段考詳解範圍：三角函數（弧度量、三角函數的圖形、和差角與倍角半角公式、正餘弦的疊合）

福誠高中 114 上
高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

Q: 福誠高中 114 上 高二第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 24 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

Q: 福誠高中 114 上 高二第一次段考數學哪幾題最容易錯？

第 9 題要先把函數化成餘弦再判斷對稱與根的和、第 17 題的範圍不滿一個週期所以疊合後要用新角的範圍找極值、第 21 題解不等式時要先換出角的範圍，以及第 24 題要把面積降次疊合並確認角在條件範圍內。詳解逐題寫在本頁。

Q: 我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

Q: 這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

原卷 24 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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題原卷全文

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則逐題詳解

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01 · 試題

原卷 24 題，照原卷順序

完成表格 8 格（16 分）、單選題 2 題（10 分）、多選題 3 題（15 分）、填充題 9 格（40 分）、混合題 2 題組 6 小題（19 分）

一、完成下列表格(一格 2 分，共 16 分)（原卷為一張 4 欄的表格，本頁每欄編為一題，即第 1～4 題，每題 2 格）

表格第 1 欄：

θ

弧度(弳)

= \frac{π}{2}

，

θ

角度

=

____，

sin θ =

____。

表格第 2 欄：

θ

弧度(弳)

= \frac{4 π}{3}

，

θ

角度

=

____，

sin θ =

____。

表格第 3 欄：

θ

弧度(弳)

=

____，

θ

角度

= 34 5^{\circ}

，

sin θ =

____。

表格第 4 欄：

θ

弧度(弳)

=

____，

θ

角度

= 202 5^{\circ}

，

sin θ =

____。

二、單選題(一題 5 分，共 10 分)（原卷題號 1～2，本頁編為第 5～6 題）

比較

a = sin 2

、

b = sin 4

、

c = sin 6

、

d = sin 8

的大小

(A) $a > b > c > d$
(B) $a > d > b > c$
(C) $a > d > c > b$
(D) $d > a > b > c$
(E) $d > a > c > b$

設

b = cos \frac{5}{2}

，則下列何者正確？

(A) $- 1 < b < - \frac{3}{2}$
(B) $- \frac{3}{2} < b < - \frac{2}{2}$
(C) $- \frac{2}{2} < b < - \frac{1}{2}$
(D) $\frac{1}{2} < b < \frac{2}{2}$
(E) $\frac{2}{2} < b < \frac{3}{2}$

三、多選題(一題 5 分，共 15 分，答錯一個選項得 3 分，答錯兩個選項得 1 分)（原卷題號 1～3，本頁編為第 7～9 題）

下列關於函數

Γ

：

y = tan x

的描述，何者正確？

(A) 圖形的週期為 $π$
(B) $(0, 0)$ 為圖形的對稱點
(C) $y$ 軸為圖形的對稱軸
(D) 函數 $Γ$ 的定義域為所有實數
(E) $Γ$ 的圖形與直線 $y = - x$ 在 $- π \leq x \leq 2 π$ 範圍內，有 $4$ 個交點

y = f (x) = 2 sin (2 x + 2) + 2

的圖形，可由

y = g (x) = 2 sin x + 2

進行下列哪些動作後，與

y = f (x)

成為同一圖形？

(A) 先右移 $2$ 單位再水平伸縮 $2$ 倍
(B) 先左移 $2$ 單位再水平伸縮 $\frac{1}{2}$ 倍
(C) 先水平伸縮 $2$ 倍再右移 $2$ 單位
(D) 先水平伸縮 $\frac{1}{2}$ 倍再左移 $1$ 單位
(E) 先水平伸縮 $\frac{1}{2}$ 倍再左移 $2$ 單位

下列關於函數

Γ

：

y = sin (π x + \frac{π}{2})

的描述，何者正確？

(A) 週期為 $2$
(B) $(2, 0)$ 為對稱點
(C) $x = 5$ 為對稱軸
(D) $y = sin (π x)$ 經左移 $\frac{π}{2}$ 後，可與 $Γ$ 重合
(E) 方程式 $sin (π x + \frac{π}{2}) = - \frac{2}{3}$ ，在 $0 \leq x \leq 4$ 內的所有根之和等於 $6$

