段考詳解範圍：高三數學乙（數列的極限、Σ 與無窮等比級數、函數的定義與合成、函數的極限與連續）

苑裡高中 114 上
高三第一次段考
數學試題、答案與詳解

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01 · 試題

原卷 24 題，照原卷順序

多選題 4 題，每題 5 分，每答錯一格扣 2 分，扣至該題 0 分為止，共 20 分；單選題 3 題與填充題 17 格合併計分，共 20 格 80 分：答對 1 格 5 分、2 格 10 分，第 3 格到第 18 格每多對一格加 4 分（18 格 74 分），19 格 77 分，20 格 80 分。原卷三大題各自從 1 編號，本頁依序編為第 1～3 題、第 4～7 題、第 8～24 題。答案已與學校公布的答案逐題核對。

一、單選題

試求

n \to \infty lim \frac{1}{( \frac{9}{10} ) ^{n} + ( \frac{11}{12} ) ^{n}} =

？

(A) $0$
(B) $\frac{1}{2}$
(C) $1$
(D) $2$
(E) 不存在

設

f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{∣ x ∣}{x}, \frac{1}{2}, x \neq = 0 x = 0

，則

x \to 0 lim f (x)

之值為何？

(A) $- 1$
(B) $0$
(C) $\frac{1}{2}$
(D) $1$
(E) 不存在

x \to 3 lim \frac{x ^{2} - 9}{x - 3} =

？

(A) $- 6$
(B) $- 3$
(C) $3$
(D) $6$
(E) $9$

二、多重選擇題（4 題，每題 5 分，每答錯一格扣 2 分，扣至該題 0 分為止，共 20 分）

下列各無窮數列中，哪些是收斂數列？

(A) $⟨ (\frac{4}{3})^{n} ⟩$
(B) $⟨ 1^{n} ⟩$
(C) $⟨ 100 \times (- \frac{π}{3})^{n} ⟩$
(D) $⟨ (- \frac{9}{10})^{n} ⟩$
(E) $⟨ (- 1)^{n} ⟩$

設

⟨ a_{n} ⟩

，

⟨ b_{n} ⟩

為兩無窮數列，下列哪些是正確的？

(A) 若 $⟨ a_{n} ⟩$ 收斂， $⟨ b_{n} ⟩$ 發散，則 $⟨ a_{n} + b_{n} ⟩$ 發散
(B) 若 $⟨ a_{n} ⟩$ ， $⟨ b_{n} ⟩$ 皆發散，則 $⟨ a_{n} + b_{n} ⟩$ 發散
(C) 若 $⟨ a_{n} ⟩$ ， $⟨ b_{n} ⟩$ 皆收斂，則 $⟨ a_{n} - b_{n} ⟩$ 收斂
(D) 若 $⟨ a_{n} ⟩$ ， $⟨ b_{n} ⟩$ 皆發散，則 $⟨ a_{n} b_{n} ⟩$ 發散
(E) 若 $⟨ a_{n} ⟩$ 收斂， $⟨ b_{n} ⟩$ 發散，且 $n \to \infty lim a_{n} \neq = 0$ ，則 $⟨ \frac{b _{n}}{a _{n}} ⟩$ 必發散

試判斷下列哪些圖形是

y = f (x)

的函數圖形？

(A) 如圖 (A)
(B) 如圖 (B)
(C) 如圖 (C)
(D) 如圖 (D)
(E) 如圖 (E)

載入中...

設

f (x)

之圖形如下，則下列何者正確？

(A) $f (2)$ 不存在
(B) $x \to 2 lim f (x)$ 不存在
(C) $x \to 3 lim f (x) = 5$
(D) $f (x)$ 在 $x = 5$ 連續
(E) $x \to 2^{+} lim f (x)$ 不存在

載入中...

三、填充題（和單選題合併計分，共 20 格，共 80 分）

n \to \infty lim \frac{1}{n ^{2}} =

____。

n \to \infty lim (3 + \frac{1}{4 ^{n}}) =

____。

[π] =

____。

數列

⟨ (\frac{x - 4}{3})^{n} ⟩

為收斂數列，求

x

的範圍為 ____。

若

\frac{5}{3 ^{n}} - 0 < 0.01

，則

n

最小整數值為 ____。

k = 1 \sum 5 (2 k - 3) =

____。

k = 4 \sum 10 2 k^{2} =

____。

已知

k = 1 \sum 10 a_{k} = 30

，

k = 1 \sum 10 b_{k} = 15

，則

k = 1 \sum 10 (- 2 a_{k} + 3 b_{k} + 4) =

____。

無窮等比級數

3 - 2 + \frac{4}{3} - \frac{8}{9} + \dots + 3 \cdot (\frac{- 2}{3})^{n - 1} + \dots =

____。

若函數

f (x) = - x^{2} + 8 x

的值域為

{y ∣ y \in R, m \leq y \leq M}

，求

m - M =

____。

x \to 3 lim (x^{2} - 4 x + 2) =

____。

設函數

f (x) = x^{2} - 2 x + 3

，

g (x) = 3 x + 1

，則

(f \circ g) (2) =

____。

設函數

f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ 2 x + 5, x^{2} - ∣ x ∣, x^{2} - 4, 若 x > 3 若 - 3 \leq x \leq 3 若 x < - 3

，則

f (f (3)) =

____。

設函數

f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{k x ^{2} + x - 4 k - 2}{x - 2}, 3, x \neq = 2 x = 2

