段考詳解範圍：三角函數(弧度量、三角函數的圖形、和差角與倍角半角公式、正餘弦的疊合)

林口高中 114 上
高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

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01 · 試題

原卷 21 題，照原卷順序

單一選擇題 6 題（24 分）、多重選擇題 5 題（30 分）、填充題 10 題共 14 格（46 分）

一、單一選擇題（每題 4 分，共 24 分。）

標準位置角

\frac{5 π}{4}

弳位於下列哪一選項？

(1) 第一象限
(2) 第二象限
(3) 第三象限
(4) 第四象限
(5) $x$ 軸上

下列選項中的公式何者為正確的？

(1) $sin θ = 2 cos^{2} θ - 1$
(2) $cos (α + β) = cos α cos β + sin α sin β$
(3) $sin 2 θ = sin \frac{θ}{2} cos \frac{θ}{2}$
(4) $cos 2 θ = cos^{2} θ - sin^{2} θ$
(5) $2 sin^{2} \frac{θ}{2} = 1 + cos θ$

試比較

a = sin 3 0^{\circ}

、

b = sin 2

、

c = sin (\frac{5 π}{4})

的大小關係為下列何者？

(1) $c > b > a$
(2) $a > b > c$
(3) $b > c > a$
(4) $c > a > b$
(5) $b > a > c$

函數

y = - 2 tan x + 3

的圖形為下列哪一個選項？

(1) 圖 (1)：過 $(0, 0)$ 與 $(\frac{π}{4}, 1)$ ，漸近線 $x = \pm \frac{π}{2}$ ，由左下往右上
(2) 圖 (2)：過 $(0, 0)$ 與 $(\frac{π}{4}, 2)$ ，漸近線 $x = \pm \frac{π}{2}$ ，由左下往右上
(3) 圖 (3)：過 $(0, 0)$ 與 $(\frac{π}{8}, 1)$ ，漸近線 $x = \pm \frac{π}{4}$ 、 $x = \pm \frac{3 π}{4}$ ，由左下往右上
(4) 圖 (4)：過 $(0, 3)$ 與 $(\frac{π}{4}, 1)$ ，漸近線 $x = \pm \frac{π}{2}$ ，由左上往右下（圖上另標出原點）
(5) 圖 (5)：過 $(0, 0)$ 與 $(\frac{π}{8}, - 1)$ ，漸近線 $x = \pm \frac{π}{4}$ 、 $x = \pm \frac{3 π}{4}$ ，由左上往右下

載入中...

試求方程式

sin x = \frac{x}{10}

的實數解個數為下列何者？

(1) $0$ 個
(2) $1$ 個
(3) $3$ 個
(4) $5$ 個
(5) $7$ 個

試求

(tan 3 5^{\circ} - 1) (tan 8 0^{\circ} + 1)

的值為下列何者？

(1) $2$
(2) $- 2$
(3) $0$
(4) $- 1$
(5) $1$

二、多重選擇題（每題 6 分，錯一個選項得 4 分，錯兩個選項得 2 分，錯三個以上或不作答得 0 分。共 30 分。）

下列各函數的週期，何者為

\frac{π}{2}

？

(1) $y = 3 sin (\frac{1}{2} x)$
(2) $y = cos (4 x) - 5$
(3) $y = - tan (\frac{π}{2} x)$
(4) $y = sin (2 x + \frac{π}{3})$
(5) $y = tan (2 x - \frac{π}{4})$

已知

sin θ = - \frac{5}{3}

且

27 0^{\circ} < θ < 36 0^{\circ}

，請選出正確選項。

(1) $tan θ = - \frac{2 5}{5}$
(2) $sin 2 θ = - \frac{4 5}{9}$
(3) $cos 2 θ = \frac{1}{9}$
(4) $sin \frac{θ}{2} = \frac{6}{6}$
(5) $cos \frac{θ}{2} = - \frac{5 6}{6}$

