段考詳解範圍：三角函數（弧度量、三角函數的圖形、和差角與倍角公式、正餘弦的疊合）

台中女中 114 上
高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

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01 · 試題

原卷 18 題，照原卷順序

多選題 3 題（24 分）、填充題 13 題（65 分）、混合題 1 題組 2 小題（11 分）

第壹部分：選擇（填）題（占 89 分）　一、多選題（占 24 分）說明：第 1 題至第 3 題，每題 8 分。（8－6－4－2－0）

請問下列何者週期為

π

？

(1) $y = ∣ sin (2 x + 4) - 8∣$
(2) $y = \frac{cos x}{sin 29 0 ^{\circ}} + \frac{sin x}{cos 29 0 ^{\circ}}$
(3) $y = sin^{2} x - sin x cos x + 4 cos^{2} x$
(4) $y = 2∣ sin x ∣ + ∣ cos x ∣$
(5) $y = (cos x - sin x) (cos x + 2 sin x)$

請問下列何者正確？

(1) $1 + sin 34 0^{\circ} - 1 - sin 34 0^{\circ} = - 2 sin 1 0^{\circ}$
(2) $tan (\frac{π}{3}) = tan (\frac{π}{3} - 180)$
(3) $cos x = \frac{x}{7}$ 共有 $5$ 個實根
(4) $y = cos x + ∣ cos x ∣$ 的圖形對稱於 $y$ 軸
(5) $y = tan x + ∣ tan x ∣$ 的圖形對稱於 $y$ 軸

已知函數

f (x) = 4 sin x \cdot sin (\frac{π}{3} - x)

，請問下列何者正確？

(1) $f (x)$ 的最大值是 $3$
(2) $f (x)$ 是週期函數，週期為 $π$
(3) 將函數圖形 $y = sin 2 x$ 先將縱坐標鉛直伸縮為原來的 $2$ 倍，再左移 $\frac{π}{12}$ 單位，再下移 $1$ 單位可與 $y = f (x) = 4 sin x \cdot sin (\frac{π}{3} - x)$ 函數圖形重合
(4) 將函數圖形 $y = sin 2 x$ 先右移 $\frac{11 π}{12}$ 單位，再將縱坐標鉛直伸縮為原來的 $2$ 倍，再下移 $1$ 單位可與 $y = f (x) = 4 sin x \cdot sin (\frac{π}{3} - x)$ 函數圖形重合
(5) 當 $\frac{4 π}{3} \leq x \leq \frac{3 π}{2}$ ， $y = f (x) = 4 sin x \cdot sin (\frac{π}{3} - x)$ 為嚴格遞減函數

二、填充題（占 65 分）說明：第 4 題至第 16 題。答對格數 1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13 格，分數依序為 6、12、18、24、30、36、41、45、49、53、57、61、65 分。

設

a = sin 5

、

b = sin 6

、

c = cos 7

、

d = cos 8

、

e = sin 8

、

f = cos π^{\circ}

、

g = cos π

，將

a

、

b

、

c

、

d

、

e

、

f

、

g

由大排到小為 ____。

求坐標平面上兩直線

y = 3 x

與

y = - 2 x + 1

的銳夾角為 ____。

sin 11 5^{\circ} cos 32 5^{\circ} + sin 21 5^{\circ} cos (- 6 5^{\circ}) =

____。

在

0 \leq x \leq 2 π

的範圍內，不等式

2 sin^{2} x + 3 cos x - 3 < 0

之解的範圍為 ____。

如圖，已知

a > 0

，

b > 0

，函數

y = a sin b x

的圖形通過最高點

P (4, 2)

及最低點

Q (12, - 2)

，且與直線

y = - 3

交於

A

、

B

、

C

三點，則

\overline{A B}

線段長為

c

，則數對

(a, b, c) =

____。

載入中...

