段考詳解範圍：指數與對數函數（指數函數的圖形、對數與對數律、換底公式、對數函數的圖形、指數對數不等式、常用對數的應用）、平面向量

苑裡高中 114 上
高二第二次段考
數學試題、答案與詳解

Q: 苑裡高中 114 上 高二第二次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 27 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

Q: 苑裡高中 114 上 高二第二次段考數學哪幾題最容易錯？

第 3 題要分辨哪些點只在特殊情形才落在圖形上，舉一個具體的點就能排除；第 4 題取對數後要把負數拆成負二十加上正的小數部分，小數點後第二十位才開始不為零；第 9 題比較兩個對數的大小要看底數，題目沒有限定底數大於一；第 23 題正六邊形要先連到中心，把向量 EA 拆成兩段再換成 a 與 b；第 26 題兩層對數由外往內拆，底數三分之一要反向，外層的真數條件也要保留。詳解逐題寫在本頁。

Q: 我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

Q: 這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

原卷 27 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

考前想要一份自己的模擬卷，外加每天練哪一章？免費註冊，練滿 15 題就能產生考前藍圖 PDF →

題原卷全文

則逐題詳解

個單元，勾錯題號就知道錯在哪

元，不用註冊

01 · 試題

原卷 27 題，照原卷順序

多重選擇題 4 題，每題 5 分，錯一個選項扣 2 分，扣至該題 0 分為止，共 20 分；單選與填充題 23 題，依答對格數給分，共 80 分（答對 1～23 格依序得 6、12、18、24、30、36、40、44、48、52、55、58、61、64、66、68、70、72、74、76、78、79、80 分）。原卷兩大題各自編號，本頁依序連續編號：單選 1～5 為第 5～9 題，填充 6～23 為第 10～27 題。答案已與學校公布的答案逐題核對。

一、多重選擇題（每題 5 分，錯一個選項扣 2 分，扣至該題 0 分為止，共 20 分。）

如圖為函數

f (x) = a^{x}

的圖形，則下列選項哪些正確？

(A) $a$ 為介於 $0$ 到 $1$ 的實數
(B) 此函數的定義域為所有正實數
(C) 此函數與 $y$ 軸的交點為 $(0, 1)$
(D) 此圖形為凹口向上的曲線
(E) 若 $x_{1} < x_{2}$ ，則 $f (x_{1}) < f (x_{2})$

載入中...

下列選項哪些正確？

(A) $lo g_{7} (- 3)^{2} = 2 lo g_{7} (- 3)$
(B) $(lo g 0.2)^{2} = lo g 0.2$
(C) $\frac{1}{lo g 2} = lo g \frac{1}{2}$
(D) $lo g_{2} 3 = lo g_{4} 9$
(E) $lo g (2^{(3^{5})}) = 3^{5} lo g 2$

設

(a, b)

為

y = lo g_{2} x

圖形上的一點，請選出正確的選項。

(A) $(a, - b)$ 為 $y = lo g_{\frac{1}{2}} x$ 圖形上的一點
(B) $(2 a, 2 b)$ 亦為 $y = lo g_{2} x$ 圖形上的一點
(C) $(a^{2}, b^{2})$ 亦為 $y = lo g_{2} x$ 圖形上的一點
(D) $(b, a)$ 為 $y = 2^{x}$ 圖形上的一點
(E) $(2 a, 2 b)$ 亦為 $y = 2^{x}$ 圖形上的一點

設

a = 3^{20}

，

b = (\frac{2}{9})^{30}

，試問下列哪些選項正確？（

lo g 2 \approx 0.3010

，

lo g 3 \approx 0.4771

）

(A) $a$ 的個位數字為 $7$
(B) $a$ 為 $10$ 位數
(C) $a$ 的最高位數字為 $3$
(D) $b$ 在小數點後第 $19$ 位開始不為 $0$
(E) $b$ 的第一個不為 $0$ 的數字為 $2$

