段考詳解範圍：指數與對數函數（指數律、對數律與換底公式、指數與對數函數的圖形、指數對數方程式與不等式、常用對數與應用）

興大附中 112 上
高二第二次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 19 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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題原卷全文

則逐題詳解

個單元，勾錯題號就知道錯在哪

元，不用註冊

01 · 試題

原卷 19 題，照原卷順序

單選題 3 題（每題 6 分）、多選題 3 題（每題 8 分）、選填題 A～J 共 10 題（A～E 每題 6 分、F～J 每題 4 分）、計算題 1 題組 3 小題（3 分、3 分、2 分），合計 100 分。本頁第 7～16 題依序為原卷選填 A～J，第 17～19 題為原卷計算題的 (1)(2)(3)。答案已與學校公布的答案逐題核對。

一、單選題(占18分) 說明:第1題至第3題。各題答對者得6分；答錯、未作答或畫記多於一個選項者，該題以零分計算。

滿足不等式

\frac{1}{112} \leq (11)^{x} \leq 2023

的整數

x

共有多少個？

(1) $9$ 個
(2) $10$ 個
(3) $11$ 個
(4) $12$ 個
(5) $13$ 個

某品牌計算機在計算對數

lo g_{a} b

時需按

lo g (a, b)

。某生在計算

lo g_{a} b

時（其中

a > 1

且

0 < b < 1

）順序弄錯，誤按

lo g (b, a)

，所得為正確值的

\frac{16}{9}

倍。試選出

a

，

b

間的關係式

(1) $a^{3} = b^{4}$
(2) $a^{4} = b^{3}$
(3) $a^{16} = b^{9}$
(4) $a^{3} \times b^{4} = 1$
(5) $a^{4} \times b^{3} = 1$

滿足不等式

lo g_{\frac{1}{3}} lo g_{4} (x) \geq - 1

，的整數

x

共有多少個？

(1) $63$ 個
(2) $64$ 個
(3) $65$ 個
(4) $66$ 個
(5) $67$ 個

二、多選題(占24分) 說明:第4題至第6題，每題有5個選項，其中至少有一個是正確的選項，請將正確選項畫記在答案卡。各題之選項獨立判定，所有選項均答對者，得8分；答錯1個選項者，得4.8分；答錯2個選項者，得1.6分；答錯多於2個選項或所有選項均未作答者，該題以零分計算。

坐標平面上，在函數圖形

y = (\frac{1}{2})^{x}

上，標示

A

、

B

、

C

、

D

四個點，其

x

坐標分別為

- 1

、

0

、

1

、

2

。請選出正確的選項

(1) 點 $B$ 落在直線 $A C$ 下方
(2) 在直線 $A B$ 、直線 $B C$ 、直線 $C D$ 中，以直線 $A B$ 的斜率最大
(3) $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 四個點，以點 $D$ 最靠近 $x$ 軸
(4) 直線 $y = x^{2}$ 與 $y = (\frac{1}{2})^{x}$ 的圖形有兩個交點
(5) 在線段 $\overline{A B}$ 、線段 $\overline{B C}$ 、線段 $\overline{C D}$ 中，以線段 $\overline{A B}$ 最長

已知

lo g 2 \approx 0.3010

，

lo g 3 \approx 0.4771

，請選出正確的選項

(1) $6^{100}$ 是78位數
(2) $2^{50} + 5^{20}$ 是16位數
(3) $2^{30} + 3^{20}$ 是11位數
(4) 將 $(\frac{1}{6})^{100}$ 表示成小數後，從小數點後第78位開始出現不為0的數字
(5) 將 $(0.2)^{100} + (0.5)^{200}$ 表示成小數後，從小數點後第61位開始出現不為0的數字

