段考詳解範圍：高三數學乙（反導函數與不定積分、定積分與微積分基本定理、定積分的性質、面積、積分在經濟上的應用）

苑裡高中 114 上
高三第三次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 24 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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題原卷全文

則逐題詳解

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01 · 試題

原卷 24 題，照原卷順序

多重選擇題 4 題，每題 5 分，每答錯一選項扣 2 分，扣至該題 0 分為止，共 20 分；單選題 4 題與填充題 16 格合併計分，共 20 格，答對 1～20 格依序得 6、12、18、24、30、35、40、45、49、53、57、60、63、66、69、72、74、76、78、80 分。原卷各大題各自從 1 編號，本頁依序編為第 1～4 題、第 5～8 題，填充第 (1)～(16) 格是第 9～24 題。答案已與學校公布的答案逐題核對，全部一致。

一、單選題（與填充題合併計分）

求定積分

\int_{1}^{3} 6 d x

的值為

(A) $6$
(B) $12$
(C) $14$
(D) $18$
(E) $20$

求不定積分

\int (x^{3} - 2 x^{2} + 3) d x =

？

(A) $3 x^{2} - 4 x + C$ ，其中 $C$ 為常數
(B) $x^{4} - 2 x^{3} + 3 x + C$ ，其中 $C$ 為常數
(C) $\frac{1}{4} x^{4} - 4 x^{3} + 3 x + C$ ，其中 $C$ 為常數
(D) $\frac{1}{4} x^{4} - \frac{2}{3} x^{3} + C$ ，其中 $C$ 為常數
(E) $\frac{1}{4} x^{4} - \frac{2}{3} x^{3} + 3 x + C$ ，其中 $C$ 為常數

求

y = - 3 x^{2} + 12

在

x = - 2

到

x = 2

之間與

x

軸所圍成的面積為

(A) $30$
(B) $32$
(C) $34$
(D) $36$
(E) $38$

小林記錄家中附近上午

0

時到上午

6

時的氣溫變化，找到氣溫（℃）與時間（

t

）的關係

f (t)

為二次函數

f (t) = \frac{1}{3} t^{2} - \frac{7}{3} t + 16

，則上午

0

時到上午

6

時的平均氣溫為下列何者？

(A) $11$ ℃
(B) $12$ ℃
(C) $12.5$ ℃
(D) $13$ ℃
(E) $14$ ℃

二、多重選擇題（每題 5 分，每答錯一選項扣 2 分，扣至該題 0 分為止，共 20 分）

設函數

f (x) = 3 x^{2} - 1

，試選出

f (x)

的反導函數。

(A) $6 x$
(B) $x^{3}$
(C) $- x^{3}$
(D) $x^{3} - x$
(E) $x^{3} - x - 1$

試判斷下列哪些單項式的定積分值正確？

(A) $\int_{0}^{1} 1 d x = 1$
(B) $\int_{0}^{1} x d x = \frac{1}{2}$
(C) $\int_{0}^{1} x^{2} d x = \frac{1}{3}$
(D) $\int_{0}^{1} x^{3} d x = \frac{1}{4}$
(E) $\int_{0}^{1} x^{4} d x = \frac{1}{5}$

如附圖，設連續函數

y = f (x)

的圖形包含兩條直線與一個半圓，則下列哪些選項正確？

(A) $\int_{0}^{2} f (x) d x = 4$
(B) $\int_{2}^{6} f (x) d x = 2 π$
(C) $\int_{6}^{8} f (x) d x = 5$
(D) $\int_{0}^{6} f (x) d x > 0$
(E) $\int_{0}^{8} f (x) d x > 0$

載入中...

某工廠出品精油，當銷售

x

瓶時，需求函數為

D (x) = 720 - 0.004 x

（單位：元），供給函數為

S (x) = 0.016 x

（單位：元），則下列哪些選項正確？

(A) 銷售 $1000$ 瓶精油時，每瓶價格為 $680$ 元
(B) 該產品的均衡量為 $36000$ 瓶
(C) 該產品的均衡價為 $576$ 元
(D) 消費者剩餘為 $2592000$ 元
(E) 生產者剩餘為 $1200000$ 元

三、填充題（和單選題合併計分，計分方式參考答案卷）

多項式函數

f (x) = x^{4} - 2 x - 1

的所有反導函數為＿＿＿＿

+ C

（

C

為常數）。

\int_{2}^{4} (3 x^{2} - x + 1) d x =

＿＿＿＿。

求

\int_{0}^{3} 9 - x^{2} d x =

＿＿＿＿。

求定積分

\int_{- 5}^{1} ∣ x + 4 ∣ d x =

＿＿＿＿。

試求函數

f (x) = 3 x^{2} + 4 x + 2

在

x = - 2

到

x = 0

之間與

x

軸所圍的區域面積為＿＿＿＿

填充第 6 題（第 14～16 題）　設

f (x)

為一個多項式函數，已知定積分

\int_{5}^{8} f (x) d x = - 3

，

\int_{5}^{8} g (x) d x = 7

，試求下列各定積分值。

(1)

\int_{5}^{8} [3 f (x) - 2 g (x)] d x =

＿＿＿＿。

(2)

\int_{8}^{5} g (x) d x =

＿＿＿＿。

(3)

\int_{3}^{3} 2 f (x) d x =

＿＿＿＿。

若不定積分

\int (1538 x + 1537) d x = a x^{2} + b x + C

，其中

C

為任意常數，試求

b - a =

＿＿＿＿。

已知

f (x)

的圖形如附圖，封閉區域

A

、

B

、

C

、

D

的面積依序為

3

、

7

、

2

、

5

，則

\int_{1}^{7} f (x) d x =

＿＿＿＿。

載入中...