在

0 \leq x \leq 2 π

範圍內，試求下列哪些選項為不等式

sin (x + \frac{π}{4}) + cos (x - \frac{π}{4}) < 0

的解？

(1) $\frac{2 π}{3}$
(2) $\frac{5 π}{6}$
(3) $\frac{5 π}{3}$
(4) $\frac{7 π}{4}$
(5) $\frac{11 π}{6}$

如右圖，若已知扇形

A O D

的半徑及正方形

O A B C

的邊長都是

2

，且

A D

弧長等於

4

，請選出正確的選項。

(1) $∠ A O D = 2$
(2) $∠ C O D = 2 - π$
(3) $C D$ 弧長為 $4 - \frac{π}{2}$
(4) 扇形 $C O D$ 的面積為 $4 - π$
(5) 正方形 $O A B C$ 中的白色區域面積為 $2 - π$

載入中...

假設函數

y = - \frac{3}{2} (2 sin x + 6 cos x)

，試選出正確選項。

(1) 振幅為 $32$
(2) 週期為 $3 π$
(3) 函數圖形過一點 $(0, - \frac{3 6}{2})$
(4) 最小值為 $- 22$
(5) 圖形對稱於 $x = \frac{π}{6}$

三、填充題（每格全對才給分，依答案卷上配分表給分，共 46 分。）｜配分表（答對格數→得分）：1→5、2→10、3→15、4→19、5→23、6→27、7→30、8→33、9→36、10→38、11→40、12→42、13→44、14→46

設

sin θ + cos θ = \frac{4}{3}

，則

sin 2 θ =

____。

右圖為函數

y = f (x) = a sin (b x) + c

在某一個週期內的圖形，其中

a

、

b

、

c

是常數，且

a > 0

、

b > 0

，則 (1)

a =

____，(2)

b =

____，(3)

c =

____。

載入中...

在

△ A B C

中，已知

cos A = - \frac{12}{13}

，

cos B = \frac{3}{5}

，則 (1)

sin A =

____ (2)

cos C =

____。

在

0 \leq x \leq 2 π

範圍內，不等式

- \frac{1}{2} \leq sin x \leq 0

的解範圍分別為

aπ \leq x \leq bπ

、

c π \leq x \leq 2 π

，則

a + b + c =

____。

若兩直線

L_{1} : 2 x - y + 1 = 0

與

L_{2} : 5 x + y - 8 = 0

的夾角為

θ

，則

tan θ =

____。（有兩解）

10

點

15

分時，時鐘上的時針與分針所夾的較小角為 ____ 徑。（請化為最簡分數）

設

\frac{π}{4} \leq x \leq π

，試求函數

y = sin x + cos x

的 (1) 最大值為 ____，(2) 此時的

x

為 ____ 徑。

將一直圓錐的側面沿斜高

R

剪開成一扇形，可得此剪開之扇形圓心角為

\frac{14 π}{11}

徑。從圓錐的頂點到底面所在平面的距離即為圓錐的高

h

，已知底圓半徑為

7

，試求此高

h

的長度為 ____。

載入中...

如右圖，將矩形紙張

A B C D

的右下角沿

\overline{E F}

摺起，恰使得

A

點落在

\overline{B C}

邊的

G

點上。設

∠ A E F = θ

，且已知

\overline{E F} = 5

，隨著角度改變，四邊形

A E GF

的周長也會隨之變化，而四邊形

A E GF

的周長之最大值為 ____。

載入中...

承上題，四邊形

A E GF

的周長有最大值時，將

A

、

G

相連形成一圓弧

A G

，則此時扇形

E A G

的面積為 ____。

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(3)

第 2 題(4)

第 3 題(5)

第 4 題(4)

第 5 題(5)

第 6 題(2)

第 7 題(2)(5)

第 8 題(2)(4)

第 9 題(2)(3)

第 10 題(1)(4)

第 11 題(1)(3)(5)

第 12 題

\frac{7}{9}

第 13 題(1)

3

；(2)

2

；(3)

- 1

第 14 題(1)

\frac{5}{13}

；(2)

\frac{56}{65}

第 15 題

4

第 16 題

\pm \frac{7}{9}

第 17 題

\frac{19 π}{24}

第 18 題(1)

2

；(2)

