段考詳解範圍：指數函數、弧度量與扇形、正弦函數的圖形與週期

興大附中 114 上
高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

Q: 興大附中 114 上 高二第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 19 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

Q: 興大附中 114 上 高二第一次段考數學哪幾題最容易錯？

第 4 題：把正弦曲線與一條通過原點的斜直線畫在一起數交點，直線高度超過 1 之後就不會再相交，左右對稱再加上原點共 7 個。第 12 題：先把括號裡的角度範圍算出來再看正弦函數的圖形，最小值出現在左端點，不是右端點。選填 D（本頁第 18 題）：把圓錐側面沿一條母線剪開攤平成扇形，最短路徑是扇形上的一條直線段。選填 E（本頁第 19 題）：先把兩倍角的範圍寫出來，解完再除以 2。詳解逐題寫在本頁。

Q: 我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

Q: 這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

原卷 19 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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題原卷全文

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則逐題詳解

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01 · 試題

原卷 19 題，照原卷順序

單選題 10 題（每題 6 分）、多選題 4 題（每題 5 分）、選填題 5 題（卷面 A～E，本頁第 15～19 題，每題 4 分），合計 100 分。多選題的給分方式卷面沒有印。答案已與學校公布的答案逐題核對，19 題中 18 題相同；第 2 題學校的解答印的代號不在卷面選項裡，本頁依題目計算。

一、單選題(每題6分)

以下有關

a = 2^{3}

，

b = 0. 5^{0.5}

，

c = 2^{- 3}

三數的大小關係，試選出正確的選項。

(1) $a < b < c$
(2) $a < c < b$
(3) $b < a < c$
(4) $b < c < a$
(5) $c < b < a$

半徑為

10

的扇形區域，其面積為

10 π

，則此扇形之弧長為何？

(1) $2 π$
(2) $π$
(3) $\frac{3 π}{2}$
(4) $\frac{π}{2}$
(5) $\frac{11}{6} π$

下列哪一個圖形最有可能是函數

y = (\frac{2}{π})^{x} + 1

的圖形的一部份？

(1) 圖 (1)
(2) 圖 (2)
(3) 圖 (3)
(4) 圖 (4)
(5) 圖 (5)

載入中...

方程式

sin x = \frac{x}{12}

的實根個數為幾個？

(1) $7$
(2) $8$
(3) $9$
(4) $10$
(5) $11$

下列哪一個數值最小？

(1) $sin 1$
(2) $sin 2$
(3) $sin 3$
(4) $sin 4$
(5) $sin 5$

如圖最有可能是下列哪一個函數的圖形？

(1) $y = sin 2 x$
(2) $y = \frac{1}{2} sin 2 x$
(3) $y = 2 sin \frac{x}{2}$
(4) $y = sin \frac{x}{2}$
(5) $y = sin x$

載入中...

下列哪一個函數的週期為

\frac{π}{2}

？

(1) $y = sin \frac{x}{2}$
(2) $y = sin 2 x$
(3) $y = 2 sin x$
(4) $y = 2 sin 4 x$
(5) $y = 2 sin \frac{x}{4}$

若函數

y = a^{x}

的圖形如下圖，則

y = a x^{2} - x

的函數圖形可能為下列何者？

(1) 圖 (1)
(2) 圖 (2)
(3) 圖 (3)
(4) 圖 (4)
(5) 圖 (5)

載入中...

實驗室裡的培養皿中有某種細菌

100

隻，以每兩個小時增加

5%

的速率開始繁殖。如果繁殖速率不變，則

400

個小時後細菌的數量為多少隻？

(1) $100 \times (1 + 5% \times 200)$ 隻
(2) $100 \times (1 + 5% \times 400)$ 隻
(3) $100 \times 5% \times 200$ 隻
(4) $100 \times (1 + 5%)^{200}$ 隻
(5) $100 \times (1 + 5%)^{400}$ 隻

點

A (cos 4, sin 4)

落在坐標平面上何處？

(1) 第一象限
(2) 第二象限
(3) 第三象限
(4) 第四象限
(5) 坐標軸上

二、多選題 (每題5分)

