段考詳解範圍：極限與微分（數列的極限、無窮等比級數、函數的極限、連續、導數與可微分、微分公式、切線）

興大附中 113 上
高三第一次段考
數學試題、答案與詳解

Q: 興大附中 113 上 高三第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 18 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

Q: 興大附中 113 上 高三第一次段考數學哪幾題最容易錯？

單選第 3 題：要先由和為正數推出公比在 0 與 1 之間，再求分母的最大值。多選第 5 題：第 3 個選項的底數趨近 1 但極限不是 1，第 4 與第 5 個選項只差一個高斯符號，結果相反。選填 K（本頁第 16 題）：兩個極限各自給出多項式的一部分資訊，要合起來用。選填 L（本頁第 17 題）：公比是面積的比，要把邊長的比平方。詳解逐題寫在本頁。

Q: 我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

Q: 這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

原卷 18 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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題原卷全文

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則逐題詳解

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01 · 試題

原卷 18 題，照原卷順序

第壹部分選擇題占 22 分（單選題 3 題占 12 分、多選題 2 題占 10 分）、第貳部分選填題 12 題占 72 分、第叁部分非選題 1 題占 6 分。答案已與學校公布的答案逐題核對，全部一致。

第壹部分：選擇題（占 22 分）一、單選題（占 12 分）說明：第 1 題至第 3 題，每題有 5 個選項，其中只有一個是正確或最適當的選項，請畫記在答案卡之「選擇（填）題答案區」。各題答對者，得 4 分；答錯、未作答或畫記多於一個選項者，該題以零分計算。

試求

x \to 5 lim \frac{( x - 6 ) ^{50} - 1}{x - 5} =

(1) $100$
(2) $- 100$
(3) $50$
(4) $- 50$
(5) $1$

試求

x \to \infty lim (4 x^{2} + 12 x - 2 x) =

(1) $3$
(2) $2$
(3) $1$
(4) $0$
(5) 不存在

有一無窮等比級數和之收斂值為正數

S

，且第二項為

2

，則

S

的最小值為何？

(1) $17$
(2) $\frac{1 + 17}{2}$
(3) $8$
(4) $6$
(5) $4$

二、多選題（占 10 分）說明：第 4 題至第 5 題，每題有 5 個選項，其中至少有一個是正確的選項，請將正確選項畫記在答案卡之「選擇（填）題答案區」。各題之選項獨立判定，所有選項均答對者，得 5 分；答錯 1 個選項者，得 3 分；答錯 2 個選項者，得 1 分；答錯多於 2 個選項或所有選項均未作答者，該題以零分計算。

請問下列哪些選項正確？

(1) 無窮數列 $⟨ \frac{( - 1 ) ^{n} \cdot 100}{n} ⟩$ 為收斂數列
(2) 若無窮數列 $⟨ a_{n} ⟩$ 及 $⟨ b_{n} ⟩$ 均為收斂數列，且對於任意正整數 $n$ 皆滿足 $a_{n} < b_{n}$ ，則 $n \to \infty lim a_{n} < n \to \infty lim b_{n}$
(3) 若無窮數列 $⟨ a_{n} ⟩$ 及 $⟨ b_{n} ⟩$ 均為發散數列，則數列 $⟨ a_{n} \times b_{n} ⟩$ 必為發散
(4) 若無窮數列 $⟨ a_{n} ⟩$ 收斂但 $⟨ b_{n} ⟩$ 發散，則數列 $⟨ a_{n} - b_{n} ⟩$ 必為發散
(5) 對於任意正整數 $n$ ，如果 $0 \leq a_{n} \leq b_{n}$ ，且 $n = 1 \sum \infty b_{n}$ 發散，則 $n = 1 \sum \infty a_{n}$ 也發散

請問下列哪些極限存在？（其中

[x]

