段考詳解範圍：三角函數（弧度量、三角函數的圖形、和差角與倍角半角公式、正餘弦的疊合）

苑裡高中 113 上
高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

Q: 苑裡高中 113 上 高二第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 21 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

Q: 苑裡高中 113 上 高二第一次段考數學哪幾題最容易錯？

第 15 題的區間不是週期的整數倍，左右兩邊交點個數不同，要逐一檢查；第 18 題要先降次再疊合，而且兩係數之和正負都可以，答案有兩組；第 13 題範圍受限，最小值出現在端點而不是負的振幅；第 21 題灰色部分有兩塊，左邊那塊要用大扇形減去半圓裡的部分。詳解逐題寫在本頁。

Q: 我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

Q: 這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

原卷 21 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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題原卷全文

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則逐題詳解

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01 · 試題

原卷 21 題，照原卷順序

單選題 5 題與填充題 11 題（13 格）合併計分，共 18 格、78 分（依答對格數給分：前 6 格每格 5 分，第 7 格起每格 4 分）；多選題 2 題，每題 5 分，共 10 分；進階題 3 題，每題 4 分，共 12 分。答案已與學校公布的答案逐題核對

一、單一選擇題（與填充題合併計分）

試求

sin 7 1^{\circ} cos 4 1^{\circ} - cos 7 1^{\circ} sin 4 1^{\circ}

之值。

(A) $\frac{1}{2}$
(B) $\frac{2}{2}$
(C) $\frac{3}{2}$
(D) $- \frac{1}{2}$
(E) $- \frac{3}{2}$

將正弦函數

y = sin x

的圖形向右平移

1

單位，再以

x

軸為中心沿鉛直方向伸長為

2

倍而得出之圖形是下列哪個函數的圖形？

(A) $y = 2 sin (x + 1)$
(B) $y = 2 sin (x - 1)$
(C) $y = - 2 sin (x + 1)$
(D) $y = - 2 (x - 1)$
(E) $y = 1 + 2 sin x$

已知標準位置角

θ

滿足

\frac{61}{12} π < θ < \frac{65}{12} π

，則

θ

角位於第幾象限？（原卷不等式中間印作

x

）

(A) 第一象限
(B) 第二象限
(C) 第三象限
(D) 第四象限
(E) 以上皆非

設

f (x) = 4 sin x + 3 cos x

，則

f (x)

的最小值為下列何者？

(A) $- 1$
(B) $- 3$
(C) $- 4$
(D) $- 5$
(E) $- 7$

若

a = sin 4

，則下列何者正確？

(A) $- 1 < a < - \frac{3}{2}$
(B) $- \frac{3}{2} < a < - \frac{2}{2}$
(C) $- \frac{2}{2} < a < - \frac{1}{2}$
(D) $\frac{3}{2} < a < 1$
(E) $\frac{2}{2} < a < \frac{3}{2}$

二、多重選擇題（每題 5 分，答錯一個選項扣 2 分，扣至該題零分為止，共 10 分）

假設函數

f (x) = 5 sin 3 x

，請選出正確的選項。

(A) $f (x)$ 的值域為 $[- 3, 3]$
(B) $f (x)$ 的振幅為 $5$
(C) $f (x)$ 的週期為 $2 π$
(D) $f (1 + 2 π) = f (1)$
(E) $y = f (x)$ 的圖形可以由 $y = sin x$ 的圖形伸縮而得

已知

\frac{3 π}{2} < α < 2 π

，

sin α + cos α = \frac{1}{5}

，則下列敘述哪些正確？

(A) $sin 2 α = - \frac{12}{25}$
(B) $sin α - cos α = - \frac{7}{5}$
(C) $cos α = \frac{3}{5}$
(D) $tan \frac{α}{2} = - \frac{1}{3}$
(E) $sin (α - \frac{3 π}{2}) = \frac{4}{5}$

三、填充題（與單選題合併計分，共 78 分；答對格數 1～18 格依序得 5、10、15、20、25、30、34、38、42、46、50、54、58、62、66、70、74、78 分）