設

f (x) = a^{x}

，

g (x) = a^{- x}

，其中

a > 1

，選出正確的選項：

(1) 對任意實數 $x_{1}$ 與 $x_{2}$ ，函數 $g (x)$ 滿足 $g (x_{1} + x_{2}) = g (x_{1}) \cdot g (x_{2})$
(2) $y = f (x)$ 和 $y = g (x)$ 的圖形對稱於 $y$ 軸
(3) $y = f (x)$ 和 $y = g (x)$ 的兩圖形恰交於一點 $(0, 1)$
(4) $y = g (x)$ 的圖形當 $x$ 愈來愈大時，相對應的 $y$ 值也愈來愈大
(5) $f (x) \cdot g (x) = 1$

設

f (x) = sin (3 (x - \frac{π}{6})) + 5

，其中

\frac{π}{12} \leq x \leq \frac{5 π}{9}

，當

x = α

時，

f (x)

有最大值

M

；當

x = β

時，

f (x)

有最小值

m

。則下列哪些選項正確？

(1) $α - β = \frac{2 π}{9}$
(2) $β = \frac{5 π}{9}$
(3) $M = 5 + \frac{3}{2}$
(4) $m = \frac{9}{2}$
(5) $f (\frac{5 π}{18}) = f (\frac{7 π}{18})$

設

sin θ = - \frac{3}{5}

，且

θ

為第四象限角，試選出正確的選項。

(1) $cos θ = \frac{4}{5}$
(2) $tan θ = - \frac{4}{3}$
(3) $sin (π + θ) = \frac{3}{5}$
(4) $cos (\frac{π}{2} + θ) = \frac{3}{5}$
(5) $tan (θ - π) = \frac{3}{4}$

關於函數

f (x) = 3 sin x - 1

的敘述，試選出正確的選項。

(1) 最大值為 $3$
(2) 最小值為 $- 4$
(3) 週期為 $2 π$
(4) 振幅為 $3$
(5) 頻率為 $\frac{1}{2 π}$

三、選填題 (每題4分)

（卷面 A）試求

sin \frac{7}{6} π =

____。（原卷的答案格式為

\frac{( 15 ) ( 16 )}{( 17 )}

）

（卷面 B）試求

cos \frac{5}{6} π =

____。（原卷的答案格式為

\frac{( 18 ) ( 19 )}{( 20 )}

）

（卷面 C）若一角的弳度為

60

，已知其最小的正同界角為

a - bπ

弳度，

a

、

b

均為正整數，則

a + b =

____。（原卷的答案格式為

(21) (22)

）

（卷面 D）如附圖，直圓錐底面直徑

\overline{B C} = 4

，且

\overline{A B} = 12

，若一隻螞蟻由

C

點沿錐面繞一圈到

D

點，已知

\overline{A D} = 6

，求這隻螞蟻所走的最短路徑長為 ____。（原卷的答案格式為

(23) (24)

）

載入中...

（卷面 E）設

\frac{π}{2} \leq x \leq π

，若

sin 2 x \leq - \frac{1}{2}

，

x

的範圍為

aπ \leq x \leq bπ

，則

b - a =

____（化為最簡分數）。（原卷的答案格式為

\frac{( 25 )}{( 26 )}

）

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(5)

第 2 題(1)（學校的解答印作 (A)，卷面選項是 (1)～(5)；

2 π

是第一個選項）

第 3 題(4)

第 4 題(1)

第 5 題(5)

第 6 題(2)

第 7 題(4)

第 8 題(1)

第 9 題(4)

第 10 題(3)

第 11 題(1)(2)(3)(5)

第 12 題(5)

第 13 題(1)(3)(4)

第 14 題(2)(3)(4)(5)

第 15 題

- \frac{1}{2}

第 16 題

- \frac{3}{2}

第 17 題

78

第 18 題

63

第 19 題

\frac{1}{3}

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

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還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選第 1～3 題：比較大小、扇形、指數函數圖形的平移

