) $x \to 3 lim f (x) = 5$
(D) $f (x)$ 在 $x = 5$ 連續
(E) $x \to 2^{+} lim f (x)$ 不存在

載入中...

三、填充題（和單選題合併計分，共 20 格，共 80 分）

【填充 1】

n \to \infty lim \frac{1}{n ^{2}} =

＿＿＿。

【填充 2】

n \to \infty lim \frac{2 n + 2025}{6 n - 114} =

＿＿＿。

【填充 3】

n \to \infty lim \frac{2 + 3 ^{n} + 7 ^{n + 2}}{- 6 + 7 ^{n}} =

＿＿＿。

【填充 4】數列

⟨ (\frac{x - 4}{3})^{n} ⟩

為收斂數列，求

x

的範圍為＿＿＿。

【填充 5】已知無窮數列

⟨ a_{n} ⟩

滿足

5 n - 12 < 3 n a_{n} < 5 n - 4

，試求

n \to \infty lim a_{n} =

＿＿＿。

【填充 6】

k = 1 \sum 5 (2 k - 3) =

＿＿＿。

【填充 7】

k = 4 \sum 10 2 k^{2} =

＿＿＿。

【填充 8】已知

k = 1 \sum 10 a_{k} = 30

，

k = 1 \sum 10 b_{k} = 15

，則

k = 1 \sum 10 (- 2 a_{k} + 3 b_{k} + 4) =

＿＿＿。

【填充 9】無窮等比級數

3 - 2 + \frac{4}{3} - \frac{8}{9} + \dots + 3 \cdot (\frac{- 2}{3})^{n - 1} + \dots =

＿＿＿。

【填充 10】若函數

f (x) = - x^{2} + 8 x

的值域為

{y ∣ y \in R, m \leq y \leq M}

，求

m - M =

＿＿＿。

【填充 11】試求

f (x) = 10 x + 1

的反函數為＿＿＿。

【填充 12】設函數

f (x) = x^{2} - 2 x + 3

，

g (x) = 3 x + 1

，則

(f \circ g) (2) =

＿＿＿。

【填充 13】設函數

f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ 2 x + 5, x^{2} - ∣ x ∣, x^{2} - 4, 若 x > 3 若 - 3 \leq x \leq 3 若 x < - 3

，則

f (f (3)) =

＿＿＿。

【填充 14】設函數

f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{k x ^{2} + x - 4 k - 2}{x - 2}, 3, x \neq = 2 x = 2

，若

f (x)

在

x = 2

連續，則

k =

＿＿＿。

【填充 15】

x \to 3 lim (\frac{x - 4}{x - 3} + \frac{2}{x ^{2} - 4 x + 3}) =

＿＿＿。

【填充 16】

x \to 2 lim \frac{∣ x + 2∣ - ∣ x - 2∣}{x + 1} =

＿＿＿。

【填充 17】若

x \to 2 lim \frac{x ^{2} - m x + 8}{x ^{2} - ( n + 2 ) x + 2 n} = \frac{1}{5}

，則

m - n =

＿＿＿。

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(E)

第 2 題(E)

第 3 題(A)

第 4 題(B)(D)

第 5 題(A)(C)(E)

第 6 題(B)(C)(D)

第 7 題(A)(B)(D)

第 8 題

0

第 9 題

\frac{1}{3}

第 10 題

49

第 11 題

1 < x \leq 7

第 12 題

\frac{5}{3}

第 13 題

15

第 14 題

742

第 15 題

25

第 16 題

\frac{9}{5}

第 17 題

- 4

第 18 題

y = \frac{x ^{2}}{100} - 1

（照學校公布的答案；完整的寫法要加上定義域

x \geq 0

，見詳解）

第 19 題

38

第 20 題

17

第 21 題

\frac{1}{2}

第 22 題

\frac{1}{2}

第 23 題

\frac{4}{3}

第 24 題

- 6

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

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還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選題：分母趨近 0 的數列、左極限與右極限

