段考詳解範圍：指數與對數函數（指數律、指數與對數函數的圖形、對數律與換底公式、指數對數方程式與不等式、常用對數與應用）

興大附中 113 上
高二第二次段考
數學試題、答案與詳解

Q: 興大附中 113 上 高二第二次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 19 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

Q: 興大附中 113 上 高二第二次段考數學哪幾題最容易錯？

多選第 6 題第 (4) 選項：x、y 都是負數，取對數後要乘上負的對數值，大小關係會反過來。填充 B（本頁第 8 題）：兩邊底數不同要先換成同底，並先寫出真數條件，底數小於 1 時不等號反向。填充 I（本頁第 15 題）：每月初買入時，最後一筆也有一個月的利息，等比級數共 60 項。填充 J（本頁第 16 題）：位數與小數點後第幾位開始不為零都換成常用對數的範圍，乘上負數時不等號反向。詳解逐題寫在本頁。

Q: 我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

Q: 這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

原卷 19 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

考前想要一份自己的模擬卷，外加每天練哪一章？免費註冊，練滿 15 題就能產生考前藍圖 PDF →

這一章有整理好的單元冊：《指數與對數函數》

題原卷全文

則逐題詳解

個單元，勾錯題號就知道錯在哪

元，不用註冊

01 · 試題

原卷 19 題，照原卷順序

單選題 2 題（10 分）、多重選擇題 4 題（24 分）、填充題 10 題（60 分）、計算題 1 題組 3 小題（6 分）。本頁第 7～16 題依序為原卷填充題 A～J，第 17～19 題為原卷計算題的第 (1)～(3) 小題。答案已與學校公布的答案逐題核對。

參考數值：log 2 ≈ 0.3010，log 3 ≈ 0.4771，log 7 ≈ 0.8451｜一、單選題（每題 5 分）

下列哪一個數值最大？

(1) $3^{- 2}$
(2) $(\frac{1}{3})^{- 5}$
(3) $(\frac{1}{3})^{- 2}$
(4) $(3)^{3}$
(5) $(3)^{- 2}$

指數方程式

2^{(1 0^{x})} = 1 0^{9}

（括弧內為

10

的

x

次方）的解

x

最接近下列哪一個選項？

(1) $1.2$
(2) $1.3$
(3) $1.4$
(4) $1.5$
(5) $1.6$

二、多重選擇題（每題 6 分，每題至少有一個選項是正確的，錯一個選項得 3.6 分，錯二個選項得 1.2 分，錯三個選項以上得 0 分）

選出正確的選項。

(1) 若 $a > b > 1$ ，則 $lo g_{a} b > 1$
(2) 若 $a > b > 1$ ，則 $lo g_{b} a < 1$
(3) 若 $a > 1 > b > 0$ ，則 $lo g_{b} a > 0$
(4) 若 $1 > a > b > 0$ ，則 $lo g_{a} b > 1$
(5) 若 $1 > b > a > 0$ ，則 $0 < lo g_{a} b < 1$

下列敘述何者正確？

(1) $y = 2^{x}$ 之圖形與 $y = - 2^{x}$ 之圖形對稱於 $x$ 軸
(2) 將 $y = lo g_{2} x$ 之圖形向左移 $2$ 單位，再向上移 $3$ 單位後，得新圖形方程式為 $y - 3 = lo g_{2} (x + 2)$
(3) $y = lo g_{2} ∣ x ∣$ 之圖形對稱於 $x$ 軸
(4) $y = lo g_{2} (- x)$ 之圖形與 $y = - 2^{x}$ 之圖形對稱於直線 $y = x$
(5) $y = ∣ lo g_{2} x ∣$ 圖形與 $y = 2$ 圖形的兩個交點之 $x$ 坐標乘積為 $1$

曲線

y = a^{x}

的部分圖形與

x

軸的關係如圖所示，其中

A

，

B

，

C

為

x

軸上的相異三點，且

\overline{A B} = \overline{B C}

，過

A

，

B

，

C

三點分別作

x

軸的垂線，並交曲線

y = a^{x}

的圖形於

D

，

E

，

F

三點。下列選項哪些正確？（圖中

A

、

B

、

C

由左而右排列，曲線由左而右上升）

(1) $a > 1$
(2) 若 $B$ 為原點，則 $\overline{A D} \times \overline{C F} = a^{2}$
(3) $\overline{A D} \times \overline{C F} = \overline{B E}^{2}$
(4) $\overline{A D} + \overline{C F} > 2 \times \overline{B E}$
(5) $\overline{A D}$ ， $\overline{B E}$ ， $\overline{C F}$ 三線段長度有可能成等差數列

載入中...

