段考詳解範圍：三角函數（弧度量、弧長與扇形面積、弧度角的三角函數值、正弦函數的圖形與週期）

平鎮高中 114 上
高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

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01 · 試題

原卷 20 題，照原卷順序

單選題 7 題（35 分）、多重選擇題 3 題（15 分）、選填題 10 題（50 分）

一、單選題：每題 5 分共 35 分

若

a = cos 2

，則下列何者正確？

(1) $\frac{2}{2} < a \leq \frac{3}{2}$
(2) $\frac{1}{2} < a \leq \frac{2}{2}$
(3) $0 < a \leq \frac{1}{2}$
(4) $- \frac{1}{2} < a \leq 0$
(5) $- \frac{2}{2} < a \leq - \frac{1}{2}$

下列哪一個三角函數值最大？

(1) $sin \frac{π}{6}$
(2) $cos \frac{π}{5}$
(3) $sin 1$
(4) $cos 1$
(5) $sin 2$

點

A (cos 4, sin 4)

落在

(1) 第一象限
(2) 第二象限
(3) 第三象限
(4) 第四象限
(5) 坐標軸上

設

a = sin \frac{25 π}{11}

，

b = cos \frac{9 π}{11}

，

c = tan \frac{3 π}{11}

，下列選項何者正確？

(1) $c > b > a$
(2) $c > a > b$
(3) $b > a > c$
(4) $a > b > c$
(5) $a > c > b$

函數

y = sin x

的圖形由

y

軸左右往中央壓縮為

\frac{1}{2}

倍，再向左平移

\frac{π}{6}

個單位，所得新圖形的函數為何？

(1) $y = sin (2 x + \frac{π}{6})$
(2) $y = sin (2 x - \frac{π}{6})$
(3) $y = sin (2 x + \frac{π}{3})$
(4) $y = sin (\frac{1}{2} x - \frac{π}{3})$
(5) $y = sin (\frac{1}{2} x + \frac{π}{6})$

- 4

弧度為第幾象限角？

(1) 一
(2) 二
(3) 三
(4) 四
(5) 剛好在軸上的角

方程式

sin 2 x = \frac{x}{π}

之實根有幾個？

(1) $3$
(2) $4$
(3) $5$
(4) $6$
(5) 無限多

二、多重選擇題：每題 5 分（得分依序 5、3、1、0、0）

如附圖，以邊長為

4

的正三角形

A B C

之每邊為直徑作三個半圓，兩兩分別交於

D

、

E

、

F

點。試選出正確的選項。

(1) $A F ⌢$ 弧長是 $\frac{π}{3}$
(2) 扇形 $A F E$ 的面積是 $\frac{2 π}{3}$
(3) $△ D E F$ 的面積是 $3$
(4) 斜線區域的周長是 $π$
(5) 斜線區域的面積是 $2 π - 23$

載入中...

關於函數

f (x) = 2 sin 3 x

，請問下列選項何者為真？

(1) $- 2 \leq f (x) \leq 2$
(2) $f (x)$ 在 $x = \frac{π}{6}$ 時，有最大值
(3) $f (x)$ 的週期為 $\frac{2 π}{3}$
(4) $y = f (x)$ 的圖形對稱於直線 $x = \frac{π}{2}$
(5) $f (2) > 0$

若函數

y = f (x) = a sin b x

（

b < 0

）的一個週期之圖形如附圖，則

(1) $a = 2$
(2) $f (3) > 0$
(3) 週期為 $\frac{π}{3}$
(4) 振幅為 $2$
(5) 與函數 $y = 2 cos 3 (x + \frac{π}{6})$ 圖形相符合

載入中...

三、選填題：每題 5 分共 50 分（原卷題號 A～J，本頁編為第 11～20 題）

試求：

2 cos \frac{π}{4} + sin \frac{3 π}{2} - sin (- \frac{π}{6}) =

____。

正方形

A B C D

的邊長為

1

，分別以

A

、

C

為圓心，邊長

1

為半徑畫弧（如附圖），求斜線部分面積為 ____。

載入中...

試求

sin \frac{π}{6} + cos \frac{2 π}{3} + tan \frac{5 π}{4} =

____。

有一輪子，半徑為

50

公分，讓它在地上滾動

150

公分的長度，試問輪子繞輪軸轉動了 ____ 弧度。

一直圓錐的直徑為

2

，高為

5

，如附圖所示，則其側面積為 ____。

載入中...

如附圖，單位圓上有

12

個等分點所連的圖形，則色塊部分的面積為 ____。

載入中...

在

10

點

40

分時，時針與分針所夾之角（較小角）為

k

弧度，則

k =

____。

試問：

22. 5^{\circ} =

____ 弧度。

試問：

\frac{7}{4} π =

____ 度。

如圖，扇形

O A B

與扇形

O C D

中，

\overline{O A} = 5

，

\overline{O C} = 3

，

C D ⌢

（弧）

= 4

，求陰影部分之周長

=

____。（化為最簡分數）

載入中...

