段考詳解範圍：三角函數（弧度量與扇形、三角函數的圖形與週期、和差角與倍角半角公式、正餘弦的疊合）

內壢高中 114 上
高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

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01 · 試題

原卷 16 題，照原卷順序

多選題 4 題（每題 7 分，共 28 分）、填充題 12 題（每題 6 分，共 72 分），合計 100 分

一、多選題（占 28 分）｜第 1 題至第 4 題，每題 7 分。（7－4.2－1.4－0）

設

27 0^{\circ} < θ < 36 0^{\circ}

，且

cos θ = \frac{4}{5}

，下列何者正確：

(1) $sin 2 θ = - \frac{24}{25}$
(2) $cos 2 θ = \frac{7}{25}$
(3) $sin \frac{θ}{2} = \frac{1}{10}$
(4) $cos \frac{θ}{2} = \frac{3}{5}$
(5) $tan \frac{θ}{2} = - \frac{1}{3}$

下列何者週期為

π

？

(1) $y = sin 2 x$
(2) $y = ∣ sin x ∣$
(3) $y = sin ∣ x ∣$
(4) $y = ∣ sin x ∣ + ∣ cos x ∣$
(5) $y = ∣ sin x + cos x ∣$

圖為函數

y = a sin (b x + c) + k

一個週期的圖形，其中

a

，

b > 0

，下列何者正確：

(1) $a = 3$
(2) $b = 3$
(3) $c = \frac{π}{3}$
(4) $c = \frac{π}{2}$
(5) $k = 1$

載入中...

函數

y = - sin x - 3 cos x

，其中

0 \leq x \leq π

。當

x = α

時，

y

有最大值

M

，當

x = β

時，

y

有最小值

m

。則下列何者正確：

(1) $α = \frac{3 π}{2}$
(2) $β = π$
(3) $m = - 2$
(4) $M = 1$
(5) $M = 3$

二、填充題（占 72 分）｜第 5 題至第 16 題，每題 6 分。

用一條長為

24

的繩子圍出一個扇形，試問所能圍出的扇形面積最大為 ____。

已知正方形

A B C D

的邊長為

4

，

A

，

B

，

D

為圓心，以

4

為半徑各畫

\frac{1}{4}

個圓（如圖），求圖中塗色部分的面積為 ____。

載入中...

試求

sin^{2} \frac{4 π}{3} - cos \frac{5 π}{3} - tan \frac{3 π}{4}

之值為 ____。

設兩直線

L_{1}

：

4 x + 3 y - 2 = 0

，

L_{2}

：

x - 2 y + 7 = 0

的銳夾角為

θ

，試求

tan θ

之值為 ____。

設

- π \leq x \leq 2 π

，試求不等式

cos x \leq - \frac{1}{2}

的解區間長度總和為多少？ ____

π

。

若

- π \leq x \leq 4 π

，試求

cos x = \frac{2 x}{7 π}

的方程式有 ____ 個實根。

設

sin θ

和

cos θ

為

16 x^{2} - 9 x + 1 = 0

之兩根，試求

2 sin^{2} \frac{θ}{2} (cos \frac{θ}{2} - sin \frac{θ}{2})^{2}

之值為 ____。

若

x = cos (- 2 0^{\circ})

，試求

12 x^{3} - 9 x + \frac{7}{2}

之值為 ____。

已知兩點

A (\frac{8}{17}, \frac{15}{17})

，

B (\frac{- 4}{5}, \frac{3}{5})

在以

O (0, 0)

為圓心的單位圓上，則

sin ∠ A O B =

____。

設

0 \leq x \leq 2 π

，試求函數

y = 3 sin x - 43 cos (x - \frac{π}{3})

之最大值為 ____。

△ A B C

中，

I

為內心，且

cos ∠ B I C = - \frac{2}{3}

，則

cos ∠ B A C

之值為 ____。

設

x

為實數，則

f (x) = sin x cos x + 2 sin x + 2 cos x + \frac{5}{2}

之最大值為 ____。（Hint：令

t = sin x + cos x

）

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(1)(2)(3)(5)

第 2 題(1)(2)(5)