角度的轉換：(1)

1 5^{\circ} =

____ 弳。(2)

\frac{11}{6} π

弳

=

____ 度。

已知扇形的半徑為

24

公分，圓心角為

3 6^{\circ}

，求扇形的：(1) 弧長 ____。(2) 面積 ____。

將函數

y = sin x + 3 cos x

疊合成

r sin (x + θ)

，其中

r > 0

，

- π < θ < π

，試求

(r, θ) =

____。

設

9 0^{\circ} < α < 18 0^{\circ}

，

18 0^{\circ} < β < 27 0^{\circ}

，且

sin α = \frac{13}{14}

，

sin β = - \frac{11}{14}

，則

cos (α - β) =

____。

若將函數

y = sin x

的圖形想像成高高低低的山。從原點開始順著函數圖形往右走，試問走到第五個山谷（最低點）時的

x

坐標是 ____。

已知

0 \leq x \leq π

，設

y = 2 cos (\frac{π}{3} - x) - 2 cos x + 1

的最大值為

M

，最小值為

m

，則

M + m =

____。

右圖為邊長

4

的正方形，今分別以

A

、

C

為圓心，正方形的邊長為半徑畫兩圓弧，則鋪色區域面積為 ____。

載入中...

試問

y = sin \frac{x}{2}

與

y = - \frac{1}{3}

兩圖形在

- 15 \leq x \leq 15

的區間內共有 ____ 個交點。

在

△ A B C

中，

\overline{A B} = 5

，

cos A = \frac{3}{5}

，

tan B = 7

，求

△ A B C

外接圓的半徑

=

____。

海水受到月球引力的影響會發生漲落的潮汐現象，下表是某港口在一天內海水漲落的記錄表：

時間 t （小時） 水深 y （公尺） 010313610971210151318102172410

經過長期的觀測得知，水深

y

與時間

t

可以用函數

f (t) = a sin b t + c

描述，根據上述資料，求出正數

a

，

b

，

c

的值，則序組

(a, b, c) =

____。

a > b

，若

a sin^{2} θ + (a - b) cos θ sin θ - b cos^{2} θ

之最大值與最小值依次為

2 + 13

，

2 - 13

，則數對

(a, b) =

____。

四、進階題（每題 4 分，共 12 分）

如右圖，矩形木塊斜靠在牆壁上，且

\overline{A B} = 20

，

\overline{B C} = 15

，

∠ O A B = θ (0 < θ < \frac{π}{2})

，若

C

點到地面的距離為

20

時，則此時

cos θ

之值為 ____。

載入中...

觀察一個時鐘，

2

點

22

分時，時針與分針所夾的較小角為 ____。

如右圖，

\overline{A B} = 8

，以

\overline{A B}

為直徑的半圓，

C

為弧長

A B

中點，今以

B

為圓心，

\overline{A B}

為半徑作一圓弧與直線

B C

交於

D

點，則灰色部分面積為 ____ 平方單位。

載入中...

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(A)

第 2 題(B)

第 3 題(C)

第 4 題(D)

第 5 題(B)

第 6 題(B)(D)(E)

第 7 題(B)(D)(E)

第 8 題(1)

\frac{π}{12}

　(2)

330

第 9 題(1)

\frac{24 π}{5}

（公分）　(2)

\frac{288 π}{5}

（平方公分）

第 10 題

(2, \frac{π}{3})

第 11 題

- \frac{1}{2}

第 12 題

\frac{19}{2} π

第 13 題

3

第 14 題

8 π - 16

第 15 題

5

第 16 題

\frac{5 2}{2}

第 17 題

(3, \frac{π}{6}, 10)

第 18 題

(5, 1)

或

(- 1, - 5)

