苑裡高中 114 上
高二第三次段考
數學試題、答案與詳解

答案 (B)(C)(E)。

兩向量相等＝方向相同且長度相等。正六邊形的三條對角線交於中心 $O$，把它分成六個全等的正三角形，每段長都等於邊長。由圖，$\overrightarrow{AB}$ 是往左下的方向。

(A) 錯誤。 $\overrightarrow{FE}$ 是往右下的方向，與 $\overrightarrow{AB}$ 方向不同。

(B) 正確。 $\overline{AB}$ 與 $\overline{ED}$ 是正六邊形的一組對邊，平行且等長；由 $E$ 到 $D$ 與由 $A$ 到 $B$ 都是往左下，所以 $\overrightarrow{ED}=\overrightarrow{AB}$。

(C) 正確。 四邊形 $ABOF$ 四邊都等於邊長，是菱形，對邊 $\overline{AB}$、$\overline{FO}$ 平行且等長，方向也相同，所以 $\overrightarrow{FO}=\overrightarrow{AB}$。

(D) 錯誤。 $\overrightarrow{CO}$ 是往右上，與 $\overrightarrow{AB}$ 長度相同但方向相反，$\overrightarrow{CO}=-\overrightarrow{AB}$。

(E) 正確。 $O$ 是對角線 $\overline{FC}$ 的中點，$\frac{1}{2}\overrightarrow{FC}=\overrightarrow{FO}=\overrightarrow{AB}$。

答案 (D)(E)。

(A) 錯誤。 $\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}$ 是一個數，左邊是 $\overrightarrow{c}$ 的倍數，右邊是 $\overrightarrow{a}$ 的倍數，一般不相等。

例如 $\overrightarrow{a}=(1,0)$，$\overrightarrow{b}=(1,1)$，$\overrightarrow{c}=(0,1)$：左邊 $=1\times (0,1)=(0,1)$，右邊 $=(1,0)\times 1=(1,0)$。

(B) 錯誤。 實數 $0$ 乘一個向量，得到的是零向量 $\overrightarrow{0}$，不是實數 $0$。

(C) 錯誤。 $\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{c}$ 只能得到 $\overrightarrow{a}\cdot (\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c})=0$，也就是 $\overrightarrow{a}$ 與 $\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}$ 垂直。

例如 $\overrightarrow{a}=(1,0)$，$\overrightarrow{b}=(1,1)$，$\overrightarrow{c}=(1,2)$：兩個內積都是 $1$，但 $\overrightarrow{b}\ne \overrightarrow{c}$。

(D) 正確。 兩邊平方：

$${\left|\overrightarrow{a}\right|}^2+2\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}+{\left|\overrightarrow{b}\right|}^2={\left|\overrightarrow{a}\right|}^2-2\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}+{\left|\overrightarrow{b}\right|}^2$$

得 $4\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=0$；兩個都是非零向量，所以 $\overrightarrow{a}\perp \overrightarrow{b}$。從圖看，就是兩條對角線等長的平行四邊形是長方形。

(E) 正確。 設 $\overrightarrow{c}=k\overrightarrow{b}$（$k\ne 0$）。$\overrightarrow{a}$ 在 $\overrightarrow{c}$ 上的正射影為

$$\frac{\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{c}}{{\left|\overrightarrow{c}\right|}^2}\overrightarrow{c}=\frac{k\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}}{k^2{\left|\overrightarrow{b}\right|}^2}k\overrightarrow{b}=\frac{\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}}{{\left|\overrightarrow{b}\right|}^2}\overrightarrow{b}$$

正是 $\overrightarrow{a}$ 在 $\overrightarrow{b}$ 上的正射影。兩向量平行就是在同一條直線上，投影到同一條直線，結果相同。

答案 (A)(B)(C)。

由圖，向後退的稜都通往消失點：$V$、$D$、$A$ 共線，$V$、$C$、$B$ 共線；$\overline{AB}$ 與 $\overline{CD}$ 是長方體的兩條鉛直稜，在透視圖中仍互相平行。

因為 $\overline{CD}\parallel \overline{AB}$，$△VDC\sim △VAB$，所以

$$\frac{\overline{VD}}{\overline{VA}}=\frac{\overline{VC}}{\overline{VB}}=\frac{\overline{CD}}{\overline{AB}}=\frac{5}{6}$$

