段考詳解範圍：三角函數（弧度量、弧長與扇形面積、弧度角的三角函數值、正弦函數的圖形與週期）與週期現象的數學模型

北一女中 114 上
高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

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01 · 試題

原卷 16 題，照原卷順序

單選題 2 題（每題 6 分，共 12 分）、多重選擇題 4 題（每題 6 分，共 24 分）、填充題第 7 題到第 13 題共 8 格（每格 6 分，共 48 分）、混合題第 14 題到第 16 題（多選題 4 分、非選擇題兩題各 6 分，共 16 分），合計 100 分。卷面註明本次考試不能使用計算機。答案已與學校公布的答案逐題核對。

一、單選題（每題 6 分，共 12 分）

已知小綠今天一早 7:30 到校，直到 16:30 才離校，請問小綠今天的在校時間，讓時鐘上的「時針」所轉動之圓心角為多少弳？

(1) $90$
(2) $270$
(3) $\frac{3 π}{4}$
(4) $\frac{3 π}{2}$
(5) $\frac{π}{2}$

已知某正弦函數之振幅為

3

、週期為

\frac{π}{2}

，請問下列何者可能為此函數？

(1) $y = 3 sin (\frac{π}{2} x)$
(2) $y = 3 sin (\frac{1}{2} x)$
(3) $y = - 3 sin (\frac{1}{4} x)$
(4) $y = 3 sin (2 x)$
(5) $y = - 3 sin (4 x)$

二、多重選擇題（每題 6 分，錯 1 個選項得 4 分，錯 2 個選項得 2 分，錯 3 個選項以上或未作答得 0 分，共 24 分）

下列敘述哪些正確？

(1) $sin (\frac{π}{2} - θ) = cos θ$
(2) $cos (π - θ) = cos θ$
(3) $tan (θ + π) = - tan θ$
(4) $sin π = sin (- π)$
(5) $cos \frac{π}{2} = cos (- \frac{π}{2})$

將函數

y = sin (\frac{x}{3})

的圖形向右平移

\frac{π}{6}

單位後，會與下列哪些函數的圖形重合？

(1) $y = sin (\frac{x}{3} - \frac{π}{2})$
(2) $y = sin (\frac{x}{3} - \frac{π}{6})$
(3) $y = sin (\frac{x}{3} - \frac{π}{18})$
(4) $y = sin (\frac{x}{3} + \frac{11 π}{6})$
(5) $y = sin (\frac{x}{3} + \frac{35 π}{18})$

關於函數

f (x) = 3 sin (2 x + \frac{π}{2}) - 2

，下列敘述哪些正確？

(1) 週期為 $4 π$
(2) 最大值為 $1$
(3) 此函數圖形對稱於 $y$ 軸
(4) 此函數圖形可由 $y = - 3 sin (2 x)$ 經上下或左右平移得到
(5) 方程式 $f (x) = \frac{3 3}{2} - 2$ 的最小正實數解為 $\frac{π}{3}$

下列敘述哪些正確？

(1) $sin 2 < sin 3$
(2) $cos π^{\circ} > cos π$
(3) $tan 1 > tan 5 7^{\circ}$
(4) $sin 45 = cos 45$
(5) $sin (π^{2}) > cos (π^{2})$

三、填充題（每格 6 分，共 48 分）

試求

sin \frac{7 π}{6} \times tan \frac{3 π}{4} - sin \frac{5 π}{2} cos \frac{2 π}{3} + cos 0 =

____。

已知本校打掃時間為 15:00 至 15:20，若有一時鐘之時針長度為

1

，分針長度為

2

，則在打掃的這段時間內，時針和分針之尖端所掃過的弧長比為 ____。（答案須化為最簡整數比）

下圖是一個邊長為

2

的正六邊形，分別以六個頂點為圓心，邊長為半徑畫弧所得的圖形。 (1) 試求鋪色區域的周長為 ____。 (2) 試求鋪色區域的面積為 ____。

載入中...

