段考詳解範圍：週期性數學模型（弧度量、弧長與扇形面積、特殊弧度角的三角函數值、廣義角的換算、正弦函數的圖形與週期、圖形的平移）

苑裡高中 115 上
高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

Q: 苑裡高中 115 上 高二第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 37 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

Q: 苑裡高中 115 上 高二第一次段考數學哪幾題最容易錯？

複選第 3 題往左平移負的量就是往右平移，平移量差一個週期 2π 也成立，要選兩個；複選第 4 題要先把函數化成負的餘弦，對稱軸通過最高點與最低點，有三個選項；複選第 5 題七分之十三 π 是負七分之 π 的同界角，不是七分之 π 的；填充第 5 題要看出直角三角形斜邊是一股的兩倍，扇形圓心角是 30 度。詳解逐題寫在本頁。

Q: 我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

Q: 這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

原卷 37 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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題原卷全文

則逐題詳解

個單元，勾錯題號就知道錯在哪

元，不用註冊

01 · 試題

原卷 37 題，照原卷順序

全卷 37 題，共 100 分：配合題 21 題每題 2 分共 42 分，單選題 5 題每題 3 分共 15 分，複選題 5 題每題 4 分共 20 分，填充題 6 題共 23 分（答對 1 至 6 欄依序得 4、8、12、16、20、23 分）。本頁題號全卷連續：第 1～21 題是配合題第 1～21 題，第 22～26 題是單選題第 1～5 題，第 27～31 題是複選題第 1～5 題，第 32～37 題是填充題第 1～6 題。答案已與學校公布的答案逐題核對。

一、配合題，從下列 A~N 選項擇一填入各題。（每題 2 分，共 42 分）

配合題選項（第 1～21 題）　第 1～21 題各從下列 A～N 選項擇一填入： (A)

- 3

　(B)

3

　(C)

- 1

　(D)

1

　(E)

0

　(F)

- \frac{1}{2}

　(G)

\frac{1}{2}

(H)

- \frac{1}{2}

　(I)

\frac{1}{2}

　(J)

- \frac{3}{2}

　(K)

\frac{3}{2}

　(L)

- \frac{1}{3}

　(M)

\frac{1}{3}

　(N) 無解

sin \frac{π}{6}

sin \frac{π}{4}

sin \frac{π}{3}

sin \frac{π}{2}

sin π

sin \frac{3 π}{2}

sin 2 π

cos \frac{π}{6}

cos \frac{π}{4}

cos \frac{π}{3}

cos \frac{π}{2}

cos π

cos \frac{3 π}{2}

cos 2 π

tan \frac{π}{6}

tan \frac{π}{4}

tan \frac{π}{3}

tan \frac{π}{2}

tan π

tan \frac{3 π}{2}

tan 2 π

二、單選題（每題 3 分，共 15 分）

若函數

y = sin x

、

y = 2 sin x

、

y = sin x + 2

的最大值分別為

M_{1}

、

M_{2}

、

M_{3}

，則

M_{1}

、

M_{2}

、

M_{3}

的大小關係為何？

(A) $M_{1} = M_{2} = M_{3}$
(B) $M_{1} < M_{2} = M_{3}$
(C) $M_{1} < M_{2} < M_{3}$
(D) $M_{1} > M_{2} > M_{3}$
(E) $M_{1} > M_{2} = M_{3}$

比較

a = sin 8 6^{\circ}

、

b = sin 8 9^{\circ}

、

c = sin 9 2^{\circ}

的大小關係為何？

(A) $a > b > c$
(B) $c > b > a$
(C) $b > a > c$
(D) $b > c > a$
(E) $a > c > b$

若摩天輪的某一車廂的高度

y

（公尺）與時間

x

（分鐘）的關係式為

y = 30 sin b x + 31

且

b \neq = 0

，則此車廂的最大高度為多少公尺？

(A) $1$
(B) $30$
(C) $31$
(D) $41$
(E) $61$

若

\frac{55 π}{12} < θ < \frac{59 π}{12}

，則角

θ

位於第幾象限？

(A) 第一象限
(B) 第二象限
(C) 第三象限
(D) 第四象限
(E) 以上皆非

下列何者的圖形可由

y = sin x

的圖形向右平移

\frac{π}{4}

單位，再向上平移

2

單位後得到？

(A) $y = sin (x + \frac{π}{4}) + 2$
(B) $y = sin (x - \frac{π}{4}) - 2$
(C) $y = sin (x + \frac{π}{4}) - 2$
(D) $y = sin (x - \frac{π}{4}) + 2$
(E) $y = 2 sin (x - \frac{π}{4})$