第 1 題答案 (5)。把三個數都寫成以

2

為底。

0.5 = 2^{- 1}

，所以

b = (2^{- 1})^{0.5} = 2^{- 0.5}

。三個數的指數分別是

3 \approx 1.73

、

- 0.5 \approx - 0.71

、

- 3 \approx - 1.73

。因為底數

2

大於

1

，

y = 2^{x}

是遞增函數，指數愈大、值愈大。指數的大小是

- 3 < - 0.5 < 3

，所以

c < b < a

。

近似值：

a \approx 3.32

，

b \approx 0.61

，

c \approx 0.30

。底數不同時先化成同底數再比指數。

第 2 題答案 (1)。扇形面積

= \frac{1}{2} \times

半徑

\times

弧長。設弧長為

s

，則

\frac{1}{2} \times 10 \times s = 10 π

，解得

s = 2 π

。

也可以先求圓心角：面積

= \frac{1}{2} r^{2} θ

，即

50 θ = 10 π

，得圓心角是

\frac{π}{5}

弧度，弧長

= r θ = 10 \times \frac{π}{5} = 2 π

。學校的解答這一題印作 (A)，卷面的選項是 (1)～(5)，沒有 (A)；

2 π

是五個選項裡的第一個，所以本頁寫 (1)。

第 3 題答案 (4)。底數

\frac{2}{π} \approx 0.64

，在

0

與

1

之間，所以

y = (\frac{2}{π})^{x}

是遞減函數，圖形通過

(0, 1)

，愈往右愈貼近

x

軸。再加

1

就是把整個圖形向上平移

1

單位：仍然是遞減，通過

(0, 2)

，愈往右愈貼近水平線

y = 1

。五個圖裡只有圖 (4) 同時符合「遞減」「通過

(0, 2)

」「貼近

y = 1

」。

圖 (1) 沒有向上平移（通過

(0, 1)

、貼近

x

軸）；圖 (2)、圖 (3) 是遞增的；圖 (5) 貼近的是鉛直線，不是指數函數的圖形。

y = a^{x} + k

的圖形：底數決定遞增或遞減，

k

決定通過

(0, 1 + k)

