段考詳解範圍：指數與對數函數（指數函數的圖形、對數與對數律、換底公式、對數函數的圖形、指數對數方程式與不等式、常用對數的應用）

苑裡高中 113 上
高二第二次段考
數學試題、答案與詳解

Q: 苑裡高中 113 上 高二第二次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 24 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

Q: 苑裡高中 113 上 高二第二次段考數學哪幾題最容易錯？

第 19 題取對數後的負數要拆成負的整數加上正的小數部分，整數部分是負十三不是負十二；第 23 題要看出指數與對數圖形對稱於 y＝x，交點 A、B 也互相對稱；第 24 題對數值是負的，除過去不等號要反向；第 10 題底數不可等於 1，九要挖掉。詳解逐題寫在本頁。

Q: 我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

Q: 這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

原卷 24 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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這一章有整理好的單元冊：《指數與對數函數》

題原卷全文

則逐題詳解

個單元，勾錯題號就知道錯在哪

元，不用註冊

01 · 試題

原卷 24 題，照原卷順序

單選題 2 題與填充題 20 題（28 格）合併算格數給分，共 30 格、90 分（答對 1～30 格依序得 5、10、14、18、21、24、27、30、33、36、39、42、45、48、51、54、57、60、63、66、69、72、75、78、80、82、84、86、88、90 分）；多選題 2 題，每題 5 分，共 10 分。原卷三大題各自編號，本頁依序連續編號：多選 1～2 為第 3～4 題，填充 1～20 為第 5～24 題。答案已與學校公布的答案逐題核對。

一、單選題：（2 題，與填充題一同算格數給分）

將

y = 3^{x}

的圖形，向左平移

1

單位，再向下平移

2

單位，會得到哪一個函數的圖形？

(A) $y = 3^{x - 1} + 2$
(B) $y = 3^{x + 1} - 2$
(C) $y = 3^{x - 1} - 2$
(D) $y = 3^{x + 1} + 2$
(E) $y = - 3^{x - 1} - 2$

設

a = lo g 2

，

b = lo g 3

，則下列哪個選項可以表示

lo g_{6} 72

？

(A) $\frac{a + b}{3 a + 2 b}$
(B) $\frac{2 a + 3 b}{a + b}$
(C) $\frac{3 a + 2 b}{a + b}$
(D) $\frac{a + b}{2 a + 3 b}$
(E) $\frac{b}{a + b}$

二、多選題：（2 題，每題 5 分，每答錯一格扣 2 分，扣至該題 0 分為止，共 10 分）

關於

y = 2^{x}

與

y = (\frac{1}{2})^{x}

圖形的敘述，請選出正確的選項。

(A) 兩圖形不相交
(B) 兩圖形對稱於 $x$ 軸
(C) 兩圖形對稱於 $y$ 軸
(D) 兩圖形均在 $x$ 軸上方
(E) 兩圖形相交於一點 $(0, 1)$

對數的底數、真數不滿足特定條件時，我們稱它無意義。請選出無意義的選項。

(A) $lo g_{5} (- 2)$
(B) $lo g_{1} 7$
(C) $lo g_{3} π$
(D) $lo g_{(π - 4)} 2$
(E) $lo g_{(π + 4)} (4 - π)$

三、填充題：（20 題，共 28 格）

設

f (x) = 3^{x}

，試求下列各函數值： (1)

f (0) =

____。 (2)

f (- 2) =

____。

試求下列各對數的值： (1)

lo g_{3} 9 =

____。 (2)

lo g_{\frac{1}{3}} 27 =

____。 (3)

lo g \frac{1}{10} + lo g 4 + lo g 250 =

____。 (4)

lo g 8 0^{2} - lo g 64 =

____。

試解下列各方程式： (1)

7^{2 x + 1} = \frac{1}{7}

。 (2)

2^{2 x} - 7 \times 2^{x} - 2^{3} = 0

。

試解下列各方程式： (1)

lo g_{2} (x + 3) = 4

。 (2)

lo g_{3} (x + 4) + lo g_{3} (x - 4) = 2

試解下列各不等式： (1)

8^{3 x - 1} > 4^{2 x + 1}

。 (2)

lo g_{3} x < 3

。

若

lo g_{(x - 8)} (- x^{2} + 17 x - 70)

有意義，則實數

x

的範圍為 ____。

設

a = lo g_{3} 2

，

b = lo g_{7} 3

，則

3^{a - \frac{1}{b}}

之值為 ____。

化簡

(lo g_{2} 3 + lo g_{4} 9) (lo g_{3} 4 + lo g_{9} 2)

的值為 ____。

試求

\frac{2}{lo g _{2} 60} + \frac{1}{lo g _{3} 60} + \frac{1}{lo g _{5} 60}

的值為 ____。

試求

lo g_{2} 3 \times lo g_{3} 5 \times lo g_{5} 8 =

____。

y = lo g_{a} (x - 2)

之圖形如圖，此圖形通過

(4, 1)

，

(b, 0)

，

(10, c)

三點，則

a + b + c =

____。

載入中...