表示高斯函數）

(1) $x \to 0 lim x sin \frac{1}{x}$
(2) $x \to 0 lim x^{2} cos \frac{1}{x ^{2}}$
(3) $n \to 0 lim (1 + n)^{\frac{1}{n}}$
(4) $x \to 3 lim (x - [x])$
(5) $x \to 3 lim [x - [x]]$

第貳部分：選填題（占 72 分）說明：1. 第 A 至 L，將答案畫記在答案卡之「選擇（填）題答案區」所標示的列號（6-33）。2. 每題完全答對給 6 分，答錯不倒扣，未完全答對不給分。（本頁第 6～17 題依序為原卷的 A～L 題）

設函數

f (x) = {x^{2} + 3 x + a, b x + 1, x \geq 1 x < 1

在

x = 1

處連續且可微分，則數對

(a, b) =

____。

求極限值

x \to 1 lim \frac{- 2 x ^{2} + 7 x - 3 - 2}{x - 1} =

____。

設

f (x) = - x^{3} + a x^{2} + b x - 15

，若以

(2, 19)

為切點的切線斜率最大，則

a - b =

____。

已知函數

f (x) = (\frac{3 x - 5}{x ^{2} - 1})^{4}

，求

f^{'} (2) =

____。（化為最簡分數）

已知

P (2, 1)

為二次函數

f (x) = x^{2} - 3 x + 4

的圖形外一點，已知

L

為通過

P

點且與

y = f (x)

相切的切線，若

L

的斜率為正，則

L

的方程式為

y =

____。

求極限值

n \to \infty lim \frac{( n + 2 n + 3 n + \dots + n ^{2} )}{( 1 ^{2} + 2 ^{2} + 3 ^{2} + \dots + n ^{2} )} =

____。（化為最簡分數）

求極限值

x \to 1 lim \frac{x x - x}{x - 1} =

____。（化為最簡分數）

若

k

為正整數，

n \to \infty lim \frac{( - 2 ) ^{n} + 7 \cdot 3 ^{n} + 5 \cdot 4 ^{n}}{3 ^{n + 1} + 4 ^{n + k}} = \frac{5}{256}

，則

k =

____。

求

n = 1 \sum \infty \frac{5 ^{n + 1} - 6 ^{n - 1}}{7 ^{n}} =

____。（化為最簡分數）

已知

f^{'} (a) = 4

，則

h \to 0 lim \frac{f ( a + 3 h ) - f ( a - h )}{h} =

____。

設

f (x)

為一多項式，且

x \to \infty lim \frac{f ( x ) - 3 x ^{3}}{x ^{2} + x - 6} = 1

，

x \to 2 lim \frac{f ( x )}{x ^{2} + x - 6} = 6

，求

x \to 1 lim f (x) =

____。

設有一正三角形

△ A B C

，依序將三邊以

3 : 1

分段，再連接各分點得正三角形

△ A_{1} B_{1} C_{1}

；再將新做出的

△ A_{1} B_{1} C_{1}

三邊按順序以

3 : 1

分段，連接各分點得正三角形

△ A_{2} B_{2} C_{2}

；……，依此規則做出無窮多個正三角形。若所有正三角形

△ A B C

，

△ A_{1} B_{1} C_{1}

，

△ A_{2} B_{2} C_{2}

，……的面積和為

1003

，則正三角形

△ A B C

之邊長為 ____。

載入中...

第叁部分：非選題（占 6 分）說明：限使用黑色原子筆在標示題號手寫卷內作答。請由左而右橫式書寫，作答時必須寫出計算過程或理由，否則將酌予扣分，只寫答案不予計分。（本頁第 18 題為原卷非選題第 1 題）

設

a_{n} = 1 \times 2 + 2 \times 3 + 3 \times 4 + \dots + n \times (n + 1)

，求

n \to \infty lim \frac{a _{n}}{n ^{2}}

之值為何？

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(4)

第 2 題(1)

第 3 題(3)

第 4 題(1)(4)

第 5 題(1)(2)(3)(5)

第 6 題

(2, 5)

