段考詳解範圍：弧度量、弧長與扇形面積、正弦函數的圖形與週期、週期性現象的數學模型

高雄新興高中 114 上
高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 24 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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01 · 試題

原卷 24 題，照原卷順序

單選題 2 題（每題 5 分，共 10 分）、多選題 3 題（每題 6 分，共 18 分，錯一個選項扣 2 分，扣完為止）、填充題第一部分 6 格（每格 2 分，共 12 分）與第二部分 10 格（每格 5 分，共 50 分）、計算題 2 題（共 10 分），合計 100 分。原卷各大題各自從 1 編號，本頁全卷連續編號：第 3～5 題是多選第 1～3 題，第 6～11 題是填充第一部分的 6 格，第 12～21 題是填充第二部分第 1～10 題，第 22 題是計算第 1 題，第 23、24 題是計算第 2 題的兩小題。多選第 1 題（本頁第 3 題）的選項 (B) 卷面沒有印出週期的值，無法判斷。本卷沒有學校公布的答案，本頁答案為本站依題目計算。

一、單選題：每題 5 分，共 10 分

下列哪個選項不是第二象限角？

(A) $- 20 0^{\circ}$
(B) $\frac{7}{10} π$ 弳
(C) $2$ 弳
(D) $π^{2}$ 弳
(E) $8$ 弳。

由標準音高 A4 往上

k

個半音的聲波函數為

f (x) = sin (880 π \times 2^{\frac{k}{12}} x)

。已知 A4 依序往下

9

個半音、

7

個半音、

5

個半音、

4

個半音及

2

個半音時，分別為 C4、D4、E4、F4、G4，則哪一個頻率最接近

220

赫茲？

(A) C4
(B) D4
(C) E4
(D) F4
(E) G4。

二、多選題：每題 6 分，共 18 分(錯一個選項扣 2 分，扣完為止)

若函數

f (x) = 1 + 4 sin 3 x

，試問下列哪些敘述是正確的？

(A) $- 2 \leq f (x) \leq 4$
(B) $y = f (x)$ 的週期為（卷面這裡沒有印出週期的值）
(C) 當 $\frac{7 π}{6} \leq x \leq \frac{4 π}{3}$ 時， $y = f (x)$ 的圖形由左往右逐漸上升
(D) $y = f (x)$ 的圖形對稱於直線 $x + \frac{π}{6} = 0$
(E) $f (1) > 0$ 。

關於弧度的敘述，下列哪些選項是正確的？

(A) $π^{\circ} = \frac{π ^{2}}{180}$ 弳
(B) $sin 1 > sin 2$
(C) $sin π > sin π^{\circ}$
(D) $cos π^{\circ} > sin π^{\circ}$
(E) $sin π^{2} > cos π^{2}$

風力發電機某葉片的頂端為

P

點，開始運轉時，

P

點恰在離地最高的位置上，

x

秒後，

P

點離地的高度

y

（公尺）可表為

y = 30 sin (\frac{π}{9} x + \frac{π}{2}) + 42

。試問下列哪些選項是正確的？

(A) $P$ 點離地最高為 $72$ 公尺
(B) $P$ 點離地最高與最低差距為 $42$ 公尺
(C) 此發電機的葉片轉一圈需 $9$ 秒
(D) 開始運轉 $6$ 秒後， $P$ 點繞圓心旋轉 $\frac{2 π}{3}$ 弳
(E) 開始運轉 $6$ 秒後， $P$ 點離地面 $57$ 公尺。

載入中...

