段考詳解範圍：三角函數（弧度量、三角函數的圖形、和差角與倍角公式、正餘弦的疊合）

興大附中 114 上
高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

Q: 興大附中 114 上 高二第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 16 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

Q: 興大附中 114 上 高二第一次段考數學哪幾題最容易錯？

多選第 5 題：最後一個選項要比較正弦曲線與拋物線在幾個點的高低，兩者在原點之外還會再交一次。單選第 3 題：開根號後是絕對值，要用半角所在的範圍判斷正負與大小。選填 F（本頁第 12 題）：先由圓周角推出弧的圓心角是直角，再用扇形減三角形求弓形面積。混合題第 3 小題（本頁第 16 題）：角度範圍到不了正弦的最低點，最小值發生在端點。詳解逐題寫在本頁。

Q: 我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

Q: 這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

原卷 16 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

考前想要一份自己的模擬卷，外加每天練哪一章？免費註冊，產生考前藍圖 PDF →

0.0

題原卷全文

0.0

則逐題詳解

0.0

個單元，勾錯題號就知道錯在哪

0.0

元，不用註冊

01 · 試題

原卷 16 題，照原卷順序

單選題 4 題（24 分）、多選題 2 題（16 分）、選填題 7 題（49 分）、混合題 1 題 3 小題（11 分）

第壹部分：選擇題（占 40 分）一、單選題（占 24 分）：第 1 題至第 4 題，每題有 5 個選項，其中只有一個是正確或最適當的選項，請畫記在答案卡之「選擇（填）題答案區」。各題答對者，得 6 分；答錯、未作答或畫記多於一個選項者，該題以零分計算。

tan π^{2}

的值落在以下哪一個區間？

(1) $(- \infty, - 3]$
(2) $(- 3, 0]$
(3) $(0, \frac{1}{3})$
(4) $[\frac{1}{3}, 1)$
(5) $[1, \infty)$

若小寶早上起床時發現時間為上午 7 點整，他覺得可以跟自己的自律來一場豪賭，決定再多睡一下，當他下一次睜開眼的時候發現還沒超過當日上午 8 點，且此刻時針跟分針恰好重合在一起，則小寶多睡的時間最接近幾分鐘？

(1) $36$
(2) $37$
(3) $38$
(4) $39$
(5) $40$

已知

\frac{5 π}{2} < θ < 3 π

，試化簡

1 + sin θ + 1 - sin θ

的值為下列何者？

(1) $2$
(2) $- 2 cos \frac{θ}{2}$
(3) $2 cos \frac{θ}{2}$
(4) $2 sin \frac{θ}{2}$
(5) $- 2 sin \frac{θ}{2}$

如圖，

△ A B C

中，

∠ B = 9 0^{\circ}

，且

\overline{B D} = \overline{D E} = \overline{E C} = \frac{1}{2} \overline{A B}

，若

∠ C A E = α

，

∠ D A E = β

，則

tan (β - α)

為以下哪一個選項？

(1) $\frac{1}{8}$
(2) $\frac{1}{7}$
(3) $\frac{1}{6}$
(4) $\frac{1}{5}$
(5) $\frac{1}{4}$

載入中...

二、多選題（占 16 分）：第 5 題至第 6 題，每題有 5 個選項，其中至少有一個是正確的選項，請將正確選項畫記在答案卡之「選擇（填）題答案區」。各題之選項獨立判定，所有選項均答對者，得 8 分；答錯 1 個選項者，得 4.8 分；答錯 2 個選項者，得 1.6 分；答錯多於 2 個選項或所有選項均未作答者，該題以零分計算。

設函數

y = f (x) = 2 sin π x + 2 cos (π x + \frac{π}{6})

，其中

x

為任意實數，試選出正確的選項。

(1) $f (\frac{1}{π}) < 0$
(2) $y = f (x)$ 的最大值為 $2$
(3) $y = f (x)$ 週期為 $1$
(4) $y = f (x)$ 圖形對稱於直線 $x = \frac{1}{6}$
(5) $y = f (x)$ 和 $y = x^{2} + 3$ 恰有一交點