第 19 題

\frac{24}{25}

第 20 題

\frac{61}{180} π

（即

6 1^{\circ}

）

第 21 題

8 π - 16

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

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註冊之後，在首頁填上你們下一次段考的日期和範圍，練滿 15 題，系統就會照你做過的題、錯過的題，出一份考前藍圖 PDF：一份模擬卷、詳解，還有考前每天練哪一章。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選題：差角公式、平移伸縮、象限、疊合、弧度角估值

第 1 題答案 (A)。這是

sin (A - B) = sin A cos B - cos A sin B

的展開式：原式

= sin (7 1^{\circ} - 4 1^{\circ}) = sin 3 0^{\circ} = \frac{1}{2}

。

第 2 題答案 (B)。向右平移

1

單位是把

x

換成

x - 1

，得

y = sin (x - 1)

；再以

x

軸為中心沿鉛直方向伸長為

2

倍，是把函數值乘以

2

，得

y = 2 sin (x - 1)

。

向右平移是「

x

減」，(A) 的

x + 1

是向左平移。選項 (D) 原卷印作

y = - 2 (x - 1)

，沒有

sin

，照卷面原樣列出；它是一條直線，不是所求。

第 3 題答案 (C)。同界角相差

2 π

的整數倍：

\frac{61}{12} π = 4 π + \frac{13}{12} π

，

\frac{65}{12} π = 4 π + \frac{17}{12} π

，所以

θ

與介於

\frac{13}{12} π

和

\frac{17}{12} π

之間的角同界。因為

π < \frac{13}{12} π

且

\frac{17}{12} π < \frac{18}{12} π = \frac{3 π}{2}

，這個範圍完全落在第三象限。

原卷的不等式中間印作

x

（

\frac{61}{12} π < x < \frac{65}{12} π

），題幹前後都是

θ

，依題意應為

θ

，本頁題幹已改寫。

第 4 題答案 (D)。疊合：

f (x) = 5 (\frac{4}{5} sin x + \frac{3}{5} cos x) = 5 sin (x + φ)

，其中

cos φ = \frac{4}{5}

、

sin φ = \frac{3}{5}

。

x

為任意實數時

sin (x + φ)

的最小值是

- 1

，所以

f (x)

的最小值為

- 5

。

振幅是

4^{2} + 3^{2} = 5

，不是

4 + 3 = 7

：

sin x

與

cos x

不會同時等於

- 1

。

第 5 題答案 (B)。

π \approx 3.14

，

\frac{3 π}{2} \approx 4.71

，所以

4

弧度在第三象限，

sin 4 = - sin (4 - π)

，其中

4 - π \approx 0.86

。比較

\frac{π}{4} \approx 0.785

與

\frac{π}{3} \approx 1.047

：

\frac{π}{4} < 4 - π < \frac{π}{3}

，正弦在第一象限遞增，所以

\frac{2}{2} < sin (4 - π) < \frac{3}{2}

，加上負號得

- \frac{3}{2} < a < - \frac{2}{2}

。

數值約為

sin 4 \approx - 0.757

，而

- \frac{3}{2} \approx - 0.866

、

- \frac{2}{2} \approx - 0.707

。

弧度角先用 π 約等於 3.14 判斷象限，再化成第一象限的參考角來比較。

02多選題：正弦型函數的性質、由正餘弦的和求各種值

第 6 題答案 (B)(D)(E)。

- 1 \leq sin 3 x \leq 1

，所以

- 5 \leq f (x) \leq 5

。(A) 錯：值域是

[- 5, 5]

，不是

[- 3, 3]

。(B) 對：振幅是

5

。(C) 錯：

f (x)

的週期是

\frac{2 π}{3}

。(D) 對：

f (1 + 2 π) = 5 sin (3 + 6 π) = 5 sin 3 = f (1)

。(E) 對：把

y = sin x

的圖形以

y

軸為中心沿水平方向伸縮為

\frac{1}{3}

倍得

y = sin 3 x

，再以

x

軸為中心沿鉛直方向伸縮為

5

倍得

y = 5 sin 3 x

。

2 π

是週期

\frac{2 π}{3}

的

3

倍，所以

f (x + 2 π) = f (x)