三、複選題（每題 4 分，答錯一個選項扣 2 分，扣至該題 0 分為止，共 20 分）

下列選項哪些是正確的？

(A) $cos (\frac{π}{2} + θ) = cos θ$
(B) $cos (θ - \frac{π}{2}) = sin θ$
(C) $sin (π + θ) = - sin θ$
(D) $sin (π - θ) = - sin θ$
(E) $sin (\frac{3 π}{2} - θ) = cos θ$

關於函數

f (x) = sin x

，試問下列哪些選項正確？

(A) $- 1 \leq f (x) \leq 1$
(B) $f (x)$ 在 $x = π$ 時有最小值
(C) $f (x)$ 的週期為 $2 π$
(D) $f (x)$ 的圖形對稱於原點
(E) $f (x)$ 最小值只發生在 $x = \frac{3 π}{2}$

設函數

y = sin (x - \frac{2 π}{3})

的圖形可由

y = sin x

的圖形往左平移

h

單位後得到。試選出所有

h

可能的值。

(A) $\frac{2 π}{3}$
(B) $- \frac{2 π}{3}$
(C) $\frac{4 π}{3}$
(D) $- \frac{4 π}{3}$
(E) $\frac{3 π}{2}$

下列哪條直線為函數

f (x) = sin (x + \frac{3 π}{2})

圖形的一條對稱軸？

(A) $x = - π$
(B) $x = - \frac{π}{2}$
(C) $x = 0$
(D) $x = \frac{π}{2}$
(E) $x = π$

選出所有

\frac{π}{7}

弳的同界角。

(A) $- \frac{13 π}{7}$ 弳
(B) $- \frac{π}{7}$ 弳
(C) $\frac{8 π}{7}$ 弳
(D) $\frac{13 π}{7}$ 弳
(E) $\frac{15 π}{7}$ 弳

四、填充題（共 23 分）

將度轉換成以弳為單位：

- 10 5^{\circ} =

____（弳）。

設一扇形的半徑為

2

，面積為

5

，求此扇形圓心角為 ____（弳）。

已知

y = a sin (b x)

的週期為

\frac{π}{3}

，最大值為

5

，其中

a > 0

、

b > 0

，求

a \times b

。

半徑為

3

的圓輪轉動

\frac{2}{5}

圈，則轉動的圓心角

θ

為 ____（弳）。

載入中...

如圖，在長方形

A B C D

中，

\overline{A B} = 4

，

\overline{A D} = 8

，以

A

點為圓心，

\overline{A D}

為半徑畫弧交

\overline{B C}

於

E

，求鋪色部分的面積為何？

載入中...

設一扇形的周長為

20

，當此扇形面積為最大時，求半徑為何？

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(G)

\frac{1}{2}

第 2 題(I)

\frac{1}{2}

第 3 題(K)

\frac{3}{2}

第 4 題(D)

1

第 5 題(E)

0

第 6 題(C)

- 1

第 7 題(E)

0

第 8 題(K)

\frac{3}{2}

第 9 題(I)

\frac{1}{2}

第 10 題(G)

\frac{1}{2}

第 11 題(E)

0

第 12 題(C)

- 1

第 13 題(E)

0

第 14 題(D)

1

第 15 題(M)

\frac{1}{3}

第 16 題(D)

1

第 17 題(B)

3

第 18 題(N) 無解

第 19 題(E)

0

第 20 題(N) 無解

第 21 題(E)

0

第 22 題(C)

第 23 題(D)

第 24 題(E)

第 25 題(B)

第 26 題(D)

第 27 題(B)(C)

第 28 題(A)(C)(D)

第 29 題(B)(C)

第 30 題(A)(C)(E)

第 31 題(A)(E)

第 32 題

- \frac{7 π}{12}

第 33 題

\frac{5}{2}

第 34 題

30

第 35 題

\frac{4 π}{5}

第 36 題

32 - \frac{16 π}{3}

第 37 題

5

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

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還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01配合題第 1～7 題：特殊弧度角的正弦值