第 7 題

3

第 8 題

- 3

第 9 題

\frac{20}{243}

第 10 題

3 x - 5

第 11 題

\frac{3}{2}

第 12 題

\frac{1}{2}

第 13 題

4

第 14 題

\frac{23}{2}

第 15 題

16

第 16 題

- 14

第 17 題

15

第 18 題

\frac{1}{2}

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

考前先拿一份自己的考前藍圖

註冊之後，在首頁填上你們下一次段考的日期和範圍，練滿 15 題，系統就會照你做過的題、錯過的題，出一份考前藍圖 PDF：一份模擬卷、詳解，還有考前每天練哪一章。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選 1～3：因式分解約分、有理化、無窮等比級數的和

第 1 題答案 (4)。令

t = x - 6

，則

x - 5 = t + 1

，

x \to 5

時

t \to - 1

，原式

= t \to - 1 lim \frac{t ^{50} - 1}{t + 1}

。分子

t^{50} - 1 = (t^{2} - 1) (t^{48} + t^{46} + \dots + t^{2} + 1)

，其中

t^{2} - 1 = (t + 1) (t - 1)

，約掉

t + 1

後得

(t - 1) (t^{48} + t^{46} + \dots + t^{2} + 1)

。後面的括號共有

25

項，

t \to - 1

時每一項都趨近

1

，所以極限為

(- 1 - 1) \times 25 = - 50

，選 (4)。

也可以看成導數：設

g (x) = (x - 6)^{50}

，

g (5) = 1

，原式就是

g^{'} (5)

；

g^{'} (x) = 50 (x - 6)^{49}

，

g^{'} (5) = 50 \cdot (- 1)^{49} = - 50

。奇數次方的負號不要漏掉。

第 2 題答案 (1)。兩項都趨近無限大，先有理化：

4 x^{2} + 12 x - 2 x = \frac{( 4 x ^{2} + 12 x ) - 4 x ^{2}}{4 x ^{2} + 12 x + 2 x} = \frac{12 x}{4 x ^{2} + 12 x + 2 x}

。

x > 0

時分子分母同除以

x

，得

\frac{12}{4 + \frac{12}{x} + 2}

，

x \to \infty

時趨近

\frac{12}{2 + 2} = 3

。

不能把

4 x^{2} + 12 x

直接當成

2 x

而說差是

0

；根號裡的

12 x

會留下一個常數。

第 3 題答案 (3)。設首項

a

、公比

r

。第二項

a r = 2

，所以

r \neq = 0

，

a = \frac{2}{r}

；級數收斂，所以

∣ r ∣ < 1

。和

S = \frac{a}{1 - r} = \frac{2}{r ( 1 - r )}

。因為

1 - r > 0

，

S > 0

表示

r > 0

，所以

0 < r < 1

。配方：

r (1 - r) = \frac{1}{4} - (r - \frac{1}{2})^{2} \leq \frac{1}{4}

，且在

0 < r < 1

時

r (1 - r) > 0

，所以

S = \frac{2}{r ( 1 - r )} \geq \frac{2}{\frac{1}{4}} = 8

。等號在

r = \frac{1}{2}

（此時

a = 4

）成立，

S

的最小值為

8

。

分母

r (1 - r)

愈大，

S

愈小；所以要找的是

r (1 - r)

的最大值。

分子分母都趨近 0 就找公因式約掉；兩個無限大相減先有理化。

02多選 4～5：收斂與發散的性質、極限存在的判斷

第 4 題答案 (1)(4)。(1)

- \frac{100}{n} \leq \frac{( - 1 ) ^{n} \cdot 100}{n} \leq \frac{100}{n}

，兩邊都趨近

0

，由夾擠定理知數列收斂到

0

，對。(2) 取

a_{n} = 0

、

b_{n} = \frac{1}{n}

，每一項都有

a_{n} < b_{n}

，但兩個極限都是

0

，並不是「小於」，錯。(3) 取

a_{n} = b_{n} = (- 1)^{n}

，兩個都發散，但

a_{n} \times b_{n} = 1

是收斂數列，錯。(4) 假設

⟨ a_{n} - b_{n} ⟩

收斂，則

b_{n} = a_{n} - (a_{n} - b_{n})