四、填充題(依配分表給分，共 40 分)（原卷題號 1～9，本頁編為第 10～18 題）｜配分表：答對 1 格 7 分、2 格 14 分、3 格 20 分、4 格 25 分、5 格 29 分、6 格 32 分、7 格 35 分、8 格 38 分、9 格 40 分

求

sin (- \frac{5 π}{3}) \times cos \frac{7 π}{6} + 3 \times tan \frac{8 π}{3} =

？

用一個半徑

30

公分，圓心角為

\frac{2 π}{3}

的扇形，連接兩邊做成一個直圓錐，試求此直圓錐的底圓半徑為幾公分？

時鐘在

10

點

15

分時，時針與分針間所夾較小的夾角為多少弳(弧度)？

已知扇形的周長(

2

個半徑+弧長)為

12

，面積為

9

，試求半徑為何？

設

0 \leq x \leq 2 π

，若

sin x \leq - \frac{1}{2}

且

cos x \geq - \frac{1}{2}

，則

x

的範圍為何？

試求

2025 + tan 2 0^{\circ} + tan 2 5^{\circ} + tan 2 0^{\circ} tan 2 5^{\circ} =

？

已知

18 0^{\circ} < θ < 27 0^{\circ}

，且

cos θ = - \frac{4}{5}

，試求

tan \frac{θ}{2} =

？

設

- \frac{π}{2} \leq x \leq 0

，

f (x) = 5 sin^{2} x - 2 sin x cos x - cos^{2} x

，則

f (x)

的最大值與最小值之和

=

？

如圖，

A B C D

為圓內接四邊形，其中

\overline{A D}

為外接圓的直徑。已知

\overline{A D} = 52

，

cos ∠ A D B = \frac{3}{10}

，

cos ∠ A D C = \frac{1}{5}

，試求

\overline{B C} =

？

載入中...

五、混合題(共 19 分)（原卷第 1 題 (1)～(3)、第 2 題 (1)～(3)，本頁編為第 19～24 題）

混合題 1（第 19～21 題）（第 19～21 題）　阿成以他每日的學習效率值最高為

1

、最低為

0

進行統計，發現每日

8

點效率值達最高

1

，之後遞減到

14

點(下午

2

點)為最低

0

。若效率值可用

y = f (t) = a \times sin (b t - c) + d

表示，其中

f (t)

表示效率值，

t

為

24

小時制的時間。(

a

、

b > 0

，

0 < c < π

)。試回答下列問題：

(1) 阿成一天之內，另一個最高效率值是發生在幾點？(3 分)

(A) $11$ 點
(B) $17$ 點
(C) $20$ 點
(D) $23$ 點
(E) $2$ 點

(2) 試求數對

(a, b, c, d) =

？(其中

a

、

b > 0

，

0 < c < π

)(4 分)

(3) 試在

8 \leq t \leq 16

的範圍下，求解

f (t) \geq \frac{1}{2}

。(3 分)

混合題 2（第 22～24 題）（第 22～24 題）　如圖，在矩形

A B C D

中，

F \in \overline{A B}

、

\overline{E F} ⊥ \overline{C F}

、

\overline{E F} = 1

、

\overline{C F} = 3

，令

∠ B C F = θ

，試回答下列問題：

(1) 在

\overline{A E} \leq \overline{B C}

的條件下，試求

θ

的最大值為何？(3 分)

(A) $1 5^{\circ}$
(B) $3 0^{\circ}$
(C) $4 5^{\circ}$
(D) $6 0^{\circ}$
(E) $7 5^{\circ}$

載入中...