第 1 題

\frac{π}{6}

弳

= 3 0^{\circ}

，

sin \frac{π}{6} = sin 3 0^{\circ} = \frac{1}{2}

，選 (G)。

第 2 題

\frac{π}{4}

弳

= 4 5^{\circ}

，

sin \frac{π}{4} = \frac{2}{2} = \frac{1}{2}

，選 (I)。

\frac{2}{2}

與

\frac{1}{2}

相等（分子分母同乘

2

），選項寫的是

\frac{1}{2}

。

第 3 題

\frac{π}{3}

弳

= 6 0^{\circ}

，

sin \frac{π}{3} = \frac{3}{2}

，選 (K)。

第 4 題

\frac{π}{2}

弳

= 9 0^{\circ}

，終邊在

y

軸正向，單位圓上的點是

(0, 1)

，正弦是

y

坐標，

sin \frac{π}{2} = 1

，選 (D)。

第 5 題

π

弳

= 18 0^{\circ}

，單位圓上的點是

(- 1, 0)

，

sin π = 0

，選 (E)。

第 6 題

\frac{3 π}{2}

弳

= 27 0^{\circ}

，單位圓上的點是

(0, - 1)

，

sin \frac{3 π}{2} = - 1

，選 (C)。

第 7 題

2 π

弳

= 36 0^{\circ}

，轉一整圈回到

(1, 0)

，

sin 2 π = 0

，選 (E)。

終邊在坐標軸上的角，直接看單位圓上的點：正弦是 y 坐標、餘弦是 x 坐標。

02配合題第 8～14 題：特殊弧度角的餘弦值

第 8 題

cos \frac{π}{6} = cos 3 0^{\circ} = \frac{3}{2}

，選 (K)。

第 9 題

cos \frac{π}{4} = cos 4 5^{\circ} = \frac{1}{2}

，選 (I)。

第 10 題

cos \frac{π}{3} = cos 6 0^{\circ} = \frac{1}{2}

，選 (G)。

第 11 題

\frac{π}{2}

的終邊與單位圓交於

(0, 1)

，餘弦是

x

坐標，

cos \frac{π}{2} = 0

，選 (E)。

第 12 題

π

的終邊與單位圓交於

(- 1, 0)

，

cos π = - 1

，選 (C)。

第 13 題

\frac{3 π}{2}

的終邊與單位圓交於

(0, - 1)

，

cos \frac{3 π}{2} = 0

，選 (E)。

第 14 題

2 π

的終邊與單位圓交於

(1, 0)

，

cos 2 π = 1

，選 (D)。

正弦與餘弦在 30 度與 60 度的值互換；終邊在軸上的角看單位圓上的點。

03配合題第 15～21 題：特殊弧度角的正切值

第 15 題

tan \frac{π}{6} = \frac{sin 3 0 ^{\circ}}{cos 3 0 ^{\circ}} = \frac{1/2}{3 /2} = \frac{1}{3}

，選 (M)。

第 16 題

tan \frac{π}{4} = tan 4 5^{\circ} = 1

，選 (D)。

第 17 題

tan \frac{π}{3} = \frac{3 /2}{1/2} = 3

，選 (B)。

第 18 題

tan θ = \frac{y}{x}

，

\frac{π}{2}

的終邊上的點

(0, 1)

的

x = 0

，分母為

0

，

tan \frac{π}{2}

沒有定義，選 (N)。

選項 (N) 印作「無解」，意思是這個值不存在。

第 19 題

π

的終邊上的點

(- 1, 0)

，

tan π = \frac{0}{- 1} = 0

，選 (E)。

第 20 題

\frac{3 π}{2}

的終邊上的點

(0, - 1)

的

x = 0

，

tan \frac{3 π}{2}

沒有定義，選 (N)。

第 21 題

2 π

的終邊上的點

(1, 0)

，

tan 2 π = \frac{0}{1} = 0

，選 (E)。

正切是 y 除以 x，終邊在 y 軸上（x 等於 0）時正切沒有定義。

04單選題第 1～3 題：最大值、比較正弦值、摩天輪

第 22 題答案 (C)。

- 1 \leq sin x \leq 1

。

y = sin x

的最大值

M_{1} = 1

；

y = 2 sin x

的最大值

M_{2} = 2

；

y = sin x + 2

的最大值

M_{3} = 1 + 2 = 3

。所以

M_{1} < M_{2} < M_{3}

。

第 23 題

答案 (D)。 $sin (18 0^{\circ} - θ) = sin θ$ ，所以 $c = sin 9 2^{\circ} = sin 8 8^{\circ}$ 。

在 $0^{\circ}$ 到 $9 0^{\circ}$ 之間，角度越大正弦值越大： $8 6^{\circ} < 8 8^{\circ} < 8 9^{\circ}$ ，得 $sin 8 6^{\circ} < sin 8 8^{\circ} < sin 8 9^{\circ}$ ，即 $a < c < b$ ，也就是 $b > c > a$ 。