是兩個收斂數列的差，也收斂，與

⟨ b_{n} ⟩

發散矛盾；所以

⟨ a_{n} - b_{n} ⟩

必發散，對。(5) 取

a_{n} = 0

、

b_{n} = 1

，滿足

0 \leq a_{n} \leq b_{n}

，

n = 1 \sum \infty b_{n}

的部分和為

n

，發散；但

n = 1 \sum \infty a_{n} = 0

收斂，錯。

(2) 每一項嚴格小於，取極限後只能保證「小於或等於」。(5) 把大小關係反過來才成立：各項較大的級數收斂時，各項較小（且不為負）的級數才跟著收斂。

第 5 題答案 (1)(2)(3)(5)。(1) 因為

sin \frac{1}{x} \leq 1

，所以

- ∣ x ∣ \leq x sin \frac{1}{x} \leq ∣ x ∣

，兩邊在

x \to 0

時都趨近

0

，由夾擠定理知極限為

0

，存在。(2) 同理

- x^{2} \leq x^{2} cos \frac{1}{x ^{2}} \leq x^{2}

，極限為

0

，存在。(3) 令

m = \frac{1}{n}

，式子變成

(1 + \frac{1}{m})^{m}

；

n \to 0

時

m

的絕對值愈來愈大，這個式子會趨近一個定值，就是課本由連續複利介紹的常數

e \approx 2.718

，極限存在。(4)

2 < x < 3

時

[x] = 2

，

x - [x] = x - 2

，左極限為

1

；

3 < x < 4

時

[x] = 3

，

x - [x] = x - 3

，右極限為

0

。左右極限不相等，極限不存在。(5) 對任何實數

x

都有

0 \leq x - [x] < 1

，所以

[x - [x]] = 0

，是常數函數，極限為

0

，存在。

(3) 的底數趨近

1

、指數的絕對值趨近無限大，不能說「

1

的任何次方都是

1

」；用

n = 0.01

代入得

1.0 1^{100} \approx 2.705

，用

n = - 0.01

代入得

0.9 9^{- 100} \approx 2.732

，兩側都靠近

2.718

，不是

1

。(4) 與 (5) 只差最外層一個高斯符號，結果相反。

判斷「必為」的敘述先找反例；有界的量乘上趨近 0 的量，用夾擠定理。

03選填 6～10（原卷 A～E）：連續與可微分、含絕對值的極限、微分公式與切線

第 6 題連續：

x \to 1^{-} lim (b x + 1) = b + 1

要等於

f (1) = 1 + 3 + a = a + 4

，所以

b = a + 3

。可微分：右側

h \to 0^{+} lim \frac{( 1 + h ) ^{2} + 3 ( 1 + h ) + a - ( a + 4 )}{h} = h \to 0^{+} lim \frac{h ^{2} + 5 h}{h} = 5

；左側

h \to 0^{-} lim \frac{b ( 1 + h ) + 1 - ( a + 4 )}{h} = h \to 0^{-} lim \frac{bh + ( b - a - 3 )}{h} = b

（用到

b - a - 3 = 0

）。兩側相等，

b = 5

，

a = b - 3 = 2

。

(a, b) = (2, 5)

。

兩個條件都要用：先讓函數值接得上，再讓左右兩側的斜率相等。

第 7 題

x = 1

時

- 2 x^{2} + 7 x - 3 = 2 > 0

，所以

x

在

1

附近時絕對值裡面是正的，可以直接拿掉絕對值：分子

= - 2 x^{2} + 7 x - 3 - 2 = - 2 x^{2} + 7 x - 5 = - (2 x - 5) (x - 1)

