段考詳解範圍：三角函數（弧度量、弧長與扇形面積、三角函數的圖形、和差角與倍角公式、正餘弦的疊合）

溪湖高中 114 上
高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

Q: 溪湖高中 114 上 高二第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 23 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

Q: 溪湖高中 114 上 高二第一次段考數學哪幾題最容易錯？

第 8 題的廣義角沒有限制範圍，半角的正弦正負無法確定，倍角的餘弦則可以直接算；第 9 題要先把三個函數各自疊合成單一正弦，再比週期、振幅與最高最低點的位置；第 16 題疊合後要看角度的範圍，最大值出現在端點而不是振幅；第 19 題把三倍的角拆成二倍加一倍，直接用兩個已知面積組出答案；第 20 題共有四個解，要全部寫出。詳解逐題寫在本頁。

Q: 我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

Q: 這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

原卷 23 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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題原卷全文

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則逐題詳解

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01 · 試題

原卷 23 題，照原卷順序

單選題 5 題（25 分）、多選題 4 題（20 分）、填充題 8 題共 9 格（45 分）、靈活題 3 題共 5 格（10 分）

一、單選題（5 小題，每格 5 分，共 25 分）

化簡

sin \frac{π}{3} \times cos \frac{2 π}{3} - tan \frac{5 π}{3} \times cos π =

？

(A) $- \frac{3}{4}$
(B) $- \frac{3 3}{4}$
(C) $\frac{3 3}{4}$
(D) $\frac{5 3}{4}$
(E) $- \frac{5 3}{4}$

已知扇形的周長等於它所在圓的周長的一半，那麼這個扇形的圓心角為

(A) $\frac{π}{2} + 1$
(B) $π - 1$
(C) $\frac{3 π}{2}$
(D) $π - 2$
(E) $π + 1$

將函數

y = sin x

的圖形水平伸縮為

\frac{1}{2}

倍，再向左平移

\frac{π}{6}

個單位，所得新圖形的函數為何？

(A) $y = sin (2 x + \frac{π}{6})$
(B) $y = sin (2 x - \frac{π}{6})$
(C) $y = sin (2 x + \frac{π}{3})$
(D) $y = sin (\frac{1}{2} x - \frac{π}{3})$
(E) $y = sin (\frac{1}{2} x + \frac{π}{6})$

下列哪一個數值最接近

2

？

(A) $cos 4 6^{\circ} + 3 sin 4 6^{\circ}$
(B) $cos 6 6^{\circ} + 3 sin 6 6^{\circ}$
(C) $cos 7 6^{\circ} + 3 sin 7 6^{\circ}$
(D) $cos 8 6^{\circ} + 3 sin 8 6^{\circ}$
(E) $cos 9 6^{\circ} + 3 sin 9 6^{\circ}$

已知

4 5^{\circ} < θ < 5 0^{\circ}

，且設

a = 1 - cos^{2} θ

、

b = \frac{1}{cos θ} - cos θ

、

c = \frac{tan θ}{tan ^{2} θ + 1}

。關於

a

、

b

、

c

三個數值的大小，試選出正確的選項。

(A) $a < b < c$
(B) $a < c < b$
(C) $b < a < c$
(D) $b < c < a$
(E) $c < a < b$

二、多選題（4 小題，每格 5 分，錯一個選項得 3 分、錯兩個選項得 1 分、錯三個選項以上不給分，共 20 分）（本頁第 6～9 題依序為原卷多選題第 1～4 題）

設

β = - 20 0^{\circ}

，則下列哪些角是

β

的同界角？

(A) $\frac{2 π}{9}$ 弳
(B) $- \frac{2 π}{9}$ 弳
(C) $\frac{8 π}{9}$ 弳
(D) $\frac{26 π}{9}$ 弳
(E) $- \frac{28 π}{9}$ 弳

已知扇形的半徑是

10

，周長是

40

，則下列哪些選項是正確的？

(A) 中心角為 $3 0^{\circ}$
(B) 中心角為 $2$
(C) 扇形的面積為 $100$
(D) 扇形的面積是 $200$
(E) 扇形的弧長是 $20$

在坐標平面上，廣義角

θ

的頂點為原點，始邊為

x

軸的正向，且滿足

tan θ = \frac{12}{5}

。若

θ

的終邊上有一點

P

，其

y

坐標為

- 24

，請選出正確的選項。

(A) $P$ 的 $x$ 坐標是 $10$
(B) $\overline{O P} = 13$
(C) $2 sin θ + cos θ < - 2$
(D) $sin \frac{θ}{2} > 0$
(E) $cos 2 θ < 0$

