段考詳解範圍：直線方程式、二元一次不等式、圓方程式、圓與直線

興大附中 112 上
高一第二次段考
數學試題、答案與詳解

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這一章有整理好的單元冊：《直線與圓》

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則逐題詳解

個單元，勾錯題號就知道錯在哪

元，不用註冊

01 · 試題

原卷 18 題，照原卷順序

單選題 3 題（12 分）、多選題 3 題（24 分）、選填題 9 題（54 分）、混合題 1 題 3 小題（10 分：2＋2＋6），合計 100 分。本頁第 7～15 題依序為原卷選填 A～I 題，第 16～18 題依序為原卷混合題的 (a)(b)(c) 小題。答案已與學校公布的答案逐題核對。

一、單選題：（每題 4 分，共 12 分。請選出最適合的選項，全對才給分。）

在坐標平面上，

A (- 1, 3)

、

B (5, 7)

，下列何者為

\overline{A B}

的中垂線方程式？

(1) $2 x - 3 y + 11 = 0$
(2) $2 x + 3 y - 19 = 0$
(3) $3 x - 2 y + 4 = 0$
(4) $3 x + 2 y - 16 = 0$
(5) $3 x + 2 y - 3 = 0$

若二元二次方程式

x^{2} + y^{2} + 4 x + k y + k + 3 = 0

的圖形為一個點，則

k =

？

(1) $2$
(2) $1$
(3) $- 1$
(4) $- 2$
(5) $\frac{- 1 \pm 3}{2}$

在坐標平面上，直線

L

過點

P (- 3, 6)

且與圓

C : (x + 1)^{2} + (y - 4)^{2} = 3

相交於點

A

、點

B

，當弦長

\overline{A B}

有最大值

k

時，此時直線

L

的斜率為

m

，則

k + m =

？

(1) $23 + 1$
(2) $23 - 1$
(3) $7$
(4) $5$
(5) $\frac{7}{2}$

二、多選題：｜1. 每題 8 分，共 24 分，每題至少有一個選項是正確的。2. 所有選項均答對者得 8 分；錯一個選項得 4.8 分；錯二個選項得 1.6 分；所有選項均未作答或答錯多於 2 個選項者，該題以 0 分計算。

在坐標平面上，下列哪些選項正確？

(1) 直線 $4 x + 3 = 0$ 的斜率為 $4$
(2) 直線 $2 x + 6 y + 5 = 0$ 的斜率為 $\frac{1}{3}$
(3) $(2, 4)$ 、 $(6, 3)$ 、 $(14, 1)$ 三點在同一直線上
(4) 直線 $3 x + y + 2 = 0$ 與直線 $x + 3 y + 5 = 0$ 互相垂直
(5) 恰通過第一、第四象限的直線，其斜率為 $0$

在坐標平面上，下列哪些選項正確？

(1) 以 $(1, 2)$ 為圓心， $2$ 為半徑的圓方程式為 $(x + 1)^{2} + (y + 2)^{2} = 2$
(2) $x^{2} + y^{2} + 4 x + 6 y + 11 = 0$ 的圖形是一個半徑為 $2$ 的圓
(3) 可找到唯一的圓通過 $(1, 3)$ 、 $(5, 2)$ 、 $(13, 0)$ 三點
(4) 原點 $(0, 0)$ 在圓 $C : 2 x^{2} + 2 y^{2} + 4 x + 6 y + 5 = 0$ 的外部
(5) 圓 $C : (x - 1)^{2} + (y + 1)^{2} = 2$ 恰通過第一、第三、第四象限

在坐標平面上，直線

L

的方程式為

k x + y = 4 + k

，其中

k

為實數。下列哪些選項正確？

(1) 不論 $k$ 為何值，直線 $L$ 恆過點 $(1, 4)$
(2) 直線 $L$ 的斜率為 $k$
(3) 直線 $L$ 的 $y$ 截距為 $4 + k$
(4) 若 $k x_{0} + y_{0} > 4 + k$ ，則不論 $k$ 為何值，點 $(x_{0}, y_{0})$ 與點 $(1, 3)$ 在 $L$ 的異側
(5) 若 $L$ 與兩坐標軸所圍的三角形面積為 $4$ ，則滿足條件之直線 $L$ 有 $2$ 條

三、選填題：｜1. 第 A 至 I 題，將答案畫記在答案卡之「選擇（填）題答案區」所標示的列號（7－25）。2. 每題完全答對給 6 分，共 54 分。答錯不倒扣，未完全答對不給分。3. 若答案為分數，皆須化為最簡分數；若答案內有根號，皆須化為最簡根式。否則不予計分。

在坐標平面上，若點

A (2, 6)

、點

B (- 4, - 2)

在直線

L : x + y + 8 = 0

的投影點分別為

M

、

N

，則線段

\overline{M N}

的長度為 ____。

在坐標平面上，點

A (- 1, 4)

、點

B (3, 5)

，若直線

L

過

A

點，且

B

點到直線

L

的距離為

\overline{A B}

，則直線

L

的斜率為 ____。

在坐標平面上，圓

C : x^{2} + y^{2} + 2 a x - 6 y + a = 0

的半徑為

3

，且圓心在直線

L : y = b x + 4 a

上，則

a + b =

____。

在坐標平面上，圓

C : (x - 5)^{2} + (y - 2)^{2} = 100

與直線

L : x + y + 3 = 0

交於

A

、

B

兩點，若線段

\overline{A B}

的中點為

M

，則

M

點的坐標為 ____。

在坐標平面上，直線

L

過點

A (3, 1)

，將圓

C : x^{2} + y^{2} - 2 x + 6 y - 15 = 0

分成大、小兩弓形，當

L

的斜率改變時，兩弓形的面積亦隨之改變。當直線

L

的斜率為 ( ____ ) 時，小弓形的面積為最小。(化為最簡分數)

在坐標平面上，圓

C

通過

O (0, 0)

、

A (a, 0)

、

B (0, b)