(A) 正確。 由上式 $\frac{\overline{VD}}{\overline{VA}}=\frac{5}{6}$。

(B) 正確。 $\frac{\overline{VB}}{\overline{VC}}=\frac{6}{5}$。

(C) 正確。 $\overline{BC}=\overline{VB}-\overline{VC}=\frac{6}{5}\overline{VC}-\overline{VC}=\frac{1}{5}\overline{VC}$。

(D) 錯誤。 $\overline{AD}=\overline{VA}-\overline{VD}=\frac{6}{5}\overline{VD}-\overline{VD}=\frac{1}{5}\overline{VD}$，比值是 $\frac{1}{5}$ 不是 $\frac{1}{4}$。

(E) 錯誤。 $\overline{VA}=\frac{6}{5}\overline{VD}$，要 $\frac{\overline{VA}}{\overline{VC}}=\frac{6}{5}$ 必須 $\overline{VD}=\overline{VC}$；題目沒有這個條件，圖中 $\overline{VD}$ 與 $\overline{VC}$ 也不一樣長。

答案 (A)(B)(E)。

(A) 正確。 與同一條直線垂直的平面彼此平行，其中過已知點的只有一個；所以過直線外一點，恰有一個平面與此直線垂直。

(B) 正確。 兩相異直線只有三種位置關係，每一種都有公垂線：

相交：過交點、垂直於兩線所在平面的直線，與兩線都垂直相交。

平行：在兩線所在的平面上，與它們垂直的直線有無限多條。

歪斜：恰有一條公垂線（下圖的 $\overline{MN}$）。

(C) 錯誤。 空間中不相交的兩直線可能歪斜。例如下圖長方體中的 $L_1$、$L_2$，不相交也不平行。

(D) 錯誤。 過平面 $E$ 外一點 $P$ 作與 $E$ 平行的平面，這個平面上過 $P$ 的每一條直線都與 $E$ 平行，有無限多條。

(E) 正確。 設 $E_1$、$E_2$ 交於直線 $L$，任何一個與 $L$ 垂直的平面都同時垂直 $E_1$ 與 $E_2$。例如長方體中兩個相鄰的面互相垂直，與它們的交稜垂直的底面就同時垂直這兩個面。

答案 (B)。

由圖，$O$、$C$、$D$、$E$ 四點組成菱形（四邊都等於邊長），所以 $\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OE}$。

$P$ 在 $△ODE$ 內部，就是 $\overrightarrow{OP}=\alpha \overrightarrow{OD}+\beta \overrightarrow{OE}$，其中 $\alpha >0$，$\beta >0$，$\alpha +\beta <1$。

代入得 $\overrightarrow{OP}=\alpha \overrightarrow{OC}+(\alpha +\beta )\overrightarrow{OE}$。

所以寫成 $\overrightarrow{OP}=x\overrightarrow{OC}+y\overrightarrow{OE}$ 時，條件是 $0<x<y<1$。

(A) $x=y=1$：$P$ 就是頂點 $D$，在邊界上。

(B) $x=\frac{1}{4}$，$y=\frac{1}{2}$：符合 $0<x<y<1$。

(C)(E) $x<0$；(D) $y<0$：都不符合。

答案 (E)。

設邊長為 $s$。內積 $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AX}$ 等於 $\overline{AB}$ 乘上 $\overrightarrow{AX}$ 在直線 $AB$ 上正射影的長（同方向取正）。

① $p=\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AB}=s^2$。

② $△ABC$ 中 $\overline{AB}=\overline{BC}=s$，$\angle ABC=120^{\circ }$，所以 $\angle BAC=30^{\circ }$，$\overline{AC}=\sqrt{3}s$：

$$q=s\cdot \sqrt{3}s\cdot \cos 30^{\circ }=\frac{3}{2}{s}^2$$

③ $\overline{AD}$ 過中心，長 $2s$，平分內角，$\angle BAD=60^{\circ }$：

$$r=s\cdot 2s\cdot \cos 60^{\circ }=s^2$$

所以 $p=r<q$。

答案 (D)。

$\overrightarrow{CA}=-\overrightarrow{AC}$，所以 $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{CA}=-\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}$。

由餘弦定理，

$$\cos A=\frac{5^2+8^2-7^2}{2\times 5\times 8}=\frac{40}{80}=\frac{1}{2}$$

$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=5\times 8\times \frac{1}{2}=20$。