下列敘述何者正確？

(1) $10 0^{- \frac{3}{2}} = \frac{1}{1000}$
(2) 若 $x = lo g_{2} 3$ ，則 $4^{x} = 9$
(3) $0. 3^{- 0.4} > 0. 4^{- 0.3}$
(4) 設 $x, y < 0$ ，且 $2^{x} = 3^{y}$ ，則 $2 x > 3 y$
(5) 若 $n$ 為正整數，且 $n^{6} < 1 0^{9} < (n + 1)^{6}$ ，則 $n = 31$

三、填充題（每題 6 分）

設

f (x) = \frac{5 ^{x} - 5 ^{- x}}{2}

，且

f (a) = 3

，求

f (3 a) =

____。（原卷的答案格式為三位數

◯ ◯ ◯

）

不等式

lo g_{\frac{1}{2}} (x - 1) > lo g_{\frac{1}{4}} (3 - x)

之解為 ____

< x <

____。

幸福公司為增進業務的發展，制定了一個激勵銷售人員的獎勵模型：

y = a lo g_{4} (x - 1) + b

，

x

表銷售金額（萬元），

y

表獎勵金額（萬元），

a

，

b

為常數。已知銷售金額為

17

萬元時，獎勵為

1

萬元；銷售金額為

33

萬元時，獎勵為

5

萬元。根據上述資料可得數對

(a, b) =

____。（原卷的答案格式為

(◯, ◯ ◯ ◯)

）

若

- 1 \leq x \leq 2

，

f (x) = (\frac{1}{3})^{x^{2} - 2 x + 1}

的最大值為

m

，最小值為

n

，則

m - n =

____。（化為最簡分數；原卷的答案格式為

\frac{◯ ◯}{◯ ◯}

）

滿足

1 0^{n - 1} > 8^{n}

的最小正整數

n

為 ____。（原卷的答案格式為二位數

◯ ◯

）

若

a = 3^{- 1} \times 3^{- 3} \times 3^{- 5} \times \dots\dots \times 3^{- 19}

，則

a

在小數點後第 ____ 位開始不為零。（原卷的答案格式為二位數

◯ ◯

）

已知聲音的強度是每平方公尺多少能量（單位：

W/ m^{2}

，W 為瓦特），而

0

分貝是根據聽力正常年輕人所能聽到的最小聲音所訂定的。若某一發聲體的強度為

I

（

W/ m^{2}

），將它換算成分貝

d

表示時，其公式為

d (I) = 10 lo g \frac{I}{I _{0}}

，

I_{0} = 1 0^{- 12}

（

W/ m^{2}

）。假設演唱會音響的聲音為

90

分貝，人們日常交談的聲音為

60

分貝，試求 ____ 人一起用人們日常交談的音量合唱，可以和演唱會音響一樣大聲。（原卷的答案格式為四位數

◯ ◯ ◯ ◯

）

已知實數

x, y > 0

，若

lo g_{10} (x) = lo g_{100} (y) = lo g_{1000} (x + 2 y)

，則

x + 2 y =

____。（原卷的答案格式為

◯ + ◯ ◯

）

幸福基金的月報酬率為

2%

且以複利計息，若小美每月固定買入幸福基金

1

萬元，則

5

年後本利和為 ____ 萬元。（四捨五入至整數位）（

1.0 2^{60} \approx 3.2810

）（原卷未註明月初或月底買入；原卷的答案格式為三位數

◯ ◯ ◯

）

已知

a

，

b

為正數，

a^{50}

為

32

位數，

(\frac{1}{b})^{50}

的小數點以下第

36

位開始不為零，則

(ab)^{10}

為 ____ 位數。（原卷的答案格式為二位數

◯ ◯

）

四、計算題（6 分）說明：本部分共有 1 題組，每一子題配分標於題末。限在答案卷作答。請由左而右橫式書寫，第 3 小題作答時必須寫出計算過程或理由，否則將酌予扣分

計算題（第 17～19 題）　小美下午喝了一杯有黃色標章的咖啡，含有

150

毫克的咖啡因，假設它會以每小時

20%

的指數衰減速度離開小美體內，即一小時後會剩下

120

毫克的咖啡因，設

x

小時後咖啡因剩下

f (x)