(2) 試以

θ

表示

\overline{A B} =

？(3 分)

(3) 在

\overline{A E} \leq \overline{B C}

的條件下，令矩形

A B C D

面積的最大值為

M

，發生最大值時的

θ = a

，試求數對

(M, a) =

？(3 分)

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題

9 0^{\circ}

；

1

第 2 題

24 0^{\circ}

；

- \frac{3}{2}

第 3 題

\frac{23 π}{12}

；

\frac{2 - 6}{4}

第 4 題

\frac{45 π}{4}

；

- \frac{2}{2}

第 5 題(E)

第 6 題(B)

第 7 題(A)(B)(E)

第 8 題(B)(D)

第 9 題(A)(C)

第 10 題

- \frac{15}{4}

第 11 題

10

（公分）

第 12 題

\frac{19 π}{24}

第 13 題

3

第 14 題

\frac{4 π}{3} \leq x \leq \frac{11 π}{6}

第 15 題

2026

第 16 題

- 3

第 17 題

10 + 1

第 18 題

5

第 19 題(C)

第 20 題

(\frac{1}{2}, \frac{π}{6}, \frac{5 π}{6}, \frac{1}{2})

第 21 題

8 \leq t \leq 11

第 22 題(D)

第 23 題

cos θ + 3 sin θ

第 24 題

(\frac{3 3}{2}, \frac{π}{6})

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

考前先拿一份自己的考前藍圖

註冊之後，在首頁填上你們下一次段考的日期和範圍，練滿 15 題，系統就會照你做過的題、錯過的題，出一份考前藍圖 PDF：一份模擬卷、詳解，還有考前每天練哪一章。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01表格 1～4：度與弧度互換、正弦值

第 1 題

π

弧度

= 18 0^{\circ}

，所以

\frac{π}{2} = 9 0^{\circ}

，

sin 9 0^{\circ} = 1

。

第 2 題

\frac{4 π}{3} = \frac{4}{3} \times 18 0^{\circ} = 24 0^{\circ}

。

24 0^{\circ} = 18 0^{\circ} + 6 0^{\circ}

在第三象限，

sin 24 0^{\circ} = - sin 6 0^{\circ} = - \frac{3}{2}

。

第 3 題

34 5^{\circ} = 345 \times \frac{π}{180} = \frac{23 π}{12}

。

34 5^{\circ} = 36 0^{\circ} - 1 5^{\circ}

在第四象限，

sin 34 5^{\circ} = - sin 1 5^{\circ}

；

sin 1 5^{\circ} = sin (4 5^{\circ} - 3 0^{\circ}) = \frac{2}{2} \cdot \frac{3}{2} - \frac{2}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{6 - 2}{4}