請問方程式

3^{x} = 2 x + 1

有 ____ 個實數解。

設

a

、

b

為正實數，已知

lo g a = 10

，

lo g b = 12

，試求最接近

lo g (a + b)

的整數為 ____。

已知

lo g 2 \approx 0.3010

，

lo g 3 \approx 0.4771

，則 (1)

3^{100}

為 ____ 位正整數。 (2)

3^{100}

最高位（最左邊）的數字為 ____。

已知

lo g 2 \approx 0.3010

，

lo g 3 \approx 0.4771

，則將

(\frac{3}{4})^{100}

表示成小數時，小數點後第 ____ 位開始不為

0

。

已知

lo g 2 \approx 0.3010

，若

(\frac{5}{2})^{n} > 1000

，則

n

的最小正整數為 ____。

小明將

10

萬元存入銀行，銀行告訴他：年利率為

2%

，每年複利一次。（

lo g 1.02 \approx 0.0086

、

lo g 1.5 \approx 0.1761

）若小明希望本利和超過

15

萬時，再領出來使用，則小明至少需要等 ____ 年。（答案取整數）

設正實數

a

，

b

滿足

(lo g a) (lo g b) + lo g a + lo g b = 2

，且

lo g_{a} b = 2

，則

a

之值為 ____。（兩解）

已知過點

P (0, 4)

且與直線

L ： y = x

垂直的直線，分別交

f (x) = a^{x}

與

g (x) = lo g_{a} x

兩圖形於

A

，

B

兩點，若

\overline{P A} = 2

，則

\overline{P B} =

____。

有一濾水器，每加一層濾網可除去水中

30%

雜質，想要使水中雜質降至原來的

1%

，至少要加 ____ 層濾網。（

lo g 2 \approx 0.3010

、

lo g 3 \approx 0.4771

、

lo g 7 \approx 0.8451

）

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(B)

第 2 題(C)

第 3 題(C)(D)(E)

第 4 題(A)(B)(D)

第 5 題(1)

1

　(2)

\frac{1}{9}

第 6 題(1)

2

　(2)

- 3

　(3)

2

　(4)

2

第 7 題(1)

x = - 1

　(2)

x = 3

第 8 題(1)

x = 13

　(2)

x = 5

第 9 題(1)

x > 1

　(2)

0 < x < 27

第 10 題

8 < x < 10

，但

x \neq = 9

第 11 題

\frac{2}{7}

第 12 題

5

第 13 題

1

第 14 題

3

第 15 題

8

第 16 題

2

第 17 題

12

第 18 題(1)

48

　(2)

5

第 19 題

13

第 20 題

8

第 21 題

21

第 22 題

10

或

\frac{1}{100}

第 23 題

32

第 24 題

13

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

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註冊之後，在首頁填上你們下一次段考的日期和範圍，練滿 15 題，系統就會照你做過的題、錯過的題，出一份考前藍圖 PDF：一份模擬卷、詳解，還有考前每天練哪一章。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選題：指數圖形的平移、用 log 2 與 log 3 表示對數

第 1 題答案 (B)。向左平移

1

單位是把

x

換成

x + 1

，得

y = 3^{x + 1}

；再向下平移

2

單位是把函數值減

2

，得

y = 3^{x + 1} - 2

。

向左平移是「

x

加」，(A)、(C) 的

x - 1

是向右平移。

第 2 題答案 (C)。換底成常用對數：

lo g_{6} 72 = \frac{lo g 72}{lo g 6}

。

72 = 2^{3} \times 3^{2}

，

lo g 72 = 3 lo g 2 + 2 lo g 3 = 3 a + 2 b

；

6 = 2 \times 3

，

lo g 6 = a + b

。所以

lo g_{6} 72 = \frac{3 a + 2 b}{a + b}

。

平移時先寫出 x 換成什麼、函數值加減什麼；換底題先把真數與底數做質因數分解。

02多選題：兩指數圖形的關係、對數有意義的條件

第 3 題

答案 (C)(D)(E)。 $(\frac{1}{2})^{x} = 2^{- x}$ ，所以 $y = (\frac{1}{2})^{x}$ 的圖形是把 $y = 2^{x}$ 的圖形中每一點 $(t, 2^{t})$ 換成 $(- t, 2^{t})$ 得到的。

(A) 錯誤。 $x = 0$ 時兩函數值都是 $1$ ，兩圖形交於 $(0, 1)$ 。

(B) 錯誤。 對稱於 $x$ 軸的應是 $y = - 2^{x}$ ，它的函數值都是負的。

(D) 正確。 指數函數的值恆正，兩圖形都在 $x$ 軸上方。

(E) 正確。 解 $2^{x} = 2^{- x}$ 得 $x = - x$ ， $x = 0$ ，只有一個交點 $(0, 1)$ 。

第 4 題

答案 (A)(B)(D)。 $lo g_{a} b$ 有意義要底數 $a > 0$ 且 $a \neq = 1$ ，真數 $b > 0$ 。

(A) 無意義。 真數 $- 2 < 0$ 。

(B) 無意義。 底數為 $1$ ， $1$ 的任何次方都是 $1$ ，不會等於 $7$ 。

(D) 無意義。 $π \approx 3.14$ ，底數 $π - 4 < 0$ 。

(E) 有意義。底數 $π + 4 > 0$ 且不等於 $1$ ，真數 $4 - π \approx 0.86 > 0$ 。

本題選的是「無意義」的選項，(C)、(E) 有意義，所以不選。

對數有意義的三個條件：底數大於 0、底數不等於 1、真數大於 0，三個都要檢查。

03填充題：指數函數值、對數求值、指數方程式

第 5 題(1)

f (0) = 3^{0} = 1

。(2)

f (- 2) = 3^{- 2} = \frac{1}{9}

。

第 6 題

(1) $9 = 3^{2}$ ，所以 $lo g_{3} 9 = 2$ 。

(2) 設 $lo g_{\frac{1}{3}} 27 = k$ ，則 $(\frac{1}{3})^{k} = 3^{- k} = 27 = 3^{3}$ ， $k = - 3$ 。

(3) 同底的對數相加，真數相乘：原式 $= lo g (\frac{1}{10} \times 4 \times 250) = lo g 100 = 2$ 。

(4) 原式 $= lo g \frac{6400}{64} = lo g 100 = 2$ 。

第 7 題

(1) $\frac{1}{7} = 7^{- 1}$ ，所以 $7^{2 x + 1} = 7^{- 1}$ ，指數相等： $2 x + 1 = - 1$ ， $x = - 1$ 。