二、單選與填充題（依答對格數給分，共 80 分。）

已知

A (1, 4)

，

B (2024, 2025)

，

C (3, 2)

，則

B C - B A =

？

(A) $8$
(B) $12$
(C) $22$
(D) $32$
(E) $52$

將

y = 3^{x}

的圖形作下列何種平移可得

y = 3^{x + 2} - 3

的圖形？

(A) 向右移 $2$ 單位，向下移 $3$ 單位
(B) 向右移 $2$ 單位，向上移 $3$ 單位
(C) 向左移 $2$ 單位，向上移 $3$ 單位
(D) 向左移 $2$ 單位，向下移 $3$ 單位
(E) 以上皆非

設

a = lo g_{10} 2

，

b = lo g_{10} 3

，則下列哪個選項可以表示

lo g_{6} 72

？

(A) $\frac{a + b}{3 a + 2 b}$
(B) $\frac{2 a + 3 b}{a + b}$
(C) $\frac{3 a + 2 b}{a + b}$
(D) $\frac{a + b}{2 a + 3 b}$
(E) $\frac{b}{a + b}$

下列各函數圖形中，與直線

x = \frac{1}{2}

的交點在最上方為哪一個選項？

(A) $y = 5^{x}$
(B) $y = 3^{x}$
(C) $y = 2^{x}$
(D) $y = (\frac{1}{2})^{x}$
(E) $y = - 2^{x}$

設

a > 0

，且

a \neq = 1

，若

x > y > 1

，則下列敘述何者正確？

(A) $lo g_{a} x \times lo g_{a} y = lo g_{a} (x + y)$
(B) $lo g_{a} x - lo g_{a} y = lo g_{a} (x \div y)$
(C) $lo g_{a} x - lo g_{a} y = lo g_{y} x$
(D) $a^{l o g x} = lo g_{a} x$
(E) $lo g_{a} x > lo g_{a} y$

試求

3^{2} + lo g_{2} 4 =

____。

試求

2^{l o g 2} \times 2^{l o g 5} =

____。

若

a

，

b

是有理數且

a lo g 8 + b lo g 25 = 3

，則數對

(a, b) =

____。

若

2^{x} = 9

，

3^{y} = 32

，則

x y =

____。

化簡

\frac{( lo g _{5} 2 ) ( lo g _{7} 9 )}{( lo g _{5} \frac{1}{3} ) ( lo g _{7} 3 4 )} =

____。

已知

△ A B C

中，

A B = (0, 24)

，

B C = (5, - 12)

，則

△ A B C

的周長為 ____。

給定坐標平面上三點

A (9, - 1)

，

B (5, 11)

，

C (- 1, 2)

，則

4 A B - 3 C A

的坐標表示為 ____。

設

a = (- 2, 5)

，

b = (1, - 1)

，

c = (2, 3)

，若

a + t b

與

c

平行，則

t =

____。

試求

lo g_{4} 5 \times lo g_{5} 6 \times lo g_{6} 7 \times lo g_{7} 8

之值為 ____。

設

a = 2^{\frac{1}{4}}

，

b = 3^{\frac{1}{5}}

，

c = 5^{\frac{1}{6}}

，則

a

，

b

，

c

之大小關係為 ____。

瞌南將一筆錢存入某家銀行，年利率

4%

，以複利計算。若

n

年後本利和達到本金的

2

倍，則

n =

____。（四捨五入取到整數年，已知

lo g 104 \approx 2.017

，

lo g 200 \approx 2.301

）

已知

f (x) = lo g_{7} x

，又

f (a) + f (b) = 3

，試求

ab =

____。

已知

\frac{3}{4} lo g 81 = lo g x

，則

x =

____。

如下圖，正六邊形

A B C D E F

中，若

C D = a

，

D E = b

，則

E A =

____。（以

a

與

b

表示）

載入中...