設

x

為實數，若三個週期函數

f_{1} (x) = cos x + 3 sin x

，

f_{2} (x) = cos x + sin (x - \frac{π}{6}) + 1

，

f_{3} (x) = 3 sin^{2} x + 2 sin x cos x - 3 cos^{2} x

的週期和振幅分別為

T_{1}

、

T_{2}

、

T_{3}

及

A_{1}

、

A_{2}

、

A_{3}

，請選出正確的選項

(A) $T_{1} = T_{2} = 2 π$
(B) $T_{3} = \frac{π}{2}$
(C) $A_{1} = A_{3} = 2 A_{2}$
(D) $y = f_{1} (x)$ 、 $y = f_{2} (x)$ 的函數圖形有相同的最高點
(E) $y = f_{1} (x)$ 、 $y = f_{3} (x)$ 的函數圖形有相同的最低點

三、填充題（8 小題，每格 5 分，共 45 分）（本頁第 10～18 題依序為原卷填充題的 1、2、3、4(1)、4(2)、5、6、7、8）

已知

sin A = \frac{3}{5}

，

sin B = - \frac{12}{13}

，且

A

為第二象限角，

B

為第四象限角，求

cos (A - B) =

____。

小龍將

y = sin x - 3 cos x

疊合成

y = a sin (x + θ)

，已知

a > 0

，

0 \leq θ \leq 2 π

，求數對

(a, θ) =

____。（

θ

用弳表示）

如圖，直角三角形

A B C

中，若

\overline{C D} = 2 \overline{B C} = 2 \overline{A D}

，且

∠ A B D = θ

，則

tan θ =

____。

載入中...

填充第 4 題（第 13～14 題）　如圖，扇形

O A B

的圓心角為

\frac{π}{3}

弳，半徑

9

，有一圓內切於扇形

O A B

，

P

、

Q

分別為與

\overline{O A}

、

\overline{O B}

的切點，則

(1) 劣弧長

P Q ⌢ =

____。

載入中...

(2) 鋪色區域面積為 ____。

已知

y = a sin (b x)

的週期為

\frac{π}{3}

，最大值為

5

，其中

a > 0

、

b > 0

，則數對

(a, b) =

____。

設

0 \leq x \leq \frac{π}{2}

，

f (x) = cos^{2} x - 4 sin x cos x - 3 sin^{2} x

的最大值為 ____。

如圖，一圓形花圃的半徑為

200

，內建步道

\overline{A B}

，

\overline{E F}

，

\overline{C D}

，其中

\overline{A B} = \overline{C D}

，試求：

\overline{A B} + \overline{C D} + \overline{E F}

總長的最大值為 ____。

載入中...

函數

y = sin (\frac{π}{2} x + ϕ)

（

ϕ > 0

）的部分圖形如圖所示，已知

P

為圖形的最高點，

A

、

B

為圖形與

x

軸的交點，試問

△ A P B

的面積為 ____。

載入中...

四、靈活題（5 小題，每格 2 分，共 10 分）（本頁第 19～23 題依序為原卷靈活題的 1、2、3(1)、3(2)、3(3)）

已知一圓的圓心為

O

，有三點

A

、

B

、

C

皆在此圓的上半圓上，滿足

A B ⌢ = 2 B C ⌢

。若已知

△ O A B

面積為

100

，

△ O B C

面積為

80

，則

△ O A C

面積為 ____

若角度

θ

滿足

0 < θ < π

且

cos (2 θ - \frac{π}{4})

、

sin 2 θ

、

cos (2 θ + \frac{π}{4})

依序為等比數列，則

θ =

____？（答案請用弳度量回答，且全對才給分）

靈活題第 3 題（第 21～23 題）　如下圖，在扇形

O A B

中，

O

為圓心，

\overline{O A} = \overline{O B} = r

，

∠ A O B = 6 0^{\circ}

。若

P

在

A B ⌢

上，

P

至

\overline{O A}

、

\overline{O B}

之距離各為

a

、

b

，且

P

至

\overline{O A}

、

\overline{O B}

之垂足點各為

M

、

N

，試回答下列問題

(1) 關於

a

、

b

與

r

的關係式，請選出正確的選項。

(A) $\frac{r ^{2}}{4} = \frac{a ^{2} + ab + b ^{2}}{3}$
(B) $\frac{r ^{2}}{4} = \frac{a ^{2} - ab + b ^{2}}{3}$
(C) $\frac{r ^{2}}{2} = \frac{a ^{2} + ab + b ^{2}}{3}$
(D) $\frac{r ^{2}}{2} = \frac{a ^{2} - ab + b ^{2}}{3}$
(E) $\frac{r ^{2}}{3} = \frac{a ^{2} + ab + b ^{2}}{4}$

載入中...