(2) 令 $t = 2^{x}$ （ $t > 0$ ），則 $2^{2 x} = t^{2}$ ，方程式為 $t^{2} - 7 t - 8 = 0$ ， $(t - 8) (t + 1) = 0$ 。因為 $t > 0$ ，只取 $t = 8 = 2^{3}$ ，所以 $x = 3$ 。

t = - 1

不合，因為

2^{x}

恆正。

指數方程式先化成同底；出現 2 的 2x 次方與 2 的 x 次方時，令 t 等於 2 的 x 次方，記得 t 大於 0。

04填充題：對數方程式、指數與對數不等式、底數真數的範圍

第 8 題

(1) 由對數的定義， $x + 3 = 2^{4} = 16$ ， $x = 13$ （真數 $16 > 0$ ，合）。

(2) 先要真數為正： $x + 4 > 0$ 且 $x - 4 > 0$ ，即 $x > 4$ 。同底相加： $lo g_{3} [(x + 4) (x - 4)] = 2$ ， $(x + 4) (x - 4) = 9$ ， $x^{2} = 25$ ， $x = \pm 5$ 。配合 $x > 4$ ，只取 $x = 5$ 。

x = - 5

代回時

lo g_{3} (- 1)

無意義，要捨去。

第 9 題

(1) 化成以 $2$ 為底： $8^{3 x - 1} = 2^{9 x - 3}$ ， $4^{2 x + 1} = 2^{4 x + 2}$ 。底數 $2 > 1$ ， $y = 2^{x}$ 遞增，所以 $9 x - 3 > 4 x + 2$ ， $5 x > 5$ ， $x > 1$ 。

(2) 真數要正： $x > 0$ 。 $3 = lo g_{3} 27$ ，底數 $3 > 1$ ， $y = lo g_{3} x$ 遞增，所以 $lo g_{3} x < lo g_{3} 27$ 即 $x < 27$ 。合起來 $0 < x < 27$ 。

(2) 不能只寫

x < 27

，真數條件

x > 0

也要放進答案。

第 10 題底數條件：

x - 8 > 0

且

x - 8 \neq = 1

，即

x > 8

且

x \neq = 9

。真數條件：

- x^{2} + 17 x - 70 > 0

，即

x^{2} - 17 x + 70 < 0

，

(x - 7) (x - 10) < 0

，

7 < x < 10

。三個條件同時成立：

8 < x < 10

，但

x \neq = 9

。

對數方程式、不等式先寫真數條件（含底數條件），最後與解出來的範圍取交集。

05填充題：換底公式的各種化簡

第 11 題由換底公式，

\frac{1}{b} = \frac{1}{lo g _{7} 3} = lo g_{3} 7

。所以

a - \frac{1}{b} = lo g_{3} 2 - lo g_{3} 7 = lo g_{3} \frac{2}{7}

，

3^{a - \frac{1}{b}} = 3^{l o g_{3} \frac{2}{7}} = \frac{2}{7}

。

第 12 題

lo g_{4} 9 = \frac{lo g 3 ^{2}}{lo g 2 ^{2}} = \frac{2 lo g 3}{2 lo g 2} = lo g_{2} 3

，所以第一個括號

= 2 lo g_{2} 3

。

lo g_{3} 4 = 2 lo g_{3} 2

，

lo g_{9} 2 = \frac{lo g 2}{2 lo g 3} = \frac{1}{2} lo g_{3} 2

，第二個括號

= \frac{5}{2} lo g_{3} 2

。相乘：

2 lo g_{2} 3 \times \frac{5}{2} lo g_{3} 2 = 5 lo g_{2} 3 \cdot lo g_{3} 2 = 5

。

lo g_{2} 3 \cdot lo g_{3} 2 = \frac{lo g 3}{lo g 2} \cdot \frac{lo g 2}{lo g 3} = 1

。

第 13 題由換底公式，

\frac{1}{lo g _{k} 60} = lo g_{60} k

。原式

= 2 lo g_{60} 2 + lo g_{60} 3 + lo g_{60} 5 = lo g_{60} (2^{2} \times 3 \times 5) = lo g_{60} 60 = 1

。

第 14 題全部換成常用對數：原式

= \frac{lo g 3}{lo g 2} \times \frac{lo g 5}{lo g 3} \times \frac{lo g 8}{lo g 5} = \frac{lo g 8}{lo g 2} = \frac{3 lo g 2}{lo g 2} = 3

。

底數與真數各不相同時，一律換成常用對數，分子分母會相消。

06填充題：由圖形上的點求參數、數交點個數

第 15 題

(4, 1)

在圖形上：

lo g_{a} (4 - 2) = 1

，即

lo g_{a} 2 = 1

，

a = 2

。

(b, 0)

在圖形上：

lo g_{2} (b - 2) = 0

，

b - 2 = 1

，

b = 3

。

(10, c)

在圖形上：

c = lo g_{2} (10 - 2) = lo g_{2} 8 = 3

。所以

a + b + c = 2 + 3 + 3 = 8

。

第 16 題把方程式看成

y = 3^{x}

與直線

y = 2 x + 1

的交點。代入可知

x = 0

（

3^{0} = 1 = 2 \cdot 0 + 1

）與

x = 1

（

3^{1} = 3 = 2 \cdot 1 + 1

）都是解。

y = 3^{x}

的圖形凹口向上（圖形上任兩點的連線段都在圖形上方），所以一條直線與它最多只有兩個交點；在

0 < x < 1

時直線在圖形上方，在

x < 0

或

x > 1

時直線在圖形下方，不會再相交。共

2

個實數解。

例如

x = \frac{1}{2}

時

3^{\frac{1}{2}} = 3 \approx 1.73 < 2

，

x = 2

時

9 > 5

，與上面的判斷一致。

圖形通過哪一點，就把那一點的坐標代進函數；方程式的解的個數，看兩個圖形的交點。

07填充題：常用對數的應用（估計、位數、首位、小數位、複利）

第 17 題

a = 1 0^{10}

，

b = 1 0^{12}

，

a + b = 1 0^{12} + 1 0^{10} = 1.01 \times 1 0^{12}

。所以

lo g (a + b) = 12 + lo g 1.01

。因為

1 < 1.01 < 10

，

0 < lo g 1.01 < \frac{1}{2}

，

lo g (a + b)