下列有關三角函數圖形的平移與伸縮，哪些敘述是正確的？

(1) $y = sin (x - 5)$ 的圖形可利用 $y = sin x$ 向左平移 $5$ 弳得到。
(2) $y = sin (2 x - 5)$ 的圖形可利用 $y = sin x$ 以 $y$ 軸為中心縮小為原本的 $\frac{1}{2}$ 倍，再向右平移 $5$ 弳得到。
(3) $y = sin (2 x - 5)$ 的圖形可利用 $y = sin x$ 向右平移 $5$ 弳，再以 $y$ 軸為中心縮小為原本的 $\frac{1}{2}$ 倍得到。
(4) $y = 2 sin x + 3$ 的圖形可利用 $y = sin x$ 的圖形先向上平移 $3$ 單位，再以 $x$ 軸為中心，鉛直方向延伸為原本的 $2$ 倍得到。
(5) $y = 2 sin x + 3$ 的圖形可利用 $y = sin x$ 的圖形先以 $x$ 軸為中心，鉛直方向延伸為原本的 $2$ 倍，再向上平移 $3$ 單位得到。

第貳部分：選填題（49 分）三、選填題（占 49 分）：1. 第 A 至 G 題，將答案畫記在答案卡之「選擇（填）題答案區」所標示的列號（7-23）。2. 每題完全答對給 7 分，答錯不倒扣，未完全答對不給分。3. 若答案為分數，皆須化為最簡分數；若答案內有根號，皆須化為最簡根式。（本頁第 7～13 題依序為原卷的 A～G 題）

計算

sin 11 5^{\circ} cos 9 5^{\circ} + cos 24 5^{\circ} sin 8 5^{\circ} =

____。（原卷的答案格式為

\frac{◯ ◯}{◯}

）

設

θ

為兩直線

L_{1} : x - 5 y = 114

與

L_{2} : 2 x - y = 2025

的夾角，且

0^{\circ} < θ < 9 0^{\circ}

，則

tan θ =

____。（原卷的答案格式為

\frac{◯}{◯}

）

右圖為函數

y = a sin (b x - c) + d

的部分圖形，其中

a > 0

，

b > 0

且

0 < c < π

，則

a + b + c + d =

____。（原卷的答案格式為

\frac{◯}{◯} + \frac{◯}{◯} π

；圖中標出的兩點為最低點

(\frac{π}{2}, - 5)

與最高點

(\frac{5 π}{2}, 1)

）

載入中...

設

0 < θ < \frac{3 π}{2}

，試求滿足

sin 2 θ = 3 cos θ

之

θ

總和為 ____。（原卷的答案格式為

\frac{◯}{◯} π

）

已知

0 \leq x \leq 4 π

，則方程式

sin x = \frac{1}{5}

的所有實數解總和為 ____。（原卷的答案格式為

◯ π

）

如圖中，正方形

A B C D

之每邊長為

1

，每一弓形的內接角均為

13 5^{\circ}

（如圖中所示：

∠ B P C = 13 5^{\circ}

，

P

為

B C ⌢

上任意一點），試求中央部分鋪色區域的面積為 ____。（原卷的答案格式為

◯ - \frac{◯}{◯} π

）

載入中...

在

△ A B C

中，已知

∠ A, ∠ B, ∠ C

的對邊長度分別為

a, b, c

，且

a = 7

，

sin A = \frac{7}{25}

，

cos B = - \frac{3}{5}

，則

△ A B C

的面積之值為 ____。

第參部分：混合題（11 分）：1. 第 1 小題請將答案畫記在答案卡之「選擇（填）題答案區」所標示的列號（24-25）。2. 第 2 至 3 小題請使用黑色或藍色原子筆在標示題號手寫卷內作答。請由左而右橫式書寫，作答時必須寫出計算過程或理由，否則將酌予扣分，只寫答案不予計分。（本頁第 14～16 題依序為原卷混合題的第 1～3 小題）

混合題（第 14～16 題）　已知

f (x) = 5 sin^{2} x + 12 sin x cos x + 17 cos^{2} x

，

0 \leq x \leq \frac{π}{2}

。

1.（2 分）請將

f (x)