毫克，試回答下列各問題：

(1) 請寫出

f (x)

。（1 分）

(2) 試用對數表示咖啡因的半衰期為多少小時。（1 分）

(3) 承(2)，求半衰期的近似值。（四捨五入至小數點後第一位）（4 分）

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(2)

第 2 題(4)

第 3 題(4)(5)

第 4 題(1)(2)(4)(5)

第 5 題(1)(3)(4)

第 6 題(1)(2)(3)(5)

第 7 題

117

第 8 題

1 < x < 2

第 9 題

(8, - 15)

第 10 題

\frac{80}{81}

第 11 題

11

第 12 題

48

第 13 題

1000

第 14 題

7 + 52

第 15 題

116

（以每月初買入計）

第 16 題

14

第 17 題

f (x) = 150 \times 0. 8^{x}

第 18 題

lo g_{0.8} 0.5

小時

第 19 題約

3.1

小時

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

考前先拿一份自己的考前藍圖

註冊之後，在首頁填上你們下一次段考的日期和範圍，練滿 15 題，系統就會照你做過的題、錯過的題，出一份考前藍圖 PDF：一份模擬卷、詳解，還有考前每天練哪一章。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選 1～2：化成同底比大小、取對數解指數方程式

第 1 題

答案 (2)。全部寫成以 $3$ 為底的指數：

(1) $3^{- 2}$ ；(2) $(\frac{1}{3})^{- 5} = (3^{- 1})^{- 5} = 3^{5}$ ；(3) $(\frac{1}{3})^{- 2} = 3^{2}$ ；

(4) $(3)^{3} = (3^{\frac{1}{2}})^{3} = 3^{\frac{3}{2}}$ ；(5) $(3)^{- 2} = 3^{- \frac{2}{2}}$ 。

底數 $3 > 1$ ， $y = 3^{x}$ 是遞增函數，指數愈大值愈大。五個指數中 $5 \approx 2.236$ 最大（ $5 > 4 = 2$ ），所以 (2) 最大。

底數是

\frac{1}{3}

時，負的指數反而讓值變大；先化成同一個大於

1

的底數，再比指數。

第 2 題

答案 (4)。兩邊取常用對數： $1 0^{x} lo g 2 = 9$ ，所以 $1 0^{x} = \frac{9}{lo g 2} = \frac{9}{0.3010}$ 。

用卷首參考數值把它夾住： $0.3010 \times 30 = 9.03 > 9$ ，所以 $1 0^{x} < 30$ ； $0.3010 \times 29.4 = 8.8494 < 9$ ，所以 $1 0^{x} > 29.4$ 。

而 $lo g 30 = lo g 3 + 1 = 1.4771$ ，

$lo g 29.4 = lo g \frac{2 \times 3 \times 7 ^{2}}{10} = lo g 2 + lo g 3 + 2 lo g 7 - 1 = 0.3010 + 0.4771 + 1.6902 - 1 = 1.4683$

所以 $1.4683 < x < 1.4771$ ，比 $1.4$ 與 $1.5$ 的中點 $1.45$ 大，最接近 $1.5$ 。

只要夾出

x

比中點

1.45

大就夠了；

29.4

是用

2 \times 3 \times 7^{2}

湊出來、能用卷首參考數值算對數的數。

比大小先化成同底；指數上又有指數時，取兩次對數一層一層拿下來。

02多選 3～6：對數值的範圍、圖形的平移與對稱、等距點的高度、比大小

第 3 題

答案 (4)(5)。底數大於 $1$ 時 $y = lo g_{b} x$ 遞增，底數在 $0$ 與 $1$ 之間時遞減；並用 $lo g_{b} b = 1$ 、 $lo g_{b} 1 = 0$ 當比較的基準。

(1) 錯誤。 底數 $a > 1$ ， $y = lo g_{a} x$ 遞增， $b < a$ ，所以 $lo g_{a} b < lo g_{a} a = 1$ 。

(2) 錯誤。 底數 $b > 1$ ， $y = lo g_{b} x$ 遞增， $a > b$ ，所以 $lo g_{b} a > lo g_{b} b = 1$ 。

(3) 錯誤。 底數 $0 < b < 1$ ， $y = lo g_{b} x$ 遞減， $a > 1$ ，所以 $lo g_{b} a < lo g_{b} 1 = 0$ 。

