御藍教育/段考卷/高二

段考詳解範圍:三角函數(弧度量與同界角、三角函數的圖形、和差角與倍角半角公式、正餘弦的疊合)

苑裡高中 115 上
高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

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01 · 試題

原卷 38 題,照原卷順序

全卷 38 題,共 100 分:配合題 21 題每題 2 分、單選題 6 題每題 3 分、複選題 5 題每題 4 分(答錯一個選項扣 2 分,扣至該題 0 分為止)、填充題 6 題共 20 分(答對 1、2、3、4、5、6 欄依序得 4、8、11、14、17、20 分)。原卷各大題分別編號,本頁連續編為 1~38:配合題第 1~21 題、單選題第 22~27 題、複選題第 28~32 題、填充題第 33~38 題。答案已與學校公布的答案逐題核對。

一、配合題,從下列 A~N 選項擇一填入各題。(每題 2 分,共 42 分)
配合題選項(第 1~21 題共用)(第 1~21 題) 從下列 A~N 選項擇一填入各題。 (A) −3​ (B) 3​ (C) −1 (D) 1 (E) 0 (F) −21​ (G) 21​ (H) −2​1​ (I) 2​1​ (J) −23​​ (K) 23​​ (L) −3​1​ (M) 3​1​ (N) 無解
1
sin6π​
2
sin4π​
3
sin3π​
4
sin2π​
5
sinπ
6
sin23π​
7
sin2π
8
cos6π​
9
cos4π​
10
cos3π​
11
cos2π​
12
cosπ
13
cos23π​
14
cos2π
15
tan6π​
16
tan4π​
17
tan3π​
18
tan2π​
19
tanπ
20
tan23π​
21
tan2π
二、單選題(每題 3 分,共 18 分)
22
若函數 y=sinx、y=2sinx、y=sinx+2 的最大值分別為 M1​、M2​、M3​,則 M1​、M2​、M3​ 的大小關係為何?
  1. (A) M1​=M2​=M3​
  2. (B) M1​<M2​=M3​
  3. (C) M1​<M2​<M3​
  4. (D) M1​>M2​>M3​
  5. (E) M1​>M2​=M3​
23
比較 a=tan1,b=tan2,c=tan3 的大小關係為何?
  1. (A) a>b>c
  2. (B) c>b>a
  3. (C) b>a>c
  4. (D) c>a>b
  5. (E) a>c>b
24
若摩天輪的某一車廂的高度 y(公尺)與時間 x(分鐘)的關係式為 y=30sinbx+31 且 b=0,則此車廂的最大高度為多少公尺?
  1. (A) 1
  2. (B) 30
  3. (C) 31
  4. (D) 41
  5. (E) 61
25
已知 a 為正數且 asinx+4cosx 的最小值為 −25​,求 a 為何?
  1. (A) 1
  2. (B) 2
  3. (C) 3
  4. (D) 4
  5. (E) 5
26
下列何者的圖形可由 y=sinx 的圖形向右平移 4π​ 單位,再向上平移 2 單位後得到?
  1. (A) y=sin(x+4π​)+2
  2. (B) y=sin(x−4π​)−2
  3. (C) y=sin(x+4π​)−2
  4. (D) y=sin(x−4π​)+2
  5. (E) y=2sin(x−4π​)
27
設 tanα=91​,tan(α+β)=1,則 tanβ 的值為
  1. (A) 32​
  2. (B) 43​
  3. (C) 54​
  4. (D) 65​
  5. (E) 76​
三、複選題(每題 4 分,答錯一個選項扣 2 分,扣至該題 0 分為止,共 20 分)
28
下列選項哪些是正確的?
  1. (A) cos(2π​+θ)=cosθ
  2. (B) cos(θ−2π​)=sinθ
  3. (C) sin(π+θ)=−sinθ
  4. (D) sin(π−θ)=−sinθ
  5. (E) sin(23π​−θ)=cosθ
29
關於函數 y=f(x)=2sinx+cosx​ 的圖形,下列敘述哪些正確?
  1. (A) 週期為 π
  2. (B) 振幅為 2​
  3. (C) 與 y 軸之交點 (0,21​)
  4. (D) 與 x 軸有無限多個交點
  5. (E) 其圖形對稱於原點
30
設函數 y=sin(x−32π​) 的圖形可由 y=sinx 的圖形往左平移 h 單位後得到。試選出所有 h 可能的值。
  1. (A) 32π​
  2. (B) −32π​
  3. (C) 34π​
  4. (D) −34π​
  5. (E) 23π​
31
關於函數 y=f(x)=−3sin2x 的圖形,下列選項哪些是正確的?
  1. (A) −3≤y≤3
  2. (B) f(x) 在 x=4π​ 時有最大值
  3. (C) 振幅為 3
  4. (D) 週期為 π
  5. (E) f(x) 的圖形對稱於直線 x=43π​
32
選出所有 7π​ 弳的同界角。
  1. (A) −713π​ 弳
  2. (B) −7π​ 弳
  3. (C) 78π​ 弳
  4. (D) 713π​ 弳
  5. (E) 715π​ 弳
四、填充題(共 20 分)
33
求 sin105∘。
34
設一扇形的半徑為 2,面積為 5,求此扇形圓心角為 ____(弳)。
35
已知 270∘<θ<360∘ 且 sinθ=−53​,求 cos2θ​。
36
半徑為 3 的圓輪轉動 52​ 圈,則轉動的圓心角 θ 為 ____(弳)。
載入中...
37
如圖,在長方形 ABCD 中,AB=4,AD=8,以 A 點為圓心,AD 為半徑畫弧交 BC 於 E,求鋪色部分的面積為何?
載入中...
38
已知 2π​<θ<π,且 sinθ=32​,求 sin2θ。
02 · 答案