三相異點，且過

A

點的切線是

L : x + y = 8

，則數對

(a, b) =

____。

在坐標平面上，直線

L : y = m x + 8

與直線

y = - \frac{1}{4} x + 3

互相垂直。設

a > 0

，

b > 0

，將直線

L

向右平移

a

單位，或是將直線

L

向下平移

b

單位，皆會與直線

M : y = m x

重合，則數對

(a, b) =

____。

坐標平面上有一圓，其圓心為

A (a, b)

，且此圓與兩坐標軸皆相切，另有一點

P (c, - c)

，其中

a < c < 0

，若

\overline{P A} = ∣ a + c ∣

，則

\frac{a + c}{b + c} =

____。(化為最簡根式)

在坐標平面上，有兩點

A (- 2, 0)

與

B (4, 0)

。已知點

C (x, y)

滿足聯立不等式

3 x - 4 y \geq - 11

、

x + 3 y \geq 5

以及

4 x - y \leq 7

，則當

C

點坐標為 ____ 時，

△ A B C

有最大的面積。

四、混合題（共 10 分）：｜1. 第 (a) 小題為單選題，不用書寫計算過程，將答案畫記在答案卡之「選擇（填）題答案區」所標示的列號（26）。2. 第 (b)、(c) 小題為非選擇題，限使用黑色原子筆在標示題號手寫卷內作答。請由左而右橫式書寫，作答時必須寫出計算過程或理由，否則將酌予扣分，只寫答案不予計分。

混合題（第 16～18 題）　在坐標平面上，圓

C

和直線

L : y = 3

相切且過點

A (3, 5)

，圓

C

的圓心為

(a, b)

，

(a) 圓心

(a, b)

必落在下列哪一個圖形上？(單選題，2 分)

(1) $y = x + 2$
(2) $y = \frac{1}{4} (x + 3)^{2} - 4$
(3) $y = \frac{1}{4} (x + 3)^{2} + 4$
(4) $y = \frac{1}{4} (x - 3)^{2} - 4$
(5) $y = \frac{1}{4} (x - 3)^{2} + 4$

(b) 求圓

C

的最小半徑。(非選擇題，2 分)

(c)

A (3, 5)

是圓

C

上距離

P (- 9, 10)

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(4)

第 2 題(1)

第 3 題(2)

第 4 題(3)

第 5 題(4)(5)

第 6 題(1)(3)(4)(5)

第 7 題

2

第 8 題

- 4

第 9 題

2

第 10 題

(0, - 3)

第 11 題

- \frac{1}{2}

第 12 題

(8, - 8)

第 13 題

(2, 8)

第 14 題

- 2

第 15 題

(3, 5)

第 16 題(5)

第 17 題

1

第 18 題

(x - \frac{13}{3})^{2} + (y - \frac{40}{9})^{2} = \frac{169}{81}

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選 1～3：中垂線、一般式的圖形與過定點的最長弦

第 1 題答案 (4)。

\overline{A B}

的中點是

(\frac{- 1 + 5}{2}, \frac{3 + 7}{2}) = (2, 5)

，

\overline{A B}

的斜率是

\frac{7 - 3}{5 - ( - 1 )} = \frac{2}{3}

，中垂線的斜率是

- \frac{3}{2}

。中垂線：

y - 5 = - \frac{3}{2} (x - 2)

，同乘

2

整理得

3 x + 2 y - 16 = 0

。

檢查：

(2, 5)

代入

3 \cdot 2 + 2 \cdot 5 - 16 = 0

；選項 (5) 斜率對但不過中點。

第 2 題答案 (1)。配方：

(x + 2)^{2} + (y + \frac{k}{2})^{2} = 4 + \frac{k ^{2}}{4} - k - 3 = \frac{k ^{2}}{4} - k + 1 = (\frac{k}{2} - 1)^{2}

。圖形是一個點，表示右邊等於

0

：

\frac{k}{2} - 1 = 0

，

k = 2

（此時圖形是點

(- 2, - 1)

）。

右邊是完全平方，不會是負的，所以這個方程式的圖形只會是圓或一點，不會是「沒有圖形」。

第 3 題答案 (2)。圓心

(- 1, 4)

，半徑

3

。圓裡最長的弦是直徑，所以最大弦長

k = 23

，此時

L

通過圓心。

L

過

P (- 3, 6)

與圓心

(- 1, 4)

，斜率

m = \frac{4 - 6}{- 1 - ( - 3 )} = - 1

。

k + m = 23 - 1

。

P

到圓心的距離是

4 + 4 = 22 > 3

，

P

在圓外；過圓心的直線一定和圓交於兩點。

中垂線＝過中點、斜率是負倒數；一般式先配方看右邊的正負；過定點的弦要最長就讓它通過圓心。

02多選 4～6：斜率與垂直、圓的方程式、過定點的直線系

第 4 題答案 (3)。(1) 錯誤。

4 x + 3 = 0

即

x = - \frac{3}{4}

，是鉛直線，沒有斜率。(2) 錯誤。

2 x + 6 y + 5 = 0

的斜率是

- \frac{2}{6} = - \frac{1}{3}

。(3) 正確。 前兩點的斜率是

\frac{3 - 4}{6 - 2} = - \frac{1}{4}

，後兩點的斜率是

\frac{1 - 3}{14 - 6} = - \frac{1}{4}

，斜率相同又有共同點

(6, 3)

，三點共線。(4) 錯誤。 兩直線的斜率是

- 3

與

- \frac{1}{3}

，乘積是

1

，不是

- 1

，不垂直。(5) 錯誤。 斜率為

0

的直線是水平線

y = c

：

c > 0

時通過第一、二象限，

c < 0

時通過第三、四象限，

c = 0

是

x

軸，都不是「恰通過第一、第四象限」。恰通過第一、四象限的是

x = c

（

c > 0

）這種鉛直線，沒有斜率。

第 5 題答案 (4)(5)。(1) 錯誤。 圓心

(1, 2)