與貼近哪一條水平線。

02單選第 4～7 題：數交點、弧度角的正弦值、由圖形認函數、週期

第 4 題答案 (1)。實根的個數就是

y = sin x

與直線

y = \frac{x}{12}

兩個圖形的交點個數。

sin x

的值在

- 1

與

1

之間，而

x > 12

時直線的高度超過

1

，所以交點只會出現在

- 12 \leq x \leq 12

。

π \approx 3.14

，

3 π \approx 9.42

，

4 π \approx 12.57

，所以

12

落在

3 π

與

4 π

之間。先看

x > 0

。在

0 < x < π

：正弦曲線從原點出發時比直線高（例如

x = \frac{π}{2}

時

sin x = 1

，直線高度只有約

0.13

），到

x = π

時

sin x = 0

比直線低，中間交

1

次。在

π \leq x \leq 2 π

：

sin x \leq 0

，直線在

x

軸上方，沒有交點。在

2 π < x < 3 π

：兩端

sin x = 0

都比直線低，但正中間

x = \frac{5 π}{2} \approx 7.85

時

sin x = 1

，直線高度約

0.65

，曲線鼓到直線上方再回來，交

2

次。在

3 π \leq x \leq 12

：

sin x \leq 0

，沒有交點。所以

x > 0

有

3

個交點。兩個圖形都對稱於原點，所以

x < 0

也有

3

個交點；再加上原點（

x = 0

時兩邊都是

0

），共

3 + 3 + 1 = 7

個。

三個正根大約是

x \approx 2.90

、

6.90

、

8.62

。容易漏掉原點，或是把

3 π

到

4 π

之間也算進去（那一段正弦值是負的）。

第 5 題答案 (5)。用

π \approx 3.14

估計：

\frac{π}{2} \approx 1.57

，

\frac{3 π}{2} \approx 4.71

，

2 π \approx 6.28

。

1

、

2

、

3

弧度都在

0

與

π

之間，正弦值是正的；

4

與

5

弧度都在

π

與

2 π

之間，正弦值是負的，所以最小的一定是

sin 4

或

sin 5

。正弦函數在

x = \frac{3 π}{2} \approx 4.71

降到最低點

- 1

，而且圖形在最低點左右對稱，離

4.71

愈近的值愈小。

4

與

4.71

相差約

0.71

，

5

與

4.71

相差約

0.29

，

5

比較近，所以

sin 5 < sin 4

，最小的是

sin 5

。

近似值：

sin 1 \approx 0.84

，

sin 2 \approx 0.91

，

sin 3 \approx 0.14

，

sin 4 \approx - 0.76

，

sin 5 \approx - 0.96

。這裡的

1

～

5

沒有度的記號，單位是弧度。

第 6 題答案 (2)。先看週期：圖形在原點由下往上穿過

x

軸，下一次由下往上穿過是在

x = π

（中間在

x = \frac{π}{2}

由上往下穿過一次），所以週期是

π

。

y = sin b x

的週期是

\frac{2 π}{b}

，週期

π

對應

b = 2

，只剩選項 (1) 與 (2)。再看振幅：圖上波的最高點明顯低於

y

軸上標

1

的刻度，最低點也沒有降到

- 1

，所以振幅小於

1

。

y = sin 2 x

的振幅是

1

，

y = \frac{1}{2} sin 2 x

的振幅是

\frac{1}{2}

，所以選 (2)。

選項 (3)(4) 的週期是

4 π

，選項 (5) 的週期是

2 π

，在

0

與

π

之間都不會回到

x

軸兩次。

第 7 題答案 (4)。

y = a sin b x

（

b > 0

）的週期是

\frac{2 π}{b}

，和前面的係數

a

無關。五個選項的週期依序是：(1)

2 π \div \frac{1}{2} = 4 π

；(2)

\frac{2 π}{2} = π

；(3)

2 π

；(4)

\frac{2 π}{4} = \frac{π}{2}

；(5)

2 π \div \frac{1}{4} = 8 π

。週期是

\frac{π}{2}

的是 (4)。

sin

前面乘的數只改變振幅，

x

前面乘的數才改變週期。

y = a sin b x

（

a > 0

，

b > 0

）：振幅

a

、週期

\frac{2 π}{b}

。數方程式的根就是數兩個圖形的交點。

03單選第 8～10 題：底數與拋物線、成長模型、4 弧度在第幾象限

第 8 題答案 (1)。題目的圖裡

y = a^{x}

愈往右愈高，是遞增函數，所以底數

a > 1

。

y = a x^{2} - x = x (a x - 1)

。因為

a > 0

，拋物線開口向上；令

y = 0

得

x = 0

或

x = \frac{1}{a}

，所以圖形與

x

軸交於原點與

(\frac{1}{a}, 0)

。由

a > 1

得

0 < \frac{1}{a} < 1

，第二個交點在原點右邊、而且在

1

的左邊。符合的是圖 (1)。

圖 (2) 的第二個交點在

1

與

2

之間，那需要

\frac{1}{2} < a < 1

；圖 (3)、圖 (4) 的另一個交點在原點左邊，需要

a < 0

；圖 (5) 開口向下，也需要

a < 0

。這些都和

a > 1

不合。

第 9 題答案 (4)。每兩個小時增加

5%

，就是每過兩個小時數量變成原來的

(1 + 5%)

倍。

400

個小時共有

400 \div 2 = 200

個「兩小時」，所以要連乘

200

次：數量

= 100 \times (1 + 5%)^{200}

隻。

選項 (1)(2) 是每次都只加上「最初

100

隻的

5%

」，沒有把新長出來的細菌也算進去繁殖；選項 (5) 把次數算成

400

次，那是每小時增加

5%

的算法。

第 10 題答案 (3)。

π \approx 3.14

，

\frac{3 π}{2} \approx 4.71

，所以

π < 4 < \frac{3 π}{2}

，

4

弧度是第三象限角。第三象限角的餘弦值與正弦值都是負的，所以點

A (cos 4, sin 4)

的兩個坐標都是負數，落在第三象限。

(cos θ, sin θ)