(2) 設

r = 4

、

∠ M O P = θ

，

0^{\circ} < θ < 6 0^{\circ}

，

m

、

n

皆為正實數，若四邊形

O M P N

的面積可表示成

m \cdot sin 2 θ + n \cdot cos 2 θ

，則

m + n

的值為 ____。

(3) 求四邊形

O M P N

面積的最大值為 ____。

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(E)

第 2 題(D)

第 3 題(C)

第 4 題(B)

第 5 題(E)

第 6 題(C)(D)(E)

第 7 題(B)(C)(E)

第 8 題(C)(E)

第 9 題(A)(C)(D)

第 10 題

- \frac{56}{65}

第 11 題

(2, \frac{5 π}{3})

第 12 題

\frac{1}{7}

第 13 題

2 π

第 14 題

93 - 3 π

第 15 題

(5, 6)

第 16 題

1

第 17 題

4005

第 18 題

2

第 19 題

45

第 20 題

\frac{π}{12}

、

\frac{5 π}{12}

、

\frac{7 π}{12}

、

\frac{11 π}{12}

第 21 題(A)

第 22 題

6 + 23

第 23 題

43

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

考前先拿一份自己的考前藍圖

註冊之後，在首頁填上你們下一次段考的日期和範圍，系統會照你做過的題、錯過的題，出一份考前藍圖 PDF：一份模擬卷、詳解，還有考前每天練哪一章。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選第 1～3 題：特殊角的值、扇形周長、圖形的伸縮平移

第 1 題答案 (E)。

sin \frac{π}{3} = \frac{3}{2}

；

\frac{2 π}{3}

是第二象限角，參考角

\frac{π}{3}

，

cos \frac{2 π}{3} = - \frac{1}{2}

；

\frac{5 π}{3}

是第四象限角，參考角

\frac{π}{3}

，

tan \frac{5 π}{3} = - 3

；

cos π = - 1

。原式

= \frac{3}{2} \times (- \frac{1}{2}) - (- 3) \times (- 1) = - \frac{3}{4} - 3 = - \frac{5 3}{4}

。

後半

(- 3) \times (- 1) = 3

，前面還有一個減號，所以是減去

3

。

第 2 題答案 (D)。設半徑

r

、圓心角

θ

（弳）。扇形的周長是兩條半徑加一段弧：

2 r + r θ

。圓周長的一半是

π r

。由

2 r + r θ = π r

，兩邊同除以

r

得

θ = π - 2

。

扇形的周長要把兩條半徑算進去；只拿弧長等於半圓周會得到

θ = π

，那是半圓，不在選項裡。

第 3 題答案 (C)。水平伸縮為

\frac{1}{2}

倍，是把

x

換成

2 x

，得

y = sin 2 x

。再向左平移

\frac{π}{6}

，是把

x

換成

x + \frac{π}{6}

，得

y = sin 2 (x + \frac{π}{6}) = sin (2 x + \frac{π}{3})

。

平移是對

x

本身做的，

\frac{π}{6}

要跟著

x

一起乘以

2

；寫成

sin (2 x + \frac{π}{6})

只向左平移了

\frac{π}{12}

。

先伸縮再平移時，平移量加在

x

上，再一起被係數乘開。

02單選第 4、5 題：疊合後比大小、用基本關係化簡後比大小

第 4 題答案 (B)。

cos θ + 3 sin θ = 2 (\frac{1}{2} cos θ + \frac{3}{2} sin θ) = 2 (sin 3 0^{\circ} cos θ + cos 3 0^{\circ} sin θ) = 2 sin (θ + 3 0^{\circ})

