段考詳解範圍：三角函數(弧度量、三角函數的圖形、和差角與倍角半角公式、正餘弦的疊合)

臺南一中 114 上
高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

Q: 臺南一中 114 上 高二第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 19 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

Q: 臺南一中 114 上 高二第一次段考數學哪幾題最容易錯？

單選第 1 題的 114 沒有度的符號，是弧度不是度；填充第 5 題（本頁第 9 題）正弦的範圍要看整段，中間會到負一；填充第 10 題（第 14 題）正切與直線的交點要一支一支數，最右邊那一支要看端點；填充第 12 題第 3 小題（第 18 題）左端點的等號要留、最高點不算。詳解逐題寫在本頁。

Q: 我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

Q: 這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

原卷 19 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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題原卷全文

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01 · 試題

原卷 19 題，照原卷順序

單選題 2 題（10 分）、多重選擇題 2 題（10 分）、填充題 14 格（70 分）、證明題 1 題（10 分）

一、單選題（一題 5 分，共 10 分）

在直角坐標平面上，關於點

P (sin 114, cos 114)

的位置，下列哪一個選項是正確的？

(A) 在第一象限
(B) 在第二象限
(C) 在第三象限
(D) 在第四象限
(E) 在坐標軸上

已知

a

為實數，且

sin a = a - 1

，則下列哪一個選項是正確的？

(A) $cos a < sin a < tan a$
(B) $cos a < tan a < sin a$
(C) $tan a < sin a < cos a$
(D) $tan a < cos a < sin a$
(E) $sin a < cos a < tan a$

二、多重選擇題（一題 5 分，共 10 分，錯一個選項得 3 分，錯兩個選項得 1 分，其餘得 0 分）（原卷題號 1、2，本頁編為第 3、4 題）

下列哪些函數的週期為

π

？

(A) $y = ∣ tan x ∣$
(B) $y = ∣ sin x ∣$
(C) $y = sin x + ∣ sin x ∣$
(D) $y = sin x + sin ∣ x ∣$
(E) $y = ∣ sin x - cos x ∣$

下列哪些敘述是正確的？

(A) 角 $θ$ 為第二象限角且 $cos θ = \frac{- 1}{2}$ ，則 $sin \frac{θ}{2} = \frac{3}{2}$
(B) 若點 $(α, β)$ 在 $y = tan x$ 的圖形上，則點 $(- α, - β)$ 亦在 $y = tan x$ 的圖形上
(C) 若點 $(- α, β)$ 在 $y = cos x$ 的圖形上，則點 $(α, - β)$ 亦在 $y = cos x$ 的圖形上
(D) 將 $y = sin x$ 的圖形水平方向左移 $\frac{π}{4}$ 單位，再鉛直方向伸縮 $2$ 倍，可得 $y = sin x + cos x$
(E) $y = sin (x + \frac{π}{4})$ 與 $y = cos (x - \frac{π}{4})$ 兩函數的圖形重合

三、填充題（一格 5 分，共 70 分）（原卷題號 1～12，本頁編為第 5～18 題；原卷第 12 題的 (1)(2)(3) 為第 16、17、18 題）

有一直圓錐的高為

7

，體積為

37 π

。若將此圓錐沿斜高剪開，展成一扇形，則此扇形的面積為 ____。

已知

cos x + sin x = \frac{1}{3}

，則

tan^{3} x + \frac{1}{tan ^{3} x}

之值為 ____。

已知

0 < α < \frac{π}{2}

，

0 < β < \frac{π}{2}

，

α + β + γ = \frac{π}{2}

，且

sin α = \frac{63}{65}

，

sin β = \frac{3}{5}

，則

sin γ

之值為 ____。

已知

0 \leq x < 2 π

，則滿足不等式

sin (2 x - \frac{π}{4}) > 0

的

x

值之範圍為

a < x < b

或

c < x < d

，則

a + b + c + d

之值為 ____。

已知

- \frac{2 π}{3} \leq x \leq \frac{π}{3}

，函數

f (x) = (3 - sin x + cos x) (3 - sin x - cos x)

，則

f (x)

的最大值為 ____。

已知

0 \leq x \leq \frac{π}{2}

，函數

f (x) = 2 cos^{2} x + 23 sin x cos x - 1

，若

f (x)

的最大值為

α

，最小值為

β

，則數對

(α, β) =

____。

y = 3 cos (\frac{x}{3} - \frac{π}{3})