北一幼兒園正在設計一塊扇形遊戲區，裝潢師傅帶來了

36

平方公尺的地板拼貼材料（不考慮材料形狀，且材料需用完），準備鋪成一塊扇形區域。為了安全起見，學校打算在此扇形遊戲區外加裝圍欄，但因預算有限，校方希望能以最短的圍欄長度來規劃此遊戲區。經聰明的小花一陣計算後，發現圍欄最短為

a

公尺，此時扇形遊戲區的半徑為

b

公尺、圓心角為

c

弳，則序組

(a, b, c) =

____。

下圖為函數

y = a sin (b x + c) + d

半個週期的圖形，其中

a > 0

，

b > 0

，

∣ c ∣ < π

，已知

f (3) = 1

，試求序組

(a, b, c, d) =

____。

載入中...

下圖為函數

y = 1 - 2 sin (2 x + \frac{π}{2})

的部分圖形，試求

△ A B C

的面積為 ____。

載入中...

方程式

10 ∣ sin x ∣ = \frac{x}{π}

中，

x

的解共有 ____ 個。

四、混合題（共 16 分）（非選擇題須寫出計算過程或理由，否則將酌予扣分。）

14－16 題為題組（第 14～16 題）　小明某日上地科課學到「海水受月球引力的影響會發生漲落的潮汐現象」，好奇的小明決定親自到某港口進行觀測，並取得該港口一天

24

小時海水漲落的水深紀錄表，紀錄表如下。試回答下列問題。

時間（ 24 小時制） 水深（公尺） 00 : 00 3.5 03 : 00 6.5 06 : 00 3.5 09 : 00 0.5 12 : 00 3.5 15 : 00 6.5 18 : 00 3.5 21 : 00 0.5 24 : 00 3.5

〔多選題，全對得 4 分，錯一個選項得 2 分，錯兩個選項以上或未作答得 0 分〕若以

x

表示時間（小時）、

y

表示水深（公尺），將

(x, y)

描繪在坐標平面上，可發現此為函數

y = a sin (b x) + c

的圖形，其中

a, b, c

都是正數，請問下列選項哪些正確？

(1) 此函數圖形的振幅為 $3$
(2) 此函數圖形的週期為 $6$
(3) $a = 6$
(4) $b = \frac{π}{12}$
(5) $c = 3.5$

〔非選擇題，6 分〕小明在港口觀測海水漲落時發現貨船並非隨時都能進港，問了船長才知道原來港口水深受潮汐現象影響，會進而影響船舶進出港口。已知某貨船的吃水深度（船底與水面的距離）為

4

公尺，為避免貨船發生擱淺危機，船底與港底的距離至少保持

1.5

公尺。請問清晨 5:00 該貨船可以進港嗎？為什麼？

〔非選擇題，6 分〕小明在早上 7:00 時，觀察到身旁的環境維護人員準備上工，一問之下才知道原來環境維護人員需要在潮間帶清理覆滿青苔的岩石，且只有在水深低於

2

公尺時才可以作業，水深達

2

公尺以上則必須撤離。請問環境維護人員一整天總共可以工作幾小時？

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(4)

第 2 題(5)

第 3 題(1)(4)(5)

第 4 題(3)(5)

第 5 題(2)(3)(4)

第 6 題(2)(3)(5)

第 7 題

2

第 8 題

1 : 24

第 9 題(1)

8 π

；(2)

8 π - 123

第 10 題

(24, 6, 2)

第 11 題

(3, \frac{π}{4}, \frac{3 π}{4}, 4)

第 12 題

π

第 13 題

20

第 14 題(1)(5)

第 15 題不可以；清晨 5:00 的水深為

5

公尺，小於安全水深

5.5

公尺

第 16 題

8

小時（7:00～11:00、19:00～23:00）

03 · 勾錯題號

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選題（第 1、2 題）：時針轉動的弧度、由振幅與週期選函數

第 1 題答案 (4)。從 7:30 到 16:30 共

9

小時。時針

12

小時轉一圈（

2 π

弳），所以

9

小時轉了

\frac{9}{12} = \frac{3}{4}

圈，圓心角是

2 π \times \frac{3}{4} = \frac{3 π}{2} （弳）

\frac{3 π}{2}

弳就是

27 0^{\circ}

，但題目問的是「弳」，選項 (2) 的

270

是度數的數字，不能選。

第 2 題答案 (5)。

y = a sin (b x)

