段考詳解範圍：三角函數與指數函數（弧度量、三角函數的圖形、和差角與倍角半角公式、正餘弦的疊合、指數函數的圖形與指數方程式不等式）

德光高中 114 上
高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

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01 · 試題

原卷 19 題，照原卷順序

多選題 5 題（40 分）、填充題 10 題（40 分）、素養計算題組 2 大題共 4 小題（20 分）

一、多選題（一題 8 分，共 40 分，依 8-5-2-0 計分）

下列有關弧度量的敘述哪些是正確的？

(A) 若 $θ = 5$ 弳，則 $θ$ 為第二象限角
(B) $cos 7 > cos 8 > cos 9$
(C) 點 $(sin 50, cos 50)$ 在第二象限
(D) $3$ 弳 $> 18 0^{\circ}$
(E) $cos (cos \frac{π}{2}) > sin (sin \frac{π}{2}) > cos (sin \frac{π}{2}) > sin (cos \frac{π}{2})$

函數

f (x) = - 2 sin 3 x

，請問下列選項何者為真？

(A) $- 2 \leq f (x) \leq 2$
(B) $f (x)$ 在 $x = \frac{π}{6}$ 時有最小值
(C) $f (x)$ 的週期為 $\frac{2 π}{3}$
(D) $y = f (x)$ 的圖形對稱於直線 $x = \frac{π}{2}$
(E) $f (2) < 0$

若

\frac{3 π}{2} < θ < 2 π

，且

cos θ = \frac{3}{4}

，則下列選項哪些是正確的？

(A) $sin 2 θ = \frac{3 7}{8}$
(B) $cos 2 θ = \frac{1}{8}$
(C) $cos 3 θ = \frac{9}{16}$
(D) $sin \frac{θ}{2} = \frac{14}{4}$
(E) $tan \frac{θ}{2} = - \frac{7}{7}$

關於函數

y = sin x - cos x

的圖形，選出正確的選項。

(A) 週期為 $π$
(B) 振幅為 $2$
(C) 與 $y$ 軸的交點為 $(0, - 1)$
(D) 與 $x$ 軸有無限多個交點
(E) 對稱於直線 $x = \frac{π}{4}$

關於指數函數圖形的性質，下列選項哪些正確？

(A) $y = 2^{x}$ 與 $y = (\frac{1}{2})^{x}$ 的圖形對稱於 $y$ 軸
(B) $y = 2^{x}$ 與 $y = - 2^{x}$ 的圖形對稱於 $x$ 軸
(C) $y = 2^{x}$ 與 $y = 2^{x - 1}$ 的圖形可能有交點
(D) $\frac{2 ^{50} + 2 ^{100}}{2} > 2^{75}$
(E) $y = 2^{x}$ 與 $y = x^{2}$ 的圖形有 $2$ 個交點

二、填充題（一題 4 分，共 40 分）〔原卷填充第 1～10 題，本頁編為第 6～15 題〕

圖中

A B ⌢

和

C D ⌢

分別是兩同心圓上等圓心角的弧，若弧長

A B ⌢ = 40

公分，弧長

C D ⌢ = 100

公分，

\overline{A D} = \overline{B C} = 30

公分，則區域

A B C D

的面積為 ____ 平方公分。

載入中...

已知

\frac{2 π}{3} \leq x \leq \frac{7 π}{6}

，試求

f (x) = \frac{6 sin x + 9}{3 sin x + 4}

的最大值為 ____。

試求

sin \frac{2 π}{3} cos \frac{π}{6} + cos \frac{3 π}{2} sin \frac{5 π}{6} + tan \frac{5 π}{4} sin \frac{7 π}{6} =