介於

12

與

12.5

之間，最接近的整數是

12

。

lo g (a + b)

不等於

lo g a + lo g b = 22

；兩數相加時，大的那個數主導。

第 18 題

$lo g 3^{100} = 100 lo g 3 \approx 47.71$ ，所以 $3^{100} = 1 0^{47.71} = 1 0^{0.71} \times 1 0^{47}$ 。

(1) $1 0^{47} \leq 3^{100} < 1 0^{48}$ ， $3^{100}$ 是 $48$ 位數。

(2) $lo g 5 = 1 - lo g 2 \approx 0.6990$ ， $lo g 6 = lo g 2 + lo g 3 \approx 0.7781$ 。 $0.6990 < 0.71 < 0.7781$ ，所以 $5 < 1 0^{0.71} < 6$ ， $3^{100} = 5. \dots \times 1 0^{47}$ ，最高位數字是 $5$ 。

第 19 題

lo g (\frac{3}{4})^{100} = 100 (lo g 3 - 2 lo g 2) \approx 100 \times (0.4771 - 0.6020) = - 12.49

。寫成整數部分與

0

到

1

之間的小數部分：

- 12.49 = - 13 + 0.51

，所以

(\frac{3}{4})^{100} = 1 0^{0.51} \times 1 0^{- 13}

。

lo g 3 \approx 0.4771 < 0.51 < lo g 4 \approx 0.6020

，

3 < 1 0^{0.51} < 4

，所以

(\frac{3}{4})^{100} = 3. \dots \times 1 0^{- 13}

，小數點後第

13

位開始不為

0

。

- 12.49

的整數部分要取

- 13

（讓小數部分是正的），不是

- 12

。

第 20 題

lo g \frac{5}{2} = lo g 5 - lo g 2 = 1 - 2 lo g 2 \approx 0.398

。兩邊取常用對數（底數

10 > 1

，大小關係不變）：

n lo g \frac{5}{2} > lo g 1000 = 3

，

n > \frac{3}{0.398} \approx 7.54

，最小正整數

n = 8

。

檢查：

(\frac{5}{2})^{7} \approx 610

，

(\frac{5}{2})^{8} \approx 1526

。

第 21 題

n

年後本利和為

10 \times 1.0 2^{n}

萬元。要

10 \times 1.0 2^{n} > 15

，即

1.0 2^{n} > 1.5

。兩邊取常用對數：

n lo g 1.02 > lo g 1.5

，

n > \frac{0.1761}{0.0086} \approx 20.48

，所以至少要等

21

年。

檢查：

1.0 2^{20} \approx 1.486 < 1.5

，

1.0 2^{21} \approx 1.516 > 1.5

。

把數寫成「1 到 10 之間的數乘以 10 的整數次方」：整數次方決定位數或小數位，小數部分決定最高位數字。

08填充題：對數換元、反函數圖形的對稱、衰減模型

第 22 題令

x = lo g a

，

y = lo g b

。

lo g_{a} b = \frac{lo g b}{lo g a} = \frac{y}{x} = 2

，所以

y = 2 x

。代入第一式：

x \cdot 2 x + x + 2 x = 2

，

2 x^{2} + 3 x - 2 = 0

，

(2 x - 1) (x + 2) = 0

，

x = \frac{1}{2}

或

x = - 2

。所以

a = 1 0^{\frac{1}{2}} = 10

或

a = 1 0^{- 2} = \frac{1}{100}

。

兩個

a

都是正數且不等於

1

，可以當底數，兩解都要寫。對應的

b = a^{2}

分別是

10

與

\frac{1}{10000}

。

第 23 題

過 $P (0, 4)$ 且與 $y = x$ 垂直的直線斜率為 $- 1$ ： $y = - x + 4$ 。 $f (x) = a^{x}$ 與 $g (x) = lo g_{a} x$ 互為反函數，兩圖形對稱於直線 $y = x$ ；直線 $y = - x + 4$ 與 $y = x$ 垂直，它本身也對稱於 $y = x$ 。所以 $A$ 對 $y = x$ 的對稱點就在 $g$ 的圖形上，也在這條直線上，就是 $B$ 。

$A$ 在直線上且 $\overline{P A} = 2$ ，設 $A = (t, 4 - t)$ ， $t^{2} + t^{2} = 2$ ， $t = \pm 1$ 。取 $t = 1$ ： $A = (1, 3)$ ，由 $a^{1} = 3$ 得 $a = 3$ ， $B = (3, 1)$ （檢查： $lo g_{3} 3 = 1$ ）， $\overline{P B} = 3^{2} + (1 - 4)^{2} = 32$ 。

若取

t = - 1

，

A = (- 1, 5)

，由

a^{- 1} = 5

得

a = \frac{1}{5}

，對稱點

(5, - 1)