某公司生產晶片，已知每天晶片的邊際成本函數為

f^{'} (x) = 0.000012 x^{2} - 0.008 x + 3

（單位：元／個），其中

x

為產量（單位：個）。假設這些晶片的固定成本為

200

元，即

f (0) = 200

，試求此公司每天生產前

500

個晶片的總成本

f (500)

為＿＿＿＿元。

設生產

x

件產品的邊際利潤函數為

f (x) = \frac{x ^{2}}{2} + 200

（元），當產量從

30

件增加到

60

件時，求增加這

30

件產品所增加的利潤為＿＿＿＿元。

經過問卷調查後，某款自行車的需求函數為

D (x) = 12000 - 3 x^{2}

（元/台），已知當產品的單位價格為

9300

元，試求消費者剩餘的值為＿＿＿＿元。

填充第 12 題（第 22～24 題）　某公司開發一遊戲軟體，當銷售

x

套時的需求函數為

D (x) = 1500 - x

（單位：元），供給函數為

S (x) = 840 + 1.2 x

（單位：元）。

(1) 在市場均衡的狀況下，則均衡點

(Q, P) =

＿＿＿＿。

(2) 在市場均衡的狀況下，試求消費者剩餘＿＿＿＿元。

(3) 在市場均衡的狀況下，試求生產者剩餘＿＿＿＿元。

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(B)

第 2 題(E)

第 3 題(B)

第 4 題(D)

第 5 題(D)(E)

第 6 題(A)(B)(C)(D)(E)

第 7 題(A)(C)(E)

第 8 題(B)(C)(D)

第 9 題

\frac{1}{5} x^{5} - x^{2} - x

第 10 題

52

第 11 題

\frac{9}{4} π

第 12 題

13

第 13 題

4

第 14 題

- 23

第 15 題

- 7

第 16 題

0

第 17 題

768

第 18 題

7

第 19 題

1200

第 20 題

37500

第 21 題

54000

第 22 題

(300, 1200)

第 23 題

45000

第 24 題

54000

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選題：定積分、不定積分、面積、函數的平均值

第 1 題

① $6$ 的一個反導函數是 $6 x$ ，由微積分基本定理：

$\int_{1}^{3} 6 d x = [6 x]_{1}^{3} = 18 - 6 = 12$

② 從圖看：這是高 $6$ 、寬 $3 - 1 = 2$ 的長方形面積， $6 \times 2 = 12$ 。

答案 (B)。

載入中...

第 2 題

① 逐項找反導函數： $x^{3}$ 的反導函數是 $\frac{1}{4} x^{4}$ ， $- 2 x^{2}$ 的是 $- \frac{2}{3} x^{3}$ ， $3$ 的是 $3 x$ 。

② 所以

$\int (x^{3} - 2 x^{2} + 3) d x = \frac{1}{4} x^{4} - \frac{2}{3} x^{3} + 3 x + C$

③ 對照選項：(A) 是微分的結果；(B) 係數沒有除以次數加 $1$ ；(C) 第二項錯；(D) 漏了常數項 $3$ 的反導函數 $3 x$ 。

答案 (E)。

檢查的方法是把選項微分回去：

(\frac{1}{4} x^{4} - \frac{2}{3} x^{3} + 3 x + C)^{'} = x^{3} - 2 x^{2} + 3

，和被積分函數一樣。

第 3 題

① $- 3 x^{2} + 12 = - 3 (x + 2) (x - 2)$ ，在 $- 2 \leq x \leq 2$ 時 $y \geq 0$ ，圖形在 $x$ 軸上方，面積就等於定積分。

② 反導函數 $- x^{3} + 12 x$ ：

$\int_{- 2}^{2} (- 3 x^{2} + 12) d x = [- x^{3} + 12 x]_{- 2}^{2} = 16 - (- 16) = 32$

答案 (B)。

載入中...

第 4 題

① 連續函數 $f (t)$ 在 $0 \leq t \leq 6$ 的平均值是 $\frac{1}{6 - 0} \int_{0}^{6} f (t) d t$ 。

② 反導函數 $\frac{1}{9} t^{3} - \frac{7}{6} t^{2} + 16 t$ ：

$\int_{0}^{6} f (t) d t = \frac{216}{9} - \frac{7}{6} \cdot 36 + 96 = 24 - 42 + 96 = 78$

③ 平均氣溫 $\frac{78}{6} = 13$ （℃）。

答案 (D)。

載入中...

平均值的意思：高

13

、寬

6

的長方形面積，和曲線下方

0 \leq t \leq 6

的面積一樣都是

78

。

定積分用微積分基本定理算：先找反導函數，再代上限減下限；圖形在 x 軸上方時，定積分就是面積。

02多重選擇題：反導函數、單項式的定積分、由圖形求定積分、消費者與生產者剩餘

第 5 題

$F (x)$ 是 $f (x)$ 的反導函數，意思是 $F^{'} (x) = f (x) = 3 x^{2} - 1$ 。逐一微分：

(A) 錯誤。 $(6 x)^{'} = 6$ ； $6 x$ 是 $f (x)$ 的導函數，不是反導函數。

(B) 錯誤。 $(x^{3})^{'} = 3 x^{2}$ ，少了 $- 1$ 。

(D) 正確。 $(x^{3} - x)^{'} = 3 x^{2} - 1$ 。

(E) 正確。 $(x^{3} - x - 1)^{'} = 3 x^{2} - 1$ ；常數的導數是 $0$ ，反導函數可以差一個常數。

答案 (D)(E)。

第 6 題

$x^{n}$ 的反導函數是 $\frac{1}{n + 1} x^{n + 1}$ ，所以

$\int_{0}^{1} x^{n} d x = \frac{1}{n + 1} \cdot 1^{n + 1} - 0 = \frac{1}{n + 1}$

(A) 正確。 $n = 0$ ， $\int_{0}^{1} 1 d x = [x]_{0}^{1} = 1$ 。

(B) 正確。 $n = 1$ ， $[\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{1} = \frac{1}{2}$ 。