所以 $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{CA}=-20$。

答案 (D)。

單點透視中，正立方體從前往後退的四條稜，延長後都交於消失點。

把前面正方形四個頂點連到後面小正方形對應頂點的四條稜延長，如下圖，四條線交在數線上的 $D$ 點。

所以消失點是 $D$。

答案 (C)。

$m(5,1)+n(1,-2)=(18,8)$，比較兩個分量：

$$\{\begin{array}{l}5m+n=18\\ m-2n=8\end{array}$$

由第二式 $m=8+2n$，代入第一式：$40+10n+n=18$，$n=-2$，$m=4$。

所以 $m+2n=4-4=0$。

$N$ 是 $\overline{BM}$ 的中點：

$$\overrightarrow{AN}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AM}$$

$M$ 是 $\overline{AC}$ 的中點，$\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$，所以 $\overrightarrow{AN}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{4}\overrightarrow{AC}$。

$x=\frac{1}{2}$，$y=\frac{1}{4}$，$x+y=\frac{3}{4}$。

取中心 $O$ 為原點、邊長為 $2$，照圖的位置：$A(-1,\sqrt{3})$，$B(-2,0)$，$C(-1,-\sqrt{3})$，$E(2,0)$。

$\overrightarrow{AB}=(-1,-\sqrt{3})$，$\overrightarrow{AC}=(0,-2\sqrt{3})$，$\overrightarrow{AE}=(3,-\sqrt{3})$。

比較分量：$x$ 分量 $-m=3$，得 $m=-3$。

$y$ 分量 $-\sqrt{3}m-2\sqrt{3}n=-\sqrt{3}$，即 $3-2n=-1$，得 $n=2$。

所以 $m-n=-3-2=-5$。

$\left|\overrightarrow{a}\right|=\sqrt{(-3{)}^2+4^2}=5$。

與 $\overrightarrow{a}$ 同方向的單位向量是 $\frac{1}{5}\overrightarrow{a}=\left(-\frac{3}{5},\frac{4}{5}\right)$。

長度為 $3$ 時乘 $3$：$\left(-\frac{9}{5},\frac{12}{5}\right)$。

(1) 首尾相接：$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}=(-1-(-4),7-5)=(3,2)$。

(2) $ABCD$ 為平行四邊形，$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}=(-3,4)$。

所以 $D=(-4-3,5+4)=(-7,9)$。

(1) 垂直時內積為 $0$：$2x+1\times 4=0$，$x=-2$。

(2) $\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}=(2-2x,-7)$，$2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=(4+x,6)$。

兩向量平行，分量交叉相乘相等：$(2-2x)\times 6=(-7)(4+x)$。

$12-12x=-28-7x$，$5x=40$，$x=8$。

設 $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{b}$，$\left|\overrightarrow{a}\right|=4$，$\left|\overrightarrow{b}\right|=\overline{BC}=6$。

$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}$。

$$\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{BD}=(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a})\cdot (\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a})={\left|\overrightarrow{b}\right|}^2-{\left|\overrightarrow{a}\right|}^2=36-16=20$$

$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=2\times 3\times \cos 120^{\circ }=-3$。

$${\left|3\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}\right|}^2=9{\left|\overrightarrow{a}\right|}^2+12\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}+4{\left|\overrightarrow{b}\right|}^2=36-36+36=36$$

所以 $\left|3\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}\right|=6$。

照圖放上坐標：$B(0,0)$，$C(4,0)$，$A(0,2)$，$D(4,2)$。

$M$ 是 $\overline{AB}$ 中點，$M(0,1)$；$\overline{AP}=\frac{1}{4}\overline{AD}=1$，$P(1,2)$；$\overline{BQ}=\frac{3}{4}\overline{BC}=3$，$Q(3,0)$。

$\overrightarrow{MP}=(1,1)$，$\overrightarrow{MQ}=(3,-1)$。

$$\cos \angle PMQ=\frac{1\times 3+1\times (-1)}{\sqrt{2}\times \sqrt{10}}=\frac{2}{\sqrt{20}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$$

$\overrightarrow{u}$ 就是 $\overrightarrow{a}$ 在 $\overrightarrow{b}$ 上的正射影：

$$\overrightarrow{u}=\frac{\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}}{{\left|\overrightarrow{b}\right|}^2}\overrightarrow{b}=\frac{7+8}{5}(1,2)=(3,6)$$