，若

f (x)

在

x = 2

連續，則

k =

____。

x \to 3 lim (\frac{x - 4}{x - 3} + \frac{2}{x ^{2} - 4 x + 3}) =

____。

x \to 2 lim \frac{∣ x + 2∣ - ∣ x - 2∣}{x + 1} =

____。

若

x \to 2 lim \frac{x ^{2} - m x + 8}{x ^{2} - ( n + 2 ) x + 2 n} = \frac{1}{5}

，則

m - n =

____。

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(E)

第 2 題(E)

第 3 題(D)

第 4 題(B)(D)

第 5 題(A)(C)(E)

第 6 題(B)(C)(D)

第 7 題(A)(B)(D)

第 8 題

0

第 9 題

3

第 10 題

3

第 11 題

1 < x \leq 7

第 12 題

6

第 13 題

15

第 14 題

742

第 15 題

25

第 16 題

\frac{9}{5}

第 17 題

- 4

第 18 題

- 1

第 19 題

38

第 20 題

17

第 21 題

\frac{1}{2}

第 22 題

\frac{1}{2}

第 23 題

\frac{4}{3}

第 24 題

- 6

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

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對完答案了？勾你錯的題號

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選題：分母趨近 0 的數列、左右極限、約去公因式

第 1 題答案 (E)。

\frac{9}{10}

與

\frac{11}{12}

都介於

0

與

1

之間，所以

(\frac{9}{10})^{n}

與

(\frac{11}{12})^{n}

都趨近

0

，分母是一個越來越接近

0

的正數。分子固定是

1

，除以越來越小的正數，商就越來越大、沒有上限，不會趨近任何定值，所以極限不存在。

不要因為「兩個等比數列都收斂到

0

」就選

0

；它們在分母，分母趨近

0

時極限的除法性質不能用。例如

n = 50

時這一項已經大約是

55

，而且會繼續變大。

第 2 題答案 (E)。

x > 0

時

∣ x ∣ = x

，

f (x) = \frac{x}{x} = 1

；

x < 0

時

∣ x ∣ = - x

，

f (x) = \frac{- x}{x} = - 1

。所以

x

從右邊靠近

0

時函數值趨近

1

，從左邊靠近

0

時趨近

- 1

，左右兩邊不同，

x \to 0 lim f (x)

不存在。

f (0) = \frac{1}{2}

只是那一點的函數值，與極限無關；極限只看

x

靠近

0

（但不等於

0

）時的趨勢。

第 3 題答案 (D)。

x \neq = 3

時

\frac{x ^{2} - 9}{x - 3} = \frac{( x + 3 ) ( x - 3 )}{x - 3} = x + 3

，所以極限

= 3 + 3 = 6

。

分母趨近 0 時先停下來：分子也趨近 0 就找公因式約掉，分子不趨近 0 就沒有極限。

02多選題：等比數列的收斂條件、收斂與發散數列的運算

第 4 題答案 (B)(D)。等比數列

⟨ r^{n} ⟩

收斂的條件是

- 1 < r \leq 1

，乘上常數

100

不影響收斂或發散。(A) 錯誤。

r = \frac{4}{3} > 1

，各項越來越大，發散。(B) 正確。

r = 1

，每一項都是

1

，收斂到

1

。(C) 錯誤。

π \approx 3.14 > 3

，所以

r = - \frac{π}{3} < - 1

，各項正負交替而且絕對值越來越大，發散。(D) 正確。

r = - \frac{9}{10}

，

- 1 < r < 1

，收斂到

0

。(E) 錯誤。

r = - 1

，各項在

- 1

與

1

之間跳動，發散。

\frac{π}{3}

比

1

大一點點（約

1.047

）；前面的

100

只是把每一項放大，不改變結論。

第 5 題答案 (A)(C)(E)。(A) 正確。 假設

⟨ a_{n} + b_{n} ⟩

收斂，那麼

b_{n} = (a_{n} + b_{n}) - a_{n}

是兩個收斂數列的差，也會收斂，與

⟨ b_{n} ⟩

發散矛盾。(B) 錯誤。 取

a_{n} = n

、

b_{n} = - n

，兩個都發散，但

a_{n} + b_{n} = 0

收斂。(C) 正確。 兩個收斂數列的差仍收斂，極限就是兩個極限相減。(D) 錯誤。 取

a_{n} = b_{n} = (- 1)^{n}

，兩個都發散，但

a_{n} b_{n} = 1

收斂。(E) 正確。 假設

⟨ \frac{b _{n}}{a _{n}} ⟩

收斂，那麼

b_{n} = \frac{b _{n}}{a _{n}} \times a_{n}

是兩個收斂數列的積，也會收斂，與

⟨ b_{n} ⟩

發散矛盾。

「發散加發散」「發散乘發散」都沒有定論，舉一個反例就能否定；「收斂加發散」一定發散，要用反證法說明。(E) 的條件

n \to \infty lim a_{n} \neq = 0

是讓

\frac{b _{n}}{a _{n}}

從某一項之後都有意義。卷面沒有另寫

a_{n} \neq = 0

。

等比數列看公比是否大於 −1 且小於等於 1；收斂與發散混在一起時，用反證法把發散的那個數列寫成兩個收斂數列的運算。

03多選題：函數的圖形、由圖形判讀極限與連續

第 6 題答案 (B)(C)(D)。

y = f (x)

