段考詳解範圍：三角函數（弧度量、三角函數的圖形、和差角公式、倍角與半角公式、正餘弦的疊合）

內湖高中 114 上
高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

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01 · 試題

原卷 17 題，照原卷順序

多選題 3 題（18 分）、選填題 13 題共 16 格（70 分）、混合題 1 題共 4 格（12 分）

一、多選題（共 18 分，每題 6 分，每答錯一個選項扣 2 分）

下列敘述何者正確？

(A) $cos π^{\circ} = - 1$
(B) $sin 2 = cos 88$
(C) $tan 3 > sin 3$
(D) $sin π^{2} > cos π^{2}$
(E) 半徑為 $2$ ，弧長為 $4$ 的扇形之圓心角為 $2$

設

sin θ = \frac{4}{5}

且

θ

為第二象限角，試選出正確的選項。

(A) $cos θ = \frac{3}{5}$
(B) $cos (\frac{3 π}{2} + θ) = \frac{4}{5}$
(C) $sin (π - 2 θ) = - \frac{24}{25}$
(D) $tan \frac{θ}{2} = 2$
(E) $cos \frac{θ}{2} = \frac{5}{5}$

設

ab \neq = 0

，已知函數

f (x) = a sin x + b cos x

的最大值

f (\frac{π}{3}) = 2

，試選出正確的選項。

(A) $a > b$
(B) 函數 $f (x)$ 的週期為 $2 π$
(C) 函數 $f (x)$ 的振幅求不出來
(D) 函數 $f (x)$ 圖形與 $y$ 軸交點為 $(0, 1)$
(E) 函數 $f (x)$ 圖形對稱於 $x = \frac{4 π}{3}$

二、選填題（共 70 分，配分如下表）　答對 1～16 格依序得 6、12、18、24、29、34、39、44、48、52、56、59、62、65、68、70 分

(1)

33 0^{\circ} =

____ 弳　(2)

tan \frac{5}{3} π =

____

若

\frac{π}{2} \leq α \leq π

、

- \frac{π}{2} \leq β \leq 0

且

sin α = \frac{1}{5}

、

cos β = \frac{3}{10}

，則

α + β =

____

將

- sin x + 3 cos x

化為

r cos (x + α)

的形式，其中

r > 0

，

∣ α ∣ \leq \frac{π}{2}

，試求

(r, α) =

____

(1) 試求

sin \frac{5}{12} π =

____　(2) 如右圖，扇形之圓心角

∠ A O B = \frac{5}{12} π

，半徑為

6

，試求斜線部分的面積為 ____

載入中...

\frac{sin \frac{π}{24}}{sin \frac{π}{8}} + \frac{cos \frac{π}{24}}{cos \frac{π}{8}} =

____

試求方程式

x - 2 π sin 2 x = 0

解的個數為 ____

設

0 \leq θ \leq π

且

sin 2 θ = cos θ

，試求

θ

之值為 ____

右圖是由三個直角三角形堆疊而成的圖形，其中

θ = \frac{π}{24}

。已知

\overline{O D} = 8

，

∠ C O B = ∠ B O A = θ

、

∠ D O C = 2 θ

，試求

\overline{A B} =

____

載入中...

試求方程式

sin x \leq - \frac{1}{2}

在

- 2 π \leq x \leq 2 π

的範圍內的解為 ____

若

tan α = 3 tan β

，則

\frac{sin ( α + β )}{sin ( α - β )} =

____

在

△ A B C

中，若

tan B = \frac{3}{4}

、

cos C = - \frac{5}{13}

，

\overline{A C} = 13

，則：　(1)

tan A =

____　(2)

△ A B C

面積為 ____

右圖中每一小方格皆為正方形，試求

sin θ =

____

載入中...