關於對數函數的圖形，下列選項哪些是正確的？

(1) 設 $0 < a < b < 1$ ，則 $\frac{1}{2} (lo g_{2} a + lo g_{2} b) > lo g_{2} a \times lo g_{2} b$
(2) 設 $0 < a < b < 1$ ，則 $lo g_{2} (\frac{a + b}{2}) > \frac{1}{2} (lo g_{2} a + lo g_{2} b)$
(3) 當 $0 < a < 1$ 時， $y = lo g_{a} x$ 與 $y = a^{x}$ 的圖形對稱於直線 $y = x$
(4) 當 $a > 1$ 時， $y = lo g_{a} x$ 與 $y = lo g_{\frac{1}{a}} x$ 的圖形對稱於 $x$ 軸
(5) 當 $a > 1$ 時， $y = lo g_{a} x$ 與 $y = a^{x}$ 的圖形沒有交點

三、選填題(占50分) 說明：1.第A至J題，將答案畫記在答案卡之「選擇（填）題答案區」所標示的列號（7–28）。2.第A至E題每題完全答對給6分，答錯不倒扣，未完全答對不給分。第F至J題每題完全答對給4分，答錯不倒扣，未完全答對不給分。

將

y = 2^{x}

的圖形沿著

x

軸方向平移

h

單位，再沿著

y

軸方向平移

k

單位之後得到新的函數

y = 16 \times 2^{x} + 2

，則數對

h + k

之值為 ____。

計算

lo g_{3} 18 + lo g_{3} 2 - lo g_{9} 576 + (lo g_{3} 5) \times (lo g_{125} 9) + (4)^{l o g_{2} 3} =

____。(化為最簡分數)

已知坐標平面上三點

(2, lo g 2)

、

(6, lo g 6)

、

(10, lo g k)

在同一直線上，則

k

之值為 ____。

銀行宣稱某外幣商品年利率5%且按年複利計算。則當某人購買該外幣商品10,000元後，在利率不變的情形下，至少需 ____ 年後，才能讓本利和超過30,000元。(

lo g 1.05 \approx 0.0212

，

lo g 3 \approx 0.4771

)

設

α

、

β

為方程式

(lo g x)^{2} - lo g x - 6 = 0

之二相異實根，則

lo g_{α} β + lo g_{β} α =

____。(化為最簡分數)

傳染病的感染率

I (t)

定義

= \frac{在時間 t （月）時被感染的人數}{城市總人數}

。據傳染病學的理論，其數學模型為

I (t) = \frac{1}{4 + k \times 4 ^{- a t}}

，其中

k

、

a

均為常數。同時，定義當感染率

I (t) = \frac{1}{5}

，代表是傳染病的傳染高峰。現有一未知傳染病在總人口數為240萬人的

A

城市蔓延。已知一開始（

t = 0

）有12萬人被傳染；第3個月時，有20萬人被傳染。試問第 ____ 個月時，是此傳染病的傳染高峰。

若

f (x) = lo g_{2} x

的函數圖形與直線

x = 3

、

x = 7

分別交於

A

、

B

二點。

g (x) = lo g_{8} x

的函數圖形與直線

x = 9

、

x = 49

分別交於

C

、

D

二點。設

A

、

B

兩點的斜率為

m_{1}

，

C

、

D

兩點的斜率為

m_{2}

，則

\frac{m _{1}}{m _{2}}

的值為 ____。

已知滿足方程式

4^{x} \times 5^{y} = 100

的所有數對

(x, y)

在坐標平面上會形成一直線

L

，若直線

L

的斜率為

lo g_{5} k

，則

k

之值為 ____。(化為最簡分數)

已知

x, y, z

為實數，且

8^{x} = 8 1^{y} = 5 4^{z}

，若

\frac{4}{x} + \frac{9}{y} = \frac{k}{z}

，則

k

之值為 ____。

已知直線

y = \frac{1}{2} x

與

y = lo g_{a} x

的函數圖形交於

A, B

兩點，若

O

為原點且

A

為

O

、

B

兩點的中點，即

\overline{O A} = \overline{A B}

，則

(\overline{O A})^{2}

之值為 ____。

四、計算題(請用黑色原子筆於答案卷上詳列算式過程，未於作答卷上作答者，以零分計算，占8分)