____。

設

a

、

b

為正實數，

c

、

d

為實數，且

0 < c < π

，若

y = a cos (b x + c) + d

的週期為

\frac{2 π}{3}

，當

x = - \frac{π}{9}

時，

y

有最大值

1

；當

x = \frac{2 π}{9}

時，

y

有最小值

- 3

，則序組

(a, b, c, d) =

____。

兩直線

L_{1} : 3 x - y + 4 = 0

與

L_{2} : x - 2 y + 5 = 0

的夾角

θ

為 ____。

設

0 < α < \frac{π}{2}

，

0 < β < \frac{π}{2}

，且

sin α = \frac{13}{14}

，

sin β = \frac{11}{14}

，則

α + β =

____。

若

y = sin x + sin (\frac{π}{3} - x)

，且

0 \leq x \leq \frac{π}{2}

，若

y

的最大值為

a

，此時的

x

為

b

，則數對

(a, b) =

____。

設

- \frac{π}{2} < x < \frac{π}{2}

，則方程式

3 cos x - sin x = 1

的解

x =

____。

設

y = 1 6^{x} - 4^{x + \frac{1}{2}} - 2

，

- 2 \leq x \leq \frac{1}{2}

，若

y

的最大值

M

，最小值

m

，則

M + m =

____。

已知

\frac{1}{9} < (\frac{1}{3})^{2 x + 1} < 9

，求

x

的範圍為 ____。

三、素養計算題組（每大題 10 分，共 20 分，計算題須有過程，否則不予計分）〔原卷第 1 題 (1)(2)、第 2 題 (1)(2)，本頁編為第 16～19 題〕

素養計算第 1 題（第 16～17 題）（第 16～17 題）　《老師，你會不會回來？》來自真人真事改編的台灣電影。片中提及：「

1

乘以

1

是

1

，即使乘一萬次還是

1

，但只要多了

0.01

，乘以

70

次之後，它就會大於

2

。」

(1) 請問依照上述題意，若多了

0.01

，乘以

n

次後的結果，所代表的式子為下列哪個選項？（3 分）

(A) $1 + 0.01 \times n$
(B) $(1 + 0.01) \times n$
(C) $1 + (0.01)^{n}$
(D) $(1 + 0.01)^{n}$
(E) $(1 + 0.1)^{n}$

(2) 倘若學習效益如同電影所述，而高中每次期中考間隔約

6

週，若每週努力的成效皆相較上週多了

x %

的成長，並希望經過

6

週後能有

2

倍的努力成果，試求

x

值。（四捨五入至小數點後第二位）（已知

62 \approx 1.12246

）（7 分）

〔原卷第 2 題〕(1) 若

(2^{x} + 2^{- x}) = t

，則

4^{x} + 4^{- x} =

？（以

t

表示，3 分）

〔原卷第 2 題〕(2) 解方程式

4 (4^{x} + 4^{- x}) - 25 (2^{x} + 2^{- x}) + 42 = 0

，得

x =

____。（7 分）

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(B)(C)(E)

第 2 題(A)(B)(C)(D)

第 3 題(B)(E)

第 4 題(C)(D)

第 5 題(A)(B)(D)

第 6 題

2100

第 7 題

\frac{12}{5}

第 8 題

\frac{1}{4}

第 9 題

(2, 3, \frac{π}{3}, - 1)

第 10 題

4 5^{\circ}

或

13 5^{\circ}

第 11 題

\frac{2 π}{3}

第 12 題

(1, \frac{π}{6})

第 13 題

\frac{π}{6}

第 14 題

- 5

第 15 題

- \frac{3}{2} < x < \frac{1}{2}

第 16 題(D)

