段考詳解範圍：三角函數（弧度量、三角函數的圖形、和差角與倍角公式、正餘弦的疊合）

宜蘭高中 114 上
高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

Q: 宜蘭高中 114 上 高二第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 18 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

Q: 宜蘭高中 114 上 高二第一次段考數學哪幾題最容易錯？

第 2 題數交點時左右兩邊個數不同，右邊最後一段曲線已經碰不到直線；第 9 題角度範圍到不了正弦的最低點，最小值要用端點算；第 15 題要把四邊形切成兩個直角三角形，展開後再疊合；第 17 題要把與 x 軸相切讀成最小值等於零；第 12 題的關鍵是扇形半徑等於內切圓半徑的三倍。詳解逐題寫在本頁。

Q: 我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

Q: 這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

原卷 18 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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題原卷全文

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則逐題詳解

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01 · 試題

原卷 18 題，照原卷順序

單選題 2 題（10 分）、多選題 3 題（24 分）、填充題 10 題、混合題 1 題組 3 小題（16 分）；流傳版本的填充題印「占 60 分、每題 6 分」，但第壹部分標題印「占 84 分」，兩處相差 10 分，本頁照卷面文字呈現

第壹部分：選擇（填）題（占 84 分）｜一、單選題（占 10 分）｜說明：第 1 題至第 2 題，每題 5 分。

試問

sin 1 - \frac{1}{2}

，

cos 2 - \frac{1}{2}

，

tan 3 - \frac{1}{2}

，

cos \frac{π}{4} - \frac{1}{2}

，

sin \frac{π}{5} - \frac{1}{2}

這五個數值中有幾個正數？

(1) $0$
(2) $1$
(3) $2$
(4) $3$
(5) $4$

試問直線

y = \frac{1}{2} x

與

y = 3 cos 2 x

的圖形有幾個交點？

(1) $4$
(2) $5$
(3) $6$
(4) $7$
(5) $8$

二、多選題（占 24 分）｜說明：第 3 題至第 5 題，每題 8 分。（8－5－2－0）

已知函數

f (x) = 3 sin 2 x + 1

。則下列選項哪些是正確的？

(1) $f (0) = 2$
(2) $f (x)$ 的週期為 $π$
(3) $f (x)$ 的最小值為 $- 2$
(4) $y = f (x)$ 的圖形對稱於直線 $x = \frac{3 π}{4}$
(5) $y = f (x)$ 的圖形經過平移後，可與 $y = cos 2 x$ 的圖形重合

下列哪些函數的週期為

2 π

？

(1) $f (x) = sin x - cos x$
(2) $f (x) = 3 sin x + cos x$
(3) $f (x) = sin 2 x + cos 2 x$
(4) $f (x) = 3 sin \frac{x}{2} + 4 cos \frac{x}{2}$
(5) $f (x) = ∣ sin x + cos x ∣$

下列何者的值大於

\frac{3}{2}

？

(1) $2 sin 4 0^{\circ} cos 4 0^{\circ}$
(2) $2 sin 7 0^{\circ} cos 7 0^{\circ}$
(3) $2 cos^{2} 4 0^{\circ} - 1$
(4) $2 sin^{2} 4 0^{\circ} - 1$
(5) $\frac{2 tan 2 5 ^{\circ}}{1 - tan ^{2} 2 5 ^{\circ}}$

三、填充題（占 60 分）｜說明：第 6 題至第 15 題，每題 6 分。（流傳版本此處印「第 7 題至第 16 題」，實際題號為第 6～15 題）

試求：

cos 2 0^{\circ} cos 2 5^{\circ} - cos 6 5^{\circ} cos 7 0^{\circ} =

____。

如圖，兩個同心圓的半徑分別是

5

和

9

，且

C D ⌢

的長度為

5

，求塗色部分的面積為何？ ____。

載入中...

在

\frac{- π}{2} < x < \frac{π}{2}

範圍內，試問：不等式

- 3 \leq tan x \leq 1

的解為 ____。

在

0 \leq x \leq π

範圍內，函數

f (x) = 3 sin x + cos x + 9

的最大值為

M

，最小值為

m

，試求數對

(M, m)

____。

設

a > 0

，

b > 0

。已知函數

f (x) = a cos b x + k

的週期為

\frac{2 π}{5}

，最大值為

3

，且

y = f (x)

的圖形與

x

軸其中一個交點為

(\frac{π}{15}, 0)

，試求函數

f (x)

的最小值為 ____。

圖中的圖形由五個相同的正方形所組成，試求：

\frac{cos ( α - β )}{sin ( α + β )} =

____。

載入中...

