01 · 試題原卷 38 題,照原卷順序
全卷 38 題,共 100 分:配合題 21 題每題 2 分、單選題 6 題每題 3 分、複選題 5 題每題 4 分(答錯一個選項扣 2 分,扣至該題 0 分為止)、填充題 6 題共 20 分(答對 1、2、3、4、5、6 欄依序得 4、8、11、14、17、20 分)。原卷各大題分別編號,本頁連續編為 1~38:配合題第 1~21 題、單選題第 22~27 題、複選題第 28~32 題、填充題第 33~38 題。答案已與學校公布的答案逐題核對。
一、配合題,從下列 A~N 選項擇一填入各題。(每題 2 分,共 42 分)
配合題選項(第 1~21 題共用)(第 1~21 題) 從下列 A~N 選項擇一填入各題。
(A) −3 (B) 3 (C) −1 (D) 1 (E) 0 (F) −21 (G) 21
(H) −21 (I) 21 (J) −23 (K) 23 (L) −31 (M) 31 (N) 無解 二、單選題(每題 3 分,共 18 分)
22
若函數 y=sinx、y=2sinx、y=sinx+2 的最大值分別為 M1、M2、M3,則 M1、M2、M3 的大小關係為何?- (A) M1=M2=M3
- (B) M1<M2=M3
- (C) M1<M2<M3
- (D) M1>M2>M3
- (E) M1>M2=M3
23
比較 a=tan1,b=tan2,c=tan3 的大小關係為何?- (A) a>b>c
- (B) c>b>a
- (C) b>a>c
- (D) c>a>b
- (E) a>c>b
24
若摩天輪的某一車廂的高度 y(公尺)與時間 x(分鐘)的關係式為 y=30sinbx+31 且 b=0,則此車廂的最大高度為多少公尺?- (A) 1
- (B) 30
- (C) 31
- (D) 41
- (E) 61
25
已知 a 為正數且 asinx+4cosx 的最小值為 −25,求 a 為何?- (A) 1
- (B) 2
- (C) 3
- (D) 4
- (E) 5
26
下列何者的圖形可由 y=sinx 的圖形向右平移 4π 單位,再向上平移 2 單位後得到?- (A) y=sin(x+4π)+2
- (B) y=sin(x−4π)−2
- (C) y=sin(x+4π)−2
- (D) y=sin(x−4π)+2
- (E) y=2sin(x−4π)
27
設 tanα=91,tan(α+β)=1,則 tanβ 的值為- (A) 32
- (B) 43
- (C) 54
- (D) 65
- (E) 76
三、複選題(每題 4 分,答錯一個選項扣 2 分,扣至該題 0 分為止,共 20 分)
28
下列選項哪些是正確的?- (A) cos(2π+θ)=cosθ
- (B) cos(θ−2π)=sinθ
- (C) sin(π+θ)=−sinθ
- (D) sin(π−θ)=−sinθ
- (E) sin(23π−θ)=cosθ
29
關於函數 y=f(x)=2sinx+cosx 的圖形,下列敘述哪些正確?- (A) 週期為 π
- (B) 振幅為 2
- (C) 與 y 軸之交點 (0,21)
- (D) 與 x 軸有無限多個交點
- (E) 其圖形對稱於原點
30
設函數 y=sin(x−32π) 的圖形可由 y=sinx 的圖形往左平移 h 單位後得到。試選出所有 h 可能的值。- (A) 32π
- (B) −32π
- (C) 34π
- (D) −34π
- (E) 23π
31
關於函數 y=f(x)=−3sin2x 的圖形,下列選項哪些是正確的?- (A) −3≤y≤3
- (B) f(x) 在 x=4π 時有最大值
- (C) 振幅為 3
- (D) 週期為 π
- (E) f(x) 的圖形對稱於直線 x=43π
32
選出所有 7π 弳的同界角。- (A) −713π 弳
- (B) −7π 弳
- (C) 78π 弳