8 9^{\circ}

與

9 2^{\circ}

到

9 0^{\circ}

的距離分別是

1^{\circ}

、

2^{\circ}

，

8 6^{\circ}

差

4^{\circ}

；正弦圖形對稱於直線

x = 9 0^{\circ}

，離

9 0^{\circ}

越近值越大。

第 24 題答案 (E)。不論

b

是多少（

b \neq = 0

），

sin b x

的最大值都是

1

，所以

y

的最大值是

30 \times 1 + 31 = 61

（公尺）。

最小值是

- 30 + 31 = 1

公尺；

31

是中心軸高度，

30

是半徑。

正弦值在 −1 與 1 之間；比較正弦值時先把鈍角換成銳角。

05單選題第 4、5 題：判斷象限、圖形的平移

第 25 題

答案 (B)。 $\frac{55 π}{12} = 4 π + \frac{7 π}{12}$ ， $\frac{59 π}{12} = 4 π + \frac{11 π}{12}$ 。減去兩圈 $4 π$ 後， $θ$ 的同界角介於 $\frac{7 π}{12}$ 與 $\frac{11 π}{12}$ 之間。

$\frac{7 π}{12} = 10 5^{\circ}$ ， $\frac{11 π}{12} = 16 5^{\circ}$ ，都在 $9 0^{\circ}$ 與 $18 0^{\circ}$ 之間，所以 $θ$ 在第二象限。

第 26 題答案 (D)。向右平移

\frac{π}{4}

是把

x

換成

x - \frac{π}{4}

，得

y = sin (x - \frac{π}{4})

；再向上平移

2

是整個函數值加

2

，得

y = sin (x - \frac{π}{4}) + 2

。

(A) 是向左平移；(B) 是向下平移；(E) 是把振幅變成

2

，不是向上平移。

向右平移 x 減、向左平移 x 加；向上平移是整個函數加。

06複選題第 1、2 題：廣義角的換算、正弦函數的性質

第 27 題

答案 (B)(C)。

(A) 錯誤。 $\frac{π}{2} + θ$ 的終邊是 $θ$ 的終邊逆時針轉 $9 0^{\circ}$ ， $cos (\frac{π}{2} + θ) = - sin θ$ ，不是 $cos θ$ 。例如 $θ = 0$ 時左邊是 $cos \frac{π}{2} = 0$ ，右邊是 $1$ 。

(B) 正確。先用負角： $cos (θ - \frac{π}{2}) = cos (\frac{π}{2} - θ) = sin θ$ 。

(D) 錯誤。 $π - θ$ 的終邊與 $θ$ 的終邊對稱於 $y$ 軸， $y$ 坐標相同， $sin (π - θ) = sin θ$ 。例如 $θ = \frac{π}{2}$ 時左邊是 $sin \frac{π}{2} = 1$ ，右邊是 $- 1$ 。

(E) 錯誤。 $\frac{3 π}{2} - θ = π + (\frac{π}{2} - θ)$ ，所以 $sin (\frac{3 π}{2} - θ) = - sin (\frac{π}{2} - θ) = - cos θ$ 。例如 $θ = 0$ 時左邊是 $sin \frac{3 π}{2} = - 1$ ，右邊是 $1$ 。

拿不準正負號時，代一個特殊角（例如

θ = 0

或

\frac{π}{6}

）檢查最快。

第 28 題

答案 (A)(C)(D)。

(A) 正確。單位圓上點的 $y$ 坐標在 $- 1$ 與 $1$ 之間。

(B) 錯誤。 $f (π) = sin π = 0$ ，不是最小值 $- 1$ 。

(D) 正確。 $sin (- x) = - sin x$ ，圖形上的點 $(x, y)$ 對應的 $(- x, - y)$ 也在圖形上，所以圖形對稱於原點。

(E) 錯誤。最小值 $- 1$ 發生在 $x = \frac{3 π}{2} + 2 nπ$ （ $n$ 為整數），例如 $f (- \frac{π}{2}) = - 1$ ，不只發生在 $x = \frac{3 π}{2}$ 。