\frac{π}{4}

第 19 題

62

第 20 題

102

第 21 題

\frac{25 π}{8}

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

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對完答案了？勾你錯的題號

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還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01弧度量、弧長與扇形面積

第 1 題

π < \frac{5 π}{4} < \frac{3 π}{2}

（也就是

22 5^{\circ}

），終邊落在第三象限，選 (3)。

第 10 題(1) 弧長＝半徑×圓心角（弧度），

4 = 2 \cdot ∠ A O D

，

∠ A O D = 2

，正確。(2)

∠ A O C = \frac{π}{2}

，所以

∠ C O D = 2 - \frac{π}{2}

，不是

2 - π

。(3)

C D

弧長

= 2 (2 - \frac{π}{2}) = 4 - π

，不是

4 - \frac{π}{2}

。(4) 扇形

C O D

面積

= \frac{1}{2} \cdot 2^{2} \cdot (2 - \frac{π}{2}) = 4 - π

，正確。(5) 正方形面積

4

，裡面塗色的四分之一圓面積

\frac{1}{4} \cdot π \cdot 2^{2} = π

，白色區域面積

4 - π

，不是

2 - π

。選 (1)(4)。

(2)(5) 的

2 - π

是負數，角度與面積不會是負的，可以直接排除。

第 17 題從

12

的位置順時針量：分針每分鐘走

6^{\circ}

，

15

分時在

9 0^{\circ}

；時針每小時走

3 0^{\circ}

、每分鐘走

0. 5^{\circ}

，

10

點

15

分時在

10 \times 3 0^{\circ} + 15 \times 0. 5^{\circ} = 307. 5^{\circ}

。兩針相差

217. 5^{\circ}

，較小的夾角是

36 0^{\circ} - 217. 5^{\circ} = 142. 5^{\circ}

。化成弧度：

142.5 \times \frac{π}{180} = \frac{285 π}{360} = \frac{19 π}{24}

。

第 19 題側面展開的扇形半徑是斜高

R

，弧長等於底圓周長：

R \cdot \frac{14 π}{11} = 2 π \cdot 7

，得

R = 11

。高、底圓半徑與斜高構成直角三角形，

h = 1 1^{2} - 7^{2} = 72 = 62

。

弧長

s = r θ

、扇形面積

\frac{1}{2} r^{2} θ

都要用弧度；圓錐側面展開後，扇形的弧長就是底圓周長。

02三角函數的圖形

第 3 題

a = sin 3 0^{\circ} = \frac{1}{2}

。

b = sin 2

的

2

是弧度：

\frac{π}{2} \approx 1.57 < 2 < \frac{5 π}{6} \approx 2.62

，正弦在

\frac{π}{2}

到

π

之間遞減，所以

sin 2 > sin \frac{5 π}{6} = \frac{1}{2}

。

c = sin \frac{5 π}{4} = - \frac{2}{2} < 0

。因此

b > a > c

，選 (5)。

第 4 題

x = 0

時

y = - 2 tan 0 + 3 = 3

；

x = \frac{π}{4}

時

y = - 2 + 3 = 1

。

tan x

乘上

- 2

後圖形上下翻轉，變成由左上往右下；

x

的係數是

1

，週期仍是

π

，漸近線仍是

x = \pm \frac{π}{2}

。五張圖中只有圖 (4) 過

(0, 3)

與

(\frac{π}{4}, 1)

且由左上往右下，選 (4)。

原卷圖 (4) 上高度

1

的那個點，旁邊印的坐標是

(\frac{π}{4}, 2)

；依圖上所畫的位置與函數值，該點是

(\frac{π}{4}, 1)