三、填充題：第一部分，每格 2 分，共 12 分；第二部分，每格 5 分，共 50 分　[第一部分，每格 2 分，共 12 分]

第 6～7 題為題組（原卷填充第一部分第 1 題）（第 6～7 題）　試作以下度與弳的轉換：

(1)

\frac{3 π}{5}

弳

=

____（請化為度）

(2)

11 0^{\circ} =

____ 弳

第 8～10 題為題組（原卷填充第一部分第 2 題）（第 8～10 題）　已知函數

y = - 5 sin (\frac{π}{2} x + 3) - 2

(1)

y

最大值為 ____

(2) 週期為 ____

(3) 振幅為 ____

把正弦函數

y = sin \frac{x}{2}

的圖形想像成高高低低的山，小文從原點開始順著函數圖形往右走，小文遇到的第

2

個山頂（即最高處）是在

x =

____ 時

[第二部分，每格 5 分，共 50 分]

sin \frac{5 π}{2} - cos π + tan \frac{5 π}{4} sin (- \frac{π}{6}) =

____

遊樂園為了吸引遊客，定時進行馬術表演，每隔

80

分鐘表演一次，歷時

15

分鐘，也就是說，表演

15

分鐘後，休息

65

分鐘以後再進行表演。若第一場馬術表演從早上

9

點開始表演，且遊樂園在下午

5

點半閉園，則遊樂園在開園時間總共有 ____ 次表演

方程式

sin x = \frac{x}{7 π}

的實根個數為 ____ 個

有一個半徑

30 m

的圓形廣場，在牆面上裝有一個探照燈，已知探照燈射出的光線區域所張成的角為

\frac{π}{3}

，如圖。則燈光打在圓形廣場牆面上的弧長為 ____

m

（附圖是示意圖，弧的長短沒有照實際比例畫。）

載入中...

已知函數

f (x) = a sin (b x + c)

的部分圖形如下，且

a > 0

，

b > 0

則

f (\frac{π}{6}) =

____

載入中...

本校的午休時間為每天中午的

12

點

25

分到

13

點

05

分，共

40

分鐘。今有一時鐘的時針長為

5

公分；請問本校的每天午休時間，此時針針尖走過的弧長為 ____ 公分

y = sin (3 x + \frac{π}{4})

的圖形是由

y = sin x

圖形，先水平伸縮為原來的

a

倍，再向左平移

b

得到，則數對

(a, b) =

____

設

θ

與

15

弳為同界角，且

0 \leq θ < 2 π

，則

θ

角的值為 ____ 弳

設

- π < x < π

，則滿足

sin x < - \frac{1}{2}

的

x

範圍為 ____

附圖圓

O

中，兩直徑

\overline{A B}

與

\overline{P Q}

互相垂直，且弦

\overline{C D}

與直徑

\overline{P Q}

亦垂直。若圓

O

半徑為

12

公分，弧

C Q D ⌢

之長為

8 π

公分，求斜線區域的面積為 ____ 平方公分（斜線區域在附圖中塗成灰色；附圖是示意圖，弦

\overline{C D}

的位置沒有照實際比例畫。）

載入中...

四、計算題：10 分(視過程部分給分，只有答案沒寫算式不予給分)

在

0 \leq x \leq 2 π

範圍內，畫出函數

y = 2 sin 2 x

與

y = sin x

的圖形（4 分），並求出兩圖形的交點個數（2 分）？

載入中...

第 23～24 題為題組（原卷計算第 2 題）（第 23～24 題）　在

- 2 π \leq x \leq 2 π

範圍內

(1) 試求方程式

sin x = - \frac{1}{3}

的實根個數有幾個？（2 分）

(2) 所有實根

x

的坐標和為多少？（2 分）

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(D)

第 2 題(A)

第 3 題(C)(D)(E)（選項 (B) 卷面沒有印出週期的值，無法判斷；這個函數的週期是

\frac{2 π}{3}

，見詳解）

第 4 題(A)(D)(E)

第 5 題(A)(D)

第 6 題

10 8^{\circ}

第 7 題

\frac{11}{18} π

第 8 題

3

第 9 題

4

第 10 題

5

第 11 題

5 π

第 12 題

\frac{3}{2}

第 13 題

7

第 14 題

15

第 15 題

20 π

第 16 題

2

第 17 題

\frac{5 π}{9}

第 18 題

(\frac{1}{3}, \frac{π}{12})

