段考詳解範圍：三角函數(弧度量、三角函數的圖形、和差角與倍角半角公式、正餘弦的疊合)

政大附中 114 上
高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 14 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

考前想要一份自己的模擬卷，外加每天練哪一章？免費註冊，練滿 15 題就能產生考前藍圖 PDF →

0.0

題原卷全文

0.0

則逐題詳解

0.0

個單元，勾錯題號就知道錯在哪

0.0

元，不用註冊

01 · 試題

原卷 14 題，照原卷順序

單選題 3 題（15 分）、多選題 2 題（12 分）、填充題 6 題共 10 格（60 分）、混合題 1 題組 3 小題（13 分）

第壹部分：選擇（填）題（占 87 分）　一、單選題（占 15 分）說明：第 1 題至第 3 題，每題 5 分。

下列選項中的值，何者最大？

(1) $sin \frac{2 π}{3}$
(2) $sin (- \frac{7 π}{4})$
(3) $cos \frac{π}{3}$
(4) $cos (- π)$
(5) $tan \frac{3 π}{4}$

方程式

4 π \cdot cos x = x

有幾個實數解？

(1) $5$
(2) $6$
(3) $7$
(4) $8$
(5) $9$

設

\frac{π}{2} < α < π

，

π < β < \frac{3 π}{2}

，且

sin α = \frac{7}{9}

，

sin β = - \frac{1}{3}

，試求

cos (\frac{α + β}{2})

的值。

(1) $\frac{5 3}{9}$
(2) $- \frac{5 3}{9}$
(3) $\frac{2 3}{3}$
(4) $- \frac{2 3}{3}$
(5) $\frac{5}{9}$

二、多選題（占 12 分）說明：第 4 題至第 5 題，每題 6 分。（6－4－2－0）

設

r > 0

，

0 \leq θ < 2 π

，關於

Γ

：

y = sin 2 x - cos 2 x = r sin (2 x - θ)

，請選出正確的選項。

(1) $r = 2$
(2) $θ = \frac{2 π}{3}$
(3) 值域為 ${y ∣ - 1 \leq y \leq 1$ ， $y$ 為實數 $}$
(4) 直線 $x = \frac{5 π}{12}$ 為其對稱軸
(5) 將 $y = 2 sin 2 x$ 向右平移 $\frac{π}{3}$ 後的圖形與 $Γ$ 重合

設

k

為實數，且

0 \leq x \leq 3

。關於方程式

2 sin (π x) + 1 = k

的解之敘述，請選出正確的選項。

(1) 若 $k = π$ ，則方程式有解
(2) 若 $k = - 1$ ，則方程式有解
(3) 若 $k = 0$ ，則方程式所有根的總和為 $3$
(4) 若 $k = \frac{π}{2}$ ，則方程式所有根的總和為 $6$
(5) 若 $k = 1$ ，則方程式的根由小排到大，形成公差為 $1$ 的等差數列

三、填充題（占 60 分）說明：第 6 題至第 11 題，每格 6 分。

某扇形

A O B

內接正方形

P QR S

（如圖），若

∠ A O B = 4 5^{\circ}

，

\overline{O A} = 25

，則：(1) 弧

A B

的弧長為 ____。(2) 塗色區域面積為 ____。

載入中...

若將

y = sin x

的圖形先以

y

軸為中心沿水平方向壓縮為原來的

\frac{1}{3}

倍，再向右平移

\frac{π}{4}

單位得

y = sin (a x - bπ)

的圖形，則

a + b =

____。

設

\frac{3 π}{2} < α < 2 π

且

sin α = - \frac{3}{5}

，試求：(1)

sin 2 α =

____。(2)

tan \frac{α}{2} =

____。

設

- \frac{π}{2} < x < \frac{π}{2}

，試求

y = sin x - cos x

的 (1) 最小值為 ____。(2) 此時

x =

____。

試求下列不等式的解。(1) 在

0 \leq x \leq π

範圍內，試求不等式

- \frac{1}{2} \leq cos x \leq \frac{2}{2}

的解為 ____。(2) 設

0 \leq x \leq 2 π

，試求不等式

3 sin x - cos x \geq 1

的解為 ____。

試求函數

f (x) = sin^{2} x + sin x cos x + 2 cos^{2} x

最大值為 ____。

第貳部分：混合題（占 13 分）說明：本部分共有 1 題組，每一子題配分標於題末。限在標示題號作答區內作答。選擇題與「非選擇題作圖部分」使用 2B 鉛筆作答，更正時，應以橡皮擦擦拭，切勿使用修正液（帶）。非選擇題由左而右橫式書寫，作答時必須寫出計算過程或理由，否則將酌予扣分。

