段考詳解範圍：三角函數（弧度量、三角函數的圖形、和差角與倍角半角公式、正餘弦的疊合）

麗山高中 114 上
高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

Q: 麗山高中 114 上 高二第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 14 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

Q: 麗山高中 114 上 高二第一次段考數學哪幾題最容易錯？

第 1 題沒有度的記號就是弧度，要拿 π 的倍數估象限；第 2 題選項 (4) 求值域要看範圍內有沒有經過最低點，選項 (5) 要用圖形確認負的那一側沒有交點；第 9 題換元後要先用疊合的範圍篩掉一個根，再看半角只跑一個週期；第 10 題圓周角是鈍角，對到的是大弧；第 13 題平方項要先降次才能疊合。詳解逐題寫在本頁。

Q: 我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

Q: 這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

原卷 14 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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題原卷全文

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01 · 試題

原卷 14 題，照原卷順序

多選題 3 題（21 分）、填充題 7 題 10 格（60 分，每格 6 分）、混合題 2 題組 4 小題（19 分）

第壹部分：選擇（填）題（占 81 分）｜一、多選題（占 21 分）說明：第 1 題至第 3 題，每題 7 分。（7－5－2－0）

下列敘述何者正確？

(1) $sin (90 - θ) = cos θ$
(2) $(cos π, sin 10)$ 在第二象限
(3) $20$ （弳）的最小正同界角為 $20 - 4 π$ （弳）
(4) $sin (π^{2}) < 0$
(5) 若一扇形的周長等於其所在圓的圓周長，則此扇形的圓心角為 $2 π - 2$ （弳）

下列敘述何者正確？

(1) 將函數 $y = cos 2 x$ 的圖形向右平移 $\frac{π}{4}$ 單位，可得函數 $y = sin 2 x$ 的圖形
(2) 將函數 $y = cos x$ 的圖形向左平移 $\frac{π}{2}$ 單位，再水平伸縮 $\frac{1}{2}$ 倍，可得函數 $y = cos (2 x + \frac{π}{2})$ 的圖形
(3) 函數 $y = ∣ tan x ∣$ 的週期是 $\frac{π}{2}$
(4) 若 $\frac{π}{3} \leq x \leq \frac{5 π}{4}$ ，則 $- \frac{2}{2} \leq cos x \leq \frac{1}{2}$
(5) 方程式 $cos x = \frac{x}{2}$ 只有 $1$ 個實數解

關於函數

f (x) = 2 cos (3 x + \frac{π}{3}) - 3

的圖形，下列敘述何者正確？

(1) $f (x)$ 之最大值為 $2$ ，最小值為 $- 2$
(2) $f (\frac{2 π}{3} + x) = f (x)$ 恆成立
(3) 與 $y$ 軸的交點為 $(0, 3 - 3)$
(4) 對稱於鉛直線 $x = - \frac{4 π}{9}$
(5) 可由 $y = 4 cos^{2} (\frac{3 x}{2})$ 的圖形經過適當（左右、上下）平移得到

二、填充題（占 60 分）說明：第 4 題至第 10 題，每格 6 分。

設

\frac{π}{2} < α < π

，

\frac{3 π}{2} < β < 2 π

，且

sin α = \frac{1}{10}

，

tan β = - \frac{1}{2}

，則

α + β =

____ 弳。

設

a < 0

，且兩直線

L_{1}

：

a x - 3 y + 12 = 0

與

L_{2}

：

2 x - y - 1 = 0

的銳夾角為

4 5^{\circ}

，則

a =

____。

△ A B C

中，已知

∠ B = 2∠ A

，且

sin A = \frac{1}{3}

，求 (1)

tan B =

____。(2)

cos C =

____。

已知

a > 0

，

ω > 0

，函數

f (x) = a sin (ω x - \frac{π}{6})

的部分圖形通過最高點

P (2, 4)

及最低點

Q (5, - 4)

，且與直線

y = - 22

交於

A

，

B

，

C

三點，如圖。求：(1) 數對

(a, ω) =

____。(2)

C

點的

x

坐標為 ____。

載入中...