。原式

= x \to 1 lim \frac{- ( 2 x - 5 ) ( x - 1 )}{x - 1} = x \to 1 lim (- (2 x - 5)) = 3

。

先代

x = 1

看絕對值裡面的正負，再決定怎麼拿掉絕對值。

第 8 題切線斜率為

f^{'} (x) = - 3 x^{2} + 2 a x + b

，是開口向下的二次函數，配方得

- 3 (x - \frac{a}{3})^{2} + \frac{a ^{2}}{3} + b

，在

x = \frac{a}{3}

時最大。題目說切點

(2, 19)

的切線斜率最大，所以

\frac{a}{3} = 2

，

a = 6

。又

(2, 19)

在圖形上：

f (2) = - 8 + 4 a + 2 b - 15 = 1 + 2 b = 19

，

b = 9

。

a - b = 6 - 9 = - 3

。

「斜率最大」是對

f^{'} (x)

這個二次函數求最大值，不是對

f (x)

。

第 9 題設

u (x) = \frac{3 x - 5}{x ^{2} - 1}

，則

f (x) = (u (x))^{4}

，由連鎖律

f^{'} (x) = 4 (u (x))^{3} \cdot u^{'} (x)

。

u (2) = \frac{1}{3}

。由除法的微分公式，

u^{'} (x) = \frac{3 ( x ^{2} - 1 ) - ( 3 x - 5 ) \cdot 2 x}{( x ^{2} - 1 ) ^{2}}

，

u^{'} (2) = \frac{3 \cdot 3 - 1 \cdot 4}{9} = \frac{5}{9}

。所以

f^{'} (2) = 4 \cdot \frac{1}{27} \cdot \frac{5}{9} = \frac{20}{243}

。

外層的四次方微分後，還要乘上裡面那個分式的導數。

第 10 題設切點為

(t, t^{2} - 3 t + 4)

。

f^{'} (x) = 2 x - 3

，切線斜率為

2 t - 3

。切線通過

P (2, 1)

，所以

1 - (t^{2} - 3 t + 4) = (2 t - 3) (2 - t)

，即

- t^{2} + 3 t - 3 = - 2 t^{2} + 7 t - 6

，整理得

t^{2} - 4 t + 3 = 0

，

t = 1

或

t = 3

。對應的斜率為

- 1

或

3

，取斜率為正的

3

。

L

：

y - 1 = 3 (x - 2)

，即

y = 3 x - 5

。

P

不在圖形上（

f (2) = 2 \neq = 1

），不能把

x = 2

直接代進

f^{'} (x)

當斜率；要先設切點。驗算：

x^{2} - 3 x + 4 = 3 x - 5

即

(x - 3)^{2} = 0

，有重根，確實相切。

過圖形外一點的切線，先設切點，再用「切線通過該點」列式。

04選填 11～14（原卷 F～I）：數列的極限與無窮等比級數

第 11 題分子

= n (1 + 2 + 3 + \dots + n) = n \cdot \frac{n ( n + 1 )}{2} = \frac{n ^{2} ( n + 1 )}{2}

；分母

= \frac{n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 )}{6}

。相除得

\frac{n ^{2} ( n + 1 )}{2} \cdot \frac{6}{n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 )} = \frac{3 n}{2 n + 1}

，分子分母同除以

n

得

\frac{3}{2 + \frac{1}{n}} \to \frac{3}{2}

。

分子的最後一項

n^{2}

是

n \cdot n

，所以分子是

n

乘上

1

加到

n

。項數會隨

n

變多的和，要先求和再取極限。

第 12 題分子

x x - x = x (x - 1)

，分母

x - 1 = (x - 1) (x + 1)

。約掉

x - 1

得

\frac{x}{x + 1}

，

x \to 1

時趨近

\frac{1}{1 + 1} = \frac{1}{2}

。

第 13 題分子分母同除以

4^{n}

：

\frac{( - \frac{1}{2} ) ^{n} + 7 ( \frac{3}{4} ) ^{n} + 5}{3 ( \frac{3}{4} ) ^{n} + 4 ^{k}}