答案一覽,先對再看詳解

第 1 題(G)
第 2 題(I)
第 3 題(K)
第 4 題(D)
第 5 題(E)
第 6 題(C)
第 7 題(E)
第 8 題(K)
第 9 題(I)
第 10 題(G)
第 11 題(E)
第 12 題(C)
第 13 題(E)
第 14 題(D)
第 15 題(M)
第 16 題(D)
第 17 題(B)
第 18 題(N)
第 19 題(E)
第 20 題(N)
第 21 題(E)
第 22 題(C)
第 23 題(E)
第 24 題(E)
第 25 題(B)
第 26 題(D)
第 27 題(C)
第 28 題(B)(C)
第 29 題(C)(D)
第 30 題(B)(C)
第 31 題(A)(C)(D)(E)
第 32 題(A)(E)
第 33 題46​+2​​
第 34 題25​
第 35 題10−310​​
第 36 題54π​
第 37 題32−316π​
第 38 題9−45​​
03 · 勾錯題號

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04 · 逐題詳解

每一題,錯在哪一步

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01配合題第 1~7 題:正弦值

第 1 題答案 (G)。6π​=30∘,sin30∘=21​。
第 2 題答案 (I)。4π​=45∘,sin45∘=22​​=2​1​。
第 3 題答案 (K)。3π​=60∘,sin60∘=23​​。
第 4 題答案 (D)。角 2π​ 的終邊在 y 軸正向,與單位圓交於 (0,1),正弦是 y 坐標 1。
第 5 題答案 (E)。角 π 的終邊與單位圓交於 (−1,0),sinπ=0。
第 6 題答案 (C)。角 23π​ 的終邊與單位圓交於 (0,−1),sin23π​=−1。
第 7 題答案 (E)。2π 與 0 是同界角,終邊與單位圓交於 (1,0),sin2π=0。
象限角的三角函數值,看終邊與單位圓的交點坐標:x 坐標是餘弦、y 坐標是正弦。

02配合題第 8~14 題:餘弦值

第 8 題答案 (K)。cos30∘=23​​。
第 9 題答案 (I)。cos45∘=22​​=2​1​。
第 10 題答案 (G)。cos60∘=21​。
第 11 題答案 (E)。交點 (0,1) 的 x 坐標是 0,cos2π​=0。
第 12 題答案 (C)。交點 (−1,0),cosπ=−1。
第 13 題答案 (E)。交點 (0,−1),cos23π​=0。
第 14 題答案 (D)。交點 (1,0),cos2π=1。

