御藍教育／段考卷／高三

段考詳解範圍：多項式函數的微積分（遞增遞減與凹向、極值與最佳化、反導函數與定積分、面積、邊際成本、消費者剩餘與生產者剩餘）

興大附中 113 上
高三第二次段考
數學試題、答案與詳解

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01 · 試題

原卷 17 題，照原卷順序

單選題 4 題（每題 5 分，共 20 分）、多選題 2 題（每題 8 分，共 16 分；答錯 1 個選項得 4.8 分，答錯 2 個選項得 1.6 分，答錯多於 2 個選項得 0 分）、填充題 A～I 共 9 題（每題 6 分，共 54 分）、計算題 1 題 2 小題（4 分與 6 分，共 10 分），合計 100 分。原卷填充題編號為 A～I，本頁第 7～15 題依序為填充 A～I，第 16、17 題是計算題第 1 題的 (1)(2)。答案已與學校公布的答案逐題核對，有 2 題與學校印的答案不同：第 14 題學校印的是 m、n、k 三個值，題目問三者的和，本頁寫和；第 16 題學校印的 10 是均衡數量，本頁寫均衡價格 30；兩題都附註說明。

一、單選題：(20 分)　說明：第 1 題至第 4 題，每題有 5 個選項，其中只有一個是正確或最適當的選項，請畫記在答案卡之「選擇（填）題答案區」。各題答對者，得 5 分；答錯、未作答或畫記多於一個選項者，該題以零分計算。
1
已知函數 f(x)=x3+6x2+4x−6，試選出其圖形在凹口向下時的 x 範圍。
  1. (1) (−∞,−4)
  2. (2) (−∞,−3)
  3. (3) (−∞,−2)
  4. (4) (−2,∞)
  5. (5) (1,∞)
2
已知 F(x) 為函數 f(x)=4x+3 的一個反導函數且 F(2)=5，則 F(x) 的各項係數和為
  1. (1) 7
  2. (2) −3
  3. (3) 3
  4. (4) 0
  5. (5) −4
3
下列選項哪一個最有可能是多項式函數 f(x)=−x3+x2−x 的圖形？
  1. (1) 圖 (1)
  2. (2) 圖 (2)
  3. (3) 圖 (3)
  4. (4) 圖 (4)
  5. (5) 圖 (5)
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4
求函數 f(x)=−3x2+12 的圖形與 x 軸、x=−2 及 x=1 所圍成區域的面積為下列哪個選項？
  1. (1) 18
  2. (2) 21
  3. (3) 24
  4. (4) 27
  5. (5) 43
二、多選題(16 分)　說明：第 5 題至第 6 題，每題有 5 個選項，其中至少有一個是正確的選項，請將正確選項畫記在答案卡之「選擇（填）題答案區」。各題之選項獨立判定，所有選項均答對者，得 8 分；答錯 1 個選項者，得 4.8 分；答錯 2 個選項者，得 1.6 分；答錯多於 2 個選項或所有選項均未作答者，該題以零分計算。
5
函數 f(x)=x4+4x3+5 在下列哪些區間上為嚴格遞增函數？
  1. (1) [−4,−2]
  2. (2) [−2,0]
  3. (3) [0,3]
  4. (4) [−2,3]
  5. (5) [0,8]
6
設多項式函數 f(x) 在區間 [0,6] 的圖形如圖所示，其中陰影區域的面積為 3，且 ∫06​f(x)dx=8，則下列選項哪些是正確的？
  1. (1) ∫04​f(x)dx=5
  2. (2) ∫46​f(x)dx=−3
  3. (3) ∫06​∣f(x)∣dx=14
  4. (4) ∫04​(f(x)+2)dx=19
  5. (5) ∫46​(f(x)+x)dx=7
載入中...
三、填充題(54 分)　說明：1.第 A 至 I 題，將答案畫記在答案卡之「選擇（填）題答案區」所標示的列號 (7~31)。2.每小題完全答對給 6 分，答錯不倒扣，未完全答對不給分。
7
設函數 f(x)=2x3+ax2+bx−5 在區間 [−2,1] 上為嚴格遞減函數，在區間 [1,∞) 與 (−∞,−2] 上為嚴格遞增函數，求 f(x) 的極小值為 ____。
8
已知 a 為實數，且函數 f(x) 滿足 ∫ax​f(t)dt=x2−3x−10，求 f(5)= ____。
9
求函數 f(x)=−x2+3x−2 與 x 軸所圍成的圖形區域的面積為 ____。
10
設生產某品牌的新款休閒鞋之邊際成本函數為 C′(x)=4000−20x（元／雙），0≤x≤100，其中 x 表示鞋子的生產量（雙），且固定成本為 3000 元（即 C(0)=3000）。試求從生產 20 雙鞋增加到 50 雙鞋所增加的平均成本為 ____ 元。 （※增加的平均成本 =增加的產量增加的總成本​）
11
設 a∈R，且三次函數 f(x)=x3+3ax2+12x+1 恆為遞增函數，則 a 的範圍為 ____ ≤a≤ ____。
12
已知三次函數 f(x)=ax3+6x2+bx+c 圖形的反曲點為 P(−1,13)，且以 P 為切點的切線斜率為 −11，求實數序對 (a,b,c)= ____。
13
圖為函數 f(x) 的圖形與 x 軸、x=−3 及 x=5 所圍成的區域。已知 R1​ 與 R2​ 的面積比為 1:3，且 ∫−35​f(x)dx=8，試求 ∫−30​f(x)dx= ____。
載入中...
14
經調查得知某商品的需求函數為 D(x)=140−0.1x2，供給函數為 S(x)=x+20，其中 x 表示商品數量。設均衡點為 P(m,n)，且在均衡點的消費者剩餘為 k，求 m+n+k= ____。
15
如圖所示，長方形 ABCD 中，CD 在 x 軸上，另兩個頂點 A，B 在 x 軸上方且在拋物線 y=6−x2 上，求此長方形 ABCD 的最大面積 ____。
載入中...
四、計算題(10 分)(請將計算過程寫在答案卷上)
計算題第 1 題（第 16～17 題）　已知某產品 x 件的需求函數為 D(x)=60−0.3x2，供給函數為 S(x)=0.1x2+20，在市場均衡狀況下。
16
(1) 試求市場的均衡價格 p∗。(4 分)
17
(2) 試求當此產品在價格 p∗ 時，「生產者剩餘」的值。(6 分)
02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(3)
第 2 題(5)
第 3 題(1)
第 4 題(4)
第 5 題(2)(3)(4)(5)
第 6 題(2)(3)(4)(5)
第 7 題−12
第 8 題7
第 9 題61​
第 10 題3300
第 11 題−2≤a≤2
第 12 題(2,−5,4)
第 13 題−4
第 14 題1880（學校答案印 (30,50,1800)，是 m、n、k 各自的值；題目問三者的和）
第 15 題82​
第 16 題30（學校答案印 10，應為均衡數量）
第 17 題3200​
03 · 勾錯題號