某露營區有一特殊帳篷，利用垂直地面的石板牆搭設，石板牆高

\overline{C D} = 3

公尺，

B

點距離石板牆為

4

公尺，帳篷骨架尺寸為

\overline{A B} = 4

公尺，

\overline{A D} = 3

公尺，且

∠ A = 9 0^{\circ}

，如圖所示，求：(1) 若在

A

處掛一盞露營燈，則

A

點距離地面的高度為 ____ 公尺。(2) 若要架設一燈條

\overline{B E}

，

E

點固定於石板牆

\overline{C D}

上，且

∠ E B C = \frac{1}{4} ∠ A B C

，則燈條

\overline{B E}

長度為 ____ 公尺。

載入中...

在

0 \leq x \leq 4 π

範圍內，求方程式

sin \frac{x}{2} + cos \frac{x}{2} = sin x - \frac{1}{2}

的實數解個數為 ____ 個。

如圖，邊長為

10

公分的正方形

A B C D

，向內作四個等弧，

P

為弧上一點，若

∠ A P B = \frac{3 π}{4}

，則塗色部分面積為 ____ 平方公分。

載入中...

第貳部分：混合題（占 19 分）說明：本部分共有 2 題組，每一子題配分標於題末。限在標示題號作答區內作答。選擇題與「非選擇題作圖部分」使用 2B 鉛筆作答，更正時，應以橡皮擦擦拭，切勿使用修正液（帶）。非選擇題由左而右橫式書寫，作答時必須寫出計算過程或理由，否則將酌予扣分。

第 11－12 題為題組（第 11～12 題）　設函數

y = 23 sin (x + \frac{π}{6}) - 4 sin x

，在

0 \leq x \leq π

的範圍內，試求

若

y

可表示成

y = r cos (x - α)

，其中

r > 0

，

0 < α < 2 π

，則數對

(r, α) =

？（非選擇題，4 分）

不等式

23 sin (x + \frac{π}{6}) - 4 sin x < 1

之解為何？（非選擇題，5 分）

第 13－14 題為題組（第 13～14 題）　直角三角形

A B E

中，

∠ B E A = 9 0^{\circ}

，現以

\overline{B E}

為邊做一正方形

B C D E

，形成四邊形

A B C D

，如圖

若

\overline{A B} = 4

，

∠ B A E = θ

，則四邊形

A B C D

面積的最大值為何？（非選擇題，7 分）

載入中...

承 13 題，當四邊形

A B C D

面積的最大時，此時

sin 2 θ =

？（非選擇題，3 分）

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(4)(5)

第 2 題(1)(2)(5)

第 3 題(2)(4)(5)

第 4 題

\frac{11 π}{4}

第 5 題

- 9

第 6 題(1)

\frac{4 2}{7}

；(2)

- \frac{10 2}{27}

第 7 題(1)

(4, \frac{π}{3})

；(2)

\frac{23}{4}

第 8 題(1)

\frac{96}{25}

；(2)

\frac{4 10}{3}

第 9 題

2

第 10 題

200 - 50 π

第 11 題

(2, \frac{11 π}{6})

第 12 題

\frac{π}{6} < x \leq π

第 13 題

8 + 45

第 14 題

\frac{5}{5}

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

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註冊之後，在首頁填上你們下一次段考的日期和範圍，系統會照你做過的題、錯過的題，出一份考前藍圖 PDF：一份模擬卷、詳解，還有考前每天練哪一章。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01多選題（第 1～3 題）：弧度的判讀、圖形的平移伸縮、餘弦型函數的性質