化為

f (x) = a sin 2 x + b cos 2 x + c

的形式，其中

a, b, c

為實數。則

a + b + c =

____。（請於答案卡上劃記答案）

2.（非選擇題，3 分）請將

f (x)

化為

f (x) = p sin (2 x + θ) + q

的形式，其中

p > 0

，

0 \leq θ < 2 π

，試求

(p, θ, q)

。

3.（非選擇題，6 分）試求

f (x)

的最大值與最小值，並求其對應的

x

值。

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(3)

第 2 題(3)

第 3 題(5)

第 4 題(1)

第 5 題(2)(4)

第 6 題(3)(5)

第 7 題

- \frac{1}{2}

第 8 題

\frac{9}{7}

第 9 題

\frac{3}{2} + \frac{3}{4} π

第 10 題

\frac{3}{2} π

第 11 題

6 π

第 12 題

2 - \frac{1}{2} π

第 13 題

42

第 14 題

23

第 15 題

(p, θ, q) = (62, \frac{π}{4}, 11)

第 16 題

x = \frac{π}{8}

時有最大值

11 + 62

；

x = \frac{π}{2}

時有最小值

5

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

考前先拿一份自己的考前藍圖

註冊之後，在首頁填上你們下一次段考的日期和範圍，系統會照你做過的題、錯過的題，出一份考前藍圖 PDF：一份模擬卷、詳解，還有考前每天練哪一章。

註冊就能免費體驗，不需綁定信用卡。

免費註冊

04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選 1～4：弧度的估計、時鐘、倍角配方、正切的差角公式

第 1 題答案 (3)。

π^{2}

是弧度。正切函數的週期是

π

，所以

tan π^{2} = tan (π^{2} - 3 π) = tan (π (π - 3))