如圖所示，圓

C

為扇形

A O B

的內切圓，其中扇形

A O B

的圓心角

∠ A O B = 6 0^{\circ}

。試求：圖中的「陰影區域面積」與「內切圓

C

面積」的比值

=

____。

載入中...

設

0 < α

，

β < \frac{π}{2}

，且

cos α = \frac{5}{13}

，

cos (α + β) = \frac{- 4}{5}

，試求

sin β =

____。

給定函數

f (x) = 3 sin^{2} x + 3 sin (2 x) + cos^{2} x + k

。若

y = f (x)

的部分圖形如右圖，其中

A (a, 4)

點為其中一個最高點，試求數對

(a, k) =

____。

載入中...

如圖，已知扇形

A O B

的圓心角為

\frac{π}{3}

，半徑為

2

，

P

為

A B ⌢

上的動點，

\overline{P C} ⊥ \overline{O A}

於

C

點，

\overline{P D} ⊥ \overline{O B}

於

D

點，試求：四邊形

P C O D

的最大面積 ____。

載入中...

第貳部分：混合題（占 16 分）｜說明：本部分共有 1 題組，每一子題配分標於題末。限在標示題號作答區內作答。選擇題與「非選擇題作圖部分」使用 2B 鉛筆作答，更正時，應以橡皮擦擦拭，切勿使用修正液（帶）。非選擇題由左而右橫式書寫，作答時必須寫出計算過程或理由，否則將酌予扣分。

16－18 題組（第 16～18 題）　給定函數

f (x) = 2 cos x (k sin x + cos x) + c

，其中

k > 0

。已知

y = f (x)

的圖形與

x

軸相切且通過點

(π, 3)

；另一方面，方程式

f (x) = 4

的最小正實根為

α

。試回答下列各小題：

試求

c =

？（單選題，4 分）

(1) $1$
(2) $2$
(3) $3$
(4) $4$
(5) $5$

試求

k =

？（非選擇題，6 分）

試求

cos 2 α =

？（非選擇題，6 分）

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(4)

第 2 題(4)

第 3 題(2)(3)(4)

第 4 題(1)(2)

第 5 題(1)(5)

第 6 題

\frac{2}{2}

第 7 題

28

第 8 題

- \frac{π}{3} \leq x \leq \frac{π}{4}

第 9 題

(11, 8)

第 10 題

- 9

第 11 題

\frac{7}{5}

第 12 題

\frac{1}{2}

第 13 題

\frac{63}{65}

第 14 題

(\frac{π}{3}, 0)

第 15 題

3

第 16 題(1)