第 1 題答案 (4)(5)。(1) 錯：角度沒有寫度的記號，

90

是

90

弳；餘角關係要寫成

sin (\frac{π}{2} - θ) = cos θ

才成立。取

θ = 0

：

sin 90 \approx 0.894

，不是

cos 0 = 1

。(2) 錯：

cos π = - 1

；

3 π \approx 9.42 < 10 < \frac{7 π}{2} \approx 11.0

，

10

弳在第三象限，

sin 10 < 0

，點的兩個坐標都是負的，在第三象限。(3) 錯：

6 π \approx 18.85 < 20 < 8 π \approx 25.13

，所以最小正同界角是

20 - 6 π \approx 1.15

；

20 - 4 π \approx 7.43

比

2 π

大。(4) 對：

3 < π < 3.5

，各乘

π

得

3 π < π^{2} < \frac{7 π}{2}

，

π^{2}

弳在第三象限，正弦為負。(5) 對：設半徑

r

、圓心角

θ

，周長

2 r + r θ = 2 π r

，得

θ = 2 π - 2

。

估弧度角的象限時，拿它和

\frac{π}{2}

的整數倍比大小；扇形的周長要加兩條半徑。

第 2 題答案 (1)(2)(5)。(1) 對：向右平移

\frac{π}{4}

，把

x

換成

x - \frac{π}{4}

，得

y = cos (2 x - \frac{π}{2}) = sin 2 x

。(2) 對：向左平移

\frac{π}{2}

得

y = cos (x + \frac{π}{2})

；再水平伸縮

\frac{1}{2}

倍，把

x

換成

2 x

，得

y = cos (2 x + \frac{π}{2})

。(3) 錯：

y = tan x

的週期是

π

，取絕對值只是把

x

軸下方的部分翻上來，每一段的形狀仍然每隔

π

才重複，週期是

π

。例如

tan \frac{π}{4} = 1

，而

tan (\frac{π}{4} + \frac{π}{2}) = 1

，但

tan \frac{π}{6} = \frac{3}{3}

、

tan (\frac{π}{6} + \frac{π}{2}) = 3

不相等。(4) 錯：這段範圍包含

x = π

，

cos π = - 1

，所以

- 1 \leq cos x \leq \frac{1}{2}

。(5) 對：看

y = cos x

與直線

y = \frac{x}{2}

的交點。

∣ x ∣ > 2

時

\frac{x}{2} > 1

，沒有交點。

0 \leq x \leq 2

時，

cos x

由

1

遞減到

cos 2 < 0

，

\frac{x}{2}

由

0

遞增到

1

，恰交

1

點。

- 2 \leq x < 0

時

\frac{x}{2} < 0

，要相交必須

cos x < 0

，即

- 2 \leq x < - \frac{π}{2}

；這時

\frac{x}{2} < - \frac{π}{4} \approx - 0.785

，而

cos x \geq cos 2 \approx - 0.416

，不會相等。所以只有

1

個實數解。

(2) 是先平移再伸縮，伸縮只把

x

換成

2 x

，括號裡的

\frac{π}{2}

不必再乘

2

。(4) 求值域要看整段範圍裡有沒有經過最高點或最低點，不能只代兩個端點。

第 3 題答案 (2)(4)(5)。(1) 錯：

- 1 \leq cos (3 x + \frac{π}{3}) \leq 1

，所以最大值

2 - 3 = - 1

，最小值

- 2 - 3 = - 5

。(2) 對：週期是

\frac{2 π}{3}

。(3) 錯：

f (0) = 2 cos \frac{π}{3} - 3 = 1 - 3 = - 2

，交點是

(0, - 2)

。(4) 對：餘弦型函數的圖形對稱於通過最高點或最低點的鉛直線；

f (- \frac{4 π}{9}) = 2 cos (- \frac{4 π}{3} + \frac{π}{3}) - 3 = 2 cos (- π) - 3 = - 5