(D) 正確。 $n = 3$ ， $[\frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{1} = \frac{1}{4}$ 。

(E) 正確。 $n = 4$ ， $[\frac{1}{5} x^{5}]_{0}^{1} = \frac{1}{5}$ 。

答案 (A)(B)(C)(D)(E)。

第 7 題

定積分是「有號面積」：圖形在 $x$ 軸上方的面積算正，下方的算負。由圖，三段分別是：

① $0 \leq x \leq 2$ ：直角三角形，底 $2$ 、高 $4$ ，在 $x$ 軸上方，面積 $4$ 。

② $2 \leq x \leq 6$ ：圓心 $(4, 0)$ 、半徑 $2$ 的下半圓，在 $x$ 軸下方，面積 $\frac{1}{2} π \cdot 2^{2} = 2 π$ 。

③ $6 \leq x \leq 8$ ：直角三角形，底 $2$ 、高 $5$ ，在 $x$ 軸上方，面積 $5$ 。

(A) 正確。 $\int_{0}^{2} f (x) d x = 4$ 。

(B) 錯誤。 半圓在 $x$ 軸下方， $\int_{2}^{6} f (x) d x = - 2 π$ 。

(D) 錯誤。 $\int_{0}^{6} f (x) d x = 4 - 2 π$ ，而 $2 π > 6 > 4$ ，所以小於 $0$ 。

(E) 正確。 $\int_{0}^{8} f (x) d x = 4 - 2 π + 5 = 9 - 2 π$ ，而 $2 π < 2 \times 3.15 = 6.3 < 9$ ，所以大於 $0$ 。

答案 (A)(C)(E)。

載入中...

第 8 題

① 均衡：需求價格等於供給價格，

$720 - 0.004 x = 0.016 x \Rightarrow 0.02 x = 720 \Rightarrow x = 36000$

均衡價 $S (36000) = 0.016 \times 36000 = 576$ 。

② 消費者剩餘是需求曲線與均衡價之間的面積（上方三角形）：

$\int_{0}^{36000} (720 - 0.004 x - 576) d x = [144 x - 0.002 x^{2}]_{0}^{36000} = 5184000 - 2592000 = 2592000$

③ 生產者剩餘是均衡價與供給曲線之間的面積（下方三角形）：

$\int_{0}^{36000} (576 - 0.016 x) d x = [576 x - 0.008 x^{2}]_{0}^{36000} = 20736000 - 10368000 = 10368000$

(A) 錯誤。 銷售 $1000$ 瓶時，每瓶價格是需求函數的值 $D (1000) = 720 - 4 = 716$ 元，不是 $680$ 元。

(B) 正確。 均衡量 $36000$ 瓶。

(D) 正確。 消費者剩餘 $2592000$ 元。

(E) 錯誤。 生產者剩餘是 $10368000$ 元，不是 $1200000$ 元。

答案 (B)(C)(D)。

載入中...

兩條都是直線，剩餘也可以用三角形面積驗算：消費者剩餘

\frac{1}{2} \times 36000 \times (720 - 576) = 2592000

，生產者剩餘

\frac{1}{2} \times 36000 \times 576 = 10368000

。

反導函數微分回去要等於原函數；定積分是有號面積，x 軸下方算負；消費者剩餘在均衡價上方、生產者剩餘在均衡價下方。

03填充題（一）：反導函數、定積分的計算與性質、面積

第 9 題

逐項找反導函數： $x^{4} \to \frac{1}{5} x^{5}$ ， $- 2 x \to - x^{2}$ ， $- 1 \to - x$ 。

所有反導函數為 $\frac{1}{5} x^{5} - x^{2} - x + C$ 。

答案 $\frac{1}{5} x^{5} - x^{2} - x$ 。

第 10 題

① 反導函數 $F (x) = x^{3} - \frac{1}{2} x^{2} + x$ 。

② $F (4) = 64 - 8 + 4 = 60$ ， $F (2) = 8 - 2 + 2 = 8$ 。

③ $\int_{2}^{4} (3 x^{2} - x + 1) d x = F (4) - F (2) = 60 - 8 = 52$ 。

答案 $52$ 。

第 11 題

① $y = 9 - x^{2}$ 平方得 $x^{2} + y^{2} = 9$ ， $y \geq 0$ ，是圓心在原點、半徑 $3$ 的上半圓。

② $0 \leq x \leq 3$ 這一段是第一象限的四分之一圓，在 $x$ 軸上方，定積分等於它的面積：

$\int_{0}^{3} 9 - x^{2} d x = \frac{1}{4} π \cdot 3^{2} = \frac{9}{4} π$

答案 $\frac{9}{4} π$ 。

載入中...

9 - x^{2}

不是多項式，找不到熟悉的反導函數；看成圓的一部分，用面積求定積分。

第 12 題

① $∣ x + 4 ∣$ 在 $x = - 4$ 轉折： $x \leq - 4$ 時等於 $- x - 4$ ， $x \geq - 4$ 時等於 $x + 4$ 。

② 圖形在 $x$ 軸上方，定積分是兩個直角三角形的面積：

$- 5 \leq x \leq - 4$ ：底 $1$ 、高 $1$ ，面積 $\frac{1}{2}$ 。

$- 4 \leq x \leq 1$ ：底 $5$ 、高 $5$ ，面積 $\frac{25}{2}$ 。

③ 合計 $\frac{1}{2} + \frac{25}{2} = 13$ 。

答案 $13$ 。

載入中...