第 3 題(2)(5)

第 4 題(3)(5)

第 5 題

36

第 6 題

\frac{20 π}{3} - 83

第 7 題

\frac{5}{4}

第 8 題

\frac{11}{2}

第 9 題

1

（長度總和為

π

）

第 10 題

4

第 11 題

\frac{1}{2}

第 12 題

5

第 13 題

\frac{84}{85}

第 14 題

21

第 15 題

\frac{1}{9}

第 16 題

3 + 22

03 · 勾錯題號

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

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01多選 1、2：倍角與半角的正負、判斷週期

第 1 題答案 (1)(2)(3)(5)。

θ

在第四象限，

sin θ < 0

，所以

sin θ = - 1 - \frac{16}{25} = - \frac{3}{5}

。(1) 對：

sin 2 θ = 2 sin θ cos θ = 2 \times (- \frac{3}{5}) \times \frac{4}{5} = - \frac{24}{25}

。(2) 對：

cos 2 θ = 2 cos^{2} θ - 1 = \frac{32}{25} - 1 = \frac{7}{25}

。再看半角：

13 5^{\circ} < \frac{θ}{2} < 18 0^{\circ}

，在第二象限，正弦為正、餘弦為負、正切為負。(3) 對：

sin^{2} \frac{θ}{2} = \frac{1 - cos θ}{2} = \frac{1}{10}

，取正，

sin \frac{θ}{2} = \frac{1}{10}

。(4) 錯：

cos^{2} \frac{θ}{2} = \frac{1 + cos θ}{2} = \frac{9}{10}

，取負，

cos \frac{θ}{2} = - \frac{3}{10}

。(5) 對：

tan \frac{θ}{2} = \frac{sin \frac{θ}{2}}{cos \frac{θ}{2}} = \frac{1}{10} \times (- \frac{10}{3}) = - \frac{1}{3}

。

半角公式只給出平方，正負號要另外由

\frac{θ}{2}

所在的象限決定：先把

θ

的範圍除以

2

，再看象限。

第 2 題答案 (1)(2)(5)。(1) 對：

y = sin 2 x

是

y = sin x

水平伸縮

\frac{1}{2}

倍，週期

\frac{2 π}{2} = π

。(2) 對：

∣ sin (x + π) ∣ = ∣ - sin x ∣ = ∣ sin x ∣

，而且函數值為

0

的位置

x = nπ

（

n

為整數）每隔

π

才出現一次，所以週期就是

π

。(3) 錯：

x = \frac{π}{2}

時

y = 1

，

x = \frac{π}{2} + π

時

y = sin \frac{3 π}{2} = - 1

，兩者不相等，

π

不是它的週期。(4) 錯：

sin (x + \frac{π}{2}) + cos (x + \frac{π}{2}) = ∣ cos x ∣ + ∣ - sin x ∣

，與原式相同，所以

\frac{π}{2}

就已經是週期，週期比

π

小。(5) 對：疊合得

sin x + cos x = 2 sin (x + \frac{π}{4})

，所以

y = 2 sin (x + \frac{π}{4})

，是 (2) 的圖形經平移與鉛直伸縮，週期為

π

。

週期指的是最小的正週期。(4) 雖然也滿足

f (x + π) = f (x)

，但它的週期是

\frac{π}{2}

；(3) 的圖形對稱於

y

軸，在

y

軸左右兩側接不成重複的形狀，不是週期函數。

加了絕對值的三角函數，先化成單一個三角函數的絕對值，再用

f (x + T) = f (x)

檢查，並確認沒有更小的週期。

02多選 3、4：由圖形讀係數、疊合後看範圍

第 3 題答案 (2)(5)。圖形的最大值是

3

、最小值是

- 1

。因為

a > 0

，

k = \frac{3 + ( - 1 )}{2} = 1

，

a = \frac{3 - ( - 1 )}{2} = 2

，所以 (1) 錯、(5) 對。圖形從

x = 0

到

x = \frac{2 π}{3}

恰為一個週期，週期

\frac{2 π}{b} = \frac{2 π}{3}

，

b = 3

，(2) 對。函數是

y = 2 sin (3 x + c) + 1

，圖形過

(0, 3)