，所以

sin 34 5^{\circ} = \frac{2 - 6}{4}

。

第 4 題

202 5^{\circ} = 2025 \times \frac{π}{180} = \frac{45 π}{4}

。

202 5^{\circ} = 5 \times 36 0^{\circ} + 22 5^{\circ}

，與

22 5^{\circ}

同界，在第三象限，

sin 202 5^{\circ} = sin 22 5^{\circ} = - sin 4 5^{\circ} = - \frac{2}{2}

。

度換弧度乘 π/180，弧度換度乘 180/π；求值前先化成 0° 到 360° 之間的同界角。

02單選 5～6：弧度角的三角函數值比大小

第 5 題答案 (E)。用

π \approx 3.14

：

\frac{π}{2} < 2 < π

，

sin 2 > 0

；

8 - 2 π \approx 1.72

也在

\frac{π}{2}

與

π

之間，

sin 8 = sin (8 - 2 π) > 0

。正弦在第二象限遞減，

1.72 < 2

，所以

sin 8 > sin 2

，即

d > a > 0

。

π < 4 < \frac{3 π}{2}

、

\frac{3 π}{2} < 6 < 2 π

，

sin 4

、

sin 6

都是負的：

sin 4 = - sin (4 - π) \approx - sin 0.86

，

sin 6 = - sin (2 π - 6) \approx - sin 0.28

，而

sin 0.86 > sin 0.28 > 0

，所以

sin 4 < sin 6 < 0

，即

b < c < 0

。合起來

d > a > c > b

。

第 6 題答案 (B)。

\frac{5}{2} = 2.5

，而

\frac{3 π}{4} \approx 2.356

、

\frac{5 π}{6} \approx 2.618

，所以

\frac{3 π}{4} < \frac{5}{2} < \frac{5 π}{6}

。餘弦在

0

到

π

之間遞減，所以

cos \frac{5 π}{6} < cos \frac{5}{2} < cos \frac{3 π}{4}

，即

- \frac{3}{2} < b < - \frac{2}{2}

。

沒有度的記號就是弧度；先用 π≈3.14 判斷角落在哪兩個特殊角之間，再用增減性比較。

03多選 7～9：三角函數的圖形

第 7 題答案 (A)(B)(E)。(A) 對：

tan (x + π) = tan x

，週期為

π

。(B) 對：

tan (- x) = - tan x

，圖形對稱於原點。(C) 錯：

tan (- x) = - tan x

不恆等於

tan x

，圖形不對稱於

y

軸。(D) 錯：

x = \frac{π}{2} + k π

（

k

為整數）時

tan x

無定義。(E) 對：把

- π \leq x \leq 2 π

依漸近線分段看。

- π \leq x < - \frac{π}{2}

：

tan x

由

0

遞增到無限大，

- x

由

π

遞減到

\frac{π}{2}

，交

1

點；

- \frac{π}{2} < x < \frac{π}{2}

：只交於原點（

x > 0

時

tan x > 0 > - x

，

x < 0

時相反），

1

點；

\frac{π}{2} < x < \frac{3 π}{2}

：

tan x

由負無限大遞增到正無限大，

- x

遞減，交

1

點；

\frac{3 π}{2} < x \leq 2 π

：

tan x

由負無限大遞增到

0

，

- x

由

- \frac{3 π}{2}

遞減到

- 2 π

，交

1

點。共

4

個交點。

第 8 題答案 (B)(D)。左移

h

單位是把

x

換成

x + h

；水平伸縮

k

倍是把

x

換成

\frac{x}{k}

。只看

sin

裡面：(A)

x \to x - 2 \to \frac{x}{2} - 2

，不合。(B)

x \to x + 2 \to 2 x + 2

，合。(C)

x \to \frac{x}{2} \to \frac{x - 2}{2}

，不合。(D)

x \to 2 x \to 2 (x + 1) = 2 x + 2

，合。(E)

x \to 2 x \to 2 (x + 2) = 2 x + 4

，不合。

先伸縮再平移時，平移量要除以

2

：

2 x + 2 = 2 (x + 1)

，所以是左移

1

而不是左移

2

。

第 9 題答案 (A)(C)。

sin (π x + \frac{π}{2}) = cos π x

。(A) 對：週期

\frac{2 π}{π} = 2

。(B) 錯：

x = 2

時

y = cos 2 π = 1 \neq = 0

，

(2, 0)

不在圖形上；圖形的對稱點在

y = 0

處，例如

(\frac{1}{2}, 0)

。(C) 對：

x = 5

時

y = cos 5 π = - 1

是最低點，過最低點的鉛直線是對稱軸。(D) 錯：

sin (π x + \frac{π}{2}) = sin π (x + \frac{1}{2})

，應該左移

\frac{1}{2}

單位；左移

\frac{π}{2}

得到的是

sin (π x + \frac{π ^{2}}{2})

。(E) 錯：

cos π x = - \frac{2}{3}

在

0 \leq x \leq 4

有兩個週期、共

4

個根；

0 \leq x \leq 2

內的兩根對稱於

x = 1

，和為

2

；

2 \leq x \leq 4

內的兩根對稱於

x = 3

，和為

6

；總和為

8

。

平移與伸縮都是對 x 本身做代換；有伸縮時先把 x 的係數提出來再讀平移量。

04填充 10～13：弧度、扇形與時鐘

第 10 題

sin (- \frac{5 π}{3}) = sin (- \frac{5 π}{3} + 2 π) = sin \frac{π}{3} = \frac{3}{2}

；

cos \frac{7 π}{6} = - cos \frac{π}{6} = - \frac{3}{2}

；

tan \frac{8 π}{3} = tan \frac{2 π}{3} = - 3

。原式

= \frac{3}{2} \times (- \frac{3}{2}) + 3 \times (- 3) = - \frac{3}{4} - 3 = - \frac{15}{4}