也可以分段積分：

\int_{- 5}^{- 4} (- x - 4) d x + \int_{- 4}^{1} (x + 4) d x = \frac{1}{2} + \frac{25}{2} = 13

。

第 13 題

① 先看圖形在不在 $x$ 軸上方： $3 x^{2} + 4 x + 2$ 的判別式 $4^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 2 = - 8 < 0$ ，開口向上，恆正。

② 所以面積就是定積分，反導函數 $x^{3} + 2 x^{2} + 2 x$ ：

$\int_{- 2}^{0} (3 x^{2} + 4 x + 2) d x = 0 - (- 8 + 8 - 4) = 4$

答案 $4$ 。

載入中...

第 14 題

由定積分的線性性質：

$\int_{5}^{8} [3 f (x) - 2 g (x)] d x = 3 \int_{5}^{8} f (x) d x - 2 \int_{5}^{8} g (x) d x$

代入得 $3 \times (- 3) - 2 \times 7 = - 9 - 14 = - 23$ 。

答案 $- 23$ 。

第 15 題

上下限對調，定積分變號：

$\int_{8}^{5} g (x) d x = - \int_{5}^{8} g (x) d x = - 7$

答案 $- 7$ 。

第 16 題

上限和下限相同，區間長度是 $0$ ：設 $F (x)$ 為 $2 f (x)$ 的反導函數， $\int_{3}^{3} 2 f (x) d x = F (3) - F (3) = 0$ 。

答案 $0$ 。

這一格用不到已知的兩個定積分，也不必知道

f (3)

。

第 17 題

① 逐項找反導函數：

$\int (1538 x + 1537) d x = 769 x^{2} + 1537 x + C$

② 比較係數： $a = 769$ ， $b = 1537$ 。

③ $b - a = 1537 - 769 = 768$ 。

答案 $768$ 。

第 18 題

① 定積分是有號面積：由圖， $A$ 、 $C$ 在 $x$ 軸下方算負， $B$ 、 $D$ 在 $x$ 軸上方算正。

② $1$ 到 $7$ 依序經過 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ ：

$\int_{1}^{7} f (x) d x = - 3 + 7 - 2 + 5 = 7$

答案 $7$ 。

載入中...

若題目問的是

x = 1

到

x = 7

間圖形與

x

軸所圍的面積，四塊都要算正的，是

3 + 7 + 2 + 5 = 17

；定積分與面積不一樣。

定積分的性質：線性可拆、上下限對調變號、上下限相同為 0；非多項式的被積分函數，看成圖形用面積算。

04填充題（二）：積分在經濟上的應用

第 19 題

① 邊際成本 $f^{'} (x)$ 的反導函數就是總成本 $f (x)$ 加一個常數：

$f (x) = 0.000004 x^{3} - 0.004 x^{2} + 3 x + C$

② 由 $f (0) = 200$ 得 $C = 200$ 。

③ $f (500) = 0.000004 \times 125000000 - 0.004 \times 250000 + 1500 + 200 = 500 - 1000 + 1500 + 200 = 1200$ 。

答案 $1200$ （元）。

寫成定積分：

f (500) = f (0) + \int_{0}^{500} f^{'} (x) d x = 200 + 1000 = 1200

。

第 20 題

① 利潤的增加量是邊際利潤從 $30$ 到 $60$ 的定積分。

② 反導函數 $\frac{x ^{3}}{6} + 200 x$ ：

$\int_{30}^{60} (\frac{x ^{2}}{2} + 200) d x = \frac{6 0 ^{3} - 3 0 ^{3}}{6} + 200 \times 30 = 31500 + 6000 = 37500$

答案 $37500$ （元）。

第 21 題

① 先求價格 $9300$ 元時的需求量： $12000 - 3 x^{2} = 9300$ ， $x^{2} = 900$ ， $x = 30$ （ $x > 0$ ）。

② 消費者剩餘是需求曲線與價格線 $y = 9300$ 之間、 $0 \leq x \leq 30$ 的面積：

$\int_{0}^{30} (12000 - 3 x^{2} - 9300) d x = [2700 x - x^{3}]_{0}^{30} = 81000 - 27000 = 54000$

答案 $54000$ （元）。

載入中...

第 22 題

① 均衡時需求價格等於供給價格：

$1500 - x = 840 + 1.2 x \Rightarrow 2.2 x = 660 \Rightarrow x = 300$

② 均衡價 $D (300) = 1500 - 300 = 1200$ 。

答案 $(Q, P) = (300, 1200)$ 。

載入中...

第 23 題

消費者剩餘是需求曲線與均衡價 $P = 1200$ 之間、 $0 \leq x \leq 300$ 的面積：

$\int_{0}^{300} (1500 - x - 1200) d x = [300 x - \frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{300} = 90000 - 45000 = 45000$

答案 $45000$ （元）。

載入中...

這塊是直角三角形：底

300

、高

1500 - 1200 = 300

，面積

\frac{1}{2} \times 300 \times 300 = 45000

。

第 24 題

生產者剩餘是均衡價 $P = 1200$ 與供給曲線之間、 $0 \leq x \leq 300$ 的面積：

$\int_{0}^{300} (1200 - 840 - 1.2 x) d x = [360 x - 0.6 x^{2}]_{0}^{300} = 108000 - 54000 = 54000$

答案 $54000$ （元）。

載入中...