第 17 題

k = 3

第 18 題

cos 2 α = \frac{1}{2}

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選題（第 1～2 題）：弧度角估值、用圖形數交點

第 1 題答案 (4)。

1

弧度約

57. 3^{\circ}

，逐一判斷：

sin 1 \approx sin 57. 3^{\circ} > sin 3 0^{\circ} = \frac{1}{2}

，所以

sin 1 - \frac{1}{2} > 0

。

2

弧度約

114. 6^{\circ}

，在第二象限，

cos 2 < 0

，所以

cos 2 - \frac{1}{2} < 0

。

3

弧度約

171. 9^{\circ}

，在第二象限，

tan 3 < 0

，所以

tan 3 - \frac{1}{2} < 0

。

cos \frac{π}{4} = \frac{2}{2} \approx 0.707 > \frac{1}{2}

。

sin \frac{π}{5} = sin 3 6^{\circ} > sin 3 0^{\circ} = \frac{1}{2}

。正數有第一、四、五個，共

3

個。

1

、

2

、

3

沒有寫度的記號，單位是弧度；

\frac{π}{5}

弧度是

3 6^{\circ}

，比

3 0^{\circ}

大一點，正弦值就比

\frac{1}{2}

大一點。

第 2 題答案 (4)。

y = 3 cos 2 x

的值介於

- 3

與

3

之間，直線

y = \frac{1}{2} x

只有在

- 6 \leq x \leq 6

時落在這個範圍內。

y = 3 cos 2 x

的週期是

π

，最高點在

x = 0, \pm π, \pm 2 π

，最低點在

x = \pm \frac{π}{2}, \pm \frac{3 π}{2}

。 $x > 0$ （直線在

x

軸上方，只會和曲線在

x

軸上方的部分相交）：

0 < x < \frac{π}{4}

這段曲線由

3

降到

0

、直線由

0

上升，交

1

點；以

x = π

為頂的那一段（

\frac{3 π}{4} < x < \frac{5 π}{4}

），頂點高度

3

大於直線在該處的高度

\frac{π}{2} \approx 1.57

，兩側各交

1

點，共

2

點；以

x = 2 π

為頂的那一段從

x = \frac{7 π}{4} \approx 5.50

開始，在

5.50 \leq x \leq 6

之間曲線最高只到

3 cos 12 \approx 2.53

，而直線至少是

\frac{7 π}{8} \approx 2.75

，沒有交點。所以

x > 0

有

3

個。 $x < 0$ （直線在

x

軸下方，只會和曲線在

x

軸下方的部分相交）：以

x = - \frac{π}{2}

為底的那一段，直線高度

- \frac{π}{4} \approx - 0.79

比底部

- 3

高，交

2

點；以

x = - \frac{3 π}{2}

為底的那一段，直線高度

- \frac{3 π}{4} \approx - 2.36

仍比

- 3

高，交

2

點；再往左的下一段從

x = - \frac{9 π}{4} \approx - 7.07

開始，已超出

- 6

。所以

x < 0

有

4

個。

x = 0

時直線是

0

、曲線是

3

，不是交點。合計

3 + 4 = 7

個。

y = 3 cos 2 x

的圖形對稱於

y

軸，直線卻是左低右高，左右兩邊的交點個數不一樣，要分開數。右邊最後一段要確認：

12

弧度比

4 π \approx 12.57

少

0.57

弧度，約

32. 4^{\circ}

，

cos 12 = cos 32. 4^{\circ} \approx 0.844

。

02多選題（第 3～5 題）：正弦型函數的性質、疊合看週期、倍角公式比大小

第 3 題答案 (2)(3)(4)。(1) 錯：

f (0) = 3 sin 0 + 1 = 1

。(2) 對：週期

= \frac{2 π}{2} = π

。(3) 對：

sin 2 x

最小為

- 1

，

f (x)

的最小值為

3 \times (- 1) + 1 = - 2

。(4) 對：

f (\frac{3 π}{4}) = 3 sin \frac{3 π}{2} + 1 = - 2

，是最低點；正弦型函數的圖形對稱於通過最高點或最低點的鉛直線。(5) 錯：平移不改變圖形的形狀，

y = f (x)

的振幅是

3

（最高

4

、最低

- 2

，相差

6

），

y = cos 2 x

的振幅是

1

（最高與最低相差

2

），無法重合。

(5) 兩者週期相同，但振幅不同；平移只能移動位置，不能改變高低差。

第 4 題答案 (1)(2)。(1) 對：

sin x - cos x = 2 sin (x - \frac{π}{4})

，週期

2 π

。(2) 對：

3 sin x + cos x = 2 sin (x + \frac{π}{6})

，週期

2 π

。(3) 錯：

sin 2 x + cos 2 x = 2 sin (2 x + \frac{π}{4})

，週期

\frac{2 π}{2} = π

。(4) 錯：

3 sin \frac{x}{2} + 4 cos \frac{x}{2} = 5 sin (\frac{x}{2} + θ)

（其中

cos θ = \frac{3}{5}

、

sin θ = \frac{4}{5}

），週期

\frac{2 π}{1/2} = 4 π

。(5) 錯：

∣ sin x + cos x ∣ = 2 sin (x + \frac{π}{4})

，把

x

軸下方的部分翻上來後每隔

π

就重複，週期是

π

。

同一個角的正弦與餘弦疊合後仍是同一個角的正弦，週期只看

x

的係數；加上絕對值後週期減半。

第 5 題答案 (1)(5)。

\frac{3}{2} = sin 6 0^{\circ} \approx 0.866

。(1)

2 sin 4 0^{\circ} cos 4 0^{\circ} = sin 8 0^{\circ}

，正弦在

0^{\circ}

到

9 0^{\circ}

遞增，

sin 8 0^{\circ} > sin 6 0^{\circ}

，對。(2)

2 sin 7 0^{\circ} cos 7 0^{\circ} = sin 14 0^{\circ} = sin 4 0^{\circ} < sin 6 0^{\circ}

，錯。(3)

2 cos^{2} 4 0^{\circ} - 1 = cos 8 0^{\circ} = sin 1 0^{\circ} < sin 6 0^{\circ}

，錯。(4)

2 sin^{2} 4 0^{\circ} - 1 = - (1 - 2 sin^{2} 4 0^{\circ}) = - cos 8 0^{\circ} < 0