計算題（第 17～19 題）　傳染病在發生初期時，由於大部分人未感染且無抗體，所以總感染人數大都以指數形式成長。在「初始感染人數為

P_{0}

，且每位已感染者平均一天會傳染給

r

位未感染者」的前提下，

n

天後感染到此疾病的總人數

P_{n}

可以表示為

P_{n} = P_{0} (1 + r)^{n}

，其中

P_{0} \geq 1

且

r > 0

。試回答下列問題：

(1) 已知

A = lo g_{3} (P_{4}) - lo g_{3} (P_{2})

，

B = lo g_{3} (P_{9}) - lo g_{3} (P_{6})

，若

A = k \times B

，試求

k

的值。(3分)

(2) 已知某傳染病初期符合上述數學模型且每隔8天總感染人數會增加為3倍，試求

\frac{P _{23}}{P _{17}} \times \frac{P _{14}}{P _{10}} \times \frac{P _{8}}{P _{2}}

的值。(3分)

(3) 承(2)，試求

\frac{lo g _{3} ( P _{20} ) - lo g _{3} ( P _{16} )}{2}

的值。(2分)

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(2)

第 2 題(4)

第 3 題(1)

第 4 題(1)(3)(5)

第 5 題(1)(2)(4)(5)

第 6 題(2)(3)(4)

第 7 題

- 2

第 8 題

\frac{32}{3}

第 9 題

18

第 10 題

23

第 11 題

- \frac{13}{6}

第 12 題

12

第 13 題

15

第 14 題

\frac{1}{4}

第 15 題

12

第 16 題

5

第 17 題

k = \frac{2}{3}

第 18 題

9

第 19 題

\frac{1}{4}

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選 1～3：化成同底夾範圍、底數真數對調、兩層對數的不等式

第 1 題

答案 (2)。底數 $11 > 1$ ， $y = (11)^{x}$ 是遞增函數，所以只要找出夾住兩端的整數次方。

左端： $(11)^{- 4} = \frac{1}{121} < \frac{1}{112}$ ，而 $(11)^{- 3} = \frac{1}{11 11}$ ，其中 $1111 < 11 \times 4 = 44 < 112$ ，所以 $(11)^{- 3} > \frac{1}{112}$ 。因此 $x \geq - 3$ 。

右端： $(11)^{6} = 1 1^{3} = 1331 \leq 2023$ ，而 $(11)^{7} = 133111 > 1331 \times 3 = 3993 > 2023$ 。因此 $x \leq 6$ 。

整數 $x = - 3, - 2, \dots, 6$ ，共 $10$ 個。

底數大於

1

時次方愈大值愈大，夾住兩端後直接數整數；兩端各要檢查「剛好在裡面」與「剛好在外面」的那一個次方。

第 2 題

答案 (4)。設正確值 $lo g_{a} b = t$ ，誤按得到的是 $lo g_{b} a = \frac{1}{lo g _{a} b} = \frac{1}{t}$ 。

依題意 $\frac{1}{t} = \frac{16}{9} t$ ，所以 $t^{2} = \frac{9}{16}$ 。因為 $a > 1$ 、 $0 < b < 1$ ， $lo g_{a} b < lo g_{a} 1 = 0$ ，所以 $t = - \frac{3}{4}$ 。

$lo g_{a} b = - \frac{3}{4}$ 即 $b = a^{- \frac{3}{4}}$ ，兩邊四次方得 $b^{4} = a^{- 3}$ ，也就是 $a^{3} \times b^{4} = 1$ 。

底數與真數對調，對數值變成倒數；正負號要由底數、真數和

1

的大小關係決定。

第 3 題

答案 (1)。先寫真數條件： $x > 0$ ，而且外層的真數 $lo g_{4} x > 0$ ，所以 $x > 1$ 。

$- 1 = lo g_{\frac{1}{3}} 3$ ，原不等式為 $lo g_{\frac{1}{3}} (lo g_{4} x) \geq lo g_{\frac{1}{3}} 3$ 。底數 $\frac{1}{3} < 1$ ，對數函數遞減，不等號反向： $lo g_{4} x \leq 3$ ，即 $x \leq 4^{3} = 64$ 。