$\overrightarrow{v}=\overrightarrow{a}-\overrightarrow{u}=(7-3,4-6)=(4,-2)$。

檢查：$\overrightarrow{v}\cdot \overrightarrow{b}=4-4=0$，確實垂直。

$\overrightarrow{OA}=(-2,11)$，$\overrightarrow{OB}=(3,-4)$，$\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}=-6-44=-50$，${\left|\overrightarrow{OB}\right|}^2=25$。

(1) 正射影為

$$\frac{\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}}{{\left|\overrightarrow{OB}\right|}^2}\overrightarrow{OB}=\frac{-50}{25}(3,-4)=(-6,8)$$

(2) 投影點 $H$ 滿足 $\overrightarrow{OH}=(-6,8)$，所以 $H=(1-6,1+8)=(-5,9)$。

由圖：$\overline{AB}=6$ 水平；$\overline{BC}=4$，與 $\overline{AB}$ 的延長線夾 $120^{\circ }$；$\overline{CD}=1$ 水平向左（與 $\overline{BC}$ 延長線夾 $60^{\circ }$），所以 $\overline{CD}\parallel \overline{AB}$。

① 從 $C$ 作 $\overline{AB}$ 的垂線，垂足 $H$。$\angle CBH=180^{\circ }-120^{\circ }=60^{\circ }$：

$\overline{BH}=4\cos 60^{\circ }=2$，$\overline{CH}=4\sin 60^{\circ }=2\sqrt{3}$。

② $D$ 在 $C$ 的左邊 $1$，所以 $D$ 到直線 $AB$ 的距離也是 $2\sqrt{3}$，水平方向離 $A$ 為 $6-2-1=3$。

③ $\overline{AD}=\sqrt{3^2+(2\sqrt{3}{)}^2}=\sqrt{21}$。

設 $P(x,y)$ 是 $L$ 上任一點，$\overrightarrow{P_{0}P}=(x-2,y+2)$ 與法向量 $(1,-3)$ 垂直（$P_0(2,-2)$）。

內積為 $0$：$(x-2)-3(y+2)=0$。

整理得 $x-3y=8$。

設長邊 $L$、短邊 $W$，周長 $24$，所以 $L+W=12$。

長邊四等分裁切後，每一小張是 $W\times \frac{L}{4}$，長邊是 $W$。

長寬比不變：$\frac{L}{W}=\frac{W}{L/4}$，得 $W^2=\frac{L^2}{4}$，$L=2W$。

代入 $L+W=12$：$W=4$，$L=8$。

面積 $=8\times 4=32$ 平方公分。

由圖，$V$、$D$、$A$ 共線，$V$、$C$、$B$ 共線（向後退的稜通往消失點）；$\overline{DC}$ 與 $\overline{AB}$ 是長方體上面前後兩條平行的稜，在透視圖中仍平行。

所以 $△VDC\sim △VAB$：

$$\frac{\overline{AB}}{\overline{DC}}=\frac{\overline{VA}}{\overline{VD}}=\frac{6}{4}$$

$\overline{AB}=3\times \frac{3}{2}=\frac{9}{2}$。

$\overline{AD}:\overline{DB}=3:2$，$\overrightarrow{AD}=\frac{3}{5}\overrightarrow{AB}$，即 $\overrightarrow{AB}=\frac{5}{3}\overrightarrow{AD}$。設 $\overrightarrow{AE}=t\overrightarrow{AC}$。

重心：$\overrightarrow{AG}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}=\frac{5}{9}\overrightarrow{AD}+\frac{1}{3t}\overrightarrow{AE}$。

$D$、$G$、$E$ 三點共線，係數和為 $1$：$\frac{5}{9}+\frac{1}{3t}=1$，$\frac{1}{3t}=\frac{4}{9}$，$t=\frac{3}{4}$。

所以 $\overline{AE}:\overline{EC}=3:1$。

摺成四角錐後，等腰三角形的腰就是側稜，長 $8$；頂點 $P$ 在底面正方形中心 $O$ 的正上方。

① $O$ 到底面頂點 $A$ 的距離是對角線的一半：$\overline{OA}=\frac{1}{2}\times 4\sqrt{2}=2\sqrt{2}$。

② $△POA$ 是直角三角形（$\angle POA=90^{\circ }$）：

$$\overline{PO}=\sqrt{8^2-(2\sqrt{2}{)}^2}=\sqrt{56}=2\sqrt{14}$$