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(4)

第 2 題(5)

第 3 題(3)

第 4 題(2)

第 5 題(3)

第 6 題(2)

第 7 題(1)

第 8 題(2)(3)(5)

第 9 題(1)(2)(3)(4)

第 10 題(1)(4)(5)

第 11 題

\frac{1}{2}

第 12 題

\frac{1}{2} π - 1

第 13 題

1

第 14 題

3

第 15 題

26 π

第 16 題

\frac{3}{2} + \frac{1}{4} π

第 17 題

\frac{4}{9} π

第 18 題

\frac{1}{8} π

第 19 題

315

第 20 題

\frac{44}{3}

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選第 1～4 題：弧度角的位置與三角函數值

第 1 題答案 (4)。這裡的

2

是

2

弧度。

\frac{π}{2} \approx 1.57

、

\frac{2 π}{3} \approx 2.09

，所以

\frac{π}{2} < 2 < \frac{2 π}{3}

。角從

0

增加到

π

時餘弦值一路變小，因此

cos \frac{2 π}{3} < cos 2 < cos \frac{π}{2}

，即

- \frac{1}{2} < a < 0

，落在選項 (4) 的範圍。

2

弧度約

114. 6^{\circ}

，是第二象限角，餘弦為負；沒有度的記號就是弧度。

第 2 題答案 (5)。把五個值都換成

0

到

\frac{π}{2}

之間的正弦值來比：

cos \frac{π}{5} = sin (\frac{π}{2} - \frac{π}{5}) = sin \frac{3 π}{10} \approx sin 0.94

；

cos 1 = sin (\frac{π}{2} - 1) \approx sin 0.57

；

sin 2 = sin (π - 2) \approx sin 1.14

；另外

\frac{π}{6} \approx 0.52

。在

0

到

\frac{π}{2}

之間角越大正弦值越大，五個角

0.52

、

0.94

、

1

、

0.57

、

1.14

中最大的是

1.14

，所以

sin 2

最大。

數值約為

0.5

、

0.809

、

0.841

、

0.540

、

0.909

。

第 3 題答案 (3)。

π \approx 3.14

、

\frac{3 π}{2} \approx 4.71

，所以

π < 4 < \frac{3 π}{2}

，

4

弧度是第三象限角，

cos 4 < 0

且

sin 4 < 0

，點

A

在第三象限。

第 4 題答案 (2)。

\frac{25 π}{11} = 2 π + \frac{3 π}{11}

，所以

a = sin \frac{3 π}{11}

。

\frac{3 π}{11}

在

0

與

\frac{π}{2}

之間，

0 < cos \frac{3 π}{11} < 1

，因此

c = tan \frac{3 π}{11} = \frac{sin \frac{3 π}{11}}{cos \frac{3 π}{11}} > sin \frac{3 π}{11} = a > 0

。而

\frac{9 π}{11}

在

\frac{π}{2}

與

π

之間，是第二象限角，

b = cos \frac{9 π}{11} < 0

。合起來

c > a > b

。

同一個銳角的正切值一定比正弦值大，因為正切是正弦再除以一個小於

1

的正數。

弧度角先用

π \approx 3.14

找出它夾在哪兩個特殊角之間，再用正弦、餘弦的遞增遞減比大小。

02單選第 5～7 題：圖形的伸縮平移、象限、用圖形數實根

第 5 題答案 (3)。以

y

軸為中心左右壓縮為

\frac{1}{2}

倍，是把

x

換成

2 x

，得

y = sin 2 x

。再向左平移

\frac{π}{6}

，是把

x

換成

x + \frac{π}{6}

，得

y = sin 2 (x + \frac{π}{6}) = sin (2 x + \frac{π}{3})

。

平移是對

x

本身做的，

\frac{π}{6}

要跟

x

一起乘以

2

；直接寫成

sin (2 x + \frac{π}{6})