設

a = lo g_{2} 3

，

b = lo g_{3} 7

，則

2^{ab} =

____。

已知函數

f (x) = 9^{x} - 3^{x + 1}

，且

- 1 \leq x \leq 2

，若

f (x)

最大值為

M

，最小值為

m

，則數對

(M, m) =

____。

試求對數不等式

lo g_{2} (lo g_{\frac{1}{3}} x) < 1

的解為 ____。

已知

lo g 3.49 = 0.5428

，若

lo g A = 3.5428

則

A =

____。

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(C)(D)(E)

第 2 題(D)(E)

第 3 題(A)(D)

第 4 題(B)(C)(E)

第 5 題(A)

第 6 題(D)

第 7 題(C)

第 8 題(A)

第 9 題(B)

第 10 題

11

第 11 題

2

第 12 題

(1, \frac{3}{2})

第 13 題

10

第 14 題

- \frac{3}{2}

第 15 題

50

第 16 題

(- 46, 57)

第 17 題

\frac{16}{5}

第 18 題

\frac{3}{2}

第 19 題

c > b > a

第 20 題

18

第 21 題

343

第 22 題

27

第 23 題

- 2 a + b

第 24 題

7

第 25 題

(54, - \frac{9}{4})

第 26 題

\frac{1}{9} < x < 1

第 27 題

3490

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

考前先拿一份自己的考前藍圖

註冊之後，在首頁填上你們下一次段考的日期和範圍，練滿 15 題，系統就會照你做過的題、錯過的題，出一份考前藍圖 PDF：一份模擬卷、詳解，還有考前每天練哪一章。

註冊就能免費體驗，不需綁定信用卡。

免費註冊

04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01多選題：指數函數圖形的性質、對數律的辨析

第 1 題

答案 (C)(D)(E)。圖形由左往右上升， $f (x) = a^{x}$ 是遞增函數，所以底數 $a > 1$ 。

(A) 錯誤。 底數介於 $0$ 到 $1$ 時， $y = a^{x}$ 的圖形由左往右下降，與圖不符；本題 $a > 1$ 。

(B) 錯誤。 任何實數 $x$ 都能代入 $a^{x}$ ，定義域是所有實數；所有正實數是它的值域。

(D) 正確。 指數函數的圖形凹口向上：圖形上任取兩點，連線段都在這兩點間圖形的上方。

(E) 正確。 $a > 1$ 時 $y = a^{x}$ 遞增， $x_{1} < x_{2}$ 推得 $a^{x_{1}} < a^{x_{2}}$ ，即 $f (x_{1}) < f (x_{2})$ 。

第 2 題

答案 (D)(E)。

(A) 錯誤。 左邊 $(- 3)^{2} = 9$ ， $lo g_{7} 9$ 有意義；右邊 $lo g_{7} (- 3)$ 的真數是負數，沒有意義。 $lo g_{a} M^{r} = r lo g_{a} M$ 要在 $M > 0$ 時才能用。

(B) 錯誤。 $t^{2} = ∣ t ∣$ 。因為 $0.2 < 1$ ， $lo g 0.2 < 0$ ，所以 $(lo g 0.2)^{2} = - lo g 0.2$ ，不等於 $lo g 0.2$ 。

(D) 正確。 $lo g_{4} 9 = \frac{lo g 3 ^{2}}{lo g 2 ^{2}} = \frac{2 lo g 3}{2 lo g 2} = lo g_{2} 3$ 。

(E) 正確。 真數是 $2$ 的 $3^{5}$ 次方，由 $lo g M^{r} = r lo g M$ 得 $lo g (2^{(3^{5})}) = 3^{5} lo g 2$ 。

\frac{1}{lo g 2} = lo g_{2} 10

（換底公式），約為

3.32

。

用對數律之前先看真數是不是正的；根號開平方要加絕對值。

02多選題：對數圖形上的點、常用對數的應用

第 3 題

答案 (A)(D)。 $(a, b)$ 在 $y = lo g_{2} x$ 上，所以 $a > 0$ 且 $b = lo g_{2} a$ ，也就是 $2^{b} = a$ 。

