段考詳解範圍：三角函數（弧度量、三角函數的圖形、和差角與倍角半角公式、正餘弦的疊合）

瑞祥高中 114 上
高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

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01 · 試題

原卷 21 題，照原卷順序

填充題 10 題、多重選擇題 2 題、填充題 9 題（其中 1 題分兩小格），共 21 題；流傳版本未印配分

一、填充題

若

\frac{7 π}{6}

弳為

A

度，且

13 0^{\circ}

為

B

弳，求數對

(A, B) =

____。

坐標平面上，點

A (cos 3, sin 3)

落在第 ____ 象限。

已知扇形的半徑為

10

公分，弧長

20

公分，則扇形的面積為 ____ 平方公分。

求

sin (- \frac{π}{6}) + cos \frac{2 π}{3} + tan \frac{5 π}{3} =

____。

下列哪些函數的週期為

π

？（多選，填代號，全對才給分）　(A)

y = \frac{1}{2} sin x

　(B)

y = sin (x + π)

　(C)

y = sin ∣ x ∣

　(D)

y = ∣ sin x ∣

　(E)

y = sin 2 x

　(F)

y = sin \frac{x}{2}

在

0 \leq x \leq 4 π

的範圍內，試求方程式

sin x = - \frac{1}{3}

的所有實根和為 ____。

在區間

[- 2 π, 2 π]

上，

y = x

與

y = tan x

的圖形有 ____ 個交點。

已知

18 0^{\circ} < θ < 27 0^{\circ}

，且

sin θ = \frac{- 3}{5}

，則

cos \frac{θ}{2} =

____。

設

x

為實數，則

4 sin x + 5 cos x

的最大值為 ____。

sin 37. 5^{\circ} sin 7. 5^{\circ} - cos 37. 5^{\circ} cos 7. 5^{\circ}

之值為 ____。

二、多重選擇題（原卷題號 1～2，本頁接續編為第 11～12 題）

設函數

f (x) = 2 cos (3 x - \frac{π}{2})

，

x \in R

，試問下列敘述何者正確？

(A) $- 2 \leq f (x) \leq 2$
(B) $f (x)$ 的週期為 $\frac{π}{3}$
(C) $y = f (x)$ 的圖形對稱於直線 $x = \frac{7 π}{6}$
(D) $f (x)$ 在 $x = - \frac{π}{6}$ 時有最大值
(E) $y = f (x)$ 的圖形經過平移後可與 $y = 2 sin (3 x + \frac{π}{6}) - 2$ 的圖形重合

如圖，

△ A B C

與

△ E C D

為直角三角形，且

B

、

C

、

D

三點共線，若

\overline{A B} = 1

，

\overline{B C} = 2

，

\overline{C D} = 2

，

\overline{D E} = 3

，

∠ A C B = α

，

∠ E C D = β

，試求下列各值？

(A) $tan α = \frac{1}{2}$ ， $tan β = \frac{3}{2}$
(B) $tan (α + β) = 8$
(C) $tan ∠ A C E = 8$
(D) $sin ∠ A C E = \frac{1}{8}$
(E) $△ A C E$ 的面積 $= 4$

載入中...

三、填充題（原卷題號 1～9，本頁接續編為第 13～21 題）

求方程式

sin x = \frac{x}{7}

的實根有 ____ 個。

附圖為函數

y = a cos (b x + c)

（其中

a > 0

，

b > 0

，

0 \leq c < 2 π

）的部分圖形，試求

(a, b, c) =

____。

載入中...

將

y = sin x

的圖形先以

x

軸為中心，沿鉛直方向伸縮為

4

倍，再以

y

軸為中心，沿水平方向將週期壓縮為

π

，接著向右平移

\frac{π}{6}

單位，最後再向上平移

1

單位得新函數為

y =

____。

如圖，已知

a > 0

，

b > 0

，函數

f (x) = a sin b x

的圖形通過最高點

P (3, 2)

、最低點

Q (9, - 2)

，且與直線

y = - 1

交於

A

、

B

、

C

三點，求

\overline{B C}

的長為 ____。

載入中...