，本頁選項文字照所畫的位置寫。其餘四張圖依序是

y = tan x

、

y = 2 tan x

、

y = tan 2 x

、

y = - tan 2 x

。

第 5 題看

y = sin x

與直線

y = \frac{x}{10}

的交點。

- 1 \leq sin x \leq 1

，交點只會出現在

- 10 \leq x \leq 10

；而

3 π \approx 9.42 < 10 < \frac{7 π}{2} \approx 11.0

。先看

x > 0

：在

0 < x \leq π

，

x = \frac{π}{2}

時

1 > \frac{π}{20}

（曲線在直線上方），

x = π

時

0 < \frac{π}{10}

（曲線在下方），有

1

個交點。在

π < x < 2 π

，

sin x < 0 < \frac{x}{10}

，沒有交點。在

2 π \leq x \leq 3 π

，兩端

sin x = 0

在直線下方，中間

x = \frac{5 π}{2}

時

1 > \frac{π}{4} \approx 0.79

在直線上方，有

2

個交點。在

3 π < x \leq 10

，

sin x < 0

，沒有交點。所以

x > 0

有

3

個；兩個圖形都對稱於原點，

x < 0

也有

3

個；再加上

x = 0

，共

7

個，選 (5)。

x = 0

也是一個解，別漏算。

第 7 題

sin (k x)

、

cos (k x)

的週期是

\frac{2 π}{∣ k ∣}

，

tan (k x)

的週期是

\frac{π}{∣ k ∣}

；係數、上下平移、左右平移都不改變週期。(1)

\frac{2 π}{1/2} = 4 π

。(2)

\frac{2 π}{4} = \frac{π}{2}

。(3)

\frac{π}{π /2} = 2

。(4)

\frac{2 π}{2} = π

。(5)

\frac{π}{2}

。選 (2)(5)。

第 13 題圖形最高點高度

2

、最低點高度

- 4

。振幅

a = \frac{2 - ( - 4 )}{2} = 3

，中心線

c = \frac{2 + ( - 4 )}{2} = - 1

。圖上由

x = 0

到

x = π

剛好一個週期，

\frac{2 π}{b} = π

，

b = 2

。檢查：

f (\frac{π}{4}) = 3 sin \frac{π}{2} - 1 = 2

、

f (\frac{3 π}{4}) = 3 sin \frac{3 π}{2} - 1 = - 4

，與圖相符。

第 15 題

sin x \leq 0

在

0 \leq x \leq 2 π

內是

π \leq x \leq 2 π

（以及

x = 0

）。在

π \leq x \leq 2 π

中，

sin x = - \frac{1}{2}

的角是

\frac{7 π}{6}

與

\frac{11 π}{6}

，兩者之間

sin x < - \frac{1}{2}

，要去掉。所以解是

π \leq x \leq \frac{7 π}{6}

或

\frac{11 π}{6} \leq x \leq 2 π

，

a = 1

、

b = \frac{7}{6}

、

c = \frac{11}{6}

，

a + b + c = 4

。

題幹照原卷。嚴格說

x = 0

也滿足不等式（

sin 0 = 0

），原卷只列兩段區間，這裡依題目給的形式作答。

週期只看

x

的係數；由圖形讀函數時，振幅是最高與最低的差的一半，中心線是兩者的平均。

03和差角、倍角與半角公式

第 2 題(1)

2 cos^{2} θ - 1

是

cos 2 θ

，不是

sin θ

。(2)

cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β

，中間是減號。(3)

sin 2 θ = 2 sin θ cos θ

。(4)

cos 2 θ = cos^{2} θ - sin^{2} θ

，正確。(5) 半角公式是

2 sin^{2} \frac{θ}{2} = 1 - cos θ

。選 (4)。

第 6 題

8 0^{\circ} - 3 5^{\circ} = 4 5^{\circ}

，所以

tan 4 5^{\circ} = \frac{tan 8 0 ^{\circ} - tan 3 5 ^{\circ}}{1 + tan 8 0 ^{\circ} tan 3 5 ^{\circ}} = 1

，即

tan 8 0^{\circ} - tan 3 5^{\circ} = 1 + tan 8 0^{\circ} tan 3 5^{\circ}

。展開原式：

(tan 3 5^{\circ} - 1) (tan 8 0^{\circ} + 1) = tan 3 5^{\circ} tan 8 0^{\circ} - (tan 8 0^{\circ} - tan 3 5^{\circ}) - 1 = tan 3 5^{\circ} tan 8 0^{\circ} - (1 + tan 8 0^{\circ} tan 3 5^{\circ}) - 1 = - 2