第 17 題

x \approx 12.25

第 18 題

t^{2} - 2

第 19 題

x = 0

或

x = \pm 2

03 · 勾錯題號

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

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01多選 1～5：弧度、圖形、倍角半角、疊合與指數函數

第 1 題答案 (B)(C)(E)。用

π \approx 3.14

估位置。(A) 錯：

\frac{3 π}{2} \approx 4.71 < 5 < 2 π \approx 6.28

，

5

弳在第四象限。(B) 對：

2 π \approx 6.28 < 7 < \frac{5 π}{2} \approx 7.85

，

7

與第一象限角同界，

cos 7 > 0

；

\frac{5 π}{2} < 8 < 9 < 3 π \approx 9.42

，

8

、

9

都與第二象限角同界，餘弦為負，且在這一段角愈大餘弦愈小，所以

cos 7 > 0 > cos 8 > cos 9

。(C) 對：

\frac{31 π}{2} \approx 48.69 < 50 < 16 π \approx 50.27

，

50

與第四象限角同界，

sin 50 < 0

、

cos 50 > 0

，點的

x

坐標為負、

y

坐標為正，在第二象限。(D) 錯：

18 0^{\circ} = π

弳

\approx 3.14

弳，

3

弳比它小。(E) 對：四個數依序是

cos 0 = 1

、

sin 1

、

cos 1

、

sin 0 = 0

；

1

弳約

57. 3^{\circ}

，比

4 5^{\circ}

大且是銳角，所以

1 > sin 1 > cos 1 > 0

。

第 2 題答案 (A)(B)(C)(D)。(A) 對：

- 1 \leq sin 3 x \leq 1

，乘以

- 2

得

- 2 \leq f (x) \leq 2

。(B) 對：

f (\frac{π}{6}) = - 2 sin \frac{π}{2} = - 2

，正是最小值。(C) 對：週期

= \frac{2 π}{3}

。(D) 對：

f (\frac{π}{2}) = - 2 sin \frac{3 π}{2} = 2

是最大值，正弦型圖形對稱於通過最高點（或最低點）的鉛直線。(E) 錯：

f (2) = - 2 sin 6

，而

\frac{3 π}{2} \approx 4.71 < 6 < 2 π \approx 6.28

，

6

弳在第四象限，

sin 6 < 0

，所以

f (2) > 0

。

(B) 前面有負號，

sin 3 x

最大的地方是

f (x)

最小的地方。

第 3 題答案 (B)(E)。

θ

在第四象限，

sin θ = - 1 - \frac{9}{16} = - \frac{7}{4}

。(A) 錯：

sin 2 θ = 2 sin θ cos θ = 2 \cdot (- \frac{7}{4}) \cdot \frac{3}{4} = - \frac{3 7}{8}

。(B) 對：

cos 2 θ = 2 cos^{2} θ - 1 = \frac{9}{8} - 1 = \frac{1}{8}

。(C) 錯：

cos 3 θ = 4 cos^{3} θ - 3 cos θ = \frac{27}{16} - \frac{36}{16} = - \frac{9}{16}

。(D) 錯：

\frac{3 π}{4} < \frac{θ}{2} < π

在第二象限，

sin \frac{θ}{2} = \frac{1 - cos θ}{2} = \frac{1}{8} = \frac{2}{4}

。(E) 對：

cos \frac{θ}{2} = - \frac{1 + cos θ}{2} = - \frac{14}{4}

，

tan \frac{θ}{2} = \frac{2}{4} \div (- \frac{14}{4}) = - \frac{1}{7} = - \frac{7}{7}

。

(A)、(C) 只差正負號，(D) 的數值其實是

cos \frac{θ}{2}

的絕對值；每一個都要先由角的範圍決定正負。

第 4 題答案 (C)(D)。疊合：

y = sin x - cos x = 2 (sin x cos \frac{π}{4} - cos x sin \frac{π}{4}) = 2 sin (x - \frac{π}{4})

。(A) 錯：週期是

2 π

。(B) 錯：振幅是

2

。(C) 對：

x = 0

時

y = 0 - 1 = - 1

。(D) 對：

x - \frac{π}{4} = k π

（

k

為整數）時

y = 0

，有無限多個。(E) 錯：

x = \frac{π}{4}

時

y = 0

，不是最高點或最低點，圖形是對稱於點

(\frac{π}{4}, 0)