、半徑

2

的圓是

(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} = 4

。(2) 錯誤。 配方得

(x + 2)^{2} + (y + 3)^{2} = 4 + 9 - 11 = 2

，半徑是

2

。(3) 錯誤。

(1, 3)

、

(5, 2)

的斜率是

- \frac{1}{4}

，

(5, 2)

、

(13, 0)

的斜率是

\frac{- 2}{8} = - \frac{1}{4}

，三點共線，沒有圓能同時通過它們。(4) 正確。 同除以

2

：

x^{2} + y^{2} + 2 x + 3 y + \frac{5}{2} = 0

，配方得

(x + 1)^{2} + (y + \frac{3}{2})^{2} = \frac{3}{4} > 0

，確實是圓。原點代入左邊得

\frac{5}{2} > 0

，所以原點在圓外。(5) 正確。 圓心

(1, - 1)

，半徑

2

。點

(1, - 1 + 2)

在圓上且在第一象限，點

(1 - 2, - 1)

在圓上且在第三象限，圓心附近的點在第四象限。第二象限的點

(x, y)

有

x < 0

、

y > 0

，到圓心的距離平方

(x - 1)^{2} + (y + 1)^{2} > 1 + 1 = 2

，都在圓外，所以圓不通過第二象限。

(5) 的圓恰好通過原點：原點到圓心的距離是

2

，等於半徑。

第 6 題答案 (1)(3)(4)(5)。

L

可以寫成

k (x - 1) + (y - 4) = 0

。(1) 正確。

x = 1

、

y = 4

時不論

k

為何值都成立。(2) 錯誤。

y = - k x + 4 + k

，斜率是

- k

。(3) 正確。 代

x = 0

得

y = 4 + k

。(4) 正確。 令

f (x, y) = k x + y - 4 - k

，條件是

f (x_{0}, y_{0}) > 0

；而

f (1, 3) = k + 3 - 4 - k = - 1 < 0

。兩點代入的正負相反，所以不論

k

為何值都在

L

的異側。(5) 正確。

k = 0

時

L

是水平線

y = 4

，圍不成三角形；

k = - 4

時

L

過原點，也圍不成。其他情形

x

截距是

\frac{4 + k}{k}

，

y

截距是

4 + k

，面積

\frac{1}{2} \cdot \frac{( 4 + k ) ^{2}}{∣ k ∣} = 4

，即

(4 + k)^{2} = 8∣ k ∣

。

k > 0

時得

k^{2} + 16 = 0

，無解；

k < 0

時得

k^{2} + 16 k + 16 = 0

，判別式

256 - 64 = 192 > 0

，兩根的積

16 > 0

、和

- 16 < 0

，兩根都是負數，合乎

k < 0

。所以恰有

2

條。

(5) 的兩個

k

是

- 8 \pm 43

。

k

拆出來寫成

k (\dots) + (\dots) = 0

，就看得出直線恆過的點；判斷兩點在直線的同側或異側，把兩點代入看正負。

03選填 A～I（第 7～15 題）：投影點、距離、圓心位置、弦的中點、最短弦、切線、平移、相切的圓與不等式區域

第 7 題

A

的投影點

M

：過

A (2, 6)

垂直於

L

的直線斜率是

1

，即

y = x + 4

，與

x + y + 8 = 0

聯立得

M (- 6, - 2)

。

B

的投影點

N

：過

B (- 4, - 2)

垂直於

L

的直線是

y = x + 2

，與

L

聯立得

N (- 5, - 3)

。

\overline{M N} = (- 5 + 6)^{2} + (- 3 + 2)^{2} = 2

。

投影點就是從該點向

L

作垂線的垂足；

L

的斜率是

- 1

，垂線的斜率是

1

。

第 8 題

B

到

L

的距離是

B

到

L

上所有點的距離中最短的，而

A

在

L

上，所以這個距離最多是

\overline{A B}

；等號成立表示

A

就是

B

在

L

上的投影點，即

L ⊥ \overline{A B}

。

\overline{A B}

的斜率是

\frac{5 - 4}{3 - ( - 1 )} = \frac{1}{4}

，所以

L

的斜率是

- 4

。

第 9 題配方：

(x + a)^{2} + (y - 3)^{2} = a^{2} + 9 - a

，圓心

(- a, 3)

。半徑

3

：

a^{2} - a + 9 = 9

，

a (a - 1) = 0

，

a = 0

或

a = 1

。圓心在

y = b x + 4 a

上：

3 = - ab + 4 a

。

a = 0

時得

3 = 0

，不合；

a = 1

時

3 = - b + 4

，

b = 1

。所以

a + b = 2

。

第 10 題圓心

O^{'} (5, 2)

到弦

\overline{A B}

的垂足就是弦的中點

M

。過

(5, 2)

垂直於

x + y + 3 = 0

的直線斜率是

1

：

y = x - 3

。與

x + y + 3 = 0

聯立：

x + x - 3 + 3 = 0

，

x = 0

，

y = - 3

。

M (0, - 3)

。

圓心到

L

的距離

\frac{∣5 + 2 + 3∣}{2} = 52 < 10

，直線確實與圓交於兩點。

第 11 題配方：

(x - 1)^{2} + (y + 3)^{2} = 25

，圓心

O^{'} (1, - 3)

，半徑

5

。

A (3, 1)

代入得

4 + 16 = 20 < 25

，

A

在圓內，過

A

的直線一定把圓分成兩塊。小弓形的面積越小，表示弦離圓心越遠；弦心距最多是

\overline{O^{'} A}

，在

L ⊥ \overline{O^{'} A}

時達到。

\overline{O^{'} A}

的斜率是

\frac{1 - ( - 3 )}{3 - 1} = 2

，所以

L

的斜率是

- \frac{1}{2}

。

這時弦心距是

\overline{O^{'} A} = 25

，弦最短，小弓形最小。卷面括號內是分數格。

第 12 題

∠ A O B

是直角，直角所對的弦

\overline{A B}

是直徑，圓心是中點

(\frac{a}{2}, \frac{b}{2})