第 19 題

15 - 4 π

第 20 題

- \frac{5 π}{6} < x < - \frac{π}{6}

第 21 題

24 π + 363

第 22 題圖形見詳解；交點有

5

個

第 23 題

4

個

第 24 題

2 π

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

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對完答案了？勾你錯的題號

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

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01單選第 1、2 題：角所在的象限、聲波的頻率

第 1 題答案 (D)。第二象限角以弧度來說介於

\frac{π}{2} \approx 1.57

與

π \approx 3.14

之間，超過一圈的先加減

2 π \approx 6.28

。(A)

- 20 0^{\circ} + 36 0^{\circ} = 16 0^{\circ}

，是第二象限角。(B)

\frac{7}{10} π = 12 6^{\circ}

，是第二象限角。(C)

2

介於

1.57

與

3.14

之間，是第二象限角。(D)

π^{2} \approx 9.87

，減去一圈剩下約

3.59

，介於

π \approx 3.14

與

\frac{3 π}{2} \approx 4.71

之間，是第三象限角。(E)

8 - 6.28 \approx 1.72

，介於

1.57

與

3.14

之間，是第二象限角。不是第二象限角的只有 (D)。

(E) 的

1.72

只比

\frac{π}{2} \approx 1.57

大一點，要算到小數第二位才分得出來。

第 2 題答案 (A)。

y = sin (b x)

的週期是

\frac{2 π}{b}

，頻率是週期的倒數

\frac{b}{2 π}

。這裡

b = 880 π \times 2^{\frac{k}{12}}

，所以頻率是

440 \times 2^{\frac{k}{12}}

赫茲。往下幾個半音就是

k

取負的：C4、D4、E4、F4、G4 的

k

依序是

- 9

、

- 7

、

- 5

、

- 4

、

- 2

。另一方面

220 = 440 \times 2^{- 1}

，相當於

k = - 12

。底數

2

大於

1

，指數愈大值愈大，所以這五個音的頻率都比

220

高，而且

k

愈小頻率愈低、離

220

愈近。

k

最小的是 C4（

k = - 9

），所以 C4 的頻率最接近

220

赫茲。

C4 的頻率是

440 \times 2^{- \frac{3}{4}} \approx 261.6

赫茲，其餘依序約為

293.7

、

329.6

、

349.2

、

392.0

赫茲。

判斷弧度角的象限，就拿它和

\frac{π}{2} \approx 1.57

、

π \approx 3.14

、

\frac{3 π}{2} \approx 4.71

、

2 π \approx 6.28

比；超過一圈先減

2 π

。

02多選第 1～3 題（本頁第 3～5 題）：正弦函數的性質、度與弧度、風力發電機

第 3 題答案 (C)(D)(E)；(B) 卷面沒有印出週期的值，無法判斷。 (A) 錯誤。

- 1 \leq sin 3 x \leq 1

，所以

- 4 \leq 4 sin 3 x \leq 4

，

- 3 \leq f (x) \leq 5

；例如

x = \frac{π}{6}

時

f (x) = 1 + 4 sin \frac{π}{2} = 5

，比

4

大。 (B) 卷面只印到「週期為」，後面的值沒有印出來，無法判斷對錯。這個函數的週期是

\frac{2 π}{3}

：選項若是這個值就正確，是別的值就錯誤。同校同一次段考的數學A 卷有同一題，那一份的 (B) 印的是

6 π

；若照那個值，(B) 錯誤，答案仍是 (C)(D)(E)。 (C) 正確。

x

由

\frac{7 π}{6}

到

\frac{4 π}{3}

時，

3 x

由

\frac{7 π}{2}

到

4 π

，減去一圈

2 π

相當於由

\frac{3 π}{2}

到

2 π

。正弦值在這一段由

- 1

一路上升到

0

，所以

f (x)

由

- 3

一路上升到

1

。 (D) 正確。 直線

x + \frac{π}{6} = 0

就是

x = - \frac{π}{6}

。這時

3 x = - \frac{π}{2}

，

sin 3 x = - 1

，是圖形的最低點；正弦圖形對稱於通過最高點或最低點的鉛直線。 (E) 正確。

f (1) = 1 + 4 sin 3

。

3

介於

\frac{π}{2} \approx 1.57

與

π \approx 3.14

之間，是第二象限角，

sin 3

是正的，所以

f (1)