。因為

3 < π < 3 + \frac{1}{6}

，所以

0 < π - 3 < \frac{1}{6}

，

0 < π (π - 3) < \frac{π}{6}

。正切函數在

0

到

\frac{π}{2}

之間遞增，所以

tan 0 < tan π^{2} < tan \frac{π}{6}

，即

0 < tan π^{2} < \frac{1}{3}

。

π^{2} \approx 9.87

，

3 π \approx 9.42

，相差約

0.45

弧度（約

25. 5^{\circ}

）。先減去週期的整數倍，把角度搬到熟悉的範圍再比。

第 2 題答案 (3)。分針每分鐘轉

\frac{36 0 ^{\circ}}{60} = 6^{\circ}

，時針每分鐘轉

\frac{3 0 ^{\circ}}{60} = 0. 5^{\circ}

。7 點整時，時針在分針前方

7 \times 3 0^{\circ} = 21 0^{\circ}

。設過了

t

分鐘兩針重合，分針要多轉

21 0^{\circ}

：

6 t - 0.5 t = 210

，

t = \frac{420}{11} = 38 \frac{2}{11} \approx 38.2

。這個時刻在 8 點之前，最接近

38

分鐘。

時針在這段時間也在走，不能只算分針走到「7」的位置（那是

35

分鐘）。

第 3 題答案 (5)。由

sin^{2} \frac{θ}{2} + cos^{2} \frac{θ}{2} = 1

與倍角公式

sin θ = 2 sin \frac{θ}{2} cos \frac{θ}{2}

，

1 \pm sin θ = (sin \frac{θ}{2} \pm cos \frac{θ}{2})^{2}

，所以原式

= sin \frac{θ}{2} + cos \frac{θ}{2} + sin \frac{θ}{2} - cos \frac{θ}{2}

。由

\frac{5 π}{2} < θ < 3 π

得

\frac{5 π}{4} < \frac{θ}{2} < \frac{3 π}{2}

，在第三象限，

sin \frac{θ}{2} < 0

、

cos \frac{θ}{2} < 0

，且在這個範圍內

sin \frac{θ}{2} < cos \frac{θ}{2}

（例如

\frac{θ}{2}

接近

\frac{3 π}{2}

時，正弦接近

- 1

、餘弦接近

0

）。所以第一個絕對值為

- sin \frac{θ}{2} - cos \frac{θ}{2}

，第二個為

cos \frac{θ}{2} - sin \frac{θ}{2}

，相加得

- 2 sin \frac{θ}{2}

。

A^{2} = ∣ A ∣

，去絕對值要看

\frac{θ}{2}

的範圍而不是

θ

的範圍。第三象限以

\frac{5 π}{4}

為界：超過

\frac{5 π}{4}

之後正弦比餘弦小。

第 4 題答案 (1)。設

\overline{B D} = \overline{D E} = \overline{E C} = 1

，則

\overline{A B} = 2

，

\overline{B E} = 2

，

\overline{B C} = 3

。在直角三角形中，

tan ∠ B A D = \frac{1}{2}

，

tan ∠ B A E = \frac{2}{2} = 1

，

tan ∠ B A C = \frac{3}{2}

。

β = ∠ B A E - ∠ B A D

，

tan β = \frac{1 - \frac{1}{2}}{1 + 1 \cdot \frac{1}{2}} = \frac{1}{3}

；

α = ∠ B A C - ∠ B A E

，

tan α = \frac{\frac{3}{2} - 1}{1 + \frac{3}{2} \cdot 1} = \frac{1}{5}

。所以

tan (β - α) = \frac{\frac{1}{3} - \frac{1}{5}}{1 + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{5}} = \frac{\frac{2}{15}}{\frac{16}{15}} = \frac{1}{8}

。

α

、

β

都不在直角三角形裡，先寫成「以

\overline{A B}

為一邊的兩個角相減」，那些角的正切值可以直接從邊長讀出來。

不在直角三角形裡的角，拆成兩個讀得出正切值的角相減，再用差角公式。

02多選 5～6：疊合後的函數性質、平移與伸縮的順序

第 5 題答案 (2)(4)。先用和角公式展開：

2 cos (π x + \frac{π}{6}) = 3 cos π x - sin π x

，所以

f (x) = sin π x + 3 cos π x = 2 (\frac{1}{2} sin π x + \frac{3}{2} cos π x) = 2 sin (π x + \frac{π}{3})

。(1)

f (\frac{1}{π}) = 2 sin (1 + \frac{π}{3})

，

1 + \frac{π}{3} \approx 2.05

在

0

與

π

之間，正弦值為正，錯。(2) 最大值為

2

，對。(3) 週期為

\frac{2 π}{π} = 2

，錯。(4)

x = \frac{1}{6}

時

π x + \frac{π}{3} = \frac{π}{2}

，

f (\frac{1}{6}) = 2

是最大值，圖形對稱於通過最高點的鉛直線

x = \frac{1}{6}

，對。(5)

x = 0

時兩者都等於

3

，是一個交點；

x = \frac{1}{6}

時

f = 2

，而

x^{2} + 3 = \frac{1}{36} + 3 \approx 1.76

，正弦曲線在上；

x = \frac{1}{2}

時

f = 2 sin \frac{5 π}{6} = 1

，而

x^{2} + 3 \approx 1.98

，拋物線在上。兩個圖形都連續不斷，所以在

\frac{1}{6}

與

\frac{1}{2}

之間還有一個交點，交點不只一個，錯。

(5) 兩個圖形在

x = 0

只是相交，不是相切：過了

x = 0

之後正弦曲線先跑到拋物線上方，之後降下來時一定會再交一次。(1) 的

\frac{1}{π}

代入後角度是

1 + \frac{π}{3}

弧度，這裡的

1

是

1

弧度。

第 6 題答案 (3)(5)。向右平移

h

是把

x

換成

x - h

；以

y

軸為中心水平縮小為

\frac{1}{2}

倍是把

x

換成

2 x

；每一步都只對

x

本身代換。(1)

y = sin (x - 5)

是向右平移

5

，錯。(2) 先縮小得

y = sin 2 x

，再向右平移

5

得

y = sin 2 (x - 5) = sin (2 x - 10)

，錯。(3) 先向右平移

5

得

y = sin (x - 5)

，再縮小得

y = sin (2 x - 5)