，選 (2)。

第 8 題

θ

在第四象限，

cos θ = 1 - \frac{5}{9} = \frac{2}{3}

。(1)

tan θ = \frac{- 5 /3}{2/3} = - \frac{5}{2}

，不合。(2)

sin 2 θ = 2 \cdot (- \frac{5}{3}) \cdot \frac{2}{3} = - \frac{4 5}{9}

，正確。(3)

cos 2 θ = 1 - 2 sin^{2} θ = 1 - \frac{10}{9} = - \frac{1}{9}

，不合。(4)

13 5^{\circ} < \frac{θ}{2} < 18 0^{\circ}

在第二象限，

sin \frac{θ}{2} > 0

：

sin \frac{θ}{2} = \frac{1 - cos θ}{2} = \frac{1}{6} = \frac{6}{6}

，正確。(5)

cos \frac{θ}{2} < 0

：

cos \frac{θ}{2} = - \frac{1 + cos θ}{2} = - \frac{5}{6} = - \frac{30}{6}

，不合。選 (2)(4)。

(5) 的

- \frac{5 6}{6} \approx - 2.04

，餘弦值不會小於

- 1

。

第 12 題兩邊平方：

sin^{2} θ + 2 sin θ cos θ + cos^{2} θ = \frac{16}{9}

，即

1 + sin 2 θ = \frac{16}{9}

，

sin 2 θ = \frac{7}{9}

。

第 14 題題幹照原卷，依原卷參考答案的算法說明。(1)

A

是三角形的內角，

sin A > 0

：

sin A = 1 - \frac{144}{169} = \frac{5}{13}

。(2)

sin B = 1 - \frac{9}{25} = \frac{4}{5}

。

C = 18 0^{\circ} - (A + B)

，所以

cos C = - cos (A + B) = - cos A cos B + sin A sin B = \frac{12}{13} \cdot \frac{3}{5} + \frac{5}{13} \cdot \frac{4}{5} = \frac{36 + 20}{65} = \frac{56}{65}

。

原卷所給的數值其實湊不成三角形：

sin (A + B) = sin A cos B + cos A sin B = \frac{15}{65} - \frac{48}{65} = - \frac{33}{65} < 0

，表示

A + B > 18 0^{\circ}

（

A \approx 157. 4^{\circ}

、

B \approx 53. 1^{\circ}

）。題幹照印不改，答案是把

A

、

B

的值代入

cos C = - cos (A + B)

算出的結果，與原卷參考答案相同。

第 16 題

L_{1}

的斜率

m_{1} = 2

，

L_{2}

的斜率

m_{2} = - 5

。設兩直線的斜角為

θ_{1}

、

θ_{2}

，則

tan (θ_{1} - θ_{2}) = \frac{m _{1} - m _{2}}{1 + m _{1} m _{2}} = \frac{2 - ( - 5 )}{1 + 2 \cdot ( - 5 )} = - \frac{7}{9}

。兩直線相交所成的兩個角互補，正切值互為相反數，所以

tan θ = \pm \frac{7}{9}

。

半角公式開根號前先由角的範圍判斷正負；看到兩個角相差

4 5^{\circ}

的正切，先寫出差角公式再整理。

04正餘弦的疊合

第 9 題用和差角公式展開：

sin (x + \frac{π}{4}) = \frac{2}{2} (sin x + cos x)

，

cos (x - \frac{π}{4}) = \frac{2}{2} (cos x + sin x)

，兩項相同。原式變成

2 sin (x + \frac{π}{4}) < 0

。

0 \leq x \leq 2 π

時

\frac{π}{4} \leq x + \frac{π}{4} \leq \frac{9 π}{4}

，正弦為負的範圍是

π < x + \frac{π}{4} < 2 π

，即

\frac{3 π}{4} < x < \frac{7 π}{4}

。

\frac{2 π}{3} < \frac{3 π}{4}

不在內；

\frac{5 π}{6}

、

\frac{5 π}{3}

在內；

\frac{7 π}{4}

代入得

0

，不合；

\frac{11 π}{6} > \frac{7 π}{4}

不在內。選 (2)(3)。

第 11 題

(2)^{2} + (6)^{2} = 22

，

2 sin x + 6 cos x = 22 (\frac{1}{2} sin x + \frac{3}{2} cos x) = 22 sin (x + \frac{π}{3})