。

A (a, 0)

在切線

x + y = 8

上，所以

a = 8

。切線垂直於過切點的半徑：半徑從圓心到

A

的方向是

(\frac{a}{2}, - \frac{b}{2})

，要與

L

的法向

(1, 1)

平行，所以

\frac{a}{2} = - \frac{b}{2}

，

b = - 8

。

(a, b) = (8, - 8)

。

檢查：圓心

(4, - 4)

，半徑

42

；圓心到

L

的距離

\frac{∣4 - 4 - 8∣}{2} = 42

，等於半徑，

L

確實是切線。

第 13 題

y = - \frac{1}{4} x + 3

的斜率是

- \frac{1}{4}

，

L

與它垂直，

m = 4

，

L : y = 4 x + 8

。向右平移

a

單位：

y = 4 (x - a) + 8 = 4 x - 4 a + 8

，要與

y = 4 x

重合，

- 4 a + 8 = 0

，

a = 2

。向下平移

b

單位：

y = 4 x + 8 - b

，要與

y = 4 x

重合，

b = 8

。

(a, b) = (2, 8)

。

第 14 題圓與兩坐標軸都相切，半徑

= ∣ a ∣ = ∣ b ∣

，所以

b = a

或

b = - a

。

\overline{P A}^{2} = (a - c)^{2} + (b + c)^{2} = (a + c)^{2}

，展開化簡得

b^{2} + 2 b c + c^{2} - 4 a c = 0

。情形一

b = a

：

a^{2} - 2 a c + c^{2} = 0

，

(a - c)^{2} = 0

，

a = c

，與

a < c

不合。情形二

b = - a

：

a^{2} - 6 a c + c^{2} = 0

。令

t = \frac{a}{c}

，因為

a < c < 0

，

t > 1

；同除以

c^{2}

得

t^{2} - 6 t + 1 = 0

，

t = 3 + 22

（另一根

3 - 22 < 1

不合）。所求

\frac{a + c}{b + c} = \frac{a + c}{c - a} = \frac{t + 1}{1 - t} = \frac{4 + 2 2}{- 2 - 2 2} = - \frac{2 + 2}{1 + 2} = - \frac{( 2 + 2 ) ( 2 - 1 )}{1} = - 2

。

b = - a > 0

，圓心在第二象限，與兩軸相切的圓確實存在；例如

c = - 1

時

a = - 3 - 22

。

第 15 題三條邊界兩兩聯立求頂點：

3 x - 4 y = - 11

與

x + 3 y = 5

交於

(- 1, 2)

；

x + 3 y = 5

與

4 x - y = 7

交於

(2, 1)

；

3 x - 4 y = - 11

與

4 x - y = 7

交於

(3, 5)

。可以檢查每個頂點都滿足第三個不等式，三條直線圍成的三角形（含邊界）就是

C

可以在的區域。

\overline{A B}

在

x

軸上，長度

6

，

△ A B C

的面積

= \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot ∣ y ∣ = 3∣ y ∣

。區域內

y

都是正的，最大的

y

出現在頂點

(3, 5)

，所以

C (3, 5)

時面積最大（面積

15

）。

區域是三角形，

y

的最大值一定出現在某個頂點；三個頂點的

y

坐標是

2, 1, 5

。

弦的中點、投影點、最短弦都是「從圓心或點作垂線」；與兩軸相切的圓先寫出

∣ a ∣ = ∣ b ∣ = r

再分情形。

04混合題（第 16～18 題）：與直線相切且過定點的圓

第 16 題答案 (5)。圓與

y = 3

相切，半徑

r = ∣ b - 3∣

；圓過

A (3, 5)

，

(a - 3)^{2} + (b - 5)^{2} = r^{2} = (b - 3)^{2}

。展開：

(a - 3)^{2} = (b - 3)^{2} - (b - 5)^{2} = 4 b - 16

，所以

b = \frac{1}{4} (a - 3)^{2} + 4

。圓心

(a, b)

落在

y = \frac{1}{4} (x - 3)^{2} + 4

上。

由這個式子

b \geq 4 > 3

，圓在直線

y = 3

的上方，和

A

在同一側。

第 17 題由上一小題

b \geq 4

，半徑

r = b - 3 = \frac{1}{4} (a - 3)^{2} + 1 \geq 1

，當

a = 3

時等號成立。所以最小半徑是

1

（此時圓心

(3, 4)

，圓與

y = 3

切於

(3, 3)

，

A (3, 5)

是最高點）。

第 18 題

P (- 9, 10)

到圓上的點中最近的是

A

，表示圓心、

A

、

P

在同一直線上，且圓心在

P

往

A

方向、越過

A

的那一側。由

P

到

A

，

x

增加

12

、

y

減少

5

，直線

P A

上的點可寫成

(3 + 12 t, 5 - 5 t)

，

t > 0

表示越過

A

。圓心要同時在

y = \frac{1}{4} (x - 3)^{2} + 4

上：

5 - 5 t = 36 t^{2} + 4

，即

36 t^{2} + 5 t - 1 = 0

，

(9 t - 1) (4 t + 1) = 0

，

t = \frac{1}{9}

或

t = - \frac{1}{4}

。

t = - \frac{1}{4}

時圓心

(0, \frac{25}{4})

在

P

與

A

之間，這時

A

是圓上離

P

最遠的點，不合。取

t = \frac{1}{9}

：圓心

(\frac{13}{3}, \frac{40}{9})

，半徑

\frac{40}{9} - 3 = \frac{13}{9}

。圓

C

：

(x - \frac{13}{3})^{2} + (y - \frac{40}{9})^{2} = \frac{169}{81}

。

檢查：圓心到

A

的距離

(\frac{4}{3})^{2} + (\frac{5}{9})^{2} = \frac{13}{9}

，等於半徑；

P

到圓心的距離

\frac{130}{9}

大於半徑，

P

在圓外，最近點正是

A

。

「與直線相切且過定點」的圓，圓心的軌跡是一條拋物線；圓上離圓外一點最近、最遠的點，都在那一點與圓心的連線上。

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《直線與圓》單元冊 02・高一上

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常見問題

興大附中 112 上高一第二次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 18 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