之圖形是由

y = 3 cos \frac{x}{3}

之圖形水平方向右移

h

單位而得，則

h

之值為 ____。

已知兩直線

L_{1}

：

y = \frac{1}{2} x

與

L_{2}

：

y = \frac{1}{3} x

的銳夾角為

θ

，則

tan \frac{θ}{2}

之值為 ____。

A

、

B

兩點皆在以坐標原點為圓心的單位圓上，今以原點為中心，將點

A

依逆時針方向旋轉

4 5^{\circ}

可到達點

B

的位置。若點

B

的坐標為

(\frac{- 4}{5}, \frac{3}{5})

，則點

A

的坐標為 ____。

已知

- 2 π \leq x \leq 2 π

，方程式

x + tan x = 0

的實數解有 ____ 個。

若直線

L_{1}

：

x = \frac{π}{3}

與直線

L_{2}

：

x = \frac{π}{4}

是函數

y = f (x) = sin k x

（

k > 0

）之圖形上的兩條相鄰的對稱軸，則

k

之值為 ____。

填充第 12 題（第 16～18 題）（第 16～18 題）　已知

0 \leq x \leq π

，函數

f (x) = sin x + cos (x - \frac{π}{6})

。

(1) 將

f (x)

表成

f (x) = A sin (x + B) + C

，其中

A > 0

，

0 \leq B \leq π

，則序組

(A, B, C) =

____。

(2) 若

f (x)

的最大值為

M

，最小值為

m

，則數對

(M, m) =

____。

(3) 若方程式

f (x) = k

有兩個相異實數解，則實數

k

的範圍為 ____。

四、證明題（共 10 分，須在答案卷上寫出證明過程）（原卷題號 1，本頁編為第 19 題）

△ A B C

中，證明：

a^{2} sin 2 B + b^{2} sin 2 A = 2 ab sin C

。（提示：可能使用到二倍角公式、正弦定理、投影定理）

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(A)

第 2 題(D)

第 3 題(A)(B)(E)

第 4 題(B)(D)(E)

第 5 題

12 π

第 6 題

- \frac{297}{64}

第 7 題

- \frac{5}{13}

第 8 題

\frac{7 π}{2}

第 9 題

4 + 23

第 10 題

(2, - 1)

第 11 題

π

（一般寫成

π + 6 nπ

，

n

為整數）

第 12 題

52 - 7

第 13 題

(- \frac{2}{10}, \frac{7 2}{10})

第 14 題

5

第 15 題

12

第 16 題

(3, \frac{π}{6}, 0)

第 17 題

(3, - \frac{3}{2})

第 18 題

\frac{3}{2} \leq k < 3

第 19 題（證明題）用二倍角公式展開，再用正弦定理的

a sin B = b sin A

換掉一個因式，最後用和角公式收成

2 ab sin (A + B) = 2 ab sin C

，見詳解

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選題（第 1、2 題）：弧度的象限、由圖形估計角再比大小

第 1 題答案 (A)。

114

沒有寫度的符號，是

114

弧度。一圈是

2 π

弧度，

18

圈是

36 π \approx 113.10

，所以

114

弧度與

114 - 36 π \approx 0.90

弧度同界。

0 < 0.90 < \frac{π}{2} \approx 1.57

，是第一象限角，

sin 114 > 0

、

cos 114 > 0

，點

P

在第一象限。

如果看成

11 4^{\circ}

，就會得到

sin > 0

、

cos < 0

而選到第四象限；沒有度的符號就是弧度。

第 2 題答案 (D)。

a

是

y = sin x

與直線

y = x - 1

交點的

x

坐標。因為

- 1 \leq sin a \leq 1

，所以

0 \leq a \leq 2

。在

0 \leq x \leq \frac{π}{2}

時：

x < 1

則

x - 1 < 0 \leq sin x

；

1 \leq x \leq \frac{π}{2}

則

sin x \geq sin 1 \approx 0.84

，而

x - 1 \leq \frac{π}{2} - 1 \approx 0.57

，都不會相等。所以

\frac{π}{2} < a \leq 2

。再代

x = 1.9

：

sin 1.9 \approx 0.946 > 0.9

；代

x = 2

：

sin 2 \approx 0.909 < 1

，所以

1.9 < a < 2

，

a

是第二象限角，且

sin a = a - 1 > 0.9

。於是

sin a > 0

，

cos a < 0

，

tan a < 0

。又

cos^{2} a = 1 - sin^{2} a < 1 - 0.81 = 0.19

，

∣ cos a ∣ < 0.44

，

∣ tan a ∣ = \frac{sin a}{∣ cos a ∣} > \frac{0.9}{0.44} > 2

，所以

tan a < - 2 < cos a < 0 < sin a

，即

tan a < cos a < sin a

。

實際上

a \approx 1.935

，

sin a \approx 0.935

、

cos a \approx - 0.356

、

tan a \approx - 2.63

。

02多選題（第 3、4 題）：加絕對值後的週期、圖形的對稱與平移

第 3 題答案 (A)(B)(E)。(A)