也在

g

的圖形上，這時

\overline{P B} = 52

；但底數

\frac{1}{5}

時直線與

y = a^{x}

的圖形有兩個交點，與

y = lo g_{a} x

的圖形也有兩個交點，「交於

A

，

B

兩點」說不清是哪兩點。學校答案是

32

，即底數

a = 3

（大於

1

）的情形，直線與兩圖形各只交一點。

第 24 題每加一層濾網，雜質剩下原來的

70%

；加

n

層後剩

0. 7^{n}

倍。要

0. 7^{n} \leq 0.01

，兩邊取常用對數：

n lo g 0.7 \leq - 2

。

lo g 0.7 = lo g 7 - 1 \approx - 0.1549

，是負數，兩邊同除時不等號反向：

n \geq \frac{2}{0.1549} \approx 12.9

，至少要加

13

層。

除以負數要變號。檢查：

0. 7^{12} \approx 0.0138

還超過

1%

，

0. 7^{13} \approx 0.0097

已經低於

1%

。

指數函數與對數函數的圖形對稱於直線 y＝x，與 y＝x 垂直的直線上的交點也成對對稱；取對數後除以負數，不等號要反向。

這一章的單元冊

每個題型挑各校段考原題當例題（少數改寫會註明），由易到難；每一題都附圖或表，詳解寫到每一步。PDF 電子檔，可以先下載試閱。

《指數與對數函數》單元冊 09・高二上（數A）

同一次段考的其他學校

同樣是高二第二次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

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常見問題

苑裡高中 113 上高二第二次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 24 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

苑裡高中 113 上高二第二次段考數學哪幾題最容易錯？

第 19 題取對數後的負數要拆成負的整數加上正的小數部分，整數部分是負十三不是負十二；第 23 題要看出指數與對數圖形對稱於 y＝x，交點 A、B 也互相對稱；第 24 題對數值是負的，除過去不等號要反向；第 10 題底數不可等於 1，九要挖掉。詳解逐題寫在本頁。

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

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題目取自苑裡高中 113 學年度上學期高二第二次段考數學A，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

御藍教育／段考卷／高二

段考詳解範圍：指數與對數函數（指數函數的圖形、對數與對數律、換底公式、對數函數的圖形、指數對數方程式與不等式、常用對數的應用）

苑裡高中 113 上
高二第二次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 24 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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這一章有整理好的單元冊：《指數與對數函數》

題原卷全文

則逐題詳解

個單元，勾錯題號就知道錯在哪

元，不用註冊

01 · 試題

原卷 24 題，照原卷順序

一、單選題：（2 題，與填充題一同算格數給分）

將

y = 3^{x}

的圖形，向左平移

1

單位，再向下平移

2

單位，會得到哪一個函數的圖形？

(A) $y = 3^{x - 1} + 2$
(B) $y = 3^{x + 1} - 2$
(C) $y = 3^{x - 1} - 2$
(D) $y = 3^{x + 1} + 2$
(E) $y = - 3^{x - 1} - 2$

設

a = lo g 2

，

b = lo g 3

，則下列哪個選項可以表示

lo g_{6} 72

？

(A) $\frac{a + b}{3 a + 2 b}$
(B) $\frac{2 a + 3 b}{a + b}$
(C) $\frac{3 a + 2 b}{a + b}$
(D) $\frac{a + b}{2 a + 3 b}$
(E) $\frac{b}{a + b}$

二、多選題：（2 題，每題 5 分，每答錯一格扣 2 分，扣至該題 0 分為止，共 10 分）

關於

y = 2^{x}

與

y = (\frac{1}{2})^{x}

圖形的敘述，請選出正確的選項。

(A) 兩圖形不相交
(B) 兩圖形對稱於 $x$ 軸
(C) 兩圖形對稱於 $y$ 軸
(D) 兩圖形均在 $x$ 軸上方
(E) 兩圖形相交於一點 $(0, 1)$

對數的底數、真數不滿足特定條件時，我們稱它無意義。請選出無意義的選項。

(A) $lo g_{5} (- 2)$
(B) $lo g_{1} 7$
(C) $lo g_{3} π$
(D) $lo g_{(π - 4)} 2$
(E) $lo g_{(π + 4)} (4 - π)$

三、填充題：（20 題，共 28 格）

設

f (x) = 3^{x}

，試求下列各函數值： (1)

f (0) =

____。 (2)

f (- 2) =

____。

試求下列各對數的值： (1)

lo g_{3} 9 =

____。 (2)

lo g_{\frac{1}{3}} 27 =

____。 (3)

lo g \frac{1}{10} + lo g 4 + lo g 250 =

____。 (4)

lo g 8 0^{2} - lo g 64 =

____。

試解下列各方程式： (1)

7^{2 x + 1} = \frac{1}{7}

。 (2)

2^{2 x} - 7 \times 2^{x} - 2^{3} = 0

。

試解下列各方程式： (1)

lo g_{2} (x + 3) = 4

。 (2)

lo g_{3} (x + 4) + lo g_{3} (x - 4) = 2

試解下列各不等式： (1)

8^{3 x - 1} > 4^{2 x + 1}

。 (2)

lo g_{3} x < 3

。

若

lo g_{(x - 8)} (- x^{2} + 17 x - 70)

有意義，則實數

x

的範圍為 ____。

設

a = lo g_{3} 2

，

b = lo g_{7} 3

，則

3^{a - \frac{1}{b}}

之值為 ____。

化簡

(lo g_{2} 3 + lo g_{4} 9) (lo g_{3} 4 + lo g_{9} 2)

的值為 ____。

試求

\frac{2}{lo g _{2} 60} + \frac{1}{lo g _{3} 60} + \frac{1}{lo g _{5} 60}

的值為 ____。

試求

lo g_{2} 3 \times lo g_{3} 5 \times lo g_{5} 8 =

____。

y = lo g_{a} (x - 2)

之圖形如圖，此圖形通過

(4, 1)

，

(b, 0)

，

(10, c)

三點，則

a + b + c =

____。

載入中...