興大附中 112 上高一第二次段考數學哪幾題最容易錯？

多選第 4 題選項 (5) 恰通過第一、四象限的是鉛直線，沒有斜率；多選第 6 題選項 (5) 要分 k 的正負去掉絕對值，k 為正時無解；選填 H 題（本頁第 14 題）要先判斷圓心只能在 b 等於負 a 的那一支；混合題 (c)（本頁第 18 題）解出兩個圓心，其中一個讓 A 變成最遠點，要捨去。詳解逐題寫在本頁。

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

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題目取自興大附中 112 學年度上學期高一第二次段考數學，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

御藍教育／段考卷／高一

段考詳解範圍：直線方程式、二元一次不等式、圓方程式、圓與直線

興大附中 112 上
高一第二次段考
數學試題、答案與詳解

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題原卷全文

則逐題詳解

個單元，勾錯題號就知道錯在哪

元，不用註冊

01 · 試題

原卷 18 題，照原卷順序

一、單選題：（每題 4 分，共 12 分。請選出最適合的選項，全對才給分。）

在坐標平面上，

A (- 1, 3)

、

B (5, 7)

，下列何者為

\overline{A B}

的中垂線方程式？

(1) $2 x - 3 y + 11 = 0$
(2) $2 x + 3 y - 19 = 0$
(3) $3 x - 2 y + 4 = 0$
(4) $3 x + 2 y - 16 = 0$
(5) $3 x + 2 y - 3 = 0$

若二元二次方程式

x^{2} + y^{2} + 4 x + k y + k + 3 = 0

的圖形為一個點，則

k =

？

(1) $2$
(2) $1$
(3) $- 1$
(4) $- 2$
(5) $\frac{- 1 \pm 3}{2}$

在坐標平面上，直線

L

過點

P (- 3, 6)

且與圓

C : (x + 1)^{2} + (y - 4)^{2} = 3

相交於點

A

、點

B

，當弦長

\overline{A B}

有最大值

k

時，此時直線

L

的斜率為

m

，則

k + m =

？

(1) $23 + 1$
(2) $23 - 1$
(3) $7$
(4) $5$
(5) $\frac{7}{2}$

在坐標平面上，下列哪些選項正確？

(1) 直線 $4 x + 3 = 0$ 的斜率為 $4$
(2) 直線 $2 x + 6 y + 5 = 0$ 的斜率為 $\frac{1}{3}$
(3) $(2, 4)$ 、 $(6, 3)$ 、 $(14, 1)$ 三點在同一直線上
(4) 直線 $3 x + y + 2 = 0$ 與直線 $x + 3 y + 5 = 0$ 互相垂直
(5) 恰通過第一、第四象限的直線，其斜率為 $0$

在坐標平面上，下列哪些選項正確？

(1) 以 $(1, 2)$ 為圓心， $2$ 為半徑的圓方程式為 $(x + 1)^{2} + (y + 2)^{2} = 2$
(2) $x^{2} + y^{2} + 4 x + 6 y + 11 = 0$ 的圖形是一個半徑為 $2$ 的圓
(3) 可找到唯一的圓通過 $(1, 3)$ 、 $(5, 2)$ 、 $(13, 0)$ 三點
(4) 原點 $(0, 0)$ 在圓 $C : 2 x^{2} + 2 y^{2} + 4 x + 6 y + 5 = 0$ 的外部
(5) 圓 $C : (x - 1)^{2} + (y + 1)^{2} = 2$ 恰通過第一、第三、第四象限

在坐標平面上，直線

L

的方程式為

k x + y = 4 + k

，其中

k

為實數。下列哪些選項正確？

(1) 不論 $k$ 為何值，直線 $L$ 恆過點 $(1, 4)$
(2) 直線 $L$ 的斜率為 $k$
(3) 直線 $L$ 的 $y$ 截距為 $4 + k$
(4) 若 $k x_{0} + y_{0} > 4 + k$ ，則不論 $k$ 為何值，點 $(x_{0}, y_{0})$ 與點 $(1, 3)$ 在 $L$ 的異側
(5) 若 $L$ 與兩坐標軸所圍的三角形面積為 $4$ ，則滿足條件之直線 $L$ 有 $2$ 條

在坐標平面上，若點

A (2, 6)

、點

B (- 4, - 2)

在直線

L : x + y + 8 = 0

的投影點分別為

M

、

N

，則線段

\overline{M N}

的長度為 ____。

在坐標平面上，點

A (- 1, 4)

、點

B (3, 5)

，若直線

L

過

A

點，且

B

點到直線

L

的距離為

\overline{A B}

，則直線

L

的斜率為 ____。

在坐標平面上，圓

C : x^{2} + y^{2} + 2 a x - 6 y + a = 0

的半徑為

3

，且圓心在直線

L : y = b x + 4 a

上，則

a + b =

____。

在坐標平面上，圓

C : (x - 5)^{2} + (y - 2)^{2} = 100

與直線

L : x + y + 3 = 0

交於

A

、

B

兩點，若線段

\overline{A B}

的中點為

M

，則

M

點的坐標為 ____。

在坐標平面上，直線

L

過點

A (3, 1)

，將圓

C : x^{2} + y^{2} - 2 x + 6 y - 15 = 0

分成大、小兩弓形，當

L

的斜率改變時，兩弓形的面積亦隨之改變。當直線

L

的斜率為 ( ____ ) 時，小弓形的面積為最小。(化為最簡分數)

在坐標平面上，圓

C

通過

O (0, 0)

、

A (a, 0)

、

B (0, b)