。

n \to \infty

時

(- \frac{1}{2})^{n}

與

(\frac{3}{4})^{n}

都趨近

0

，所以極限為

\frac{5}{4 ^{k}}

。由

\frac{5}{4 ^{k}} = \frac{5}{256}

得

4^{k} = 256 = 4^{4}

，

k = 4

。

分母的

4^{n + k} = 4^{k} \cdot 4^{n}

，除以

4^{n}

之後剩下常數

4^{k}

。

第 14 題拆成兩個級數：

\frac{5 ^{n + 1}}{7 ^{n}} = 5 (\frac{5}{7})^{n}

，

\frac{6 ^{n - 1}}{7 ^{n}} = \frac{1}{6} (\frac{6}{7})^{n}

，兩者的公比

\frac{5}{7}

、

\frac{6}{7}

絕對值都小於

1

，各自收斂。第一個的首項為

\frac{25}{7}

，和為

\frac{\frac{25}{7}}{1 - \frac{5}{7}} = \frac{25}{2}

；第二個的首項為

\frac{1}{7}

，和為

\frac{\frac{1}{7}}{1 - \frac{6}{7}} = 1

。所以原式

= \frac{25}{2} - 1 = \frac{23}{2}

。

首項要用

n = 1

代入：

\frac{5 ^{2}}{7} = \frac{25}{7}

與

\frac{6 ^{0}}{7} = \frac{1}{7}

。

指數型的極限，同除以底數最大的那一項；兩個收斂級數的差可以拆開各自求和。

05選填 15～17（原卷 J～L）：導數的定義、由極限求多項式、面積的等比級數

第 15 題分子加一項減一項：

f (a + 3 h) - f (a - h) = (f (a + 3 h) - f (a)) - (f (a - h) - f (a))

。

\frac{f ( a + 3 h ) - f ( a )}{h} = 3 \cdot \frac{f ( a + 3 h ) - f ( a )}{3 h} \to 3 f^{'} (a)

；

\frac{f ( a - h ) - f ( a )}{h} = - \frac{f ( a - h ) - f ( a )}{- h} \to - f^{'} (a)

。所以原式

= 3 f^{'} (a) - (- f^{'} (a)) = 4 f^{'} (a) = 16

。

分子的增量是

3 h

與

- h

，分母要配成同樣的增量才是導數的定義。

第 16 題第一個極限：分母是二次式，極限為

1

，所以分子

f (x) - 3 x^{3}

也是二次式且

x^{2}

的係數為

1

；即

f (x) = 3 x^{3} + x^{2} + \dots

。第二個極限：

x^{2} + x - 6 = (x - 2) (x + 3)

，

x \to 2

時分母趨近

0

而極限存在，所以

f (2) = 0

，

f (x)

有因式

x - 2

。設

f (x) = (x - 2) (3 x^{2} + p x + q)

，展開後

x^{2}

的係數為

p - 6 = 1

，

p = 7

。此時

x \to 2 lim \frac{f ( x )}{( x - 2 ) ( x + 3 )} = x \to 2 lim \frac{3 x ^{2} + 7 x + q}{x + 3} = \frac{26 + q}{5} = 6

，

q = 4

。所以

f (x) = (x - 2) (3 x^{2} + 7 x + 4)