△ A B C

中，

cos (∠ A) = - \frac{1}{2 15}

，

sin (∠ B - ∠ C) = \frac{59}{9 15}

，則

cos (2∠ B) =

____。

x \in R

，則函數

f (x) = 3 + 2 (sin x + cos x) - sin 2 x

的最大值為 ____。

已知

0 \leq x \leq 2 π

，則

sin 2 x + cos 2 x = \frac{1}{3} + sin x

有 ____ 個實數解。

已知

0 \leq x \leq π

，且

6 sin x + 8 cos x = 5

，則

sin x =

____。

已知

sin θ

，

cos θ

為

5 x^{2} - x + t = 0

之兩根，且

9 0^{\circ} < θ < 18 0^{\circ}

，則

cos 2 θ =

____。

(1 + tan 1^{\circ}) (tan 2^{\circ} + tan 4 3^{\circ} + tan 2^{\circ} \cdot tan 4 3^{\circ}) (1 + tan 4 4^{\circ}) (tan 7 3^{\circ} - tan 1 3^{\circ} - 3 tan 7 3^{\circ} \cdot tan 1 3^{\circ}) =

____。

\frac{1}{sin \frac{5 π}{18}} - \frac{3}{cos \frac{23 π}{18}} =

____。

如圖，邊長為

2

的正方形，分別以四個頂點為圓心，半徑為

2

畫弧，則塗色部分的面積為 ____。

載入中...

第貳部分：混合題（占 11 分）說明：本部分共有 1 題組，每一子題配分標於題末。限在標示題號作答區內作答。選擇題與「非選擇題作圖部分」使用 2B 鉛筆作答，更正時，應以橡皮擦擦拭，切勿使用修正液（帶）。非選擇題由左而右橫式書寫，作答時必須寫出計算過程或理由，否則將酌予扣分。

17－18 題組（第 17～18 題）　如圖，已知扇形

O A B

的半徑

\overline{O A} = 2

且

∠ A O B = \frac{π}{3}

，而

P

為弧

A B

上的動點，使得

∠ O H P = ∠ O N P = \frac{π}{2}

，設

∠ P O N = θ

。

試選出正確的選項。（多選題，5 分，5－3－1－0）

(1) $\overline{O H} = 2 sin (\frac{π}{3} - θ)$
(2) $\overline{O N} = 2 cos θ$
(3) 四邊形 $O H P N$ 的周長為 $2 \times [sin θ + cos θ + sin (\frac{π}{3} - θ) + cos (\frac{π}{3} - θ)]$
(4) 四邊形 $O H P N$ 的周長有最大值時，此時 $θ = \frac{π}{6}$
(5) 四邊形 $O H P N$ 的周長有最大值為 $2 + 23$

載入中...

設

0 \leq θ \leq \frac{π}{12}

，當

θ = α

時，四角形

O H P N

的面積有最大值為何？，此時

tan α =

？（非選擇題，6 分）

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(1)(3)(4)(5)

第 2 題(1)(3)(4)

第 3 題(2)(3)(4)(5)

第 4 題

f > e > c > d > b > a > g

第 5 題

\frac{π}{4}

（即

4 5^{\circ}

）

第 6 題

\frac{1}{2}

第 7 題

\frac{π}{3} < x < \frac{5 π}{3}

第 8 題

(2, \frac{π}{8}, \frac{40}{3})

第 9 題

- \frac{5}{54}

第 10 題

5

第 11 題

4

第 12 題

\frac{3 + 4 3}{10}

第 13 題

- \frac{7}{25}

第 14 題

23

第 15 題

4

第 16 題

\frac{4 π}{3} + 83 - 16

第 17 題(2)(3)(4)(5)

第 18 題最大值

\frac{3}{2}

；

tan α = 2 - 3

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01多選 1～3：週期、圖形性質與化成同一個正弦

第 1 題答案 (1)(3)(4)(5)。(1) 對：

sin (2 x + 4) - 8 < 0

，所以

y = 8 - sin (2 x + 4)

，週期

\frac{2 π}{2} = π

。(2) 錯：

sin 29 0^{\circ}

、

cos 29 0^{\circ}

都是常數，通分得

y = \frac{cos x cos 29 0 ^{\circ} + sin x sin 29 0 ^{\circ}}{sin 29 0 ^{\circ} cos 29 0 ^{\circ}} = \frac{cos ( x - 29 0 ^{\circ} )}{sin 29 0 ^{\circ} cos 29 0 ^{\circ}}