就是角

θ

的終邊與單位圓的交點，角在第幾象限，點就在第幾象限。近似值：

cos 4 \approx - 0.65

，

sin 4 \approx - 0.76

。

每隔固定時間變成固定倍數，就是指數成長：先數「經過幾個週期」，再把倍數連乘那麼多次。

04多選第 11、12 題：兩個指數函數的關係、一段範圍內的最大值與最小值

第 11 題答案 (1)(2)(3)(5)。 (1) 正確。 由指數律，

g (x_{1} + x_{2}) = a^{- (x_{1} + x_{2})} = a^{- x_{1}} \cdot a^{- x_{2}} = g (x_{1}) \cdot g (x_{2})

。 (2) 正確。

g (x) = a^{- x} = f (- x)

。若點

(p, q)

在

y = f (x)

的圖形上，則

q = a^{p} = a^{- (- p)} = g (- p)

，點

(- p, q)

就在

y = g (x)

的圖形上，這兩個點對稱於

y

軸，所以兩個圖形對稱於

y

軸。 (3) 正確。 交點滿足

a^{x} = a^{- x}

，底數相同（且

a \neq = 1

），所以

x = - x

，只有

x = 0

，這時

y = a^{0} = 1

。兩圖形恰交於一點

(0, 1)

。 (4) 錯誤。

g (x) = a^{- x} = (\frac{1}{a})^{x}

，因為

a > 1

，底數

\frac{1}{a}

在

0

與

1

之間，

g (x)

是遞減函數，

x

愈大時

y

值愈小。 (5) 正確。

f (x) \cdot g (x) = a^{x} \cdot a^{- x} = a^{x - x} = a^{0} = 1

。

y = a^{x}

與

y = (\frac{1}{a})^{x}

的圖形對稱於

y

軸，一個遞增、一個遞減。

第 12 題答案 (5)。令

t = 3 (x - \frac{π}{6})

，則

f (x) = sin t + 5

。先把

t

的範圍算出來：

x = \frac{π}{12}

時

t = 3 \times (- \frac{π}{12}) = - \frac{π}{4}

；

x = \frac{5 π}{9}

時

t = 3 \times \frac{7 π}{18} = \frac{7 π}{6}

。所以

- \frac{π}{4} \leq t \leq \frac{7 π}{6}

。看

y = sin t

在這一段的圖形：從

t = - \frac{π}{4}

（值是

- \frac{2}{2}

）一路上升到

t = \frac{π}{2}

的最高點

1

，再一路下降到

t = \frac{7 π}{6}

（值是

- \frac{1}{2}

）。最大值在

t = \frac{π}{2}

，即

x = \frac{π}{6} + \frac{π}{6} = \frac{π}{3}

，所以

α = \frac{π}{3}

，

M = 1 + 5 = 6

。最小值要比較兩個端點：

- \frac{2}{2} \approx - 0.707

比

- \frac{1}{2}

小，所以最小值在左端點

t = - \frac{π}{4}

，即

β = \frac{π}{12}

，

m = 5 - \frac{2}{2}

。 (1) 錯誤。

α - β = \frac{π}{3} - \frac{π}{12} = \frac{π}{4}

，不是

\frac{2 π}{9}

。 (2) 錯誤。

β = \frac{π}{12}

。右端點

x = \frac{5 π}{9}

的函數值是

5 - \frac{1}{2} = \frac{9}{2}

，比左端點的

5 - \frac{2}{2} \approx 4.29

大，不是最小值。 (3) 錯誤。

M = 6

。 (4) 錯誤。

m = 5 - \frac{2}{2}

，不是

\frac{9}{2}

。 (5) 正確。

x = \frac{5 π}{18}

時

t = 3 \times \frac{2 π}{18} = \frac{π}{3}

；

x = \frac{7 π}{18}

時

t = 3 \times \frac{4 π}{18} = \frac{2 π}{3}

。

sin \frac{π}{3} = sin \frac{2 π}{3} = \frac{3}{2}

，所以兩個函數值相等（都是

5 + \frac{3}{2}

）。

\frac{5 π}{18}

與

\frac{7 π}{18}

的平均是

\frac{π}{3}

，剛好是最高點的位置，圖形在最高點左右對稱，所以這兩點的函數值相等。選項 (2)(4) 是只看右端點會得到的結果，左端點也要算。

求

sin (\dots)