設

0 \leq x \leq 2 π

，若

y = 3 sin x - 4 cos x

在

x = α

時有最大值，試求

tan α =

____。

設

f (x) = 23 sin (x + \frac{π}{6}) - 4 sin x

。　(1) 若

f (x) = r sin (x + α)

，其中

r > 0

，

0 < α < π

，則

(r, α) =

____。　(2) 設

0 \leq x \leq π

，當

x = θ

時，

f (x)

有最大值為

M

，則

(θ, M) =

____。

設

x

為實數，若

f (x) = sin^{2} x - 4 sin x cos x + 3 cos^{2} x

的最大值為

α

，最小值為

β

，則

α + β =

____。

設

0 \leq x \leq 2 π

，若函數

f (x) = 1 + 2 (sin x - cos x) + sin 2 x

之最大值為

M

，最小值為

m

，則數對

(M, m) =

____。

如圖，圓內接四邊形

A B C D

，

sin ∠ A D B = \frac{7}{25}

，

sin ∠ C D B = \frac{3}{5}

，若圓直徑為

25

，則

\overline{A C} =

____。

載入中...

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題

(210, \frac{13 π}{18})

第 2 題二

第 3 題

100

第 4 題

- 1 - 3

第 5 題(D)(E)

第 6 題

10 π

第 7 題

3

第 8 題

- \frac{10}{10}

第 9 題

41

第 10 題

- \frac{2}{2}

第 11 題(A)(C)(E)

第 12 題(A)(B)(E)

第 13 題

3

第 14 題

(2, \frac{4}{3}, \frac{3 π}{2})

第 15 題

4 sin (2 x - \frac{π}{3}) + 1

第 16 題

4

第 17 題

- \frac{3}{4}

第 18 題(1)

(2, \frac{2 π}{3})

；(2)

(0, 3)

第 19 題

4

第 20 題

(3, - 22)

第 21 題

20

03 · 勾錯題號

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

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01一、填充 1～4（第 1～4 題）：弧度的換算、象限、扇形、特殊角

第 1 題

π

弳

= 18 0^{\circ}

。

\frac{7 π}{6}

弳

= \frac{7}{6} \times 18 0^{\circ} = 21 0^{\circ}

，所以

A = 210

。

13 0^{\circ} = 130 \times \frac{π}{180} = \frac{13 π}{18}

弳，所以

B = \frac{13 π}{18}

。

弳換度乘

\frac{180}{π}

，度換弳乘

\frac{π}{180}

。

第 2 題

cos 3

、

sin 3

的

3

沒有寫度，是

3

弳。

\frac{π}{2} \approx 1.57 < 3 < π \approx 3.14

，所以

3

弳是第二象限角，

cos 3 < 0

、

sin 3 > 0

，點

A

落在第二象限。

3

弳約是

17 2^{\circ}

，不要當成

3^{\circ}

。

第 3 題扇形面積

= \frac{1}{2} \times

半徑

\times

弧長

= \frac{1}{2} \times 10 \times 20 = 100

（平方公分）。

也可以先求圓心角

θ = \frac{20}{10} = 2

弳，面積

= \frac{1}{2} r^{2} θ = \frac{1}{2} \times 100 \times 2 = 100

。

第 4 題

sin (- \frac{π}{6}) = - sin \frac{π}{6} = - \frac{1}{2}

。

\frac{2 π}{3}

在第二象限，

cos \frac{2 π}{3} = - cos \frac{π}{3} = - \frac{1}{2}

。

\frac{5 π}{3}

在第四象限，

tan \frac{5 π}{3} = - tan \frac{π}{3} = - 3

。三項相加得

- \frac{1}{2} - \frac{1}{2} - 3 = - 1 - 3

。

02一、填充 5～7（第 5～7 題）：週期、根的對稱、正切圖形與直線

第 5 題答案 (D)(E)。(A) 鉛直伸縮不改變週期，仍是

2 π

。(B) 平移不改變週期，仍是

2 π

。(C)

y = sin ∣ x ∣

是把

y = sin x

在

y

軸右邊的圖形對稱到左邊，在原點兩側的圖形不會重複，不是週期函數。(D)