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

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01單選 1、3 與多選 5：遞增遞減與凹向

第 1 題f′(x)=3x2+12x+4，f′′(x)=6x+12。圖形凹口向下的部分是 f′′(x)<0 的部分：6x+12<0，即 x<−2。所以範圍是 (−∞,−2)，選 (3)。
x=−2 是反曲點的 x 坐標：左邊凹口向下，右邊凹口向上。
第 3 題f(0)=0，圖形通過原點。f′(x)=−3x2+2x−1=−3(x−31​)2−32​，對所有實數 x 都有 f′(x)<0，所以 f(x) 在整條數線上嚴格遞減，圖形一路往右下走，沒有極大值也沒有極小值。圖 (2)、(4)、(5) 都有一高一低的轉折，圖 (3) 是遞增，都不符合；圖 (1) 通過原點且一路下降。選 (1)。
也可以用判別式看：f′(x)=0 的判別式 22−4⋅(−3)⋅(−1)=−8<0，又 x2 項係數是負的，所以 f′(x) 恆負。f′′(x)=−6x+2，反曲點在 x=31​，左邊凹口向上、右邊凹口向下，也和圖 (1) 的樣子相符。
第 5 題

答案 (2)(3)(4)(5)。f′(x)=4x3+12x2=4x2(x+3)。當 x>−3 時 x+3>0，4x2≥0，所以 f′(x)≥0，而且只在 x=0 這一點等於 0；當 x<−3 時 f′(x)<0。導數在區間上不小於 0、且只在個別的點等於 0，函數在這個區間上仍是嚴格遞增，所以 f(x) 在 [−3,∞) 上嚴格遞增，在 (−∞,−3] 上嚴格遞減。