的函數圖形，每一個

x

值至多對應一個

y

值；在圖上就是任何一條鉛直線與圖形至多交於一點。(A) 錯誤。 菱形是封閉圖形，穿過內部的鉛直線會與它交於上下兩點。(B) 正確。 曲線由左往右畫，沒有往回走，每條鉛直線只交一點。(C) 正確。 五個點的

x

坐標都不相同，每條鉛直線至多通過一個點。(D) 正確。 兩支曲線分別在

y

軸的右側與左側，每條鉛直線至多與其中一支交於一點；

y

軸本身與圖形不相交，只表示

x = 0

不在定義域內。(E) 錯誤。 曲線從原點向右分成上下兩支，

y

軸右側的鉛直線都與它交於兩點。

x

值；函數圖形不必是連起來的曲線。

第 7 題答案 (A)(B)(D)。(A) 正確。 在

x = 2

的上方只有

(2, 5)

與

(2, 4)

兩個空心點，沒有實心點，所以

f (2)

沒有定義。(B) 正確。

x

從左邊靠近

2

時，圖形趨近空心點

(2, 5)

，函數值趨近

5

；從右邊靠近

2

時，圖形趨近空心點

(2, 4)

，函數值趨近

4

。左右不同，極限不存在。(C) 錯誤。

x

從左右兩邊靠近

3

時，圖形都趨近空心點

(3, 3)

，所以

x \to 3 lim f (x) = 3

；

5

是實心點

(3, 5)

給的函數值

f (3)

，不是極限。(D) 正確。 曲線不間斷地通過實心點

(5, 1)

，

x \to 5 lim f (x) = 1 = f (5)

，所以在

x = 5

連續。(E) 錯誤。

x

從右邊靠近

2

時函數值趨近

4

，右極限存在，等於

4

。

空心點表示「圖形趨近那裡，但那一點不算」，決定的是極限；實心點決定的是函數值。(C) 把兩者弄反了。

函數用鉛直線檢查；看圖求極限時跟著曲線走到空心點，函數值才看實心點。

04填充題：數列的極限、高斯符號、等比數列收斂的範圍

第 8 題

n

越來越大時

n^{2}

也越來越大，

\frac{1}{n ^{2}}

越來越接近

0

，極限為

0

。

第 9 題

\frac{1}{4 ^{n}} = (\frac{1}{4})^{n}

是公比

\frac{1}{4}

的等比數列，趨近

0

；所以

n \to \infty lim (3 + \frac{1}{4 ^{n}}) = 3 + 0 = 3

。

第 10 題

[x]

是高斯符號，表示不大於

x

的最大整數。

π \approx 3.14

，

3 \leq π < 4

，所以

[π] = 3

。

第 11 題這是公比

r = \frac{x - 4}{3}

的等比數列

⟨ r^{n} ⟩

，收斂的條件是

- 1 < r \leq 1

，即

- 1 < \frac{x - 4}{3} \leq 1

。各邊同乘

3

得

- 3 < x - 4 \leq 3

，再同加

4

得

1 < x \leq 7

。

x = 7

時

r = 1

，每一項都是

1

，收斂，要包含；

x = 1

時

r = - 1

，數列在

- 1

與

1

之間跳動，發散，不包含。

第 12 題

\frac{5}{3 ^{n}}

是正數，所以條件就是

\frac{5}{3 ^{n}} < \frac{1}{100}

，即

3^{n} > 500

。

3^{5} = 243

還不夠，

3^{6} = 729 > 500

，所以最小的整數

n = 6

。

檢查：

n = 5

時

\frac{5}{243} \approx 0.0206

，還沒小於

0.01

；

n = 6

時

\frac{5}{729} \approx 0.0069

，已經小於

0.01

。

等比數列收斂的條件是公比大於 −1 且小於等於 1，兩端只有 1 可以取。

05填充題：Σ 的運算、平方和公式、無窮等比級數

第 13 題

k = 1 \sum 5 (2 k - 3) = 2 k = 1 \sum 5 k - k = 1 \sum 5 3 = 2 \times 15 - 3 \times 5 = 15

。

直接列出來也可以：

(- 1) + 1 + 3 + 5 + 7 = 15

。

第 14 題從

k = 4

開始，先算到

10

再扣掉前三項。平方和公式：

k = 1 \sum 10 k^{2} = \frac{10 \times 11 \times 21}{6} = 385

，前三項

1^{2} + 2^{2} + 3^{2} = 14

。所以

k = 4 \sum 10 2 k^{2} = 2 \times (385 - 14) = 2 \times 371 = 742

。

下標不是從

1

開始時，公式不能直接套，要扣掉

k = 1, 2, 3

這三項。

第 15 題

k = 1 \sum 10 (- 2 a_{k} + 3 b_{k} + 4) = - 2 k = 1 \sum 10 a_{k} + 3 k = 1 \sum 10 b_{k} + k = 1 \sum 10 4 = - 2 \times 30 + 3 \times 15 + 4 \times 10 = - 60 + 45 + 40 = 25

。

常數

4

加了

10

次，是

40

，不是

4

。

第 16 題首項

a = 3

，公比

r = \frac{- 2}{3}

。因為

∣ r ∣ < 1

，級數收斂，和

= \frac{a}{1 - r} = \frac{3}{1 + \frac{2}{3}} = 3 \times \frac{3}{5} = \frac{9}{5}