(4) 正確。 底數 $0 < a < 1$ ， $y = lo g_{a} x$ 遞減， $b < a$ ，所以 $lo g_{a} b > lo g_{a} a = 1$ 。

(5) 正確。 底數 $0 < a < 1$ ， $y = lo g_{a} x$ 遞減， $a < b < 1$ ，所以 $lo g_{a} 1 < lo g_{a} b < lo g_{a} a$ ，即 $0 < lo g_{a} b < 1$ 。

可用例子檢查：(4) 取

a = \frac{1}{2}

、

b = \frac{1}{4}

，

lo g_{\frac{1}{2}} \frac{1}{4} = 2 > 1

；(5) 取

a = \frac{1}{4}

、

b = \frac{1}{2}

，

lo g_{\frac{1}{4}} \frac{1}{2} = \frac{1}{2}

。

第 4 題

答案 (1)(2)(4)(5)。

(1) 正確。 點 $(x, y)$ 在 $y = 2^{x}$ 上，則 $(x, - y)$ 滿足 $- y = - 2^{x}$ ，在 $y = - 2^{x}$ 上；兩圖形互為對 $x$ 軸的鏡射。

(2) 正確。 向左移 $2$ 單位把 $x$ 換成 $x + 2$ ，向上移 $3$ 單位把 $y$ 換成 $y - 3$ ，得 $y - 3 = lo g_{2} (x + 2)$ 。

(3) 錯誤。 把 $x$ 換成 $- x$ 方程式不變，所以圖形對稱於 $y$ 軸，不是 $x$ 軸；例如 $(2, 1)$ 在圖形上，但 $(2, - 1)$ 不在。

(4) 正確。 $y = - 2^{x}$ 即 $- y = 2^{x}$ ，也就是 $x = lo g_{2} (- y)$ ；把 $x$ 、 $y$ 互換得 $y = lo g_{2} (- x)$ 。兩個方程式互換 $x$ 、 $y$ 而得，所以圖形對稱於直線 $y = x$ 。

(5) 正確。 $∣ lo g_{2} x ∣ = 2$ ，得 $lo g_{2} x = 2$ 或 $lo g_{2} x = - 2$ ，即 $x = 2^{2}$ 或 $x = 2^{- 2}$ 。兩個交點的 $x$ 坐標乘積為 $2^{2} \cdot 2^{- 2} = 2^{0} = 1$ 。

(2) 的平移方向容易弄反：向左移是

x + 2

，向上移是

y - 3

。

第 5 題

答案 (1)(3)(4)。設 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 的 $x$ 坐標為 $p$ 、 $p + d$ 、 $p + 2 d$ （ $d > 0$ ），則 $\overline{A D} = a^{p}$ ， $\overline{B E} = a^{p + d}$ ， $\overline{C F} = a^{p + 2 d}$ 。

(1) 正確。 由圖，曲線由左而右上升， $y = a^{x}$ 是遞增函數，所以 $a > 1$ 。

(2) 錯誤。 $B$ 為原點時 $p = - d$ ， $\overline{A D} \times \overline{C F} = a^{- d} \cdot a^{d} = a^{0} = 1$ ；而 $a > 1$ ， $a^{2} > 1$ ，兩者不相等。

(3) 正確。 $\overline{A D} \times \overline{C F} = a^{p} \cdot a^{p + 2 d} = a^{2 p + 2 d} = (a^{p + d})^{2} = \overline{B E}^{2}$ 。

(4) 正確。 由算幾不等式 $\overline{A D} + \overline{C F} \geq 2 \overline{A D} \times \overline{C F} = 2 \overline{B E}$ ，等號只在 $\overline{A D} = \overline{C F}$ 時成立；但 $a > 1$ 且 $p \neq = p + 2 d$ ， $a^{p} \neq = a^{p + 2 d}$ ，所以等號不成立， $\overline{A D} + \overline{C F} > 2 \times \overline{B E}$ 。

(5) 錯誤。 三個長度由小到大是 $\overline{A D} < \overline{B E} < \overline{C F}$ ，若成等差數列，中項必是 $\overline{B E}$ ，要有 $\overline{A D} + \overline{C F} = 2 \overline{B E}$ ，與 (4) 矛盾，所以不可能。