成立，但「週期」指的是最小的正數，是

\frac{2 π}{3}

。

第 7 題答案 (B)(D)(E)。把

sin α + cos α = \frac{1}{5}

兩邊平方：

1 + 2 sin α cos α = \frac{1}{25}

，所以

sin 2 α = 2 sin α cos α = - \frac{24}{25}

。(A) 錯：是

- \frac{24}{25}

，

- \frac{12}{25}

是

sin α cos α

的值。(B) 對：

(sin α - cos α)^{2} = 1 - 2 sin α cos α = \frac{49}{25}

，

α

在第四象限，

sin α < 0 < cos α

，所以

sin α - cos α = - \frac{7}{5}

。兩式相加減得

sin α = - \frac{3}{5}

、

cos α = \frac{4}{5}

。(C) 錯：

cos α = \frac{4}{5}

。(D) 對：

tan \frac{α}{2} = \frac{sin α}{1 + cos α} = \frac{- \frac{3}{5}}{\frac{9}{5}} = - \frac{1}{3}

。(E) 對：

α - \frac{3 π}{2}

與

α + \frac{π}{2}

相差

2 π

，

sin (α + \frac{π}{2}) = cos α = \frac{4}{5}

。

(D) 用的式子來自倍角公式：

\frac{sin α}{1 + cos α} = \frac{2 sin \frac{α}{2} cos \frac{α}{2}}{2 cos ^{2} \frac{α}{2}} = tan \frac{α}{2}

，不必另外判斷

\frac{α}{2}

的象限。

多選題逐項判斷前，先把共用的量（各三角函數值）算好，每個選項再代。

03填充題：弧度換算、扇形、疊合、差角公式

第 8 題(1)

18 0^{\circ} = π

弳，所以

1 5^{\circ} = 15 \times \frac{π}{180} = \frac{π}{12}

弳。(2)

\frac{11}{6} π

弳

= \frac{11}{6} \times 18 0^{\circ} = 33 0^{\circ}

。

第 9 題先把圓心角化成弧度：

3 6^{\circ} = 36 \times \frac{π}{180} = \frac{π}{5}

。(1) 弧長

= r θ = 24 \times \frac{π}{5} = \frac{24 π}{5}

（公分）。(2) 面積

= \frac{1}{2} r^{2} θ = \frac{1}{2} \times 2 4^{2} \times \frac{π}{5} = \frac{288 π}{5}

（平方公分）。

弧長與扇形面積公式裡的

θ

要用弧度，不能直接代

36

。

第 10 題

r = 1^{2} + (3)^{2} = 2

，

y = 2 (\frac{1}{2} sin x + \frac{3}{2} cos x)

。要寫成

2 (sin x cos θ + cos x sin θ)

，需

cos θ = \frac{1}{2}

、

sin θ = \frac{3}{2}

；在

- π < θ < π

內只有

θ = \frac{π}{3}

。所以

y = 2 sin (x + \frac{π}{3})

，

(r, θ) = (2, \frac{π}{3})

。

第 11 題

α

在第二象限，

cos α = - 1 - (\frac{13}{14})^{2} = - \frac{27}{14} = - \frac{3 3}{14}

；

β

在第三象限，

cos β = - 1 - (\frac{11}{14})^{2} = - \frac{75}{14} = - \frac{5 3}{14}

。

cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β = \frac{3 3 \times 5 3}{196} + \frac{13}{14} \times (- \frac{11}{14}) = \frac{45 - 143}{196} = - \frac{98}{196} = - \frac{1}{2}