。

Σ 可以拆開、常數可以提出來，但常數項要乘以項數；無窮等比級數先確認公比的絕對值小於 1。

06填充題：值域、多項式函數的極限、合成函數、分段定義函數

第 17 題根號內配方：

- x^{2} + 8 x = - (x - 4)^{2} + 16

。根號內不可為負，

- x^{2} + 8 x = x (8 - x) \geq 0

，所以定義域是

0 \leq x \leq 8

；在這個範圍內，根號內的值最小是

0

（

x = 0

或

x = 8

），最大是

16

（

x = 4

），而且

0

到

16

之間的值都取得到。開根號後

0 \leq f (x) \leq 4

，所以

m = 0

、

M = 4

，

m - M = - 4

。

題目問的是

m - M

，不是

M - m

，答案是負的。

第 18 題多項式函數的極限直接代入：

3^{2} - 4 \times 3 + 2 = 9 - 12 + 2 = - 1

。

第 19 題

(f \circ g) (2) = f (g (2))

，先算裡面：

g (2) = 3 \times 2 + 1 = 7

；再算

f (7) = 7^{2} - 2 \times 7 + 3 = 49 - 14 + 3 = 38

。

順序不能反：

(g \circ f) (2) = g (f (2)) = g (3) = 10

，是另一個數。

第 20 題先算

f (3)

：

3

落在

- 3 \leq x \leq 3

這一段，

f (3) = 3^{2} - ∣3∣ = 9 - 3 = 6

。再算

f (6)

：

6 > 3

，用第一段，

f (6) = 2 \times 6 + 5 = 17

。所以

f (f (3)) = 17

。

x = 3

屬於中間那一段（有等號），不是

x > 3

那一段；每代一次都要重新看落在哪一段。

合成函數由裡往外算；分段定義的函數每次代入前先看自變數落在哪一段。

07填充題：連續、函數的極限、由極限反求係數

第 21 題在

x = 2

連續的條件是

x \to 2 lim f (x) = f (2) = 3

。分子重新分組：

k x^{2} + x - 4 k - 2 = k (x^{2} - 4) + (x - 2) = (x - 2) [k (x + 2) + 1]

。所以

x \neq = 2

時

f (x) = k (x + 2) + 1

，

x \to 2 lim f (x) = 4 k + 1

。令

4 k + 1 = 3

，得

k = \frac{1}{2}

。

把

x = 2

代入分子得

4 k + 2 - 4 k - 2 = 0

，不論

k

是多少分子都有因式

x - 2

，所以極限一定存在，只要讓它等於

3

。

第 22 題兩項各自在

x = 3

都沒有極限，要先通分。

x^{2} - 4 x + 3 = (x - 1) (x - 3)

，所以原式

= \frac{( x - 4 ) ( x - 1 ) + 2}{( x - 1 ) ( x - 3 )} = \frac{x ^{2} - 5 x + 6}{( x - 1 ) ( x - 3 )} = \frac{( x - 2 ) ( x - 3 )}{( x - 1 ) ( x - 3 )}

。

x \neq = 3

時約去

x - 3

得

\frac{x - 2}{x - 1}

，極限

= \frac{3 - 2}{3 - 1} = \frac{1}{2}

。

不可以拆成兩個極限相加，因為兩項的分母都趨近

0

、各自都沒有極限。

第 23 題

x = 2

時分母

x + 1 = 3

不是

0

，絕對值函數也都連續，可以直接代入：分子

= ∣2 + 2∣ - ∣2 - 2∣ = 4 - 0 = 4

，所以極限

= \frac{4}{3}

。

也可以分兩邊看：

x

略大於

2

時分子

= (x + 2) - (x - 2) = 4

；

x

略小於

2

時分子

= (x + 2) + (x - 2) = 2 x

，趨近

4

。兩邊一樣。

第 24 題分母

x^{2} - (n + 2) x + 2 n = (x - 2) (x - n)

，

x \to 2

時分母趨近

0

。極限存在，所以分子也要趨近

0

：

4 - 2 m + 8 = 0

，

m = 6

。這時分子

= x^{2} - 6 x + 8 = (x - 2) (x - 4)

，

x \neq = 2

時原式

= \frac{x - 4}{x - n}

，極限

= \frac{2 - 4}{2 - n} = \frac{- 2}{2 - n}

。令它等於

\frac{1}{5}

：

2 - n = - 10

，

n = 12

。所以

m - n = 6 - 12 = - 6

。

檢查：

m = 6

、

n = 12

時原式

= \frac{( x - 2 ) ( x - 4 )}{( x - 2 ) ( x - 12 )}

，極限

= \frac{- 2}{- 10} = \frac{1}{5}

。

分母趨近 0 而極限存在時，分子也必須趨近 0；先分解、約掉公因式，再代入。

同一次段考的其他學校

同樣是高三第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

你們學校的段考卷也想要詳解？

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常見問題

苑裡高中 114 上高三第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 24 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

苑裡高中 114 上高三第一次段考數學哪幾題最容易錯？

第 1 題兩個等比數列都趨近 0，但它們在分母，整個分式沒有極限；第 7 題要分清楚空心點決定極限、實心點決定函數值；第 14 題的 Σ 從第 4 項開始，要扣掉前三項；第 17 題問的是最小值減最大值，答案是負的；第 24 題要先由分母趨近 0 推出分子也趨近 0，才能求出兩個係數。詳解逐題寫在本頁。