等距的

x

坐標對應的高度成等比數列（公比

a^{d}

），所以 (3) 是等比中項；(4)(5) 是「等比中項小於等差中項」。

第 6 題

答案 (1)(2)(3)(5)。

(1) 正確。 $10 0^{- \frac{3}{2}} = (1 0^{2})^{- \frac{3}{2}} = 1 0^{- 3} = \frac{1}{1000}$ 。

(2) 正確。 $x = lo g_{2} 3$ 即 $2^{x} = 3$ ，所以 $4^{x} = (2^{x})^{2} = 3^{2} = 9$ 。

(3) 正確。 底數 $0.3 < 1$ ， $y = 0. 3^{x}$ 遞減， $- 0.4 < - 0.3$ ，所以 $0. 3^{- 0.4} > 0. 3^{- 0.3}$ 。又 $0. 3^{- 0.3} = (\frac{10}{3})^{0.3}$ ， $0. 4^{- 0.3} = (\frac{10}{4})^{0.3}$ ，兩者相除得 $(\frac{4}{3})^{0.3} > 1$ ，所以 $0. 3^{- 0.3} > 0. 4^{- 0.3}$ 。合起來 $0. 3^{- 0.4} > 0. 4^{- 0.3}$ 。

(4) 錯誤。 設 $2^{x} = 3^{y} = k$ ， $x < 0$ ，所以 $0 < k < 1$ ， $lo g k < 0$ 。 $x = \frac{lo g k}{lo g 2}$ ， $y = \frac{lo g k}{lo g 3}$ ，

$2 x - 3 y = lo g k (\frac{2}{lo g 2} - \frac{3}{lo g 3}) = lo g k \cdot \frac{2 lo g 3 - 3 lo g 2}{lo g 2 \cdot lo g 3} = lo g k \cdot \frac{lo g \frac{9}{8}}{lo g 2 \cdot lo g 3}$

其中 $lo g \frac{9}{8} > 0$ ， $lo g k < 0$ ，所以 $2 x - 3 y < 0$ ，即 $2 x < 3 y$ 。

(5) 正確。 三邊都是正數，開六次方根不改變大小： $n < 1 0^{\frac{9}{6}} = 1 0^{1.5} < n + 1$ 。 $1 0^{1.5} = 1010 \approx 31.62$ ，所以 $n = 31$ 。

(4) 例：

x = - lo g_{2} 6 \approx - 2.585

、

y = - lo g_{3} 6 \approx - 1.631

時

2^{x} = 3^{y} = \frac{1}{6}

，

2 x \approx - 5.17 < 3 y \approx - 4.89

。(5) 驗算：

3 1^{6} = 887503681 < 1 0^{9}

，

3 2^{6} = 2^{30} = 1073741824 > 1 0^{9}

。

比較對數值或指數值，先看底數大於 1 還是小於 1，再拿 0、1 這些好算的值當基準。

03填充 7～11（原卷 A～E）：立方差、對數不等式、對數模型、極值、取對數解不等式

第 7 題

令 $t = 5^{a} - 5^{- a}$ ，由 $f (a) = 3$ 得 $t = 6$ 。由立方差的展開，

$t^{3} = (5^{a} - 5^{- a})^{3} = 5^{3 a} - 3 \cdot 5^{a} + 3 \cdot 5^{- a} - 5^{- 3 a} = (5^{3 a} - 5^{- 3 a}) - 3 t$

所以 $5^{3 a} - 5^{- 3 a} = t^{3} + 3 t = 216 + 18 = 234$ ， $f (3 a) = \frac{234}{2} = 117$ 。

展開時

5^{a} \cdot 5^{- a} = 1

，中間兩項是

- 3 \cdot 5^{a} + 3 \cdot 5^{- a} = - 3 t

。

第 8 題

真數條件： $x - 1 > 0$ 且 $3 - x > 0$ ，所以 $1 < x < 3$ 。換底： $lo g_{\frac{1}{4}} (3 - x) = \frac{lo g _{\frac{1}{2}} ( 3 - x )}{lo g _{\frac{1}{2}} \frac{1}{4}} = \frac{1}{2} lo g_{\frac{1}{2}} (3 - x) = lo g_{\frac{1}{2}} 3 - x$ 。

不等式變成 $lo g_{\frac{1}{2}} (x - 1) > lo g_{\frac{1}{2}} 3 - x$ 。底數 $\frac{1}{2} < 1$ ， $y = lo g_{\frac{1}{2}} x$ 遞減，所以 $x - 1 < 3 - x$ 。