只向左平移了

\frac{π}{12}

。

第 6 題答案 (2)。

- 4 + 2 π \approx 2.28

，與

- 4

弧度是同界角。

\frac{π}{2} \approx 1.57 < 2.28 < π \approx 3.14

，所以是第二象限角。

也可以直接看：從

x

軸正向順時針轉

4

弧度，轉過

π

（到

x

軸負向）後再多轉

0.86

弧度，不到

\frac{π}{2}

，停在第二象限。

第 7 題答案 (1)。實根個數就是

y = sin 2 x

與直線

y = \frac{x}{π}

的交點個數。正弦值在

- 1

與

1

之間，只需看

- π \leq x \leq π

。

x = 0

是一個根。

x > 0

時直線的值為正，而

sin 2 x

在

0 < x \leq π

只有

0 < x < \frac{π}{2}

這一段為正：這一段曲線從

0

升到

1

（

x = \frac{π}{4}

，此時直線才

\frac{1}{4}

）再降回

0

（

x = \frac{π}{2}

，此時直線是

\frac{1}{2}

），曲線先在直線上方、後在直線下方，交

1

點。兩個圖形都對稱於原點，

x < 0

也有

1

個根。共

3

個。

y = sin 2 x

的週期是

π

，在

0

到

π

之間只有前半段在

x

軸上方；原點那個根只算一次。

方程式一邊是正弦、一邊是直線時，畫兩個圖形數交點；先用正弦值的範圍把

x

的範圍框出來。

03多選第 8 題：三個半圓圍出的弧長與面積

第 8 題答案 (2)(3)(5)。

D

、

E

、

F

分別是

\overline{B C}

、

\overline{C A}

、

\overline{A B}

的中點（直徑所對的圓周角是直角，而正三角形的高的垂足就是中點），三個半圓的圓心也正是這三個中點，半徑都是

2

。連接各中點把大三角形分成四個邊長

2

的正三角形，所以圖中每一段小弧所對的圓心角都是

6 0^{\circ} = \frac{π}{3}

。(1) 錯：弧

A F

在以

E

為圓心的半圓上，弧長

= 2 \times \frac{π}{3} = \frac{2 π}{3}

。(2) 對：扇形半徑

2

、圓心角

\frac{π}{3}

，面積

= \frac{1}{2} \times 2^{2} \times \frac{π}{3} = \frac{2 π}{3}

。(3) 對：

△ D E F

是邊長

2

的正三角形，面積

= \frac{3}{4} \times 2^{2} = 3

。(4) 錯：斜線區域由弧

E F

、弧

F D

、弧

D E

圍成，每段長

\frac{2 π}{3}

，周長

= 2 π

。(5) 對：三個扇形（圓心分別為

D

、

E

、

F

）蓋住斜線區域時，

△ D E F

被算了三次，所以面積

= 3 \times \frac{2 π}{3} - 2 \times 3 = 2 π - 23

。

弧長公式

s = r θ

的

r

是半徑

2

，不是

1

；(1) 與 (4) 的數字都是少乘了半徑。

先找出每段弧的圓心與半徑，再用弧長

s = r θ

、扇形面積

\frac{1}{2} r^{2} θ

。

04多選第 9、10 題：正弦函數的振幅、週期、對稱與讀圖

第 9 題答案 (1)(2)(3)(4)。(1) 對：

- 1 \leq sin 3 x \leq 1

，乘以

2

得

- 2 \leq f (x) \leq 2

。(2) 對：

f (\frac{π}{6}) = 2 sin \frac{π}{2} = 2

，是最大值。(3) 對：週期

= \frac{2 π}{3}

。(4) 對：

f (\frac{π}{2}) = 2 sin \frac{3 π}{2} = - 2

是最小值，正弦型圖形對稱於通過最高點或最低點的鉛直線，所以對稱於

x = \frac{π}{2}

。(5) 錯：

f (2) = 2 sin 6

，

\frac{3 π}{2} \approx 4.71 < 6 < 2 π \approx 6.28

，

6

弧度是第四象限角，

sin 6 < 0

。

判斷是否對稱於某條鉛直線，只要代入看函數值是不是最大值或最小值。

第 10 題答案 (1)(4)(5)。圖形與

x

軸相鄰的交點相隔

\frac{π}{3}

，那是半個週期，所以週期是

\frac{2 π}{3}

，(3) 錯；由

\frac{2 π}{∣ b ∣} = \frac{2 π}{3}

且

b < 0

得

b = - 3

。最大值

2

、最小值

- 2

，振幅為

2

，(4) 對。

f (x) = a sin (- 3 x) = - a sin 3 x

，圖形過原點後先下降到

- 2

，而

x

略大於

0

時

sin 3 x > 0

，所以

a > 0

，

a = 2

，(1) 對。(2) 錯：

\frac{2 π}{3} \approx 2.09 < 3 < π \approx 3.14

，由圖這一段在

x

軸下方，

f (3) < 0

。(5) 對：

y = 2 cos 3 x

的週期也是

\frac{2 π}{3}

、振幅也是

2

，最高點在

x = 0

；向左平移

\frac{π}{6}

（四分之一個週期）後最高點移到

x = - \frac{π}{6}

，於是

x = 0

時通過

x

軸並往下降、

x = \frac{π}{6}

到最低點，與附圖相同。

b < 0

時

a sin b x = - a sin ∣ b ∣ x

；若只看振幅容易漏掉檢查

a

的正負，這題要由「過原點後先下降」確認

a = 2

而不是

- 2

。

y = a sin b x

：振幅是

∣ a ∣

、週期是

\frac{2 π}{∣ b ∣}

；正負號由圖形過原點後先升或先降決定。

05選填 A～D（第 11～14 題）：特殊角、葉形面積、滾動的弧度

第 11 題

cos \frac{π}{4} = \frac{2}{2}

，所以

2 cos \frac{π}{4} = 1

；

sin \frac{3 π}{2} = - 1

；

sin (- \frac{π}{6}) = - \frac{1}{2}

。原式

= 1 + (- 1) - (- \frac{1}{2}) = \frac{1}{2}

。

第 12 題以

A

為圓心的弧從

B

到

D

，是半徑

1

、圓心角

\frac{π}{2}

的扇形

A B D

的弧，扇形面積

= \frac{1}{2} \times 1^{2} \times \frac{π}{2} = \frac{π}{4}

。對角線

\overline{B D}

與這段弧之間的弓形面積

=

扇形

- △ A B D = \frac{π}{4} - \frac{1}{2}

。以

C

為圓心的那一半完全一樣，所以斜線部分面積

= 2 (\frac{π}{4} - \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} π - 1

。

對角線

\overline{B D}