第 1 題答案 (E)。

\frac{9}{10}

與

\frac{11}{12}

都介於

0

與

1

之間，所以

(\frac{9}{10})^{n} \to 0

、

(\frac{11}{12})^{n} \to 0

，分母是正數而且趨近

0

。分子固定是

1

，整個分式會無限增大，不接近任何一個實數，極限不存在。

分母的極限是

0

時，不能用「極限的商等於商的極限」直接寫成

\frac{1}{0 + 0}

；要回頭看這個分式實際上怎麼變化。

第 2 題答案 (E)。

x > 0

時

\frac{∣ x ∣}{x} = \frac{x}{x} = 1

，所以右極限是

1

。

x < 0

時

\frac{∣ x ∣}{x} = \frac{- x}{x} = - 1

，所以左極限是

- 1

。左、右極限不相等，

x \to 0 lim f (x)

不存在。

f (0) = \frac{1}{2}

是

x = 0

那一點的函數值，與

x \to 0

的極限無關。

第 3 題答案 (A)。

x \to 3^{-}

表示

x < 3

，此時

x - 3 < 0

，

∣ x - 3∣ = - (x - 3)

。所以

\frac{x ^{2} - 9}{∣ x - 3∣} = \frac{( x - 3 ) ( x + 3 )}{- ( x - 3 )} = - (x + 3)