兩邊都是正數，平方得 $(x - 1)^{2} < 3 - x$ ， $x^{2} - x - 2 < 0$ ， $(x - 2) (x + 1) < 0$ ， $- 1 < x < 2$ 。與真數條件取交集，得 $1 < x < 2$ 。

底數小於

1

時，去掉

lo g

不等號要反向；平方之前要確定兩邊都不是負數。

第 9 題代入兩組資料：

x = 17

時

lo g_{4} (17 - 1) = lo g_{4} 16 = 2

，得

2 a + b = 1

；

x = 33

時

lo g_{4} (33 - 1) = lo g_{4} 32 = \frac{lo g _{2} 32}{lo g _{2} 4} = \frac{5}{2}

，得

\frac{5}{2} a + b = 5

。兩式相減

\frac{1}{2} a = 4

，

a = 8

，

b = 1 - 16 = - 15

。所以

(a, b) = (8, - 15)

。

lo g_{4} 32

用換底化成以

2

為底：

32 = 2^{5}

、

4 = 2^{2}

，所以是

\frac{5}{2}

。

第 10 題

指數 $g (x) = x^{2} - 2 x + 1 = (x - 1)^{2}$ 。 $- 1 \leq x \leq 2$ 時， $x = 1$ 有最小值 $0$ ； $x = - 1$ 時 $(x - 1)^{2} = 4$ 、 $x = 2$ 時為 $1$ ，所以最大值是 $4$ ， $0 \leq g (x) \leq 4$ 。

底數 $\frac{1}{3} < 1$ ， $y = (\frac{1}{3})^{u}$ 遞減，指數愈小值愈大：最大值 $m = (\frac{1}{3})^{0} = 1$ ，最小值 $n = (\frac{1}{3})^{4} = \frac{1}{81}$ 。所以 $m - n = 1 - \frac{1}{81} = \frac{80}{81}$ 。

底數小於

1

，指數的最小值對應函數的最大值；指數的最大值要比較兩個端點。

第 11 題兩邊都是正數，取常用對數：

n - 1 > n lo g 8 = 3 n lo g 2 \approx 0.9030 n

，所以

(1 - 0.9030) n > 1

，

0.097 n > 1

，

n > \frac{1}{0.097} \approx 10.31

。最小正整數

n = 11

。

檢查邊界：

n = 10

時

1 0^{9}

對

8^{10} = 2^{30} = 1073741824

，不成立；

n = 11

時

1 0^{10} > 8^{11} = 8589934592

，成立。

對數不等式先寫真數條件，換成同底後再看底數大於 1 還是小於 1 決定不等號方向。

04填充 12～16（原卷 F～J）：小數點後第幾位、分貝、共同值、定額投入的複利、位數

第 12 題

由指數律， $a = 3^{- (1 + 3 + 5 + \dots + 19)}$ 。括號內是首項 $1$ 、末項 $19$ 的 $10$ 個奇數，和為 $\frac{( 1 + 19 ) \times 10}{2} = 100$ ，所以 $a = 3^{- 100}$ 。

$lo g a = - 100 lo g 3 \approx - 47.71 = - 48 + 0.29$ ，所以 $a = 1 0^{0.29} \times 1 0^{- 48}$ ，而 $1 < 1 0^{0.29} < 10$ 。 $a$ 的小數點後第 $48$ 位開始不為零。

lo g a

要寫成「負整數＋介於

0

與

1

之間的數」，

- 47.71

的整數部分是

- 48

，不是

- 47

。

第 13 題演唱會音響：

10 lo g \frac{I _{1}}{1 0 ^{- 12}} = 90

，

\frac{I _{1}}{1 0 ^{- 12}} = 1 0^{9}

，

I_{1} = 1 0^{- 3}

。日常交談：

10 lo g \frac{I _{2}}{1 0 ^{- 12}} = 60

，

I_{2} = 1 0^{- 6}

。

k

個人一起合唱時強度為

k I_{2}

，要

k I_{2} = I_{1}

，

k = \frac{1 0 ^{- 3}}{1 0 ^{- 6}} = 1000

。

分貝相差

30

，強度相差

1 0^{\frac{30}{10}} = 1000

倍；人數是強度相加，不是分貝相加。

第 14 題

設共同值為 $t$ ： $x = 1 0^{t}$ ， $y = 10 0^{t} = (1 0^{t})^{2}$ ， $x + 2 y = 100 0^{t} = (1 0^{t})^{3}$ 。令 $u = 1 0^{t} > 0$ ，則 $u + 2 u^{2} = u^{3}$ ，兩邊除以 $u$ 得 $u^{2} - 2 u - 1 = 0$ ， $u = 1 \pm 2$ ，取正值 $u = 1 + 2$ 。