，所以

y = - 32 sin (x + \frac{π}{3})

。(1) 振幅

32

，正確。(2) 週期

2 π

，不合。(3)

x = 0

時

y = - \frac{3}{2} \cdot 6 = - \frac{3 6}{2}

，正確。(4) 最小值

- 32

，不合。(5)

x = \frac{π}{6}

時

x + \frac{π}{3} = \frac{π}{2}

，

y = - 32

是最低點；正弦型函數的圖形對稱於通過最高點或最低點的鉛直線，正確。選 (1)(3)(5)。

第 18 題

y = sin x + cos x = 2 sin (x + \frac{π}{4})

。

\frac{π}{4} \leq x \leq π

時

\frac{π}{2} \leq x + \frac{π}{4} \leq \frac{5 π}{4}

，在這個範圍內正弦由

1

一路遞減，最大值出現在左端

x + \frac{π}{4} = \frac{π}{2}

，即

x = \frac{π}{4}

，此時

y = 2

。

第 20 題摺起後

△ GE F

與

△ A E F

全等，

\overline{GE} = \overline{A E}

、

\overline{GF} = \overline{A F}

。

∠ E A F = 9 0^{\circ}

、

\overline{E F} = 5

、

∠ A E F = θ

，所以

\overline{A E} = 5 cos θ

、

\overline{A F} = 5 sin θ

。周長

= 2 (\overline{A E} + \overline{A F}) = 10 (sin θ + cos θ) = 102 sin (θ + \frac{π}{4})

。

θ = \frac{π}{4}

時

sin (θ + \frac{π}{4}) = 1

，周長最大值為

102

。

θ = \frac{π}{4}

時

\overline{A E} = \overline{A F}

，四邊形

A E GF

是邊長

\frac{5 2}{2}

的正方形。

第 21 題此時

θ = \frac{π}{4}

。扇形

E A G

以

E

為圓心，半徑

\overline{E A} = \overline{E G} = 5 cos \frac{π}{4} = \frac{5 2}{2}

；圓心角

∠ A E G = 2 θ = \frac{π}{2}

（摺痕

\overline{E F}

平分

∠ A E G

）。面積

= \frac{1}{2} \cdot (\frac{5 2}{2})^{2} \cdot \frac{π}{2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{25}{2} \cdot \frac{π}{2} = \frac{25 π}{8}

。

看到

a sin x + b cos x

先疊合成單一正弦；有範圍限制時，把角度範圍一起換過去再找極值。

同一次段考的其他學校

同樣是高二第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

你們學校的段考卷也想要詳解？

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上傳考卷

常見問題

林口高中 114 上高二第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 21 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

林口高中 114 上高二第一次段考數學哪幾題最容易錯？

第 5 題數交點時要用正弦值的範圍先框出左右邊界，原點也算一個解；第 8 題的半角要先判斷落在第二象限再決定正負；第 9 題兩項展開後其實相同，端點代入等於零不算解；第 20 題要看出摺起前後兩個三角形全等，周長才能寫成正弦加餘弦再疊合。詳解逐題寫在本頁。

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

題目取自林口高中 114 學年度上學期高二第一次段考數學A，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

林口高中 114 上高二第一次段考數學試題、答案與詳解

原卷 21 題，照原卷順序

答案一覽，先對再看詳解

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每一題，錯在哪一步

01弧度量、弧長與扇形面積

02三角函數的圖形

03和差角、倍角與半角公式

04正餘弦的疊合

同一次段考的其他學校

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常見問題

林口高中 114 上 高二第一次段考數學的答案在哪裡？

林口高中 114 上 高二第一次段考數學哪幾題最容易錯？

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林口高中 114 上
高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

林口高中 114 上高二第一次段考數學的答案在哪裡？

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