的振幅是

∣ a ∣

，週期是

\frac{2 π}{∣ b ∣}

。振幅為

3

表示

∣ a ∣ = 3

，五個選項都符合。週期為

\frac{π}{2}

表示

\frac{2 π}{∣ b ∣} = \frac{π}{2}

，所以

∣ b ∣ = 4

，只有 (5) 符合。各選項的週期依序是

4

、

4 π

、

8 π

、

π

、

\frac{π}{2}

。

(5) 的係數

- 3

只是把圖形上下顛倒，振幅仍是

∣ - 3∣ = 3

。

02多重選擇題（第 3～6 題）：角度之間的關係、平移、正弦型函數的性質、弧度與度的比較

第 3 題答案 (1)(4)(5)。 (1) 正確。 這是餘角關係：直角三角形中一個銳角的對邊就是另一個銳角的鄰邊，推廣到任意角仍成立。 (2) 錯誤。

π - θ

與

θ

的終邊對稱於

y

軸，單位圓上兩點的

x

坐標差一個負號，所以

cos (π - θ) = - cos θ

。例如

θ = 0

時左邊是

cos π = - 1

，右邊是

1

。 (3) 錯誤。 角度多轉半圈，終邊上的點變成對原點對稱的點，

x

、

y

坐標同時變號，比值

\frac{y}{x}

不變，所以

tan (θ + π) = tan θ

。例如

θ = \frac{π}{4}

時左邊是

tan \frac{5 π}{4} = 1

，右邊是

- 1

。 (4) 正確。

sin π = 0

，

sin (- π) = 0

，兩邊相等。 (5) 正確。

cos \frac{π}{2} = 0

，

cos (- \frac{π}{2}) = 0

，兩邊相等。

(4) 不是因為「正弦的負角可以直接拿掉負號」：一般來說

sin (- θ) = - sin θ

，這裡相等是因為兩邊剛好都是

0

。(5) 則是

cos (- θ) = cos θ

的特例。

第 4 題答案 (3)(5)。圖形向右平移

\frac{π}{6}

，是把

x

換成

x - \frac{π}{6}

：

y = sin (\frac{1}{3} (x - \frac{π}{6})) = sin (\frac{x}{3} - \frac{π}{18})

兩個函數

y = sin (\frac{x}{3} + p)

與

y = sin (\frac{x}{3} + q)

的圖形重合，條件是

p

與

q

相差

2 π

的整數倍（同界角）。把每個選項的常數與

- \frac{π}{18}

相減： (1) 錯誤。

- \frac{π}{2} - (- \frac{π}{18}) = - \frac{4 π}{9}

，不是

2 π

的整數倍。 (2) 錯誤。

- \frac{π}{6} - (- \frac{π}{18}) = - \frac{π}{9}

，不是

2 π

的整數倍。這個選項是忘了平移量要先乘上

\frac{1}{3}

。 (3) 正確。 就是平移後的式子。 (4) 錯誤。

\frac{11 π}{6} - (- \frac{π}{18}) = \frac{34 π}{18} = \frac{17 π}{9}

，不是

2 π

的整數倍。（

\frac{11 π}{6}

與

- \frac{π}{6}

同界，它和選項 (2) 是同一個圖形。） (5) 正確。

\frac{35 π}{18} - (- \frac{π}{18}) = \frac{36 π}{18} = 2 π

，是同界角，圖形重合。

平移是對

x

本身做的：向右平移

\frac{π}{6}

以後，括號裡的常數只變了

\frac{1}{3} \times \frac{π}{6} = \frac{π}{18}

。

第 5 題答案 (2)(3)(4)。 (1) 錯誤。

x

的係數是

2

，週期是

\frac{2 π}{2} = π

。 (2) 正確。 正弦值最大是

1

，所以

f (x)

的最大值是

3 \times 1 - 2 = 1

。 (3) 正確。 用負角與補角的關係：

f (- x) = 3 sin (\frac{π}{2} - 2 x) - 2

，而

\frac{π}{2} - 2 x

與

\frac{π}{2} + 2 x

的和是

π

，互補的兩個角正弦值相等，所以

f (- x) = 3 sin (\frac{π}{2} + 2 x) - 2 = f (x)

，圖形對稱於

y

軸。也可以這樣看：

x = 0

時角度是

\frac{π}{2}

，

f (0) = 1

是最高點，正弦型函數的圖形對稱於通過最高點的鉛直線。 (4) 正確。 把

y = - 3 sin (2 x)