這塊也是直角三角形：底

300

、高

1200 - 840 = 360

，面積

\frac{1}{2} \times 300 \times 360 = 54000

。

由邊際函數求總量：積分後用已知值定常數；消費者剩餘是需求曲線減均衡價的積分，生產者剩餘是均衡價減供給曲線的積分。

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苑裡高中 114 上高三第三次段考數學的答案在哪裡？

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苑裡高中 114 上高三第三次段考數學哪幾題最容易錯？

多重選擇第 3 題（本頁第 7 題）：半圓在 x 軸下方，定積分是負 2π 不是 2π，(D)(E) 要拿 2π 和 4、9 比大小。多重選擇第 4 題（本頁第 8 題）：生產者剩餘是均衡價與供給線之間的三角形，½×36000×576＝10368000 元，(E) 的 1200000 不對。填充第 8 題（本頁第 18 題）：定積分是有號面積，A、C 在 x 軸下方要算負。填充第 3 題（本頁第 11 題）：根號裡不是多項式，要看成四分之一圓用面積求。

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題目取自苑裡高中 114 學年度上學期高三第三次段考數學乙，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

御藍教育／段考卷／高三

段考詳解範圍：高三數學乙（反導函數與不定積分、定積分與微積分基本定理、定積分的性質、面積、積分在經濟上的應用）

苑裡高中 114 上
高三第三次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 24 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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01 · 試題

原卷 24 題，照原卷順序

一、單選題（與填充題合併計分）

求定積分

\int_{1}^{3} 6 d x

的值為

(A) $6$
(B) $12$
(C) $14$
(D) $18$
(E) $20$

求不定積分

\int (x^{3} - 2 x^{2} + 3) d x =

？

(A) $3 x^{2} - 4 x + C$ ，其中 $C$ 為常數
(B) $x^{4} - 2 x^{3} + 3 x + C$ ，其中 $C$ 為常數
(C) $\frac{1}{4} x^{4} - 4 x^{3} + 3 x + C$ ，其中 $C$ 為常數
(D) $\frac{1}{4} x^{4} - \frac{2}{3} x^{3} + C$ ，其中 $C$ 為常數
(E) $\frac{1}{4} x^{4} - \frac{2}{3} x^{3} + 3 x + C$ ，其中 $C$ 為常數

求

y = - 3 x^{2} + 12

在

x = - 2

到

x = 2

之間與

x

軸所圍成的面積為

(A) $30$
(B) $32$
(C) $34$
(D) $36$
(E) $38$

小林記錄家中附近上午

0

時到上午

6

時的氣溫變化，找到氣溫（℃）與時間（

t

）的關係

f (t)

為二次函數

f (t) = \frac{1}{3} t^{2} - \frac{7}{3} t + 16

，則上午

0

時到上午

6

時的平均氣溫為下列何者？

(A) $11$ ℃
(B) $12$ ℃
(C) $12.5$ ℃
(D) $13$ ℃
(E) $14$ ℃

二、多重選擇題（每題 5 分，每答錯一選項扣 2 分，扣至該題 0 分為止，共 20 分）

設函數

f (x) = 3 x^{2} - 1

，試選出

f (x)

的反導函數。

(A) $6 x$
(B) $x^{3}$
(C) $- x^{3}$
(D) $x^{3} - x$
(E) $x^{3} - x - 1$

試判斷下列哪些單項式的定積分值正確？

(A) $\int_{0}^{1} 1 d x = 1$
(B) $\int_{0}^{1} x d x = \frac{1}{2}$
(C) $\int_{0}^{1} x^{2} d x = \frac{1}{3}$
(D) $\int_{0}^{1} x^{3} d x = \frac{1}{4}$
(E) $\int_{0}^{1} x^{4} d x = \frac{1}{5}$

如附圖，設連續函數

y = f (x)

的圖形包含兩條直線與一個半圓，則下列哪些選項正確？

(A) $\int_{0}^{2} f (x) d x = 4$
(B) $\int_{2}^{6} f (x) d x = 2 π$
(C) $\int_{6}^{8} f (x) d x = 5$
(D) $\int_{0}^{6} f (x) d x > 0$
(E) $\int_{0}^{8} f (x) d x > 0$

載入中...

某工廠出品精油，當銷售

x

瓶時，需求函數為

D (x) = 720 - 0.004 x

（單位：元），供給函數為

S (x) = 0.016 x

（單位：元），則下列哪些選項正確？

(A) 銷售 $1000$ 瓶精油時，每瓶價格為 $680$ 元
(B) 該產品的均衡量為 $36000$ 瓶
(C) 該產品的均衡價為 $576$ 元
(D) 消費者剩餘為 $2592000$ 元
(E) 生產者剩餘為 $1200000$ 元

三、填充題（和單選題合併計分，計分方式參考答案卷）

多項式函數

f (x) = x^{4} - 2 x - 1

的所有反導函數為＿＿＿＿

+ C

（

C

為常數）。

\int_{2}^{4} (3 x^{2} - x + 1) d x =

＿＿＿＿。

求

\int_{0}^{3} 9 - x^{2} d x =

＿＿＿＿。

求定積分

\int_{- 5}^{1} ∣ x + 4 ∣ d x =

＿＿＿＿。

試求函數

f (x) = 3 x^{2} + 4 x + 2

在

x = - 2

到

x = 0

之間與

x

軸所圍的區域面積為＿＿＿＿

填充第 6 題（第 14～16 題）　設

f (x)

為一個多項式函數，已知定積分

\int_{5}^{8} f (x) d x = - 3

，

\int_{5}^{8} g (x) d x = 7

，試求下列各定積分值。

(1)

\int_{5}^{8} [3 f (x) - 2 g (x)] d x =

＿＿＿＿。

(2)

\int_{8}^{5} g (x) d x =

＿＿＿＿。

(3)

\int_{3}^{3} 2 f (x) d x =

＿＿＿＿。

若不定積分

\int (1538 x + 1537) d x = a x^{2} + b x + C

，其中

C

為任意常數，試求

b - a =

＿＿＿＿。

已知

f (x)

的圖形如附圖，封閉區域

A

、

B

、

C

、

D

的面積依序為

3

、

7

、

2

、

5

，則

\int_{1}^{7} f (x) d x =

＿＿＿＿。

載入中...