。

已知一個三角函數值求其他值時，先由象限決定正負號，再代公式。

04填充題：圖形的最低點、限制範圍的極值、扇形面積、數交點

第 12 題

y = sin x

的最低點出現在

sin x = - 1

，即

x = \frac{3 π}{2} + 2 k π

（

k

為整數）。從原點往右走，依序遇到的最低點是

x = \frac{3 π}{2}

、

\frac{7 π}{2}

、

\frac{11 π}{2}

、

\frac{15 π}{2}

、

\frac{19 π}{2}

，第五個是

x = \frac{3 π}{2} + 4 \times 2 π = \frac{19}{2} π

。

第

n

個山谷在

\frac{3 π}{2} + (n - 1) \cdot 2 π

，是加

4

個週期，不是

5

個。

第 13 題用差角公式：

2 cos (\frac{π}{3} - x) = 2 (\frac{1}{2} cos x + \frac{3}{2} sin x) = cos x + 3 sin x

。所以

y = 3 sin x - cos x + 1 = 2 (\frac{3}{2} sin x - \frac{1}{2} cos x) + 1 = 2 sin (x - \frac{π}{6}) + 1

。

0 \leq x \leq π

時

- \frac{π}{6} \leq x - \frac{π}{6} \leq \frac{5 π}{6}

，這段裡正弦的最大值是

1

（在

x - \frac{π}{6} = \frac{π}{2}

，即

x = \frac{2 π}{3}

），最小值是

sin (- \frac{π}{6}) = - \frac{1}{2}

（在

x = 0

）。

M = 2 \times 1 + 1 = 3

，

m = 2 \times (- \frac{1}{2}) + 1 = 0

，

M + m = 3

。

範圍受限時最小值不是

- 2 + 1 = - 1

：

x - \frac{π}{6}

走不到

- \frac{π}{2}

。另一端

x = π

時

sin \frac{5 π}{6} = \frac{1}{2}

，比

- \frac{1}{2}

大。

第 14 題以

A

為圓心、半徑

4

的圓弧從

B

畫到

D

，它與

\overline{A B}

、

\overline{A D}

圍成四分之一圓，面積

\frac{1}{4} π \cdot 4^{2} = 4 π

。對角線

\overline{B D}

把鋪色區域分成全等的兩塊，每一塊都是「四分之一圓減去直角三角形」的弓形：

4 π - \frac{1}{2} \times 4 \times 4 = 4 π - 8

。鋪色面積

= 2 (4 π - 8) = 8 π - 16

。

也可以想成兩個四分之一圓面積相加

8 π

，蓋滿整個正方形（面積

16

）且重疊的部分正是鋪色區域，所以鋪色面積

= 8 π - 16

。

第 15 題令

u = \frac{x}{2}

，

- 15 \leq x \leq 15

即

- 7.5 \leq u \leq 7.5

，要數

sin u = - \frac{1}{3}

在這個範圍內的解。設銳角

φ

滿足

sin φ = \frac{1}{3}

，因為

\frac{1}{3} < \frac{1}{2}

，所以

0 < φ < \frac{π}{6} \approx 0.52

。

sin u = - \frac{1}{3}

的解是

u = - φ + 2 k π

或

u = π + φ + 2 k π

。第一組：

- φ

（約

- 0.3

）、

2 π - φ

（約

5.9

）、

- 2 π - φ

（約

- 6.6

）在範圍內，

4 π - φ

（約

12.2

）超出。第二組：

π + φ

（約

3.5

）、

- π + φ

（約

- 2.8

）在範圍內，

3 π + φ

（約

9.8

）與

- 3 π + φ

（約

- 9.1

）超出。共

3 + 2 = 5

個交點。

y = sin \frac{x}{2}

的週期是

4 π \approx 12.57

，區間長

30

不是週期的整數倍，而且左右不對稱（直線在

x

軸下方），要一個一個檢查端點附近的解是否在範圍內。

數交點或求限制範圍的極值時，先換成單一角，再把角的範圍寫出來逐一檢查。

05填充題：外接圓半徑、潮汐模型、由極值反求係數

第 16 題

cos A = \frac{3}{5} > 0

，

A

是銳角，

sin A = \frac{4}{5}

。

tan B = 7 > 0

，

B

是銳角；由

sin B = 7 cos B

與

sin^{2} B + cos^{2} B = 1

得

cos B = \frac{1}{50} = \frac{1}{5 2}

、

sin B = \frac{7}{5 2}

。

C = 18 0^{\circ} - (A + B)