12－14 題組（第 12～14 題）　如圖，已知平面上直角

△ A B C

三邊長

\overline{A B} = 30

、

\overline{A C} = 18

、

\overline{B C} = 24

。若分別以

\overline{A B}

與

\overline{A C}

為底邊在

△ A B C

的外部作頂角等於

2 θ

的等腰三角形

△ M A B

與

△ N A C

，其中

cos 2 θ = - \frac{1}{8}

。試回答下列問題。

下列何者為

sin θ

之值？（單選題，3 分）

(1) $- \frac{3}{4}$
(2) $- \frac{7}{4}$
(3) $0$
(4) $\frac{7}{4}$
(5) $\frac{3}{4}$

載入中...

試求線段長

\overline{A M} =

____。（填充題，4 分）

試求

△ A M N

的面積？（非選擇題，6 分）

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(1)

第 2 題(5)

第 3 題(2)

第 4 題(1)(4)

第 5 題(2)(3)(4)(5)

第 6 題(1)

\frac{5 π}{2}

　(2)

\frac{5 π}{2} - 6

第 7 題

\frac{15}{4}

第 8 題(1)

- \frac{24}{25}

　(2)

- \frac{1}{3}

第 9 題(1)

- 2

　(2)

- \frac{π}{4}

第 10 題(1)

\frac{π}{4} \leq x \leq \frac{2 π}{3}

　(2)

\frac{π}{3} \leq x \leq π

第 11 題

\frac{3 + 2}{2}

第 12 題(5)

第 13 題

20

第 14 題

12 + 277

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

考前先拿一份自己的考前藍圖

註冊之後，在首頁填上你們下一次段考的日期和範圍，練滿 15 題，系統就會照你做過的題、錯過的題，出一份考前藍圖 PDF：一份模擬卷、詳解，還有考前每天練哪一章。

註冊就能免費體驗，不需綁定信用卡。

免費註冊

04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選題（第 1～3 題）：函數值比大小、圖形交點個數、和角與半角

第 1 題答案 (1)。逐一算出：(1)

sin \frac{2 π}{3} = \frac{3}{2}

；(2)

sin (- \frac{7 π}{4}) = sin (- \frac{7 π}{4} + 2 π) = sin \frac{π}{4} = \frac{2}{2}

；(3)

cos \frac{π}{3} = \frac{1}{2}

；(4)

cos (- π) = - 1

；(5)

tan \frac{3 π}{4} = - 1

。其中

\frac{3}{2}

最大。

第 2 題答案 (5)。方程式即

cos x = \frac{x}{4 π}

，解的個數是

y = cos x

與直線

y = \frac{x}{4 π}

的交點個數。

- 1 \leq cos x \leq 1

，所以交點只會出現在

- 4 π \leq x \leq 4 π

。把這段切成

8

個長度

π

的區間，每個區間上

cos x

從

1

到

- 1

或從

- 1

到

1

單調變化。在

- 4 π \leq x < 0

的四個區間裡，直線的高度在

- 1

與

0

之間，每個區間恰穿過一次，共

4

個交點；在

0 \leq x \leq 3 π

的三個區間裡，直線高度在

0

與

\frac{3}{4}

之間，每個區間也恰一次，共

3

個。最後

3 π \leq x \leq 4 π

：

x = 4 π

時兩者都是

1

，是一個交點；而

x = 3 π

時

cos x = - 1

在直線下方，

x

比

4 π

小一點點時

cos x

的圖形在最高點附近很平、位於斜直線的上方（例如

x = 4 π - 0.1

時

cos x \approx 0.995

，直線高度約

0.992

），所以中間還有一個交點，這一段共

2

個。合計

4 + 3 + 2 = 9

個。

最右邊那一段有兩個交點：一個在

x = 4 π

這個最高點上，另一個在它左邊不遠處。只數「每半個週期一個」會少算成

8

個。

第 3 題答案 (2)。

α

在第二象限，

cos α = - 1 - \frac{49}{81} = - \frac{4 2}{9}

；

β

在第三象限，

cos β = - 1 - \frac{1}{9} = - \frac{2 2}{3}

。

cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β = \frac{16}{27} + \frac{7}{27} = \frac{23}{27}