。五個選項依序是

2 sin 7 6^{\circ}

、

2 sin 9 6^{\circ}

、

2 sin 10 6^{\circ}

、

2 sin 11 6^{\circ}

、

2 sin 12 6^{\circ}

。正弦值在

9 0^{\circ}

時最大（等於

1

），角離

9 0^{\circ}

越近、值越接近

2

。五個角與

9 0^{\circ}

的差依序是

1 4^{\circ}

、

6^{\circ}

、

1 6^{\circ}

、

2 6^{\circ}

、

3 6^{\circ}

，最小的是

9 6^{\circ}

，選 (B)。

2 sin 9 6^{\circ} = 2 cos 6^{\circ} \approx 1.989

；(A) 是

2 sin 7 6^{\circ} \approx 1.941

，(C) 是

2 sin 10 6^{\circ} \approx 1.923

。

第 5 題答案 (E)。

a = 1 - cos^{2} θ = sin^{2} θ

。

b = \frac{1 - cos ^{2} θ}{cos θ} = \frac{sin ^{2} θ}{cos θ}

。因為

tan^{2} θ + 1 = \frac{1}{cos ^{2} θ}

，所以

c = tan θ \cdot cos^{2} θ = sin θ cos θ

。

4 5^{\circ} < θ < 5 0^{\circ}

時

sin θ > cos θ > 0

，於是

a - c = sin θ (sin θ - cos θ) > 0

，即

c < a

；又

0 < cos θ < 1

，

b = \frac{a}{cos θ} > a

。所以

c < a < b

。

取

θ = 4 8^{\circ}

檢查：

a \approx 0.552

、

b \approx 0.825

、

c \approx 0.497

。

比大小之前先把每個式子化成只含

sin θ

、

cos θ

的乘除，再用

4 5^{\circ}

以上正弦比餘弦大來比。

03多選第 1、2 題（第 6、7 題）：同界角、扇形的弧長與面積

第 6 題答案 (C)(D)(E)。

- 20 0^{\circ} = - 200 \times \frac{π}{180} = - \frac{10 π}{9}

。同界角彼此相差

2 π = \frac{18 π}{9}

的整數倍，所以把各選項減去

- \frac{10 π}{9}

，看是不是

\frac{18 π}{9}

的整數倍：(A)

\frac{12 π}{9}

，不是；(B)

\frac{8 π}{9}

，不是；(C)

\frac{18 π}{9}

，是；(D)

\frac{36 π}{9}

，是；(E)

- \frac{18 π}{9}

，是。

- \frac{10 π}{9}

加一圈得

\frac{8 π}{9}

，再加一圈得

\frac{26 π}{9}

，減一圈得

- \frac{28 π}{9}

。

第 7 題答案 (B)(C)(E)。周長

=

兩條半徑

+

弧長，所以弧長

= 40 - 2 \times 10 = 20

，(E) 對。圓心角

θ = \frac{弧長}{半徑} = \frac{20}{10} = 2

（弳），(B) 對；

2

弳約

114. 6^{\circ}

，不是

3 0^{\circ}

，(A) 錯。面積

= \frac{1}{2} \times

半徑

\times

弧長

= \frac{1}{2} \times 10 \times 20 = 100

，(C) 對、(D) 錯。

選項 (B) 的「中心角為

2

」沒有寫單位，就是

2

弳。

扇形三個公式：弧長

s = r θ

、面積

\frac{1}{2} r^{2} θ = \frac{1}{2} r s

、周長

2 r + s

，其中

θ

用弳。

04多選第 3 題（第 8 題）：由正切與終邊上的點判斷

第 8 題答案 (C)(E)。

tan θ > 0

表示終邊在第一或第三象限；終邊上有

y

坐標為負的點，所以終邊在第三象限。設

P (x, - 24)

，

tan θ = \frac{- 24}{x} = \frac{12}{5}

，得

x = - 10

，(A) 錯。

\overline{O P} = (- 10)^{2} + (- 24)^{2} = 26

，(B) 錯。

sin θ = \frac{- 24}{26} = - \frac{12}{13}

，

cos θ = \frac{- 10}{26} = - \frac{5}{13}

，

2 sin θ + cos θ = - \frac{29}{13} < - \frac{26}{13} = - 2

，(C) 對。(E) 對：

cos 2 θ = 2 cos^{2} θ - 1 = \frac{50}{169} - 1 = - \frac{119}{169} < 0

。(D)：題目只說

θ

是廣義角，沒有限制範圍。若

θ

在

18 0^{\circ}

與

27 0^{\circ}

之間，

\frac{θ}{2}

在

9 0^{\circ}

與

13 5^{\circ}

之間，

sin \frac{θ}{2} > 0

；但

θ

再多轉一圈（在

54 0^{\circ}

與

63 0^{\circ}

之間）時，

\frac{θ}{2}

在

27 0^{\circ}

與

31 5^{\circ}

之間，

sin \frac{θ}{2} < 0

。正負不能確定，所以不選。

選項 (D) 的判斷與

θ

的範圍有關：本頁依題幹「廣義角」、未限制範圍的讀法，不選 (D)；若限定

0^{\circ} < θ < 36 0^{\circ}

，則 (D) 也成立。本卷來源沒有附答案，此選項以校方答案為準。

cos 2 θ

與

2 sin θ + cos θ

只跟終邊位置有關，不受影響。

同界角的三角函數值相同，二倍角的值也相同，但半角會差半圈，正負可能相反。

05多選第 4 題（第 9 題）：三個函數各自疊合

第 9 題答案 (A)(C)(D)。先把三個函數各自化成單一正弦。

f_{1} (x) = 2 (\frac{1}{2} cos x + \frac{3}{2} sin x) = 2 sin (x + \frac{π}{6})