所以 $1 < x \leq 64$ ，整數 $x = 2, 3, \dots, 64$ ，共 $63$ 個。

外層對數的真數

lo g_{4} x

必須是正數，所以

x = 1

不行；底數小於

1

時不等號要反向。

化成同底後看底數大於 1 還是小於 1 決定方向；兩層對數先由外往內寫出每一層的真數條件。

02多選 4～6：圖形上的點與交點、位數與小數點後第幾位、對數函數的大小與對稱

第 4 題

答案 (1)(3)(5)。四點為 $A (- 1, 2)$ 、 $B (0, 1)$ 、 $C (1, \frac{1}{2})$ 、 $D (2, \frac{1}{4})$ 。

(1) 正確。 直線 $A C$ 在 $x = 0$ 的高度是 $A$ 、 $C$ 的 $y$ 坐標平均 $\frac{2 + \frac{1}{2}}{2} = \frac{5}{4} > 1$ ，所以 $B$ 在直線 $A C$ 下方。

(2) 錯誤。 斜率： $A B$ 為 $\frac{1 - 2}{1} = - 1$ ， $B C$ 為 $- \frac{1}{2}$ ， $C D$ 為 $- \frac{1}{4}$ ，最大的是直線 $C D$ 。

(3) 正確。 四點到 $x$ 軸的距離就是 $y$ 坐標 $2$ 、 $1$ 、 $\frac{1}{2}$ 、 $\frac{1}{4}$ ， $D$ 最近。

(4) 錯誤。 以 $x = - 2$ 代入： $x^{2} = 4$ ， $(\frac{1}{2})^{- 2} = 4$ ；以 $x = - 4$ 代入： $x^{2} = 16$ ， $(\frac{1}{2})^{- 4} = 16$ ，這兩點都是交點。另外在 $x \geq 0$ 時， $y = x^{2}$ 遞增、 $y = (\frac{1}{2})^{x}$ 遞減， $x = 0$ 時 $0 < 1$ 、 $x = 1$ 時 $1 > \frac{1}{2}$ ，所以在 $0$ 與 $1$ 之間還有一個交點。交點至少三個，不是兩個。

(5) 正確。 $\overline{A B} = 1 + 1 = 2$ ， $\overline{B C} = 1 + \frac{1}{4}$ ， $\overline{C D} = 1 + \frac{1}{16}$ ，三段水平距離都是 $1$ ，鉛直距離 $1 > \frac{1}{2} > \frac{1}{4}$ ，所以 $\overline{A B}$ 最長。

卷面 (4) 寫「直線

y = x^{2}

」，

y = x^{2}

的圖形其實是拋物線，不影響判斷。在

x < 0

的一側要代整數點試，才看得到

x = - 2

與

x = - 4

兩個交點。

第 5 題

答案 (1)(2)(4)(5)。 $N$ 位數 $\Leftrightarrow$ $N - 1 \leq lo g x < N$ ；小數點後第 $k$ 位開始不為 $0$ $\Leftrightarrow$ $- k \leq lo g x < - k + 1$ 。 $lo g 6 = lo g 2 + lo g 3 \approx 0.7781$ ， $lo g 5 = 1 - lo g 2 \approx 0.6990$ 。

(1) 正確。 $lo g 6^{100} = 100 lo g 6 \approx 77.81$ ，整數部分 $77$ ，是 $78$ 位數。

(2) 正確。 $lo g 2^{50} \approx 15.05$ ，所以 $1 0^{15} < 2^{50} < 1 0^{15} \times 2$ （因為 $0.05 < lo g 2$ ）； $lo g 5^{20} \approx 13.98$ ，所以 $5^{20} < 1 0^{14}$ 。相加得 $1 0^{15} < 2^{50} + 5^{20} < 2 \times 1 0^{15} + 1 0^{14} < 1 0^{16}$ ，是 $16$ 位數。

(3) 錯誤。 $lo g 2^{30} \approx 9.03$ ， $lo g 3^{20} \approx 9.542$ ，兩數都小於 $1 0^{9.699} = 5 \times 1 0^{9}$ ，所以 $1 0^{9} < 2^{30} + 3^{20} < 1 0^{10}$ ，是 $10$ 位數。