請問方程式

3^{x} = 2 x + 1

有 ____ 個實數解。

設

a

、

b

為正實數，已知

lo g a = 10

，

lo g b = 12

，試求最接近

lo g (a + b)

的整數為 ____。

已知

lo g 2 \approx 0.3010

，

lo g 3 \approx 0.4771

，則 (1)

3^{100}

為 ____ 位正整數。 (2)

3^{100}

最高位（最左邊）的數字為 ____。

已知

lo g 2 \approx 0.3010

，

lo g 3 \approx 0.4771

，則將

(\frac{3}{4})^{100}

表示成小數時，小數點後第 ____ 位開始不為

0

。

已知

lo g 2 \approx 0.3010

，若

(\frac{5}{2})^{n} > 1000

，則

n

的最小正整數為 ____。

小明將

10

萬元存入銀行，銀行告訴他：年利率為

2%

，每年複利一次。（

lo g 1.02 \approx 0.0086

、

lo g 1.5 \approx 0.1761

）若小明希望本利和超過

15

萬時，再領出來使用，則小明至少需要等 ____ 年。（答案取整數）

設正實數

a

，

b

滿足

(lo g a) (lo g b) + lo g a + lo g b = 2

，且

lo g_{a} b = 2

，則

a

之值為 ____。（兩解）

已知過點

P (0, 4)

且與直線

L ： y = x

垂直的直線，分別交

f (x) = a^{x}

與

g (x) = lo g_{a} x

兩圖形於

A

，

B

兩點，若

\overline{P A} = 2

，則

\overline{P B} =

____。

有一濾水器，每加一層濾網可除去水中

30%

雜質，想要使水中雜質降至原來的

1%

，至少要加 ____ 層濾網。（

lo g 2 \approx 0.3010

、

lo g 3 \approx 0.4771

、

lo g 7 \approx 0.8451

）

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(B)

第 2 題(C)

第 3 題(C)(D)(E)

第 4 題(A)(B)(D)

第 5 題(1)

1

　(2)

\frac{1}{9}

第 6 題(1)

2

　(2)

- 3

　(3)

2

　(4)

2

第 7 題(1)

x = - 1

　(2)

x = 3

第 8 題(1)

x = 13

　(2)

x = 5

第 9 題(1)

x > 1

　(2)

0 < x < 27

第 10 題

8 < x < 10

，但

x \neq = 9

第 11 題

\frac{2}{7}

第 12 題

5

第 13 題

1

第 14 題

3

第 15 題

8

第 16 題

2

第 17 題

12

第 18 題(1)

48

　(2)

5

第 19 題

13

第 20 題

8

第 21 題

21

第 22 題

10

或

\frac{1}{100}

第 23 題

32

第 24 題

13

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

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還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選題：指數圖形的平移、用 log 2 與 log 3 表示對數

第 1 題答案 (B)。向左平移

1

單位是把

x

換成

x + 1

，得

y = 3^{x + 1}

；再向下平移

2

單位是把函數值減

2

，得

y = 3^{x + 1} - 2

。

向左平移是「

x

加」，(A)、(C) 的

x - 1

是向右平移。

第 2 題答案 (C)。換底成常用對數：

lo g_{6} 72 = \frac{lo g 72}{lo g 6}

。

72 = 2^{3} \times 3^{2}

，

lo g 72 = 3 lo g 2 + 2 lo g 3 = 3 a + 2 b

；

6 = 2 \times 3

，

lo g 6 = a + b

。所以

lo g_{6} 72 = \frac{3 a + 2 b}{a + b}

。

平移時先寫出 x 換成什麼、函數值加減什麼；換底題先把真數與底數做質因數分解。

02多選題：兩指數圖形的關係、對數有意義的條件

第 3 題

答案 (C)(D)(E)。 $(\frac{1}{2})^{x} = 2^{- x}$ ，所以 $y = (\frac{1}{2})^{x}$ 的圖形是把 $y = 2^{x}$ 的圖形中每一點 $(t, 2^{t})$ 換成 $(- t, 2^{t})$ 得到的。

(A) 錯誤。 $x = 0$ 時兩函數值都是 $1$ ，兩圖形交於 $(0, 1)$ 。

(B) 錯誤。 對稱於 $x$ 軸的應是 $y = - 2^{x}$ ，它的函數值都是負的。

(D) 正確。 指數函數的值恆正，兩圖形都在 $x$ 軸上方。

(E) 正確。 解 $2^{x} = 2^{- x}$ 得 $x = - x$ ， $x = 0$ ，只有一個交點 $(0, 1)$ 。

第 4 題

答案 (A)(B)(D)。 $lo g_{a} b$ 有意義要底數 $a > 0$ 且 $a \neq = 1$ ，真數 $b > 0$ 。

(A) 無意義。 真數 $- 2 < 0$ 。

(B) 無意義。 底數為 $1$ ， $1$ 的任何次方都是 $1$ ，不會等於 $7$ 。

(D) 無意義。 $π \approx 3.14$ ，底數 $π - 4 < 0$ 。

(E) 有意義。底數 $π + 4 > 0$ 且不等於 $1$ ，真數 $4 - π \approx 0.86 > 0$ 。

本題選的是「無意義」的選項，(C)、(E) 有意義，所以不選。

對數有意義的三個條件：底數大於 0、底數不等於 1、真數大於 0，三個都要檢查。

03填充題：指數函數值、對數求值、指數方程式

第 5 題(1)

f (0) = 3^{0} = 1

。(2)

f (- 2) = 3^{- 2} = \frac{1}{9}

。

第 6 題

(1) $9 = 3^{2}$ ，所以 $lo g_{3} 9 = 2$ 。

(2) 設 $lo g_{\frac{1}{3}} 27 = k$ ，則 $(\frac{1}{3})^{k} = 3^{- k} = 27 = 3^{3}$ ， $k = - 3$ 。