tan x

的週期是

π

，取絕對值只是把

x

軸下方的部分翻上去，每一段長度仍是

π

，而且沒有更短的週期，對。(B)

∣ sin (x + π) ∣ = ∣ - sin x ∣ = ∣ sin x ∣

，週期

π

，對。(C)

sin x \geq 0

時函數值是

2 sin x

，

sin x < 0

時是

0

；例如

x = \frac{π}{2}

時值為

2

，

x = \frac{3 π}{2}

時值為

0

，相差

π

的兩處函數值不同，週期是

2 π

，錯。(D)

x \geq 0

時是

2 sin x

，

x < 0

時是

sin x + sin (- x) = 0

；左半邊恆為

0

、右半邊不是，不是週期函數，錯。(E)

sin x - cos x = 2 sin (x - \frac{π}{4})

，所以

y = 2 sin (x - \frac{π}{4})

，與 (B) 同理週期為

π

，對。

正弦、餘弦整個取絕對值，週期減半；只有一部分取絕對值（像 (C)(D)）就要分段看。

第 4 題答案 (B)(D)(E)。(A) 錯：第二象限角且

cos θ = - \frac{1}{2}

，則

θ = \frac{2 π}{3} + 2 k π

（

k

為整數），

\frac{θ}{2} = \frac{π}{3} + k π

；

k

為偶數時

sin \frac{θ}{2} = \frac{3}{2}

，

k

為奇數時（例如

θ = \frac{8 π}{3}

）是

- \frac{3}{2}

。(B) 對：

β = tan α

，則

tan (- α) = - tan α = - β

。(C) 錯：

β = cos (- α) = cos α

，點

(α, - β)

在圖形上要

- β = cos α = β

，只有

β = 0

才成立；例如

(0, 1)

在圖形上，

(0, - 1)

不在。(D) 對：左移

\frac{π}{4}

得

y = sin (x + \frac{π}{4})

，鉛直伸縮

2

倍得

y = 2 sin (x + \frac{π}{4}) = 2 (sin x \cdot \frac{2}{2} + cos x \cdot \frac{2}{2}) = sin x + cos x

。(E) 對：

cos (x - \frac{π}{4}) = sin (\frac{π}{2} + x - \frac{π}{4}) = sin (x + \frac{π}{4})

。

(A) 的「第二象限角」不限於

0

到

2 π

之間，半角可能落在第一或第三象限。(E) 也可以兩邊都用和差角公式展開，都是

\frac{2}{2} (sin x + cos x)

。

03填充 1～4（第 5～8 題）：扇形面積、正切立方和、和角、正弦不等式

第 5 題設底圓半徑

r

。體積

\frac{1}{3} π r^{2} \cdot 7 = 37 π

，得

r^{2} = 9

，

r = 3

。斜高

= r^{2} + (7)^{2} = 16 = 4

。展開的扇形半徑是斜高

4

，弧長是底圓周長

2 π \times 3 = 6 π

，面積

= \frac{1}{2} \times 4 \times 6 π = 12 π

。

扇形面積

= \frac{1}{2} \times

半徑

\times

弧長；這裡半徑是斜高，不是底圓半徑。

第 6 題兩邊平方：

1 + 2 sin x cos x = \frac{1}{9}

，

sin x cos x = - \frac{4}{9}

。令

t = tan x + \frac{1}{tan x} = \frac{sin x}{cos x} + \frac{cos x}{sin x} = \frac{sin ^{2} x + cos ^{2} x}{sin x cos x} = \frac{1}{sin x cos x} = - \frac{9}{4}

。因為

tan x \cdot \frac{1}{tan x} = 1

，由立方和公式

tan^{3} x + \frac{1}{tan ^{3} x} = t^{3} - 3 t = - \frac{729}{64} + \frac{27}{4} = \frac{- 729 + 432}{64} = - \frac{297}{64}

。

u^{3} + v^{3} = (u + v)^{3} - 3 uv (u + v)