的圖形向右平移

\frac{π}{4}

，得到

y = - 3 sin (2 x - \frac{π}{2})

。由

sin (- θ) = - sin θ

，它等於

3 sin (\frac{π}{2} - 2 x)

，再由 (3) 的補角關係等於

3 sin (2 x + \frac{π}{2})

。再向下平移

2

就是

f (x)

。 (5) 錯誤。 方程式化成

sin (2 x + \frac{π}{2}) = \frac{3}{2}

。

x > 0

時角度

2 x + \frac{π}{2}

大於

\frac{π}{2}

，從

\frac{π}{2}

往後第一個正弦值為

\frac{3}{2}

的角是

\frac{2 π}{3}

，所以

2 x + \frac{π}{2} = \frac{2 π}{3}

，最小正實數解是

x = \frac{π}{12}

。

(4) 也可以比最高點：

y = - 3 sin (2 x)

的一個最高點是

(- \frac{π}{4}, 3)

，

f (x)

的最高點是

(0, 1)

；兩個圖形的振幅與週期相同，把前者向右移

\frac{π}{4}

、向下移

2

就疊在一起。(5) 的

x = \frac{π}{3}

代進去角度是

\frac{7 π}{6}

，正弦值是

- \frac{1}{2}

，根本不是解。

第 6 題答案 (2)(3)(5)。沒有寫度的記號就是弧度；取

π \approx 3.14

，

1

弳約

57. 3^{\circ}

。 (1) 錯誤。

\frac{π}{2} \approx 1.57

，

π \approx 3.14

，所以

2

與

3

都是第二象限角。正弦值在第二象限隨角度增加而變小，所以

sin 2 > sin 3

。 (2) 正確。

π^{\circ}

大約是

3.1 4^{\circ}

，是很小的第一象限角，

cos π^{\circ} > 0

；而

cos π = - 1

。 (3) 正確。

1

弳約

57. 3^{\circ}

，比

5 7^{\circ}

大。正切值在第一象限隨角度增加而變大，所以

tan 1 > tan 5 7^{\circ}

。 (4) 錯誤。 這裡的

45

是

45

弳，不是

4 5^{\circ}

。

14 π \approx 43.98

，所以

45

弳與

45 - 14 π \approx 1.02

弳同界。

\frac{π}{4} \approx 0.785

，

\frac{π}{2} \approx 1.571

，

1.02

介於兩者之間（約

5 8^{\circ}

），在這個範圍正弦值大於餘弦值，兩者不相等。 (5) 正確。

π^{2} \approx 9.87

。

3 π \approx 9.42

，

3 π + \frac{π}{4} \approx 10.21

，所以

π^{2}

介於

3 π

與

3 π + \frac{π}{4}

之間，和

π^{2} - 2 π

同界，終邊在第三象限、與

x

軸負向的夾角約

0.44

弳（小於

\frac{π}{4}

）。這時正弦、餘弦都是負的，而且終邊比較靠近

x

軸，

x

坐標比

y

坐標更負，所以

sin (π^{2}) > cos (π^{2})

。

近似值：

sin 2 \approx 0.909

、

sin 3 \approx 0.141

；

sin 45 \approx 0.851

、

cos 45 \approx 0.525

；

sin (π^{2}) \approx - 0.430

、

cos (π^{2}) \approx - 0.903

。考試不能用計算機，判斷靠的是象限與增減，這些數字只是事後檢查。

看到三角函數裡的數字先分清楚是度還是弧度；弧度就用圓周率約 3.14 換算，看終邊落在第幾象限、離哪一條坐標軸比較近。

03填充題（第 7～10 題）：特殊角的函數值、弧長、花瓣的周長與面積、扇形周長的最小值

第 7 題逐項求值。

\frac{7 π}{6}

在第三象限，參考角

\frac{π}{6}

，正弦為負：

sin \frac{7 π}{6} = - \frac{1}{2}

。

\frac{3 π}{4}

在第二象限，參考角

\frac{π}{4}

，正切為負：

tan \frac{3 π}{4} = - 1

。

\frac{5 π}{2} = 2 π + \frac{π}{2}

，與

\frac{π}{2}

同界：

sin \frac{5 π}{2} = 1

。

\frac{2 π}{3}

在第二象限，參考角

\frac{π}{3}

，餘弦為負：

cos \frac{2 π}{3} = - \frac{1}{2}

。

cos 0 = 1

。

(- \frac{1}{2}) \times (- 1) - 1 \times (- \frac{1}{2}) + 1 = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + 1 = 2