三相異點，且過

A

點的切線是

L : x + y = 8

，則數對

(a, b) =

____。

在坐標平面上，直線

L : y = m x + 8

與直線

y = - \frac{1}{4} x + 3

互相垂直。設

a > 0

，

b > 0

，將直線

L

向右平移

a

單位，或是將直線

L

向下平移

b

單位，皆會與直線

M : y = m x

重合，則數對

(a, b) =

____。

坐標平面上有一圓，其圓心為

A (a, b)

，且此圓與兩坐標軸皆相切，另有一點

P (c, - c)

，其中

a < c < 0

，若

\overline{P A} = ∣ a + c ∣

，則

\frac{a + c}{b + c} =

____。(化為最簡根式)

在坐標平面上，有兩點

A (- 2, 0)

與

B (4, 0)

。已知點

C (x, y)

滿足聯立不等式

3 x - 4 y \geq - 11

、

x + 3 y \geq 5

以及

4 x - y \leq 7

，則當

C

點坐標為 ____ 時，

△ A B C

有最大的面積。

混合題（第 16～18 題）　在坐標平面上，圓

C

和直線

L : y = 3

相切且過點

A (3, 5)

，圓

C

的圓心為

(a, b)

，

(a) 圓心

(a, b)

必落在下列哪一個圖形上？(單選題，2 分)

(1) $y = x + 2$
(2) $y = \frac{1}{4} (x + 3)^{2} - 4$
(3) $y = \frac{1}{4} (x + 3)^{2} + 4$
(4) $y = \frac{1}{4} (x - 3)^{2} - 4$
(5) $y = \frac{1}{4} (x - 3)^{2} + 4$

(b) 求圓

C

的最小半徑。(非選擇題，2 分)

(c)

A (3, 5)

是圓

C

上距離

P (- 9, 10)

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(4)

第 2 題(1)

第 3 題(2)

第 4 題(3)

第 5 題(4)(5)

第 6 題(1)(3)(4)(5)

第 7 題

2

第 8 題

- 4

第 9 題

2

第 10 題

(0, - 3)

第 11 題

- \frac{1}{2}

第 12 題

(8, - 8)

第 13 題

(2, 8)

第 14 題

- 2

第 15 題

(3, 5)

第 16 題(5)

第 17 題

1

第 18 題

(x - \frac{13}{3})^{2} + (y - \frac{40}{9})^{2} = \frac{169}{81}

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選 1～3：中垂線、一般式的圖形與過定點的最長弦

第 1 題答案 (4)。

\overline{A B}

的中點是

(\frac{- 1 + 5}{2}, \frac{3 + 7}{2}) = (2, 5)

，

\overline{A B}

的斜率是

\frac{7 - 3}{5 - ( - 1 )} = \frac{2}{3}

，中垂線的斜率是

- \frac{3}{2}

。中垂線：

y - 5 = - \frac{3}{2} (x - 2)

，同乘

2

整理得

3 x + 2 y - 16 = 0

。

檢查：

(2, 5)

代入

3 \cdot 2 + 2 \cdot 5 - 16 = 0

；選項 (5) 斜率對但不過中點。

第 2 題答案 (1)。配方：

(x + 2)^{2} + (y + \frac{k}{2})^{2} = 4 + \frac{k ^{2}}{4} - k - 3 = \frac{k ^{2}}{4} - k + 1 = (\frac{k}{2} - 1)^{2}

。圖形是一個點，表示右邊等於

0

：

\frac{k}{2} - 1 = 0

，

k = 2

（此時圖形是點

(- 2, - 1)

）。

右邊是完全平方，不會是負的，所以這個方程式的圖形只會是圓或一點，不會是「沒有圖形」。

第 3 題答案 (2)。圓心

(- 1, 4)

，半徑

3

。圓裡最長的弦是直徑，所以最大弦長

k = 23

，此時

L

通過圓心。

L

過

P (- 3, 6)

與圓心

(- 1, 4)

，斜率

m = \frac{4 - 6}{- 1 - ( - 3 )} = - 1

。

k + m = 23 - 1

。

P

到圓心的距離是

4 + 4 = 22 > 3

，

P

在圓外；過圓心的直線一定和圓交於兩點。

中垂線＝過中點、斜率是負倒數；一般式先配方看右邊的正負；過定點的弦要最長就讓它通過圓心。

02多選 4～6：斜率與垂直、圓的方程式、過定點的直線系

第 4 題答案 (3)。(1) 錯誤。

4 x + 3 = 0

即

x = - \frac{3}{4}

，是鉛直線，沒有斜率。(2) 錯誤。

2 x + 6 y + 5 = 0

的斜率是

- \frac{2}{6} = - \frac{1}{3}

。(3) 正確。 前兩點的斜率是

\frac{3 - 4}{6 - 2} = - \frac{1}{4}

，後兩點的斜率是

\frac{1 - 3}{14 - 6} = - \frac{1}{4}

，斜率相同又有共同點

(6, 3)

，三點共線。(4) 錯誤。 兩直線的斜率是

- 3

與

- \frac{1}{3}

，乘積是

1

，不是

- 1

，不垂直。(5) 錯誤。 斜率為

0

的直線是水平線

y = c

：

c > 0

時通過第一、二象限，

c < 0

時通過第三、四象限，

c = 0

是

x

軸，都不是「恰通過第一、第四象限」。恰通過第一、四象限的是

x = c

（

c > 0

）這種鉛直線，沒有斜率。

第 5 題答案 (4)(5)。(1) 錯誤。 圓心

(1, 2)

、半徑

2

的圓是

(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} = 4

。(2) 錯誤。 配方得

(x + 2)^{2} + (y + 3)^{2} = 4 + 9 - 11 = 2

，半徑是

2

。(3) 錯誤。

(1, 3)

、

(5, 2)

的斜率是

- \frac{1}{4}

，

(5, 2)

、

(13, 0)