(A) 正確。 $lo g_{\frac{1}{2}} a = \frac{lo g a}{lo g \frac{1}{2}} = \frac{lo g a}{- lo g 2} = - lo g_{2} a = - b$ ，所以 $(a, - b)$ 在 $y = lo g_{\frac{1}{2}} x$ 上。

(B) 錯誤。 $lo g_{2} (2 a) = 1 + lo g_{2} a = 1 + b$ ，要等於 $2 b$ 必須 $b = 1$ 。例如 $(a, b) = (4, 2)$ ： $(8, 4)$ 不在圖形上，因為 $lo g_{2} 8 = 3$ 。

(C) 錯誤。 $lo g_{2} a^{2} = 2 b$ ，要等於 $b^{2}$ 必須 $b = 0$ 或 $2$ 。例如 $(a, b) = (2, 1)$ ： $(4, 1)$ 不在圖形上，因為 $lo g_{2} 4 = 2$ 。

(D) 正確。 $2^{b} = a$ ，所以 $(b, a)$ 在 $y = 2^{x}$ 上。這就是 $y = lo g_{2} x$ 與 $y = 2^{x}$ 的圖形對稱於直線 $y = x$ 。

(E) 錯誤。 例如 $(a, b) = (1, 0)$ ： $2^{2 a} = 2^{2} = 4 \neq = 0$ ， $(2, 0)$ 不在 $y = 2^{x}$ 上。

第 4 題

答案 (B)(C)(E)。

(A) 錯誤。 $3$ 的次方個位數依序為 $3, 9, 7, 1$ ，每 $4$ 次循環一輪。 $20$ 是 $4$ 的倍數，所以 $3^{20}$ 的個位數字是 $1$ 。

(B) 正確。 $lo g a = 20 lo g 3 \approx 20 \times 0.4771 = 9.542$ ，首數是 $9$ ，所以 $a$ 是 $10$ 位數。

(D) 錯誤。 $lo g b = 30 (lo g 2 - 2 lo g 3) \approx 30 \times (0.3010 - 0.9542) = - 19.596$ 。寫成首數是整數、尾數在 $0$ 與 $1$ 之間： $- 19.596 = - 20 + 0.404$ 。所以 $b = 1 0^{0.404} \times 1 0^{- 20}$ ， $b$ 在小數點後第 $20$ 位才開始不為 $0$ 。

(E) 正確。 尾數 $0.404$ 介於 $lo g 2 \approx 0.3010$ 與 $lo g 3 \approx 0.4771$ 之間，所以 $1 0^{0.404}$ 介於 $2$ 與 $3$ 之間， $b$ 的第一個不為 $0$ 的數字是 $2$ 。

實際上

3^{20} = 3486784401

，是

10

位數、首位

3

、個位

1

。負的對數要拆成「負整數＋正的小數」，不能直接拿

- 19

當首數。

位數看首數，最高位數字看尾數；負的對數先改寫成負整數加上 0 到 1 之間的尾數。

03單選題：向量減法、平移、換底、比大小、對數律

第 5 題

答案 (A)。 $B C - B A = A C$ （同起點的兩向量相減，得到由後者終點指向前者終點的向量）。

$A C = (3 - 1, 2 - 4) = (2, - 2)$ ，長度 $2^{2} + (- 2)^{2} = 8$ 。

B

的坐標很大，但相減後消掉，用不到。

第 6 題答案 (D)。

y = 3^{x + 2}

是把

y = 3^{x}

的

x

換成

x + 2

，圖形向左移

2

單位；再減

3

，圖形向下移

3

單位。

檢查：

y = 3^{x}

上的點

(0, 1)

移到

(- 2, - 2)