y = ∣ sin x ∣

把

x

軸下方的部分翻到上方，每隔

π

重複一次，週期

π

。(E) 週期

\frac{2 π}{2} = π

。(F) 週期

\frac{2 π}{1/2} = 4 π

。

絕對值加在

x

上與加在整個函數值上，圖形的變化不同：前者左右對稱，後者上下翻摺。

第 6 題設

a

是

0

到

\frac{π}{2}

之間滿足

sin a = \frac{1}{3}

的角。

sin x = - \frac{1}{3}

在

0 \leq x \leq 2 π

的根是

π + a

與

2 π - a

；再加一個週期

2 π

，在

2 π \leq x \leq 4 π

的根是

3 π + a

與

4 π - a

。四個根的和為

(π + a) + (2 π - a) + (3 π + a) + (4 π - a) = 10 π

。

不用求出

a

：同一個波谷兩側的兩根對稱於

x = \frac{3 π}{2}

與

x = \frac{7 π}{2}

，兩兩相加是

3 π

與

7 π

。

第 7 題

x = 0

時

tan 0 = 0

，原點是一個交點。

0 < x < \frac{π}{2}

時

tan x > x

，沒有交點。

\frac{π}{2} < x < \frac{3 π}{2}

這一支，

tan x

由負無限大遞增到正無限大，其中

\frac{π}{2} < x \leq π

時

tan x \leq 0 < x

，交點在

π < x < \frac{3 π}{2}

之間，恰有

1

個（約

x = 4.49

）。

\frac{3 π}{2} < x \leq 2 π

時

tan x \leq 0 < x

，沒有交點。所以

0 < x \leq 2 π

有

1

個交點；兩個圖形都對稱於原點，

- 2 π \leq x < 0

也有

1

個。合計

1 + 1 + 1 = 3

個。

流傳版本的參考答案寫

5

，但依題幹的區間

[- 2 π, 2 π]

重算為

3

。下一個交點約在

x = \pm 7.73

，已超過

2 π \approx 6.28

；區間若取到

\pm \frac{5 π}{2}

或

\pm 3 π

才會有

5

個。

03一、填充 8～10（第 8～10 題）：半角、疊合、和角

第 8 題

θ

在第三象限，

cos θ < 0

，

cos θ = - 1 - \frac{9}{25} = - \frac{4}{5}

。半角公式：

cos^{2} \frac{θ}{2} = \frac{1 + cos θ}{2} = \frac{1}{10}

。又

9 0^{\circ} < \frac{θ}{2} < 13 5^{\circ}

在第二象限，餘弦為負，所以

cos \frac{θ}{2} = - \frac{1}{10} = - \frac{10}{10}

。

流傳版本的參考答案寫

- \frac{1}{10}

，與

- \frac{10}{10}

是同一個數，這裡化成分母有理化的形式。象限要判斷兩次：一次定

cos θ

，一次定

cos \frac{θ}{2}

。

第 9 題

4 sin x + 5 cos x = 4^{2} + 5^{2} (\frac{4}{41} sin x + \frac{5}{41} cos x) = 41 sin (x + φ)

，其中

cos φ = \frac{4}{41}

、

sin φ = \frac{5}{41}

。

x

是任意實數，

sin (x + φ)

的最大值是

1

，所以最大值為

41

。

第 10 題原式

= - (cos 37. 5^{\circ} cos 7. 5^{\circ} - sin 37. 5^{\circ} sin 7. 5^{\circ}) = - cos (37. 5^{\circ} + 7. 5^{\circ}) = - cos 4 5^{\circ} = - \frac{2}{2}