- (D) 713π 弳
- (E) 715π 弳
四、填充題(共 20 分)
34
設一扇形的半徑為 2,面積為 5,求此扇形圓心角為 ____(弳)。
35
已知 270∘<θ<360∘ 且 sinθ=−53,求 cos2θ。
36
半徑為 3 的圓輪轉動 52 圈,則轉動的圓心角 θ 為 ____(弳)。 37
如圖,在長方形 ABCD 中,AB=4,AD=8,以 A 點為圓心,AD 為半徑畫弧交 BC 於 E,求鋪色部分的面積為何? 38
已知 2π<θ<π,且 sinθ=32,求 sin2θ。
第 1 題(G)
第 2 題(I)
第 3 題(K)
第 4 題(D)
第 5 題(E)
第 6 題(C)
第 7 題(E)
第 8 題(K)
第 9 題(I)
第 10 題(G)
第 11 題(E)
第 12 題(C)
第 13 題(E)
第 14 題(D)
第 15 題(M)
第 16 題(D)
第 17 題(B)
第 18 題(N)
第 19 題(E)
第 20 題(N)
第 21 題(E)
第 22 題(C)
第 23 題(E)
第 24 題(E)
第 25 題(B)
第 26 題(D)
第 27 題(C)
第 28 題(B)(C)
第 29 題(C)(D)
第 30 題(B)(C)
第 31 題(A)(C)(D)(E)
第 32 題(A)(E)
第 34 題25
第 36 題54π
第 37 題32−316π
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01配合題第 1~7 題:正弦值
第 1 題答案 (G)。6π=30∘,sin30∘=21。
第 2 題答案 (I)。4π=45∘,sin45∘=22=21。 第 3 題答案 (K)。3π=60∘,sin60∘=23。 第 4 題答案 (D)。角 2π 的終邊在 y 軸正向,與單位圓交於 (0,1),正弦是 y 坐標 1。
第 5 題答案 (E)。角 π 的終邊與單位圓交於 (−1,0),sinπ=0。
第 6 題答案 (C)。角 23π 的終邊與單位圓交於 (0,−1),sin23π=−1。
第 7 題答案 (E)。2π 與 0 是同界角,終邊與單位圓交於 (1,0),sin2π=0。
象限角的三角函數值,看終邊與單位圓的交點坐標:x 坐標是餘弦、y 坐標是正弦。
02配合題第 8~14 題:餘弦值
第 9 題答案 (I)。cos45∘=22=21。 第 11 題答案 (E)。交點 (0,1) 的 x 坐標是 0,cos2π=0。
第 12 題答案 (C)。交點 (−1,0),cosπ=−1。
第 13 題答案 (E)。交點 (0,−1),cos23π=0。
第 14 題答案 (D)。交點 (1,0),cos2π=1。
03配合題第 15~21 題:正切值
第 15 題答案 (M)。tan30∘=cos30∘sin30∘=3/21/2=31。 第 17 題答案 (B)。tan60∘=1/23/2=3。 第 18 題答案 (N)。tan2π=cos2πsin2π,分母 cos2π=0,所以 tan2π 沒有定義,選「無解」。
第 19 題答案 (E)。tanπ=−10=0。
第 20 題答案 (N)。cos23π=0,tan23π 沒有定義,選「無解」。
第 21 題答案 (E)。tan2π=10=0。
正切是正弦除以餘弦,終邊在 y 軸上的角餘弦為 0,正切沒有定義。
04單選題:最大值、正切比大小、疊合、平移、差角公式
第 22 題答案 (C)。sinx 的最大值是 1,所以 M1=1;2sinx 的最大值是 2×1=2,M2=2;sinx+2 的最大值是 1+2=3,M3=3。所以 M1<M2<M3。
第 23 題答案 (E)。π≈3.14,所以 1 弧度在第一象限,a=tan1>0;2、3 弧度都在第二象限(2π≈1.57<2<3<π),正切為負。在 2π<x<π 這一段,正切函數的圖形遞增(由負無限大往上升到 0),2<3,所以 tan2<tan3<0,即 b<c<0。合起來 a>c>b。