，代入

3^{- 2 + 2} - 3 = - 2

，相符。

第 7 題

答案 (C)。換底成常用對數： $lo g_{6} 72 = \frac{lo g 72}{lo g 6}$ 。

$72 = 2^{3} \times 3^{2}$ ，所以 $lo g 72 = 3 lo g 2 + 2 lo g 3 = 3 a + 2 b$ ； $6 = 2 \times 3$ ，所以 $lo g 6 = a + b$ 。

因此 $lo g_{6} 72 = \frac{3 a + 2 b}{a + b}$ 。

第 8 題

答案 (A)。各函數在 $x = \frac{1}{2}$ 的值：

(A) $5^{\frac{1}{2}} = 5$ ；(B) $3$ ；(C) $2$ ；(D) $(\frac{1}{2})^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2}$ ；(E) $- 2$ 。

最大的是 $5$ ，交點在最上方的是 $y = 5^{x}$ 。

x > 0

時，底數越大（底數都大於 1）指數函數值越大；(E) 是

- (2^{x})

，恆為負。

第 9 題

答案 (B)。

(A) 錯誤。例如 $a = 2$ ， $x = 4$ ， $y = 2$ ：左邊 $lo g_{2} 4 \times lo g_{2} 2 = 2$ ，右邊 $lo g_{2} 6$ ，不等於 $2$ 。對數律是 $lo g_{a} x + lo g_{a} y = lo g_{a} (x y)$ ，沒有「乘積變和」的公式。

(B) 正確。這就是對數律 $lo g_{a} x - lo g_{a} y = lo g_{a} \frac{x}{y}$ 。

(D) 錯誤。例如 $a = 10$ ， $x = 100$ ：左邊 $1 0^{l o g 100} = 1 0^{2} = 100$ ，右邊 $lo g 100 = 2$ 。

(E) 錯誤。要看底數： $a > 1$ 時 $y = lo g_{a} x$ 遞增， $lo g_{a} x > lo g_{a} y$ 成立；但 $0 < a < 1$ 時遞減，例如 $a = \frac{1}{2}$ ， $x = 4$ ， $y = 2$ ： $lo g_{\frac{1}{2}} 4 = - 2 < lo g_{\frac{1}{2}} 2 = - 1$ 。題目只說 $a > 0$ 且 $a \neq = 1$ ，所以不一定成立。

單選題的對數律判斷，舉一組簡單的數代進去最快；比較對數大小一定要先看底數大於 1 還是小於 1。

04填充題：對數求值與換底公式

第 10 題

3^{2} = 9

；

lo g_{2} 4 = 2

（因為

2^{2} = 4

）。所以

3^{2} + lo g_{2} 4 = 9 + 2 = 11

。

第 11 題同底數相乘，指數相加：

2^{l o g 2} \times 2^{l o g 5} = 2^{l o g 2 + l o g 5} = 2^{l o g 10} = 2^{1} = 2

。

第 12 題

$lo g 8 = 3 lo g 2$ ； $lo g 25 = 2 lo g 5 = 2 (1 - lo g 2)$ 。代入：

$3 a lo g 2 + 2 b - 2 b lo g 2 = 3$

整理成 $(3 a - 2 b) lo g 2 = 3 - 2 b$ 。

$lo g 2$ 是無理數，而 $a$ ， $b$ 是有理數：若 $3 a - 2 b \neq = 0$ ，則 $lo g 2 = \frac{3 - 2 b}{3 a - 2 b}$ 是有理數，矛盾。所以 $3 a - 2 b = 0$ ，再得 $3 - 2 b = 0$ 。