，是最小值。(5) 對：由二倍角公式

4 cos^{2} \frac{3 x}{2} = 2 (1 + cos 3 x) = 2 cos 3 x + 2

；而

f (x) = 2 cos 3 (x + \frac{π}{9}) - 3

，把

y = 2 cos 3 x + 2

的圖形向左平移

\frac{π}{9}

、再向下平移

5

單位就得到。

(1) 的

2

與

- 2

是沒有算上「

- 3

」的結果；(3) 的

3

是把

cos \frac{π}{3}

算成

\frac{3}{2}

。(5) 只有平移、沒有伸縮，所以兩個函數的振幅（都是

2

）與週期（都是

\frac{2 π}{3}

）要先相同。

02填充題（第 4～6 題）：正切的和差角公式、兩直線夾角、二倍角

第 4 題

α

在第二象限，

sin α = \frac{1}{10}

，所以

cos α = - \frac{3}{10}

，

tan α = - \frac{1}{3}

。

tan (α + β) = \frac{tan α + tan β}{1 - tan α tan β} = \frac{- \frac{1}{3} - \frac{1}{2}}{1 - \frac{1}{6}} = \frac{- \frac{5}{6}}{\frac{5}{6}} = - 1

。把兩個範圍相加：

2 π < α + β < 3 π

。這個範圍內正切值為

- 1

的角只有

2 π + \frac{3 π}{4} = \frac{11 π}{4}

，所以

α + β = \frac{11 π}{4}

。

只知道

tan (α + β) = - 1

還不夠，

\frac{3 π}{4}

、

\frac{7 π}{4}

、

\frac{11 π}{4}

的正切都是

- 1

，要用角的範圍決定是哪一個。

第 5 題

L_{1}

的斜率

m_{1} = \frac{a}{3}

，

L_{2}

的斜率

m_{2} = 2

。設兩直線的斜角為

θ_{1}

、

θ_{2}

，則

tan θ_{1} = m_{1}

、

tan θ_{2} = 2

。兩直線的夾角是

4 5^{\circ}

與

13 5^{\circ}

，所以

tan (θ_{1} - θ_{2}) = \frac{m _{1} - 2}{1 + 2 m _{1}} = \pm 1

。取

1

：

m_{1} - 2 = 1 + 2 m_{1}

，

m_{1} = - 3

，

a = - 9

。取

- 1

：

m_{1} - 2 = - 1 - 2 m_{1}

，

m_{1} = \frac{1}{3}

，

a = 1

，與

a < 0

不合。所以

a = - 9

。

驗算：

m_{1} = - 3

時

\frac{- 3 - 2}{1 + 2 \times ( - 3 )} = \frac{- 5}{- 5} = 1

。兩種正負號都要解，再用

a < 0

篩選。

第 6 題

∠ B = 2∠ A < 18 0^{\circ}

，所以

A

是銳角：

cos A = 1 - \frac{1}{9} = \frac{2 2}{3}

，

tan A = \frac{1}{2 2} = \frac{2}{4}

。(1)

tan B = tan 2 A = \frac{2 tan A}{1 - tan ^{2} A} = \frac{\frac{2}{2}}{1 - \frac{1}{8}} = \frac{2}{2} \times \frac{8}{7} = \frac{4 2}{7}

。(2)

sin B = 2 sin A cos A = \frac{4 2}{9}

，

cos B = 1 - 2 sin^{2} A = \frac{7}{9}

。

C = 18 0^{\circ} - (A + B)

，所以

cos C = - cos (A + B) = - (cos A cos B - sin A sin B) = - (\frac{2 2}{3} \times \frac{7}{9} - \frac{1}{3} \times \frac{4 2}{9}) = - \frac{14 2 - 4 2}{27} = - \frac{10 2}{27}