，所以

sin C = sin (A + B) = sin A cos B + cos A sin B = \frac{4}{5} \cdot \frac{1}{5 2} + \frac{3}{5} \cdot \frac{7}{5 2} = \frac{25}{25 2} = \frac{1}{2}

。由正弦定理

\frac{A B}{sin C} = 2 R

，得

R = \frac{5}{2 \times \frac{1}{2}} = \frac{5 2}{2}

。

\overline{A B}

的對角是

C

，所以要先求

sin C

；這裡

cos (A + B) = \frac{3}{5} \cdot \frac{1}{5 2} - \frac{4}{5} \cdot \frac{7}{5 2} < 0

，

A + B = 13 5^{\circ}

，

C = 4 5^{\circ}

。

第 17 題水深最大

13

、最小

7

。

a > 0

時最大值

a + c = 13

、最小值

- a + c = 7

，解得

a = 3

、

c = 10

。由表，

t = 3

與

t = 15

是相鄰兩次最高水位，週期為

15 - 3 = 12

（小時），

b > 0

，所以

\frac{2 π}{b} = 12

，

b = \frac{π}{6}

。

(a, b, c) = (3, \frac{π}{6}, 10)

。

檢查：

f (3) = 3 sin \frac{π}{2} + 10 = 13

、

f (9) = 3 sin \frac{3 π}{2} + 10 = 7

、

f (6) = 3 sin π + 10 = 10

，與表相符。只看表上每隔

3

小時的九筆資料，

b = \frac{π}{6} + \frac{2 π}{3} n

（

n

為正整數，例如

\frac{5 π}{6}

）也會通過這些點；題意是把表上相鄰兩次最高水位的間隔

12

小時當作週期，學校答案也是

b = \frac{π}{6}

。

第 18 題用倍角公式降次：

sin^{2} θ = \frac{1 - cos 2 θ}{2}

，

cos^{2} θ = \frac{1 + cos 2 θ}{2}

，

cos θ sin θ = \frac{1}{2} sin 2 θ

。原式

= \frac{a - b}{2} + \frac{a - b}{2} sin 2 θ - \frac{a + b}{2} cos 2 θ

。後兩項疊合後的振幅是

\frac{1}{2} (a - b)^{2} + (a + b)^{2}

，所以最大值、最小值為

\frac{a - b}{2} \pm \frac{1}{2} (a - b)^{2} + (a + b)^{2}

。與

2 \pm 13

比較：

\frac{a - b}{2} = 2

，得

a - b = 4

；

\frac{1}{2} 16 + (a + b)^{2} = 13

，得

(a + b)^{2} = 52 - 16 = 36

，

a + b = \pm 6

。

a + b = 6

時

(a, b) = (5, 1)

；

a + b = - 6

時

(a, b) = (- 1, - 5)

。兩組都滿足

a > b

，所以

(a, b) = (5, 1)

或

(- 1, - 5)

。

a + b

的正負沒有限制，兩組都要寫。最大值與最小值的平均是

\frac{a - b}{2}

、差的一半是振幅，用這兩件事列式最快。

式子裡同時有正弦平方、餘弦平方與兩者乘積時，先用倍角公式降成二倍角，再疊合。

06進階題：斜靠的矩形、時鐘夾角、組合圖形的面積

第 19 題直角三角形

O A B

中

∠ O A B = θ

，

B

的高度

\overline{O B} = 20 sin θ

。

\overline{A B}

與地面夾

θ

，而

\overline{B C} ⊥ \overline{A B}

，所以

\overline{B C}

與鉛直方向夾

θ

，

C

比

B

高

15 cos θ

。

C

到地面的距離

= 20 sin θ + 15 cos θ = 20

，即

3 cos θ = 4 (1 - sin θ)