，週期

2 π

。(3) 對：用

sin^{2} x = \frac{1 - cos 2 x}{2}

、

cos^{2} x = \frac{1 + cos 2 x}{2}

、

sin x cos x = \frac{1}{2} sin 2 x

，得

y = \frac{5}{2} + \frac{3}{2} cos 2 x - \frac{1}{2} sin 2 x

，週期

π

。(4) 對：

∣ sin (x + π) ∣ = ∣ sin x ∣

、

∣ cos (x + π) ∣ = ∣ cos x ∣

，所以

π

是週期；而

x = 0

時

y = 1

、

x = \frac{π}{2}

時

y = 2

，

\frac{π}{2}

不是週期，週期為

π

。(5) 對：展開得

cos^{2} x + sin x cos x - 2 sin^{2} x = - \frac{1}{2} + \frac{3}{2} cos 2 x + \frac{1}{2} sin 2 x

，週期

π

。

(3)(5) 的

cos 2 x

與

sin 2 x

可以再疊合成一個

sin (2 x + φ)

，週期一樣是

π

。(1) 的絕對值沒有把圖形翻上來（裡面恆負），所以週期沒有減半。

第 2 題答案 (1)(3)(4)。(1) 對：

sin 34 0^{\circ} = - sin 2 0^{\circ}

，而

1 \pm sin 2 0^{\circ} = sin^{2} 1 0^{\circ} + cos^{2} 1 0^{\circ} \pm 2 sin 1 0^{\circ} cos 1 0^{\circ} = (cos 1 0^{\circ} \pm sin 1 0^{\circ})^{2}

；

cos 1 0^{\circ} > sin 1 0^{\circ} > 0

，所以原式

= (cos 1 0^{\circ} - sin 1 0^{\circ}) - (cos 1 0^{\circ} + sin 1 0^{\circ}) = - 2 sin 1 0^{\circ}

。(2) 錯：

180

沒有度的符號，是

180

弧度；

tan

的週期是

π

，兩個角的差要是

π

的整數倍才相等，而

\frac{180}{π} \approx 57.3

不是整數。(3) 對：

- 1 \leq \frac{x}{7} \leq 1

，只需看

- 7 \leq x \leq 7

（

7 \approx 2.23 π

）。

x > 0

時：

0 < x < \frac{π}{2}

有

1

個交點；

\frac{3 π}{2} < x < 2 π

有

1

個（

x = 2 π

時

cos x = 1 > \frac{2 π}{7}

）；

2 π < x < 7

有

1

個（

x = 7

時

cos 7 < 1 = \frac{7}{7}

）。

x < 0

時直線在

x

軸下方，

cos x < 0

的範圍只有

- \frac{3 π}{2} < x < - \frac{π}{2}

：兩端

cos x = 0

在直線上方，中間

x = - π

時

cos x = - 1 < - \frac{π}{7}

在直線下方，有

2

個交點。共

5

個。(4) 對：

cos (- x) = cos x

，所以

f (- x) = f (x)

。(5) 錯：

x = \frac{π}{4}

時

y = 2

，

x = - \frac{π}{4}

時

y = - 1 + 1 = 0

，不對稱於

y

軸。

(2) 若寫成

18 0^{\circ}

就會相等；題目故意不寫度的符號。

第 3 題答案 (2)(3)(4)(5)。先化簡：

f (x) = 4 sin x (\frac{3}{2} cos x - \frac{1}{2} sin x) = 23 sin x cos x - 2 sin^{2} x = 3 sin 2 x + cos 2 x - 1 = 2 sin (2 x + \frac{π}{6}) - 1

。(1) 錯：最大值

2 - 1 = 1

。(2) 對：週期

\frac{2 π}{2} = π

。(3) 對：

y = sin 2 x

鉛直伸縮

2

倍得

y = 2 sin 2 x

，左移

\frac{π}{12}

得

y = 2 sin 2 (x + \frac{π}{12}) = 2 sin (2 x + \frac{π}{6})

，再下移

1

。(4) 對：右移

\frac{11 π}{12}

得

sin 2 (x - \frac{11 π}{12}) = sin (2 x - \frac{11 π}{6}) = sin (2 x + \frac{π}{6})