，錯。(5)

\frac{2 tan 2 5 ^{\circ}}{1 - tan ^{2} 2 5 ^{\circ}} = tan 5 0^{\circ} > tan 4 5^{\circ} = 1 > \frac{3}{2}

，對。

(2) 的

sin 14 0^{\circ}

要先換回銳角

sin 4 0^{\circ}

再比；(4) 與二倍角公式

cos 2 θ = 1 - 2 sin^{2} θ

差一個負號。

03填充題（第 6～10 題）：和角公式、環形扇形、正切不等式、疊合求極值、餘弦型函數定係數

第 6 題用餘角把後兩個換成正弦：

cos 6 5^{\circ} = sin 2 5^{\circ}

，

cos 7 0^{\circ} = sin 2 0^{\circ}

。原式

= cos 2 0^{\circ} cos 2 5^{\circ} - sin 2 0^{\circ} sin 2 5^{\circ} = cos (2 0^{\circ} + 2 5^{\circ}) = cos 4 5^{\circ} = \frac{2}{2}

。

6 5^{\circ} + 2 5^{\circ} = 9 0^{\circ}

、

7 0^{\circ} + 2 0^{\circ} = 9 0^{\circ}

，換完剛好是餘弦和角公式的形狀。

第 7 題

C

、

D

在半徑

5

的小圓上。設圓心角

∠ C O D = θ

弳，弧長

= 5 θ = 5

，所以

θ = 1

。塗色部分是大扇形

O A B

減去小扇形

O C D

，兩者圓心角都是

1

弳：面積

= \frac{1}{2} \times 9^{2} \times 1 - \frac{1}{2} \times 5^{2} \times 1 = \frac{81 - 25}{2} = 28

。

弧長公式

s = r θ

與扇形面積公式

\frac{1}{2} r^{2} θ

的

θ

都要用弧度。

第 8 題

y = tan x

在

- \frac{π}{2} < x < \frac{π}{2}

這一段是遞增的。

tan (- \frac{π}{3}) = - 3

，

tan \frac{π}{4} = 1

，所以

- 3 \leq tan x \leq 1

的解是

- \frac{π}{3} \leq x \leq \frac{π}{4}

。

因為遞增，不等號的方向不用改，兩端的等號也都保留。

第 9 題疊合：

3 sin x + cos x = 2 (\frac{3}{2} sin x + \frac{1}{2} cos x) = 2 sin (x + \frac{π}{6})

，

f (x) = 2 sin (x + \frac{π}{6}) + 9

。

0 \leq x \leq π

時

\frac{π}{6} \leq x + \frac{π}{6} \leq \frac{7 π}{6}

。這段角度包含

\frac{π}{2}

，正弦最大是

1

；最小出現在右端

\frac{7 π}{6}

，值為

- \frac{1}{2}

。所以

M = 2 \times 1 + 9 = 11

，

m = 2 \times (- \frac{1}{2}) + 9 = 8

，

(M, m) = (11, 8)

。

角度範圍到不了

\frac{3 π}{2}

，正弦取不到

- 1

，最小值不是

9 - 2 = 7

。驗算：

f (π) = 0 - 1 + 9 = 8

。

第 10 題

b > 0

，週期

\frac{2 π}{b} = \frac{2 π}{5}

，

b = 5

。

a > 0

，最大值

a + k = 3

。圖形通過

(\frac{π}{15}, 0)

：

a cos (5 \times \frac{π}{15}) + k = a cos \frac{π}{3} + k = \frac{a}{2} + k = 0

。兩式相減得

\frac{a}{2} = 3

，

a = 6

，

k = - 3

。最小值

= - a + k = - 6 - 3 = - 9

。

f (x) = 6 cos 5 x - 3

。最大值

3

、最小值

- 9

，中間的

k = - 3

是兩者的平均。

04填充題（第 11～15 題）：方格圖的正切、扇形內切圓、拆角、降次疊合、面積的最大值

第 11 題設正方形邊長為

1

。兩條斜線的交點在底邊上，往左

2

格、往上

1

格到左上角，所以

tan α = \frac{1}{2}

；往右

3

格、往上

1

格到右上角，所以

tan β = \frac{1}{3}

。把分子、分母用和差角公式展開，再同除以

cos α cos β

：

\frac{cos ( α - β )}{sin ( α + β )} = \frac{cos α cos β + sin α sin β}{sin α cos β + cos α sin β} = \frac{1 + tan α tan β}{tan α + tan β} = \frac{1 + \frac{1}{6}}{\frac{1}{2} + \frac{1}{3}} = \frac{\frac{7}{6}}{\frac{5}{6}} = \frac{7}{5}