比

1

大。

本卷沒有學校公布的答案，(B) 照卷面原樣保留，不替學校補上數值。

f (1) \approx 1.56

。

第 4 題答案 (A)(D)(E)。 (A) 正確。

1^{\circ} = \frac{π}{180}

弳，所以

π^{\circ} = π \times \frac{π}{180} = \frac{π ^{2}}{180}

弳。 (B) 錯誤。

sin 2 = sin (π - 2)

，而

π - 2 \approx 1.14

。

1

與

1.14

都在

0

與

\frac{π}{2} \approx 1.57

之間，這一段角愈大正弦值愈大，所以

sin 1

比

sin 2

小。 (C) 錯誤。

sin π = 0

；

π^{\circ}

約是

3.1 4^{\circ}

，是第一象限的小角，正弦值是正的，所以

sin π

比

sin π^{\circ}

小。 (D) 正確。

π^{\circ}

約

3.1 4^{\circ}

，比

4 5^{\circ}

小；

0^{\circ}

到

4 5^{\circ}

之間的角，餘弦值比正弦值大。 (E) 正確。

π^{2} \approx 9.87

，減去一圈剩下約

3.59

，介於

π \approx 3.14

與

\frac{5 π}{4} \approx 3.93

之間，是第三象限角，參考角約

0.45

，比

\frac{π}{4}

小。參考角比

\frac{π}{4}

小時，參考角的正弦值比餘弦值小；第三象限兩者都加上負號，大小反過來，所以

sin π^{2}

比

cos π^{2}

大。

數值：

sin 1 \approx 0.841

、

sin 2 \approx 0.909

；

sin π^{\circ} \approx 0.055

、

cos π^{\circ} \approx 0.998

；

sin π^{2} \approx - 0.430

、

cos π^{2} \approx - 0.903

。

第 5 題答案 (A)(D)。 (A) 正確。 正弦值最大是

1

，最高

30 \times 1 + 42 = 72

公尺。 (B) 錯誤。 正弦值最小是

- 1

，最低

30 \times (- 1) + 42 = 12

公尺，最高與最低相差

72 - 12 = 60

公尺。 (C) 錯誤。 週期是

2 π \div \frac{π}{9} = 18

，轉一圈需

18

秒。 (D) 正確。 括號裡的角每秒增加

\frac{π}{9}

弳，就是葉片每秒轉過的角；

6

秒轉過

\frac{π}{9} \times 6 = \frac{2 π}{3}

弳。也可以用週期算：

\frac{6}{18}

圈是

\frac{1}{3} \times 2 π = \frac{2 π}{3}

弳。 (E) 錯誤。

x = 6

時括號裡的角是

\frac{2 π}{3} + \frac{π}{2} = \frac{7 π}{6}

，

sin \frac{7 π}{6} = - \frac{1}{2}

，高度是

30 \times (- \frac{1}{2}) + 42 = 27

公尺。

x = 0

時

y = 30 sin \frac{π}{2} + 42 = 72

，與題目說開始時

P

點在最高處相符。

y = a sin (b x + c) + d

（

a > 0

、

b > 0

）：最大值

d + a

、最小值

d - a

、週期

\frac{2 π}{b}

；圖形對稱於通過最高點或最低點的鉛直線。

03填充第一部分（本頁第 6～11 題）：度與弳互換、最大值與週期與振幅、山頂的位置

第 6 題

π

弳

= 18 0^{\circ}

，所以

\frac{3 π}{5}

弳

= \frac{3}{5} \times 18 0^{\circ} = 10 8^{\circ}

。

第 7 題

1^{\circ} = \frac{π}{180}