（兩角差

2 π

），再伸縮

2

倍、下移

1

。(5) 對：

\frac{4 π}{3} \leq x \leq \frac{3 π}{2}

時

\frac{17 π}{6} \leq 2 x + \frac{π}{6} \leq \frac{19 π}{6}

，減去

2 π

是

\frac{5 π}{6}

到

\frac{7 π}{6}

，落在

\frac{π}{2}

到

\frac{3 π}{2}

之間，正弦嚴格遞減。

左右平移是對

x

本身加減：左移

\frac{π}{12}

是把

x

換成

x + \frac{π}{12}

，角度變化量要再乘

2

。

看到一堆正弦、餘弦的乘積或平方，先降次、疊合成一個正弦函數，週期、極值、平移、增減都從那一個式子讀。

02填充 4～7：弧度比大小、夾角、差角公式與三角不等式

第 4 題用

2 π \approx 6.283

、

\frac{π}{2} \approx 1.571

把每個角化到容易比的位置。

f = cos π^{\circ}

，

π^{\circ} \approx 3.1 4^{\circ} \approx 0.055

（弧度）。

e = sin 8 = sin (8 - 2 π)

，

8 - 2 π \approx 1.717 = \frac{π}{2} + 0.146

，所以

e = cos 0.146

。

c = cos 7 = cos (7 - 2 π) = cos 0.717

。

d = cos 8 = cos (\frac{π}{2} + 0.146) = - sin 0.146

。

b = sin 6 = - sin (2 π - 6) = - sin 0.283

。

a = sin 5 = - sin (2 π - 5) = - sin 1.283

。

g = cos π = - 1

。在

0

到

\frac{π}{2}

之間餘弦遞減：

cos 0.055 > cos 0.146 > cos 0.717 > 0

，即

f > e > c > 0

；正弦遞增：

sin 0.146 < sin 0.283 < sin 1.283 < 1

，即

0 > d > b > a > g

。所以

f > e > c > d > b > a > g

。

流傳版本的參考答案寫

f > c > e > d > b > a > g

，但依題幹

e = sin 8 \approx 0.989

、

c = cos 7 \approx 0.754

，

e > c

，順序應為

f > e > c > d > b > a > g

。另外

f

的角是

π

度（約

3.1 4^{\circ}

），不是

π

弧度。

第 5 題設兩直線的斜角為

α

、

β

，

tan α = 3

、

tan β = - 2

，其中

0 < α < \frac{π}{2} < β < π

。由正切的差角公式

tan (β - α) = \frac{- 2 - 3}{1 + ( - 2 ) \cdot 3} = \frac{- 5}{- 5} = 1

，且

0 < β - α < π

，所以

β - α = \frac{π}{4}

。兩直線的夾角為

\frac{π}{4}

與

\frac{3 π}{4}

，銳夾角是

\frac{π}{4}

。

第 6 題

sin 11 5^{\circ} = sin 6 5^{\circ}

，

cos 32 5^{\circ} = cos 3 5^{\circ}

，

sin 21 5^{\circ} = - sin 3 5^{\circ}

，

cos (- 6 5^{\circ}) = cos 6 5^{\circ}

。原式

= sin 6 5^{\circ} cos 3 5^{\circ} - cos 6 5^{\circ} sin 3 5^{\circ} = sin (6 5^{\circ} - 3 5^{\circ}) = sin 3 0^{\circ} = \frac{1}{2}

