苑裡高中 114 上
高三第三次段考
數學試題、答案與詳解

答案 (A)。

① 定積分是有號面積：圖形在 $x$ 軸上方的部分記正，在下方的部分記負。

② $R_1$、$R_3$ 在 $x$ 軸上方，$R_2$ 在 $x$ 軸下方，所以

$${\int }_0^{3}f(x)dx={\int }_0^{1}f(x)dx+{\int }_1^{2}f(x)dx+{\int }_2^{3}f(x)dx=3+(-5)+7=5$$

所以答案是 $5$，選 (A)。

答案 (C)。

① 圓心在原點、半徑 $3$ 的圓是 $x^2+y^2=9$，上半圓的部分 $y\ge 0$，解出 $y=\sqrt{9-x^2}$。

② 上半圓區域就是曲線 $y=\sqrt{9-x^2}$ 與 $x$ 軸在 $x=-3$ 到 $x=3$ 之間所圍的區域，曲線都在 $x$ 軸上方，所以面積是

$${\int }_{-3}^3\sqrt{9-x^2}dx$$

③ 其他選項：(A)(E) 是拋物線下的區域（(E) 還是負值），(B)(D) 多乘了 $\pi$，都不是。

答案 (B)。

① $F(x)$ 是 $g(x)$ 的反導函數，意思是 $F^{\prime }(x)=g(x)=3x^2-2x-1$。逐一把選項微分：

② (A) 的導函數是 $6x-2$；(B) $(x^3-x^2-x+16{)}^{\prime }=3x^2-2x-1$，正好是 $g(x)$；(C) 的導函數是 $2x-4$；(D) 的導函數是 $6$。

③ (E) 由微積分基本定理，${\int }_1^x(6t-2)dt=[3t^2-2t{]}_1^x=3x^2-2x-1$，它就是 $g(x)$ 本身，導函數是 $6x-2$，不是 $g(x)$。

所以選 (B)。

答案 (D)。

① 分成 $n$ 等分時，下和 $\le$ 定積分 $\le$ 上和，也就是 $L_n\le {\int }_0^{2}f(x)dx\le U_n$。

② 求極限：

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{U}_n=\underset{n\to \infty }{\lim }(7+\frac{3}{n}+\frac{1}{n^2})=7,\underset{n\to \infty }{\lim }{L}_n=\underset{n\to \infty }{\lim }(7-\frac{3}{n}+\frac{1}{n^2})=7$$

③ 上和與下和的極限相同，夾在中間的定積分只能是 $7$，選 (D)。

答案 (D)。

① 連續函數 $f(t)$ 在 $[0,6]$ 上的平均值是 $\frac{1}{6-0}{\int }_0^{6}f(t)dt$。

② 先算定積分：

$${\int }_0^6(\frac{1}{3}{t}^2-\frac{7}{3}t+16)dt=[\frac{1}{9}{t}^3-\frac{7}{6}{t}^2+16t{]}_0^6=24-42+96=78$$

③ 平均氣溫 $=\frac{78}{6}=13$（℃），選 (D)。

答案 (B)(D)(E)。用微積分基本定理逐一計算：

(A) 錯誤。 ${\int }_0^{2}3dx=[3x{]}_0^2=6$，不是 $3$。

(B) 正確。 ${\int }_0^{2}xdx=[\frac{x^2}{2}{]}_0^2=2$。

(C) 錯誤。 ${\int }_0^2{x}^{2}dx=[\frac{x^3}{3}{]}_0^2=\frac{8}{3}$，不是 $4$。

(D) 正確。 ${\int }_0^2{x}^{3}dx=[\frac{x^4}{4}{]}_0^2=\frac{16}{4}=4$。

(E) 正確。 ${\int }_0^2(-x)dx=-{\int }_0^{2}xdx=-2$。

答案 (A)(B)(E)。

先算兩塊面積：$R_1$ 是兩股都是 $3$ 的直角三角形，$A_1=\frac{9}{2}$；$R_2$ 是兩股都是 $6$ 的直角三角形，$A_2=18$。

(A) 正確。 ${\int }_0^{-3}xdx=-{\int }_{-3}^{0}xdx=-[\frac{x^2}{2}{]}_{-3}^0=-(0-\frac{9}{2})=\frac{9}{2}=A_1$。

(B) 正確。 ${\int }_0^{6}xdx=[\frac{x^2}{2}{]}_0^6=18=A_2$。

(C) 錯誤。 ${\int }_{-3}^{6}xdx=18-\frac{9}{2}=\frac{27}{2}$，是 $A_2-A_1$，不是 $A_1+A_2=\frac{45}{2}$。