在一段範圍內的最大最小值：先算出括號裡的角度範圍，再看正弦函數在那一段的圖形，兩個端點都要比。

05多選第 13、14 題：第四象限角的三角函數值、正弦型函數的各項性質

第 13 題答案 (1)(3)(4)。設

θ

的終邊與單位圓交於點

P (cos θ, sin θ)

。 (1) 正確。

cos^{2} θ = 1 - sin^{2} θ = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}

；第四象限角的餘弦值是正的，所以

cos θ = \frac{4}{5}

。 (2) 錯誤。

tan θ = \frac{sin θ}{cos θ} = \frac{- \frac{3}{5}}{\frac{4}{5}} = - \frac{3}{4}

，不是

- \frac{4}{3}

。 (3) 正確。 角

π + θ

的終邊是把

θ

的終邊再轉半圈，與單位圓的交點是

P

對原點的對稱點

(- cos θ, - sin θ)

，所以

sin (π + θ) = - sin θ = \frac{3}{5}

。 (4) 正確。 角

\frac{π}{2} + θ

的終邊是把

θ

的終邊再逆時針轉

9 0^{\circ}

；點

(x, y)

繞原點逆時針轉

9 0^{\circ}

會到

(- y, x)

，所以交點是

(- sin θ, cos θ)

，

cos (\frac{π}{2} + θ) = - sin θ = \frac{3}{5}

。 (5) 錯誤。

θ - π

與

θ

相差半圈，終邊與單位圓的交點是

(- cos θ, - sin θ)

，所以

tan (θ - π) = \frac{- sin θ}{- cos θ} = tan θ = - \frac{3}{4}

，不是

\frac{3}{4}

。

這一題的

θ

可以想成邊長

3

、

4

、

5

的直角三角形放在第四象限：

P (\frac{4}{5}, - \frac{3}{5})