，對。(4) 先向上平移

3

得

y = sin x + 3

，再鉛直伸長

2

倍得

y = 2 (sin x + 3) = 2 sin x + 6

，錯。(5) 先鉛直伸長

2

倍得

y = 2 sin x

，再向上平移

3

得

y = 2 sin x + 3

，對。

若要先縮小再平移得到

y = sin (2 x - 5) = sin 2 (x - \frac{5}{2})

，平移量是

\frac{5}{2}

而不是

5

。

平移與伸縮換了順序，結果通常不同；一步一步把式子寫出來最不會錯。

03選填 7～10（原卷 A～D）：和角公式、兩直線夾角、由圖形定係數、三角方程式

第 7 題把角度都換成

6 5^{\circ}

與

8 5^{\circ}

：

sin 11 5^{\circ} = sin (18 0^{\circ} - 6 5^{\circ}) = sin 6 5^{\circ}

，

cos 9 5^{\circ} = cos (18 0^{\circ} - 8 5^{\circ}) = - cos 8 5^{\circ}

，

cos 24 5^{\circ} = cos (18 0^{\circ} + 6 5^{\circ}) = - cos 6 5^{\circ}

。原式

= - sin 6 5^{\circ} cos 8 5^{\circ} - cos 6 5^{\circ} sin 8 5^{\circ} = - sin (6 5^{\circ} + 8 5^{\circ}) = - sin 15 0^{\circ} = - \frac{1}{2}

。

答案格式的三個圓圈依序填負號、

1

、

2

。

第 8 題

L_{1}

的斜率為

\frac{1}{5}

，

L_{2}

的斜率為

2

。設兩直線的斜角分別為

θ_{1}

、

θ_{2}

，則

tan θ_{1} = \frac{1}{5}

，

tan θ_{2} = 2

。

tan (θ_{2} - θ_{1}) = \frac{2 - \frac{1}{5}}{1 + 2 \cdot \frac{1}{5}} = \frac{\frac{9}{5}}{\frac{7}{5}} = \frac{9}{7}

。這個值是正的，

θ_{2} - θ_{1}

就是兩直線所夾的銳角，所以

tan θ = \frac{9}{7}

。

夾角只跟斜率有關，常數項

114

、

2025

不影響。若算出來是負的，表示算到的是鈍角那一個夾角，取絕對值就是銳角的正切值。

第 9 題最高點的

y

坐標是

1

，最低點是

- 5

，所以

d = \frac{1 + ( - 5 )}{2} = - 2

，

a = \frac{1 - ( - 5 )}{2} = 3

。相鄰的最低點與最高點相距半個週期：

\frac{5 π}{2} - \frac{π}{2} = 2 π

，週期為

4 π

，

b = \frac{2 π}{4 π} = \frac{1}{2}

。最高點在

x = \frac{5 π}{2}

：

\frac{1}{2} \cdot \frac{5 π}{2} - c = \frac{π}{2} + 2 k π

（

k

為整數），

c = \frac{3 π}{4} - 2 k π

；由

0 < c < π

得

c = \frac{3 π}{4}

。所以

a + b + c + d = 3 + \frac{1}{2} + \frac{3 π}{4} - 2 = \frac{3}{2} + \frac{3}{4} π