。

也可以直接代值：

sin α = \frac{1}{5}

、

cos α = \frac{2}{5}

、

sin β = \frac{1}{10}

、

cos β = \frac{3}{10}

，分子

= \frac{7}{50}

、分母

= \frac{5}{50}

，結果相同。

第 12 題設內切圓半徑為

r

、扇形半徑為

R

。圓

C

與

\overline{O A}

、

\overline{O B}

都相切，所以

\overline{O C}

平分

∠ A O B

，

\overline{O C}

與

\overline{O A}

夾

3 0^{\circ}

。從

C

向

\overline{O A}

作垂線（長度

r

），得

sin 3 0^{\circ} = \frac{r}{O C}

，

\overline{O C} = 2 r

。圓

C

又與圓弧內切，切點在

\overline{O C}

的延長線上，

R = \overline{O C} + r = 3 r

。扇形面積

= \frac{1}{2} R^{2} \times \frac{π}{3} = \frac{1}{2} \times 9 r^{2} \times \frac{π}{3} = \frac{3 π r ^{2}}{2}

，內切圓面積

= π r^{2}

，陰影面積

= \frac{3 π r ^{2}}{2} - π r^{2} = \frac{π r ^{2}}{2}

。比值

= \frac{π r ^{2} /2}{π r ^{2}} = \frac{1}{2}

。

6 0^{\circ}

要換成

\frac{π}{3}

弳才能代扇形面積公式。關鍵是

R = 3 r

：圓心到

O

的距離

2 r

再加一個半徑。

第 13 題

α

是銳角，

sin α = 1 - \frac{25}{169} = \frac{12}{13}

。

0 < α + β < π

，正弦為正，

sin (α + β) = 1 - \frac{16}{25} = \frac{3}{5}

。把

β

寫成

(α + β) - α

：

sin β = sin (α + β) cos α - cos (α + β) sin α = \frac{3}{5} \times \frac{5}{13} - (- \frac{4}{5}) \times \frac{12}{13} = \frac{15}{65} + \frac{48}{65} = \frac{63}{65}

。

cos (α + β) < 0

表示

α + β

是鈍角，但正弦仍是正的；減去一個負的變成加。

第 14 題先把平方項降次：

3 sin^{2} x + cos^{2} x = 1 + 2 sin^{2} x = 1 + (1 - cos 2 x) = 2 - cos 2 x

。所以

f (x) = 3 sin 2 x - cos 2 x + 2 + k = 2 (\frac{3}{2} sin 2 x - \frac{1}{2} cos 2 x) + 2 + k = 2 sin (2 x - \frac{π}{6}) + 2 + k

。最大值

= 2 + 2 + k = 4

，得

k = 0

。最高點發生在

2 x - \frac{π}{6} = \frac{π}{2} + 2 nπ

，即

x = \frac{π}{3} + nπ

（

n

為整數）；圖中

A

是

y

軸右側的第一個最高點，取

n = 0

，

a = \frac{π}{3}

。

(a, k) = (\frac{π}{3}, 0)

。

k = 0

時最小值

= - 2 + 2 = 0

，圖形的最低點剛好落在

x

軸上，與附圖一致。

a

要靠圖來決定：圖上

A

與

y

軸之間沒有別的最高點。

第 15 題設

∠ A O P = θ

（

0 \leq θ \leq \frac{π}{3}

），則

∠ P O B = \frac{π}{3} - θ

，

\overline{O P} = 2

。直角三角形

O C P

：

\overline{O C} = 2 cos θ

、

\overline{P C} = 2 sin θ

，面積

= \frac{1}{2} \times 2 cos θ \times 2 sin θ = sin 2 θ

。直角三角形

O D P

同理，面積

= sin (\frac{2 π}{3} - 2 θ)

。四邊形

P C O D

的面積

= sin 2 θ + sin (\frac{2 π}{3} - 2 θ) = sin 2 θ + \frac{3}{2} cos 2 θ + \frac{1}{2} sin 2 θ = \frac{3}{2} sin 2 θ + \frac{3}{2} cos 2 θ = 3 (\frac{3}{2} sin 2 θ + \frac{1}{2} cos 2 θ) = 3 sin (2 θ + \frac{π}{6})