弳，所以

11 0^{\circ} = 110 \times \frac{π}{180} = \frac{11}{18} π

弳。

第 8 題

sin

前面的係數是

- 5

，所以正弦值取

- 1

時

y

最大：

y = - 5 \times (- 1) - 2 = 3

。

正弦值取

1

時

y

最小，是

- 5 - 2 = - 7

。

第 9 題

x

的係數是

\frac{π}{2}

，週期

= 2 π \div \frac{π}{2} = 4

。

括號裡的

+ 3

只讓圖形左右平移，不影響週期。

第 10 題振幅是最大值與最小值之差的一半：

\frac{3 - ( - 7 )}{2} = 5

，也就是

sin

前面係數的絕對值

∣ - 5 ∣ = 5

。

振幅一定是正的，不寫

- 5

。

第 11 題山頂是正弦值等於

1

的地方。

sin \frac{x}{2} = 1

時，

\frac{x}{2} = \frac{π}{2}

、

\frac{π}{2} + 2 π

、

\frac{π}{2} + 4 π

、……，也就是

x = π

、

5 π

、

9 π

、……。從原點往右走，第

1

個山頂在

x = π

，第

2

個山頂在

x = 5 π

。

這個函數的週期是

2 π \div \frac{1}{2} = 4 π

，相鄰兩個山頂相隔一個週期：

π + 4 π = 5 π

。

度與弳互換只記

18 0^{\circ} = π

弳；

y = a sin (b x + c) + d

的振幅是

∣ a ∣

，週期只看

x

的係數。

04填充第二部分第 1～3 題（本頁第 12～14 題）：特殊角、表演場次、實根個數

第 12 題逐項算。

\frac{5 π}{2} = 2 π + \frac{π}{2}

，所以

sin \frac{5 π}{2} = sin \frac{π}{2} = 1

。

cos π = - 1

。

\frac{5 π}{4}

是第三象限角，參考角

\frac{π}{4}

，正切為正，

tan \frac{5 π}{4} = 1

。

sin (- \frac{π}{6}) = - \frac{1}{2}

。原式

= 1 - (- 1) + 1 \times (- \frac{1}{2}) = \frac{3}{2}

。

第 13 題每

80

分鐘一場，第一場

9

點開始。早上

9

點到下午

5

點半共

8

小時

30

分，是

510

分鐘。各場的開始時間是開園後第

0

、

80

、

160

、

240

、

320

、

400

、

480

分鐘，下一場要到第

560

分鐘，已經閉園。最後一場在第

480

分鐘（下午

5

點）開始，

15

分鐘後的

5

點

15

分結束，還在閉園之前，算一場。共

7

次表演。

七場的開始時刻是

9 : 00

、

10 : 20

、

11 : 40

、

13 : 00

、

14 : 20

、

15 : 40

、

17 : 00

。

510 \div 80

的商是

6

，場次要再加上第一場，是

6 + 1 = 7

。

第 14 題實根就是

y = sin x

與直線

y = \frac{x}{7 π}

的交點。

- 1 \leq sin x \leq 1

，直線在

x = 7 π

時高度是

1

，再往右就超過

1

，所以交點只會在

- 7 π \leq x \leq 7 π

之內。先看

x > 0

。正弦圖形在

x

軸上方的拱形有四個，分別在

0

到

π

、

2 π

到

3 π

、

4 π

到

5 π

、

6 π

到

7 π

；其餘地方正弦值不是正的，而直線在

x

軸上方，沒有交點。第一個拱形：直線從原點出發，原點另外算。左半邊（

0

到

\frac{π}{2}

）拱形向下彎，整段都在連接

(0, 0)

與

(\frac{π}{2}, 1)