試求函數

y = cos x (sin x - cos x)

的最小值為 ____

三、混合題（共 12 分，每一格 3 分）

某人觀察港口水深，發現以下時間

x

（時）與水深

y

（公尺）關係：時間

x

依序為

0

、

3

、

6

、

9

、

12

、

15

、

18

、

21

、

24

時，水深

y

依序為

16

、

10

、

4

、

10

、

16

、

10

、

4

、

10

、

16

。若此函數

y = B + A sin (ω x + α)

滿足以上港口的水深（

y

）與時間（

x

）的關係，其中

A

、

B > 0

，

ω \geq 0

，

0 \leq α < 2 π

，則

A =

____、

B =

____、

ω =

____、

α =

____

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(D)(E)

第 2 題(B)(C)(D)

第 3 題(A)(B)(D)(E)

第 4 題(1)

\frac{11 π}{6}

；(2)

- 3

第 5 題

\frac{3 π}{4}

第 6 題

(2, \frac{π}{6})

第 7 題(1)

\frac{6 + 2}{4}

；(2)

\frac{15 π}{2} - \frac{9 6 + 9 2}{2}

第 8 題

2

第 9 題

7

第 10 題

\frac{π}{6}

或

\frac{π}{2}

或

\frac{5 π}{6}

第 11 題

1

第 12 題

- \frac{5 π}{6} \leq x \leq - \frac{π}{6}

或

\frac{7 π}{6} \leq x \leq \frac{11 π}{6}

第 13 題

2

第 14 題(1)

\frac{33}{56}

；(2)

66

第 15 題

\frac{5}{5}

第 16 題

- \frac{1 + 2}{2}

第 17 題

A = 6

、

B = 10

、

ω = \frac{π}{6}

、

α = \frac{π}{2}

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

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對完答案了？勾你錯的題號

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01多選 1～3：弧度的判讀、倍角半角與疊合

第 1 題答案 (D)(E)。(A)

π^{\circ}

有度的記號，約

3.1 4^{\circ}

，是很小的銳角，

cos π^{\circ}

很接近

1

，不是

- 1

（

cos π = - 1

是弧度才成立）。(B) 沒有度的記號就是弧度：

2

弧度約

114. 6^{\circ}

，

sin 2 \approx 0.909

；

88 = 28 π + (88 - 28 π)

，

88 - 28 π \approx 0.035

，所以

cos 88 = cos (88 - 28 π) \approx 0.999

，兩者不相等。(C)

\frac{π}{2} < 3 < π

，

3

弧度在第二象限，

tan 3 < 0 < sin 3

，不成立。(D)

π^{2} \approx 9.87

，

π^{2} - 2 π \approx 3.59

介於

π \approx 3.14

與

\frac{5 π}{4} \approx 3.93

之間，在第三象限的前半，這裡正弦、餘弦都是負的，且

∣ sin ∣ < ∣ cos ∣

，所以

sin π^{2} > cos π^{2}

，成立。(E) 圓心角

= \frac{弧長}{半徑} = \frac{4}{2} = 2

（弧度），成立。

(B) 若兩個角都有度的記號，

sin 2^{\circ} = cos 8 8^{\circ}

會成立（餘角關係）；題幹沒有度的記號，要當作弧度。

第 2 題答案 (B)(C)(D)。

θ

在第二象限，

cos θ = - 1 - \frac{16}{25} = - \frac{3}{5}

。(A) 錯，符號應為負。(B)

cos (\frac{3 π}{2} + θ) = cos \frac{3 π}{2} cos θ - sin \frac{3 π}{2} sin θ = 0 - (- 1) sin θ = \frac{4}{5}

，對。(C)

sin (π - 2 θ) = sin 2 θ = 2 sin θ cos θ = 2 \cdot \frac{4}{5} \cdot (- \frac{3}{5}) = - \frac{24}{25}