第 8 題15:00 到 15:20 共

20

分鐘。時針

12

小時（

720

分鐘）轉一圈，

20

分鐘轉的角度與尖端掃過的弧長（時針長

1

）是

2 π \times \frac{20}{720} = \frac{π}{18}, 1 \times \frac{π}{18} = \frac{π}{18}

分針

60

分鐘轉一圈，

20

分鐘轉的角度與尖端掃過的弧長（分針長

2

）是

2 π \times \frac{20}{60} = \frac{2 π}{3}, 2 \times \frac{2 π}{3} = \frac{4 π}{3}

時針比分針是

\frac{π}{18} : \frac{4 π}{3} = \frac{1}{18} : \frac{24}{18} = 1 : 24

題目問的是「時針和分針」，順序是時針在前，寫成

24 : 1

就反了。同樣時間裡分針轉的角度是時針的

12

倍，分針又是時針的

2

倍長，所以弧長是

24

倍。

第 9 題正六邊形的中心到每個頂點的距離等於邊長

2

，所以以頂點為圓心、半徑

2

的弧會通過中心，也通過相鄰的兩個頂點。 (1) 以某一個頂點為圓心的弧，從一個相鄰頂點經過中心畫到另一個相鄰頂點，所張的圓心角就是正六邊形的內角

12 0^{\circ} = \frac{2 π}{3}

，弧長是

2 \times \frac{2 π}{3} = \frac{4 π}{3}

。鋪色區域的邊界正好由這樣的六段弧組成，周長是

6 \times \frac{4 π}{3} = 8 π

(2) 每一片花瓣從中心伸到一個頂點，它被「中心到該頂點」的線段分成兩個全等的弓形。每個弓形是半徑

2

、圓心角

6 0^{\circ} = \frac{π}{3}

的扇形，減去邊長

2

的正三角形（圓心、中心、該頂點三點連成的三角形，三邊都是

2

）：

\frac{1}{2} \times 2^{2} \times \frac{π}{3} - \frac{3}{4} \times 2^{2} = \frac{2 π}{3} - 3

六片花瓣共

12

個弓形，面積是

12 (\frac{2 π}{3} - 3) = 8 π - 123

數值約

25.13 - 20.78 = 4.35

。正六邊形的面積是

6 \times \frac{3}{4} \times 2^{2} = 63 \approx 10.39

，鋪色部分不到一半，和圖看起來相符。

第 10 題設半徑

r

公尺、圓心角

θ

弳。材料用完表示面積

\frac{1}{2} r^{2} θ = 36

，所以

r θ = \frac{72}{r}

。圍欄圍住扇形一圈，長度是兩條半徑加弧長：

2 r + r θ = 2 r + \frac{72}{r}

2 r

與

\frac{72}{r}

都是正數，由算幾不等式

2 r + \frac{72}{r} \geq 2 2 r \cdot \frac{72}{r} = 2144 = 24

等號在

2 r = \frac{72}{r}

時成立，即

r^{2} = 36

，

r = 6

；此時

θ = \frac{72}{r ^{2}} = 2

（小於

2 π

，可以構成扇形）。所以圍欄最短

24

公尺，

(a, b, c) = (24, 6, 2)

。

也可以配方：

2 r + \frac{72}{r} = 2 (r - \frac{6}{r})^{2} + 24

，括號為

0

時（

r = 6

）最小。面積固定的扇形，周長最短時圓心角恰好是

2

弳、弧長等於兩條半徑的和。

弧長與扇形面積的公式都要用弧度；遇到弓形就用扇形減三角形。

04填充題（第 11～13 題）：由圖形決定係數、三角形面積、解的個數

第 11 題圖上是半個週期，兩個端點

(1, 4)

、

(5, 4)