(3) 同底的對數相加，真數相乘：原式 $= lo g (\frac{1}{10} \times 4 \times 250) = lo g 100 = 2$ 。

(4) 原式 $= lo g \frac{6400}{64} = lo g 100 = 2$ 。

第 7 題

(1) $\frac{1}{7} = 7^{- 1}$ ，所以 $7^{2 x + 1} = 7^{- 1}$ ，指數相等： $2 x + 1 = - 1$ ， $x = - 1$ 。

(2) 令 $t = 2^{x}$ （ $t > 0$ ），則 $2^{2 x} = t^{2}$ ，方程式為 $t^{2} - 7 t - 8 = 0$ ， $(t - 8) (t + 1) = 0$ 。因為 $t > 0$ ，只取 $t = 8 = 2^{3}$ ，所以 $x = 3$ 。

t = - 1

不合，因為

2^{x}

恆正。

指數方程式先化成同底；出現 2 的 2x 次方與 2 的 x 次方時，令 t 等於 2 的 x 次方，記得 t 大於 0。

04填充題：對數方程式、指數與對數不等式、底數真數的範圍

第 8 題

(1) 由對數的定義， $x + 3 = 2^{4} = 16$ ， $x = 13$ （真數 $16 > 0$ ，合）。

x = - 5

代回時

lo g_{3} (- 1)

無意義，要捨去。

第 9 題

(1) 化成以 $2$ 為底： $8^{3 x - 1} = 2^{9 x - 3}$ ， $4^{2 x + 1} = 2^{4 x + 2}$ 。底數 $2 > 1$ ， $y = 2^{x}$ 遞增，所以 $9 x - 3 > 4 x + 2$ ， $5 x > 5$ ， $x > 1$ 。

(2) 真數要正： $x > 0$ 。 $3 = lo g_{3} 27$ ，底數 $3 > 1$ ， $y = lo g_{3} x$ 遞增，所以 $lo g_{3} x < lo g_{3} 27$ 即 $x < 27$ 。合起來 $0 < x < 27$ 。

(2) 不能只寫

x < 27

，真數條件

x > 0

也要放進答案。

第 10 題底數條件：

x - 8 > 0

且

x - 8 \neq = 1

，即

x > 8

且

x \neq = 9

。真數條件：

- x^{2} + 17 x - 70 > 0

，即

x^{2} - 17 x + 70 < 0

，

(x - 7) (x - 10) < 0

，

7 < x < 10

。三個條件同時成立：

8 < x < 10

，但

x \neq = 9

。

對數方程式、不等式先寫真數條件（含底數條件），最後與解出來的範圍取交集。

05填充題：換底公式的各種化簡

第 11 題由換底公式，

\frac{1}{b} = \frac{1}{lo g _{7} 3} = lo g_{3} 7

。所以

a - \frac{1}{b} = lo g_{3} 2 - lo g_{3} 7 = lo g_{3} \frac{2}{7}

，

3^{a - \frac{1}{b}} = 3^{l o g_{3} \frac{2}{7}} = \frac{2}{7}

。

第 12 題

lo g_{4} 9 = \frac{lo g 3 ^{2}}{lo g 2 ^{2}} = \frac{2 lo g 3}{2 lo g 2} = lo g_{2} 3

，所以第一個括號

= 2 lo g_{2} 3

。

lo g_{3} 4 = 2 lo g_{3} 2

，

lo g_{9} 2 = \frac{lo g 2}{2 lo g 3} = \frac{1}{2} lo g_{3} 2

，第二個括號

= \frac{5}{2} lo g_{3} 2

。相乘：

2 lo g_{2} 3 \times \frac{5}{2} lo g_{3} 2 = 5 lo g_{2} 3 \cdot lo g_{3} 2 = 5

。

lo g_{2} 3 \cdot lo g_{3} 2 = \frac{lo g 3}{lo g 2} \cdot \frac{lo g 2}{lo g 3} = 1

。

第 13 題由換底公式，

\frac{1}{lo g _{k} 60} = lo g_{60} k

。原式

= 2 lo g_{60} 2 + lo g_{60} 3 + lo g_{60} 5 = lo g_{60} (2^{2} \times 3 \times 5) = lo g_{60} 60 = 1

。

第 14 題全部換成常用對數：原式

= \frac{lo g 3}{lo g 2} \times \frac{lo g 5}{lo g 3} \times \frac{lo g 8}{lo g 5} = \frac{lo g 8}{lo g 2} = \frac{3 lo g 2}{lo g 2} = 3

。

底數與真數各不相同時，一律換成常用對數，分子分母會相消。

06填充題：由圖形上的點求參數、數交點個數

第 15 題

(4, 1)

在圖形上：

lo g_{a} (4 - 2) = 1

，即

lo g_{a} 2 = 1

，

a = 2

。

(b, 0)

在圖形上：

lo g_{2} (b - 2) = 0

，

b - 2 = 1

，

b = 3

。

(10, c)

在圖形上：

c = lo g_{2} (10 - 2) = lo g_{2} 8 = 3

。所以

a + b + c = 2 + 3 + 3 = 8

。

第 16 題把方程式看成

y = 3^{x}

與直線

y = 2 x + 1

的交點。代入可知

x = 0

（

3^{0} = 1 = 2 \cdot 0 + 1

）與

x = 1

（

3^{1} = 3 = 2 \cdot 1 + 1

）都是解。

y = 3^{x}

的圖形凹口向上（圖形上任兩點的連線段都在圖形上方），所以一條直線與它最多只有兩個交點；在

0 < x < 1

時直線在圖形上方，在

x < 0

或

x > 1

時直線在圖形下方，不會再相交。共

2

個實數解。

例如

x = \frac{1}{2}

時

3^{\frac{1}{2}} = 3 \approx 1.73 < 2

，

x = 2

時

9 > 5

，與上面的判斷一致。

圖形通過哪一點，就把那一點的坐標代進函數；方程式的解的個數，看兩個圖形的交點。

07填充題：常用對數的應用（估計、位數、首位、小數位、複利）

第 17 題

a = 1 0^{10}

，

b = 1 0^{12}

，

a + b = 1 0^{12} + 1 0^{10} = 1.01 \times 1 0^{12}

。所以

lo g (a + b) = 12 + lo g 1.01

。因為

1 < 1.01 < 10

，

0 < lo g 1.01 < \frac{1}{2}

，

lo g (a + b)