，對。(D)

tan \frac{θ}{2} = \frac{sin θ}{1 + cos θ} = \frac{4/5}{2/5} = 2

，對。(E)

cos^{2} \frac{θ}{2} = \frac{1 + cos θ}{2} = \frac{1}{5}

，但

θ

是第二象限角只表示

\frac{π}{2} + 2 k π < θ < π + 2 k π

（

k

為整數），此時

\frac{π}{4} + k π < \frac{θ}{2} < \frac{π}{2} + k π

，

\frac{θ}{2}

可能在第一或第三象限，

cos \frac{θ}{2} = \frac{5}{5}

或

- \frac{5}{5}

，不能確定，不選。

(D) 用

tan \frac{θ}{2} = \frac{sin θ}{1 + cos θ}

不必判斷正負；

\frac{θ}{2}

在第一或第三象限時正切都是正的，與結果相符。

第 3 題答案 (A)(B)(D)(E)。疊合：

f (x) = a^{2} + b^{2} sin (x + φ)

，最大值

a^{2} + b^{2} = 2

，所以

f (x) = 2 sin (x + φ)

。最大值發生在

x = \frac{π}{3}

：

\frac{π}{3} + φ = \frac{π}{2} + 2 k π

，可取

φ = \frac{π}{6}

，

f (x) = 2 sin (x + \frac{π}{6}) = 3 sin x + cos x

，即

a = 3

、

b = 1

。(A)

3 > 1

，對。(B) 週期

2 π

，對。(C) 振幅是

2

，求得出來，錯。(D)

f (0) = b = 1

，交點

(0, 1)

，對。(E)

f (\frac{4 π}{3}) = 2 sin \frac{3 π}{2} = - 2

是最小值；正弦型函數的圖形對稱於通過最高點或最低點的鉛直線，對。

檢查：

f (\frac{π}{3}) = 3 \cdot \frac{3}{2} + \frac{1}{2} = 2

。

沒有度的記號就是弧度；半角的正負要看半角落在哪個象限，只知道原角的象限時可能有兩種。

02選填 4～8：弧度換算、和角公式與疊合

第 4 題(1)

18 0^{\circ} = π

弳，所以

33 0^{\circ} = 330 \times \frac{π}{180} = \frac{11 π}{6}

。(2)

\frac{5 π}{3} = 2 π - \frac{π}{3}

，在第四象限，

tan \frac{5 π}{3} = - tan \frac{π}{3} = - 3

。

第 5 題

α

在

\frac{π}{2}

到

π

之間，

cos α = - 1 - \frac{1}{5} = - \frac{2}{5}

；

β

在

- \frac{π}{2}

到

0

之間，

sin β = - 1 - \frac{9}{10} = - \frac{1}{10}

。

cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β = - \frac{6}{50} + \frac{1}{50} = - \frac{5}{5 2} = - \frac{1}{2}

。兩個範圍相加得

0 \leq α + β \leq π

，這個範圍內餘弦值為

- \frac{1}{2}

的角只有

\frac{3 π}{4}

。

求角時選餘弦：

0

到

π

之間每個餘弦值只對應一個角；若改算正弦得

\frac{1}{2}

，還要再分辨

\frac{π}{4}

與

\frac{3 π}{4}

。

第 6 題

r = (- 1)^{2} + (3)^{2} = 2

。提出

2

：

- sin x + 3 cos x = 2 (\frac{3}{2} cos x - \frac{1}{2} sin x) = 2 (cos x cos \frac{π}{6} - sin x sin \frac{π}{6}) = 2 cos (x + \frac{π}{6})

。

\frac{π}{6} \leq \frac{π}{2}

符合條件，所以

(r, α) = (2, \frac{π}{6})

。

第 7 題(1)

\frac{5 π}{12} = \frac{π}{4} + \frac{π}{6}

，

sin \frac{5 π}{12} = sin \frac{π}{4} cos \frac{π}{6} + cos \frac{π}{4} sin \frac{π}{6} = \frac{2}{2} \cdot \frac{3}{2} + \frac{2}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{6 + 2}{4}