一樣高，中間

x = 3

處是最低點，

f (3) = 1

。半個週期裡高度相同的兩個端點一定在中線上（如果兩端是最高點，中間隔的就是一整個週期），所以中線

d = 4

，振幅是中線到最低點的距離

4 - 1 = 3

；

a > 0

，所以

a = 3

。半個週期的長度是

5 - 1 = 4

，週期是

8

；

b > 0

，所以

\frac{2 π}{b} = 8

，

b = \frac{π}{4}

。

x = 3

是最低點，角度要與

- \frac{π}{2}

同界：

\frac{3 π}{4} + c = - \frac{π}{2} + 2 k π

（

k

為整數），

c = - \frac{5 π}{4} + 2 k π

。在

∣ c ∣ < π

內只有

k = 1

的

c = \frac{3 π}{4}

。所以

(a, b, c, d) = (3, \frac{π}{4}, \frac{3 π}{4}, 4)

。

代回檢查：

x = 1

時角度是

π

，

y = 3 sin π + 4 = 4

；

x = 3

時角度是

\frac{3 π}{2}

，

y = - 3 + 4 = 1

；

x = 5

時角度是

2 π

，

y = 4

。

k = 0

的

c = - \frac{5 π}{4}

不在

∣ c ∣ < π

的範圍內。

第 12 題

A

、

B

是圖形與

x

軸的交點，令

y = 0

：

1 - 2 sin (2 x + \frac{π}{2}) = 0 ⟹ sin (2 x + \frac{π}{2}) = \frac{1}{2}

當

x > 0

，括號裡的角大於

\frac{π}{2}

，往後正弦值為

\frac{1}{2}

的角依序是

\frac{5 π}{6}

、

\frac{13 π}{6}

，對應的

x

是

\frac{π}{6}

與

\frac{5 π}{6}

。圖上

A

、

B

是

y

軸右邊最前面的兩個交點，所以

A (\frac{π}{6}, 0), B (\frac{5 π}{6}, 0), \overline{A B} = \frac{5 π}{6} - \frac{π}{6} = \frac{2 π}{3}