。

流傳版本題幹印作

tan A = \frac{1}{3}

，但照這個條件算出的是

tan B = \frac{3}{4}

、

cos C = - \frac{9 10}{50}

，與流傳版本的參考答案

\frac{4 2}{7}

、

- \frac{10 2}{27}

對不上；兩格參考答案都與

sin A = \frac{1}{3}

完全吻合，依答案應為

sin A = \frac{1}{3}

，本頁題幹已照此修正。

cos C < 0

表示

C

是鈍角（

A \approx 19. 5^{\circ}

，

B \approx 38. 9^{\circ}

，

C \approx 121. 6^{\circ}

）。

03填充題（第 7～8 題）：由圖形決定函數、二倍角與半角的應用

第 7 題(1) 最大值是

4

且

a > 0

，所以

a = 4

。由圖，

P

、

Q

是相鄰的最高點與最低點，相距半個週期：

\frac{1}{2} \times \frac{2 π}{ω} = 5 - 2 = 3

，

ω = \frac{π}{3}

。檢查：

f (2) = 4 sin (\frac{2 π}{3} - \frac{π}{6}) = 4 sin \frac{π}{2} = 4

，

f (5) = 4 sin \frac{3 π}{2} = - 4

，符合。

(a, ω) = (4, \frac{π}{3})

。(2) 解

4 sin (\frac{π x}{3} - \frac{π}{6}) = - 22

，即

sin (\frac{π x}{3} - \frac{π}{6}) = - \frac{2}{2}

。

Q

對應的角是

\frac{3 π}{2}

，

C

是

Q

右邊第一個交點，對應的角是

\frac{7 π}{4}

：

\frac{π x}{3} = \frac{7 π}{4} + \frac{π}{6} = \frac{23 π}{12}

，

x = \frac{23}{4}

。

流傳版本題幹印作

f (x) = a sin (ω x + \frac{π}{6})

；照這個式子，取

ω = \frac{π}{3}

時

f (2) = 4 sin \frac{5 π}{6} = 2

，

P

不是最高點，而且沒有任何

ω

能讓

P

、

Q

同時是最高點與最低點。依流傳版本的參考答案

(4, \frac{π}{3})

、

\frac{23}{4}

與附圖，應為

a sin (ω x - \frac{π}{6})

，本頁題幹已照此修正。另外兩個交點：

A

對應的角是

- \frac{π}{4}

，

x = - \frac{1}{4}

；

B

對應

\frac{5 π}{4}

，

x = \frac{17}{4}

，

B

、

C

對稱於直線

x = 5

。

第 8 題連

\overline{B D}

。直角三角形

B C D

的兩股是

\overline{B C} = 4

、

\overline{C D} = 3

，直角三角形

B A D

的兩股是

\overline{A B} = 4

、

\overline{A D} = 3

，兩個三角形全等，

\overline{B D} = 5

。設

∠ D B C = φ

，則

∠ A B D = φ

，

sin φ = \frac{3}{5}

，

cos φ = \frac{4}{5}

，

∠ A B C = 2 φ

。(1)

A

離地面的高度

= \overline{A B} sin 2 φ = 4 \times 2 sin φ cos φ = 4 \times \frac{24}{25} = \frac{96}{25}

公尺。(2)

∠ E B C = \frac{1}{4} \times 2 φ = \frac{φ}{2}

。由半角公式

cos^{2} \frac{φ}{2} = \frac{1 + cos φ}{2} = \frac{9}{10}

，

cos \frac{φ}{2} = \frac{3}{10}

。直角三角形

E B C

中

\overline{B E} = \frac{B C}{cos \frac{φ}{2}} = \frac{4 10}{3}

公尺。

∠ A B C

的四分之一剛好是

∠ D B C

的一半，所以第 (1) 小題用二倍角、第 (2) 小題用半角。檢查：

tan \frac{φ}{2} = \frac{1}{3}

，

\overline{C E} = \frac{4}{3} < 3

，

E

確實在牆

\overline{C D}

上。

04填充題（第 9～10 題）：換元後數解的個數、弓形面積

第 9 題令

t = sin \frac{x}{2} + cos \frac{x}{2}

，平方得

t^{2} = 1 + 2 sin \frac{x}{2} cos \frac{x}{2} = 1 + sin x

，所以

sin x = t^{2} - 1

。方程式變成

t = t^{2} - 1 - \frac{1}{2}

，即

2 t^{2} - 2 t - 3 = 0

，

t = \frac{1 \pm 7}{2}

。疊合：

t = 2 sin (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})