03配合題第 15~21 題:正切值

第 15 題答案 (M)。tan30∘=cos30∘sin30∘​=3​/21/2​=3​1​。
第 16 題答案 (D)。tan45∘=1。
第 17 題答案 (B)。tan60∘=1/23​/2​=3​。
第 18 題答案 (N)。tan2π​=cos2π​sin2π​​,分母 cos2π​=0,所以 tan2π​ 沒有定義,選「無解」。
第 19 題答案 (E)。tanπ=−10​=0。
第 20 題答案 (N)。cos23π​=0,tan23π​ 沒有定義,選「無解」。
第 21 題答案 (E)。tan2π=10​=0。
正切是正弦除以餘弦,終邊在 y 軸上的角餘弦為 0,正切沒有定義。

04單選題:最大值、正切比大小、疊合、平移、差角公式

第 22 題答案 (C)。sinx 的最大值是 1,所以 M1​=1;2sinx 的最大值是 2×1=2,M2​=2;sinx+2 的最大值是 1+2=3,M3​=3。所以 M1​<M2​<M3​。
第 23 題答案 (E)。π≈3.14,所以 1 弧度在第一象限,a=tan1>0;2、3 弧度都在第二象限(2π​≈1.57<2<3<π),正切為負。在 2π​<x<π 這一段,正切函數的圖形遞增(由負無限大往上升到 0),2<3,所以 tan2<tan3<0,即 b<c<0。合起來 a>c>b。
數值約為 a≈1.557、c≈−0.143、b≈−2.185。
第 24 題答案 (E)。b=0,sinbx 可以取到最大值 1,所以最大高度為 30×1+31=61 公尺。
第 25 題答案 (B)。疊合:asinx+4cosx=a2+16​sin(x+φ),其中 φ 滿足 cosφ=a2+16​a​、sinφ=a2+16​4​。所以最小值為 −a2+16​=−25​,a2+16=20,a2=4;a 為正數,a=2。
第 26 題答案 (D)。向右平移 4π​ 是把 x 換成 x−4π​,得 y=sin(x−4π​);再向上平移 2 是整個函數值加 2,得 y=sin(x−4π​)+2。
第 27 題答案 (C)。β=(α+β)−α,用正切的差角公式:tanβ=1+tan(α+β)tanαtan(α+β)−tanα​=1+91​1−91​​=10/98/9​=54​。
向右平移是把 x 換成 x 減去平移量,向上平移是整個函數值加上平移量。

05複選題:化簡公式、疊合、平移量、圖形性質、同界角

第 28 題

答案 (B)(C)。

(A) 錯誤。 cos(2π​+θ)=−sinθ;例如 θ=0 時左邊 cos2π​=0,右邊 cos0=1,不相等。

(B) 正確。 餘弦是偶函數,cos(θ−2π​)=cos(2π​−θ)=sinθ。

(C) 正確。 π+θ 的終邊與 θ 的終邊對稱於原點,正弦變號:sin(π+θ)=−sinθ。

(D) 錯誤。 π−θ 的終邊與 θ 的終邊對稱於 y 軸,正弦不變:sin(π−θ)=sinθ;例如 θ=2π​ 時左邊 sin2π​=1,右邊 −1。

(E) 錯誤。 sin(23π​−θ)=−cosθ;例如 θ=0 時左邊 sin23π​=−1,右邊 cos0=1。

第 29 題

答案 (C)(D)。先疊合:sinx+cosx=2​(2​1​sinx+2​1​cosx)=2​sin(x+4π​),所以 f(x)=22​​sin(x+4π​)。

(A) 錯誤。 週期是 2π,不是 π;例如 f(0)=21​,f(π)=20+(−1)​=−21​,相差 π 的兩點函數值不同。

(B) 錯誤。 振幅是 22​​,不是 2​。

(C) 正確。 f(0)=2sin0+cos0​=21​,與 y 軸交於 (0,21​)。

(D) 正確。 f(x)=0 即 sin(x+4π​)=0,x=−4π​+kπ(k 為整數),有無限多個。

(E) 錯誤。 圖形對稱於原點時 f(0) 必須是 0,但 f(0)=21​。

第 30 題

答案 (B)(C)。y=sinx 往左平移 h 單位是把 x 換成 x+h,得 y=sin(x+h)。y=sinx 的週期是 2π,所以 sin(x+h) 與 sin(x−32π​) 對所有 x 都相等,恰好是 h 與 −32π​ 相差 2π 的整數倍,即 h=−32π​+2kπ(k 為整數)。