。

第 7 題把

sin^{2} x

換成

1 - cos^{2} x

：

2 - 2 cos^{2} x + 3 cos x - 3 < 0

，即

2 cos^{2} x - 3 cos x + 1 > 0

，

(2 cos x - 1) (cos x - 1) > 0

，得

cos x < \frac{1}{2}

或

cos x > 1

（不可能）。在

0 \leq x \leq 2 π

內

cos x < \frac{1}{2}

的範圍是

\frac{π}{3} < x < \frac{5 π}{3}

。

cos x = 1

（

x = 0

、

2 π

）時左邊等於

0

，不滿足「

< 0

」，兩個端點本來就不在解裡。

03填充 8～11：圖形判讀、和角公式、代換與數交點

第 8 題最高點的

y

坐標是

2

，所以

a = 2

。相鄰的最高點、最低點

x

坐標差

12 - 4 = 8

是半個週期，週期

16 = \frac{2 π}{b}

，

b = \frac{π}{8}

。解

2 sin \frac{π x}{8} = - 3

：

sin \frac{π x}{8} = - \frac{3}{2}

，

\frac{π x}{8} = - \frac{π}{3}

或

\frac{4 π}{3}

（再加

2 π

的整數倍），即

x = - \frac{8}{3} + 16 k

或

x = \frac{32}{3} + 16 k

。由圖，

A

在

y

軸左邊最靠近原點，

A

的

x

坐標為

- \frac{8}{3}

；

B

、

C

在

Q

的兩側，

x

坐標為

\frac{32}{3}

、

\frac{40}{3}

。所以

c = \overline{A B} = \frac{32}{3} + \frac{8}{3} = \frac{40}{3}

。

B

、

C

對稱於

x = 12

：

12 \mp \frac{4}{3}

，可以用來檢查。

第 9 題

∠ B + ∠ C = π - ∠ A

，所以

cos (B + C) = - cos A = \frac{1}{2 15}

，

sin (B + C) = sin A = 1 - \frac{1}{60} = \frac{59}{2 15}

。

cos A < 0

，

∠ A

是鈍角，

∠ B

、

∠ C

都是銳角，

- \frac{π}{2} < B - C < \frac{π}{2}

，所以

cos (B - C) > 0

：

cos (B - C) = 1 - \frac{59}{1215} = \frac{1156}{1215} = \frac{34}{9 15}

。

2 B = (B + C) + (B - C)

，由和角公式

cos 2 B = \frac{1}{2 15} \cdot \frac{34}{9 15} - \frac{59}{2 15} \cdot \frac{59}{9 15} = \frac{34 - 59}{270} = - \frac{5}{54}

。

關鍵是把

2 B

拆成

(B + C) + (B - C)

，而

B + C

的正弦、餘弦由

∠ A

決定。

第 10 題令

t = sin x + cos x = 2 sin (x + \frac{π}{4})

，

- 2 \leq t \leq 2

。平方得

t^{2} = 1 + sin 2 x

，

sin 2 x = t^{2} - 1

。

f = 3 + 2 t - (t^{2} - 1) = - t^{2} + 2 t + 4 = - (t - 1)^{2} + 5

。

t = 1

在範圍內（例如

x = 0

），所以最大值是

5

。

第 11 題左邊疊合成

2 sin (2 x + \frac{π}{4})

（週期

π

、振幅

2

），右邊是

y = sin x

上移

\frac{1}{3}

。在

0 \leq x \leq 2 π

畫出兩個圖形數交點（見附圖）。用幾個點確認上下關係，令

h (x) =

左邊

-

右邊：

h (0) = \frac{2}{3} > 0

；

h (\frac{π}{4}) = 1 - \frac{1}{3} - \frac{2}{2} \approx - 0.04 < 0

；

h (π) = \frac{2}{3} > 0

；

h (\frac{3 π}{2}) = - 1 - \frac{1}{3} + 1 = - \frac{1}{3} < 0

；

h (2 π) = \frac{2}{3} > 0

。正負號換了

4

次，四段各有一個交點，共

4

個實數解。

載入中...

x = \frac{π}{4}

附近兩個圖形很接近（左邊

1

、右邊約

1.04

），第一個交點在

\frac{π}{4}

之前；畫圖時這裡要算值確認，不能只憑感覺。

04填充 12～16：聯立平方關係、倍角、正切公式變形、疊合與扇形面積

第 12 題

cos x = \frac{5 - 6 sin x}{8}

，代入

sin^{2} x + cos^{2} x = 1

：令

s = sin x

，

64 s^{2} + (5 - 6 s)^{2} = 64

，即

100 s^{2} - 60 s - 39 = 0

，

s = \frac{60 \pm 3600 + 15600}{200} = \frac{60 \pm 80 3}{200} = \frac{3 \pm 4 3}{10}

。

0 \leq x \leq π

時

sin x \geq 0

，而

\frac{3 - 4 3}{10} < 0

不合，所以

sin x = \frac{3 + 4 3}{10}

。

也可以疊合：

6 sin x + 8 cos x = 10 sin (x + φ)

，其中

cos φ = \frac{3}{5}

、

sin φ = \frac{4}{5}

；

sin (x + φ) = \frac{1}{2}

且

x + φ

在

φ

到

π + φ

之間，得

x + φ = \frac{5 π}{6}

，再用差角公式算

sin (\frac{5 π}{6} - φ)

