興大附中 114 上
高三第三次段考
數學試題、答案與詳解

答案 (5)。

① 設正方體邊長為 $1$，以 $O$ 為原點坐標化：$A(1,0,0)$、$C(0,1,0)$、$D(0,0,1)$，於是 $B(1,1,0)$、$F(1,1,1)$。

② $\overrightarrow{AD}=(-1,0,1)$，$\overrightarrow{AC}=(-1,1,0)$。

③ 外積：

$$\overrightarrow{AD}\times \overrightarrow{AC}=\left(0\cdot 0-1\cdot 1,1\cdot (-1)-(-1)\cdot 0,(-1)\cdot 1-0\cdot (-1)\right)=(-1,-1,-1)$$

④ 它與 $(1,1,1)=\overrightarrow{OF}$ 平行，選 (5)。

答案 (4)。

① 投影到一條直線後，一維數據的變異數，看的是投影點在那條數線上散得多開。

② 圖中的點大致沿著斜率約為 $2$ 的方向排列（從 $(-2,-4)$ 附近一路到 $(2,4)$ 附近），沿這個方向散得最開。

③ 投影到與這個方向垂直的直線上，同一條斜率 $2$ 的直線上的點都會投影到同一點，所以投影點擠在一起，變異數最小。

④ 與斜率 $2$ 垂直的直線斜率為 $-\frac{1}{2}$，選項中是 $y=-\frac{x}{2}$，選 (4)。

答案 (3)。

① 三個交點的 $x$ 坐標是 $-7$、$-7+a$、$-7+2a$，所以

$$f(x)=a(x+7)(x+7-a)(x+7-2a)$$

② 代 $x=0$：$f(0)=7a(7-a)(7-2a)$，逐一檢查：

$a=-5$：$7(-5)(12)(17)<0$；$a=-3$：$7(-3)(10)(13)<0$；

$a=3$：$7(3)(4)(1)>0$；$a=4$：$7(4)(3)(-1)<0$；$a=5$：$7(5)(2)(-3)<0$。

③ 只有 $a=3$ 合乎條件，三根為 $-7$、$-4$、$-1$。

④ 令 $t=x+4$，$f(x)=3(t+3)t(t-3)=3t^3-27t$，是 $t$ 的奇函數，圖形對稱於點 $(-4,0)$。

對稱中心的 $x$ 坐標為 $-4$，選 (3)。

答案 (4)。

① 三向量兩兩垂直：$\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}=\overrightarrow{v}\cdot \overrightarrow{w}=\overrightarrow{w}\cdot \overrightarrow{u}=0$。

② 取長度平方：

$${\left|\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}\right|}^2={\left|\overrightarrow{u}\right|}^2+{\left|\overrightarrow{v}\right|}^2=4+1+1=6$$

$${\left|\overrightarrow{v}-\overrightarrow{w}\right|}^2={\left|\overrightarrow{v}\right|}^2+{\left|\overrightarrow{w}\right|}^2=1+4+4=9$$

③ 兩式相乘的內積：$(\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v})\cdot (\overrightarrow{v}-\overrightarrow{w})=-{\left|\overrightarrow{v}\right|}^2$，而左邊 $=(2,-1,1)\cdot (-1,2,2)=-2$。

④ 所以 ${\left|\overrightarrow{v}\right|}^2=2$，${\left|\overrightarrow{u}\right|}^2=4$，${\left|\overrightarrow{w}\right|}^2=7$。

⑤ 三邊兩兩垂直的平行六面體是長方體，體積 $=2\cdot \sqrt{2}\cdot \sqrt{7}=2\sqrt{14}$，選 (4)。

答案 (1)。

① 第一式用倍角公式：$2\sin \theta \cos \theta >\sin \theta$，即 $\sin \theta (2\cos \theta -1)>0$。

② 第二式：$1-2{\sin }^2\theta <\sin \theta$，即 $2{\sin }^2\theta +\sin \theta -1>0$，

$$(2\sin \theta -1)(\sin \theta +1)>0$$

所以 $\sin \theta >\frac{1}{2}$ 或 $\sin \theta <-1$；後者不可能，只剩 $\sin \theta >\frac{1}{2}$。