。由半角公式，

cos^{2} \frac{α + β}{2} = \frac{1 + \frac{23}{27}}{2} = \frac{25}{27}

。又

\frac{3 π}{2} < α + β < \frac{5 π}{2}

，所以

\frac{3 π}{4} < \frac{α + β}{2} < \frac{5 π}{4}

，餘弦為負，

cos \frac{α + β}{2} = - \frac{5}{3 3} = - \frac{5 3}{9}

。

正負號由

\frac{α + β}{2}

的範圍決定：它落在第二、三象限（含

π

），餘弦一定是負的。

02多選題（第 4、5 題）：疊合後讀圖形性質、正弦方程式的根

第 4 題答案 (1)(4)。題幹照原卷印作

sin 2 x - cos 2 x

，但照這個式子五個選項都不成立（見下方說明）；依參考答案，以下以

y = sin 2 x - 3 cos 2 x

說明。

sin 2 x - 3 cos 2 x = 2 (\frac{1}{2} sin 2 x - \frac{3}{2} cos 2 x) = 2 (sin 2 x cos \frac{π}{3} - cos 2 x sin \frac{π}{3}) = 2 sin (2 x - \frac{π}{3})

。(1) 對：

r = 2

。(2) 錯：

θ = \frac{π}{3}

。(3) 錯：值域是

- 2 \leq y \leq 2

。(4) 對：

x = \frac{5 π}{12}

時

2 x - \frac{π}{3} = \frac{π}{2}

，

y = 2

是最大值，通過最高點的鉛直線是對稱軸。(5) 錯：

y = 2 sin 2 x

向右平移

\frac{π}{3}

得

y = 2 sin (2 (x - \frac{π}{3})) = 2 sin (2 x - \frac{2 π}{3})

，與

Γ

不同；要向右平移

\frac{π}{6}

才會重合。

題幹照原卷印作

y = sin 2 x - cos 2 x

，照這個式子疊合得

2 sin (2 x - \frac{π}{4})

，五個選項都不成立；依參考答案 (1)(4) 應為

y = sin 2 x - 3 cos 2 x

，詳解照此說明。

第 5 題答案 (2)(3)(4)(5)。方程式即

sin (π x) = \frac{k - 1}{2}

，

0 \leq x \leq 3

時

0 \leq π x \leq 3 π

。(1) 錯：

\frac{π - 1}{2} \approx 1.07 > 1

，無解。(2) 對：

sin (π x) = - 1

，

π x = \frac{3 π}{2}

，

x = \frac{3}{2}

。(3) 對：

sin (π x) = - \frac{1}{2}

，在

0 \leq π x \leq 3 π

內只有

π x = \frac{7 π}{6}

、

\frac{11 π}{6}

，

x = \frac{7}{6}

、

\frac{11}{6}

，總和為

3

。(4) 對：

sin (π x) = \frac{π - 2}{4} \approx 0.285

，介於

0

與

1

之間；正弦為正的區間是

0 < π x < π

與

2 π < π x < 3 π

，也就是

0 < x < 1

與

2 < x < 3

，各有兩個根，分別對稱於

x = \frac{1}{2}

與

x = \frac{5}{2}

，總和為

2 \times \frac{1}{2} + 2 \times \frac{5}{2} = 6

。(5) 對：

sin (π x) = 0

，

x = 0

、

1

、

2

、

3

，是公差

1

的等差數列。

(4) 不必求出每個根：

y = sin (π x)

的圖形在每個「山峰」左右對稱，同一個山峰上等高的兩點，

x

坐標的和是對稱軸位置的兩倍。

03填充題（第 6～8 題）：扇形內接正方形、圖形的伸縮平移、倍角與半角

第 6 題(1)

4 5^{\circ} = \frac{π}{4}

，弧長

= 25 \times \frac{π}{4} = \frac{5 π}{2}

。(2) 設正方形邊長為

s

。

∠ P O S = 4 5^{\circ}

且

\overline{P S} ⊥ \overline{O A}

，所以

\overline{O S} = \overline{P S} = s

，

\overline{O R} = 2 s

。

Q

在弧上，

\overline{O Q} = 25

；在直角三角形

O R Q

中

(2 s)^{2} + s^{2} = 20

，

s = 2

。塗色區域

=

扇形

- △ O S P -

正方形

= \frac{1}{2} \times (25)^{2} \times \frac{π}{4} - \frac{1}{2} \times 2 \times 2 - 2^{2} = \frac{5 π}{2} - 6

。

流傳版本的參考答案在 (1) 把

π

印在根號裡面，應是

\frac{5}{2} π

：只有

5

在根號內。

第 7 題水平方向壓縮為

\frac{1}{3}

倍，是把

x

換成

3 x

，得

y = sin 3 x

。再向右平移

\frac{π}{4}

，是把

x

換成

x - \frac{π}{4}

，得

y = sin (3 (x - \frac{π}{4})) = sin (3 x - \frac{3}{4} π)