，答案相同。

第 13 題由根與係數：

sin θ + cos θ = \frac{1}{5}

。平方：

1 + 2 sin θ cos θ = \frac{1}{25}

，

2 sin θ cos θ = - \frac{24}{25}

。

(sin θ - cos θ)^{2} = 1 - 2 sin θ cos θ = \frac{49}{25}

；

θ

在第二象限，

sin θ > 0 > cos θ

，所以

sin θ - cos θ = \frac{7}{5}

。

cos 2 θ = cos^{2} θ - sin^{2} θ = (cos θ + sin θ) (cos θ - sin θ) = \frac{1}{5} \cdot (- \frac{7}{5}) = - \frac{7}{25}

。

此時

sin θ = \frac{4}{5}

、

cos θ = - \frac{3}{5}

，兩根之積

\frac{t}{5} = - \frac{12}{25}

，

t = - \frac{12}{5}

。

第 14 題若

A + B = 4 5^{\circ}

，由

tan (A + B) = \frac{tan A + tan B}{1 - tan A tan B} = 1

得

tan A + tan B + tan A tan B = 1

，兩邊加

1

再因式分解：

(1 + tan A) (1 + tan B) = 2

。所以

(1 + tan 1^{\circ}) (1 + tan 4 4^{\circ}) = 2

，

tan 2^{\circ} + tan 4 3^{\circ} + tan 2^{\circ} tan 4 3^{\circ} = 1

。又

tan (7 3^{\circ} - 1 3^{\circ}) = \frac{tan 7 3 ^{\circ} - tan 1 3 ^{\circ}}{1 + tan 7 3 ^{\circ} tan 1 3 ^{\circ}} = 3

，得

tan 7 3^{\circ} - tan 1 3^{\circ} - 3 tan 7 3^{\circ} tan 1 3^{\circ} = 3

。原式

= 2 \times 1 \times 3 = 23

。

第 15 題

\frac{23 π}{18} = π + \frac{5 π}{18}

，所以

cos \frac{23 π}{18} = - cos \frac{5 π}{18}

。令

φ = \frac{5 π}{18}

，原式

= \frac{1}{sin φ} + \frac{3}{cos φ} = \frac{cos φ + 3 sin φ}{sin φ cos φ}

。分子疊合：

2 sin (φ + \frac{π}{6}) = 2 sin \frac{4 π}{9}

；分母

= \frac{1}{2} sin 2 φ = \frac{1}{2} sin \frac{5 π}{9}

。而

\frac{4 π}{9} + \frac{5 π}{9} = π

，兩個正弦相等，所以原式

= \frac{2}{\frac{1}{2}} = 4

。

第 16 題把正方形頂點依序記為

A

、

B

、

C

、

D

（見附圖），四條弧把正方形分成三種區域：中央一塊、貼著四邊的白色四塊（每塊面積設為

T

）、四個角落的塗色四塊（每塊面積設為

K

）。以

C

、

D

為圓心的兩弧交於

E

，

\overline{C E} = \overline{D E} = \overline{C D} = 2

，

△ C D E

是正三角形。兩個四分之一圓重疊的部分

=

兩個圓心角

\frac{π}{3}

的扇形

- △ C D E = 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot 2^{2} \cdot \frac{π}{3} - 3 = \frac{4 π}{3} - 3

。貼著

\overline{A B}

的白色那塊在這兩個四分之一圓之外：

T = 4 - [π + π - (\frac{4 π}{3} - 3)] = 4 - \frac{2 π}{3} - 3

。再看以

C

為圓心的四分之一圓之外的部分，面積

4 - π

，由

A

角落的塗色一塊與貼著

\overline{A B}

、

\overline{A D}

的白色兩塊組成：

K + 2 T = 4 - π

，

K = 4 - π - 2 (4 - \frac{2 π}{3} - 3) = \frac{π}{3} + 23 - 4

。塗色面積

4 K = \frac{4 π}{3} + 83 - 16

。

載入中...

答案約

2.05

，大約是正方形面積

4

的一半，與圖相符；扇形面積用

\frac{1}{2} r^{2} θ

（

θ

為弧度）。

三角式求值先看角度之間的關係（相加是特別角、互補、差一圈），再決定用哪個公式；面積題先把區域分類、設未知數列式。

05混合題 17～18：扇形內的四邊形 OHPN

想法連

\overline{O P}

，

\overline{O P} = 2

，把四邊形分成兩個直角三角形。

△ O N P

中

∠ P O N = θ

：

\overline{O N} = 2 cos θ

，

\overline{P N} = 2 sin θ

。

△ O H P

中

∠ P O H = \frac{π}{3} - θ

：

\overline{O H} = 2 cos (\frac{π}{3} - θ)

，

\overline{P H} = 2 sin (\frac{π}{3} - θ)

。

載入中...