把葉形分成兩個全等的弓形，原卷的圖已經把這條線畫出來了。

第 13 題

sin \frac{π}{6} = \frac{1}{2}

。

\frac{2 π}{3}

是第二象限角，參考角

\frac{π}{3}

，

cos \frac{2 π}{3} = - \frac{1}{2}

。

\frac{5 π}{4}

是第三象限角，參考角

\frac{π}{4}

，正切為正，

tan \frac{5 π}{4} = 1

。原式

= \frac{1}{2} - \frac{1}{2} + 1 = 1

。

第 14 題輪子在地上滾過的長度等於輪緣轉過的弧長。由

s = r θ

：

150 = 50 θ

，

θ = 3

（弧度）。

弧度就是「弧長是半徑的幾倍」，不必換成度。

06選填 E、F（第 15、16 題）：圓錐側面積、十二等分點圍出的面積

第 15 題底面半徑

r = 1

，高

5

，斜高

ℓ = 1^{2} + 5^{2} = 26

。把側面沿一條母線剪開攤平，是半徑

26

的扇形，弧長等於底圓周長

2 π

。扇形面積

= \frac{1}{2} \times

半徑

\times

弧長

= \frac{1}{2} \times 26 \times 2 π = 26 π

。

原卷題幹印作「表面積」，但答案格是

◯ ◯ π

、原卷參考答案為

26 π

，這是側面積，所以本頁題幹寫成「側面積」。若連底面（面積

π

）一起算，全表面積是

(1 + 26) π

。

第 16 題相鄰兩個等分點所對的圓心角是

\frac{2 π}{12} = \frac{π}{6}

。圖中兩條過

O

的線是直徑，夾角

\frac{π}{6}

。右側色塊是半徑

1

、圓心角

\frac{π}{6}

的扇形，面積

= \frac{1}{2} \times 1^{2} \times \frac{π}{6} = \frac{π}{12}

。左上色塊由弦、一段弧與兩條半徑圍成，從

O

連到弦的左端點，可拆成一個三角形加一個扇形：弦的兩端相隔

4

個等分點，圓心角

\frac{2 π}{3}

，三角形面積

= \frac{1}{2} \times 1 \times 1 \times sin \frac{2 π}{3} = \frac{3}{4}

；扇形圓心角

\frac{π}{6}

，面積

\frac{π}{12}

。左下色塊與左上對稱，面積相同。總面積

= 2 (\frac{3}{4} + \frac{π}{12}) + \frac{π}{12} = \frac{3}{2} + \frac{1}{4} π

。

原卷答案格印作

\frac{◯}{◯} + \frac{◯}{◯} π

，原卷參考答案四格依序為

3

、

2

、

1

、

4

；本站重算為

\frac{3}{2} + \frac{1}{4} π

（約

1.65

），四個數字相同，第一格的

3

應在根號內。若照格子讀成

\frac{3}{2} + \frac{1}{4} π \approx 2.29

，則與圖形不合。

不規則的色塊先從圓心連線，拆成扇形與三角形再相加。

07選填 G～J（第 17～20 題）：時鐘夾角、度與弧度互換、扇形周長

第 17 題從

12

的位置順時針量：分針每分鐘走

6^{\circ}

，

40

分時在

24 0^{\circ}

。時針每小時走

3 0^{\circ}

、每分鐘走

0. 5^{\circ}

，

10

點

40

分時在

30 0^{\circ} + 2 0^{\circ} = 32 0^{\circ}

。夾角

= 32 0^{\circ} - 24 0^{\circ} = 8 0^{\circ}

，小於

18 0^{\circ}

，就是較小角。

8 0^{\circ} = 80 \times \frac{π}{180} = \frac{4}{9} π

，所以

k = \frac{4}{9} π

。

時針不是停在

10

的位置：

40

分鐘內它又往前走了

2 0^{\circ}

。

第 18 題

18 0^{\circ} = π

弧度，所以

22. 5^{\circ} = 22.5 \times \frac{π}{180} = \frac{1}{8} π

弧度。

第 19 題

π

弧度

= 18 0^{\circ}

，所以

\frac{7}{4} π = \frac{7}{4} \times 18 0^{\circ} = 31 5^{\circ}

。

第 20 題兩個扇形的圓心角相同，設為

θ

。小扇形：

3 θ = 4

，

θ = \frac{4}{3}

。大扇形的弧

A B = 5 θ = \frac{20}{3}

。

\overline{A C} = \overline{B D} = 5 - 3 = 2

。陰影部分的周長

=

弧

A B +

弧

C D + \overline{A C} + \overline{B D} = \frac{20}{3} + 4 + 2 + 2 = \frac{44}{3}

。

周長要把兩段弧和兩段直線邊都算進去。原卷的弧記號字母印得不清楚，依圖與「扇形

O C D

」讀作弧

C D

。

度與弧度互換只記

18 0^{\circ} = π

；同一個圓心角下，弧長與半徑成正比。

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同樣是高二第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

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常見問題

平鎮高中 114 上高二第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 20 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

平鎮高中 114 上高二第一次段考數學哪幾題最容易錯？

第 5 題先壓縮再平移時，平移量要加在自變數上而不是直接加在角度後面；第 9、10 題的多選要逐項用圖形的週期、對稱軸與零點判斷，第 10 題還要留意係數為負時圖形過原點後先下降；第 16 題要把色塊拆成兩個三角形與三個扇形；第 17 題別忘了時針在四十分鐘內也會往前走。詳解逐題寫在本頁。

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

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題目取自平鎮高中 114 學年度上學期高二第一次段考數學B，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

御藍教育／段考卷／高二

段考詳解範圍：三角函數（弧度量、弧長與扇形面積、弧度角的三角函數值、正弦函數的圖形與週期）

平鎮高中 114 上
高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 20 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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01 · 試題