加減 π 函數名稱不變、加減二分之 π 正弦餘弦互換，正負號用象限或代特殊角檢查。

07複選題第 3～5 題：平移量、對稱軸、同界角

第 29 題

答案 (B)(C)。 $y = sin x$ 的圖形往左平移 $h$ 單位得到 $y = sin (x + h)$ 。要與 $y = sin (x - \frac{2 π}{3})$ 的圖形相同， $x + h$ 與 $x - \frac{2 π}{3}$ 只能差 $2 π$ 的整數倍：

$h = - \frac{2 π}{3} + 2 nπ (n 為整數)$

$n = 0$ 得 $- \frac{2 π}{3}$ ， $n = 1$ 得 $\frac{4 π}{3}$ ， $n = - 1$ 得 $- \frac{8 π}{3}$ 。

(A) 錯誤。 $\frac{2 π}{3} - (- \frac{2 π}{3}) = \frac{4 π}{3}$ ，不是 $2 π$ 的整數倍。

(B) 正確。 $n = 0$ 。

(D) 錯誤。 $- \frac{4 π}{3} - (- \frac{2 π}{3}) = - \frac{2 π}{3}$ ，不是 $2 π$ 的整數倍。

(E) 錯誤。 $\frac{3 π}{2} - (- \frac{2 π}{3}) = \frac{13 π}{6}$ ，不是 $2 π$ 的整數倍。

往左平移負的量就是往右平移；

y = sin x

的週期是

2 π

，平移量差

2 π

的整數倍時圖形重合。

第 30 題

答案 (A)(C)(E)。 $\frac{3 π}{2} + x = π + (\frac{π}{2} + x)$ ，所以

$f (x) = - sin (\frac{π}{2} + x) = - cos x$

正弦型函數的圖形對稱於通過最高點或最低點的鉛直線。 $- cos x$ 的最大值 $1$ 發生在 $cos x = - 1$ ，即 $x = π + 2 nπ$ ；最小值 $- 1$ 發生在 $cos x = 1$ ，即 $x = 2 nπ$ 。合起來，對稱軸是 $x = nπ$ （ $n$ 為整數）。

(A) 正確。 $f (- π) = - cos (- π) = 1$ ，是最高點。

(B) 錯誤。 $f (- \frac{π}{2}) = 0$ ，是圖形與中心線 $y = 0$ 的交點，那裡是對稱中心，不是對稱軸。

(D) 錯誤。 $f (\frac{π}{2}) = 0$ ，理由同 (B)。

(E) 正確。 $f (π) = 1$ ，是最高點。

也可以看成把

y = sin x

向左平移

\frac{3 π}{2}

：

y = sin x

的對稱軸

x = \frac{π}{2} + nπ

跟著左移

\frac{3 π}{2}

，變成

x = - π + nπ

，也就是

x

為

π

的整數倍。

第 31 題

答案 (A)(E)。 $\frac{π}{7}$ 的同界角是 $\frac{π}{7} + 2 nπ = \frac{( 1 + 14 n ) π}{7}$ （ $n$ 為整數），也就是與 $\frac{π}{7}$ 相差 $\frac{14 π}{7}$ 的整數倍。

(A) 正確。 $- \frac{13 π}{7} = \frac{π}{7} - \frac{14 π}{7}$ ， $n = - 1$ 。

(B) 錯誤。 $- \frac{π}{7}$ 與 $\frac{π}{7}$ 相差 $\frac{2 π}{7}$ ，不是 $2 π$ 的整數倍。

(D) 錯誤。 $\frac{13 π}{7}$ 與 $\frac{π}{7}$ 相差 $\frac{12 π}{7}$ ，不是 $2 π$ 的整數倍（ $\frac{13 π}{7}$ 是 $- \frac{π}{7}$ 的同界角）。