的線段上方或線段上；這條線段的斜率

\frac{2}{π} \approx 0.64

比直線的斜率

\frac{1}{7 π} \approx 0.05

大得多，所以拱形在左半邊一直比直線高，除了原點沒有別的交點。右半邊（

\frac{π}{2}

到

π

）拱形由

1

一路降到

0

，直線由

\frac{1}{14}

一路升到

\frac{1}{7}

；開始時拱形在上、結束時拱形在下，一降一升，恰交

1

點。後面三個拱形：兩端高度是

0

，直線在兩端的高度都是正的，所以兩端在直線下方；頂端高

1

，分別在

x = \frac{5 π}{2}

、

\frac{9 π}{2}

、

\frac{13 π}{2}

，直線在這三處的高度是

\frac{5}{14}

、

\frac{9}{14}

、

\frac{13}{14}

，都比

1

低，所以頂端在直線上方。左半邊拱形由直線下方升到直線上方，至少交

1

點；右半邊拱形下降、直線上升，由上方換到下方，恰交

1

點。拱形向下彎，和一條直線最多交

2

點，所以左半邊也恰好

1

點，每個拱形左右各

1

點，共

2

點。

x > 0

的交點有

1 + 2 + 2 + 2 = 7

個。兩個圖形都對稱於原點，

x < 0

也有

7

個。再加上原點，共

7 + 7 + 1 = 15

個實根。

最右邊的拱形頂端在

x = \frac{13 π}{2}

，直線這時才到

\frac{13}{14}

，還沒超過

1

，所以這個拱形仍然有兩個交點。

數

sin x = m x

的實根：先找直線高度到

1

的位置定出範圍，再一個拱形一個拱形數，最後用對稱補上負的一半與原點。

05填充第二部分第 4～6 題（本頁第 15～17 題）：探照燈、由圖形求函數值、時針

第 15 題探照燈在圓周上，光線的兩條邊是圓的兩條弦，所張的角

\frac{π}{3}

是圓周角。同一段弧所對的圓心角是圓周角的

2

倍，所以弧

A B

所對的圓心角是

\frac{2 π}{3}

。弧長

= r θ = 30 \times \frac{2 π}{3} = 20 π

（公尺）。

弧長公式裡的角要用圓心角，不能直接拿圓周角

\frac{π}{3}

去乘。

20 π

約

62.8

公尺，是整個圓周

60 π

的三分之一。

第 16 題由圖，最大值是

2

、最小值是

- 2

，

a > 0

，所以

a = 2

。圖形在

x = - \frac{π}{12}

由

x

軸往上升，走完一個完整的波在

x = \frac{7 π}{12}

回到

x

軸，所以週期是

\frac{7 π}{12} - (- \frac{π}{12}) = \frac{2 π}{3}

。由

\frac{2 π}{b} = \frac{2 π}{3}

（

b > 0

）得

b = 3

。

y = 2 sin 3 x

的圖形是從原點往上升；現在往上升的起點在

x = - \frac{π}{12}

，是把

y = 2 sin 3 x

向左平移

\frac{π}{12}

：

f (x) = 2 sin 3 (x + \frac{π}{12}) = 2 sin (3 x + \frac{π}{4})

。

f (\frac{π}{6}) = 2 sin (\frac{π}{2} + \frac{π}{4}) = 2 sin \frac{3 π}{4} = 2 \times \frac{2}{2} = 2

。

\frac{3 π}{4}

是第二象限角，參考角

\frac{π}{4}

，正弦為正。檢查：最高點在

3 x + \frac{π}{4} = \frac{π}{2}

，即

x = \frac{π}{12}

，在

y

軸右邊一點，與圖相符。

第 17 題時針

12

小時（

720

分鐘）轉一圈

2 π

弳。

40

分鐘轉過

\frac{40}{720} \times 2 π = \frac{π}{9}

弳。針尖走過的弧長

= r θ = 5 \times \frac{π}{9} = \frac{5 π}{9}

（公分）。

題目問的是時針，不是分針。時針每小時轉

3 0^{\circ}

，

40

分鐘轉

2 0^{\circ}

，就是

\frac{π}{9}

弳。

\frac{5 π}{9}

約

1.75

公分。

弧長

s = r θ

的

θ

是圓心角、用弧度；由圖形定

y = a sin (b x + c)

時，先看高低定

a

，再看一個完整的波有多寬定

b

，最後看起點定平移。

06填充第二部分第 7～10 題（本頁第 18～21 題）：伸縮與平移、同界角、不等式、灰色區域的面積

第 18 題

y = sin x

的週期是

2 π

，

y = sin (3 x + \frac{π}{4})

的週期是

\frac{2 π}{3}

，所以水平方向要先伸縮為原來的

\frac{1}{3}

倍，得到

y = sin 3 x

，

a = \frac{1}{3}

。再向左平移

b

，是把

x

換成

x + b

：

y = sin 3 (x + b) = sin (3 x + 3 b)