某公司生產晶片，已知每天晶片的邊際成本函數為

f^{'} (x) = 0.000012 x^{2} - 0.008 x + 3

（單位：元／個），其中

x

為產量（單位：個）。假設這些晶片的固定成本為

200

元，即

f (0) = 200

，試求此公司每天生產前

500

個晶片的總成本

f (500)

為＿＿＿＿元。

設生產

x

件產品的邊際利潤函數為

f (x) = \frac{x ^{2}}{2} + 200

（元），當產量從

30

件增加到

60

件時，求增加這

30

件產品所增加的利潤為＿＿＿＿元。

經過問卷調查後，某款自行車的需求函數為

D (x) = 12000 - 3 x^{2}

（元/台），已知當產品的單位價格為

9300

元，試求消費者剩餘的值為＿＿＿＿元。

填充第 12 題（第 22～24 題）　某公司開發一遊戲軟體，當銷售

x

套時的需求函數為

D (x) = 1500 - x

（單位：元），供給函數為

S (x) = 840 + 1.2 x

（單位：元）。

(1) 在市場均衡的狀況下，則均衡點

(Q, P) =

＿＿＿＿。

(2) 在市場均衡的狀況下，試求消費者剩餘＿＿＿＿元。

(3) 在市場均衡的狀況下，試求生產者剩餘＿＿＿＿元。

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(B)

第 2 題(E)

第 3 題(B)

第 4 題(D)

第 5 題(D)(E)

第 6 題(A)(B)(C)(D)(E)

第 7 題(A)(C)(E)

第 8 題(B)(C)(D)

第 9 題

\frac{1}{5} x^{5} - x^{2} - x

第 10 題

52

第 11 題

\frac{9}{4} π

第 12 題

13

第 13 題

4

第 14 題

- 23

第 15 題

- 7

第 16 題

0

第 17 題

768

第 18 題

7

第 19 題

1200

第 20 題

37500

第 21 題

54000

第 22 題

(300, 1200)

第 23 題

45000

第 24 題

54000

03 · 勾錯題號

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

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01單選題：定積分、不定積分、面積、函數的平均值

第 1 題

① $6$ 的一個反導函數是 $6 x$ ，由微積分基本定理：

$\int_{1}^{3} 6 d x = [6 x]_{1}^{3} = 18 - 6 = 12$

② 從圖看：這是高 $6$ 、寬 $3 - 1 = 2$ 的長方形面積， $6 \times 2 = 12$ 。

答案 (B)。

載入中...

第 2 題

① 逐項找反導函數： $x^{3}$ 的反導函數是 $\frac{1}{4} x^{4}$ ， $- 2 x^{2}$ 的是 $- \frac{2}{3} x^{3}$ ， $3$ 的是 $3 x$ 。

② 所以

$\int (x^{3} - 2 x^{2} + 3) d x = \frac{1}{4} x^{4} - \frac{2}{3} x^{3} + 3 x + C$

③ 對照選項：(A) 是微分的結果；(B) 係數沒有除以次數加 $1$ ；(C) 第二項錯；(D) 漏了常數項 $3$ 的反導函數 $3 x$ 。

答案 (E)。

檢查的方法是把選項微分回去：

(\frac{1}{4} x^{4} - \frac{2}{3} x^{3} + 3 x + C)^{'} = x^{3} - 2 x^{2} + 3

，和被積分函數一樣。

第 3 題

① $- 3 x^{2} + 12 = - 3 (x + 2) (x - 2)$ ，在 $- 2 \leq x \leq 2$ 時 $y \geq 0$ ，圖形在 $x$ 軸上方，面積就等於定積分。

② 反導函數 $- x^{3} + 12 x$ ：

$\int_{- 2}^{2} (- 3 x^{2} + 12) d x = [- x^{3} + 12 x]_{- 2}^{2} = 16 - (- 16) = 32$

答案 (B)。

載入中...

第 4 題

① 連續函數 $f (t)$ 在 $0 \leq t \leq 6$ 的平均值是 $\frac{1}{6 - 0} \int_{0}^{6} f (t) d t$ 。

② 反導函數 $\frac{1}{9} t^{3} - \frac{7}{6} t^{2} + 16 t$ ：

$\int_{0}^{6} f (t) d t = \frac{216}{9} - \frac{7}{6} \cdot 36 + 96 = 24 - 42 + 96 = 78$

③ 平均氣溫 $\frac{78}{6} = 13$ （℃）。

答案 (D)。

載入中...

平均值的意思：高

13

、寬

6

的長方形面積，和曲線下方

0 \leq t \leq 6

的面積一樣都是

78

。

定積分用微積分基本定理算：先找反導函數，再代上限減下限；圖形在 x 軸上方時，定積分就是面積。

02多重選擇題：反導函數、單項式的定積分、由圖形求定積分、消費者與生產者剩餘

第 5 題

$F (x)$ 是 $f (x)$ 的反導函數，意思是 $F^{'} (x) = f (x) = 3 x^{2} - 1$ 。逐一微分：

(A) 錯誤。 $(6 x)^{'} = 6$ ； $6 x$ 是 $f (x)$ 的導函數，不是反導函數。

(B) 錯誤。 $(x^{3})^{'} = 3 x^{2}$ ，少了 $- 1$ 。

(D) 正確。 $(x^{3} - x)^{'} = 3 x^{2} - 1$ 。

(E) 正確。 $(x^{3} - x - 1)^{'} = 3 x^{2} - 1$ ；常數的導數是 $0$ ，反導函數可以差一個常數。

答案 (D)(E)。

第 6 題

$x^{n}$ 的反導函數是 $\frac{1}{n + 1} x^{n + 1}$ ，所以

$\int_{0}^{1} x^{n} d x = \frac{1}{n + 1} \cdot 1^{n + 1} - 0 = \frac{1}{n + 1}$

(A) 正確。 $n = 0$ ， $\int_{0}^{1} 1 d x = [x]_{0}^{1} = 1$ 。

(B) 正確。 $n = 1$ ， $[\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{1} = \frac{1}{2}$ 。