，這裡

uv = 1

。

第 7 題

α

、

β

都是銳角：

cos α = 1 - (\frac{63}{65})^{2} = \frac{16}{65}

，

cos β = \frac{4}{5}

。

γ = \frac{π}{2} - (α + β)

，所以

sin γ = cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β = \frac{16}{65} \cdot \frac{4}{5} - \frac{63}{65} \cdot \frac{3}{5} = \frac{64 - 189}{325} = - \frac{125}{325} = - \frac{5}{13}

。

答案是負的並不奇怪：

cos (α + β) < 0

表示

α + β > \frac{π}{2}

，所以

γ

是負角。題目只限制

α

、

β

是銳角，沒有限制

γ

。

第 8 題令

u = 2 x - \frac{π}{4}

。

0 \leq x < 2 π

時

- \frac{π}{4} \leq u < \frac{15 π}{4}

。在這個範圍內

sin u > 0

的部分是

0 < u < π

或

2 π < u < 3 π

。換回

x = \frac{u}{2} + \frac{π}{8}

：

\frac{π}{8} < x < \frac{5 π}{8}

或

\frac{9 π}{8} < x < \frac{13 π}{8}

。所以

a + b + c + d = \frac{π + 5 π + 9 π + 13 π}{8} = \frac{28 π}{8} = \frac{7 π}{2}

。

先把

u

的範圍寫出來再找正弦為正的區間，才不會漏掉第二段。

04填充 5～8（第 9～12 題）：二次函數求極值、疊合、平移量、半角的正切

第 9 題把

3 - sin x

看成一項，用平方差：

f (x) = (3 - sin x)^{2} - cos^{2} x = 3 - 23 sin x + sin^{2} x - (1 - sin^{2} x) = 2 sin^{2} x - 23 sin x + 2

。令

t = sin x

；

- \frac{2 π}{3} \leq x \leq \frac{π}{3}

時，

x = - \frac{π}{2}

給最小的

t = - 1

，

x = \frac{π}{3}

給最大的

t = \frac{3}{2}

，所以

- 1 \leq t \leq \frac{3}{2}

。

y = 2 t^{2} - 23 t + 2 = 2 (t - \frac{3}{2})^{2} + \frac{1}{2}

，開口向上，頂點在

t = \frac{3}{2}

（右端點），離頂點最遠的

t = - 1

給最大值：

2 + 23 + 2 = 4 + 23

。

t

的範圍要看整段

x

：左端點

x = - \frac{2 π}{3}

的正弦是

- \frac{3}{2}

，但中間經過

x = - \frac{π}{2}

，正弦會到

- 1

。

第 10 題用倍角公式：

2 cos^{2} x - 1 = cos 2 x

，

2 sin x cos x = sin 2 x

，所以

f (x) = cos 2 x + 3 sin 2 x = 2 (\frac{3}{2} sin 2 x + \frac{1}{2} cos 2 x) = 2 sin (2 x + \frac{π}{6})

。

0 \leq x \leq \frac{π}{2}

時

\frac{π}{6} \leq 2 x + \frac{π}{6} \leq \frac{7 π}{6}

，正弦值最大是

1

（角為

\frac{π}{2}

，即

x = \frac{π}{6}

），最小是

- \frac{1}{2}

（角為

\frac{7 π}{6}

，即

x = \frac{π}{2}

）。所以最大值

α = 2

，最小值

β = - 1

，

(α, β) = (2, - 1)

。

流傳版本的參考答案寫

(- 1, 2)

，但題目規定

α

是最大值、

β

是最小值，數對應為

(2, - 1)

；兩者數值相同、順序相反。

第 11 題把

x

的係數提出來：

3 cos (\frac{x}{3} - \frac{π}{3}) = 3 cos \frac{x - π}{3}

，就是把

y = 3 cos \frac{x}{3}

裡的

x

換成

x - π

，圖形向右平移

π

單位，

h = π

。

平移量不是

\frac{π}{3}

：要先把

x

的係數

\frac{1}{3}

提出來。另外

y = 3 cos \frac{x}{3}

的週期是

6 π

，右移

π + 6 nπ

（

n

為整數）都會得到同一個圖形，流傳版本的參考答案寫的是這個通式。

第 12 題設

L_{1}

、

L_{2}

與

x

軸正向的夾角分別是

α

、

β

，

tan α = \frac{1}{2}

，

tan β = \frac{1}{3}

，兩個都是銳角且

α > β

，銳夾角

θ = α - β

。

tan θ = \frac{\frac{1}{2} - \frac{1}{3}}{1 + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}} = \frac{\frac{1}{6}}{\frac{7}{6}} = \frac{1}{7}