(D) 錯誤。 $2A_1=9\ne 18$。

(E) 正確。 $4A_1=18=A_2$。

答案 (D)(E)。$F(x)$ 是反導函數的條件是 $F^{\prime }(x)=3x^2-1$：

(A) 錯誤。 $(6x{)}^{\prime }=6$。

(B) 錯誤。 $(x^3{)}^{\prime }=3x^2$，少了 $-1$。

(C) 錯誤。 $(-x^3{)}^{\prime }=-3x^2$。

(D) 正確。 $(x^3-x{)}^{\prime }=3x^2-1$。

(E) 正確。 $(x^3-x-1{)}^{\prime }=3x^2-1$，和 (D) 只差常數 $-1$。

答案 (C)(D)。令 $f(x)=x^3+2x+4$，則 $f^{\prime }(x)=3x^2+2\ge 2>0$，$f$ 在整條數線上嚴格遞增。

(A) 錯誤。 $f$ 嚴格遞增，而且 $x\to \infty$ 時 $f(x)\to \infty$、$x\to -\infty$ 時 $f(x)\to -\infty$，圖形沒有最高點也沒有最低點。

(B) 錯誤。 切線斜率 $f^{\prime }(x)\ge 2$，永遠不會是 $0$，沒有水平切線。

(C) 正確。 $h(x)=x^3+2x+1000$ 的導函數 $3x^2+2>0$，$h$ 嚴格遞增；又 $h(-10)=-20<0$，$h(0)=1000>0$，所以 $h(x)=0$ 恰有一個實數解。

(D) 正確。 $b=a^3+2a+4$，則 $f(-a)=-a^3-2a+4=-(a^3+2a+4)+8=-b+8$，所以 $(-a,-b+8)$ 也在圖形上（圖形對稱於點 $(0,4)$）。

(E) 錯誤。 在 $[0,1]$ 上 $f(x)\ge 4>0$，面積是 ${\int }_0^1(x^3+2x+4)dx=\frac{1}{4}+1+4=\frac{21}{4}$，小於 $6$。

答案 $15$。

$${\int }_1^{4}2xdx=[x^2{]}_1^4=16-1=15$$

也可以看成梯形面積：上底 $2$、下底 $8$、高 $3$，面積 $\frac{(2+8)\times 3}{2}=15$。

答案 $0$。

① $h(x)=x^3-x$ 滿足 $h(-x)=-h(x)$，是奇函數，在 $[-4,0]$ 與 $[0,4]$ 上的有號面積大小相同、正負相反。

② 直接計算也一樣：

$${\int }_{-4}^4(x^3-x)dx=[\frac{x^4}{4}-\frac{x^2}{2}{]}_{-4}^4=(64-8)-(64-8)=0$$

答案 $17$。

① 絕對值要分段：$x<0$ 時 $|x|=-x$，$x\ge 0$ 時 $|x|=x$。

② 分成兩段計算：

$${\int }_{-3}^5|x|dx={\int }_{-3}^0(-x)dx+{\int }_0^{5}xdx=\frac{9}{2}+\frac{25}{2}=17$$

圖上就是兩個等腰直角三角形的面積和。

答案 $-49$。

由定積分的線性性質，

$${\int }_{-2}^6(4g(x)-5f(x))dx=4{\int }_{-2}^{6}g(x)dx-5{\int }_{-2}^{6}f(x)dx=4\times (-1)-5\times 9=-49$$

答案 $\frac{15}{2}$。

① $[0,2]$ 分成 $4$ 段，每段寬 $\frac{1}{2}$，分點是 $0,\frac{1}{2},1,\frac{3}{2},2$。

② $f(x)=2x^2$ 在 $[0,2]$ 上遞增，每段的最大值在右端點，上矩形的高是 $f\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{2}$，$f(1)=2$，$f\left(\frac{3}{2}\right)=\frac{9}{2}$，$f(2)=8$。

③ 上和

$$U_4=\frac{1}{2}(\frac{1}{2}+2+\frac{9}{2}+8)=\frac{1}{2}\times 15=\frac{15}{2}$$

答案 $7-2\pi$。由圖讀出：$0$ 到 $2$ 是從 $(0,5)$ 到 $(2,0)$ 的線段，$2$ 到 $6$ 是圓心 $(4,0)$、半徑 $2$ 的下半圓，$6$ 到 $7$ 是從 $(6,0)$ 到 $(7,4)$ 的線段。