，所以

- 2 \leq t \leq 2

。

\frac{1 + 7}{2} \approx 1.82 > 2

不合；

\frac{1 - 7}{2} \approx - 0.82

可以。於是

sin (\frac{x}{2} + \frac{π}{4}) = \frac{1 - 7}{2 2} \approx - 0.58

。

0 \leq x \leq 4 π

時，

\frac{π}{4} \leq \frac{x}{2} + \frac{π}{4} \leq \frac{9 π}{4}

，剛好是一個完整的週期；正弦值等於一個介於

- 1

與

0

之間的數，在一個週期內有

2

個角（第三、第四象限各一個）。所以有

2

個實數解。

兩個

t

值要先用

- 2 \leq t \leq 2

篩掉一個；範圍

0 \leq x \leq 4 π

對半角

\frac{x}{2}

來說只是一個週期。

第 10 題先看

\overline{A B}

邊上那段弧所在的圓。圓周角

∠ A P B = \frac{3 π}{4}

，它所對的弧（不含

P

的那一段）的圓心角是

2 \times \frac{3 π}{4} = \frac{3 π}{2}

，所以含

P

的弧

A B

的圓心角是

2 π - \frac{3 π}{2} = \frac{π}{2}

。設半徑

r

，兩條半徑與弦

\overline{A B}

圍成等腰直角三角形，

r = \frac{10}{2} = 52

。弦

\overline{A B}

與弧圍成的弓形面積

=

扇形

-

三角形

= \frac{1}{2} r^{2} \times \frac{π}{2} - \frac{1}{2} r^{2} = \frac{25 π}{2} - 25

。四個弓形一樣大，塗色部分

= 100 - 4 (\frac{25 π}{2} - 25) = 200 - 50 π

平方公分。

200 - 50 π \approx 42.9

。圓周角

\frac{3 π}{4}

是鈍角，對的是大弧；

P

所在的那段弧才是小弧，圓心角只有

\frac{π}{2}

。

05混合題（第 11～14 題）：疊合成餘弦、三角不等式、面積的最大值

第 11 題用和角公式展開：

23 sin (x + \frac{π}{6}) = 23 (\frac{3}{2} sin x + \frac{1}{2} cos x) = 3 sin x + 3 cos x

，所以

y = 3 cos x - sin x

。疊合：

y = 2 (\frac{3}{2} cos x - \frac{1}{2} sin x) = 2 (cos x cos \frac{π}{6} - sin x sin \frac{π}{6}) = 2 cos (x + \frac{π}{6})

。要寫成

r cos (x - α)

且

0 < α < 2 π

：

- α

與

\frac{π}{6}

是同界角，取

α = 2 π - \frac{π}{6} = \frac{11 π}{6}

。

(r, α) = (2, \frac{11 π}{6})