。

第 11 題扇形的弧長

= 30 \times \frac{2 π}{3} = 20 π

。捲成圓錐後，這段弧就是底圓的圓周：

2 π r = 20 π

，

r = 10

（公分）。

第 12 題以

12

點方向為

0^{\circ}

、順時針量。分針每分鐘走

6^{\circ}

，

15

分時在

9 0^{\circ}

；時針每小時走

3 0^{\circ}

、每分鐘走

0. 5^{\circ}

，

10

點

15

分時在

30 0^{\circ} + 7. 5^{\circ} = 307. 5^{\circ}

。兩針相差

217. 5^{\circ}

，較小的夾角是

36 0^{\circ} - 217. 5^{\circ} = 142. 5^{\circ}

，換成弧度

142.5 \times \frac{π}{180} = \frac{19 π}{24}

。

第 13 題設半徑

r

、弧長

s

：

2 r + s = 12

，面積

\frac{1}{2} r s = 9

。把

s = 12 - 2 r

代入：

\frac{1}{2} r (12 - 2 r) = 9

，

r^{2} - 6 r + 9 = 0

，

(r - 3)^{2} = 0

，

r = 3

。

此時弧長

s = 6

，圓心角

\frac{s}{r} = 2

弧度，小於

2 π

，合理。

扇形只要記兩個式子：弧長 s＝rθ、面積＝rs/2；圓錐的底圓周長就是展開扇形的弧長。

05填充 14～16：三角不等式、和角與半角

第 14 題在

0 \leq x \leq 2 π

內，

sin x = - \frac{1}{2}

的解是

\frac{7 π}{6}

、

\frac{11 π}{6}

，

sin x \leq - \frac{1}{2}

即

\frac{7 π}{6} \leq x \leq \frac{11 π}{6}

。

cos x = - \frac{1}{2}

的解是

\frac{2 π}{3}

、

\frac{4 π}{3}

，

cos x \geq - \frac{1}{2}

即

0 \leq x \leq \frac{2 π}{3}

或

\frac{4 π}{3} \leq x \leq 2 π

。兩者取交集：

\frac{4 π}{3} \leq x \leq \frac{11 π}{6}

。

第 15 題

2 0^{\circ} + 2 5^{\circ} = 4 5^{\circ}

，

tan 4 5^{\circ} = \frac{tan 2 0 ^{\circ} + tan 2 5 ^{\circ}}{1 - tan 2 0 ^{\circ} tan 2 5 ^{\circ}} = 1

，所以

tan 2 0^{\circ} + tan 2 5^{\circ} = 1 - tan 2 0^{\circ} tan 2 5^{\circ}

，即

tan 2 0^{\circ} + tan 2 5^{\circ} + tan 2 0^{\circ} tan 2 5^{\circ} = 1

。原式

= 2025 + 1 = 2026

。

第 16 題

θ

在第三象限，

sin θ < 0

：

sin θ = - 1 - \frac{16}{25} = - \frac{3}{5}

。

tan \frac{θ}{2} = \frac{1 - cos θ}{sin θ} = \frac{1 + \frac{4}{5}}{- \frac{3}{5}} = - 3

。

檢查正負：

9 0^{\circ} < \frac{θ}{2} < 13 5^{\circ}

在第二象限，正切為負，相符。也可用

tan^{2} \frac{θ}{2} = \frac{1 - cos θ}{1 + cos θ} = 9

再取負號。

看到兩角相加是 45°，就把正切和角公式去分母；半角的正負一律由半角所在象限決定。

06填充 17～18：降次疊合求極值、圓內接四邊形

第 17 題用

sin^{2} x = \frac{1 - cos 2 x}{2}

、

cos^{2} x = \frac{1 + cos 2 x}{2}

、

2 sin x cos x = sin 2 x

：

f (x) = \frac{5 ( 1 - cos 2 x )}{2} - sin 2 x - \frac{1 + cos 2 x}{2} = 2 - (sin 2 x + 3 cos 2 x)

。疊合：

sin 2 x + 3 cos 2 x = 10 sin (2 x + φ)

，其中

cos φ = \frac{1}{10}

、

sin φ = \frac{3}{10}

，

φ

是銳角。

- \frac{π}{2} \leq x \leq 0

時

- π + φ \leq 2 x + φ \leq φ

。這個範圍包含

- \frac{π}{2}

，所以

sin (2 x + φ)