數值約為 a≈1.557、c≈−0.143、b≈−2.185。
第 24 題答案 (E)。b=0,sinbx 可以取到最大值 1,所以最大高度為 30×1+31=61 公尺。
第 25 題答案 (B)。疊合:asinx+4cosx=a2+16sin(x+φ),其中 φ 滿足 cosφ=a2+16a、sinφ=a2+164。所以最小值為 −a2+16=−25,a2+16=20,a2=4;a 為正數,a=2。 第 26 題答案 (D)。向右平移 4π 是把 x 換成 x−4π,得 y=sin(x−4π);再向上平移 2 是整個函數值加 2,得 y=sin(x−4π)+2。
第 27 題答案 (C)。β=(α+β)−α,用正切的差角公式:tanβ=1+tan(α+β)tanαtan(α+β)−tanα=1+911−91=10/98/9=54。
向右平移是把 x 換成 x 減去平移量,向上平移是整個函數值加上平移量。
05複選題:化簡公式、疊合、平移量、圖形性質、同界角
第 28 題答案 (B)(C)。
(A) 錯誤。 cos(2π+θ)=−sinθ;例如 θ=0 時左邊 cos2π=0,右邊 cos0=1,不相等。
(B) 正確。 餘弦是偶函數,cos(θ−2π)=cos(2π−θ)=sinθ。
(C) 正確。 π+θ 的終邊與 θ 的終邊對稱於原點,正弦變號:sin(π+θ)=−sinθ。
(D) 錯誤。 π−θ 的終邊與 θ 的終邊對稱於 y 軸,正弦不變:sin(π−θ)=sinθ;例如 θ=2π 時左邊 sin2π=1,右邊 −1。
(E) 錯誤。 sin(23π−θ)=−cosθ;例如 θ=0 時左邊 sin23π=−1,右邊 cos0=1。
第 29 題答案 (C)(D)。先疊合:sinx+cosx=2(21sinx+21cosx)=2sin(x+4π),所以 f(x)=22sin(x+4π)。
(A) 錯誤。 週期是 2π,不是 π;例如 f(0)=21,f(π)=20+(−1)=−21,相差 π 的兩點函數值不同。
(B) 錯誤。 振幅是 22,不是 2。
(C) 正確。 f(0)=2sin0+cos0=21,與 y 軸交於 (0,21)。
(D) 正確。 f(x)=0 即 sin(x+4π)=0,x=−4π+kπ(k 為整數),有無限多個。
(E) 錯誤。 圖形對稱於原點時 f(0) 必須是 0,但 f(0)=21。
第 30 題答案 (B)(C)。y=sinx 往左平移 h 單位是把 x 換成 x+h,得 y=sin(x+h)。y=sinx 的週期是 2π,所以 sin(x+h) 與 sin(x−32π) 對所有 x 都相等,恰好是 h 與 −32π 相差 2π 的整數倍,即 h=−32π+2kπ(k 為整數)。
(A) 錯誤。 32π−(−32π)=34π,不是 2π 的整數倍;例如 x=0 時 sin32π=23,而 sin(−32π)=−23。
(B) 正確。 k=0。往左平移 −32π 就是往右平移 32π。
(C) 正確。 k=1:−32π+2π=34π。
(D) 錯誤。 −34π−(−32π)=−32π,不是 2π 的整數倍;x=0 時 sin(−34π)=23=−23。
(E) 錯誤。 23π−(−32π)=613π,不是 2π 的整數倍;x=0 時 sin23π=−1=−23。
第 31 題答案 (A)(C)(D)(E)。−1≤sin2x≤1,乘以 −3 得 −3≤−3sin2x≤3。
(A) 正確。 值域就是 −3≤y≤3,兩端都取得到。
(B) 錯誤。 f(4π)=−3sin2π=−3,是最小值。
(C) 正確。 振幅為 ∣−3∣=3。
(D) 正確。 週期為 22π=π。