③ $\sin \theta >\frac{1}{2}>0$，代回 ① 得 $2\cos \theta -1>0$，即 $\cos \theta >\frac{1}{2}$。

④ 在 $0\le \theta \le 2\pi$ 中：$\sin \theta >\frac{1}{2}$ 是 $\frac{\pi }{6}<\theta <\frac{5\pi }{6}$；再加上 $\cos \theta >\frac{1}{2}$，只剩 $\frac{\pi }{6}<\theta <\frac{\pi }{3}$。

⑤ $a=\frac{1}{6}$，$b=\frac{1}{3}$，$b-a=\frac{1}{6}$，選 (1)。

答案 (2)(5)。

先化簡：兩邊都寫成 $2$ 的次方，$2^{x^2-2}=2^{2|x|-y^2}$，所以 $x^2-2=2|x|-y^2$，

$${\left(|x|-1\right)}^2+y^2=3$$

$x\ge 0$ 時是圓 $(x-1{)}^2+y^2=3$ 在 $y$ 軸右側（含 $y$ 軸）的部分；$x\le 0$ 時是圓 $(x+1{)}^2+y^2=3$ 在左側的部分。

(1) 錯誤。 $y=\sqrt{2}$ 時 ${\left(|x|-1\right)}^2=1$，$|x|=0$ 或 $2$，$x=0$、$2$、$-2$，有 $3$ 個解。

(2) 正確。 $|-a|=|a|$，$(-b{)}^2=b^2$，代入式子不變。

(3) 錯誤。 圖形是兩段圓弧拼成的，不是一個圓。$(0,\pm \sqrt{2})$ 與 $(\pm (1+\sqrt{3}),0)$ 都在圖形上；若它們在同一個圓上，圓心要在 $x$ 軸上也要在 $y$ 軸上，只能是原點，但原點到它們的距離 $\sqrt{2}$ 與 $1+\sqrt{3}$ 不相等，矛盾。

(4) 錯誤。 $(1,0)$ 到 $x+y=4$ 的距離 $\frac{3}{\sqrt{2}}>\sqrt{3}$，$(-1,0)$ 到它的距離 $\frac{5}{\sqrt{2}}>\sqrt{3}$，兩段圓弧都碰不到這條直線。

(5) 正確。 右半段：$x-y$ 在圓 $(x-1{)}^2+y^2=3$ 上的最大值是 $1+\sqrt{3}\cdot \sqrt{2}=1+\sqrt{6}$，取到最大值的點 $\left(1+\frac{\sqrt{6}}{2},-\frac{\sqrt{6}}{2}\right)$ 的 $x>0$，確實在圖形上；左半段的最大值只有 $-1+\sqrt{6}$。

答案 (1)(2)(3)。

先整理：$L$ 可寫成 $(6y-4x)+k(2x-12)=0$，不論 $k$ 為何都通過定點 $M(6,4)$；斜率 $\frac{2-k}{3}$。

$D$ 在 $x=0$ 上：$y=2k$，$D(0,2k)$；$E$ 在 $x=10$ 上：$y=\frac{20-4k}{3}$。

(1) 正確。 $k=5$：代 $A(10,0)$，$0+6\cdot 10-60=0$，通過 $A$。

(2) 正確。 $D$ 在 $\overline{OC}$ 上要 $0\le 2k\le 6$，即 $0\le k\le 3$。

(3) 正確。 $k=\frac{1}{2}$：$D(0,1)$、$E(10,6)$，$E$ 就是 $B$，兩端點都在長方形邊上，線段 $\overline{DE}$ 在長方形內。

(4) 錯誤。 要 $0\le 2k\le 6$ 且 $0\le \frac{20-4k}{3}\le 6$，得 $\frac{1}{2}\le k\le 3$，斜率 $\frac{2-k}{3}$ 介於 $-\frac{1}{3}$ 與 $\frac{1}{2}$ 之間，不可能是 $\frac{3}{5}$。