。令

t = tan \frac{θ}{2}

，由正切的二倍角公式

\frac{2 t}{1 - t ^{2}} = \frac{1}{7}

，得

t^{2} + 14 t - 1 = 0

，

t = - 7 \pm 52

。

\frac{θ}{2}

是銳角，

t > 0

，所以

tan \frac{θ}{2} = 52 - 7

。

52 \approx 7.071

，答案約

0.071

，大約是

tan θ = \frac{1}{7} \approx 0.143

的一半，合理。

05填充 9～11（第 13～15 題）：旋轉前的坐標、正切與直線的交點、對稱軸與週期

第 13 題設

A (cos φ, sin φ)

，則

B

對應的角是

φ + 4 5^{\circ}

：

cos (φ + 4 5^{\circ}) = - \frac{4}{5}

，

sin (φ + 4 5^{\circ}) = \frac{3}{5}

。把

φ

寫成

(φ + 4 5^{\circ}) - 4 5^{\circ}

，用差角公式：

cos φ = (- \frac{4}{5}) \frac{2}{2} + \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{2} = - \frac{2}{10}

；

sin φ = \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{2} - (- \frac{4}{5}) \frac{2}{2} = \frac{7 2}{10}

。所以

A (- \frac{2}{10}, \frac{7 2}{10})

。

檢查：

(\frac{2}{10})^{2} + (\frac{7 2}{10})^{2} = \frac{2 + 98}{100} = 1

，

A

確實在單位圓上。是由

B

倒轉

4 5^{\circ}

回去，要用差角，不是和角。

第 14 題改寫成

tan x = - x

，數

y = tan x

與直線

y = - x

的交點。

y = tan x

在每一支上都是遞增，直線

y = - x

遞減，所以每一支最多交一點。先看

0 \leq x \leq 2 π

：

x = 0

是一個解；

0 < x < \frac{π}{2}

時

tan x > 0 > - x

，沒有交點。

\frac{π}{2} < x < \frac{3 π}{2}

這一支

tan x

取遍所有實數，交

1

點。

\frac{3 π}{2} < x \leq 2 π

這一支

tan x

從負無限大升到

0

，而直線的值在

- 4.7

到

- 6.3

之間：靠近

\frac{3 π}{2}

時曲線在直線下方，

x = 2 π

時

tan x = 0 > - 2 π

在直線上方，交

1

點。所以

x > 0

有

2

個解。

tan x

與

- x

都是奇函數，圖形對稱於原點，

x < 0

也有

2

個解。合計

1 + 2 + 2 = 5

個。

兩個正解約為

x \approx 2.03

與

x \approx 4.91

。最右邊那一支只畫到

x = 2 π

，要確認端點處曲線已經在直線上方才算有交點。

第 15 題題幹照原卷印作

sin k x

，但照

sin k x

沒有符合條件的

k

（見下方說明）；依答案

12

，以下以

y = cos k x

說明。

y = cos k x

的對稱軸是通過最高點或最低點的鉛直線，相鄰兩條相距半個週期。所以半個週期

= \frac{π}{3} - \frac{π}{4} = \frac{π}{12}

，週期

\frac{2 π}{k} = \frac{π}{6}

，

k = 12

。檢查：

cos (12 \cdot \frac{π}{4}) = cos 3 π = - 1

（最低點），

cos (12 \cdot \frac{π}{3}) = cos 4 π = 1

（最高點），兩條都是對稱軸而且相鄰。

題幹照原卷印作

y = f (x) = sin k x

，依答案應為

cos k x

。如果是

sin k x

，

k = 12

時

sin 4 π = sin 3 π = 0

，這兩條直線通過的是圖形與

x

軸的交點，不是對稱軸；而且要兩條都是

sin k x

的對稱軸需要

\frac{k π}{3}

與

\frac{k π}{4}

都是

\frac{π}{2}

的奇數倍，即

k = \frac{3}{2} \times

奇數，同時

k = 2 \times

奇數；合起來要「

3 \times

奇數

= 4 \times

奇數」，左邊是奇數、右邊是偶數，沒有這樣的

k

。

06填充 12（第 16～18 題）：疊合、範圍內的極值、解的個數

第 16 題用差角公式展開：

cos (x - \frac{π}{6}) = \frac{3}{2} cos x + \frac{1}{2} sin x

，所以

f (x) = \frac{3}{2} sin x + \frac{3}{2} cos x

。

(\frac{3}{2})^{2} + (\frac{3}{2})^{2} = 3

，提出

3

：

f (x) = 3 (\frac{3}{2} sin x + \frac{1}{2} cos x) = 3 sin (x + \frac{π}{6})