第 17 題答案 (2)(3)(4)(5)。(1) 錯：

\overline{O H} = 2 cos (\frac{π}{3} - θ)

，

2 sin (\frac{π}{3} - θ)

是

\overline{P H}

。(2) 對。(3) 對：周長

= \overline{O N} + \overline{P N} + \overline{P H} + \overline{O H}

，就是四個長度相加。(4)(5) 對：用差角公式展開，

sin (\frac{π}{3} - θ) + cos (\frac{π}{3} - θ) = \frac{3 + 1}{2} cos θ + \frac{3 - 1}{2} sin θ

，所以中括號內

= \frac{1 + 3}{2} sin θ + \frac{3 + 3}{2} cos θ = \frac{1 + 3}{2} (sin θ + 3 cos θ) = (1 + 3) sin (θ + \frac{π}{3})

，周長

= 2 (1 + 3) sin (θ + \frac{π}{3})

。

0 \leq θ \leq \frac{π}{3}

時

\frac{π}{3} \leq θ + \frac{π}{3} \leq \frac{2 π}{3}

，

θ = \frac{π}{6}

時正弦為

1

，周長最大值

2 + 23

。

\frac{3 + 3}{2} = 3 \cdot \frac{1 + 3}{2}

，提出公因數後才看得出可以疊合。

θ = \frac{π}{6}

時

P

在弧的中點，圖形左右對稱。

第 18 題面積

= △ O N P + △ O H P = \frac{1}{2} \cdot 2 cos θ \cdot 2 sin θ + \frac{1}{2} \cdot 2 cos (\frac{π}{3} - θ) \cdot 2 sin (\frac{π}{3} - θ) = sin 2 θ + sin (\frac{2 π}{3} - 2 θ)

。展開第二項：

sin (\frac{2 π}{3} - 2 θ) = \frac{3}{2} cos 2 θ + \frac{1}{2} sin 2 θ

，所以面積

= \frac{3}{2} sin 2 θ + \frac{3}{2} cos 2 θ = 3 sin (2 θ + \frac{π}{6})

。

0 \leq θ \leq \frac{π}{12}

時

\frac{π}{6} \leq 2 θ + \frac{π}{6} \leq \frac{π}{3}

，正弦在這一段遞增，所以

θ = \frac{π}{12}

時面積最大，最大值

3 sin \frac{π}{3} = \frac{3}{2}

，

α = \frac{π}{12}

。

tan α = tan (\frac{π}{4} - \frac{π}{6}) = \frac{1 - \frac{1}{3}}{1 + \frac{1}{3}} = \frac{3 - 1}{3 + 1} = \frac{( 3 - 1 ) ^{2}}{2} = 2 - 3

。

流傳版本的參考答案寫最大值

\frac{2}{3}

，但

θ = \frac{π}{12}

時面積

= sin \frac{π}{6} + sin \frac{π}{2} = \frac{3}{2}

，應為

\frac{3}{2}

；

tan α = 2 - 3

與流傳版本一致。範圍限制在

\frac{π}{12}

以內，最大值發生在端點，不是正弦等於

1

的地方。

先用半徑把圖形切成直角三角形，邊長都寫成 θ 的正弦、餘弦；周長、面積疊合成一個正弦後，再看 θ 的範圍決定極值在哪裡。

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第 2 題選項 (2) 的 180 沒有度的符號要當弧度看、第 4 題要先把 5、6、7、8 弧度換到同一圈再比大小、第 11 題要畫出兩個圖形並算值確認交點個數，以及第 16 題要把正方形分成三種區域列式。詳解逐題寫在本頁。

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01多選 1～3：週期、圖形性質與化成同一個正弦

02填充 4～7：弧度比大小、夾角、差角公式與三角不等式

03填充 8～11：圖形判讀、和角公式、代換與數交點

04填充 12～16：聯立平方關係、倍角、正切公式變形、疊合與扇形面積

05混合題 17～18：扇形內的四邊形 OHPN

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