。

f_{2}

：

sin (x - \frac{π}{6}) = \frac{3}{2} sin x - \frac{1}{2} cos x

，所以

f_{2} (x) = \frac{3}{2} sin x + \frac{1}{2} cos x + 1 = sin (x + \frac{π}{6}) + 1

。

f_{3}

：

2 sin x cos x = sin 2 x

、

cos^{2} x - sin^{2} x = cos 2 x

，所以

f_{3} (x) = sin 2 x - 3 cos 2 x = 2 sin (2 x - \frac{π}{3})

。於是

T_{1} = T_{2} = 2 π

、

T_{3} = π

；

A_{1} = 2

、

A_{2} = 1

、

A_{3} = 2

。(A) 對。(B) 錯，

T_{3} = π

。(C) 對，

A_{1} = A_{3} = 2 = 2 A_{2}

。(D) 對：

f_{1}

的最大值是

2

，

f_{2}

的最大值是

1 + 1 = 2

，兩者都在

x + \frac{π}{6} = \frac{π}{2} + 2 k π

，即

x = \frac{π}{3} + 2 k π

（

k

為整數）時取到，最高點同為

(\frac{π}{3} + 2 k π, 2)

。(E) 錯：

f_{1}

的最低點在

x = \frac{4 π}{3} + 2 k π

，

f_{3}

的最低點在

2 x - \frac{π}{3} = - \frac{π}{2} + 2 k π

，即

x = - \frac{π}{12} + k π

；兩組

x

坐標沒有共同的值，雖然最小值都是

- 2

，最低點的位置不同。

f_{2}

的圖形是

y = sin (x + \frac{π}{6})

向上平移

1

，振幅仍是

1

，不是

2

。選項 (E) 的「相同的最低點」本頁讀作坐標相同的點（與 (D) 同一種讀法）；若只比最小值，兩者都是

- 2

。本卷來源沒有附答案，此選項以校方答案為準。

含

sin^{2} x

、

cos^{2} x

、

sin x cos x

的式子先用二倍角公式換成

sin 2 x

、

cos 2 x

，再疊合。

06填充第 1～3 題（第 10～12 題）：差角公式、疊合、正切的差角

第 10 題

A

在第二象限，

cos A < 0

：

cos A = - 1 - \frac{9}{25} = - \frac{4}{5}

。

B

在第四象限，

cos B > 0

：

cos B = 1 - \frac{144}{169} = \frac{5}{13}

。

cos (A - B) = cos A cos B + sin A sin B = (- \frac{4}{5}) \times \frac{5}{13} + \frac{3}{5} \times (- \frac{12}{13}) = - \frac{20}{65} - \frac{36}{65} = - \frac{56}{65}

。

餘弦的差角公式中間是加號；兩個餘弦值的正負要先由象限決定。

第 11 題

1^{2} + (3)^{2} = 2

，所以

a = 2

，

y = 2 (\frac{1}{2} sin x - \frac{3}{2} cos x)

。與

a sin (x + θ) = a (sin x cos θ + cos x sin θ)

比較，得

cos θ = \frac{1}{2}

、

sin θ = - \frac{3}{2}

，

θ

是第四象限角，在

0 \leq θ \leq 2 π

內

θ = \frac{5 π}{3}

。所以

(a, θ) = (2, \frac{5 π}{3})

。

平常寫成

2 sin (x - \frac{π}{3})