。

cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β

；題目的兩項順序與正負號和公式相反，先提出負號。

04二、多重選擇 1、2（第 11、12 題）：函數圖形的性質、正切的和角公式

第 11 題答案 (A)(C)(E)。先化簡：

cos (3 x - \frac{π}{2}) = cos (\frac{π}{2} - 3 x) = sin 3 x

，所以

f (x) = 2 sin 3 x

。(A) 對：振幅

2

。(B) 錯：週期是

\frac{2 π}{3}

。(C) 對：

f (\frac{7 π}{6}) = 2 sin \frac{7 π}{2} = - 2

是最低點，圖形對稱於通過最低點的鉛直線。(D) 錯：

f (- \frac{π}{6}) = 2 sin (- \frac{π}{2}) = - 2

，是最小值。(E) 對：

2 sin (3 x + \frac{π}{6}) - 2 = 2 sin 3 (x + \frac{π}{18}) - 2

，是

y = 2 sin 3 x

向左平移

\frac{π}{18}

、再向下平移

2

，振幅與週期都沒變。

正弦型函數的圖形對稱於每一條通過最高點或最低點的鉛直線；平移不改變振幅與週期，所以只要這兩個量相同就能平移重合。

第 12 題答案 (A)(B)(E)。(A) 對：直角三角形

A B C

中

tan α = \frac{A B}{B C} = \frac{1}{2}

；直角三角形

E C D

中

tan β = \frac{D E}{C D} = \frac{3}{2}

。(B) 對：

tan (α + β) = \frac{\frac{1}{2} + \frac{3}{2}}{1 - \frac{1}{2} \times \frac{3}{2}} = \frac{2}{\frac{1}{4}} = 8

。(C) 錯：

B

、

C

、

D

共線，

∠ A C E = 18 0^{\circ} - (α + β)

，

tan ∠ A C E = - tan (α + β) = - 8

。(D) 錯：

sin ∠ A C E = sin (α + β)

；

α + β

的正切為正，是銳角，對邊

8

、鄰邊

1

、斜邊

65

，所以

sin ∠ A C E = \frac{8}{65}

。(E) 對：

\overline{A C} = 5

、

\overline{C E} = 13

，面積

= \frac{1}{2} \times 5 \times 13 \times \frac{8}{65} = 4

。

(E) 也可以用梯形

A B D E

的面積

\frac{( 1 + 3 ) \times 4}{2} = 8

減去兩個直角三角形的面積

1

與

3

，一樣得到

4

。

05三、填充 1～4（第 13～16 題）：數交點、讀圖定係數、伸縮平移

第 13 題數

y = sin x

與直線

y = \frac{x}{7}

的交點。正弦值介於

- 1

與

1

之間，只需看

- 7 \leq x \leq 7

。

x = 0

是一個根。

x > 0

時：在

0 < x < π

，直線由原點出發，斜率

\frac{1}{7}

比正弦曲線在原點附近平緩，到

x = π

時直線在曲線上方，中間恰交

1

點；

π \leq x \leq 2 π

時

sin x \leq 0 < \frac{x}{7}

，沒有交點；

2 π < x \leq 7

時，

7 < \frac{5 π}{2} \approx 7.85

，正弦還在上升，

sin x \leq sin 7 \approx 0.66

，而直線的值至少

\frac{2 π}{7} \approx 0.90

，沒有交點。所以正根

1

個；兩個圖形都對稱於原點，負根也

1

個。合計

3

個。

關鍵在第二個波峰：

x = 7

還沒到波峰

\frac{5 π}{2}

，直線就已經離開

- 1

到

1

的範圍，所以碰不到。

第 14 題最高

2

、最低

- 2

，

a = 2

。最高點在

x = \frac{3 π}{8}

、相鄰的最低點在

x = \frac{9 π}{8}

，相差半個週期

\frac{3 π}{4}

，所以週期是

\frac{3 π}{2}

，

b = \frac{2 π}{3 π /2} = \frac{4}{3}

。餘弦在角度為

2 k π

（

k

為整數）時取最大值：

\frac{4}{3} \times \frac{3 π}{8} + c = \frac{π}{2} + c = 2 k π

，

c = - \frac{π}{2} + 2 k π

；在

0 \leq c < 2 π

內取

k = 1

，

c = \frac{3 π}{2}

。

檢查：

2 cos (\frac{4}{3} x + \frac{3 π}{2}) = 2 sin \frac{4}{3} x

，圖形通過原點且向右上升，與附圖相符。

第 15 題依序做：鉛直伸縮為

4

倍得

y = 4 sin x

；週期由

2 π

壓縮為

π

，是把

x

換成

2 x

，得

y = 4 sin 2 x

；向右平移

\frac{π}{6}

是把

x

換成

x - \frac{π}{6}

，得

y = 4 sin 2 (x - \frac{π}{6}) = 4 sin (2 x - \frac{π}{3})