：

2 sin c + 1 = 3

，

sin c = 1

，所以

c = \frac{π}{2} + 2 nπ

（

n

為整數）。(3) 錯：

sin \frac{π}{3} = \frac{3}{2} \neq = 1

。(4)：

c = \frac{π}{2}

是其中一個可能的值，但

c

也可以是

\frac{5 π}{2}

、

- \frac{3 π}{2}

等，題目沒有限制

c

的範圍，不能斷定

c

一定等於

\frac{π}{2}

，所以不選。

流傳版本的參考答案為 (2)(5)，與上面「

c

不唯一」的判斷一致。如果題目另外限定

0 \leq c < 2 π

，那麼

c = \frac{π}{2}

，(4) 才會成立。可以代回檢查：

y = 2 sin (3 x + \frac{π}{2}) + 1

在

x = \frac{π}{3}

時為

2 sin \frac{3 π}{2} + 1 = - 1

，與圖相符。

第 4 題答案 (3)(5)。疊合：

y = - (sin x + 3 cos x) = - 2 (sin x cos \frac{π}{3} + cos x sin \frac{π}{3}) = - 2 sin (x + \frac{π}{3})

。因為

0 \leq x \leq π

，所以

\frac{π}{3} \leq x + \frac{π}{3} \leq \frac{4 π}{3}

，在這個範圍內

sin (x + \frac{π}{3})

的最大值是

1

（在

x + \frac{π}{3} = \frac{π}{2}

，即

x = \frac{π}{6}

），最小值是

sin \frac{4 π}{3} = - \frac{3}{2}

（在

x = π

）。乘上

- 2

後大小顛倒：

y

的最小值

m = - 2

，此時

β = \frac{π}{6}

；最大值

M = - 2 \times (- \frac{3}{2}) = 3

，此時

α = π

。所以 (3)、(5) 對，(1)、(2)、(4) 錯。

x

的範圍只有半圈，正弦取不到

- 1

，所以最大值不是

2

；(1) 的

\frac{3 π}{2}

根本不在

0 \leq x \leq π

內。

03填充 5～7：扇形面積、弓形面積、弧度制的特殊角

第 5 題設扇形半徑

r

、圓心角

θ

（弧度），弧長為

r θ

。繩長是扇形的周長：

2 r + r θ = 24

，所以

r θ = 24 - 2 r

（

0 < r < 12

）。面積

= \frac{1}{2} r \cdot r θ = \frac{1}{2} r (24 - 2 r) = 12 r - r^{2} = 36 - (r - 6)^{2}

。當

r = 6

時面積最大，最大值為

36

。

此時弧長

r θ = 12

，圓心角

θ = 2

（弧度）：弧長恰好等於兩條半徑的和。

第 6 題設以

A

、

B

為圓心的兩段弧交於

F

，以

A

、

D

為圓心的兩段弧交於

E

。

\overline{A F} = \overline{B F} = \overline{A B} = 4

，

△ A B F

是正三角形，

∠ F A B = 6 0^{\circ}

；同理

△ A D E

是正三角形，

∠ D A E = 6 0^{\circ}

，所以

∠ E A B = 3 0^{\circ}

，

∠ E A F = 6 0^{\circ} - 3 0^{\circ} = 3 0^{\circ}

。連

\overline{A F}

、

\overline{A E}

，塗色區域分成三塊：① 以

A

為圓心、圓心角

3 0^{\circ} = \frac{π}{6}

的扇形

A E F

，面積

\frac{1}{2} \times 4^{2} \times \frac{π}{6} = \frac{4 π}{3}

。② 弦

\overline{A F}

與以

B

為圓心的弧所夾的弓形，等於扇形

B A F

（圓心角

6 0^{\circ} = \frac{π}{3}

）減去正三角形

A B F

：

\frac{1}{2} \times 4^{2} \times \frac{π}{3} - \frac{3}{4} \times 4^{2} = \frac{8 π}{3} - 43

。③ 弦

\overline{A E}

與以

D

為圓心的弧所夾的弓形，同樣是

\frac{8 π}{3} - 43

。總面積

= \frac{4 π}{3} + 2 (\frac{8 π}{3} - 43) = \frac{20 π}{3} - 83

。

載入中...