的斜率是

\frac{- 2}{8} = - \frac{1}{4}

，三點共線，沒有圓能同時通過它們。(4) 正確。 同除以

2

：

x^{2} + y^{2} + 2 x + 3 y + \frac{5}{2} = 0

，配方得

(x + 1)^{2} + (y + \frac{3}{2})^{2} = \frac{3}{4} > 0

，確實是圓。原點代入左邊得

\frac{5}{2} > 0

，所以原點在圓外。(5) 正確。 圓心

(1, - 1)

，半徑

2

。點

(1, - 1 + 2)

在圓上且在第一象限，點

(1 - 2, - 1)

在圓上且在第三象限，圓心附近的點在第四象限。第二象限的點

(x, y)

有

x < 0

、

y > 0

，到圓心的距離平方

(x - 1)^{2} + (y + 1)^{2} > 1 + 1 = 2

，都在圓外，所以圓不通過第二象限。

(5) 的圓恰好通過原點：原點到圓心的距離是

2

，等於半徑。

第 6 題答案 (1)(3)(4)(5)。

L

可以寫成

k (x - 1) + (y - 4) = 0

。(1) 正確。

x = 1

、

y = 4

時不論

k

為何值都成立。(2) 錯誤。

y = - k x + 4 + k

，斜率是

- k

。(3) 正確。 代

x = 0

得

y = 4 + k

。(4) 正確。 令

f (x, y) = k x + y - 4 - k

，條件是

f (x_{0}, y_{0}) > 0

；而

f (1, 3) = k + 3 - 4 - k = - 1 < 0

。兩點代入的正負相反，所以不論

k

為何值都在

L

的異側。(5) 正確。

k = 0

時

L

是水平線

y = 4

，圍不成三角形；

k = - 4

時

L

過原點，也圍不成。其他情形

x

截距是

\frac{4 + k}{k}

，

y

截距是

4 + k

，面積

\frac{1}{2} \cdot \frac{( 4 + k ) ^{2}}{∣ k ∣} = 4

，即

(4 + k)^{2} = 8∣ k ∣

。

k > 0

時得

k^{2} + 16 = 0

，無解；

k < 0

時得

k^{2} + 16 k + 16 = 0

，判別式

256 - 64 = 192 > 0

，兩根的積

16 > 0

、和

- 16 < 0

，兩根都是負數，合乎

k < 0

。所以恰有

2

條。

(5) 的兩個

k

是

- 8 \pm 43

。

k

拆出來寫成

k (\dots) + (\dots) = 0

，就看得出直線恆過的點；判斷兩點在直線的同側或異側，把兩點代入看正負。

03選填 A～I（第 7～15 題）：投影點、距離、圓心位置、弦的中點、最短弦、切線、平移、相切的圓與不等式區域

第 7 題

A

的投影點

M

：過

A (2, 6)

垂直於

L

的直線斜率是

1

，即

y = x + 4

，與

x + y + 8 = 0

聯立得

M (- 6, - 2)

。

B

的投影點

N

：過

B (- 4, - 2)

垂直於

L

的直線是

y = x + 2

，與

L

聯立得

N (- 5, - 3)

。

\overline{M N} = (- 5 + 6)^{2} + (- 3 + 2)^{2} = 2

。

投影點就是從該點向

L

作垂線的垂足；

L

的斜率是

- 1

，垂線的斜率是

1

。

第 8 題

B

到

L

的距離是

B

到

L

上所有點的距離中最短的，而

A

在

L

上，所以這個距離最多是

\overline{A B}

；等號成立表示

A

就是

B

在

L

上的投影點，即

L ⊥ \overline{A B}

。

\overline{A B}

的斜率是

\frac{5 - 4}{3 - ( - 1 )} = \frac{1}{4}

，所以

L

的斜率是

- 4

。

第 9 題配方：

(x + a)^{2} + (y - 3)^{2} = a^{2} + 9 - a

，圓心

(- a, 3)

。半徑

3

：

a^{2} - a + 9 = 9

，

a (a - 1) = 0

，

a = 0

或

a = 1

。圓心在

y = b x + 4 a

上：

3 = - ab + 4 a

。

a = 0

時得

3 = 0

，不合；

a = 1

時

3 = - b + 4

，

b = 1

。所以

a + b = 2

。

第 10 題圓心

O^{'} (5, 2)

到弦

\overline{A B}

的垂足就是弦的中點

M

。過

(5, 2)

垂直於

x + y + 3 = 0

的直線斜率是

1

：

y = x - 3

。與

x + y + 3 = 0

聯立：

x + x - 3 + 3 = 0

，

x = 0

，

y = - 3

。

M (0, - 3)

。

圓心到

L

的距離

\frac{∣5 + 2 + 3∣}{2} = 52 < 10

，直線確實與圓交於兩點。

第 11 題配方：

(x - 1)^{2} + (y + 3)^{2} = 25

，圓心

O^{'} (1, - 3)

，半徑

5

。

A (3, 1)

代入得

4 + 16 = 20 < 25

，

A

在圓內，過

A

的直線一定把圓分成兩塊。小弓形的面積越小，表示弦離圓心越遠；弦心距最多是

\overline{O^{'} A}

，在

L ⊥ \overline{O^{'} A}

時達到。

\overline{O^{'} A}

的斜率是

\frac{1 - ( - 3 )}{3 - 1} = 2

，所以

L

的斜率是

- \frac{1}{2}

。

這時弦心距是

\overline{O^{'} A} = 25

，弦最短，小弓形最小。卷面括號內是分數格。

第 12 題

∠ A O B

是直角，直角所對的弦

\overline{A B}

是直徑，圓心是中點

(\frac{a}{2}, \frac{b}{2})

。

A (a, 0)

在切線

x + y = 8

上，所以

a = 8

。切線垂直於過切點的半徑：半徑從圓心到

A

的方向是

(\frac{a}{2}, - \frac{b}{2})

，要與

L

的法向

(1, 1)

平行，所以

\frac{a}{2} = - \frac{b}{2}

，

b = - 8

。

(a, b) = (8, - 8)

。

檢查：圓心

(4, - 4)