解得 $b = \frac{3}{2}$ ， $a = \frac{2 b}{3} = 1$ ， $(a, b) = (1, \frac{3}{2})$ 。

檢查：

lo g 8 + \frac{3}{2} lo g 25 = lo g 8 + lo g 125 = lo g 1000 = 3

。

第 13 題

由對數的定義， $x = lo g_{2} 9 = 2 lo g_{2} 3$ ， $y = lo g_{3} 32 = 5 lo g_{3} 2$ 。

$x y = 10 lo g_{2} 3 \times lo g_{3} 2 = 10 \times \frac{lo g 3}{lo g 2} \times \frac{lo g 2}{lo g 3} = 10$ 。

第 14 題

先把各個真數寫成次方：

$lo g_{5} 2 = \frac{1}{2} lo g_{5} 2$ ， $lo g_{7} 9 = 2 lo g_{7} 3$ ， $lo g_{5} \frac{1}{3} = - lo g_{5} 3$ ， $lo g_{7} 34 = \frac{2}{3} lo g_{7} 2$ 。

原式 $= \frac{\frac{1}{2} lo g _{5} 2 \times 2 lo g _{7} 3}{- lo g _{5} 3 \times \frac{2}{3} lo g _{7} 2} = - \frac{3}{2} \times \frac{lo g _{5} 2 \times lo g _{7} 3}{lo g _{5} 3 \times lo g _{7} 2}$ 。

換底成常用對數： $\frac{lo g _{5} 2}{lo g _{5} 3} = \frac{lo g 2}{lo g 3}$ ， $\frac{lo g _{7} 3}{lo g _{7} 2} = \frac{lo g 3}{lo g 2}$ ，相乘為 $1$ 。所以原式 $= - \frac{3}{2}$ 。

根號、倒數先化成次方移到對數前面，不同底的再用換底公式統一成常用對數。

05填充題：平面向量的坐標表示

第 15 題

$A B = 24$ ； $B C = 5^{2} + 1 2^{2} = 13$ 。

$A C = A B + B C = (5, 12)$ ， $A C = 13$ 。

周長 $= 24 + 13 + 13 = 50$ 。

第 16 題

$A B = (5 - 9, 11 - (- 1)) = (- 4, 12)$ ； $C A = (9 - (- 1), - 1 - 2) = (10, - 3)$ 。

$4 A B - 3 C A = (- 16, 48) - (30, - 9) = (- 46, 57)$ 。

C A

是終點

A

減起點

C

，不要算成

A C

。

第 17 題

$a + t b = (- 2 + t, 5 - t)$ 。與 $c = (2, 3)$ 平行，坐標要成比例：

$3 (- 2 + t) = 2 (5 - t)$

$- 6 + 3 t = 10 - 2 t$ ， $5 t = 16$ ， $t = \frac{16}{5}$ 。

檢查：

a + \frac{16}{5} b = (\frac{6}{5}, \frac{9}{5}) = \frac{3}{5} (2, 3)

，確實與

c

平行。

向量是終點減起點；兩向量平行就是坐標成比例，交叉相乘相等。

06填充題：連鎖換底、比大小、複利年數

第 18 題

換底成常用對數，相鄰的分子分母相消：

$lo g_{4} 5 \times lo g_{5} 6 \times lo g_{6} 7 \times lo g_{7} 8 = \frac{lo g 5}{lo g 4} \times \frac{lo g 6}{lo g 5} \times \frac{lo g 7}{lo g 6} \times \frac{lo g 8}{lo g 7} = \frac{lo g 8}{lo g 4} = \frac{3 lo g 2}{2 lo g 2} = \frac{3}{2}$ 。

第 19 題

三個數都是正數，同時取 $60$ 次方（ $4$ 、 $5$ 、 $6$ 的最小公倍數）比較，大小順序不變：

$a^{60} = 2^{15} = 32768$ ， $b^{60} = 3^{12} = 531441$ ， $c^{60} = 5^{10} = 9765625$ 。