(4) 正確。 $lo g (\frac{1}{6})^{100} = - 100 lo g 6 \approx - 77.81$ ，介於 $- 78$ 與 $- 77$ 之間，從小數點後第 $78$ 位開始不為 $0$ 。

(5) 正確。 $lo g 0. 5^{200} = - 200 lo g 2 \approx - 60.2$ ，所以 $0. 5^{200} \approx 1 0^{0.8} \times 1 0^{- 61}$ ，介於 $1 0^{- 61}$ 與 $8 \times 1 0^{- 61}$ 之間（ $lo g 8 = 3 lo g 2 \approx 0.903 > 0.8$ ）； $lo g 0. 2^{100} = 100 (lo g 2 - 1) \approx - 69.9$ ，所以 $0. 2^{100} < 1 0^{- 69}$ 。相加後仍介於 $1 0^{- 61}$ 與 $1 0^{- 60}$ 之間，從小數點後第 $61$ 位開始不為 $0$ 。

兩數相加不能直接取對數相加；先各自夾範圍，再看和落在哪兩個

10

的次方之間。

第 6 題

答案 (2)(3)(4)。

(1) 錯誤。 $0 < a < b < 1$ 時 $lo g_{2} a < 0$ 、 $lo g_{2} b < 0$ ，左邊 $\frac{1}{2} (lo g_{2} a + lo g_{2} b)$ 是負數，右邊根號是正數，左邊小於右邊。

(2) 正確。 由算幾不等式， $a \neq = b$ 時 $\frac{a + b}{2} > ab$ ； $y = lo g_{2} x$ 遞增，所以 $lo g_{2} \frac{a + b}{2} > lo g_{2} ab = \frac{1}{2} (lo g_{2} a + lo g_{2} b)$ 。

(3) 正確。 $y = a^{x}$ 與 $y = lo g_{a} x$ 互為反函數（點 $(p, q)$ 在其中一個圖形上， $(q, p)$ 就在另一個上），圖形對稱於直線 $y = x$ ，與底數是否小於 $1$ 無關。

(4) 正確。 換底： $lo g_{\frac{1}{a}} x = \frac{lo g x}{lo g \frac{1}{a}} = \frac{lo g x}{- lo g a} = - lo g_{a} x$ ，所以兩圖形對稱於 $x$ 軸。

(5) 錯誤。 取 $a = 2$ ： $(2)^{2} = 2$ ， $lo g_{2} 2 = 2$ ，兩圖形都通過 $(2, 2)$ ，有交點。

(5) 在

a

夠大時（例如

a = 2

）確實沒有交點，但底數稍大於

1

時會有；「當

a > 1

時」要對所有這樣的

a

都成立，舉出一個反例就是錯誤。

多選題每個選項都要獨立判斷：能代具體數字找反例就代，位數與小數位數一律換成常用對數的範圍。

03選填 7～11（原卷 A～E）：平移、對數化簡、三點共線、複利年數、二次方程式

第 7 題

$16 \times 2^{x} + 2 = 2^{4} \times 2^{x} + 2 = 2^{x + 4} + 2$ 。

$y = 2^{x}$ 沿 $x$ 軸方向平移 $h$ 單位得 $y = 2^{x - h}$ ，再沿 $y$ 軸方向平移 $k$ 單位得 $y = 2^{x - h} + k$ 。比較得 $x - h = x + 4$ ， $h = - 4$ ； $k = 2$ 。所以 $h + k = - 2$ 。

16

倍要先寫成

2^{4}

併進指數，變成向左平移

4

單位（

h = - 4

）。原卷答案格兩格，負號佔一格。

第 8 題

前三項換成以 $3$ 為底： $lo g_{3} 2 = \frac{lo g _{3} 2}{lo g _{3} 3} = 2 lo g_{3} 2 = lo g_{3} 4$ ； $lo g_{9} 576 = \frac{lo g _{3} 576}{2} = lo g_{3} 576 = lo g_{3} 24$ 。

所以 $lo g_{3} 18 + lo g_{3} 4 - lo g_{3} 24 = lo g_{3} \frac{18 \times 4}{24} = lo g_{3} 3 = 1$ 。