。

題目要的是

x - α

的形式，而且

α

要是正的，所以不能寫

α = - \frac{π}{6}

，也不是

\frac{π}{6}

。檢查：

cos \frac{11 π}{6} = \frac{3}{2}

，

sin \frac{11 π}{6} = - \frac{1}{2}

，

2 cos (x - \frac{11 π}{6}) = 3 cos x - sin x

。

第 12 題由第 11 題，不等式就是

2 cos (x + \frac{π}{6}) < 1

，即

cos (x + \frac{π}{6}) < \frac{1}{2}

。

0 \leq x \leq π

時

\frac{π}{6} \leq x + \frac{π}{6} \leq \frac{7 π}{6}

。餘弦在

\frac{π}{6}

到

π

這段遞減，

cos \frac{π}{3} = \frac{1}{2}

，所以角大於

\frac{π}{3}

之後餘弦值就小於

\frac{1}{2}

；

π

到

\frac{7 π}{6}

這段餘弦值是負的，也成立。因此

\frac{π}{3} < x + \frac{π}{6} \leq \frac{7 π}{6}

，各減

\frac{π}{6}

得

\frac{π}{6} < x \leq π

。

左端

x = \frac{π}{6}

時

y = 2 cos \frac{π}{3} = 1

，不小於

1

，不含；右端

x = π

時

y = 2 cos \frac{7 π}{6} = - 3

，要含。

第 13 題

0 < θ < \frac{π}{2}

。直角三角形

A B E

中

\overline{B E} = 4 sin θ

，

\overline{A E} = 4 cos θ

。四邊形

A B C D

由正方形

B C D E

與三角形

A B E

合成，面積

= \overline{B E}^{2} + \frac{1}{2} \overline{A E} \times \overline{B E} = 16 sin^{2} θ + 8 sin θ cos θ

。用

sin^{2} θ = \frac{1 - cos 2 θ}{2}

與

2 sin θ cos θ = sin 2 θ

降次：面積

= 8 (1 - cos 2 θ) + 4 sin 2 θ = 8 + 4 sin 2 θ - 8 cos 2 θ

。疊合：

4 sin 2 θ - 8 cos 2 θ = 45 (\frac{1}{5} sin 2 θ - \frac{2}{5} cos 2 θ) = 45 sin (2 θ - φ)

，其中

cos φ = \frac{1}{5}

、

sin φ = \frac{2}{5}

，

φ

是銳角。

- φ < 2 θ - φ < π - φ

，這個範圍包含

\frac{π}{2}

，所以正弦可以取到

1

，面積的最大值是

8 + 45

。

8 + 45 \approx 16.94

。平方項

sin^{2} θ

要先用倍角公式換成

cos 2 θ

，才能和

sin 2 θ

疊合；取最大值前要確認

\frac{π}{2}

落在角的範圍內。

第 14 題最大值發生在

2 θ - φ = \frac{π}{2}

，即

2 θ = \frac{π}{2} + φ

。所以

sin 2 θ = sin (\frac{π}{2} + φ) = cos φ = \frac{1}{5} = \frac{5}{5}

。

同時

cos 2 θ = cos (\frac{π}{2} + φ) = - sin φ = - \frac{2 5}{5}

，代回

8 + 4 sin 2 θ - 8 cos 2 θ = 8 + \frac{4 5}{5} + \frac{16 5}{5} = 8 + 45

，與第 13 題一致。

2 θ

是鈍角，

θ \approx 58. 3^{\circ}

。

看到

a sin x + b cos x

先疊合成單一的正弦或餘弦，再把

x

的範圍換成整個角的範圍；有平方項或角不同時，先用倍角、和角公式整理成同一個角。

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本頁列出全部 14 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

麗山高中 114 上高二第一次段考數學哪幾題最容易錯？

第 1 題沒有度的記號就是弧度，要拿 π 的倍數估象限；第 2 題選項 (4) 求值域要看範圍內有沒有經過最低點，選項 (5) 要用圖形確認負的那一側沒有交點；第 9 題換元後要先用疊合的範圍篩掉一個根，再看半角只跑一個週期；第 10 題圓周角是鈍角，對到的是大弧；第 13 題平方項要先降次才能疊合。詳解逐題寫在本頁。

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題目取自麗山高中 114 學年度上學期高二第一次段考數學A，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

麗山高中 114 上高二第一次段考數學試題、答案與詳解

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01多選題（第 1～3 題）：弧度的判讀、圖形的平移伸縮、餘弦型函數的性質

02填充題（第 4～6 題）：正切的和差角公式、兩直線夾角、二倍角

03填充題（第 7～8 題）：由圖形決定函數、二倍角與半角的應用

04填充題（第 9～10 題）：換元後數解的個數、弓形面積

05混合題（第 11～14 題）：疊合成餘弦、三角不等式、面積的最大值

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高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

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