的最小值是

- 1

；最大值出現在端點，

sin φ = \frac{3}{10}

（另一端

sin (- π + φ) = - \frac{3}{10}

較小）。所以

- 10 \leq sin 2 x + 3 cos 2 x \leq 3

，

f (x)

的最大值是

2 + 10

、最小值是

2 - 3 = - 1

，和為

10 + 1

。

最小值發生在

x = 0

：

f (0) = - 1

。範圍沒有涵蓋整個週期，疊合後不能直接寫

2 \pm 10

，要先換出新角的範圍。

第 18 題

\overline{A D}

是直徑，所以

∠ A B D = ∠ A C D = 9 0^{\circ}

。

∠ A D B

、

∠ A D C

都是直角三角形的銳角：

sin ∠ A D B = \frac{1}{10}

，

sin ∠ A D C = \frac{2}{5}

。由圖，

∠ B D C = ∠ A D C - ∠ A D B

，

sin ∠ B D C = \frac{2}{5} \cdot \frac{3}{10} - \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{10} = \frac{5}{50} = \frac{1}{2}

。在

△ B C D

中用正弦定理，外接圓直徑

2 R = 52

：

\overline{B C} = 2 R sin ∠ B D C = 52 \cdot \frac{1}{2} = 5

。

另一個做法：

\overline{B D} = 52 \cdot \frac{3}{10} = 35

，

\overline{C D} = 52 \cdot \frac{1}{5} = 10

，

cos ∠ B D C = \frac{1}{5} \cdot \frac{3}{10} + \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{10} = \frac{1}{2}

，由餘弦定理

\overline{B C}^{2} = 45 + 10 - 2 \cdot 35 \cdot 10 \cdot \frac{1}{2} = 25

，

\overline{B C} = 5

。

二次的 sin、cos 先降次成 2x 的一次式再疊合；疊合後一定先寫新角的範圍。

07混合題 19～21：由最高點與最低點決定正弦型函數

第 19 題答案 (C)。最高點（

8

點）到相鄰的最低點（

14

點）相隔半個週期，所以週期

= 2 \times (14 - 8) = 12

小時。下一個最高點在

8 + 12 = 20

點（再下一個是

32

點，已超過一天；前一個是

- 4

點，也不在當天）。

第 20 題最大值

1

、最小值

0

，且

a > 0

：

d = \frac{1 + 0}{2} = \frac{1}{2}

，

a = \frac{1 - 0}{2} = \frac{1}{2}

。週期

12 = \frac{2 π}{b}

，

b = \frac{π}{6}

。

t = 8

時為最高點：

\frac{π}{6} \cdot 8 - c = \frac{π}{2} + 2 k π

（

k

為整數），

c = \frac{5 π}{6} - 2 k π

，配合

0 < c < π

得

c = \frac{5 π}{6}

。所以

(a, b, c, d) = (\frac{1}{2}, \frac{π}{6}, \frac{5 π}{6}, \frac{1}{2})

。

檢查：

t = 14

時

\frac{14 π}{6} - \frac{5 π}{6} = \frac{3 π}{2}

，

f (14) = \frac{1}{2} \cdot (- 1) + \frac{1}{2} = 0

，相符。

第 21 題

f (t) = \frac{1}{2} sin (\frac{π}{6} t - \frac{5 π}{6}) + \frac{1}{2} \geq \frac{1}{2}