。

第 14 題答案 (2)(3)(4)(5)。

sin x

的值在

- 1

與

1

之間。 (1) 錯誤。 最大值是

3 \times 1 - 1 = 2

，不是

3

。 (2) 正確。 最小值是

3 \times (- 1) - 1 = - 4

。 (3) 正確。

x

的係數是

1

，週期與

y = sin x

相同，是

2 π

；乘

3

與減

1

都不改變週期。 (4) 正確。 振幅是最大值與最小值之差的一半：

\frac{2 - ( - 4 )}{2} = 3

。 (5) 正確。 頻率是週期的倒數，

\frac{1}{2 π}

。

減

1

是把圖形向下平移

1

單位，會改變最大值與最小值，但不改變振幅與週期。

y = a sin b x + d

（

a > 0

，

b > 0

）：最大值

a + d

、最小值

- a + d

、振幅

a

、週期

\frac{2 π}{b}

、頻率是週期的倒數。

06選填第 15～17 題（卷面 A～C）：特殊角、同界角

第 15 題

\frac{7}{6} π

是

21 0^{\circ}

，在第三象限，正弦值是負的；它比

18 0^{\circ}

多

3 0^{\circ}

，所以

sin 21 0^{\circ} = - sin 3 0^{\circ} = - \frac{1}{2}

。

答案格式的 (15) 是負號，(16) 是

1

，(17) 是

2

。

第 16 題

\frac{5}{6} π

是

15 0^{\circ}

，在第二象限，餘弦值是負的；它比

18 0^{\circ}

少

3 0^{\circ}

，所以

cos 15 0^{\circ} = - cos 3 0^{\circ} = - \frac{3}{2}

。

答案格式的 (18) 是負號，(19) 是

3

，(20) 是

2

。

第 17 題同界角相差

2 π

的整數倍，所以

60

弧度的同界角都可以寫成

60 - 2 k π

（

k

是整數）。要找其中最小的正數：

2 π \approx 6.283

，

60 \div 6.283 \approx 9.55

，所以最多可以減去

9

個

2 π

。

60 - 18 π \approx 60 - 56.55 = 3.45

是正的；再減一個

2 π

就變成負的。所以最小的正同界角是

60 - 18 π

，

a = 60

，

b = 18

，

a + b = 78

。

b

一定是偶數（減的是

2 π

的整數倍）。

60 - 18 π \approx 3.45

在

0

與

2 π

之間。

特殊角先換成度、看在第幾象限定正負號，再用它與

18 0^{\circ}

相差的銳角求值。

07選填第 18、19 題（卷面 D、E）：圓錐側面的最短路徑、正弦不等式

第 18 題把圓錐的側面沿母線

\overline{A C}

剪開、攤平，會得到一個扇形：圓心是

A

，半徑是母線長

12

（

\overline{A B} = \overline{A C} = 12

），弧長等於底面的圓周長

2 π \times 2 = 4 π

（底面半徑是

\overline{B C}

的一半，等於

2

）。扇形的圓心角等於弧長除以半徑：

\frac{4 π}{12} = \frac{π}{3}

，也就是

6 0^{\circ}

。剪開以後，母線

\overline{A C}

變成扇形的兩條邊。螞蟻從一條邊的端點

C

出發，繞錐面一圈後到達另一條邊上的

D

（由圖，

D

在母線

\overline{A C}

上，

\overline{A D} = 6

）。攤平後最短的路徑是連接這兩點的直線段。在三角形

A C D

中，

\overline{A C} = 12

，

\overline{A D} = 6

，夾角

6 0^{\circ}

。由餘弦定理，

\overline{C D}^{2} = 1 2^{2} + 6^{2} - 2 \times 12 \times 6 \times cos 6 0^{\circ} = 144 + 36 - 72 = 108

，所以

\overline{C D} = 108 = 63

。

也可以不用餘弦定理：夾角

6 0^{\circ}

、兩邊是

12

與

6

（剛好

2 : 1

），這是

3 0^{\circ}

–

6 0^{\circ}

–

9 0^{\circ}

的直角三角形，直角在

D

，所以

\overline{C D} = 63

。弧長要用底面的「半徑」

2

去算圓周，不是直徑

4

。

第 19 題令

t = 2 x

。由

\frac{π}{2} \leq x \leq π

得

π \leq t \leq 2 π

，題目變成在這個範圍內解

sin t \leq - \frac{1}{2}

。在

π \leq t \leq 2 π

，

sin t = - \frac{1}{2}

的解是

t = \frac{7 π}{6}

與

t = \frac{11 π}{6}

。由

y = sin t

的圖形，這兩個角之間圖形在水平線

y = - \frac{1}{2}

的下方（最低點

t = \frac{3 π}{2}

在中間），所以解是

\frac{7 π}{6} \leq t \leq \frac{11 π}{6}

。換回

x

（除以

2

）：

\frac{7 π}{12} \leq x \leq \frac{11 π}{12}

。所以

a = \frac{7}{12}

，

b = \frac{11}{12}

，

b - a = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}

。

這個範圍確實落在

\frac{π}{2} \leq x \leq π

裡面。解完

t

的範圍要記得除以

2

才是

x

的範圍。

錐面上的最短路徑：把側面攤平成扇形，圓心角等於底面圓周長除以母線長，最短路徑是扇形上的直線段。

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第 4 題：把正弦曲線與一條通過原點的斜直線畫在一起數交點，直線高度超過 1 之後就不會再相交，左右對稱再加上原點共 7 個。第 12 題：先把括號裡的角度範圍算出來再看正弦函數的圖形，最小值出現在左端點，不是右端點。選填 D（本頁第 18 題）：把圓錐側面沿一條母線剪開攤平成扇形，最短路徑是扇形上的一條直線段。選填 E（本頁第 19 題）：先把兩倍角的範圍寫出來，解完再除以 2。詳解逐題寫在本頁。

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興大附中 114 上高二第一次段考數學試題、答案與詳解

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02單選第 4～7 題：數交點、弧度角的正弦值、由圖形認函數、週期

03單選第 8～10 題：底數與拋物線、成長模型、4 弧度在第幾象限

04多選第 11、12 題：兩個指數函數的關係、一段範圍內的最大值與最小值

05多選第 13、14 題：第四象限角的三角函數值、正弦型函數的各項性質

06選填第 15～17 題（卷面 A～C）：特殊角、同界角

07選填第 18、19 題（卷面 D、E）：圓錐側面的最短路徑、正弦不等式

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興大附中 114 上 高二第一次段考數學的答案在哪裡？

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興大附中 114 上
高二第一次段考
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