所以 $c > b > a$ 。

也可以取常用對數比較：

\frac{lo g 2}{4} \approx 0.0753

，

\frac{lo g 3}{5} \approx 0.0954

，

\frac{lo g 5}{6} \approx 0.1165

，順序相同。

第 20 題

年利率 $4%$ 複利， $n$ 年後本利和是本金的 $(1.04)^{n}$ 倍。令 $(1.04)^{n} = 2$ ，兩邊取常用對數： $n lo g 1.04 = lo g 2$ 。

$lo g 1.04 = lo g \frac{104}{100} = lo g 104 - 2 \approx 0.017$ ； $lo g 2 = lo g \frac{200}{100} = lo g 200 - 2 \approx 0.301$ 。

$n \approx \frac{0.301}{0.017} \approx 17.7$ ，四捨五入取到整數年， $n = 18$ 。

實際驗算：

1.0 4^{17} \approx 1.948

還不到

2

倍，

1.0 4^{18} \approx 2.026

才超過

2

倍，與

18

年相符。

連乘的對數換成同一個底就會鏈狀相消；比較不同底的分數次方，取公倍數的次方化成整數再比。

07填充題：對數律、正六邊形的向量、指數與對數互消

第 21 題

f (a) + f (b) = lo g_{7} a + lo g_{7} b = lo g_{7} (ab) = 3

，所以

ab = 7^{3} = 343

。

第 22 題

\frac{3}{4} lo g 81 = lo g 8 1^{\frac{3}{4}}

，而

8 1^{\frac{3}{4}} = (3^{4})^{\frac{3}{4}} = 3^{3} = 27

。所以

lo g x = lo g 27

，

x = 27

。

第 23 題

圖中 $O$ 是正六邊形的中心，連接三條對角線 $\overline{A D}$ 、 $\overline{B E}$ 、 $\overline{C F}$ 把正六邊形分成六個全等的正三角形，各邊都和正六邊形的邊長相等。

四邊形 $O C D E$ 四邊等長，是菱形，所以對邊平行且等長、方向相同： $O E = C D = a$ ， $C O = D E = b$ 。

$O D = O C + C D = - b + a$ 。 $A$ 與 $D$ 對稱於中心 $O$ ，所以 $O A = - O D = b - a$ 。

$E A = E O + O A = - a + (b - a) = - 2 a + b$ 。

用坐標檢查：取

O

為原點、邊長

1

，則

C (- \frac{1}{2}, - \frac{3}{2})

、

D (\frac{1}{2}, - \frac{3}{2})

、

E (1, 0)

、

A (- \frac{1}{2}, \frac{3}{2})

。

a = (1, 0)

，

b = (\frac{1}{2}, \frac{3}{2})

，

E A = (- \frac{3}{2}, \frac{3}{2}) = - 2 a + b

。

第 24 題

$ab = lo g_{2} 3 \times lo g_{3} 7 = \frac{lo g 3}{lo g 2} \times \frac{lo g 7}{lo g 3} = \frac{lo g 7}{lo g 2} = lo g_{2} 7$ 。

所以 $2^{ab} = 2^{l o g_{2} 7} = 7$ 。

正六邊形的向量題，先連出中心，把每條邊的向量換成兩個基本向量的組合。

08填充題：代換求極值、對數不等式、查表求真數

第 25 題

令 $u = 3^{x}$ ，則 $9^{x} = u^{2}$ ， $3^{x + 1} = 3 u$ 。 $y = 3^{x}$ 遞增， $- 1 \leq x \leq 2$ 時 $\frac{1}{3} \leq u \leq 9$ 。

$f = u^{2} - 3 u = (u - \frac{3}{2})^{2} - \frac{9}{4}$ 。

頂點 $u = \frac{3}{2}$ 在範圍內，最小值 $m = - \frac{9}{4}$ ；最大值在離頂點較遠的端點 $u = 9$ ： $81 - 27 = 54$ 。（另一端 $u = \frac{1}{3}$ 時為 $\frac{1}{9} - 1 = - \frac{8}{9}$ 。）