，即

sin (\frac{π}{6} t - \frac{5 π}{6}) \geq 0

。

8 \leq t \leq 16

時，

\frac{π}{2} \leq \frac{π}{6} t - \frac{5 π}{6} \leq \frac{11 π}{6}

；在這個範圍內正弦值不小於

0

的部分是

\frac{π}{2} \leq \frac{π}{6} t - \frac{5 π}{6} \leq π

，解得

8 \leq t \leq 11

。

流傳版本的參考答案寫

8 \leq t \leq 10

，但

t = 11

正好在最高點（

8

點）與最低點（

14

點）的正中間，

f (11) = \frac{1}{2} sin π + \frac{1}{2} = \frac{1}{2}

，

t = 10.5

時

f = \frac{1}{2} sin \frac{11 π}{12} + \frac{1}{2} > \frac{1}{2}

也滿足，本站重算為

8 \leq t \leq 11

。

最高點到相鄰最低點是半個週期；中心線是最大值與最小值的平均，振幅是兩者差的一半。

08混合題 22～24：用角表示邊長、降次疊合求面積最大值

第 22 題答案 (D)。直角三角形

B C F

中，

\overline{B C} = 3 cos θ

、

\overline{B F} = 3 sin θ

，

∠ B F C = 9 0^{\circ} - θ

。

A

、

F

、

B

共線且

∠ E F C = 9 0^{\circ}

，所以

∠ A F E = 18 0^{\circ} - 9 0^{\circ} - (9 0^{\circ} - θ) = θ

。直角三角形

A E F

中，

\overline{A E} = \overline{E F} sin θ = sin θ

、

\overline{A F} = cos θ

。條件

\overline{A E} \leq \overline{B C}

即

sin θ \leq 3 cos θ

，

θ

是銳角，兩邊除以

cos θ

得

tan θ \leq 3

，

θ \leq 6 0^{\circ}

，最大值為

6 0^{\circ}

。

\overline{A E} \leq \overline{B C} = \overline{A D}

就是

E

落在邊

\overline{A D}

上的條件；

θ = 6 0^{\circ}

時

E

與

D

重合。

第 23 題承上題，

\overline{A B} = \overline{A F} + \overline{F B} = cos θ + 3 sin θ

。

也可疊合寫成

2 sin (θ + 3 0^{\circ})

。

第 24 題面積

= \overline{B C} \times \overline{A B} = 3 cos θ (cos θ + 3 sin θ) = 3 cos^{2} θ + 3 sin θ cos θ

。降次：

= \frac{3}{2} (1 + cos 2 θ) + \frac{3}{2} sin 2 θ = \frac{3}{2} + 3 (\frac{3}{2} sin 2 θ + \frac{1}{2} cos 2 θ) = \frac{3}{2} + 3 sin (2 θ + \frac{π}{6})

。

0 < θ \leq \frac{π}{3}

時

\frac{π}{6} < 2 θ + \frac{π}{6} \leq \frac{5 π}{6}

，包含

\frac{π}{2}

，所以正弦值可以取到

1

：

M = \frac{3}{2} + 3 = \frac{3 3}{2}

，此時

2 θ + \frac{π}{6} = \frac{π}{2}

，

θ = \frac{π}{6}

。所以

(M, a) = (\frac{3 3}{2}, \frac{π}{6})

。

流傳版本的參考答案把

a

寫成弧度

\frac{π}{6}

，即

3 0^{\circ}

。檢查：

θ = 3 0^{\circ}

時

\overline{B C} = \frac{3}{2}

、

\overline{A B} = \frac{3}{2} + \frac{3}{2} = 3

，面積

\frac{3 3}{2}

。

幾何量先用同一個角表示，乘開後降次、疊合，再在角的範圍內找極值。

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同樣是高二第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

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本頁列出全部 24 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

福誠高中 114 上高二第一次段考數學哪幾題最容易錯？

第 9 題要先把函數化成餘弦再判斷對稱與根的和、第 17 題的範圍不滿一個週期所以疊合後要用新角的範圍找極值、第 21 題解不等式時要先換出角的範圍，以及第 24 題要把面積降次疊合並確認角在條件範圍內。詳解逐題寫在本頁。

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題目取自福誠高中 114 學年度上學期高二第一次段考數學A，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

福誠高中 114 上高二第一次段考數學試題、答案與詳解

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01表格 1～4：度與弧度互換、正弦值

02單選 5～6：弧度角的三角函數值比大小

03多選 7～9：三角函數的圖形

04填充 10～13：弧度、扇形與時鐘

05填充 14～16：三角不等式、和角與半角

06填充 17～18：降次疊合求極值、圓內接四邊形

07混合題 19～21：由最高點與最低點決定正弦型函數

08混合題 22～24：用角表示邊長、降次疊合求面積最大值

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福誠高中 114 上
高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

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