原卷 20 題，照原卷順序

單選題 7 題（35 分）、多重選擇題 3 題（15 分）、選填題 10 題（50 分）

一、單選題：每題 5 分共 35 分

若

a = cos 2

，則下列何者正確？

(1) $\frac{2}{2} < a \leq \frac{3}{2}$
(2) $\frac{1}{2} < a \leq \frac{2}{2}$
(3) $0 < a \leq \frac{1}{2}$
(4) $- \frac{1}{2} < a \leq 0$
(5) $- \frac{2}{2} < a \leq - \frac{1}{2}$

下列哪一個三角函數值最大？

(1) $sin \frac{π}{6}$
(2) $cos \frac{π}{5}$
(3) $sin 1$
(4) $cos 1$
(5) $sin 2$

點

A (cos 4, sin 4)

落在

(1) 第一象限
(2) 第二象限
(3) 第三象限
(4) 第四象限
(5) 坐標軸上

設

a = sin \frac{25 π}{11}

，

b = cos \frac{9 π}{11}

，

c = tan \frac{3 π}{11}

，下列選項何者正確？

(1) $c > b > a$
(2) $c > a > b$
(3) $b > a > c$
(4) $a > b > c$
(5) $a > c > b$

函數

y = sin x

的圖形由

y

軸左右往中央壓縮為

\frac{1}{2}

倍，再向左平移

\frac{π}{6}

個單位，所得新圖形的函數為何？

(1) $y = sin (2 x + \frac{π}{6})$
(2) $y = sin (2 x - \frac{π}{6})$
(3) $y = sin (2 x + \frac{π}{3})$
(4) $y = sin (\frac{1}{2} x - \frac{π}{3})$
(5) $y = sin (\frac{1}{2} x + \frac{π}{6})$

- 4

弧度為第幾象限角？

(1) 一
(2) 二
(3) 三
(4) 四
(5) 剛好在軸上的角

方程式

sin 2 x = \frac{x}{π}

之實根有幾個？

(1) $3$
(2) $4$
(3) $5$
(4) $6$
(5) 無限多

二、多重選擇題：每題 5 分（得分依序 5、3、1、0、0）

如附圖，以邊長為

4

的正三角形

A B C

之每邊為直徑作三個半圓，兩兩分別交於

D

、

E

、

F

點。試選出正確的選項。

(1) $A F ⌢$ 弧長是 $\frac{π}{3}$
(2) 扇形 $A F E$ 的面積是 $\frac{2 π}{3}$
(3) $△ D E F$ 的面積是 $3$
(4) 斜線區域的周長是 $π$
(5) 斜線區域的面積是 $2 π - 23$

載入中...

關於函數

f (x) = 2 sin 3 x

，請問下列選項何者為真？

(1) $- 2 \leq f (x) \leq 2$
(2) $f (x)$ 在 $x = \frac{π}{6}$ 時，有最大值
(3) $f (x)$ 的週期為 $\frac{2 π}{3}$
(4) $y = f (x)$ 的圖形對稱於直線 $x = \frac{π}{2}$
(5) $f (2) > 0$

若函數

y = f (x) = a sin b x

（

b < 0

）的一個週期之圖形如附圖，則

(1) $a = 2$
(2) $f (3) > 0$
(3) 週期為 $\frac{π}{3}$
(4) 振幅為 $2$
(5) 與函數 $y = 2 cos 3 (x + \frac{π}{6})$ 圖形相符合

載入中...

三、選填題：每題 5 分共 50 分（原卷題號 A～J，本頁編為第 11～20 題）

試求：

2 cos \frac{π}{4} + sin \frac{3 π}{2} - sin (- \frac{π}{6}) =

____。

正方形

A B C D

的邊長為

1

，分別以

A

、

C

為圓心，邊長

1

為半徑畫弧（如附圖），求斜線部分面積為 ____。

載入中...

試求

sin \frac{π}{6} + cos \frac{2 π}{3} + tan \frac{5 π}{4} =

____。

有一輪子，半徑為

50

公分，讓它在地上滾動

150

公分的長度，試問輪子繞輪軸轉動了 ____ 弧度。

一直圓錐的直徑為

2

，高為

5

，如附圖所示，則其側面積為 ____。

載入中...

如附圖，單位圓上有

12

個等分點所連的圖形，則色塊部分的面積為 ____。

載入中...

在

10

點

40

分時，時針與分針所夾之角（較小角）為

k

弧度，則

k =

____。

試問：

22. 5^{\circ} =

____ 弧度。

試問：

\frac{7}{4} π =

____ 度。

如圖，扇形

O A B

與扇形

O C D

中，

\overline{O A} = 5

，

\overline{O C} = 3

，

C D ⌢

（弧）

= 4

，求陰影部分之周長

=

____。（化為最簡分數）

載入中...