，不是對稱於這條直線；對稱軸是

x = \frac{3 π}{4} + k π

。

第 5 題答案 (A)(B)(D)。(A) 對：

(\frac{1}{2})^{x} = 2^{- x}

，把

y = 2^{x}

的

x

換成

- x

，圖形對

y

軸鏡射。(B) 對：把

y

換成

- y

，圖形對

x

軸鏡射。(C) 錯：

2^{x - 1} = \frac{1}{2} \cdot 2^{x}

，而

2^{x} > 0

，所以

2^{x - 1} < 2^{x}

恆成立，兩圖形沒有交點。(D) 對：

\frac{2 ^{50} + 2 ^{100}}{2} = 2^{49} + 2^{99} > 2^{99} > 2^{75}

。(E) 錯：

x = 2

與

x = 4

時兩邊相等（

4 = 4

、

16 = 16

）；另外

x = - 1

時

2^{- 1} = \frac{1}{2} < 1 = (- 1)^{2}

，

x = 0

時

2^{0} = 1 > 0

，兩圖形在

- 1 < x < 0

之間還有一個交點，共

3

個。

(E) 容易只找到

x = 2

、

x = 4

兩個正的交點，漏掉

x < 0

的那一個。

弧度角先用 π≈3.14 估出落在哪一段；三角函數式先化成單一正弦或餘弦，再讀週期、振幅與對稱。

02填充 1～5（第 6～10 題）：扇環、極值、特別角、係數與夾角

第 6 題設圓心角為

θ

弳，小圓半徑

r

，大圓半徑

r + 30

。弧長：

r θ = 40

、

(r + 30) θ = 100

，相減得

30 θ = 60

，

θ = 2

，所以

r = 20

，大圓半徑

50

。區域是大扇形減小扇形：

\frac{1}{2} \cdot 50 \cdot 100 - \frac{1}{2} \cdot 20 \cdot 40 = 2500 - 400 = 2100

（平方公分）。

扇形面積用

\frac{1}{2} \times

半徑

\times

弧長最快；也可看成「梯形」：

\frac{1}{2} (40 + 100) \times 30 = 2100

。

第 7 題先整理：

f (x) = \frac{2 ( 3 sin x + 4 ) + 1}{3 sin x + 4} = 2 + \frac{1}{3 sin x + 4}

。在

\frac{2 π}{3} \leq x \leq \frac{7 π}{6}

這一段，

sin x

由

\frac{3}{2}

一路遞減到

- \frac{1}{2}

，所以

- \frac{1}{2} \leq sin x \leq \frac{3}{2}

，分母

3 sin x + 4

介於

\frac{5}{2}

與

4 + \frac{3 3}{2}

之間，恆為正。分母愈小

f

愈大，

sin x = - \frac{1}{2}

（即

x = \frac{7 π}{6}

）時最大值為

2 + \frac{2}{5} = \frac{12}{5}

。

這一段不含

\frac{3 π}{2}

，

sin x

的最小值是

- \frac{1}{2}

，不是

- 1

。

第 8 題逐項代值：

sin \frac{2 π}{3} = \frac{3}{2}

、

cos \frac{π}{6} = \frac{3}{2}

；

cos \frac{3 π}{2} = 0

；

tan \frac{5 π}{4} = 1

、

sin \frac{7 π}{6} = - \frac{1}{2}

。原式

= \frac{3}{4} + 0 - \frac{1}{2} = \frac{1}{4}

。

第 9 題最大值

1

、最小值

- 3

：

a = \frac{1 - ( - 3 )}{2} = 2

，

d = \frac{1 + ( - 3 )}{2} = - 1

。週期

\frac{2 π}{b} = \frac{2 π}{3}

，

b = 3

。

x = - \frac{π}{9}

時有最大值，表示

cos (- \frac{π}{3} + c) = 1

，

c - \frac{π}{3} = 2 k π

（

k

為整數）；配合

0 < c < π

得

c = \frac{π}{3}

。檢查：

x = \frac{2 π}{9}

時

3 x + c = π

，

cos π = - 1

，

y = - 2 - 1 = - 3

，符合。所以

(a, b, c, d) = (2, 3, \frac{π}{3}, - 1)