，但題目要求

0 \leq θ \leq 2 π

，

- \frac{π}{3}

要換成同界角

\frac{5 π}{3}

。

第 12 題直角在

C

。設

\overline{B C} = 1

，則

\overline{C D} = 2

、

\overline{A D} = 1

，

\overline{A C} = 3

。在直角三角形

A B C

中

tan ∠ A B C = \frac{A C}{B C} = 3

；在直角三角形

D B C

中

tan ∠ D B C = \frac{D C}{B C} = 2

。

θ = ∠ A B C - ∠ D B C

，所以

tan θ = \frac{3 - 2}{1 + 3 \times 2} = \frac{1}{7}

。

θ

本身不在任何直角三角形裡，把它看成兩個以

B

為頂點的角相減，就能用正切的差角公式。

要求的角不好直接算時，把它寫成兩個好算的角的和或差。

07填充第 4 題（第 13、14 題）：扇形的內切圓

第 13 題設內切圓圓心為

R

、半徑為

t

。圓與

\overline{O A}

、

\overline{O B}

都相切，所以

R

在

∠ A O B

的平分線上，

∠ R O P = \frac{π}{6}

，且

\overline{R P} ⊥ \overline{O A}

；在直角三角形

O R P

中

\overline{O R} = \frac{t}{sin \frac{π}{6}} = 2 t

。圓又與扇形的弧內切，

\overline{O R} + t = 9

，即

3 t = 9

，

t = 3

。四邊形

O P R Q

中

∠ P = ∠ Q = \frac{π}{2}

、

∠ O = \frac{π}{3}

，所以

∠ P R Q = 2 π - \frac{π}{2} - \frac{π}{2} - \frac{π}{3} = \frac{2 π}{3}

。劣弧

P Q

的長

= 3 \times \frac{2 π}{3} = 2 π

。

與弧內切時，圓心

O

、

R

與切點在同一直線上，所以大圓半徑

= \overline{O R} +

小圓半徑。

第 14 題鋪色區域

=

四邊形

O P R Q

的面積

-

扇形

R P Q

的面積。

\overline{O P} = 6^{2} - 3^{2} = 33

，四邊形

O P R Q

由兩個全等的直角三角形組成，面積

= 2 \times \frac{1}{2} \times 33 \times 3 = 93

。扇形

R P Q

的半徑

3

、圓心角

\frac{2 π}{3}

，面積

= \frac{1}{2} \times 3^{2} \times \frac{2 π}{3} = 3 π

。所以鋪色區域面積

= 93 - 3 π

。

數值約

15.59 - 9.42 = 6.16

。

切點與圓心的連線垂直切線；把鋪色區域看成「四邊形減扇形」。

08填充第 5、6 題（第 15、16 題）：週期與最大值、降次疊合

第 15 題

b > 0

時週期

= \frac{2 π}{b} = \frac{π}{3}

，

b = 6

。

a > 0

時最大值

= a = 5

。所以

(a, b) = (5, 6)

。

第 16 題用

cos^{2} x = \frac{1 + cos 2 x}{2}

、

sin^{2} x = \frac{1 - cos 2 x}{2}

、

2 sin x cos x = sin 2 x

：

f (x) = \frac{1 + cos 2 x}{2} - 2 sin 2 x - \frac{3 ( 1 - cos 2 x )}{2} = 2 cos 2 x - 2 sin 2 x - 1

。疊合：

2 cos 2 x - 2 sin 2 x = 22 (cos 2 x cos \frac{π}{4} - sin 2 x sin \frac{π}{4}) = 22 cos (2 x + \frac{π}{4})

。

0 \leq x \leq \frac{π}{2}

時

\frac{π}{4} \leq 2 x + \frac{π}{4} \leq \frac{5 π}{4}

，餘弦在這段範圍內的最大值出現在左端點

\frac{π}{4}

，為

\frac{2}{2}

。所以最大值

= 22 \times \frac{2}{2} - 1 = 1

，此時

x = 0

。

最大值不是

22 - 1

：那需要

2 x + \frac{π}{4} = 0

或

2 π

，不在範圍內。直接代

x = 0

也得

f (0) = 1

。

有範圍限制時，疊合之後要把角的範圍一起換過去，再看最大值落在端點還是頂點。

09填充第 7、8 題（第 17、18 題）：步道總長、圖形上的三角形面積

第 17 題由圖，

\overline{E F}

通過圓心

O

且垂直兩弦，

E

、

F

是兩弦的中點；等長的弦到圓心的距離相等，所以

\overline{O E} = \overline{O F}

。設

∠ A O E = θ

（

0 < θ < \frac{π}{2}

），則

\overline{A E} = 200 sin θ

、

\overline{O E} = 200 cos θ

，

\overline{A B} = \overline{C D} = 400 sin θ

，

\overline{E F} = 400 cos θ

。總長

= 800 sin θ + 400 cos θ = 400 (2 sin θ + cos θ) = 4005 sin (θ + α)