第四項： $(lo g_{3} 5) (lo g_{125} 9) = \frac{lo g 5}{lo g 3} \times \frac{2 lo g 3}{3 lo g 5} = \frac{2}{3}$ 。

第五項： $4^{l o g_{2} 3} = (2^{l o g_{2} 3})^{2} = 3^{2} = 9$ 。

合計 $1 + \frac{2}{3} + 9 = \frac{32}{3}$ 。

a^{l o g_{a} b} = b

；底數是

4

時先寫成

2^{2}

再用這個性質。

第 9 題

三點共線，相鄰兩點連線的斜率相等：

$\frac{lo g 6 - lo g 2}{6 - 2} = \frac{lo g k - lo g 6}{10 - 6}$

兩邊分母都是 $4$ ，所以 $lo g 3 = lo g \frac{k}{6}$ ， $\frac{k}{6} = 3$ ， $k = 18$ 。

第 10 題

$n$ 年後本利和為 $10000 \times 1.0 5^{n}$ 元，要 $10000 \times 1.0 5^{n} > 30000$ ，即 $1.0 5^{n} > 3$ 。

兩邊取常用對數： $n lo g 1.05 > lo g 3$ ， $n > \frac{0.4771}{0.0212} \approx 22.5$ 。 $n$ 是正整數，最少 $23$ 年。

0.0212 \times 22 = 0.4664 < 0.4771

，

0.0212 \times 23 = 0.4876 > 0.4771

，所以

22

年還不夠、

23

年才超過。

第 11 題

令 $t = lo g x$ ，方程式為 $t^{2} - t - 6 = 0$ ， $(t - 3) (t + 2) = 0$ ， $t = 3$ 或 $t = - 2$ ，即兩根為 $1000$ 與 $\frac{1}{100}$ 。

設 $lo g α = 3$ 、 $lo g β = - 2$ （對調也一樣，所求對 $α$ 、 $β$ 對稱），由換底公式

$lo g_{α} β + lo g_{β} α = \frac{lo g β}{lo g α} + \frac{lo g α}{lo g β} = \frac{- 2}{3} + \frac{3}{- 2} = - \frac{13}{6}$

也可以不解出根：由根與係數關係

lo g α + lo g β = 1

、

lo g α \times lo g β = - 6

，所求

= \frac{( lo g α ) ^{2} + ( lo g β ) ^{2}}{lo g α lo g β} = \frac{1 + 12}{- 6}

。原卷答案格是分子三格、分母一格，負號佔分子的第一格。

對數化簡先換成同一個底；以 log x 為未知數的方程式先換元成一般的多項式方程式。

04選填 12～16（原卷 F～J）：定模型常數、斜率比、直線斜率、共同值、中點

第 12 題

$t = 0$ ： $I (0) = \frac{12}{240} = \frac{1}{20}$ ，而 $I (0) = \frac{1}{4 + k}$ ，所以 $4 + k = 20$ ， $k = 16$ 。

$t = 3$ ： $I (3) = \frac{20}{240} = \frac{1}{12}$ ，所以 $4 + 16 \times 4^{- 3 a} = 12$ ， $4^{- 3 a} = \frac{1}{2}$ 。

傳染高峰 $I (t) = \frac{1}{5}$ ： $4 + 16 \times 4^{- a t} = 5$ ， $4^{- a t} = \frac{1}{16} = (\frac{1}{2})^{4} = (4^{- 3 a})^{4} = 4^{- 12 a}$ ，所以 $a t = 12 a$ ， $t = 12$ 。

第 $12$ 個月時是傳染高峰。

不必解出

a

：把

4^{- 3 a} = \frac{1}{2}

當成一個整體，

\frac{1}{16}

是它的

4

次方，時間就是

3 \times 4

。

第 13 題

$A (3, lo g_{2} 3)$ 、 $B (7, lo g_{2} 7)$ ， $m_{1} = \frac{lo g _{2} 7 - lo g _{2} 3}{7 - 3} = \frac{1}{4} lo g_{2} \frac{7}{3}$ 。