介於

12

與

12.5

之間，最接近的整數是

12

。

lo g (a + b)

不等於

lo g a + lo g b = 22

；兩數相加時，大的那個數主導。

第 18 題

$lo g 3^{100} = 100 lo g 3 \approx 47.71$ ，所以 $3^{100} = 1 0^{47.71} = 1 0^{0.71} \times 1 0^{47}$ 。

(1) $1 0^{47} \leq 3^{100} < 1 0^{48}$ ， $3^{100}$ 是 $48$ 位數。

第 19 題

lo g (\frac{3}{4})^{100} = 100 (lo g 3 - 2 lo g 2) \approx 100 \times (0.4771 - 0.6020) = - 12.49

。寫成整數部分與

0

到

1

之間的小數部分：

- 12.49 = - 13 + 0.51

，所以

(\frac{3}{4})^{100} = 1 0^{0.51} \times 1 0^{- 13}

。

lo g 3 \approx 0.4771 < 0.51 < lo g 4 \approx 0.6020

，

3 < 1 0^{0.51} < 4

，所以

(\frac{3}{4})^{100} = 3. \dots \times 1 0^{- 13}

，小數點後第

13

位開始不為

0

。

- 12.49

的整數部分要取

- 13

（讓小數部分是正的），不是

- 12

。

第 20 題

lo g \frac{5}{2} = lo g 5 - lo g 2 = 1 - 2 lo g 2 \approx 0.398

。兩邊取常用對數（底數

10 > 1

，大小關係不變）：

n lo g \frac{5}{2} > lo g 1000 = 3

，

n > \frac{3}{0.398} \approx 7.54

，最小正整數

n = 8

。

檢查：

(\frac{5}{2})^{7} \approx 610

，

(\frac{5}{2})^{8} \approx 1526

。

第 21 題

n

年後本利和為

10 \times 1.0 2^{n}

萬元。要

10 \times 1.0 2^{n} > 15

，即

1.0 2^{n} > 1.5

。兩邊取常用對數：

n lo g 1.02 > lo g 1.5

，

n > \frac{0.1761}{0.0086} \approx 20.48

，所以至少要等

21

年。

檢查：

1.0 2^{20} \approx 1.486 < 1.5

，

1.0 2^{21} \approx 1.516 > 1.5

。

把數寫成「1 到 10 之間的數乘以 10 的整數次方」：整數次方決定位數或小數位，小數部分決定最高位數字。

08填充題：對數換元、反函數圖形的對稱、衰減模型

第 22 題令

x = lo g a

，

y = lo g b

。

lo g_{a} b = \frac{lo g b}{lo g a} = \frac{y}{x} = 2

，所以

y = 2 x

。代入第一式：

x \cdot 2 x + x + 2 x = 2

，

2 x^{2} + 3 x - 2 = 0

，

(2 x - 1) (x + 2) = 0

，

x = \frac{1}{2}

或

x = - 2

。所以

a = 1 0^{\frac{1}{2}} = 10

或

a = 1 0^{- 2} = \frac{1}{100}

。

兩個

a

都是正數且不等於

1

，可以當底數，兩解都要寫。對應的

b = a^{2}

分別是

10

與

\frac{1}{10000}

。

第 23 題

若取

t = - 1

，

A = (- 1, 5)

，由

a^{- 1} = 5

得

a = \frac{1}{5}

，對稱點

(5, - 1)

也在

g

的圖形上，這時

\overline{P B} = 52

；但底數

\frac{1}{5}

時直線與

y = a^{x}

的圖形有兩個交點，與

y = lo g_{a} x

的圖形也有兩個交點，「交於

A

，

B

兩點」說不清是哪兩點。學校答案是

32

，即底數

a = 3

（大於

1

）的情形，直線與兩圖形各只交一點。

第 24 題每加一層濾網，雜質剩下原來的

70%

；加

n

層後剩

0. 7^{n}

倍。要

0. 7^{n} \leq 0.01

，兩邊取常用對數：

n lo g 0.7 \leq - 2

。

lo g 0.7 = lo g 7 - 1 \approx - 0.1549

，是負數，兩邊同除時不等號反向：

n \geq \frac{2}{0.1549} \approx 12.9

，至少要加

13

層。

除以負數要變號。檢查：

0. 7^{12} \approx 0.0138

還超過

1%

，

0. 7^{13} \approx 0.0097

已經低於

1%

。

指數函數與對數函數的圖形對稱於直線 y＝x，與 y＝x 垂直的直線上的交點也成對對稱；取對數後除以負數，不等號要反向。

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《指數與對數函數》單元冊 09・高二上（數A）

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02多選題：兩指數圖形的關係、對數有意義的條件

03填充題：指數函數值、對數求值、指數方程式

04填充題：對數方程式、指數與對數不等式、底數真數的範圍

05填充題：換底公式的各種化簡

06填充題：由圖形上的點求參數、數交點個數

07填充題：常用對數的應用（估計、位數、首位、小數位、複利）

08填充題：對數換元、反函數圖形的對稱、衰減模型

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