，其中

cos α = \frac{2}{5}

、

sin α = \frac{1}{5}

，

α

是銳角。取

θ = \frac{π}{2} - α

（在

0

與

\frac{π}{2}

之間）時

sin (θ + α) = 1

，總長的最大值為

4005

。

題幹沒有用文字說明

\overline{E F}

的位置，依附圖的直角記號與圓心

O

，讀作

\overline{E F}

過圓心且垂直

\overline{A B}

、

\overline{C D}

。最大值約

894.4

，此時

tan θ = 2

。

第 18 題週期

= \frac{2 π}{\frac{π}{2}} = 4

。由圖，圖形從

A

上升到最高點

P

、下降到最低點、再回到

x

軸上的

B

，

A

到

B

剛好是一個週期，

\overline{A B} = 4

。振幅是

1

，

P

到

x

軸的距離是

1

。

△ A P B

的面積

= \frac{1}{2} \times 4 \times 1 = 2

。

ϕ

只決定圖形左右的位置，不影響

\overline{A B}

的長與

P

的高度，所以不必求出

ϕ

。

a sin θ + b cos θ

的最大值是

a^{2} + b^{2}

，但要確認那個角在題目允許的範圍內。

10靈活題第 1、2 題（第 19、20 題）：圓心角成二比一、等比數列

第 19 題設半徑為

r

、

∠ B O C = α

；同圓中弧長與圓心角成正比，所以

∠ A O B = 2 α

。

△ O A B = \frac{1}{2} r^{2} sin 2 α = 100

，

△ O B C = \frac{1}{2} r^{2} sin α = 80

。兩式相除：

\frac{sin 2 α}{sin α} = 2 cos α = \frac{100}{80}

，

cos α = \frac{5}{8}

。

A

、

B

、

C

依序在上半圓上，

∠ A O C = 3 α

。用和角公式

sin 3 α = sin 2 α cos α + cos 2 α sin α

，兩邊同乘

\frac{1}{2} r^{2}

：

△ O A C = 100 cos α + 80 cos 2 α

。

cos 2 α = 2 \times \frac{25}{64} - 1 = - \frac{7}{32}

，所以

△ O A C = 100 \times \frac{5}{8} + 80 \times (- \frac{7}{32}) = 62.5 - 17.5 = 45

。

本頁依「

B

在

A

、

C

之間」的讀法（

∠ A O C = 3 α

）。

cos α = \frac{5}{8}

時

α \approx 51. 3^{\circ}

，

3 α \approx 15 4^{\circ}

，三點確實能都在上半圓上。若讀成

C

是弧

A B

的中點，則

∠ A O C = α

，面積會是

80

；本卷來源沒有附答案，以校方答案為準。

第 20 題等比數列的中間項平方等於前後兩項的乘積：

sin^{2} 2 θ = cos (2 θ - \frac{π}{4}) cos (2 θ + \frac{π}{4})

。用和差角公式，

cos (2 θ - \frac{π}{4}) = \frac{2}{2} (cos 2 θ + sin 2 θ)

、

cos (2 θ + \frac{π}{4}) = \frac{2}{2} (cos 2 θ - sin 2 θ)

，乘積

= \frac{1}{2} (cos^{2} 2 θ - sin^{2} 2 θ)

。於是

2 sin^{2} 2 θ = cos^{2} 2 θ - sin^{2} 2 θ

，

3 sin^{2} 2 θ = cos^{2} 2 θ

，

tan^{2} 2 θ = \frac{1}{3}

，

tan 2 θ = \pm \frac{1}{3}

。

0 < 2 θ < 2 π

，所以

2 θ = \frac{π}{6}

、

\frac{5 π}{6}

、

\frac{7 π}{6}

、

\frac{11 π}{6}

，即

θ = \frac{π}{12}

、

\frac{5 π}{12}

、

\frac{7 π}{12}

、

\frac{11 π}{12}

。這四個角的

sin 2 θ = \pm \frac{1}{2}

都不是

0

，三項皆不為

0

，確實成等比數列。

原卷作答說明印作「全隊才給分」，應為「全對才給分」：四個解要全部寫出。以

θ = \frac{π}{12}

檢查：三項約為

0.966

、

0.5

、

0.259

，公比約

0.518

。

3 α

拆成

2 α + α

；解三角方程式時先把

2 θ

的範圍寫出來，再把範圍內的解找齊。

11靈活題第 3 題（第 21～23 題）：扇形內兩條垂線段

第 21 題答案 (A)。設

∠ M O P = θ

，則

∠ N O P = 6 0^{\circ} - θ

。在直角三角形

O M P

、

O N P

中，斜邊都是

\overline{O P} = r

，所以

a = r sin θ

，

b = r sin (6 0^{\circ} - θ) = r (\frac{3}{2} cos θ - \frac{1}{2} sin θ)