。和

sin (3 x + \frac{π}{4})

比較，

3 b = \frac{π}{4}

，

b = \frac{π}{12}

。所以

(a, b) = (\frac{1}{3}, \frac{π}{12})

。

先伸縮再平移時，平移量不是

\frac{π}{4}

，要把

3

提出來：

3 x + \frac{π}{4} = 3 (x + \frac{π}{12})

。圖形每隔一個週期重複，

b

取最小的正數。

第 19 題同界角相差

2 π

的整數倍。

2 π \approx 6.28

，

4 π \approx 12.57

，

6 π \approx 18.85

，所以

15

介於

4 π

與

6 π

之間。減去兩圈：

θ = 15 - 4 π \approx 2.43

，在

0

與

2 π

之間。

15 - 4 π \approx 2.43

介於

\frac{π}{2}

與

π

之間，所以

15

弳是第二象限角。答案保留

15 - 4 π

，不寫成近似值。

第 20 題在

0 \leq x < π

，

sin x

不是負的，不合。在

- π < x < 0

，

sin x

是負的：圖形由

x = - π

的

0

往下降到

x = - \frac{π}{2}

的

- 1

，再升回

x = 0

的

0

。

sin x = - \frac{1}{2}

的位置是

x = - \frac{π}{6}

與

x = - π + \frac{π}{6} = - \frac{5 π}{6}

。圖形在這兩個位置之間比

- \frac{1}{2}

低，所以範圍是

- \frac{5 π}{6} < x < - \frac{π}{6}

這一段。

題目是嚴格小於，兩個端點都不含。可以代

x = - \frac{π}{2}

檢查：

sin (- \frac{π}{2}) = - 1

，確實比

- \frac{1}{2}

小。

第 21 題弧

C Q D

所對的圓心角

∠ C O D = \frac{弧長}{半徑} = \frac{8 π}{12} = \frac{2 π}{3}

。

\overline{C D}

垂直

\overline{P Q}

，圖形上下對稱，所以

∠ C O Q = ∠ D O Q = \frac{π}{3}

。

\overline{A B}

垂直

\overline{P Q}

，所以

∠ A O C = ∠ B O D = \frac{π}{2} - \frac{π}{3} = \frac{π}{6}

。灰色區域夾在直徑

\overline{A B}

與弦

\overline{C D}

之間，可以拆成扇形

A O C

、扇形

B O D

與三角形

O C D

三塊。兩個扇形：

2 \times \frac{1}{2} \times 1 2^{2} \times \frac{π}{6} = 24 π

。三角形

O C D

：直角三角形

O E C

中

\overline{O C} = 12

、

∠ C O E = \frac{π}{3}

，所以

\overline{O E} = 12 cos \frac{π}{3} = 6

，

\overline{C E} = 12 sin \frac{π}{3} = 63

，

\overline{C D} = 123

，面積

= \frac{1}{2} \times 123 \times 6 = 363

。灰色區域的面積

= 24 π + 363

（平方公分）。

約

137.8

平方公分。另一種算法：右半圓

72 π

減去弓形

C Q D

；弓形是扇形

48 π

減三角形

363

，結果相同。附圖是示意圖，

E

的位置沒有照實際比例畫。

弧長除以半徑就是圓心角（弧度）；弧圍成的區域拆成扇形與三角形來算。

07計算第 1 題（本頁第 22 題）：畫 y＝2 sin 2x 與 y＝sin x 並數交點

第 22 題畫圖。

y = sin x

：振幅

1

、週期

2 π

，在

0 \leq x \leq 2 π

剛好一個波，依序通過

(0, 0)

、

(\frac{π}{2}, 1)

、

(π, 0)

、

(\frac{3 π}{2}, - 1)

、

(2 π, 0)

。

y = 2 sin 2 x

：振幅

2

、週期

\frac{2 π}{2} = π

，在

0 \leq x \leq 2 π

有兩個波。第一個波依序通過

(0, 0)

、

(\frac{π}{4}, 2)