。兩邊平方：

9 (1 - sin^{2} θ) = 16 (1 - sin θ)^{2}

。因為

0 < θ < \frac{π}{2}

，

sin θ \neq = 1

，兩邊同除以

1 - sin θ

得

9 (1 + sin θ) = 16 (1 - sin θ)

，

sin θ = \frac{7}{25}

。

θ

是銳角，

cos θ = 1 - (\frac{7}{25})^{2} = \frac{24}{25}

。

檢查：

20 \times \frac{7}{25} + 15 \times \frac{24}{25} = \frac{140 + 360}{25} = 20

。

第 20 題從

12

的位置順時針量：分針每分鐘走

6^{\circ}

，

22

分時在

22 \times 6^{\circ} = 13 2^{\circ}

；時針每小時走

3 0^{\circ}

、每分鐘走

0. 5^{\circ}

，

2

點

22

分時在

2 \times 3 0^{\circ} + 22 \times 0. 5^{\circ} = 7 1^{\circ}

。兩針夾角

13 2^{\circ} - 7 1^{\circ} = 6 1^{\circ}

，小於

18 0^{\circ}

，就是較小的角。化成弧度：

61 \times \frac{π}{180} = \frac{61}{180} π

。

題幹沒有指定單位，學校答案寫

\frac{61}{180} π

（弧度），與

6 1^{\circ}

是同一個角。

第 21 題半圓的圓心設為

M

（

\overline{A B}

中點），半徑

4

。

C

是半圓弧的中點，所以

\overline{M C} ⊥ \overline{A B}

，

△ M B C

是腰長

4

的等腰直角三角形，

∠ A B C = 4 5^{\circ} = \frac{π}{4}

。灰色部分有兩塊。右邊那塊是弦

\overline{B C}

與半圓弧

B C

圍成的弓形：扇形

M B C

減

△ M B C

= \frac{1}{4} π \cdot 4^{2} - \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 4 = 4 π - 8

。左邊那塊是以

B

為圓心的扇形

B A D

（半徑

8

、圓心角

\frac{π}{4}

）去掉其中屬於半圓的部分：扇形

B A D

面積

= \frac{1}{2} \cdot 8^{2} \cdot \frac{π}{4} = 8 π

；半圓在直線

B C

靠

A

那一側的部分，是扇形

M A C

加

△ M B C

= 4 π + 8

；所以左邊那塊

= 8 π - (4 π + 8) = 4 π - 8

。灰色部分面積

= (4 π - 8) + (4 π - 8) = 8 π - 16

。

D

在直線

B C

上且

\overline{B D} = 8

，而

\overline{B C} = 42 < 8

，所以

D

在

C

的外側，

\overline{C D}

是左邊那塊的一條邊。

組合圖形的面積，拆成扇形與三角形的加減；先把每個扇形的圓心、半徑與圓心角找出來。

同一次段考的其他學校

同樣是高二第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

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本頁列出全部 21 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

苑裡高中 113 上高二第一次段考數學哪幾題最容易錯？

第 15 題的區間不是週期的整數倍，左右兩邊交點個數不同，要逐一檢查；第 18 題要先降次再疊合，而且兩係數之和正負都可以，答案有兩組；第 13 題範圍受限，最小值出現在端點而不是負的振幅；第 21 題灰色部分有兩塊，左邊那塊要用大扇形減去半圓裡的部分。詳解逐題寫在本頁。

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題目取自苑裡高中 113 學年度上學期高二第一次段考數學A，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

苑裡高中 113 上高二第一次段考數學試題、答案與詳解

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01單選題：差角公式、平移伸縮、象限、疊合、弧度角估值

02多選題：正弦型函數的性質、由正餘弦的和求各種值

03填充題：弧度換算、扇形、疊合、差角公式

04填充題：圖形的最低點、限制範圍的極值、扇形面積、數交點

05填充題：外接圓半徑、潮汐模型、由極值反求係數

06進階題：斜靠的矩形、時鐘夾角、組合圖形的面積

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高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

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