流傳版本的附圖把正方形右下、右上兩個頂點標成

C

、

B

，與題幹「

A

，

B

，

D

為圓心」及圖中三段弧的圓心位置不合；本頁的圖依題幹把右下標為

B

、右上標為

C

，面積不受影響。數值約為

20.94 - 13.86 = 7.09

，比正方形面積

16

的一半略小，與圖相符。

第 7 題

\frac{4 π}{3}

在第三象限，

sin \frac{4 π}{3} = - sin \frac{π}{3} = - \frac{3}{2}

，平方得

\frac{3}{4}

。

\frac{5 π}{3}

在第四象限，

cos \frac{5 π}{3} = cos \frac{π}{3} = \frac{1}{2}

。

\frac{3 π}{4}

在第二象限，

tan \frac{3 π}{4} = - tan \frac{π}{4} = - 1

。原式

= \frac{3}{4} - \frac{1}{2} - (- 1) = \frac{5}{4}

。

幾段圓弧圍成的區域，先找出弧的交點與圓心連成的正三角形，再拆成扇形與弓形。

04填充 8～10：兩直線的夾角、餘弦不等式、用圖形數實根

第 8 題

L_{1}

的斜率

m_{1} = - \frac{4}{3}

，

L_{2}

的斜率

m_{2} = \frac{1}{2}

。設兩直線的斜角分別為

θ_{1}

、

θ_{2}

，則

tan θ_{1} = - \frac{4}{3}

，

tan θ_{2} = \frac{1}{2}

，兩直線的一個夾角是

θ_{1} - θ_{2}

：

tan (θ_{1} - θ_{2}) = \frac{tan θ _{1} - tan θ _{2}}{1 + tan θ _{1} tan θ _{2}} = \frac{- \frac{4}{3} - \frac{1}{2}}{1 + ( - \frac{4}{3} ) \times \frac{1}{2}} = \frac{- \frac{11}{6}}{\frac{1}{3}} = - \frac{11}{2}