當

x \to 3^{-}

時趨近

- (3 + 3) = - 6

。

若改成

x \to 3^{+}

，絕對值直接拿掉，極限是

6

；兩邊不同，所以

x \to 3

的極限不存在。

有絕對值的極限，先看 x 從哪一邊接近，把絕對值拆掉再算。

02多重選擇題：等比數列的斂散、數列運算的性質、函數圖形、由圖形看極限

第 4 題答案 (B)(D)。等比數列

⟨ r^{n} ⟩

收斂的條件是

- 1 < r \leq 1

；乘上不為

0

的常數不影響收斂或發散。 (A) 錯誤。 公比

\frac{4}{3} > 1

，數列無限增大，發散。 (B) 正確。

1^{n} = 1

，是常數數列，收斂到

1

。 (C) 錯誤。

π > 3

，所以公比

- \frac{π}{3} < - 1

，各項正負交錯而且絕對值愈來愈大，發散。 (D) 正確。 公比

- \frac{9}{10}

介於

- 1

與

1

之間，數列收斂到

0

。 (E) 錯誤。 公比

- 1

，數列是

- 1, 1, - 1, 1, \dots

，不接近任何一個數，發散。

\frac{π}{3} \approx 1.047

比

1

大一點；前面的

100

只是倍數，不影響判斷。

第 5 題答案 (A)(C)(E)。 (A) 正確。 假設

⟨ a_{n} + b_{n} ⟩

收斂，因為

⟨ a_{n} ⟩

收斂，兩個收斂數列相減仍收斂，

b_{n} = (a_{n} + b_{n}) - a_{n}

就會收斂，與

⟨ b_{n} ⟩

發散矛盾。 (B) 錯誤。 取

a_{n} = n

、

b_{n} = - n

，兩個都發散，但

a_{n} + b_{n} = 0

是收斂數列。 (C) 正確。 兩個收斂數列的差仍收斂，極限就是兩個極限相減。 (D) 錯誤。 取

a_{n} = b_{n} = (- 1)^{n}

，兩個都發散，但

a_{n} b_{n} = 1

是收斂數列。 (E) 正確。 設

n \to \infty lim a_{n} = α \neq = 0

。假設

⟨ \frac{b _{n}}{a _{n}} ⟩

收斂，則

b_{n} = \frac{b _{n}}{a _{n}} \cdot a_{n}

是兩個收斂數列的積，也會收斂，與

⟨ b_{n} ⟩

發散矛盾。

(A)(E) 都是反證法：把發散的那個數列用「已知收斂的數列」做加減乘表示出來，就會矛盾。(E) 的條件

α \neq = 0

讓

n

夠大以後

a_{n} \neq = 0

，分式才有意義。

第 6 題答案 (B)(C)(D)。

y

是

x

的函數，表示每一個

x

至多對應一個

y

；在圖形上就是任何一條鉛直線與圖形至多交於一點。 (A) 錯誤。 菱形：

y

x

坐標都不同，每條鉛直線至多通過一個點；圖形只有幾個點也可以是函數圖形。 (D) 正確。 兩支曲線分別在

y

軸的右邊與左邊，同一個

x

只對到其中一支上的一點。 (E) 錯誤。 從原點向右分成上、下兩支，

y

軸右邊的鉛直線與它交於兩點。

第 7 題答案 (A)(B)(D)。空心點表示圖形不含那一點，實心點才是函數值。 (A) 正確。 在

x = 2

的上方只有兩個空心點，沒有實心點，

f (2)

沒有定義。 (B) 正確。

x

從左邊接近

2

時，圖形接近高度

5

的空心點；從右邊接近

2

時，圖形接近高度

4

的空心點。左、右極限分別是

5

與

4

，不相等，極限不存在。 (C) 錯誤。

x

從左、右兩邊接近

3

時，圖形都接近高度

3

的空心點，所以極限是

3

。高度

5

的實心點是函數值

f (3) = 5

，不是極限。 (D) 正確。 圖形在

x = 5

附近是一條沒有斷開的曲線，而且通過實心點

(5, 1)

，所以

x \to 5

的極限是

1

，等於

f (5)

，在

x = 5

連續。 (E) 錯誤。

x

從右邊接近

2

時，圖形接近高度

4

的空心點，右極限存在，等於

4

。

極限看的是「附近」的圖形接近哪裡，與那一點有沒有定義、函數值是多少都無關。所以

f (2)

不存在不影響 (E)，

f (3) = 5

也不影響 (C)。

等比數列收斂的公比範圍含 1 不含 −1；看圖求極限時，空心、實心只管函數值，不管極限。

03填充第 1～5 題：數列的極限

第 8 題答案

0

。

n

愈大，

n^{2}

愈大，

\frac{1}{n ^{2}}

愈接近

0

。

第 9 題答案

\frac{1}{3}

。分子、分母同除以

n

：

\frac{2 n + 2025}{6 n - 114} = \frac{2 + \frac{2025}{n}}{6 - \frac{114}{n}} \to \frac{2}{6} = \frac{1}{3}

分子、分母次數相同時，極限就是最高次項係數的比；常數

2025

、

114

再大也不影響。

第 10 題答案

49

。

7^{n + 2} = 49 \cdot 7^{n}

。分子、分母同除以

7^{n}

：

\frac{2 + 3 ^{n} + 49 \cdot 7 ^{n}}{- 6 + 7 ^{n}} = \frac{\frac{2}{7 ^{n}} + ( \frac{3}{7} ) ^{n} + 49}{- \frac{6}{7 ^{n}} + 1} \to \frac{0 + 0 + 49}{0 + 1} = 49