。所以

(A, B, C) = (3, \frac{π}{6}, 0)

。

A > 0

且

0 \leq B \leq π

的限制讓寫法唯一：

cos B = \frac{3}{2}

、

sin B = \frac{1}{2}

，只有

B = \frac{π}{6}

。

第 17 題令

u = x + \frac{π}{6}

，

0 \leq x \leq π

時

\frac{π}{6} \leq u \leq \frac{7 π}{6}

。

sin u

在

u = \frac{π}{2}

（

x = \frac{π}{3}

）最大，值為

1

；在

u = \frac{7 π}{6}

（

x = π

）最小，值為

- \frac{1}{2}

。所以

M = 3

，

m = - \frac{3}{2}

，

(M, m) = (3, - \frac{3}{2})

。

最小值不是

- 3

：

u

只走到

\frac{7 π}{6}

，到不了

\frac{3 π}{2}

。

第 18 題看

y = 3 sin u

在

\frac{π}{6} \leq u \leq \frac{7 π}{6}

的圖形：從

u = \frac{π}{6}

的

\frac{3}{2}

上升到

u = \frac{π}{2}

的

3

，再一路下降，經過

u = \frac{5 π}{6}

的

\frac{3}{2}

，降到

u = \frac{7 π}{6}

的

- \frac{3}{2}

。水平線

y = k

與它交兩點，要

k

落在上升段與下降段都有的高度：

\frac{3}{2} \leq k < 3

。

k = \frac{3}{2}

時交在

u = \frac{π}{6}

、

\frac{5 π}{6}

（即

x = 0

、

\frac{2 π}{3}

）兩點，要算進去；

k = 3

只交在最高點一點，不算。

- \frac{3}{2} \leq k < \frac{3}{2}

時只有下降段碰得到，恰一個解。左端點

x = 0

在範圍內，所以

k = \frac{3}{2}

的等號要留。

疊合之後先把角的範圍寫出來，再對著那一段正弦圖形讀最大值、最小值與交點個數。

07證明題（第 19 題）：倍角公式、正弦定理與和角公式

第 19 題由二倍角公式，左式

= 2 a^{2} sin B cos B + 2 b^{2} sin A cos A

。由正弦定理

\frac{a}{sin A} = \frac{b}{sin B}

，得

a sin B = b sin A

。第一項：

a^{2} sin B cos B = a (a sin B) cos B = a (b sin A) cos B = ab sin A cos B

。第二項：

b^{2} sin A cos A = b (b sin A) cos A = b (a sin B) cos A = ab cos A sin B

。所以左式

= 2 ab (sin A cos B + cos A sin B) = 2 ab sin (A + B)

。三角形中

A + B = π - C

，

sin (A + B) = sin (π - C) = sin C

，故左式

= 2 ab sin C

，得證。

另一條路（照提示）：設外接圓半徑

R

，把

sin B = \frac{b}{2 R}

、

sin A = \frac{a}{2 R}

代入，左式

= \frac{ab}{R} (a cos B + b cos A)

；由投影定理

a cos B + b cos A = c

，得

\frac{ab c}{R} = 2 ab \cdot \frac{c}{2 R} = 2 ab sin C

。

邊與角混在一起的恆等式，先用正弦定理把其中一種換掉，剩下的交給和角或倍角公式。

同一次段考的其他學校

同樣是高二第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

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題目取自臺南一中 114 學年度上學期高二第一次段考數學A，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

臺南一中 114 上高二第一次段考數學試題、答案與詳解

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01單選題（第 1、2 題）：弧度的象限、由圖形估計角再比大小

02多選題（第 3、4 題）：加絕對值後的週期、圖形的對稱與平移

03填充 1～4（第 5～8 題）：扇形面積、正切立方和、和角、正弦不等式

04填充 5～8（第 9～12 題）：二次函數求極值、疊合、平移量、半角的正切

05填充 9～11（第 13～15 題）：旋轉前的坐標、正切與直線的交點、對稱軸與週期

06填充 12（第 16～18 題）：疊合、範圍內的極值、解的個數

07證明題（第 19 題）：倍角公式、正弦定理與和角公式

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臺南一中 114 上
高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

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