。

驗算：

x = \frac{π}{2}

時

\frac{π}{4} - \frac{3 π}{4} = - \frac{π}{2}

，

y = 3 \cdot (- 1) - 2 = - 5

，確實是最低點。

第 10 題用倍角公式

sin 2 θ = 2 sin θ cos θ

，移項得

cos θ (2 sin θ - 3) = 0

，所以

cos θ = 0

或

sin θ = \frac{3}{2}

。在

0 < θ < \frac{3 π}{2}

內：

cos θ = 0

得

θ = \frac{π}{2}

（

\frac{3 π}{2}

不在範圍內）；

sin θ = \frac{3}{2}

得

θ = \frac{π}{3}

或

\frac{2 π}{3}

。總和為

\frac{π}{2} + \frac{π}{3} + \frac{2 π}{3} = \frac{3}{2} π

。

兩邊不能直接約掉

cos θ

，否則會漏掉

cos θ = 0

的解

θ = \frac{π}{2}

。

解三角方程式時把式子移到同一邊分解，不要約掉可能為 0 的因式。

04選填 11～13（原卷 E～G）：解的對稱性、弓形面積、三角形的第三個角

第 11 題在

0 \leq x \leq 2 π

內，

y = sin x

的圖形與水平線

y = \frac{1}{5}

交於兩點，這兩點對稱於直線

x = \frac{π}{2}

，設較小的解為

α

（

0 < α < \frac{π}{2}

），另一個解為

π - α

，兩解的和為

π

。正弦函數的週期是

2 π

，在

2 π \leq x \leq 4 π

內的兩個解為

2 π + α

與

3 π - α

，和為

5 π

。四個解的總和為

π + 5 π = 6 π

。

不必求出

α

是多少；成對的解相加時

α

會消掉。端點

0

、

2 π

、

4 π

的正弦值是

0

，都不是解。

第 12 題看

\overline{B C}

上的弓形。圓周角

∠ B P C = 13 5^{\circ}

所對的弧（不含

P

的那一段）為

27 0^{\circ}

，所以含

P

的弧

B C

為

9 0^{\circ}

，圓心角為

9 0^{\circ} = \frac{π}{2}

。設半徑為

r

，圓心與

B

、

C

構成等腰直角三角形，斜邊

\overline{B C} = 1

，所以

r = \frac{1}{2}

，

r^{2} = \frac{1}{2}

。一個弓形的面積

=

扇形

-

三角形

= \frac{1}{2} r^{2} \cdot \frac{π}{2} - \frac{1}{2} r^{2} = \frac{π}{8} - \frac{1}{4}

。四個弓形共

\frac{π}{2} - 1

，鋪色區域的面積

= 1 - (\frac{π}{2} - 1) = 2 - \frac{1}{2} π

。

原卷題幹印作「

P

為

\overline{B C}

上任意一點」；依附圖，

P

在弓形的弧上（弧

B C

），本頁題幹已寫成弧。相鄰兩個弓形的弧在正方形的頂點相切（兩弧在頂點處的切線都與邊夾

4 5^{\circ}

，恰為對角線方向），在正方形內不重疊，所以四個弓形的面積可以直接相加。

第 13 題

cos B < 0

，所以

∠ B

是鈍角，

sin B = 1 - \frac{9}{25} = \frac{4}{5}

；三角形只能有一個鈍角，所以

∠ A

是銳角，

cos A = 1 - \frac{49}{625} = \frac{24}{25}

。由正弦定理

\frac{a}{sin A} = \frac{b}{sin B}

：

b = 7 \cdot \frac{4}{5} \div \frac{7}{25} = 20

。

sin C = sin (18 0^{\circ} - A - B) = sin (A + B) = sin A cos B + cos A sin B = \frac{7}{25} \cdot (- \frac{3}{5}) + \frac{24}{25} \cdot \frac{4}{5} = \frac{75}{125} = \frac{3}{5}

。面積

= \frac{1}{2} ab sin C = \frac{1}{2} \cdot 7 \cdot 20 \cdot \frac{3}{5} = 42

。

sin A = \frac{7}{25}

本身看不出

∠ A

是銳角還是鈍角，要靠「

∠ B

已經是鈍角」來決定

cos A

取正。

三角形的第三個角用 180° 減去另外兩角，正弦值就是另外兩角和的正弦。

05混合題 14～16（原卷混合題第 1～3 小題）：降次、疊合、限制範圍的極值

第 14 題用倍角公式降次：

sin^{2} x = \frac{1 - cos 2 x}{2}

，

cos^{2} x = \frac{1 + cos 2 x}{2}

，

sin x cos x = \frac{sin 2 x}{2}

。

f (x) = 5 \cdot \frac{1 - cos 2 x}{2} + 12 \cdot \frac{sin 2 x}{2} + 17 \cdot \frac{1 + cos 2 x}{2} = 6 sin 2 x + 6 cos 2 x + 11