(E) 正確。 $\frac{15 π}{7} = \frac{π}{7} + \frac{14 π}{7}$ ， $n = 1$ 。

同界角與平移量都是差 2π 的整數倍就相同；對稱軸找最高點與最低點。

08填充題第 1～3 題：度化弧度、扇形圓心角、由週期求係數

第 32 題

$18 0^{\circ} = π$ 弳，所以 $1^{\circ} = \frac{π}{180}$ 弳。

$- 10 5^{\circ} = - 105 \times \frac{π}{180} = - \frac{7 π}{12} 弳$

第 33 題扇形面積

= \frac{1}{2} r^{2} θ

（

θ

用弧度）。代入

r = 2

：

\frac{1}{2} \times 4 \times θ = 5

，

2 θ = 5

，

θ = \frac{5}{2}

弳。

\frac{5}{2}

弳約

14 3^{\circ}

，小於

2 π

，是合理的扇形。

第 34 題

$a > 0$ ， $sin (b x)$ 的最大值是 $1$ ，所以 $y$ 的最大值是 $a = 5$ 。

$b > 0$ ，週期 $= \frac{2 π}{b} = \frac{π}{3}$ ，得 $b = 6$ 。

所以 $a \times b = 5 \times 6 = 30$ 。

扇形面積是二分之一乘半徑平方乘圓心角，圓心角一定要用弧度。

09填充題第 4～6 題：轉動的角、鋪色面積、扇形面積最大值

第 35 題

轉一圈是 $2 π$ 弳，轉 $\frac{2}{5}$ 圈的圓心角是

$θ = \frac{2}{5} \times 2 π = \frac{4 π}{5} 弳$

圓心角只與轉了幾圈有關，與半徑

3

無關；半徑會用在弧長，例如

A

點走過的弧長是

3 \times \frac{4 π}{5} = \frac{12 π}{5}

。圖中

θ

的大小是示意。

第 36 題

$E$ 在以 $A$ 為圓心、半徑 $\overline{A D} = 8$ 的弧上，所以 $\overline{A E} = 8$ 。

直角三角形 $A B E$ 中， $\overline{A B} = 4$ 、斜邊 $\overline{A E} = 8$ ，斜邊是一股的 $2$ 倍，所以這是 $3 0^{\circ}$ – $6 0^{\circ}$ – $9 0^{\circ}$ 的直角三角形， $∠ A E B = 3 0^{\circ}$ 、 $∠ B A E = 6 0^{\circ}$ 。

$∠ B A D = 9 0^{\circ}$ ，所以扇形 $A E D$ 的圓心角 $∠ E A D = 9 0^{\circ} - 6 0^{\circ} = 3 0^{\circ} = \frac{π}{6}$ 弳。

沒鋪色的部分正好是扇形 $A E D$ ，面積 $\frac{1}{2} \times 8^{2} \times \frac{π}{6} = \frac{16 π}{3}$ 。

鋪色部分 $=$ 長方形 $-$ 扇形 $= 4 \times 8 - \frac{16 π}{3} = 32 - \frac{16 π}{3}$ 。

鋪色部分由三角形

A B E

與

E

、

C

、

D

之間的小塊組成，分開算比較麻煩，用整個長方形減去扇形最快。數值約

15.24

。

第 37 題

設半徑為 $r$ 、弧長為 $s$ 。周長是兩條半徑加弧長： $2 r + s = 20$ ， $s = 20 - 2 r$ （ $0 < r < 10$ ）。

扇形面積 $= \frac{1}{2} r s = \frac{1}{2} r (20 - 2 r) = 10 r - r^{2} = - (r - 5)^{2} + 25$ 。

$r = 5$ 時面積最大（最大值 $25$ ），所以半徑為 $5$ 。

此時弧長

s = 10

，圓心角

\frac{s}{r} = 2

弳，小於

2 π

，是合理的扇形。

鋪色面積先找出沒鋪色的部分是不是扇形，用全部減去它；周長固定求面積最大用配方法。

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同樣是高二第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

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苑裡高中 115 上高二第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 37 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

苑裡高中 115 上高二第一次段考數學哪幾題最容易錯？

複選第 3 題往左平移負的量就是往右平移，平移量差一個週期 2π 也成立，要選兩個；複選第 4 題要先把函數化成負的餘弦，對稱軸通過最高點與最低點，有三個選項；複選第 5 題七分之十三 π 是負七分之 π 的同界角，不是七分之 π 的；填充第 5 題要看出直角三角形斜邊是一股的兩倍，扇形圓心角是 30 度。詳解逐題寫在本頁。

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可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

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可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

題目取自苑裡高中 115 學年度上學期高二第一次段考數學B，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

苑裡高中 115 上高二第一次段考數學試題、答案與詳解

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01配合題第 1～7 題：特殊弧度角的正弦值

02配合題第 8～14 題：特殊弧度角的餘弦值

03配合題第 15～21 題：特殊弧度角的正切值

04單選題第 1～3 題：最大值、比較正弦值、摩天輪

05單選題第 4、5 題：判斷象限、圖形的平移

06複選題第 1、2 題：廣義角的換算、正弦函數的性質

07複選題第 3～5 題：平移量、對稱軸、同界角

08填充題第 1～3 題：度化弧度、扇形圓心角、由週期求係數

09填充題第 4～6 題：轉動的角、鋪色面積、扇形面積最大值

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苑裡高中 115 上
高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

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