① ${\int }_0^{2}f(x)dx$：底 $2$、高 $5$ 的三角形，在 $x$ 軸上方，值為 $5$。

② ${\int }_2^{6}f(x)dx$：半徑 $2$ 的半圓，在 $x$ 軸下方，值為 $-\frac{1}{2}\pi \cdot 2^2=-2\pi$。

③ ${\int }_6^{7}f(x)dx$：底 $1$、高 $4$ 的三角形，在 $x$ 軸上方，值為 $2$。

④ 相加：${\int }_0^{7}f(x)dx=5-2\pi +2=7-2\pi$。

答案 $F(x)=x^3+2x^2-x+2$。

① 反導函數：$F(x)=\int (3x^2+4x-1)dx=x^3+2x^2-x+C$，$C$ 為常數。

② 由 $F(1)=4$：$1+2-1+C=4$，得 $C=2$。

所以 $F(x)=x^3+2x^2-x+2$。

答案 $\frac{1}{6}$。

① 與 $x$ 軸的交點：$x^2-3x+2=(x-1)(x-2)=0$，$x=1$ 或 $2$。

② 在 $1<x<2$ 時 $f(x)<0$，圖形在 $x$ 軸下方，面積要取負號：

$${\int }_1^2-(x^2-3x+2)dx=-[\frac{x^3}{3}-\frac{3x^2}{2}+2x{]}_1^2=-(\frac{2}{3}-\frac{5}{6})=\frac{1}{6}$$

答案 $16$。

① $f(t)$ 是記憶的速度（個／分），$20$ 分鐘內記住的單字數是速度對時間的定積分 ${\int }_0^{20}f(t)dt$。

② 計算：

$${\int }_0^{20}(-0.009t^2+0.2t)dt=[-0.003t^3+0.1t^2{]}_0^{20}=-24+40=16$$

所以可記憶 $16$ 個單字。

答案 $\frac{32}{27}$。

① 交點：$3x^2=2x+1$，即 $3x^2-2x-1=(3x+1)(x-1)=0$，$x=-\frac{1}{3}$ 或 $1$。

② 在 $-\frac{1}{3}<x<1$ 時直線在拋物線上方（例如 $x=0$：$1>0$），面積是

$${\int }_{-1/3}^1(2x+1-3x^2)dx=[x^2+x-x^3{]}_{-1/3}^1=1-(-\frac{5}{27})=\frac{32}{27}$$

答案 $\frac{38\pi }{15}$。

① 在 $0\le x\le 1$ 時 $y=x^2+2x\ge 0$。繞 $x$ 軸旋轉，在 $x$ 處的截面是半徑 $y$ 的圓，面積 $\pi (x^2+2x{)}^2$。

② 體積

$$\pi {\int }_0^1(x^2+2x{)}^{2}dx=\pi {\int }_0^1(x^4+4x^3+4x^2)dx=\pi (\frac{1}{5}+1+\frac{4}{3})=\frac{38\pi }{15}$$

答案 $99\pi$。

① 看截面：碗口的直徑通過球心 $O$，傾斜後與水平夾 $30^{\circ }$。水面是過碗口最低點 $P$ 的水平線，$\overline{OP}=6$，所以球心到水面的距離是 $6\sin 30^{\circ }=3$。

② 碗口其他的點都比 $P$ 高，水面以下的球的部分全都在碗裡，所以剩下的水是一個球冠：以垂直水面的方向為 $y$ 軸、球心為原點，它是 $y$ 從 $-6$ 到 $-3$ 的部分。

③ 用截面積求體積：在高度 $y$ 的截面是半徑 $\sqrt{36-y^2}$ 的圓，剩下的水體積是

$$\pi {\int }_{-6}^{-3}(36-y^2)dy=\pi [36y-\frac{y^3}{3}{]}_{-6}^{-3}=\pi (-99+144)=45\pi$$

④ 原來裝滿的半球體積是 $\pi {\int }_{-6}^0(36-y^2)dy=144\pi$。

⑤ 流出的水 $=144\pi -45\pi =99\pi$（立方公分）。

答案 $\frac{1}{5}$。

① 把分母的 $n^5$ 拆成 $n\cdot n^4$：

$$\frac{1^4+2^4+\cdots +n^4}{n^5}=\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n(\frac{k}{n}{)}^4$$

② 這是把 $[0,1]$ 分成 $n$ 等分、以右端點的 $x^4$ 為高的矩形面積和，$n\to \infty$ 時趨近 ${\int }_0^1{x}^{4}dx$。

③ 所以極限 $={\int }_0^1{x}^{4}dx=[\frac{x^5}{5}{]}_0^1=\frac{1}{5}$。