。所以

a = 3

、

b = \frac{3}{4}

，

a + b = \frac{15}{4}

。

平移是對

x

本身做的，要寫成

3 (x - \frac{π}{4})

再展開，

b

是

\frac{3}{4}

而不是

\frac{1}{4}

。

第 8 題

α

在第四象限，

cos α = 1 - \frac{9}{25} = \frac{4}{5}

。(1)

sin 2 α = 2 sin α cos α = 2 \times (- \frac{3}{5}) \times \frac{4}{5} = - \frac{24}{25}

。(2)

\frac{3 π}{4} < \frac{α}{2} < π

，在第二象限，正弦為正、餘弦為負。由半角公式

sin \frac{α}{2} = \frac{1 - \frac{4}{5}}{2} = \frac{1}{10}

，

cos \frac{α}{2} = - \frac{1 + \frac{4}{5}}{2} = - \frac{3}{10}

，所以

tan \frac{α}{2} = \frac{1/ 10}{- 3/ 10} = - \frac{1}{3}

。

(2) 也可以用

tan \frac{α}{2} = \frac{sin α}{1 + cos α} = \frac{- \frac{3}{5}}{\frac{9}{5}} = - \frac{1}{3}

，不必另外判斷正負號。

04填充題（第 9～11 題）：疊合求極值、解不等式、降次後疊合

第 9 題

sin x - cos x = 2 (sin x cos \frac{π}{4} - cos x sin \frac{π}{4}) = 2 sin (x - \frac{π}{4})

。

- \frac{π}{2} < x < \frac{π}{2}

時

- \frac{3 π}{4} < x - \frac{π}{4} < \frac{π}{4}

，這個範圍包含

- \frac{π}{2}

，所以

sin (x - \frac{π}{4})

的最小值是

- 1

。(1) 最小值為

- 2

。(2) 此時

x - \frac{π}{4} = - \frac{π}{2}

，

x = - \frac{π}{4}

。

第 10 題(1) 在

0 \leq x \leq π

內

cos x

由

1

遞減到

- 1

。

cos x = \frac{2}{2}

時

x = \frac{π}{4}

，

cos x = - \frac{1}{2}

時

x = \frac{2 π}{3}

，所以解為

\frac{π}{4} \leq x \leq \frac{2 π}{3}

。(2)

3 sin x - cos x = 2 (sin x cos \frac{π}{6} - cos x sin \frac{π}{6}) = 2 sin (x - \frac{π}{6})

，不等式成為

sin (x - \frac{π}{6}) \geq \frac{1}{2}

。令

t = x - \frac{π}{6}

，

- \frac{π}{6} \leq t \leq \frac{11 π}{6}

；在這個範圍內

sin t \geq \frac{1}{2}

的解是

\frac{π}{6} \leq t \leq \frac{5 π}{6}

，換回

x

得

\frac{π}{3} \leq x \leq π

。

(2) 換成

t

之後，範圍也要一起換：

t

的範圍長度仍是

2 π

，其中只有一段滿足

sin t \geq \frac{1}{2}

。

第 11 題用

sin^{2} x = \frac{1 - cos 2 x}{2}

、

cos^{2} x = \frac{1 + cos 2 x}{2}

、

sin x cos x = \frac{1}{2} sin 2 x

：

f (x) = \frac{1 - cos 2 x}{2} + \frac{1}{2} sin 2 x + (1 + cos 2 x) = \frac{3}{2} + \frac{1}{2} sin 2 x + \frac{1}{2} cos 2 x

。疊合：

\frac{1}{2} sin 2 x + \frac{1}{2} cos 2 x = \frac{2}{2} sin (2 x + \frac{π}{4})

，所以

f (x) = \frac{3}{2} + \frac{2}{2} sin (2 x + \frac{π}{4})