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題目取自苑裡高中 114 學年度上學期高三第一次段考數學乙，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

御藍教育／段考卷／高三

段考詳解範圍：高三數學乙（數列的極限、Σ 與無窮等比級數、函數的定義與合成、函數的極限與連續）

苑裡高中 114 上
高三第一次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 24 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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01 · 試題

原卷 24 題，照原卷順序

一、單選題

試求

n \to \infty lim \frac{1}{( \frac{9}{10} ) ^{n} + ( \frac{11}{12} ) ^{n}} =

？

(A) $0$
(B) $\frac{1}{2}$
(C) $1$
(D) $2$
(E) 不存在

設

f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{∣ x ∣}{x}, \frac{1}{2}, x \neq = 0 x = 0

，則

x \to 0 lim f (x)

之值為何？

(A) $- 1$
(B) $0$
(C) $\frac{1}{2}$
(D) $1$
(E) 不存在

x \to 3 lim \frac{x ^{2} - 9}{x - 3} =

？

(A) $- 6$
(B) $- 3$
(C) $3$
(D) $6$
(E) $9$

二、多重選擇題（4 題，每題 5 分，每答錯一格扣 2 分，扣至該題 0 分為止，共 20 分）

下列各無窮數列中，哪些是收斂數列？

(A) $⟨ (\frac{4}{3})^{n} ⟩$
(B) $⟨ 1^{n} ⟩$
(C) $⟨ 100 \times (- \frac{π}{3})^{n} ⟩$
(D) $⟨ (- \frac{9}{10})^{n} ⟩$
(E) $⟨ (- 1)^{n} ⟩$

設

⟨ a_{n} ⟩

，

⟨ b_{n} ⟩

為兩無窮數列，下列哪些是正確的？

(A) 若 $⟨ a_{n} ⟩$ 收斂， $⟨ b_{n} ⟩$ 發散，則 $⟨ a_{n} + b_{n} ⟩$ 發散
(B) 若 $⟨ a_{n} ⟩$ ， $⟨ b_{n} ⟩$ 皆發散，則 $⟨ a_{n} + b_{n} ⟩$ 發散
(C) 若 $⟨ a_{n} ⟩$ ， $⟨ b_{n} ⟩$ 皆收斂，則 $⟨ a_{n} - b_{n} ⟩$ 收斂
(D) 若 $⟨ a_{n} ⟩$ ， $⟨ b_{n} ⟩$ 皆發散，則 $⟨ a_{n} b_{n} ⟩$ 發散
(E) 若 $⟨ a_{n} ⟩$ 收斂， $⟨ b_{n} ⟩$ 發散，且 $n \to \infty lim a_{n} \neq = 0$ ，則 $⟨ \frac{b _{n}}{a _{n}} ⟩$ 必發散

試判斷下列哪些圖形是

y = f (x)

的函數圖形？

(A) 如圖 (A)
(B) 如圖 (B)
(C) 如圖 (C)
(D) 如圖 (D)
(E) 如圖 (E)

載入中...

設

f (x)

之圖形如下，則下列何者正確？

(A) $f (2)$ 不存在
(B) $x \to 2 lim f (x)$ 不存在
(C) $x \to 3 lim f (x) = 5$
(D) $f (x)$ 在 $x = 5$ 連續
(E) $x \to 2^{+} lim f (x)$ 不存在

載入中...

三、填充題（和單選題合併計分，共 20 格，共 80 分）

n \to \infty lim \frac{1}{n ^{2}} =

____。

n \to \infty lim (3 + \frac{1}{4 ^{n}}) =

____。

[π] =

____。

數列

⟨ (\frac{x - 4}{3})^{n} ⟩

為收斂數列，求

x

的範圍為 ____。

若

\frac{5}{3 ^{n}} - 0 < 0.01

，則

n

最小整數值為 ____。

k = 1 \sum 5 (2 k - 3) =

____。

k = 4 \sum 10 2 k^{2} =

____。

已知

k = 1 \sum 10 a_{k} = 30

，

k = 1 \sum 10 b_{k} = 15

，則

k = 1 \sum 10 (- 2 a_{k} + 3 b_{k} + 4) =

____。

無窮等比級數

3 - 2 + \frac{4}{3} - \frac{8}{9} + \dots + 3 \cdot (\frac{- 2}{3})^{n - 1} + \dots =

____。

若函數

f (x) = - x^{2} + 8 x

的值域為

{y ∣ y \in R, m \leq y \leq M}

，求

m - M =

____。

x \to 3 lim (x^{2} - 4 x + 2) =

____。

設函數

f (x) = x^{2} - 2 x + 3

，

g (x) = 3 x + 1

，則

(f \circ g) (2) =

____。

設函數

f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ 2 x + 5, x^{2} - ∣ x ∣, x^{2} - 4, 若 x > 3 若 - 3 \leq x \leq 3 若 x < - 3

，則

f (f (3)) =

____。

設函數

f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{k x ^{2} + x - 4 k - 2}{x - 2}, 3, x \neq = 2 x = 2

，若

f (x)

在

x = 2

連續，則

k =

____。

x \to 3 lim (\frac{x - 4}{x - 3} + \frac{2}{x ^{2} - 4 x + 3}) =

____。

x \to 2 lim \frac{∣ x + 2∣ - ∣ x - 2∣}{x + 1} =

____。

若

x \to 2 lim \frac{x ^{2} - m x + 8}{x ^{2} - ( n + 2 ) x + 2 n} = \frac{1}{5}

，則

m - n =

____。

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(E)