C

是

A

、

B

之間的最高點。正弦值為

- 1

時

y

最大，最大值是

1 - 2 \times (- 1) = 3

，這時括號裡的角是

\frac{3 π}{2}

，也就是

x = \frac{π}{2}

。所以三角形的高是

3

。

△ A B C 的面積 = \frac{1}{2} \times \frac{2 π}{3} \times 3 = π

x = 0

時

y = 1 - 2 sin \frac{π}{2} = - 1

，圖形從

y

軸下方出發，和圖相符。求面積只需要底與高，

C

的

x

坐標其實用不到。

第 13 題兩邊同除以

10

：

∣ sin x ∣ = \frac{x}{10 π}

，看

y = ∣ sin x ∣

的圖形與直線

y = \frac{x}{10 π}

的交點個數。

∣ sin x ∣

介於

0

與

1

之間，所以解只會在

0 \leq \frac{x}{10 π} \leq 1

，也就是

0 \leq x \leq 10 π

。

y = ∣ sin x ∣

是把

y = sin x

在

x

軸下方的部分往上翻，週期是

π

；在

0 \leq x \leq 10 π

內共有

10

個山頭，第

k

個山頭（

k = 1, 2, \dots, 10

）在

(k - 1) π \leq x \leq k π

，兩端高度

0

、正中間高度

1

。直線在這一段從高度

\frac{k - 1}{10}

升到

\frac{k}{10}

，在山頂的位置高度是

\frac{k - 0.5}{10}

，最多是

0.95

，都比山頂低。第 1 個山頭：

x = 0

時兩邊都是

0

，是一個解；之後曲線很快升到直線上方（直線非常平緩，到山頂時才

0.05

），下山時曲線降回

0

、直線在上升，再交

1

點，共

2

個。第 2 到第 10 個山頭：左端曲線（

0

）在直線下方，山頂曲線（

1

）在直線上方，右端曲線（

0

）又在直線下方，上山、下山各交

1

點，每個山頭

2

個。第 10 個山頭的右端

x = 10 π

處直線高度是

1

、曲線是

0

，不是解。共

2 \times 10 = 20

個解。

容易漏掉

x = 0

，或誤以為最後一個山頭碰不到直線。

x < 0

時右邊是負的、左邊不小於

0

，沒有解。

數方程式的解的個數時，先用函數值的範圍把自變數的範圍縮小，再一個週期一個週期比較曲線與直線的高低，端點要另外檢查。

05混合題（第 14～16 題）：潮汐的正弦模型

第 14 題答案 (1)(5)。由紀錄表：水深最大

6.5

、最小

0.5

；從 03:00 的最大值到 15:00 的下一個最大值相隔

12

小時。 (1) 正確。 振幅是

\frac{6.5 - 0.5}{2} = 3

。 (2) 錯誤。 週期是

12

小時；

6

小時只是從最高到最低的半個週期。 (3) 錯誤。

a

是正數，

a

等於振幅

3

；

6

是最高與最低的差。 (4) 錯誤。

\frac{2 π}{b} = 12

，所以

b = \frac{π}{6}

。 (5) 正確。 中線是

c = \frac{6.5 + 0.5}{2} = 3.5

。所以

y = 3 sin (\frac{π}{6} x) + 3.5

。

代回表格檢查：

x = 0

時

y = 3.5

；

x = 3

時

y = 3 sin \frac{π}{2} + 3.5 = 6.5

；

x = 9

時

y = 3 sin \frac{3 π}{2} + 3.5 = 0.5

，都相符。

第 15 題不可以。貨船吃水

4

公尺，船底與港底至少要相距

1.5

公尺，所以水深至少要

4 + 1.5 = 5.5

公尺才能進港。由第 14 題，

y = 3 sin (\frac{π}{6} x) + 3.5

。清晨 5:00 是

x = 5

：

y = 3 sin \frac{5 π}{6} + 3.5 = 3 \times \frac{1}{2} + 3.5 = 5

水深

5

公尺小於

5.5

公尺，船底離港底只剩

1

公尺，所以不可以進港。

\frac{5 π}{6}

在第二象限，參考角

\frac{π}{6}

，正弦為正。

第 16 題可以作業的條件是水深低於

2

公尺：

3 sin (\frac{π}{6} x) + 3.5 < 2 ⟹ sin (\frac{π}{6} x) < - \frac{1}{2}

令

θ = \frac{π}{6} x

。一天

0 \leq x \leq 24

對應

0 \leq θ \leq 4 π

（兩個週期）。在第一個週期裡，正弦值等於

- \frac{1}{2}

的角是

\frac{7 π}{6}

與

\frac{11 π}{6}

，兩者之間正弦值小於

- \frac{1}{2}

；第二個週期各加

2 π

，是

\frac{19 π}{6}

與

\frac{23 π}{6}

之間。換回

x = \frac{6 θ}{π}

：

7 < x < 11

或

19 < x < 23

。所以可以作業的時段是 7:00～11:00 與 19:00～23:00，各

4

小時，一整天總共

8

小時。

題目說早上 7:00 人員「準備上工」，正好是水深降到

2

公尺的時刻，和算出來的時段相符。7:00 與 11:00 這兩個時刻水深剛好

2

公尺、不能作業，但不影響時段的長度。

週期現象的模型先由最大值、最小值與相鄰兩次最大值的間隔定出振幅、中線與週期，之後的問題都是代入求值或解正弦的不等式。

同一次段考的其他學校

同樣是高二第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

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常見問題

北一女中 114 上高二第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 16 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

北一女中 114 上高二第一次段考數學哪幾題最容易錯？

第 5 題的選項 (4) 要看出兩個函數的振幅與週期相同、只差平移，選項 (5) 要從角度大於二分之圓周率的地方往後找第一個解；第 6 題不能用計算機，要把弧度換成圓周率的近似值再判斷落在哪個象限；第 11 題的兩個端點是在中線上，不是最高點；第 13 題要先把範圍縮到零到十倍圓周率，再一個山頭一個山頭數交點，原點也算一個解。詳解逐題寫在本頁。

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可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

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可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

題目取自北一女中 114 學年度上學期高二第一次段考數學B，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

北一女中 114 上高二第一次段考數學試題、答案與詳解

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每一題，錯在哪一步

01單選題（第 1、2 題）：時針轉動的弧度、由振幅與週期選函數

02多重選擇題（第 3～6 題）：角度之間的關係、平移、正弦型函數的性質、弧度與度的比較

03填充題（第 7～10 題）：特殊角的函數值、弧長、花瓣的周長與面積、扇形周長的最小值

04填充題（第 11～13 題）：由圖形決定係數、三角形面積、解的個數

05混合題（第 14～16 題）：潮汐的正弦模型

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北一女中 114 上
高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

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