、

(\frac{π}{2}, 0)

、

(\frac{3 π}{4}, - 2)

、

(π, 0)

，第二個波把它向右平移

π

。兩個圖形畫在同一張坐標上，如附圖：振幅

2

、有兩個波的是

y = 2 sin 2 x

，振幅

1

、只有一個波的是

y = sin x

。 數交點。

x = 0

、

π

、

2 π

時兩個函數值都是

0

，是

3

個交點。在

0

與

\frac{π}{4}

之間（含

\frac{π}{4}

）：

x

與

2 x

都在

0

到

\frac{π}{2}

之內而

2 x

比較大，所以

sin 2 x

比

sin x

大，

2 sin 2 x

更大，沒有交點。在

\frac{π}{4}

與

\frac{π}{2}

之間：

y = 2 sin 2 x

由

2

一路降到

0

，

y = sin x

由

\frac{2}{2}

一路升到

1

；一個下降、一個上升，開始時前者在上、結束時前者在下，恰交

1

點。在

\frac{π}{2}

與

π

之間：

2 sin 2 x

是負的，

sin x

是正的，沒有交點。所以

0

與

π

之間恰有

1

個交點。兩個圖形都對稱於點

(π, 0)

，所以

π

與

2 π

之間也恰有

1

個交點。交點共

3 + 1 + 1 = 5

個。

載入中...

中間兩個交點約在

x \approx 1.32

與

x \approx 4.97

，高度約

0.97

與

- 0.97

。作圖時把最高點、最低點與通過

x

軸的點先標出來，再連成平滑曲線；交點個數別漏掉

x = 0

、

π

、

2 π

這三個。

畫

y = a sin b x

：先算週期

\frac{2 π}{b}

，把一個週期四等分，標出通過

x

軸的點與最高、最低點再連線。

08計算第 2 題（本頁第 23、24 題）：sin x＝−1/3 的實根個數與總和

第 23 題實根就是

y = sin x

與水平線

y = - \frac{1}{3}

的交點。在

- 2 π \leq x \leq 2 π

內，正弦圖形在

x

軸下方的部分有兩段：

- π

到

0

之間，以及

π

到

2 π

之間。每一段都是由

0

降到

- 1

再升回

0

，而

- \frac{1}{3}

介於

- 1

與

0

之間，所以每一段與水平線交

2

點。其餘地方

sin x

不是負的，沒有交點。實根共

2 + 2 = 4

個。

第 24 題

- π

到

0

那一段對稱於直線

x = - \frac{π}{2}

，兩個交點左右對稱，

x

坐標的和是

2 \times (- \frac{π}{2}) = - π

。

π

到

2 π

那一段對稱於直線

x = \frac{3 π}{2}

，兩個交點的

x

坐標和是

2 \times \frac{3 π}{2} = 3 π

。四個實根的和

= - π + 3 π = 2 π

。

四個根約為

- 2.80

、

- 0.34

、

3.48

、

5.94

，相加約

6.28

，就是

2 π

。不必真的把每個根解出來，用對稱軸就能算總和。

水平線與正弦圖形的交點成對出現，每一對對稱於通過最高點或最低點的鉛直線，兩根的和是對稱軸位置的

2

倍。

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01單選第 1、2 題：角所在的象限、聲波的頻率

02多選第 1～3 題（本頁第 3～5 題）：正弦函數的性質、度與弧度、風力發電機

03填充第一部分（本頁第 6～11 題）：度與弳互換、最大值與週期與振幅、山頂的位置

04填充第二部分第 1～3 題（本頁第 12～14 題）：特殊角、表演場次、實根個數

05填充第二部分第 4～6 題（本頁第 15～17 題）：探照燈、由圖形求函數值、時針

06填充第二部分第 7～10 題（本頁第 18～21 題）：伸縮與平移、同界角、不等式、灰色區域的面積

07計算第 1 題（本頁第 22 題）：畫 y＝2 sin 2x 與 y＝sin x 並數交點

08計算第 2 題（本頁第 23、24 題）：sin x＝−1/3 的實根個數與總和

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