(E) 正確。 f(43π)=−3sin23π=3 是最大值,正弦型圖形過最高點的鉛直線是對稱軸。也可以直接驗證:f(43π+t)=−3sin(23π+2t)=3cos2t,f(43π−t)=−3sin(23π−2t)=3cos2t,兩者相等。
第 32 題答案 (A)(E)。同界角與 7π 相差 2π 的整數倍,即 7π+2kπ=7(14k+1)π(k 為整數)。
(A) 正確。 k=−1:7−13π。
(B) 錯誤。 7π−(−7π)=72π,不是 2π 的整數倍。
(C) 錯誤。 78π−7π=π,不是 2π 的整數倍。
(D) 錯誤。 713π−7π=712π,不是 2π 的整數倍。
(E) 正確。 k=1:715π。
判斷兩個角或兩個平移量是否等效,看它們的差是不是 2π 的整數倍。
06填充題:和角、扇形、半角、圓心角、鋪色面積、倍角
第 33 題105∘=60∘+45∘,用正弦的和角公式:
sin105∘=sin60∘cos45∘+cos60∘sin45∘=23⋅22+21⋅22=46+2 第 34 題扇形面積 =21r2θ(θ 為弧度),所以 21×22×θ=5,2θ=5,θ=25 弳。
25=2.5<2π,是合理的圓心角。
第 35 題θ 在第四象限,cosθ=1−(−53)2=54。由 270∘<θ<360∘ 得 135∘<2θ<180∘,2θ 在第二象限,餘弦為負。半角公式:
cos2θ=−21+cosθ=−21+54=−109=−103=10−310 半角的正負號要由 2θ 的範圍決定,不是由 θ 的象限決定。
第 36 題轉動一圈的圓心角是 2π 弳,轉動 52 圈的圓心角為 θ=52×2π=54π 弳。
圓心角只和轉了幾圈有關,與半徑 3 無關;半徑要在求弧長(3×54π=512π)時才用到。
第 37 題看圖:鋪色的是 △ABE,以及弧 DE、EC、CD 圍成的那一小塊;沒有鋪色的是扇形 AED。E 在以 A 為圓心、半徑 8 的弧上,所以 AE=AD=8。在直角 △ABE 中,cos∠BAE=AEAB=84=21,∠BAE=60∘,因此 ∠EAD=90∘−60∘=30∘=6π。
沒有鋪色的部分是扇形 AED(圓心 A、半徑 8、圓心角 6π),面積為 21×82×6π=316π。鋪色部分 = 長方形面積 − 扇形面積 =4×8−316π=32−316π。
也可以分開算:
BE=82−42=43,
△ABE=21×4×43=83;右下角那塊
= 梯形
AECD− 扇形
=21(8−43+8)×4−316π=32−83−316π;兩塊相加同樣是
32−316π≈15.24。
第 38 題θ 在第二象限,cosθ=−1−(32)2=−35。二倍角公式:sin2θ=2sinθcosθ=2×32×(−35)=9−45。 求半角或倍角之前,先由角的範圍決定另一個三角函數值的正負號。
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上傳考卷常見問題
苑裡高中 115 上 高二第一次段考數學的答案在哪裡?
本頁列出全部 38 題的答案;答案由御藍教育逐題重新計算。
苑裡高中 115 上 高二第一次段考數學哪幾題最容易錯?
單選第 2 題(本頁第 23 題)要先判斷 2 弧度與 3 弧度都在第二象限,再用正切在這一段遞增比較;複選第 3 題(第 30 題)向左平移的量可以差 2π 的整數倍,負數也算;填充第 3 題(第 35 題)半角的正負號要看半角所在的象限;填充第 5 題(第 37 題)要先由邊長比找出扇形的圓心角。詳解逐題寫在本頁。
我們學校的段考卷也可以做詳解嗎?
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這份段考卷可以下載列印嗎?
可以,免註冊。PDF 是 A4 考卷格式,填充與計算題留了作答空間,最後幾頁是答案與逐題詳解。
題目取自苑裡高中 115 學年度上學期 高二第一次段考 數學A,由御藍教育重新打字排版;答案逐題重新計算,詳解為御藍教育撰寫。