。

\frac{π}{6} \leq 2 θ + \frac{π}{6} \leq \frac{5 π}{6}

，包含

\frac{π}{2}

，所以當

θ = \frac{π}{6}

時面積最大，最大值為

3

。

用對角線

\overline{O P}

把四邊形切成兩個直角三角形。

sin (\frac{2 π}{3} - 2 θ)

用差角公式展開時，

sin \frac{2 π}{3} = \frac{3}{2}

、

cos \frac{2 π}{3} = - \frac{1}{2}

，負負得正。最大值發生在

P

是弧

A B

的中點時。

05混合題（第 16～18 題）：代點、相切條件、解三角方程式

第 16 題答案 (1)。圖形通過

(π, 3)

，代入：

cos π = - 1

、

sin π = 0

，

f (π) = 2 \times (- 1) \times (k \times 0 + (- 1)) + c = 2 + c = 3

，所以

c = 1

。

x = π

時

sin x = 0

，含

k

的那一項消失，所以不必先知道

k

。

第 17 題展開並用倍角公式：

2 cos x \cdot k sin x = k sin 2 x

，

2 cos^{2} x = 1 + cos 2 x

，所以

f (x) = k sin 2 x + cos 2 x + 1 + c = k sin 2 x + cos 2 x + 2

。疊合：

f (x) = k^{2} + 1 sin (2 x + φ) + 2

（其中

cos φ = \frac{k}{k ^{2} + 1}

、

sin φ = \frac{1}{k ^{2} + 1}

），值介於

2 - k^{2} + 1

與

2 + k^{2} + 1

之間。圖形與

x

軸相切，表示圖形碰到

x

軸但不穿過，

0

必須是最大值或最小值。最大值

2 + k^{2} + 1 > 0

，所以是最小值為

0

：

2 - k^{2} + 1 = 0

，

k^{2} + 1 = 4

，

k^{2} = 3

。又

k > 0

，

k = 3

。

要用到第 16 題的

c = 1

。

k = - 3

也滿足

k^{2} = 3

，由題目的

k > 0

捨去。

第 18 題

k = 3

、

c = 1

時

f (x) = 3 sin 2 x + cos 2 x + 2 = 2 (\frac{3}{2} sin 2 x + \frac{1}{2} cos 2 x) + 2 = 2 sin (2 x + \frac{π}{6}) + 2

。

f (x) = 4

即

sin (2 x + \frac{π}{6}) = 1

，

2 x + \frac{π}{6} = \frac{π}{2} + 2 nπ

，

x = \frac{π}{6} + nπ

（

n

為整數）。最小的正根是

n = 0

時的

α = \frac{π}{6}

，所以

cos 2 α = cos \frac{π}{3} = \frac{1}{2}

。

4

恰好是

f (x)

的最大值，所以方程式的根就是所有最高點的

x

坐標。驗算：

f (\frac{π}{6}) = 2 \times \frac{3}{2} \times (3 \times \frac{1}{2} + \frac{3}{2}) + 1 = 3 \times 3 + 1 = 4

。

看到

sin x cos x

、

sin^{2} x

、

cos^{2} x

混在一起，先用倍角公式全部換成

sin 2 x

、

cos 2 x

，再疊合成單一正弦；極值、相切、解方程式都從疊合後的式子讀。

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同樣是高二第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

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本頁列出全部 18 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

宜蘭高中 114 上高二第一次段考數學哪幾題最容易錯？

第 2 題數交點時左右兩邊個數不同，右邊最後一段曲線已經碰不到直線；第 9 題角度範圍到不了正弦的最低點，最小值要用端點算；第 15 題要把四邊形切成兩個直角三角形，展開後再疊合；第 17 題要把與 x 軸相切讀成最小值等於零；第 12 題的關鍵是扇形半徑等於內切圓半徑的三倍。詳解逐題寫在本頁。

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題目取自宜蘭高中 114 學年度上學期高二第一次段考數學A，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

宜蘭高中 114 上高二第一次段考數學試題、答案與詳解

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01單選題（第 1～2 題）：弧度角估值、用圖形數交點

02多選題（第 3～5 題）：正弦型函數的性質、疊合看週期、倍角公式比大小

03填充題（第 6～10 題）：和角公式、環形扇形、正切不等式、疊合求極值、餘弦型函數定係數

04填充題（第 11～15 題）：方格圖的正切、扇形內切圓、拆角、降次疊合、面積的最大值

05混合題（第 16～18 題）：代點、相切條件、解三角方程式

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宜蘭高中 114 上
高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

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