(5) 錯誤。 平分長方形面積的直線必通過中心 $(5,3)$；$L$ 又過 $M(6,4)$，斜率 $\frac{4-3}{6-5}=1$，不是 $\frac{4}{5}$。

答案 (3)(4)。

設 $\overrightarrow{AB}=(p,q)$，因為各坐標都在 $[0,1]$ 內，$p$、$q$ 各自可以是 $[-1,1]$ 中任何數。

(1)(2) 錯誤。 $\overrightarrow{v}+\overrightarrow{AB}=(p-3,q+4)$，長度平方 $(p-3{)}^2+(q+4{)}^2$ 在 $p=-1$、$q=1$ 時最大，為 $16+25=41$。

最大值是 $\sqrt{41}$，不是 $4\sqrt{2}=\sqrt{32}$；而 $5+\sqrt{2}$ 比 $\sqrt{41}$ 大，取不到。

(3) 正確。 $\overrightarrow{v}\cdot \overrightarrow{AB}=-3p+4q\le 3+4=7$，$p=-1$、$q=1$ 時取到 $7$（例如 $A(1,0)$、$B(0,1)$）。

(4) 正確。 這個比值是 $\overrightarrow{v}$ 在 $\overrightarrow{AB}$ 方向上的正射影長，等於 $\left|\overrightarrow{v}\right|\cos \theta \le 5$。

$\overrightarrow{AB}$ 與 $\overrightarrow{v}$ 同方向時取到 $5$，例如 $\overrightarrow{AB}=\left(-\frac{3}{4},1\right)$（$A\left(\frac{3}{4},0\right)$、$B(0,1)$）。

(5) 錯誤。 三角形面積 $=\frac{1}{2}\left|(-3)q-4p\right|\le \frac{1}{2}(3+4)=\frac{7}{2}$，最大值是 $\frac{7}{2}$；$7$ 是平行四邊形的面積。

答案 (3)(4)(5)。

共有 $6\times 2=12$ 種等可能的結果。行列式：

$$\Delta =\left|\begin{array}{cc}a& 6\\ 1& b\end{array}\right|=ab-6,{\Delta }_x=\left|\begin{array}{cc}6& 6\\ 2& b\end{array}\right|=6b-12,{\Delta }_y=\left|\begin{array}{cc}a& 6\\ 1& 2\end{array}\right|=2a-6$$

$\Delta =0$ 只有 $(a,b)=(6,1)$ 與 $(3,2)$：前者 ${\Delta }_x=-6\ne 0$，無解；後者 ${\Delta }_x={\Delta }_y=0$，無限多解。

(1) 錯誤。 $a=b$ 只有 $(1,1)$、$(2,2)$，機率 $\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$。

(2) 錯誤。 無解只有 $(6,1)$，機率 $\frac{1}{12}$。

(3) 正確。 唯一解是 $\Delta \ne 0$ 的 $10$ 種，機率 $\frac{10}{12}=\frac{5}{6}$。

(4) 正確。 正面（$b=1$）且有解：$a=1,2,3,4,5$，機率 $\frac{5}{12}$。

(5) 正確。 這時 $x=\frac{{\Delta }_x}{\Delta }=\frac{-6}{a-6}=\frac{6}{6-a}$，$a\le 5$ 時都大於 $0$，機率為 $1$。

答案 (1)(2)(3)。

由餘弦定理 $\cos B=\frac{6^2+4^2-5^2}{2\cdot 6\cdot 4}=\frac{9}{16}$。

(1) 正確。 直角三角形 $BCD$ 中，$\overline{BD}=\overline{BC}\cos B=4\cdot \frac{9}{16}=\frac{9}{4}$。

(2) 正確。 $\overline{BP}$ 平分 $△BCD$ 的 $\angle B$，由角平分線性質

$$\frac{\overline{PD}}{\overline{PC}}=\frac{\overline{BD}}{\overline{BC}}=\cos \angle CBA$$

(3) 正確。 $\overline{AD}=6-\frac{9}{4}=\frac{15}{4}$，所以 $\overrightarrow{AD}=\frac{5}{8}\overrightarrow{AB}$。