；多項式函數連續，

x \to 1 lim f (x) = f (1) = (- 1) \cdot 14 = - 14

。

展開得

f (x) = 3 x^{3} + x^{2} - 10 x - 8

。

x \to \infty

的極限告訴我們最高次的兩個係數，

x \to 2

的極限告訴我們

f (2) = 0

與約分後的值。

第 17 題設

△ A B C

的邊長為

a

。每一邊都被分成

\frac{3 a}{4}

與

\frac{a}{4}

兩段，所以在每個頂點旁的小三角形（例如

△ A_{1} B B_{1}

）中，夾

6 0^{\circ}

角的兩邊長為

\frac{a}{4}

與

\frac{3 a}{4}

。由餘弦定理，

\overline{A_{1} B_{1}}^{2} = \frac{a ^{2}}{16} + \frac{9 a ^{2}}{16} - 2 \cdot \frac{a}{4} \cdot \frac{3 a}{4} \cdot \frac{1}{2} = \frac{7 a ^{2}}{16}

。正三角形的面積與邊長的平方成正比，所以每做一次，面積變成前一個的

\frac{7}{16}

倍。面積和是首項

\frac{3}{4} a^{2}

、公比

\frac{7}{16}

的無窮等比級數，和為

\frac{\frac{3}{4} a ^{2}}{1 - \frac{7}{16}} = \frac{4 3}{9} a^{2}

。令它等於

1003

，得

a^{2} = 225

，

a = 15

。

公比是面積的比

\frac{7}{16}

，不是邊長的比

\frac{7}{4}

。

相似圖形反覆縮小：先求邊長比，平方後就是面積的公比。

06非選題 18（原卷非選題第 1 題）：夾擠定理

第 18 題對每個正整數

k

，

k^{2} < k (k + 1) < (k + 1)^{2}

，所以

k < k (k + 1) < k + 1

。對

k = 1, 2, \dots, n

相加：

1 + 2 + \dots + n < a_{n} < 2 + 3 + \dots + (n + 1)

，即

\frac{n ( n + 1 )}{2} < a_{n} < \frac{n ( n + 3 )}{2}

。同除以

n^{2}

：

\frac{n + 1}{2 n} < \frac{a _{n}}{n ^{2}} < \frac{n + 3}{2 n}

。因為

n \to \infty lim \frac{n + 1}{2 n} = \frac{1}{2}

且

n \to \infty lim \frac{n + 3}{2 n} = \frac{1}{2}

，由夾擠定理得

n \to \infty lim \frac{a _{n}}{n ^{2}} = \frac{1}{2}

。

2 + 3 + \dots + (n + 1) = \frac{n ( n + 3 )}{2}

（首項

2

、末項

n + 1

、共

n

項）。根號的和沒有公式，把每一項夾在兩個相鄰整數之間，兩邊就都能用等差級數求和。作答時要寫出不等式、兩邊的極限，並說明用的是夾擠定理。

加不起來的和，把每一項夾在加得起來的兩個量之間。

同一次段考的其他學校

同樣是高三第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

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本頁列出全部 18 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

興大附中 113 上高三第一次段考數學哪幾題最容易錯？

單選第 3 題：要先由和為正數推出公比在 0 與 1 之間，再求分母的最大值。多選第 5 題：第 3 個選項的底數趨近 1 但極限不是 1，第 4 與第 5 個選項只差一個高斯符號，結果相反。選填 K（本頁第 16 題）：兩個極限各自給出多項式的一部分資訊，要合起來用。選填 L（本頁第 17 題）：公比是面積的比，要把邊長的比平方。詳解逐題寫在本頁。

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可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

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可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

題目取自興大附中 113 學年度上學期高三第一次段考數學甲，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

興大附中 113 上高三第一次段考數學試題、答案與詳解

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01單選 1～3：因式分解約分、有理化、無窮等比級數的和

02多選 4～5：收斂與發散的性質、極限存在的判斷

03選填 6～10（原卷 A～E）：連續與可微分、含絕對值的極限、微分公式與切線

04選填 11～14（原卷 F～I）：數列的極限與無窮等比級數

05選填 15～17（原卷 J～L）：導數的定義、由極限求多項式、面積的等比級數

06非選題 18（原卷非選題第 1 題）：夾擠定理

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興大附中 113 上
高三第一次段考
數學試題、答案與詳解

興大附中 113 上高三第一次段考數學的答案在哪裡？

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