，半徑

42

；圓心到

L

的距離

\frac{∣4 - 4 - 8∣}{2} = 42

，等於半徑，

L

確實是切線。

第 13 題

y = - \frac{1}{4} x + 3

的斜率是

- \frac{1}{4}

，

L

與它垂直，

m = 4

，

L : y = 4 x + 8

。向右平移

a

單位：

y = 4 (x - a) + 8 = 4 x - 4 a + 8

，要與

y = 4 x

重合，

- 4 a + 8 = 0

，

a = 2

。向下平移

b

單位：

y = 4 x + 8 - b

，要與

y = 4 x

重合，

b = 8

。

(a, b) = (2, 8)

。

第 14 題圓與兩坐標軸都相切，半徑

= ∣ a ∣ = ∣ b ∣

，所以

b = a

或

b = - a

。

\overline{P A}^{2} = (a - c)^{2} + (b + c)^{2} = (a + c)^{2}

，展開化簡得

b^{2} + 2 b c + c^{2} - 4 a c = 0

。情形一

b = a

：

a^{2} - 2 a c + c^{2} = 0

，

(a - c)^{2} = 0

，

a = c

，與

a < c

不合。情形二

b = - a

：

a^{2} - 6 a c + c^{2} = 0

。令

t = \frac{a}{c}

，因為

a < c < 0

，

t > 1

；同除以

c^{2}

得

t^{2} - 6 t + 1 = 0

，

t = 3 + 22

（另一根

3 - 22 < 1

不合）。所求

\frac{a + c}{b + c} = \frac{a + c}{c - a} = \frac{t + 1}{1 - t} = \frac{4 + 2 2}{- 2 - 2 2} = - \frac{2 + 2}{1 + 2} = - \frac{( 2 + 2 ) ( 2 - 1 )}{1} = - 2

。

b = - a > 0

，圓心在第二象限，與兩軸相切的圓確實存在；例如

c = - 1

時

a = - 3 - 22

。

第 15 題三條邊界兩兩聯立求頂點：

3 x - 4 y = - 11

與

x + 3 y = 5

交於

(- 1, 2)

；

x + 3 y = 5

與

4 x - y = 7

交於

(2, 1)

；

3 x - 4 y = - 11

與

4 x - y = 7

交於

(3, 5)

。可以檢查每個頂點都滿足第三個不等式，三條直線圍成的三角形（含邊界）就是

C

可以在的區域。

\overline{A B}

在

x

軸上，長度

6

，

△ A B C

的面積

= \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot ∣ y ∣ = 3∣ y ∣

。區域內

y

都是正的，最大的

y

出現在頂點

(3, 5)

，所以

C (3, 5)

時面積最大（面積

15

）。

區域是三角形，

y

的最大值一定出現在某個頂點；三個頂點的

y

坐標是

2, 1, 5

。

弦的中點、投影點、最短弦都是「從圓心或點作垂線」；與兩軸相切的圓先寫出

∣ a ∣ = ∣ b ∣ = r

再分情形。

04混合題（第 16～18 題）：與直線相切且過定點的圓

第 16 題答案 (5)。圓與

y = 3

相切，半徑

r = ∣ b - 3∣

；圓過

A (3, 5)

，

(a - 3)^{2} + (b - 5)^{2} = r^{2} = (b - 3)^{2}

。展開：

(a - 3)^{2} = (b - 3)^{2} - (b - 5)^{2} = 4 b - 16

，所以

b = \frac{1}{4} (a - 3)^{2} + 4

。圓心

(a, b)

落在

y = \frac{1}{4} (x - 3)^{2} + 4

上。

由這個式子

b \geq 4 > 3

，圓在直線

y = 3

的上方，和

A

在同一側。

第 17 題由上一小題

b \geq 4

，半徑

r = b - 3 = \frac{1}{4} (a - 3)^{2} + 1 \geq 1

，當

a = 3

時等號成立。所以最小半徑是

1

（此時圓心

(3, 4)

，圓與

y = 3

切於

(3, 3)

，

A (3, 5)

是最高點）。

第 18 題

P (- 9, 10)

到圓上的點中最近的是

A

，表示圓心、

A

、

P

在同一直線上，且圓心在

P

往

A

方向、越過

A

的那一側。由

P

到

A

，

x

增加

12

、

y

減少

5

，直線

P A

上的點可寫成

(3 + 12 t, 5 - 5 t)

，

t > 0

表示越過

A

。圓心要同時在

y = \frac{1}{4} (x - 3)^{2} + 4

上：

5 - 5 t = 36 t^{2} + 4

，即

36 t^{2} + 5 t - 1 = 0

，

(9 t - 1) (4 t + 1) = 0

，

t = \frac{1}{9}

或

t = - \frac{1}{4}

。

t = - \frac{1}{4}

時圓心

(0, \frac{25}{4})

在

P

與

A

之間，這時

A

是圓上離

P

最遠的點，不合。取

t = \frac{1}{9}

：圓心

(\frac{13}{3}, \frac{40}{9})

，半徑

\frac{40}{9} - 3 = \frac{13}{9}

。圓

C

：

(x - \frac{13}{3})^{2} + (y - \frac{40}{9})^{2} = \frac{169}{81}

。

檢查：圓心到

A

的距離

(\frac{4}{3})^{2} + (\frac{5}{9})^{2} = \frac{13}{9}

，等於半徑；

P

到圓心的距離

\frac{130}{9}

大於半徑，

P

在圓外，最近點正是

A

。

「與直線相切且過定點」的圓，圓心的軌跡是一條拋物線；圓上離圓外一點最近、最遠的點，都在那一點與圓心的連線上。

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《直線與圓》單元冊 02・高一上

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02多選 4～6：斜率與垂直、圓的方程式、過定點的直線系

03選填 A～I（第 7～15 題）：投影點、距離、圓心位置、弦的中點、最短弦、切線、平移、相切的圓與不等式區域

04混合題（第 16～18 題）：與直線相切且過定點的圓

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興大附中 112 上
高一第二次段考
數學試題、答案與詳解

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