由 (2)，$\overline{DP}:\overline{PC}=\frac{9}{4}:4=9:16$，

$$\overrightarrow{AP}=\frac{16}{25}\overrightarrow{AD}+\frac{9}{25}\overrightarrow{AC}=\frac{2}{5}\overrightarrow{AB}+\frac{9}{25}\overrightarrow{AC}$$

(4) 錯誤。 $△ACP$ 與 $△ACB$ 共用底邊 $\overline{AC}$；由 (3)，$P$ 到直線 $AC$ 的距離是 $B$ 到它的 $\frac{2}{5}$，面積是 $\frac{2}{5}$ 倍，不是 $\frac{9}{25}$。

(5) 錯誤。 $P$ 在直線 $AB$ 上的投影是 $D$，所以 $\overrightarrow{AP}\cdot \overrightarrow{AB}=\overline{AD}\cdot \overline{AB}=\frac{15}{4}\cdot 6=\frac{45}{2}$，不是 $18$。

答案 $388$。

① 設三種飲料每杯售價依序為 $x$、$y$、$z$ 元：

$$\{\begin{array}{l}40x+30y+3z=8764\\ 70x+50y+4z=14502\\ 80x+60y+5z=17140\end{array}$$

② 觀察第 3 天的杯數 $(80,60)$ 正好是第 1 天 $(40,30)$ 的 $2$ 倍，用第 3 式減第 1 式的 $2$ 倍：

$$(5-6)z=17140-17528=-388$$

③ $z=388$，東方美人茶每杯 $388$ 元。

答案 $a=-4$，$b=5$。

① 以下的「$\equiv$」表示除以 $x^2-2x+3$ 的餘式相同。因為 $x^2\equiv 2x-3$：

$${\left(f(x)\right)}^2\equiv (x+1{)}^2=x^2+2x+1\equiv (2x-3)+2x+1=4x-2$$

② 所以

$${\left(f(x)\right)}^2+ag(x)+bh(x)\equiv (4x-2)+a(x-3)+b(-2)=(4+a)x+(-2-3a-2b)$$

③ 能被整除表示餘式為 $0$：$4+a=0$ 且 $-2-3a-2b=0$。

④ $a=-4$，$-2+12-2b=0$，$b=5$。

答案 $x-3y-2z=8$。

① 設原來的平面為 $F$：$x-y+2z=4$，法向量 $\overrightarrow{n_1}=(1,-1,2)$。

② $L$ 寫成參數式：令 $\frac{x}{2}-1=y+2=-2z=t$，得 $(x,y,z)=(2+2t,-2+t,-\frac{t}{2})$，過 $(2,-2,0)$，方向向量取 $(4,2,-1)$。

③ $L^{\prime }$ 與 $L$ 都在 $F$ 上，$L^{\prime }$ 往 $E$ 投影後落在 $L$ 上，而 $L^{\prime }$ 不在 $E$ 上（否則它的投影就是 $L^{\prime }$ 自己），所以 $L^{\prime }$ 上有一點往 $E$ 作的垂線，兩端都在 $F$ 上，整條垂線在 $F$ 裡面，因此 $F\perp E$。

④ $E$ 含 $L$ 又垂直 $F$，法向量同時垂直 $(4,2,-1)$ 與 $(1,-1,2)$：

$$(1,-1,2)\times (4,2,-1)=(-3,9,6)\parallel (1,-3,-2)$$

⑤ 過 $(2,-2,0)$：$x-3y-2z=2+6-0=8$。

答案 $407$。

① 看前 2 次擲出幾個 $6$：

兩次都是 $6$：機率 $\frac{1}{36}$，付 $72$ 元。

恰一次是 $6$：機率 $2\cdot \frac{1}{6}\cdot \frac{5}{6}=\frac{10}{36}$；第 3 次再擲出 $6$（機率 $\frac{1}{6}$）付 $108$ 元，否則付 $432$ 元。

都不是 $6$：機率 $\frac{25}{36}$，第 3 次怎麼擲都湊不到兩個 $6$，付 $432$ 元。

② 付 $72$ 元的機率 $\frac{6}{216}$，付 $108$ 元的機率 $\frac{10}{36}\cdot \frac{1}{6}=\frac{10}{216}$，付 $432$ 元的機率 $1-\frac{6}{216}-\frac{10}{216}=\frac{200}{216}$。