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(4)

第 2 題(5)

第 3 題(3)

第 4 題(2)

第 5 題(3)

第 6 題(2)

第 7 題(1)

第 8 題(2)(3)(5)

第 9 題(1)(2)(3)(4)

第 10 題(1)(4)(5)

第 11 題

\frac{1}{2}

第 12 題

\frac{1}{2} π - 1

第 13 題

1

第 14 題

3

第 15 題

26 π

第 16 題

\frac{3}{2} + \frac{1}{4} π

第 17 題

\frac{4}{9} π

第 18 題

\frac{1}{8} π

第 19 題

315

第 20 題

\frac{44}{3}

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

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還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選第 1～4 題：弧度角的位置與三角函數值

第 1 題答案 (4)。這裡的

2

是

2

弧度。

\frac{π}{2} \approx 1.57

、

\frac{2 π}{3} \approx 2.09

，所以

\frac{π}{2} < 2 < \frac{2 π}{3}

。角從

0

增加到

π

時餘弦值一路變小，因此

cos \frac{2 π}{3} < cos 2 < cos \frac{π}{2}

，即

- \frac{1}{2} < a < 0

，落在選項 (4) 的範圍。

2

弧度約

114. 6^{\circ}

，是第二象限角，餘弦為負；沒有度的記號就是弧度。

第 2 題答案 (5)。把五個值都換成

0

到

\frac{π}{2}

之間的正弦值來比：

cos \frac{π}{5} = sin (\frac{π}{2} - \frac{π}{5}) = sin \frac{3 π}{10} \approx sin 0.94

；

cos 1 = sin (\frac{π}{2} - 1) \approx sin 0.57

；

sin 2 = sin (π - 2) \approx sin 1.14

；另外

\frac{π}{6} \approx 0.52

。在

0

到

\frac{π}{2}

之間角越大正弦值越大，五個角

0.52

、

0.94

、

1

、

0.57

、

1.14

中最大的是

1.14

，所以

sin 2

最大。

數值約為

0.5

、

0.809

、

0.841

、

0.540

、

0.909

。

第 3 題答案 (3)。

π \approx 3.14

、

\frac{3 π}{2} \approx 4.71

，所以

π < 4 < \frac{3 π}{2}

，

4

弧度是第三象限角，

cos 4 < 0

且

sin 4 < 0

，點

A

在第三象限。

第 4 題答案 (2)。

\frac{25 π}{11} = 2 π + \frac{3 π}{11}

，所以

a = sin \frac{3 π}{11}

。

\frac{3 π}{11}

在

0

與

\frac{π}{2}

之間，

0 < cos \frac{3 π}{11} < 1

，因此

c = tan \frac{3 π}{11} = \frac{sin \frac{3 π}{11}}{cos \frac{3 π}{11}} > sin \frac{3 π}{11} = a > 0

。而

\frac{9 π}{11}

在

\frac{π}{2}

與

π

之間，是第二象限角，

b = cos \frac{9 π}{11} < 0

。合起來

c > a > b

。

同一個銳角的正切值一定比正弦值大，因為正切是正弦再除以一個小於

1

的正數。

弧度角先用

π \approx 3.14

找出它夾在哪兩個特殊角之間，再用正弦、餘弦的遞增遞減比大小。

02單選第 5～7 題：圖形的伸縮平移、象限、用圖形數實根

第 5 題答案 (3)。以

y

軸為中心左右壓縮為

\frac{1}{2}

倍，是把

x

換成

2 x

，得

y = sin 2 x

。再向左平移

\frac{π}{6}

，是把

x

換成

x + \frac{π}{6}

，得

y = sin 2 (x + \frac{π}{6}) = sin (2 x + \frac{π}{3})

。

平移是對

x

本身做的，

\frac{π}{6}

要跟

x

一起乘以

2

；直接寫成

sin (2 x + \frac{π}{6})