。正切為負，這個夾角是鈍角；銳夾角

θ

是它的補角，

tan θ = \frac{11}{2}

。

兩直線的兩個夾角互補，正切值差一個負號；題目要銳夾角，取正的那一個。

第 9 題先找

cos x = - \frac{1}{2}

的位置：在

- π \leq x \leq 2 π

內有

x = - \frac{2 π}{3}

、

\frac{2 π}{3}

、

\frac{4 π}{3}

。由

y = cos x

的圖形，

cos x \leq - \frac{1}{2}

的部分是

- π \leq x \leq - \frac{2 π}{3}

與

\frac{2 π}{3} \leq x \leq \frac{4 π}{3}

。長度分別為

\frac{π}{3}

與

\frac{2 π}{3}

，總和

= π

，格內填

1

。

左邊那一段被範圍的端點

- π

截掉一半，只剩

\frac{π}{3}

；

\frac{4 π}{3}

到

2 π

之間餘弦值由

- \frac{1}{2}

上升到

1

，不在解內。

第 10 題在同一坐標平面畫

y = cos x

與直線

y = \frac{2 x}{7 π}

，數

- π \leq x \leq 4 π

內的交點。直線過原點，在

x = \frac{7 π}{2}

時高度為

1

，

x > \frac{7 π}{2}

後高度超過

1

，不會再與餘弦相交。逐段比較兩者的高度：

x = - π

時

cos x = - 1 < - \frac{2}{7}

，

x = - \frac{π}{2}

時

cos x = 0 > - \frac{1}{7}

，所以

- π

到

- \frac{π}{2}

之間有

1

個交點；

- \frac{π}{2}

到

0

之間餘弦不為負、直線為負，沒有交點。

x = 0

時

1 > 0

，

x = \frac{π}{2}

時

0 < \frac{1}{7}

，

0

到

\frac{π}{2}

之間有

1

個交點。

\frac{π}{2}

到

\frac{3 π}{2}

之間餘弦不為正、直線為正，沒有交點。

x = \frac{3 π}{2}

時

0 < \frac{3}{7}

，

x = 2 π

時

1 > \frac{4}{7}

，

x = \frac{5 π}{2}

時

0 < \frac{5}{7}

，所以

\frac{3 π}{2}

到

2 π

、

2 π

到

\frac{5 π}{2}

之間各有

1

個交點。

\frac{5 π}{2}

到

\frac{7 π}{2}

之間餘弦不為正，

\frac{7 π}{2}

之後直線高過

1

，都沒有交點。共

4

個實根。

x = 4 π

時

cos x = 1

，直線高度是

\frac{8}{7}

，已經在餘弦上方，最後一個波峰碰不到直線。用計算機求得四個根約為

- 1.73

、

1.44

、

5.21

、

7.15

。

05填充 11～13：半角化回單倍角、三倍角、單位圓上的差角

第 11 題先把半角化回

θ

：由

cos θ = 1 - 2 sin^{2} \frac{θ}{2}

得

2 sin^{2} \frac{θ}{2} = 1 - cos θ

；

(cos \frac{θ}{2} - sin \frac{θ}{2})^{2} = cos^{2} \frac{θ}{2} + sin^{2} \frac{θ}{2} - 2 sin \frac{θ}{2} cos \frac{θ}{2} = 1 - sin θ

。所求

= (1 - cos θ) (1 - sin θ) = 1 - (sin θ + cos θ) + sin θ cos θ

。由根與係數關係，

sin θ + cos θ = \frac{9}{16}

，

sin θ cos θ = \frac{1}{16}

，所求

= 1 - \frac{9}{16} + \frac{1}{16} = \frac{1}{2}

。

照流傳版本題幹的方程式，兩根和

\frac{9}{16}

、兩根積

\frac{1}{16}

會得到

sin^{2} θ + cos^{2} θ = (\frac{9}{16})^{2} - 2 \times \frac{1}{16} = \frac{49}{256} \neq = 1

，實際上找不到這樣的

θ

；流傳版本題幹的係數可能與學校原卷不同，無從判斷原來的數字。本頁照流傳版本的題幹轉錄，並依根與係數關係算出與參考答案相同的

\frac{1}{2}

。

第 12 題

x = cos (- 2 0^{\circ}) = cos 2 0^{\circ}

。先導出餘弦的三倍角：

cos 3 α = cos (2 α + α) = cos 2 α cos α - sin 2 α sin α = (2 cos^{2} α - 1) cos α - 2 sin^{2} α cos α = (2 cos^{2} α - 1) cos α - 2 (1 - cos^{2} α) cos α = 4 cos^{3} α - 3 cos α

。取

α = 2 0^{\circ}

：

4 x^{3} - 3 x = cos 6 0^{\circ} = \frac{1}{2}

。所以

12 x^{3} - 9 x = 3 (4 x^{3} - 3 x) = \frac{3}{2}

，所求

= \frac{3}{2} + \frac{7}{2} = 5

。

看到

x^{3}

與

x

的係數比是

4 : (- 3)

，就是餘弦三倍角的形狀。

第 13 題設

A

、

B

分別是角

α

、

β

的終邊與單位圓的交點（

0 < α, β < π

），則

cos α = \frac{8}{17}

、

sin α = \frac{15}{17}

，

cos β = - \frac{4}{5}

、

sin β = \frac{3}{5}

。

A

在第一象限、

B

在第二象限，

β > α

，所以

∠ A O B = β - α

。

sin ∠ A O B = sin (β - α) = sin β cos α - cos β sin α = \frac{3}{5} \times \frac{8}{17} - (- \frac{4}{5}) \times \frac{15}{17} = \frac{24}{85} + \frac{60}{85} = \frac{84}{85}