第 2 題(E)

第 3 題(D)

第 4 題(B)(D)

第 5 題(A)(C)(E)

第 6 題(B)(C)(D)

第 7 題(A)(B)(D)

第 8 題

0

第 9 題

3

第 10 題

3

第 11 題

1 < x \leq 7

第 12 題

6

第 13 題

15

第 14 題

742

第 15 題

25

第 16 題

\frac{9}{5}

第 17 題

- 4

第 18 題

- 1

第 19 題

38

第 20 題

17

第 21 題

\frac{1}{2}

第 22 題

\frac{1}{2}

第 23 題

\frac{4}{3}

第 24 題

- 6

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

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對完答案了？勾你錯的題號

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選題：分母趨近 0 的數列、左右極限、約去公因式

第 1 題答案 (E)。

\frac{9}{10}

與

\frac{11}{12}

都介於

0

與

1

之間，所以

(\frac{9}{10})^{n}

與

(\frac{11}{12})^{n}

都趨近

0

，分母是一個越來越接近

0

的正數。分子固定是

1

，除以越來越小的正數，商就越來越大、沒有上限，不會趨近任何定值，所以極限不存在。

不要因為「兩個等比數列都收斂到

0

」就選

0

；它們在分母，分母趨近

0

時極限的除法性質不能用。例如

n = 50

時這一項已經大約是

55

，而且會繼續變大。

第 2 題答案 (E)。

x > 0

時

∣ x ∣ = x

，

f (x) = \frac{x}{x} = 1

；

x < 0

時

∣ x ∣ = - x

，

f (x) = \frac{- x}{x} = - 1

。所以

x

從右邊靠近

0

時函數值趨近

1

，從左邊靠近

0

時趨近

- 1

，左右兩邊不同，

x \to 0 lim f (x)

不存在。

f (0) = \frac{1}{2}

只是那一點的函數值，與極限無關；極限只看

x

靠近

0

（但不等於

0

）時的趨勢。

第 3 題答案 (D)。

x \neq = 3

時

\frac{x ^{2} - 9}{x - 3} = \frac{( x + 3 ) ( x - 3 )}{x - 3} = x + 3

，所以極限

= 3 + 3 = 6

。

分母趨近 0 時先停下來：分子也趨近 0 就找公因式約掉，分子不趨近 0 就沒有極限。

02多選題：等比數列的收斂條件、收斂與發散數列的運算

第 4 題答案 (B)(D)。等比數列

⟨ r^{n} ⟩

收斂的條件是

- 1 < r \leq 1

，乘上常數

100

不影響收斂或發散。(A) 錯誤。

r = \frac{4}{3} > 1

，各項越來越大，發散。(B) 正確。

r = 1

，每一項都是

1

，收斂到

1

。(C) 錯誤。

π \approx 3.14 > 3

，所以

r = - \frac{π}{3} < - 1

，各項正負交替而且絕對值越來越大，發散。(D) 正確。

r = - \frac{9}{10}

，

- 1 < r < 1

，收斂到

0

。(E) 錯誤。

r = - 1

，各項在

- 1

與

1

之間跳動，發散。

\frac{π}{3}

比

1

大一點點（約

1.047

）；前面的

100

只是把每一項放大，不改變結論。

第 5 題答案 (A)(C)(E)。(A) 正確。 假設

⟨ a_{n} + b_{n} ⟩

收斂，那麼

b_{n} = (a_{n} + b_{n}) - a_{n}

是兩個收斂數列的差，也會收斂，與

⟨ b_{n} ⟩

發散矛盾。(B) 錯誤。 取

a_{n} = n

、

b_{n} = - n

，兩個都發散，但

a_{n} + b_{n} = 0

收斂。(C) 正確。 兩個收斂數列的差仍收斂，極限就是兩個極限相減。(D) 錯誤。 取

a_{n} = b_{n} = (- 1)^{n}

，兩個都發散，但

a_{n} b_{n} = 1

收斂。(E) 正確。 假設

⟨ \frac{b _{n}}{a _{n}} ⟩

收斂，那麼

b_{n} = \frac{b _{n}}{a _{n}} \times a_{n}

是兩個收斂數列的積，也會收斂，與

⟨ b_{n} ⟩

發散矛盾。

「發散加發散」「發散乘發散」都沒有定論，舉一個反例就能否定；「收斂加發散」一定發散，要用反證法說明。(E) 的條件

n \to \infty lim a_{n} \neq = 0

是讓

\frac{b _{n}}{a _{n}}

從某一項之後都有意義。卷面沒有另寫

a_{n} \neq = 0

。

等比數列看公比是否大於 −1 且小於等於 1；收斂與發散混在一起時，用反證法把發散的那個數列寫成兩個收斂數列的運算。

03多選題：函數的圖形、由圖形判讀極限與連續

第 6 題答案 (B)(C)(D)。

y = f (x)