；最後向上平移

1

，得

y = 4 sin (2 x - \frac{π}{3}) + 1

。

先壓縮再平移時，平移是把

x

換成

x - \frac{π}{6}

，括號裡是

2 (x - \frac{π}{6})

，不是

2 x - \frac{π}{6}

。

第 16 題最高點的

y

坐標是

2

，

a = 2

。最高點

x = 3

到相鄰最低點

x = 9

是半個週期，週期

12

，

b = \frac{2 π}{12} = \frac{π}{6}

，

f (x) = 2 sin \frac{π x}{6}

。解

2 sin \frac{π x}{6} = - 1

：

sin \frac{π x}{6} = - \frac{1}{2}

，在

0 \leq x \leq 12

這一個週期內

\frac{π x}{6} = \frac{7 π}{6}

或

\frac{11 π}{6}

，

x = 7

或

11

。由圖，

B

、

C

就是最低點

Q

左右兩側的這兩個交點，

\overline{B C} = 11 - 7 = 4

。

A

是

y

軸左邊的交點（

x = - 1

）。

B

、

C

對稱於

x = 9

，各離

2

。

06三、填充 5～9（第 17～21 題）：疊合求極值、圓內接四邊形

第 17 題

y = 5 (\frac{3}{5} sin x - \frac{4}{5} cos x) = 5 sin (x - φ)

，其中

φ

是銳角，

cos φ = \frac{3}{5}

、

sin φ = \frac{4}{5}

。最大值發生在

x - φ = \frac{π}{2}

，即

α = φ + \frac{π}{2}

（在

0

到

2 π

之間）。此時

sin α = cos φ = \frac{3}{5}

，

cos α = - sin φ = - \frac{4}{5}

，所以

tan α = - \frac{3}{4}

。

檢查：

3 \times \frac{3}{5} - 4 \times (- \frac{4}{5}) = 5

，確實是最大值。

α

在第二象限，正切為負。

第 18 題(1) 用和角公式展開：

23 sin (x + \frac{π}{6}) = 23 (\frac{3}{2} sin x + \frac{1}{2} cos x) = 3 sin x + 3 cos x

，所以

f (x) = - sin x + 3 cos x = 2 (- \frac{1}{2} sin x + \frac{3}{2} cos x) = 2 sin (x + \frac{2 π}{3})

，其中用到

cos \frac{2 π}{3} = - \frac{1}{2}

、

sin \frac{2 π}{3} = \frac{3}{2}

。

(r, α) = (2, \frac{2 π}{3})

。(2)

0 \leq x \leq π

時

\frac{2 π}{3} \leq x + \frac{2 π}{3} \leq \frac{5 π}{3}

，這段角度裡正弦由

\frac{3}{2}

一路下降到

- 1

再回升到

- \frac{3}{2}

，最大值在左端點

x = 0

，

M = 2 \times \frac{3}{2} = 3

。

(θ, M) = (0, 3)

。

流傳版本的參考答案把第二小題的題號印作 (3)，內容

(0, 3)

與本站相同。角度範圍取不到

\frac{π}{2}

，最大值不是

2

。

第 19 題用倍角公式降次：

sin^{2} x = \frac{1 - cos 2 x}{2}

、

cos^{2} x = \frac{1 + cos 2 x}{2}

、

sin x cos x = \frac{1}{2} sin 2 x

。

f (x) = \frac{1 - cos 2 x}{2} - 2 sin 2 x + \frac{3 ( 1 + cos 2 x )}{2} = 2 + cos 2 x - 2 sin 2 x