只向左平移了

\frac{π}{12}

。

第 6 題答案 (2)。

- 4 + 2 π \approx 2.28

，與

- 4

弧度是同界角。

\frac{π}{2} \approx 1.57 < 2.28 < π \approx 3.14

，所以是第二象限角。

也可以直接看：從

x

軸正向順時針轉

4

弧度，轉過

π

（到

x

軸負向）後再多轉

0.86

弧度，不到

\frac{π}{2}

，停在第二象限。

第 7 題答案 (1)。實根個數就是

y = sin 2 x

與直線

y = \frac{x}{π}

的交點個數。正弦值在

- 1

與

1

之間，只需看

- π \leq x \leq π

。

x = 0

是一個根。

x > 0

時直線的值為正，而

sin 2 x

在

0 < x \leq π

只有

0 < x < \frac{π}{2}

這一段為正：這一段曲線從

0

升到

1

（

x = \frac{π}{4}

，此時直線才

\frac{1}{4}

）再降回

0

（

x = \frac{π}{2}

，此時直線是

\frac{1}{2}

），曲線先在直線上方、後在直線下方，交

1

點。兩個圖形都對稱於原點，

x < 0

也有

1

個根。共

3

個。

y = sin 2 x

的週期是

π

，在

0

到

π

之間只有前半段在

x

軸上方；原點那個根只算一次。

方程式一邊是正弦、一邊是直線時，畫兩個圖形數交點；先用正弦值的範圍把

x

的範圍框出來。

03多選第 8 題：三個半圓圍出的弧長與面積

第 8 題答案 (2)(3)(5)。

D

、

E

、

F

分別是

\overline{B C}

、

\overline{C A}

、

\overline{A B}

的中點（直徑所對的圓周角是直角，而正三角形的高的垂足就是中點），三個半圓的圓心也正是這三個中點，半徑都是

2

。連接各中點把大三角形分成四個邊長

2

的正三角形，所以圖中每一段小弧所對的圓心角都是

6 0^{\circ} = \frac{π}{3}

。(1) 錯：弧

A F

在以

E

為圓心的半圓上，弧長

= 2 \times \frac{π}{3} = \frac{2 π}{3}

。(2) 對：扇形半徑

2

、圓心角

\frac{π}{3}

，面積

= \frac{1}{2} \times 2^{2} \times \frac{π}{3} = \frac{2 π}{3}

。(3) 對：

△ D E F

是邊長

2

的正三角形，面積

= \frac{3}{4} \times 2^{2} = 3

。(4) 錯：斜線區域由弧

E F

、弧

F D

、弧

D E

圍成，每段長

\frac{2 π}{3}

，周長

= 2 π

。(5) 對：三個扇形（圓心分別為

D

、

E

、

F

）蓋住斜線區域時，

△ D E F

被算了三次，所以面積

= 3 \times \frac{2 π}{3} - 2 \times 3 = 2 π - 23

。

弧長公式

s = r θ

的

r

是半徑

2

，不是

1

；(1) 與 (4) 的數字都是少乘了半徑。

先找出每段弧的圓心與半徑，再用弧長

s = r θ

、扇形面積

\frac{1}{2} r^{2} θ

。

04多選第 9、10 題：正弦函數的振幅、週期、對稱與讀圖

第 9 題答案 (1)(2)(3)(4)。(1) 對：

- 1 \leq sin 3 x \leq 1

，乘以

2

得

- 2 \leq f (x) \leq 2

。(2) 對：

f (\frac{π}{6}) = 2 sin \frac{π}{2} = 2

，是最大值。(3) 對：週期

= \frac{2 π}{3}

。(4) 對：

f (\frac{π}{2}) = 2 sin \frac{3 π}{2} = - 2

是最小值，正弦型圖形對稱於通過最高點或最低點的鉛直線，所以對稱於

x = \frac{π}{2}

。(5) 錯：

f (2) = 2 sin 6

，

\frac{3 π}{2} \approx 4.71 < 6 < 2 π \approx 6.28

，

6

弧度是第四象限角，

sin 6 < 0

。

判斷是否對稱於某條鉛直線，只要代入看函數值是不是最大值或最小值。

第 10 題答案 (1)(4)(5)。圖形與

x

軸相鄰的交點相隔

\frac{π}{3}

，那是半個週期，所以週期是

\frac{2 π}{3}

，(3) 錯；由

\frac{2 π}{∣ b ∣} = \frac{2 π}{3}

且

b < 0

得

b = - 3

。最大值

2

、最小值

- 2

，振幅為

2

，(4) 對。

f (x) = a sin (- 3 x) = - a sin 3 x

，圖形過原點後先下降到

- 2

，而

x

略大於

0

時

sin 3 x > 0

，所以

a > 0

，

a = 2

，(1) 對。(2) 錯：

\frac{2 π}{3} \approx 2.09 < 3 < π \approx 3.14

，由圖這一段在

x

軸下方，

f (3) < 0

。(5) 對：

y = 2 cos 3 x

的週期也是

\frac{2 π}{3}

、振幅也是

2

，最高點在

x = 0

；向左平移

\frac{π}{6}

（四分之一個週期）後最高點移到

x = - \frac{π}{6}

，於是

x = 0

時通過

x

軸並往下降、

x = \frac{π}{6}

到最低點，與附圖相同。

b < 0

時

a sin b x = - a sin ∣ b ∣ x

；若只看振幅容易漏掉檢查

a

的正負，這題要由「過原點後先下降」確認

a = 2

而不是

- 2

。

y = a sin b x

：振幅是

∣ a ∣

、週期是

\frac{2 π}{∣ b ∣}

；正負號由圖形過原點後先升或先降決定。

05選填 A～D（第 11～14 題）：特殊角、葉形面積、滾動的弧度

第 11 題

cos \frac{π}{4} = \frac{2}{2}

，所以

2 cos \frac{π}{4} = 1

；

sin \frac{3 π}{2} = - 1

；

sin (- \frac{π}{6}) = - \frac{1}{2}

。原式

= 1 + (- 1) - (- \frac{1}{2}) = \frac{1}{2}

。

第 12 題以

A

為圓心的弧從

B

到

D

，是半徑

1

、圓心角

\frac{π}{2}

的扇形

A B D

的弧，扇形面積

= \frac{1}{2} \times 1^{2} \times \frac{π}{2} = \frac{π}{4}

。對角線

\overline{B D}

與這段弧之間的弓形面積

=

扇形

- △ A B D = \frac{π}{4} - \frac{1}{2}

。以

C

為圓心的那一半完全一樣，所以斜線部分面積