。

第 10 題

L_{1}

的斜率

m_{1} = 3

，

L_{2}

的斜率

m_{2} = \frac{1}{2}

。設兩直線的斜角分別為

θ_{1}

、

θ_{2}

，則

tan (θ_{1} - θ_{2}) = \frac{m _{1} - m _{2}}{1 + m _{1} m _{2}} = \frac{3 - \frac{1}{2}}{1 + \frac{3}{2}} = 1

，所以其中一個夾角是

4 5^{\circ}

，另一個是它的補角

13 5^{\circ}

。

兩相交直線有兩個互補的夾角，流傳版本的參考答案兩個都列（

4 5^{\circ}

或

13 5^{\circ}

）；用弧度寫就是

\frac{π}{4}

或

\frac{3 π}{4}

。

給了範圍的極值題，先把正弦或餘弦在那一段的實際範圍寫出來，再代進式子。

03填充 6～10（第 11～15 題）：和角、疊合與指數

第 11 題兩角都是銳角：

cos α = \frac{1 4 ^{2} - 1 3 ^{2}}{14} = \frac{3 3}{14}

，

cos β = \frac{1 4 ^{2} - 1 1 ^{2}}{14} = \frac{5 3}{14}

。

cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β = \frac{45 - 143}{196} = - \frac{1}{2}

。因為

0 < α + β < π

，在這個範圍內餘弦為

- \frac{1}{2}

的角只有一個，

α + β = \frac{2 π}{3}

。

求角時用餘弦：在

0

到

π

之間餘弦值對應的角唯一；若用正弦算出

\frac{3}{2}

，還得另外判斷是

\frac{π}{3}

還是

\frac{2 π}{3}

。

第 12 題展開：

sin (\frac{π}{3} - x) = \frac{3}{2} cos x - \frac{1}{2} sin x

，所以

y = \frac{1}{2} sin x + \frac{3}{2} cos x = sin (x + \frac{π}{3})

。

0 \leq x \leq \frac{π}{2}

時

\frac{π}{3} \leq x + \frac{π}{3} \leq \frac{5 π}{6}

，這一段包含

\frac{π}{2}

，最大值

a = 1

，此時

x + \frac{π}{3} = \frac{π}{2}

，

b = \frac{π}{6}

。所以

(a, b) = (1, \frac{π}{6})

。

第 13 題疊合：

3 cos x - sin x = 2 (cos x cos \frac{π}{6} - sin x sin \frac{π}{6}) = 2 cos (x + \frac{π}{6})