(D) 正確。 $n = 3$ ， $[\frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{1} = \frac{1}{4}$ 。

(E) 正確。 $n = 4$ ， $[\frac{1}{5} x^{5}]_{0}^{1} = \frac{1}{5}$ 。

答案 (A)(B)(C)(D)(E)。

第 7 題

定積分是「有號面積」：圖形在 $x$ 軸上方的面積算正，下方的算負。由圖，三段分別是：

① $0 \leq x \leq 2$ ：直角三角形，底 $2$ 、高 $4$ ，在 $x$ 軸上方，面積 $4$ 。

② $2 \leq x \leq 6$ ：圓心 $(4, 0)$ 、半徑 $2$ 的下半圓，在 $x$ 軸下方，面積 $\frac{1}{2} π \cdot 2^{2} = 2 π$ 。

③ $6 \leq x \leq 8$ ：直角三角形，底 $2$ 、高 $5$ ，在 $x$ 軸上方，面積 $5$ 。

(A) 正確。 $\int_{0}^{2} f (x) d x = 4$ 。

(B) 錯誤。 半圓在 $x$ 軸下方， $\int_{2}^{6} f (x) d x = - 2 π$ 。

(D) 錯誤。 $\int_{0}^{6} f (x) d x = 4 - 2 π$ ，而 $2 π > 6 > 4$ ，所以小於 $0$ 。

(E) 正確。 $\int_{0}^{8} f (x) d x = 4 - 2 π + 5 = 9 - 2 π$ ，而 $2 π < 2 \times 3.15 = 6.3 < 9$ ，所以大於 $0$ 。

答案 (A)(C)(E)。

載入中...

第 8 題

① 均衡：需求價格等於供給價格，

$720 - 0.004 x = 0.016 x \Rightarrow 0.02 x = 720 \Rightarrow x = 36000$

均衡價 $S (36000) = 0.016 \times 36000 = 576$ 。

② 消費者剩餘是需求曲線與均衡價之間的面積（上方三角形）：

$\int_{0}^{36000} (720 - 0.004 x - 576) d x = [144 x - 0.002 x^{2}]_{0}^{36000} = 5184000 - 2592000 = 2592000$

③ 生產者剩餘是均衡價與供給曲線之間的面積（下方三角形）：

$\int_{0}^{36000} (576 - 0.016 x) d x = [576 x - 0.008 x^{2}]_{0}^{36000} = 20736000 - 10368000 = 10368000$

(A) 錯誤。 銷售 $1000$ 瓶時，每瓶價格是需求函數的值 $D (1000) = 720 - 4 = 716$ 元，不是 $680$ 元。

(B) 正確。 均衡量 $36000$ 瓶。

(D) 正確。 消費者剩餘 $2592000$ 元。

(E) 錯誤。 生產者剩餘是 $10368000$ 元，不是 $1200000$ 元。

答案 (B)(C)(D)。

載入中...

兩條都是直線，剩餘也可以用三角形面積驗算：消費者剩餘

\frac{1}{2} \times 36000 \times (720 - 576) = 2592000

，生產者剩餘

\frac{1}{2} \times 36000 \times 576 = 10368000

。

反導函數微分回去要等於原函數；定積分是有號面積，x 軸下方算負；消費者剩餘在均衡價上方、生產者剩餘在均衡價下方。

03填充題（一）：反導函數、定積分的計算與性質、面積

第 9 題

逐項找反導函數： $x^{4} \to \frac{1}{5} x^{5}$ ， $- 2 x \to - x^{2}$ ， $- 1 \to - x$ 。

所有反導函數為 $\frac{1}{5} x^{5} - x^{2} - x + C$ 。

答案 $\frac{1}{5} x^{5} - x^{2} - x$ 。

第 10 題

① 反導函數 $F (x) = x^{3} - \frac{1}{2} x^{2} + x$ 。

② $F (4) = 64 - 8 + 4 = 60$ ， $F (2) = 8 - 2 + 2 = 8$ 。

③ $\int_{2}^{4} (3 x^{2} - x + 1) d x = F (4) - F (2) = 60 - 8 = 52$ 。

答案 $52$ 。

第 11 題

① $y = 9 - x^{2}$ 平方得 $x^{2} + y^{2} = 9$ ， $y \geq 0$ ，是圓心在原點、半徑 $3$ 的上半圓。

② $0 \leq x \leq 3$ 這一段是第一象限的四分之一圓，在 $x$ 軸上方，定積分等於它的面積：

$\int_{0}^{3} 9 - x^{2} d x = \frac{1}{4} π \cdot 3^{2} = \frac{9}{4} π$

答案 $\frac{9}{4} π$ 。

載入中...

9 - x^{2}

不是多項式，找不到熟悉的反導函數；看成圓的一部分，用面積求定積分。

第 12 題

① $∣ x + 4 ∣$ 在 $x = - 4$ 轉折： $x \leq - 4$ 時等於 $- x - 4$ ， $x \geq - 4$ 時等於 $x + 4$ 。

② 圖形在 $x$ 軸上方，定積分是兩個直角三角形的面積：

$- 5 \leq x \leq - 4$ ：底 $1$ 、高 $1$ ，面積 $\frac{1}{2}$ 。

$- 4 \leq x \leq 1$ ：底 $5$ 、高 $5$ ，面積 $\frac{25}{2}$ 。

③ 合計 $\frac{1}{2} + \frac{25}{2} = 13$ 。

答案 $13$ 。

載入中...