。所以

a = 6

，

b = 6

，

c = 11

，

a + b + c = 23

。

cos 2 x

的係數是

\frac{17 - 5}{2} = 6

，常數項是

\frac{17 + 5}{2} = 11

。

第 15 題由上一小題，

f (x) = 6 sin 2 x + 6 cos 2 x + 11

。

6^{2} + 6^{2} = 62

，提出來：

f (x) = 62 (sin 2 x \cdot \frac{2}{2} + cos 2 x \cdot \frac{2}{2}) + 11 = 62 (sin 2 x cos \frac{π}{4} + cos 2 x sin \frac{π}{4}) + 11 = 62 sin (2 x + \frac{π}{4}) + 11

。所以

(p, θ, q) = (62, \frac{π}{4}, 11)

。

θ

要同時滿足

cos θ = \frac{2}{2}

與

sin θ = \frac{2}{2}

，在

0 \leq θ < 2 π

內只有

\frac{π}{4}

。原卷評分標準：有寫出疊合過程 1 分，三個數全寫對 2 分。

第 16 題

0 \leq x \leq \frac{π}{2}

時，

\frac{π}{4} \leq 2 x + \frac{π}{4} \leq \frac{5 π}{4}

。在這個範圍內，

sin (2 x + \frac{π}{4})

的最大值是

1

，發生在

2 x + \frac{π}{4} = \frac{π}{2}

，即

x = \frac{π}{8}

，此時

f (x)

有最大值

62 + 11

。最小值發生在右端點

2 x + \frac{π}{4} = \frac{5 π}{4}

，即

x = \frac{π}{2}

，

sin \frac{5 π}{4} = - \frac{2}{2}

，此時

f (x)

有最小值

62 \cdot (- \frac{2}{2}) + 11 = 5

。

角度只走到

\frac{5 π}{4}

，到不了

\frac{3 π}{2}

，所以最小值不是

11 - 62

。驗算：

x = \frac{π}{2}

代回原式，

f = 5 \cdot 1 + 0 + 0 = 5

；另一個端點

x = 0

時

f = 17

，介於兩者之間。

疊合之後先把括號裡的角度範圍算出來，再看正弦值在那一段的最高與最低。

同一次段考的其他學校

同樣是高二第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

你們學校的段考卷也想要詳解？

考完把題目頁拍照或掃描上傳，我們收到後會盡快做好放上來：題目重新打字，附答案和逐題詳解，一樣免費下載 PDF。

上傳前可以先把姓名、座號遮掉。我們只用題目，不會放你的照片或筆跡。上傳要登入 Google 帳號。

上傳考卷

常見問題

興大附中 114 上高二第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 16 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

興大附中 114 上高二第一次段考數學哪幾題最容易錯？

多選第 5 題：最後一個選項要比較正弦曲線與拋物線在幾個點的高低，兩者在原點之外還會再交一次。單選第 3 題：開根號後是絕對值，要用半角所在的範圍判斷正負與大小。選填 F（本頁第 12 題）：先由圓周角推出弧的圓心角是直角，再用扇形減三角形求弓形面積。混合題第 3 小題（本頁第 16 題）：角度範圍到不了正弦的最低點，最小值發生在端點。詳解逐題寫在本頁。

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

題目取自興大附中 114 學年度上學期高二第一次段考數學A，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

興大附中 114 上高二第一次段考數學試題、答案與詳解

原卷 16 題，照原卷順序

答案一覽，先對再看詳解

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

對完答案了？勾你錯的題號

考前先拿一份自己的考前藍圖

每一題，錯在哪一步

01單選 1～4：弧度的估計、時鐘、倍角配方、正切的差角公式

02多選 5～6：疊合後的函數性質、平移與伸縮的順序

03選填 7～10（原卷 A～D）：和角公式、兩直線夾角、由圖形定係數、三角方程式

04選填 11～13（原卷 E～G）：解的對稱性、弓形面積、三角形的第三個角

05混合題 14～16（原卷混合題第 1～3 小題）：降次、疊合、限制範圍的極值

同一次段考的其他學校

你們學校的段考卷也想要詳解？

常見問題

興大附中 114 上 高二第一次段考數學的答案在哪裡？

興大附中 114 上 高二第一次段考數學哪幾題最容易錯？

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

這份段考卷可以下載列印嗎？

興大附中 114 上
高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

興大附中 114 上高二第一次段考數學的答案在哪裡？

興大附中 114 上高二第一次段考數學哪幾題最容易錯？