。(2) 斜線部分（弓形）

=

扇形

- △ O A B

。扇形面積

= \frac{1}{2} \cdot 6^{2} \cdot \frac{5 π}{12} = \frac{15 π}{2}

；

△ O A B = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 6 \cdot sin \frac{5 π}{12} = 18 \cdot \frac{6 + 2}{4} = \frac{9 6 + 9 2}{2}

。所求

= \frac{15 π}{2} - \frac{9 6 + 9 2}{2}

。

數值約

23.56 - 17.39 = 6.18

，是正的，且比扇形小得多，合理。

第 8 題通分：原式

= \frac{sin \frac{π}{24} cos \frac{π}{8} + cos \frac{π}{24} sin \frac{π}{8}}{sin \frac{π}{8} cos \frac{π}{8}}

。分子是正弦的和角公式：

sin (\frac{π}{24} + \frac{π}{8}) = sin \frac{π}{6} = \frac{1}{2}

；分母用倍角公式：

sin \frac{π}{8} cos \frac{π}{8} = \frac{1}{2} sin \frac{π}{4} = \frac{2}{4}

。所以原式

= \frac{1/2}{2 /4} = \frac{2}{2} = 2

。

由三角函數值反求角時，先把角的範圍寫出來，再挑在這個範圍內一對一的那個函數。

03選填 9～12：圖形數根、三角方程式與不等式

第 9 題改寫成

sin 2 x = \frac{x}{2 π}

，看

y = sin 2 x

（週期

π

）與直線

y = \frac{x}{2 π}

的交點個數。因為

- 1 \leq sin 2 x \leq 1

，交點只會在

- 2 π \leq x \leq 2 π

。

x > 0

時，

y = sin 2 x

在

0 < x < \frac{π}{2}

與

π < x < \frac{3 π}{2}

兩段在

x

軸上方。第一段：原點附近正弦曲線比直線陡、在直線上方，到

x = \frac{π}{2}

時

0 < \frac{1}{4}

落到直線下方，有

1

個交點。第二段：兩端正弦值為

0

，低於直線（直線在

\frac{1}{2}

到

\frac{3}{4}

之間），頂點

x = \frac{5 π}{4}

處

1 > \frac{5}{8}

高於直線，有

2

個交點。

x = 2 π

時直線到

1

而

sin 4 π = 0

，之後直線都大於

1

，沒有交點。

x > 0

共

3

個；兩個圖形都對稱於原點，

x < 0

也有

3

個；再加上

x = 0

，共

7

個。

原點是交點，要算一次，而且只算一次。

第 10 題用倍角公式：

2 sin θ cos θ = cos θ

，移項提出公因式（不可以直接約掉

cos θ

）：

cos θ (2 sin θ - 1) = 0

。

cos θ = 0

時，

0 \leq θ \leq π

內

θ = \frac{π}{2}

；

sin θ = \frac{1}{2}

時

θ = \frac{π}{6}

或

\frac{5 π}{6}

。所以

θ = \frac{π}{6}

、

\frac{π}{2}

或

\frac{5 π}{6}

。

代回檢查：

θ = \frac{5 π}{6}

時

sin \frac{5 π}{3} = - \frac{3}{2} = cos \frac{5 π}{6}

，成立。

第 11 題由圖，直角分別在

C

、

B

、

A

。在

△ O C D

中

\overline{O C} = \overline{O D} cos 2 θ = 8 cos 2 θ

；在

△ O B C

中

\overline{O B} = \overline{O C} cos θ

；在

△ O A B

中

\overline{A B} = \overline{O B} sin θ

。所以

\overline{A B} = 8 cos 2 θ cos θ sin θ

。連用兩次倍角公式

sin θ cos θ = \frac{1}{2} sin 2 θ

：

\overline{A B} = 4 cos 2 θ sin 2 θ = 2 sin 4 θ = 2 sin \frac{π}{6} = 1

。

第 12 題先看一個週期

0 \leq x \leq 2 π

：

sin x = - \frac{1}{2}

的角是

\frac{7 π}{6}

與

\frac{11 π}{6}

，

y = sin x

的圖形在這兩個角之間位於直線

y = - \frac{1}{2}