也可以分段積分：

\int_{- 5}^{- 4} (- x - 4) d x + \int_{- 4}^{1} (x + 4) d x = \frac{1}{2} + \frac{25}{2} = 13

。

第 13 題

① 先看圖形在不在 $x$ 軸上方： $3 x^{2} + 4 x + 2$ 的判別式 $4^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 2 = - 8 < 0$ ，開口向上，恆正。

② 所以面積就是定積分，反導函數 $x^{3} + 2 x^{2} + 2 x$ ：

$\int_{- 2}^{0} (3 x^{2} + 4 x + 2) d x = 0 - (- 8 + 8 - 4) = 4$

答案 $4$ 。

載入中...

第 14 題

由定積分的線性性質：

$\int_{5}^{8} [3 f (x) - 2 g (x)] d x = 3 \int_{5}^{8} f (x) d x - 2 \int_{5}^{8} g (x) d x$

代入得 $3 \times (- 3) - 2 \times 7 = - 9 - 14 = - 23$ 。

答案 $- 23$ 。

第 15 題

上下限對調，定積分變號：

$\int_{8}^{5} g (x) d x = - \int_{5}^{8} g (x) d x = - 7$

答案 $- 7$ 。

第 16 題

上限和下限相同，區間長度是 $0$ ：設 $F (x)$ 為 $2 f (x)$ 的反導函數， $\int_{3}^{3} 2 f (x) d x = F (3) - F (3) = 0$ 。

答案 $0$ 。

這一格用不到已知的兩個定積分，也不必知道

f (3)

。

第 17 題

① 逐項找反導函數：

$\int (1538 x + 1537) d x = 769 x^{2} + 1537 x + C$

② 比較係數： $a = 769$ ， $b = 1537$ 。

③ $b - a = 1537 - 769 = 768$ 。

答案 $768$ 。

第 18 題

① 定積分是有號面積：由圖， $A$ 、 $C$ 在 $x$ 軸下方算負， $B$ 、 $D$ 在 $x$ 軸上方算正。

② $1$ 到 $7$ 依序經過 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ ：

$\int_{1}^{7} f (x) d x = - 3 + 7 - 2 + 5 = 7$

答案 $7$ 。

載入中...

若題目問的是

x = 1

到

x = 7

間圖形與

x

軸所圍的面積，四塊都要算正的，是

3 + 7 + 2 + 5 = 17

；定積分與面積不一樣。

定積分的性質：線性可拆、上下限對調變號、上下限相同為 0；非多項式的被積分函數，看成圖形用面積算。

04填充題（二）：積分在經濟上的應用

第 19 題

① 邊際成本 $f^{'} (x)$ 的反導函數就是總成本 $f (x)$ 加一個常數：

$f (x) = 0.000004 x^{3} - 0.004 x^{2} + 3 x + C$

② 由 $f (0) = 200$ 得 $C = 200$ 。

③ $f (500) = 0.000004 \times 125000000 - 0.004 \times 250000 + 1500 + 200 = 500 - 1000 + 1500 + 200 = 1200$ 。

答案 $1200$ （元）。

寫成定積分：

f (500) = f (0) + \int_{0}^{500} f^{'} (x) d x = 200 + 1000 = 1200

。

第 20 題

① 利潤的增加量是邊際利潤從 $30$ 到 $60$ 的定積分。

② 反導函數 $\frac{x ^{3}}{6} + 200 x$ ：

$\int_{30}^{60} (\frac{x ^{2}}{2} + 200) d x = \frac{6 0 ^{3} - 3 0 ^{3}}{6} + 200 \times 30 = 31500 + 6000 = 37500$

答案 $37500$ （元）。

第 21 題

① 先求價格 $9300$ 元時的需求量： $12000 - 3 x^{2} = 9300$ ， $x^{2} = 900$ ， $x = 30$ （ $x > 0$ ）。

② 消費者剩餘是需求曲線與價格線 $y = 9300$ 之間、 $0 \leq x \leq 30$ 的面積：

$\int_{0}^{30} (12000 - 3 x^{2} - 9300) d x = [2700 x - x^{3}]_{0}^{30} = 81000 - 27000 = 54000$

答案 $54000$ （元）。

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第 22 題

① 均衡時需求價格等於供給價格：

$1500 - x = 840 + 1.2 x \Rightarrow 2.2 x = 660 \Rightarrow x = 300$

② 均衡價 $D (300) = 1500 - 300 = 1200$ 。

答案 $(Q, P) = (300, 1200)$ 。

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第 23 題

消費者剩餘是需求曲線與均衡價 $P = 1200$ 之間、 $0 \leq x \leq 300$ 的面積：

$\int_{0}^{300} (1500 - x - 1200) d x = [300 x - \frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{300} = 90000 - 45000 = 45000$

答案 $45000$ （元）。

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這塊是直角三角形：底

300

、高

1500 - 1200 = 300

，面積

\frac{1}{2} \times 300 \times 300 = 45000

。

第 24 題

生產者剩餘是均衡價 $P = 1200$ 與供給曲線之間、 $0 \leq x \leq 300$ 的面積：

$\int_{0}^{300} (1200 - 840 - 1.2 x) d x = [360 x - 0.6 x^{2}]_{0}^{300} = 108000 - 54000 = 54000$

答案 $54000$ （元）。

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這塊也是直角三角形：底

300

、高

1200 - 840 = 360

，面積

\frac{1}{2} \times 300 \times 360 = 54000

。

由邊際函數求總量：積分後用已知值定常數；消費者剩餘是需求曲線減均衡價的積分，生產者剩餘是均衡價減供給曲線的積分。

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