。

cos 2 x - 2 sin 2 x

疊合後振幅是

1^{2} + 2^{2} = 5

，

x

為任意實數時範圍是

- 5

到

5

。所以

α = 2 + 5

、

β = 2 - 5

，

α + β = 4

。

第 20 題令

t = sin x - cos x = 2 sin (x - \frac{π}{4})

；

0 \leq x \leq 2 π

剛好一整個週期，

- 2 \leq t \leq 2

。

t^{2} = 1 - 2 sin x cos x = 1 - sin 2 x

，所以

sin 2 x = 1 - t^{2}

，

f = 1 + 2 t + 1 - t^{2} = - (t - 1)^{2} + 3

。

t = 1

在範圍內，最大值

M = 3

。開口向下，最小值在離

t = 1

較遠的端點

t = - 2

：

m = - (2 + 1)^{2} + 3 = - 22

。

另一個端點

t = 2

時是

22

，不是最大值也不是最小值；兩個端點和頂點都要比。

第 21 題圓內接三角形

A C D

的外接圓就是這個圓，由正弦定理

\frac{A C}{sin ∠ A D C} = 25

。對角線

\overline{B D}

把

∠ A D C

分成

∠ A D B

與

∠ C D B

。依圖兩個角都是銳角：

cos ∠ A D B = \frac{24}{25}

、

cos ∠ C D B = \frac{4}{5}

。

sin ∠ A D C = sin (∠ A D B + ∠ C D B) = \frac{7}{25} \times \frac{4}{5} + \frac{24}{25} \times \frac{3}{5} = \frac{28 + 72}{125} = \frac{4}{5}

，所以

\overline{A C} = 25 \times \frac{4}{5} = 20

。

流傳版本這一題寫「如圖」但沒有附圖，本頁的圖是依題意補繪的示意圖，兩個角都取銳角，算出的

20

與流傳版本的參考答案相同。

求極值的題先把式子整理成單一正弦（疊合）或二次函數，再回頭檢查角度或變數的範圍取不取得到。

同一次段考的其他學校

同樣是高二第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

你們學校的段考卷也想要詳解？

考完把題目頁拍照或掃描上傳，我們收到後會盡快做好放上來：題目重新打字，附答案和逐題詳解，一樣免費下載 PDF。

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上傳考卷

常見問題

瑞祥高中 114 上高二第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 21 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

瑞祥高中 114 上高二第一次段考數學哪幾題最容易錯？

第一大題第 7 題（本頁第 7 題）正切圖形與直線的交點要一支一支數，注意區間只到正負兩圈；第三大題第 1 題（第 13 題）直線在第二個波峰之前就超過 1，不會再相交；第三大題第 6 題第二小題（第 18 題）角度範圍取不到最高點，最大值在端點；第三大題第 8 題（第 20 題）代換後最小值要比兩個端點。詳解逐題寫在本頁。

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

題目取自瑞祥高中 114 學年度上學期高二第一次段考數學A，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

瑞祥高中 114 上高二第一次段考數學試題、答案與詳解

原卷 21 題，照原卷順序

答案一覽，先對再看詳解

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

對完答案了？勾你錯的題號

考前先拿一份自己的考前藍圖

每一題，錯在哪一步

01一、填充 1～4（第 1～4 題）：弧度的換算、象限、扇形、特殊角

02一、填充 5～7（第 5～7 題）：週期、根的對稱、正切圖形與直線

03一、填充 8～10（第 8～10 題）：半角、疊合、和角

04二、多重選擇 1、2（第 11、12 題）：函數圖形的性質、正切的和角公式

05三、填充 1～4（第 13～16 題）：數交點、讀圖定係數、伸縮平移

06三、填充 5～9（第 17～21 題）：疊合求極值、圓內接四邊形

同一次段考的其他學校

你們學校的段考卷也想要詳解？

常見問題

瑞祥高中 114 上 高二第一次段考數學的答案在哪裡？

瑞祥高中 114 上 高二第一次段考數學哪幾題最容易錯？

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

這份段考卷可以下載列印嗎？

瑞祥高中 114 上
高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

瑞祥高中 114 上高二第一次段考數學的答案在哪裡？

瑞祥高中 114 上高二第一次段考數學哪幾題最容易錯？