的下方（含端點），所以

\frac{7 π}{6} \leq x \leq \frac{11 π}{6}

。再往左平移一個週期

2 π

，得

- \frac{5 π}{6} \leq x \leq - \frac{π}{6}

，仍在

- 2 π \leq x \leq 2 π

內。兩段合起來：

- \frac{5 π}{6} \leq x \leq - \frac{π}{6}

或

\frac{7 π}{6} \leq x \leq \frac{11 π}{6}

。

題幹照流傳版本字樣寫「方程式」，式子其實是不等式，解是兩段區間而不是幾個點。

數實根個數時，先用值域把範圍框住，再一段一段比較曲線與直線的高低。

04選填 13～16：和差角公式的應用與降次疊合

第 13 題

\frac{sin ( α + β )}{sin ( α - β )} = \frac{sin α cos β + cos α sin β}{sin α cos β - cos α sin β}

，分子分母同除以

cos α cos β

，得

\frac{tan α + tan β}{tan α - tan β} = \frac{3 tan β + tan β}{3 tan β - tan β} = \frac{4 tan β}{2 tan β} = 2

。

式子有意義時分母

sin (α - β) \neq = 0

，此時

tan β \neq = 0

，才能約分。

第 14 題

cos C < 0

，

C

是鈍角，

sin C = \frac{12}{13}

，

tan C = - \frac{12}{5}

；

B

是銳角，

sin B = \frac{3}{5}

、

cos B = \frac{4}{5}

。(1)

A = π - (B + C)

，

tan A = - tan (B + C) = - \frac{tan B + tan C}{1 - tan B tan C} = - \frac{\frac{3}{4} - \frac{12}{5}}{1 + \frac{9}{5}} = \frac{33/20}{14/5} = \frac{33}{56}

。(2)

sin A = sin (B + C) = sin B cos C + cos B sin C = - \frac{15}{65} + \frac{48}{65} = \frac{33}{65}

。由正弦定理

\frac{B C}{sin A} = \frac{A C}{sin B}

：

\overline{B C} = 13 \cdot \frac{33}{65} \cdot \frac{5}{3} = 11

。面積

= \frac{1}{2} \cdot \overline{A C} \cdot \overline{B C} \cdot sin C = \frac{1}{2} \cdot 13 \cdot 11 \cdot \frac{12}{13} = 66

。

檢查：

sin A = \frac{33}{65}

、

cos A = \frac{56}{65}

，

tan A = \frac{33}{56}

，與 (1) 相符。

第 15 題把

θ

的頂點記作

P

，過

P

的水平格線把

θ

分成兩部分。往左上的線段向左走

3

格、向上

1

格，它與

P

左方的水平格線夾角設為

α

，則

tan α = \frac{1}{3}

，

sin α = \frac{1}{10}

、

cos α = \frac{3}{10}

。往右下的線段是正方形的對角線，與

P

右方的水平格線夾

\frac{π}{4}

，所以與左方的水平格線夾

\frac{3 π}{4}

。

θ = α + \frac{3 π}{4}

，

sin θ = sin α cos \frac{3 π}{4} + cos α sin \frac{3 π}{4} = \frac{2}{2} (\frac{3}{10} - \frac{1}{10}) = \frac{2}{10} = \frac{5}{5}

。

另一個做法：兩線段長

10

、

2

，兩個端點相距

4^{2} + 2^{2} = 20

，由餘弦定理

cos θ = \frac{10 + 2 - 20}{2 10 2} = - \frac{2}{5}

，

θ

是鈍角，

sin θ = \frac{1}{5} = \frac{5}{5}

。

第 16 題展開：

y = sin x cos x - cos^{2} x

。用倍角公式降次：

sin x cos x = \frac{1}{2} sin 2 x

、

cos^{2} x = \frac{1 + cos 2 x}{2}

，得

y = \frac{1}{2} (sin 2 x - cos 2 x) - \frac{1}{2}

。疊合：

sin 2 x - cos 2 x = 2 sin (2 x - \frac{π}{4})