③ 期望值：

$$72\cdot \frac{6}{216}+108\cdot \frac{10}{216}+432\cdot \frac{200}{216}=2+5+400=407(\text{元})$$

答案 $\frac{16\sqrt{30}}{17}$。

① $L_1$：$y-1=m(x-4)$，即 $mx-y+1-4m=0$；$L_2$：$mx+y-1-4m=0$。

② 圓心到 $L_1$ 的距離為 $1$：$\frac{|1-4m|}{\sqrt{m^2+1}}=1$，平方得 $15m^2-8m=0$，$m=0$ 或 $\frac{8}{15}$。

③ $m=0$ 時 $L_1$、$L_2$ 是同一條直線 $y=1$，圓與它相切就不會交於相異兩點，不合。所以 $m=\frac{8}{15}$。

④ 半徑是圓心到 $L_2$ 的距離：

$$r=\frac{|-1-4m|}{\sqrt{m^2+1}}=\frac{\frac{47}{15}}{\frac{17}{15}}=\frac{47}{17}$$

⑤ 弦長 $=2\sqrt{r^2-1^2}=2\sqrt{\frac{2209-289}{289}}=\frac{2\sqrt{1920}}{17}=\frac{16\sqrt{30}}{17}$。

答案 (1)。

① $E$ 的法向量 $(1,0,-1)$，$\overrightarrow{OQ}$ 與它平行：設 $Q(t,0,-t)$。

② $Q$ 在 $E$ 上：$t-(-t)=2$，$t=1$，$Q(1,0,-1)$。

③ $\cos \alpha =\frac{(1,0,-1)\cdot (0,0,1)}{\sqrt{2}\cdot 1}=\frac{-1}{\sqrt{2}}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$，選 (1)。

① 夾角 $\theta \le \frac{\pi }{6}$，而 $\cos$ 在 $0$ 到 $\pi$ 之間遞減，所以 $\cos \theta \ge \cos \frac{\pi }{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}$。

② 用內積寫出 $\cos \theta$（$P$ 不是原點，夾角才有意義）：

$$\frac{(a,b,c)\cdot (0,0,1)}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}\cdot 1}=\frac{c}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\ge \frac{\sqrt{3}}{2}$$

③ 右邊為正，所以 $c>0$，兩邊都是正數，可以平方：$4c^2\ge 3(a^2+b^2+c^2)$。

④ 整理得 $c^2\ge 3(a^2+b^2)$，得證。

學校的答案：$-1-\sqrt{3}\le a\le -1+\sqrt{3}$。

① 由第 2 題，$c^2\ge 3(a^2+b^2)$；$b=0$ 代入得 $c^2\ge 3a^2$。

② $P$ 在 $E$ 上：$a-c=2$，$c=a-2$，代入：

$$(a-2{)}^2\ge 3a^2$$

③ 整理：$2a^2+4a-4\le 0$，即 $a^2+2a-2\le 0$。

④ 解得 $-1-\sqrt{3}\le a\le -1+\sqrt{3}$。

⑤ 但要注意：第 2 題的 ③ 還說了 $c>0$。在這個範圍裡 $c=a-2\le -3+\sqrt{3}<0$，再配合 $c^2\ge 3a^2$ 得 $c\le -\sqrt{3}|a|$，這些點的 $\overrightarrow{OP}$ 與 $(0,0,1)$ 的夾角其實至少 $\frac{5\pi }{6}$。

⑥ 例如 $a=0$：$P(0,0,-2)$ 在 $E$ 上，$c^2\ge 3a^2$ 成立，但 $\overrightarrow{OP}$ 與 $(0,0,1)$ 的夾角是 $\pi$。

⑦ 嚴格要求夾角 $\theta \le \frac{\pi }{6}$ 時：$c=a-2>0$ 要 $a>2$，此時 $a-2\ge \sqrt{3}a$ 不可能成立，所以平面 $E$ 上沒有 $b=0$ 又滿足夾角條件的點。