(A) 錯誤。 32π​−(−32π​)=34π​,不是 2π 的整數倍;例如 x=0 時 sin32π​=23​​,而 sin(−32π​)=−23​​。

(B) 正確。 k=0。往左平移 −32π​ 就是往右平移 32π​。

(C) 正確。 k=1:−32π​+2π=34π​。

(D) 錯誤。 −34π​−(−32π​)=−32π​,不是 2π 的整數倍;x=0 時 sin(−34π​)=23​​=−23​​。

(E) 錯誤。 23π​−(−32π​)=613π​,不是 2π 的整數倍;x=0 時 sin23π​=−1=−23​​。

第 31 題

答案 (A)(C)(D)(E)。−1≤sin2x≤1,乘以 −3 得 −3≤−3sin2x≤3。

(A) 正確。 值域就是 −3≤y≤3,兩端都取得到。

(B) 錯誤。 f(4π​)=−3sin2π​=−3,是最小值。

(C) 正確。 振幅為 ∣−3∣=3。

(D) 正確。 週期為 22π​=π。

(E) 正確。 f(43π​)=−3sin23π​=3 是最大值,正弦型圖形過最高點的鉛直線是對稱軸。也可以直接驗證:f(43π​+t)=−3sin(23π​+2t)=3cos2t,f(43π​−t)=−3sin(23π​−2t)=3cos2t,兩者相等。

第 32 題

答案 (A)(E)。同界角與 7π​ 相差 2π 的整數倍,即 7π​+2kπ=7(14k+1)π​(k 為整數)。

(A) 正確。 k=−1:7−13π​。

(B) 錯誤。 7π​−(−7π​)=72π​,不是 2π 的整數倍。

(C) 錯誤。 78π​−7π​=π,不是 2π 的整數倍。

(D) 錯誤。 713π​−7π​=712π​,不是 2π 的整數倍。

(E) 正確。 k=1:715π​。

判斷兩個角或兩個平移量是否等效,看它們的差是不是 2π 的整數倍。

06填充題:和角、扇形、半角、圓心角、鋪色面積、倍角

第 33 題105∘=60∘+45∘,用正弦的和角公式: sin105∘=sin60∘cos45∘+cos60∘sin45∘=23​​⋅22​​+21​⋅22​​=46​+2​​
第 34 題扇形面積 =21​r2θ(θ 為弧度),所以 21​×22×θ=5,2θ=5,θ=25​ 弳。
25​=2.5<2π,是合理的圓心角。
第 35 題θ 在第四象限,cosθ=1−(−53​)2​=54​。由 270∘<θ<360∘ 得 135∘<2θ​<180∘,2θ​ 在第二象限,餘弦為負。半角公式: cos2θ​=−21+cosθ​​=−21+54​​​=−109​​=−10​3​=10−310​​
半角的正負號要由 2θ​ 的範圍決定,不是由 θ 的象限決定。
第 36 題轉動一圈的圓心角是 2π 弳,轉動 52​ 圈的圓心角為 θ=52​×2π=54π​ 弳。
圓心角只和轉了幾圈有關,與半徑 3 無關;半徑要在求弧長(3×54π​=512π​)時才用到。
第 37 題

看圖:鋪色的是 △ABE,以及弧 DE、EC、CD 圍成的那一小塊;沒有鋪色的是扇形 AED。E 在以 A 為圓心、半徑 8 的弧上,所以 AE=AD=8。在直角 △ABE 中,cos∠BAE=AEAB​=84​=21​,∠BAE=60∘,因此 ∠EAD=90∘−60∘=30∘=6π​。

沒有鋪色的部分是扇形 AED(圓心 A、半徑 8、圓心角 6π​),面積為 21​×82×6π​=316π​。鋪色部分 = 長方形面積 − 扇形面積 =4×8−316π​=32−316π​。

也可以分開算:BE=82−42​=43​,△ABE=21​×4×43​=83​;右下角那塊 = 梯形 AECD− 扇形 =21​(8−43​+8)×4−316π​=32−83​−316π​;兩塊相加同樣是 32−316π​≈15.24。
第 38 題θ 在第二象限,cosθ=−1−(32​)2​=−35​​。二倍角公式:sin2θ=2sinθcosθ=2×32​×(−35​​)=9−45​​。
求半角或倍角之前,先由角的範圍決定另一個三角函數值的正負號。

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