的函數圖形，每一個

x

值至多對應一個

y

x

坐標都不相同，每條鉛直線至多通過一個點。(D) 正確。 兩支曲線分別在

y

軸的右側與左側，每條鉛直線至多與其中一支交於一點；

y

軸本身與圖形不相交，只表示

x = 0

不在定義域內。(E) 錯誤。 曲線從原點向右分成上下兩支，

y

軸右側的鉛直線都與它交於兩點。

x

值；函數圖形不必是連起來的曲線。

第 7 題答案 (A)(B)(D)。(A) 正確。 在

x = 2

的上方只有

(2, 5)

與

(2, 4)

兩個空心點，沒有實心點，所以

f (2)

沒有定義。(B) 正確。

x

從左邊靠近

2

時，圖形趨近空心點

(2, 5)

，函數值趨近

5

；從右邊靠近

2

時，圖形趨近空心點

(2, 4)

，函數值趨近

4

。左右不同，極限不存在。(C) 錯誤。

x

從左右兩邊靠近

3

時，圖形都趨近空心點

(3, 3)

，所以

x \to 3 lim f (x) = 3

；

5

是實心點

(3, 5)

給的函數值

f (3)

，不是極限。(D) 正確。 曲線不間斷地通過實心點

(5, 1)

，

x \to 5 lim f (x) = 1 = f (5)

，所以在

x = 5

連續。(E) 錯誤。

x

從右邊靠近

2

時函數值趨近

4

，右極限存在，等於

4

。

空心點表示「圖形趨近那裡，但那一點不算」，決定的是極限；實心點決定的是函數值。(C) 把兩者弄反了。

函數用鉛直線檢查；看圖求極限時跟著曲線走到空心點，函數值才看實心點。

04填充題：數列的極限、高斯符號、等比數列收斂的範圍

第 8 題

n

越來越大時

n^{2}

也越來越大，

\frac{1}{n ^{2}}

越來越接近

0

，極限為

0

。

第 9 題

\frac{1}{4 ^{n}} = (\frac{1}{4})^{n}

是公比

\frac{1}{4}

的等比數列，趨近

0

；所以

n \to \infty lim (3 + \frac{1}{4 ^{n}}) = 3 + 0 = 3

。

第 10 題

[x]

是高斯符號，表示不大於

x

的最大整數。

π \approx 3.14

，

3 \leq π < 4

，所以

[π] = 3

。

第 11 題這是公比

r = \frac{x - 4}{3}

的等比數列

⟨ r^{n} ⟩

，收斂的條件是

- 1 < r \leq 1

，即

- 1 < \frac{x - 4}{3} \leq 1

。各邊同乘

3

得

- 3 < x - 4 \leq 3

，再同加

4

得

1 < x \leq 7

。

x = 7

時

r = 1

，每一項都是

1

，收斂，要包含；

x = 1

時

r = - 1

，數列在

- 1

與

1

之間跳動，發散，不包含。

第 12 題

\frac{5}{3 ^{n}}

是正數，所以條件就是

\frac{5}{3 ^{n}} < \frac{1}{100}

，即

3^{n} > 500

。

3^{5} = 243

還不夠，

3^{6} = 729 > 500

，所以最小的整數

n = 6

。

檢查：

n = 5

時

\frac{5}{243} \approx 0.0206

，還沒小於

0.01

；

n = 6

時

\frac{5}{729} \approx 0.0069

，已經小於

0.01

。

等比數列收斂的條件是公比大於 −1 且小於等於 1，兩端只有 1 可以取。

05填充題：Σ 的運算、平方和公式、無窮等比級數

第 13 題

k = 1 \sum 5 (2 k - 3) = 2 k = 1 \sum 5 k - k = 1 \sum 5 3 = 2 \times 15 - 3 \times 5 = 15

。

直接列出來也可以：

(- 1) + 1 + 3 + 5 + 7 = 15

。

第 14 題從

k = 4

開始，先算到

10

再扣掉前三項。平方和公式：

k = 1 \sum 10 k^{2} = \frac{10 \times 11 \times 21}{6} = 385

，前三項

1^{2} + 2^{2} + 3^{2} = 14

。所以

k = 4 \sum 10 2 k^{2} = 2 \times (385 - 14) = 2 \times 371 = 742

。

下標不是從

1

開始時，公式不能直接套，要扣掉

k = 1, 2, 3

這三項。

第 15 題

k = 1 \sum 10 (- 2 a_{k} + 3 b_{k} + 4) = - 2 k = 1 \sum 10 a_{k} + 3 k = 1 \sum 10 b_{k} + k = 1 \sum 10 4 = - 2 \times 30 + 3 \times 15 + 4 \times 10 = - 60 + 45 + 40 = 25

。

常數

4

加了

10

次，是

40

，不是

4

。

第 16 題首項

a = 3

，公比

r = \frac{- 2}{3}

。因為

∣ r ∣ < 1

，級數收斂，和

= \frac{a}{1 - r} = \frac{3}{1 + \frac{2}{3}} = 3 \times \frac{3}{5} = \frac{9}{5}

。

Σ 可以拆開、常數可以提出來，但常數項要乘以項數；無窮等比級數先確認公比的絕對值小於 1。

06填充題：值域、多項式函數的極限、合成函數、分段定義函數

第 17 題根號內配方：

- x^{2} + 8 x = - (x - 4)^{2} + 16

。根號內不可為負，

- x^{2} + 8 x = x (8 - x) \geq 0

，所以定義域是

0 \leq x \leq 8

；在這個範圍內，根號內的值最小是

0

（

x = 0

或

x = 8

），最大是

16

（

x = 4

），而且

0

到

16

之間的值都取得到。開根號後

0 \leq f (x) \leq 4

，所以

m = 0

、

M = 4

，

m - M = - 4

。

題目問的是

m - M

，不是

M - m

，答案是負的。

第 18 題多項式函數的極限直接代入：

3^{2} - 4 \times 3 + 2 = 9 - 12 + 2 = - 1

。

第 19 題

(f \circ g) (2) = f (g (2))