第 11 題答案

1 < x \leq 7

。這是公比

r = \frac{x - 4}{3}

的等比數列，收斂的條件是

- 1 < r \leq 1

：

- 1 < \frac{x - 4}{3} \leq 1

各邊乘以

3

得

- 3 < x - 4 \leq 3

，再加

4

得

1 < x \leq 7

。

x = 7

時公比是

1

，常數數列收斂，要算進去；

x = 1

時公比是

- 1

，數列在

- 1

、

1

之間跳動，發散。

第 12 題答案

\frac{5}{3}

。

n

是正整數，各邊同除以

3 n

，不等號方向不變：

\frac{5 n - 12}{3 n} < a_{n} < \frac{5 n - 4}{3 n}

左邊

= \frac{5}{3} - \frac{4}{n} \to \frac{5}{3}

，右邊

= \frac{5}{3} - \frac{4}{3 n} \to \frac{5}{3}

。兩邊的極限相同，由夾擠定理

n \to \infty lim a_{n} = \frac{5}{3}

。

分式型的數列同除以成長最快的那一項；被兩個極限相同的數列夾住，就用夾擠定理。

04填充第 6～9 題：Σ 與無窮等比級數

第 13 題答案

15

。

k = 1 \sum 5 (2 k - 3) = 2 k = 1 \sum 5 k - 3 \times 5 = 2 \times 15 - 15 = 15

。

直接列出來也可以：

(- 1) + 1 + 3 + 5 + 7 = 15

。

第 14 題答案

742

。這個和從

k = 4

開始，用「加到

10

」減去「加到

3

」：

k = 4 \sum 10 2 k^{2} = 2 (k = 1 \sum 10 k^{2} - k = 1 \sum 3 k^{2})

其中

k = 1 \sum 10 k^{2} = \frac{10 \cdot 11 \cdot 21}{6} = 385

，

1^{2} + 2^{2} + 3^{2} = 14

，所以原式

= 2 (385 - 14) = 742

。

要減掉的是前

3

項（

k = 1, 2, 3

），不是前

4

項。

第 15 題答案

25

。把 Σ 拆開：

k = 1 \sum 10 (- 2 a_{k} + 3 b_{k} + 4) = - 2 k = 1 \sum 10 a_{k} + 3 k = 1 \sum 10 b_{k} + k = 1 \sum 10 4

= - 2 \times 30 + 3 \times 15 + 4 \times 10 = - 60 + 45 + 40 = 25

。

常數

4

加了

10

次，是

40

，不是

4

。

第 16 題答案

\frac{9}{5}

。首項

a = 3

，公比

r = - \frac{2}{3}

，

∣ r ∣ < 1

，級數收斂，和為

\frac{a}{1 - r} = \frac{3}{1 - ( - \frac{2}{3} )} = \frac{3}{\frac{5}{3}} = \frac{9}{5}

Σ 可以拆開、可以把常數提出來；常數項要乘上項數。

05填充第 10～13 題：值域、反函數、合成函數、分段定義的函數

第 17 題答案

- 4

。根號內配方：

- x^{2} + 8 x = - (x - 4)^{2} + 16

。根號內要大於或等於

0

，所以定義域是

0 \leq x \leq 8

；在這個範圍內

- (x - 4)^{2} + 16

最大是

16

（

x = 4

），最小是

0

（

x = 0

或

8

），而且

0

到

16

之間的值都取得到。開根號後

0 \leq f (x) \leq 4

，所以

m = 0

、

M = 4

，

m - M = - 4

。

題目問的是

m - M

，是小的減大的，答案是負數。

第 18 題答案

f^{- 1} (x) = \frac{x ^{2}}{100} - 1

，

x \geq 0

。令

y = 10 x + 1

，這裡

x \geq - 1

、

y \geq 0

。兩邊平方得

y^{2} = 100 (x + 1)

，所以

x = \frac{y ^{2}}{100} - 1

。把

x

、

y

對調，得

y = \frac{x ^{2}}{100} - 1

，其中

x \geq 0

。

學校公布的答案寫

y = \frac{x ^{2}}{100} - 1

，式子相同。反函數的定義域是原函數的值域：

10 x + 1

的值不會是負數，所以反函數只定義在

x \geq 0

。少了這個範圍，

y = \frac{x ^{2}}{100} - 1

是一整條拋物線，

x = 10

與

x = - 10

對到同一個

y

，就不是

f

的反函數了。作答時把

x \geq 0

一起寫出來比較完整。

第 19 題答案

38

。

(f \circ g) (2) = f (g (2))

，先算裡面：

g (2) = 3 \times 2 + 1 = 7

。再算

f (7) = 7^{2} - 2 \times 7 + 3 = 49 - 14 + 3 = 38

。

f \circ g

是先

g

後

f

。順序反過來是

g (f (2)) = g (3) = 10

，結果不同。

第 20 題答案

17

。先算

f (3)