。

∠ A O B

介於

0^{\circ}

與

18 0^{\circ}

之間，正弦值一定不為負；如果減的順序反了算出

- \frac{84}{85}

，要取正。

式子裡出現半角的平方或半角的乘積時，先用倍角公式化回原來的角，再代已知條件。

06填充 14～16：展開後疊合、內心的夾角、代換成二次函數

第 14 題先用差角公式展開：

cos (x - \frac{π}{3}) = cos x cos \frac{π}{3} + sin x sin \frac{π}{3} = \frac{1}{2} cos x + \frac{3}{2} sin x

。所以

y = 3 sin x - 43 (\frac{1}{2} cos x + \frac{3}{2} sin x) = 3 sin x - 23 cos x - 6 sin x = - 3 sin x - 23 cos x

。疊合後的振幅是

(- 3)^{2} + (- 23)^{2} = 21

，即

y = 21 sin (x + φ)

（

φ

為某個固定的角）。

0 \leq x \leq 2 π

恰為一整個週期，正弦取得到

1

，最大值為

21

。

兩項的角不同（

x

與

x - \frac{π}{3}

），不能直接疊合，要先展開成同一個角的正弦與餘弦。

第 15 題

I

是內心，

\overline{B I}

、

\overline{C I}

分別平分

∠ B

、

∠ C

，所以

∠ B I C = 18 0^{\circ} - \frac{∠ B + ∠ C}{2} = 18 0^{\circ} - \frac{18 0 ^{\circ} - ∠ A}{2} = 9 0^{\circ} + \frac{∠ A}{2}

。於是

cos ∠ B I C = cos (9 0^{\circ} + \frac{A}{2}) = - sin \frac{A}{2} = - \frac{2}{3}

，得

sin \frac{A}{2} = \frac{2}{3}

。由倍角公式，

cos ∠ B A C = 1 - 2 sin^{2} \frac{A}{2} = 1 - 2 \times \frac{4}{9} = \frac{1}{9}

。

第 16 題令

t = sin x + cos x

，則

t^{2} = 1 + 2 sin x cos x

，

sin x cos x = \frac{t ^{2} - 1}{2}

。

f = \frac{t ^{2} - 1}{2} + 2 t + \frac{5}{2} = \frac{1}{2} t^{2} + 2 t + 2 = \frac{1}{2} (t + 2)^{2}

。疊合得

t = 2 sin (x + \frac{π}{4})

，所以

- 2 \leq t \leq 2

。拋物線的頂點在

t = - 2

，不在這個範圍內；在

- 2 \leq t \leq 2

上

t + 2 > 0

，

t

愈大函數值愈大，最大值在

t = 2

：

\frac{1}{2} (2 + 2)^{2} = \frac{6 + 4 2}{2} = 3 + 22

。

代換後一定要寫出

t

的範圍；

t = 2

發生在

x = \frac{π}{4}

，代回檢查：

\frac{1}{2} + 2 + 2 + \frac{5}{2} = 3 + 22

。

同時出現

sin x + cos x

與

sin x cos x

時，令

t = sin x + cos x

化成

t

的二次函數，並用疊合定出

t

的範圍。

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同樣是高二第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

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內壢高中 114 上高二第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 16 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

內壢高中 114 上高二第一次段考數學哪幾題最容易錯？

多選第 1 題的半角要先把角的範圍除以二再判斷正負；多選第 3 題的 c 不只一個值，沒有限定範圍時不能斷定它等於某一個數；多選第 4 題的範圍只有半圈，最大值不是振幅；填充第 6 題要先找出兩個正三角形，再把塗色區域拆成一個扇形與兩個弓形；填充第 10 題要注意直線在最後一個波峰之前就已經高過 1。詳解逐題寫在本頁。

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

題目取自內壢高中 114 學年度上學期高二第一次段考數學A，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

內壢高中 114 上高二第一次段考數學試題、答案與詳解

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01多選 1、2：倍角與半角的正負、判斷週期

02多選 3、4：由圖形讀係數、疊合後看範圍

03填充 5～7：扇形面積、弓形面積、弧度制的特殊角

04填充 8～10：兩直線的夾角、餘弦不等式、用圖形數實根

05填充 11～13：半角化回單倍角、三倍角、單位圓上的差角

06填充 14～16：展開後疊合、內心的夾角、代換成二次函數

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內壢高中 114 上
高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

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