所以 $x + 2 y = u^{3} = (1 + 2)^{3} = 1 + 32 + 6 + 22 = 7 + 52$ 。

驗算：

x = 1 + 2

，

y = (1 + 2)^{2} = 3 + 22

，

x + 2 y = 7 + 52

，與

u^{3}

相同。

第 15 題

每月初買入 $1$ 萬元，月報酬率 $2%$ 複利。 $5$ 年共 $60$ 個月：第 $1$ 個月買的放了 $60$ 個月，變成 $1.0 2^{60}$ 萬元；第 $2$ 個月買的變成 $1.0 2^{59}$ 萬元；……；最後一個月買的放了 $1$ 個月，變成 $1.02$ 萬元。

本利和為等比級數

$1.02 + 1.0 2^{2} + \dots + 1.0 2^{60} = \frac{1.02 ( 1.0 2 ^{60} - 1 )}{1.02 - 1} \approx \frac{1.02 \times 2.2810}{0.02} = 51 \times 2.2810 = 116.331$

四捨五入至整數位為 $116$ 萬元。

題目沒寫是月初還是月底買入；照學校答案是每月初買入、第

5

年最後一個月底結算（若改成每月底買入，最後一筆沒有利息，本利和為

\frac{1.0 2 ^{60} - 1}{0.02} \approx 114

萬元）。

第 16 題

$a^{50}$ 是 $32$ 位數： $31 \leq lo g a^{50} < 32$ ， $0.62 \leq lo g a < 0.64$ 。

$(\frac{1}{b})^{50}$ 的小數點以下第 $36$ 位開始不為零： $- 36 \leq lo g (\frac{1}{b})^{50} < - 35$ ，即 $- 36 \leq - 50 lo g b < - 35$ ， $0.7 < lo g b \leq 0.72$ 。

所以 $lo g (ab)^{10} = 10 lo g a + 10 lo g b$ ，其中 $6.2 \leq 10 lo g a < 6.4$ ， $7 < 10 lo g b \leq 7.2$ ，相加得 $13.2 < lo g (ab)^{10} < 13.6$ 。整數部分是 $13$ ， $(ab)^{10}$ 是 $14$ 位數。

N

位數

\Leftrightarrow

N - 1 \leq lo g x < N

；小數點後第

k

位開始不為零

\Leftrightarrow

- k \leq lo g x < - k + 1

。乘上

- 50

時不等號要反向。

位數與小數點後第幾位都換成常用對數的整數部分；夾範圍時邊界的等號跟著定義走。

05計算題 17～19（原卷計算題 (1)～(3)）：指數衰減與半衰期

第 17 題每小時剩下原來的

1 - 20% = 0.8

倍，一小時後是

150 \times 0.8 = 120

毫克，與題目相符。

x

小時後剩下

f (x) = 150 \times 0. 8^{x}

毫克。

第 18 題半衰期是咖啡因剩下一半所需的時間：

150 \times 0. 8^{x} = 75

，

0. 8^{x} = 0.5

，所以

x = lo g_{0.8} 0.5

（小時）。

也可以寫成

lo g_{0.8} \frac{1}{2}

或

\frac{lo g 2}{1 - 3 lo g 2}

，都是同一個數。

第 19 題

用換底公式化成常用對數：

$lo g_{0.8} 0.5 = \frac{lo g \frac{1}{2}}{lo g \frac{8}{10}} = \frac{- lo g 2}{3 lo g 2 - 1} \approx \frac{- 0.3010}{0.9030 - 1} = \frac{0.3010}{0.0970} \approx 3.103$

四捨五入至小數點後第一位，半衰期約 $3.1$ 小時。

lo g 0.8 = lo g 8 - lo g 10 = 3 lo g 2 - 1

是負數，

lo g 0.5

也是負數，相除為正。原卷配分：(1) 1 分、(2) 1 分、(3) 4 分。

固定百分比衰減寫成「初值乘上剩下比例的 x 次方」；半衰期取對數後用換底公式化成常用對數計算。

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