$C (9, lo g_{8} 9)$ 、 $D (49, lo g_{8} 49)$ ， $m_{2} = \frac{lo g _{8} 49 - lo g _{8} 9}{49 - 9} = \frac{1}{40} lo g_{8} \frac{49}{9}$ 。

換底： $lo g_{8} \frac{49}{9} = \frac{lo g _{2} ( \frac{7}{3} ) ^{2}}{lo g _{2} 8} = \frac{2}{3} lo g_{2} \frac{7}{3}$ ，所以 $m_{2} = \frac{1}{40} \times \frac{2}{3} lo g_{2} \frac{7}{3} = \frac{1}{60} lo g_{2} \frac{7}{3}$ 。

$\frac{m _{1}}{m _{2}} = \frac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{60}} = 15$ 。

題目「

A

、

B

兩點的斜率」指直線

A B

的斜率。兩個斜率都化成

lo g_{2} \frac{7}{3}

的倍數再相除。

第 14 題

兩邊取常用對數： $x lo g 4 + y lo g 5 = lo g 100 = 2$ ，這是 $x$ 、 $y$ 的一次方程式，圖形是直線 $L$ 。

斜率為 $- \frac{lo g 4}{lo g 5} = - lo g_{5} 4 = lo g_{5} \frac{1}{4}$ ，所以 $k = \frac{1}{4}$ 。

直線

a x + b y = c

的斜率是

- \frac{a}{b}

；負號可以移進對數成為倒數。

第 15 題

設 $8^{x} = 8 1^{y} = 5 4^{z} = t$ 。因為 $\frac{4}{x}$ 等有意義， $x, y, z \neq = 0$ ，所以 $t \neq = 1$ ，且 $t > 0$ 。

取常用對數： $x = \frac{lo g t}{lo g 8}$ ， $y = \frac{lo g t}{lo g 81}$ ， $z = \frac{lo g t}{lo g 54}$ ，所以

$\frac{4}{x} + \frac{9}{y} = \frac{4 lo g 8 + 9 lo g 81}{lo g t} = \frac{lo g ( 2 ^{12} \times 3 ^{36} )}{lo g t}$

而 $2^{12} \times 3^{36} = (2 \times 3^{3})^{12} = 5 4^{12}$ ，所以 $\frac{4}{x} + \frac{9}{y} = \frac{12 lo g 54}{lo g t} = \frac{12}{z}$ ， $k = 12$ 。

把各個倒數寫成「某數的對數除以

lo g t

」，係數變成真數的次方後合併，看出是

54

的幾次方。

第 16 題

$A$ 、 $B$ 都在直線 $y = \frac{1}{2} x$ 上，設 $A (p, \frac{p}{2})$ ， $p > 0$ 。 $A$ 是 $\overline{O B}$ 的中點，所以 $B (2 p, p)$ 。

兩點也在 $y = lo g_{a} x$ 上： $lo g_{a} p = \frac{p}{2}$ ， $lo g_{a} (2 p) = p$ 。所以 $lo g_{a} (2 p) = 2 lo g_{a} p = lo g_{a} p^{2}$ ，對數函數是一對一， $2 p = p^{2}$ ， $p = 2$ （ $p > 0$ ）。

$A (2, 1)$ ， $(\overline{O A})^{2} = 2^{2} + 1^{2} = 5$ 。

代回檢查：

lo g_{a} 2 = 1

得

a = 2

，

y = lo g_{2} x

與

y = \frac{1}{2} x

交於

(2, 1)

與

(4, 2)

，

(2, 1)

正是原點與

(4, 2)

的中點。

模型題把已知的資料代入定出常數，未知數不一定要解出來，整體代換常常比較快。

05計算題 17～19（原卷計算題 (1)～(3)）：指數成長模型的比值

第 17 題

由 $P_{n} = P_{0} (1 + r)^{n}$ ， $\frac{P _{4}}{P _{2}} = \frac{P _{0} ( 1 + r ) ^{4}}{P _{0} ( 1 + r ) ^{2}} = (1 + r)^{2}$ ，所以