，方程式成為

cos (x + \frac{π}{6}) = \frac{1}{2}

。由

- \frac{π}{2} < x < \frac{π}{2}

得

- \frac{π}{3} < x + \frac{π}{6} < \frac{2 π}{3}

，這個範圍內只有

x + \frac{π}{6} = \frac{π}{3}

，所以

x = \frac{π}{6}

。

x + \frac{π}{6} = - \frac{π}{3}

也讓餘弦等於

\frac{1}{2}

，但那對應

x = - \frac{π}{2}

，題目的範圍不含端點，要捨去。

第 14 題令

t = 4^{x}

，則

1 6^{x} = t^{2}

、

4^{x + \frac{1}{2}} = 2 t

，

y = t^{2} - 2 t - 2 = (t - 1)^{2} - 3

。

- 2 \leq x \leq \frac{1}{2}

時

\frac{1}{16} \leq t \leq 2

。

t = 1

（

x = 0

）在範圍內，最小值

m = - 3

；兩端比較離

t = 1

的遠近：

t = 2

距離

1

，

t = \frac{1}{16}

距離

\frac{15}{16}

，所以

t = 2

（

x = \frac{1}{2}

）時最大，

M = 1 - 3 = - 2

。

M + m = - 5

。

換元後要把

x

的範圍換成

t

的範圍；最大值要比較兩個端點，不能只看一端。

第 15 題都化成以

3

為底：

3^{- 2} < 3^{- (2 x + 1)} < 3^{2}

。底數

3 > 1

，指數大小順序不變：

- 2 < - (2 x + 1) < 2

，即

- 2 < 2 x + 1 < 2

，

- 3 < 2 x < 1

，所以

- \frac{3}{2} < x < \frac{1}{2}

。

若保留以

\frac{1}{3}

為底，因為底數小於

1

，比較指數時不等號要反向。

疊合或換元之後，原來變數的範圍一定要跟著換成新變數的範圍。

04素養計算題組（第 16～19 題）：指數成長與換元解方程式

第 16 題答案 (D)。「多了

0.01

」是把每次乘的數由

1

換成

1 + 0.01

，連乘

n

次就是

(1 + 0.01)^{n}

。

(A)、(B) 是每次「加」固定的量，(C) 是只把

0.01

連乘；題意是

1.01

自己連乘。

第 17 題每週是上一週的

(1 + \frac{x}{100})

倍，

6

週後是原來的

(1 + \frac{x}{100})^{6}

倍。令

(1 + \frac{x}{100})^{6} = 2

，因為

1 + \frac{x}{100} > 0

，得

1 + \frac{x}{100} = 62 \approx 1.12246

，

\frac{x}{100} \approx 0.12246

，

x \approx 12.246

，四捨五入至小數點後第二位為

12.25

。

答案是

x

的值（百分比的數字），不是

0.12

；先乘以

100

再四捨五入。

第 18 題把

t = 2^{x} + 2^{- x}

平方：

t^{2} = 4^{x} + 2 \cdot 2^{x} \cdot 2^{- x} + 4^{- x} = 4^{x} + 4^{- x} + 2

，所以

4^{x} + 4^{- x} = t^{2} - 2

。

第 19 題令

t = 2^{x} + 2^{- x}

，由上一小題，方程式成為

4 (t^{2} - 2) - 25 t + 42 = 0

，即

4 t^{2} - 25 t + 34 = 0

，

(t - 2) (4 t - 17) = 0

，

t = 2

或

t = \frac{17}{4}

。再令

u = 2^{x} > 0

：

t = 2

時

u + \frac{1}{u} = 2

，

(u - 1)^{2} = 0

，

u = 1

，

x = 0

；

t = \frac{17}{4}

時

4 u^{2} - 17 u + 4 = 0

，

(4 u - 1) (u - 4) = 0

，

u = 4

或

\frac{1}{4}

，

x = 2

或

- 2

。所以

x = 0

或

x = \pm 2

。

由算幾不等式

2^{x} + 2^{- x} \geq 2

，解出的

t

要不小於

2

才有對應的

x

；這裡兩個

t

都符合，三個解都要寫。

看到 4 的 x 次方與 2 的 x 次方成對出現，就設 t 為 2 的 x 次方與負 x 次方之和，用平方把高次的那一組換掉。

同一次段考的其他學校

同樣是高二第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

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常見問題

德光高中 114 上高二第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 19 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

德光高中 114 上高二第一次段考數學哪幾題最容易錯？

第 1 題要把沒有度的記號的 50、7、8、9 當成弧度估出象限，而且選項 C 的點是先正弦後餘弦；第 3 題每個選項的正負都要由角的範圍決定；第 7 題正弦在給定範圍內的最小值不是負一；第 13 題疊合後要換出新角的範圍並捨去端點對應的解。詳解逐題寫在本頁。

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

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這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

題目取自德光高中 114 學年度上學期高二第一次段考數學A，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

德光高中 114 上高二第一次段考數學試題、答案與詳解

原卷 19 題，照原卷順序

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01多選 1～5：弧度、圖形、倍角半角、疊合與指數函數

02填充 1～5（第 6～10 題）：扇環、極值、特別角、係數與夾角

03填充 6～10（第 11～15 題）：和角、疊合與指數

04素養計算題組（第 16～19 題）：指數成長與換元解方程式

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德光高中 114 上 高二第一次段考數學的答案在哪裡？

德光高中 114 上 高二第一次段考數學哪幾題最容易錯？

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德光高中 114 上
高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

德光高中 114 上高二第一次段考數學的答案在哪裡？

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