= 2 (\frac{π}{4} - \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} π - 1

。

對角線

\overline{B D}

把葉形分成兩個全等的弓形，原卷的圖已經把這條線畫出來了。

第 13 題

sin \frac{π}{6} = \frac{1}{2}

。

\frac{2 π}{3}

是第二象限角，參考角

\frac{π}{3}

，

cos \frac{2 π}{3} = - \frac{1}{2}

。

\frac{5 π}{4}

是第三象限角，參考角

\frac{π}{4}

，正切為正，

tan \frac{5 π}{4} = 1

。原式

= \frac{1}{2} - \frac{1}{2} + 1 = 1

。

第 14 題輪子在地上滾過的長度等於輪緣轉過的弧長。由

s = r θ

：

150 = 50 θ

，

θ = 3

（弧度）。

弧度就是「弧長是半徑的幾倍」，不必換成度。

06選填 E、F（第 15、16 題）：圓錐側面積、十二等分點圍出的面積

第 15 題底面半徑

r = 1

，高

5

，斜高

ℓ = 1^{2} + 5^{2} = 26

。把側面沿一條母線剪開攤平，是半徑

26

的扇形，弧長等於底圓周長

2 π

。扇形面積

= \frac{1}{2} \times

半徑

\times

弧長

= \frac{1}{2} \times 26 \times 2 π = 26 π

。

原卷題幹印作「表面積」，但答案格是

◯ ◯ π

、原卷參考答案為

26 π

，這是側面積，所以本頁題幹寫成「側面積」。若連底面（面積

π

）一起算，全表面積是

(1 + 26) π

。

第 16 題相鄰兩個等分點所對的圓心角是

\frac{2 π}{12} = \frac{π}{6}

。圖中兩條過

O

的線是直徑，夾角

\frac{π}{6}

。右側色塊是半徑

1

、圓心角

\frac{π}{6}

的扇形，面積

= \frac{1}{2} \times 1^{2} \times \frac{π}{6} = \frac{π}{12}

。左上色塊由弦、一段弧與兩條半徑圍成，從

O

連到弦的左端點，可拆成一個三角形加一個扇形：弦的兩端相隔

4

個等分點，圓心角

\frac{2 π}{3}

，三角形面積

= \frac{1}{2} \times 1 \times 1 \times sin \frac{2 π}{3} = \frac{3}{4}

；扇形圓心角

\frac{π}{6}

，面積

\frac{π}{12}

。左下色塊與左上對稱，面積相同。總面積

= 2 (\frac{3}{4} + \frac{π}{12}) + \frac{π}{12} = \frac{3}{2} + \frac{1}{4} π

。

原卷答案格印作

\frac{◯}{◯} + \frac{◯}{◯} π

，原卷參考答案四格依序為

3

、

2

、

1

、

4

；本站重算為

\frac{3}{2} + \frac{1}{4} π

（約

1.65

），四個數字相同，第一格的

3

應在根號內。若照格子讀成

\frac{3}{2} + \frac{1}{4} π \approx 2.29

，則與圖形不合。

不規則的色塊先從圓心連線，拆成扇形與三角形再相加。

07選填 G～J（第 17～20 題）：時鐘夾角、度與弧度互換、扇形周長

第 17 題從

12

的位置順時針量：分針每分鐘走

6^{\circ}

，

40

分時在

24 0^{\circ}

。時針每小時走

3 0^{\circ}

、每分鐘走

0. 5^{\circ}

，

10

點

40

分時在

30 0^{\circ} + 2 0^{\circ} = 32 0^{\circ}

。夾角

= 32 0^{\circ} - 24 0^{\circ} = 8 0^{\circ}

，小於

18 0^{\circ}

，就是較小角。

8 0^{\circ} = 80 \times \frac{π}{180} = \frac{4}{9} π

，所以

k = \frac{4}{9} π

。

時針不是停在

10

的位置：

40

分鐘內它又往前走了

2 0^{\circ}

。

第 18 題

18 0^{\circ} = π

弧度，所以

22. 5^{\circ} = 22.5 \times \frac{π}{180} = \frac{1}{8} π

弧度。

第 19 題

π

弧度

= 18 0^{\circ}

，所以

\frac{7}{4} π = \frac{7}{4} \times 18 0^{\circ} = 31 5^{\circ}

。

第 20 題兩個扇形的圓心角相同，設為

θ

。小扇形：

3 θ = 4

，

θ = \frac{4}{3}

。大扇形的弧

A B = 5 θ = \frac{20}{3}

。

\overline{A C} = \overline{B D} = 5 - 3 = 2

。陰影部分的周長

=

弧

A B +

弧

C D + \overline{A C} + \overline{B D} = \frac{20}{3} + 4 + 2 + 2 = \frac{44}{3}

。

周長要把兩段弧和兩段直線邊都算進去。原卷的弧記號字母印得不清楚，依圖與「扇形

O C D

」讀作弧

C D

。

度與弧度互換只記

18 0^{\circ} = π

；同一個圓心角下，弧長與半徑成正比。

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同樣是高二第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

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題目取自平鎮高中 114 學年度上學期高二第一次段考數學B，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

平鎮高中 114 上高二第一次段考數學試題、答案與詳解

原卷 20 題，照原卷順序

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每一題，錯在哪一步

01單選第 1～4 題：弧度角的位置與三角函數值

02單選第 5～7 題：圖形的伸縮平移、象限、用圖形數實根

03多選第 8 題：三個半圓圍出的弧長與面積

04多選第 9、10 題：正弦函數的振幅、週期、對稱與讀圖

05選填 A～D（第 11～14 題）：特殊角、葉形面積、滾動的弧度

06選填 E、F（第 15、16 題）：圓錐側面積、十二等分點圍出的面積

07選填 G～J（第 17～20 題）：時鐘夾角、度與弧度互換、扇形周長

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平鎮高中 114 上
高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

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