，值在

- 2

與

2

之間。

x

為任意實數，

sin (2 x - \frac{π}{4}) = - 1

取得到，所以最小值

= - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} = - \frac{1 + 2}{2}

。

最小值發生在

2 x - \frac{π}{4} = - \frac{π}{2}

，例如

x = - \frac{π}{8}

。

三角形裡兩個角已知，第三個角用內角和換成和角；二次的 sin、cos 乘積先降次再疊合。

05混合題 17：由週期性資料決定正弦函數

第 17 題水深最大

16

、最小

4

。

A > 0

時

y

的最大值是

B + A

、最小值是

B - A

：

B = \frac{16 + 4}{2} = 10

，

A = \frac{16 - 4}{2} = 6

。資料從

x = 0

的最大值到下一次最大值

x = 12

，每

12

小時重複一次，週期

12 = \frac{2 π}{ω}

，

ω = \frac{π}{6}

。代入

x = 0

、

y = 16

：

10 + 6 sin α = 16

，

sin α = 1

，在

0 \leq α < 2 π

內

α = \frac{π}{2}

。檢查：

y = 10 + 6 sin (\frac{π}{6} x + \frac{π}{2}) = 10 + 6 cos \frac{π}{6} x

，

x = 3

時

10

、

x = 6

時

4

、

x = 9

時

10

，與資料相符。

表格只有每

3

小時一筆資料，這裡把資料看到的最短重複間隔

12

小時當作週期，取

ω = \frac{π}{6}

。

最大值與最小值的平均是上下平移、差的一半是振幅，重複一次的間隔是週期。

同一次段考的其他學校

同樣是高二第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

你們學校的段考卷也想要詳解？

考完把題目頁拍照或掃描上傳，我們收到後會盡快做好放上來：題目重新打字，附答案和逐題詳解，一樣免費下載 PDF。

上傳前可以先把姓名、座號遮掉。我們只用題目，不會放你的照片或筆跡。上傳要登入 Google 帳號。

上傳考卷

常見問題

內湖高中 114 上高二第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 17 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

內湖高中 114 上高二第一次段考數學哪幾題最容易錯？

第 1 題要分清楚有度的記號與沒有度的記號的角、第 2 題只知道原角在第二象限時半角的餘弦有正負兩種可能、第 9 題用圖形數交點時原點要算一次且只算一次，以及第 15 題要先看清楚圖上標示的角是朝左下方的那一個鈍角。詳解逐題寫在本頁。

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

題目取自內湖高中 114 學年度上學期高二第一次段考數學A，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

內湖高中 114 上高二第一次段考數學試題、答案與詳解

原卷 17 題，照原卷順序

答案一覽，先對再看詳解

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

對完答案了？勾你錯的題號

考前先拿一份自己的考前藍圖

每一題，錯在哪一步

01多選 1～3：弧度的判讀、倍角半角與疊合

02選填 4～8：弧度換算、和角公式與疊合

03選填 9～12：圖形數根、三角方程式與不等式

04選填 13～16：和差角公式的應用與降次疊合

05混合題 17：由週期性資料決定正弦函數

同一次段考的其他學校

你們學校的段考卷也想要詳解？

常見問題

內湖高中 114 上 高二第一次段考數學的答案在哪裡？

內湖高中 114 上 高二第一次段考數學哪幾題最容易錯？

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

這份段考卷可以下載列印嗎？

內湖高中 114 上
高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

內湖高中 114 上高二第一次段考數學的答案在哪裡？

內湖高中 114 上高二第一次段考數學哪幾題最容易錯？