所以 $(M, m) = (54, - \frac{9}{4})$ 。

u

的範圍要由

x

的範圍換過來，不是

- 1 \leq u \leq 2

。最小值發生在

3^{x} = \frac{3}{2}

，這樣的

x

介於

0

與

1

之間，在範圍內。

第 26 題

外層： $lo g_{2} (lo g_{\frac{1}{3}} x) < 1 = lo g_{2} 2$ 。真數要正，底數 $2 > 1$ 遞增，所以 $0 < lo g_{\frac{1}{3}} x < 2$ 。

內層： $lo g_{\frac{1}{3}} 1 = 0$ ， $lo g_{\frac{1}{3}} \frac{1}{9} = 2$ 。底數 $\frac{1}{3} < 1$ ， $y = lo g_{\frac{1}{3}} x$ 遞減，所以 $\frac{1}{9} < x < 1$ 。

底數小於 1 時去掉對數不等號要反向；外層的真數條件

lo g_{\frac{1}{3}} x > 0

也要放進去，否則會漏掉

x < 1

。

第 27 題

$lo g A = 3.5428 = 3 + 0.5428 = lo g 1 0^{3} + lo g 3.49 = lo g (3.49 \times 1 0^{3})$ 。

所以 $A = 3.49 \times 1000 = 3490$ 。

首數

3

決定

A

是

4

位數，尾數

0.5428

決定數字排列是

349

。

指數式先代換成二次式並換好範圍再配方；對數不等式要同時寫真數條件並注意底數；查表時把對數拆成首數加尾數。

同一次段考的其他學校

同樣是高二第二次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

你們學校的段考卷也想要詳解？

考完把題目頁拍照或掃描上傳，我們收到後會盡快做好放上來：題目重新打字，附答案和逐題詳解，一樣免費下載 PDF。

上傳前可以先把姓名、座號遮掉。我們只用題目，不會放你的照片或筆跡。上傳要登入 Google 帳號。

上傳考卷

常見問題

苑裡高中 114 上高二第二次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 27 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

苑裡高中 114 上高二第二次段考數學哪幾題最容易錯？

第 3 題要分辨哪些點只在特殊情形才落在圖形上，舉一個具體的點就能排除；第 4 題取對數後要把負數拆成負二十加上正的小數部分，小數點後第二十位才開始不為零；第 9 題比較兩個對數的大小要看底數，題目沒有限定底數大於一；第 23 題正六邊形要先連到中心，把向量 EA 拆成兩段再換成 a 與 b；第 26 題兩層對數由外往內拆，底數三分之一要反向，外層的真數條件也要保留。詳解逐題寫在本頁。

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

題目取自苑裡高中 114 學年度上學期高二第二次段考數學B，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

苑裡高中 114 上高二第二次段考數學試題、答案與詳解

原卷 27 題，照原卷順序

答案一覽，先對再看詳解

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

對完答案了？勾你錯的題號

考前先拿一份自己的考前藍圖

每一題，錯在哪一步

01多選題：指數函數圖形的性質、對數律的辨析

02多選題：對數圖形上的點、常用對數的應用

03單選題：向量減法、平移、換底、比大小、對數律

04填充題：對數求值與換底公式

05填充題：平面向量的坐標表示

06填充題：連鎖換底、比大小、複利年數

07填充題：對數律、正六邊形的向量、指數與對數互消

08填充題：代換求極值、對數不等式、查表求真數

同一次段考的其他學校

你們學校的段考卷也想要詳解？

常見問題

苑裡高中 114 上 高二第二次段考數學的答案在哪裡？

苑裡高中 114 上 高二第二次段考數學哪幾題最容易錯？

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

這份段考卷可以下載列印嗎？

苑裡高中 114 上
高二第二次段考
數學試題、答案與詳解

苑裡高中 114 上高二第二次段考數學的答案在哪裡？

苑裡高中 114 上高二第二次段考數學哪幾題最容易錯？