：

x = 3

滿足

- 3 \leq x \leq 3

，用第二個式子，

f (3) = 3^{2} - ∣3∣ = 6

。再算

f (6)

：

6 > 3

，用第一個式子，

f (6) = 2 \times 6 + 5 = 17

。

x = 3

落在第二段（有等號），不是第一段；若誤用第一段會算成

f (3) = 11

。

反函數的定義域是原函數的值域；分段定義的函數先看 x 落在哪一段。

06填充第 14～17 題：函數的極限與連續

第 21 題答案

\frac{1}{2}

。在

x = 2

連續，要

x \to 2 lim f (x) = f (2) = 3

。分子按

k

整理後分解：

k x^{2} + x - 4 k - 2 = k (x^{2} - 4) + (x - 2) = (x - 2) (k (x + 2) + 1)

x \neq = 2

時約去

x - 2

，

f (x) = k (x + 2) + 1

，所以

x \to 2 lim f (x) = 4 k + 1

。令

4 k + 1 = 3

，得

k = \frac{1}{2}

。

分子代

x = 2

得

4 k + 2 - 4 k - 2 = 0

，不論

k

是多少都有因式

x - 2

，所以極限一定存在，再由連續的條件決定

k

。

第 22 題答案

\frac{1}{2}

。兩項在

x \to 3

時各自的極限都不存在，先通分。

x^{2} - 4 x + 3 = (x - 1) (x - 3)

，所以

\frac{x - 4}{x - 3} + \frac{2}{( x - 1 ) ( x - 3 )} = \frac{( x - 4 ) ( x - 1 ) + 2}{( x - 1 ) ( x - 3 )} = \frac{x ^{2} - 5 x + 6}{( x - 1 ) ( x - 3 )}

分子

x^{2} - 5 x + 6 = (x - 2) (x - 3)

。

x \neq = 3

時約去

x - 3

得

\frac{x - 2}{x - 1}

，代入

x = 3

得

\frac{1}{2}

。

第 23 題答案

\frac{4}{3}

。分母在

x = 2

的值是

3

，不是

0

；分子、分母都是連續函數，直接代入：

\frac{∣2 + 2∣ - ∣2 - 2∣}{2 + 1} = \frac{4 - 0}{3} = \frac{4}{3}

不是每一題極限都要化簡；先代入看分母是不是

0

。分母不為

0

就直接代。

第 24 題答案

- 6

。分母

x^{2} - (n + 2) x + 2 n = (x - 2) (x - n)

，在

x \to 2

時趨近

0

。極限存在而且是

\frac{1}{5}

，分子在

x = 2

也必須是

0

：

4 - 2 m + 8 = 0

，得

m = 6

。此時分子

x^{2} - 6 x + 8 = (x - 2) (x - 4)

，約去

x - 2

：

x \to 2 lim \frac{( x - 2 ) ( x - 4 )}{( x - 2 ) ( x - n )} = x \to 2 lim \frac{x - 4}{x - n} = \frac{- 2}{2 - n}

令

\frac{- 2}{2 - n} = \frac{1}{5}

，得

2 - n = - 10

，

n = 12

。所以

m - n = 6 - 12 = - 6

。

檢查：

m = 6

、

n = 12

時原式為

\frac{( x - 2 ) ( x - 4 )}{( x - 2 ) ( x - 12 )}

，極限

\frac{- 2}{- 10} = \frac{1}{5}

。這裡的

n

是題目給的常數，不是數列的項數。

分母趨近 0 而極限存在，分子也一定趨近 0；先用這個條件求出未知數，再約分代入。

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03填充第 1～5 題：數列的極限

04填充第 6～9 題：Σ 與無窮等比級數

05填充第 10～13 題：值域、反函數、合成函數、分段定義的函數

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