$A = lo g_{3} \frac{P _{4}}{P _{2}} = lo g_{3} (1 + r)^{2} = 2 lo g_{3} (1 + r)$ 。

同理 $\frac{P _{9}}{P _{6}} = (1 + r)^{3}$ ， $B = 3 lo g_{3} (1 + r)$ 。

因為 $r > 0$ ， $1 + r > 1$ ， $lo g_{3} (1 + r) \neq = 0$ ，由 $A = k \times B$ 得 $k = \frac{2 lo g _{3} ( 1 + r )}{3 lo g _{3} ( 1 + r )} = \frac{2}{3}$ 。

原卷配分 3 分；相除之前要說明

lo g_{3} (1 + r)

不是

0

。

第 18 題

每隔 $8$ 天總感染人數變為 $3$ 倍： $\frac{P _{n + 8}}{P _{n}} = \frac{P _{0} ( 1 + r ) ^{n + 8}}{P _{0} ( 1 + r ) ^{n}} = (1 + r)^{8} = 3$ 。

所求 $= \frac{P _{23}}{P _{17}} \times \frac{P _{14}}{P _{10}} \times \frac{P _{8}}{P _{2}} = (1 + r)^{6} \times (1 + r)^{4} \times (1 + r)^{6} = (1 + r)^{16} = [(1 + r)^{8}]^{2} = 3^{2} = 9$ 。

原卷配分 3 分。每個比值只和兩個下標的差有關，差分別是

6

、

4

、

6

，合計

16

天，正好是兩個

8

天。

第 19 題

$\frac{lo g _{3} ( P _{20} ) - lo g _{3} ( P _{16} )}{2} = \frac{1}{2} lo g_{3} \frac{P _{20}}{P _{16}} = \frac{1}{2} lo g_{3} (1 + r)^{4} = 2 lo g_{3} (1 + r)$ 。

由 (2)， $(1 + r)^{8} = 3$ ， $1 + r = 3^{\frac{1}{8}}$ ， $lo g_{3} (1 + r) = \frac{1}{8}$ 。

所以所求 $= 2 \times \frac{1}{8} = \frac{1}{4}$ 。

原卷配分 2 分。也可以寫成

\frac{1}{2} lo g_{3} (1 + r)^{4} = \frac{1}{2} lo g_{3} [(1 + r)^{8}]^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}

。

指數模型的比值只看時間差：差幾天就是成長倍率的幾次方，取對數後變成倍數。

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每個題型挑各校段考原題當例題（少數改寫會註明），由易到難；每一題都附圖或表，詳解寫到每一步。PDF 電子檔，可以先下載試閱。

《指數與對數函數》單元冊 09・高二上（數A）

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常見問題

興大附中 112 上高二第二次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 19 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

興大附中 112 上高二第二次段考數學哪幾題最容易錯？

多選第 4 題第 (4) 選項：x 小於 0 的一側要代整數試，x 等於負 2 與負 4 都是交點，再加上 0 與 1 之間的一個，交點至少三個，不是兩個。多選第 6 題第 (5) 選項：底數稍大於 1（例如根號 2）時兩圖形會相交，不能只看底數 2 的圖。單選第 3 題：外層對數的真數也要大於 0，x 等於 1 不能算。選填 F（本頁第 12 題）：先用兩組資料定出 k 與 4 的負 3a 次方，不必解出 a。詳解逐題寫在本頁。

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可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

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題目取自興大附中 112 學年度上學期高二第二次段考數學A，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

興大附中 112 上高二第二次段考數學試題、答案與詳解

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01單選 1～3：化成同底夾範圍、底數真數對調、兩層對數的不等式

02多選 4～6：圖形上的點與交點、位數與小數點後第幾位、對數函數的大小與對稱

03選填 7～11（原卷 A～E）：平移、對數化簡、三點共線、複利年數、二次方程式

04選填 12～16（原卷 F～J）：定模型常數、斜率比、直線斜率、共同值、中點

05計算題 17～19（原卷計算題 (1)～(3)）：指數成長模型的比值

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興大附中 112 上 高二第二次段考數學的答案在哪裡？

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興大附中 112 上
高二第二次段考
數學試題、答案與詳解

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