，先算裡面：

g (2) = 3 \times 2 + 1 = 7

；再算

f (7) = 7^{2} - 2 \times 7 + 3 = 49 - 14 + 3 = 38

。

順序不能反：

(g \circ f) (2) = g (f (2)) = g (3) = 10

，是另一個數。

第 20 題先算

f (3)

：

3

落在

- 3 \leq x \leq 3

這一段，

f (3) = 3^{2} - ∣3∣ = 9 - 3 = 6

。再算

f (6)

：

6 > 3

，用第一段，

f (6) = 2 \times 6 + 5 = 17

。所以

f (f (3)) = 17

。

x = 3

屬於中間那一段（有等號），不是

x > 3

那一段；每代一次都要重新看落在哪一段。

合成函數由裡往外算；分段定義的函數每次代入前先看自變數落在哪一段。

07填充題：連續、函數的極限、由極限反求係數

第 21 題在

x = 2

連續的條件是

x \to 2 lim f (x) = f (2) = 3

。分子重新分組：

k x^{2} + x - 4 k - 2 = k (x^{2} - 4) + (x - 2) = (x - 2) [k (x + 2) + 1]

。所以

x \neq = 2

時

f (x) = k (x + 2) + 1

，

x \to 2 lim f (x) = 4 k + 1

。令

4 k + 1 = 3

，得

k = \frac{1}{2}

。

把

x = 2

代入分子得

4 k + 2 - 4 k - 2 = 0

，不論

k

是多少分子都有因式

x - 2

，所以極限一定存在，只要讓它等於

3

。

第 22 題兩項各自在

x = 3

都沒有極限，要先通分。

x^{2} - 4 x + 3 = (x - 1) (x - 3)

，所以原式

= \frac{( x - 4 ) ( x - 1 ) + 2}{( x - 1 ) ( x - 3 )} = \frac{x ^{2} - 5 x + 6}{( x - 1 ) ( x - 3 )} = \frac{( x - 2 ) ( x - 3 )}{( x - 1 ) ( x - 3 )}

。

x \neq = 3

時約去

x - 3

得

\frac{x - 2}{x - 1}

，極限

= \frac{3 - 2}{3 - 1} = \frac{1}{2}

。

不可以拆成兩個極限相加，因為兩項的分母都趨近

0

、各自都沒有極限。

第 23 題

x = 2

時分母

x + 1 = 3

不是

0

，絕對值函數也都連續，可以直接代入：分子

= ∣2 + 2∣ - ∣2 - 2∣ = 4 - 0 = 4

，所以極限

= \frac{4}{3}

。

也可以分兩邊看：

x

略大於

2

時分子

= (x + 2) - (x - 2) = 4

；

x

略小於

2

時分子

= (x + 2) + (x - 2) = 2 x

，趨近

4

。兩邊一樣。

第 24 題分母

x^{2} - (n + 2) x + 2 n = (x - 2) (x - n)

，

x \to 2

時分母趨近

0

。極限存在，所以分子也要趨近

0

：

4 - 2 m + 8 = 0

，

m = 6

。這時分子

= x^{2} - 6 x + 8 = (x - 2) (x - 4)

，

x \neq = 2

時原式

= \frac{x - 4}{x - n}

，極限

= \frac{2 - 4}{2 - n} = \frac{- 2}{2 - n}

。令它等於

\frac{1}{5}

：

2 - n = - 10

，

n = 12

。所以

m - n = 6 - 12 = - 6

。

檢查：

m = 6

、

n = 12

時原式

= \frac{( x - 2 ) ( x - 4 )}{( x - 2 ) ( x - 12 )}

，極限

= \frac{- 2}{- 10} = \frac{1}{5}

。

分母趨近 0 而極限存在時，分子也必須趨近 0；先分解、約掉公因式，再代入。

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同樣是高三第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

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考完把題目頁拍照或掃描上傳，我們收到後會盡快做好放上來：題目重新打字，附答案和逐題詳解，一樣免費下載 PDF。

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常見問題

苑裡高中 114 上高三第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 24 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

苑裡高中 114 上高三第一次段考數學哪幾題最容易錯？

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可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

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可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

題目取自苑裡高中 114 學年度上學期高三第一次段考數學乙，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

苑裡高中 114 上高三第一次段考數學試題、答案與詳解

原卷 24 題，照原卷順序

答案一覽，先對再看詳解

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考前先拿一份自己的考前藍圖

每一題，錯在哪一步

01單選題：分母趨近 0 的數列、左右極限、約去公因式

02多選題：等比數列的收斂條件、收斂與發散數列的運算

03多選題：函數的圖形、由圖形判讀極限與連續

04填充題：數列的極限、高斯符號、等比數列收斂的範圍

05填充題：Σ 的運算、平方和公式、無窮等比級數

06填充題：值域、多項式函數的極限、合成函數、分段定義函數

07填充題：連續、函數的極限、由極限反求係數

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苑裡高中 114 上
高三第一次段考
數學試題、答案與詳解

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