。計算：

b^{2} = r^{2} (\frac{3}{4} cos^{2} θ - \frac{3}{2} sin θ cos θ + \frac{1}{4} sin^{2} θ)

，

ab = r^{2} (\frac{3}{2} sin θ cos θ - \frac{1}{2} sin^{2} θ)

。相加：

a^{2} + ab + b^{2} = r^{2} (sin^{2} θ - \frac{1}{2} sin^{2} θ + \frac{1}{4} sin^{2} θ + \frac{3}{4} cos^{2} θ) = \frac{3}{4} r^{2} (sin^{2} θ + cos^{2} θ) = \frac{3}{4} r^{2}

。所以

\frac{r ^{2}}{4} = \frac{a ^{2} + ab + b ^{2}}{3}

。

也可以用餘弦定理：四邊形

O M P N

有兩個直角，

∠ M P N = 12 0^{\circ}

，

\overline{M N}^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 ab cos 12 0^{\circ} = a^{2} + ab + b^{2}

；而

O

、

M

、

P

、

N

在以

\overline{O P}

為直徑的圓上，由正弦定理

\overline{M N} = r sin 6 0^{\circ}

，同樣得到

a^{2} + ab + b^{2} = \frac{3}{4} r^{2}

。

第 22 題

r = 4

。四邊形

O M P N

由直角三角形

O M P

與

O N P

組成。

△ O M P = \frac{1}{2} \times 4 cos θ \times 4 sin θ = 4 sin 2 θ

；

△ O N P = \frac{1}{2} \times 4 cos (6 0^{\circ} - θ) \times 4 sin (6 0^{\circ} - θ) = 4 sin (12 0^{\circ} - 2 θ) = 4 (\frac{3}{2} cos 2 θ + \frac{1}{2} sin 2 θ) = 23 cos 2 θ + 2 sin 2 θ

。面積

= 6 sin 2 θ + 23 cos 2 θ

，所以

m = 6

、

n = 23

，

m + n = 6 + 23

。

sin (12 0^{\circ} - 2 θ)

用差角公式展開時，

cos 12 0^{\circ} = - \frac{1}{2}

，負負得正，

sin 2 θ

的係數是

+ \frac{1}{2}

。

第 23 題面積

= 6 sin 2 θ + 23 cos 2 θ

。

6^{2} + (23)^{2} = 48 = 43

，疊合得面積

= 43 (\frac{3}{2} sin 2 θ + \frac{1}{2} cos 2 θ) = 43 sin (2 θ + 3 0^{\circ})

。

0^{\circ} < θ < 6 0^{\circ}

時

3 0^{\circ} < 2 θ + 3 0^{\circ} < 15 0^{\circ}

，可以取到

9 0^{\circ}

（此時

θ = 3 0^{\circ}

），所以最大值為

43

。

θ = 3 0^{\circ}

時

P

是弧

A B

的中點，圖形左右對稱，

a = b = 2

。

把長度與面積都寫成

θ

的三角函數，用二倍角公式整理成

sin 2 θ

、

cos 2 θ

後再疊合。

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第 8 題的廣義角沒有限制範圍，半角的正弦正負無法確定，倍角的餘弦則可以直接算；第 9 題要先把三個函數各自疊合成單一正弦，再比週期、振幅與最高最低點的位置；第 16 題疊合後要看角度的範圍，最大值出現在端點而不是振幅；第 19 題把三倍的角拆成二倍加一倍，直接用兩個已知面積組出答案；第 20 題共有四個解，要全部寫出。詳解逐題寫在本頁。

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溪湖高中 114 上高二第一次段考數學試題、答案與詳解

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03多選第 1、2 題（第 6、7 題）：同界角、扇形的弧長與面積

04多選第 3 題（第 8 題）：由正切與終邊上的點判斷

05多選第 4 題（第 9 題）：三個函數各自疊合

06填充第 1～3 題（第 10～12 題）：差角公式、疊合、正切的差角

07填充第 4 題（第 13、14 題）：扇形的內切圓

08填充第 5、6 題（第 15、16 題）：週期與最大值、降次疊合

09填充第 7、8 題（第 17、18 題）：步道總長、圖形上的三角形面積

10靈活題第 1、2 題（第 19、20 題）：圓心角成二比一、等比數列

11靈活題第 3 題（第 21～23 題）：扇形內兩條垂線段

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