，最大值為

\frac{3}{2} + \frac{2}{2} = \frac{3 + 2}{2}

（例如

x = \frac{π}{8}

時）。

流傳版本的參考答案寫

\frac{2}{2}

，但照題幹的式子，

\frac{2}{2}

只是疊合後的振幅，還要加上常數項

\frac{3}{2}

；而且

f (0) = 2

已經比

\frac{2}{2}

大。本站重算為

\frac{3 + 2}{2}

。

05混合題（第 12～14 題）：倍角公式、等腰三角形、差角公式求面積

第 12 題答案 (5)。

2 θ

是三角形的內角，

0 < 2 θ < π

，所以

0 < θ < \frac{π}{2}

，

sin θ > 0

。由

cos 2 θ = 1 - 2 sin^{2} θ = - \frac{1}{8}

得

sin^{2} θ = \frac{9}{16}

，

sin θ = \frac{3}{4}

。

第 13 題等腰三角形

M A B

中，從頂點

M

向底邊

\overline{A B}

作高，高平分頂角與底邊：半頂角為

θ

，半底邊為

15

。在這個直角三角形中

sin θ = \frac{15}{A M}

，所以

\overline{A M} = 15 \div \frac{3}{4} = 20

。

第 14 題同第 13 題的做法，

\overline{A N} = 9 \div \frac{3}{4} = 12

。兩個等腰三角形的底角都是

\frac{π - 2 θ}{2} = \frac{π}{2} - θ

，所以

∠ M A N = ∠ M A B + ∠ B A C + ∠ C A N = (\frac{π}{2} - θ) + A + (\frac{π}{2} - θ) = π - (2 θ - A)

，其中

A = ∠ B A C

，於是

sin ∠ M A N = sin (2 θ - A)

。

△ A B C

的直角在

C

（

1 8^{2} + 2 4^{2} = 3 0^{2}

），

sin A = \frac{24}{30} = \frac{4}{5}

、

cos A = \frac{18}{30} = \frac{3}{5}

；又

0 < 2 θ < π

，

sin 2 θ = 1 - \frac{1}{64} = \frac{3 7}{8}

。

sin (2 θ - A) = sin 2 θ cos A - cos 2 θ sin A = \frac{3 7}{8} \times \frac{3}{5} + \frac{1}{8} \times \frac{4}{5} = \frac{9 7 + 4}{40}

。面積

= \frac{1}{2} \times \overline{A M} \times \overline{A N} \times sin ∠ M A N = \frac{1}{2} \times 20 \times 12 \times \frac{9 7 + 4}{40} = 12 + 277

。

2 θ

約

9 7^{\circ}

、

A

約

5 3^{\circ}

，

∠ M A N

約

13 6^{\circ}

，小於平角，

M

、

A

、

N

確實圍成三角形，與圖相符。

看到

a sin x + b cos x

先疊合成單一正弦，極值、不等式、對稱軸都從那個式子讀；有平方項或

sin x cos x

時先用倍角公式降次再疊合，常數項不要漏掉。

同一次段考的其他學校

同樣是高二第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

你們學校的段考卷也想要詳解？

考完把題目頁拍照或掃描上傳，我們收到後會盡快做好放上來：題目重新打字，附答案和逐題詳解，一樣免費下載 PDF。

上傳前可以先把姓名、座號遮掉。我們只用題目，不會放你的照片或筆跡。上傳要登入 Google 帳號。

上傳考卷

常見問題

政大附中 114 上高二第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 14 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

政大附中 114 上高二第一次段考數學哪幾題最容易錯？

第 2 題數交點時，最右邊那半個週期有兩個交點，其中一個剛好在最高點上；第 4 題平移量要對 x 本身看，向右平移的量是六分之 π 而不是三分之 π；第 11 題降次疊合後要把常數項加回去；第 14 題要先把夾角拆成三個角的和，再用差角公式求正弦。詳解逐題寫在本頁。

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

題目取自政大附中 114 學年度上學期高二第一次段考數學A，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

政大附中 114 上高二第一次段考數學試題、答案與詳解

原卷 14 題，照原卷順序

答案一覽，先對再看詳解

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

對完答案了？勾你錯的題號

考前先拿一份自己的考前藍圖

每一題，錯在哪一步

01單選題（第 1～3 題）：函數值比大小、圖形交點個數、和角與半角

02多選題（第 4、5 題）：疊合後讀圖形性質、正弦方程式的根

03填充題（第 6～8 題）：扇形內接正方形、圖形的伸縮平移、倍角與半角

04填充題（第 9～11 題）：疊合求極值、解不等式、降次後疊合

05混合題（第 12～14 題）：倍角公式、等腰三角形、差角公式求面積

同一次段考的其他學校

你們學校的段考卷也想要詳解？

常見問題

政大附中 114 上 高二第一次段考數學的答案在哪裡？

政大附中 114 上 高二第一次段考數學哪幾題最容易錯？

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

這份段考卷可以下載列印嗎？

政大附中 114 上
高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

政大附中 114 上高二第一次段考數學的答案在哪裡？

政大附中 114 上高二第一次段考數學哪幾題最容易錯？