錯誤。 (1) [−4,−2] 包含 [−4,−3] 這一段遞減的部分。例如 f(−4)=256−256+5=5，f(−3)=81−108+5=−22，f(−4)>f(−3)。

正確。 (2) [−2,0] 在 [−3,∞) 內。

正確。 (3) [0,3] 在 [−3,∞) 內。

正確。 (4) [−2,3] 在 [−3,∞) 內；中間經過 x=0，f′(0)=0 只是一個點，不影響嚴格遞增。

正確。 (5) [0,8] 在 [−3,∞) 內。

x=0 的左右兩側 f′(x) 都是正的，f(0) 不是極值，(0,5) 是圖形上切線水平的點（也是反曲點）。
凹向看二階導數的正負，增減看一階導數的正負；導數只在個別的點等於 0，不影響嚴格遞增。

02單選 2、4 與多選 6：反導函數與定積分

第 2 題f(x)=4x+3 的反導函數為 F(x)=2x2+3x+C。由 F(2)=8+6+C=5，得 C=−9，F(x)=2x2+3x−9。各項係數和就是 F(1)=2+3−9=−4，選 (5)。
第 4 題

f(x)=−3x2+12=3(4−x2)，在 −2≤x≤1 時 4−x2≥0，圖形在 x 軸上方（x=−2 時剛好碰到 x 軸），所以面積就是定積分：

∫−21​(−3x2+12)dx=[−x3+12x]−21​=(−1+12)−(8−24)=11+16=27

選 (4)。

第 6 題

答案 (2)(3)(4)(5)。由圖，f(x) 在 [0,4] 上不小於 0，在 [4,6] 上不大於 0，陰影是 [4,6] 上的部分，在 x 軸下方，所以 ∫46​f(x)dx=−3。再由 ∫06​f(x)dx=∫04​f(x)dx+∫46​f(x)dx=8，得 ∫04​f(x)dx=11。

錯誤。 (1) ∫04​f(x)dx=11，不是 5。

正確。 (2) 陰影在 x 軸下方，定積分是面積的相反數 −3。

正確。 (3) ∫06​∣f(x)∣dx=∫04​f(x)dx−∫46​f(x)dx=11+3=14。

正確。 (4) ∫04​(f(x)+2)dx=11+2×4=19。

正確。 (5) ∫46​xdx=[2x2​]46​=18−8=10，所以 ∫46​(f(x)+x)dx=−3+10=7。

定積分是有號面積：x 軸上方算正、下方算負；加絕對值才是全部面積相加。

03填充 A、E、F、I（本頁第 7、11、12、15 題）：極值、恆遞增、反曲點與最佳化

第 7 題f′(x)=6x2+2ax+b。f(x) 在 (−∞,−2] 遞增、在 [−2,1] 遞減、在 [1,∞) 遞增，所以 f′(x) 在 x=−2 與 x=1 變號，這兩個數是 f′(x)=0 的兩根：f′(x)=6(x+2)(x−1)=6x2+6x−12，比較係數得 2a=6、b=−12，即 a=3，b=−12。f(x) 在 x=1 由遞減變遞增，極小值為 f(1)=2+3−12−5=−12。
x=−2 由遞增變遞減，是極大值的位置：f(−2)=−16+12+24−5=15。
第 11 題f′(x)=3x2+6ax+12。f(x) 恆為遞增函數，要對所有實數 x 都有 f′(x)≥0。f′(x) 是開口向上的二次函數，條件是判別式不大於 0：(6a)2−4⋅3⋅12≤0，即 36a2≤144，a2≤4，所以 −2≤a≤2。
端點也要算進去：a=2 時 f′(x)=3(x+2)2，只在 x=−2 這一點等於 0，f(x) 仍是遞增函數；a=−2 同理。
第 12 題

f′(x)=3ax2+12x+b，f′′(x)=6ax+12。

反曲點在 x=−1：f′′(−1)=−6a+12=0，a=2。

切線斜率：f′(−1)=3a−12+b=6−12+b=−11，b=−5。

點 P 在圖形上：f(−1)=−a+6−b+c=−2+6+5+c=13，c=4。

所以 (a,b,c)=(2,−5,4)。

驗算：f(x)=2x3+6x2−5x+4，f′′(x)=12x+12 在 x=−1 由負變正，確實是反曲點。
第 15 題

拋物線 y=6−x2 對稱於 y 軸，長方形的 A、B 兩點高度相同，所以也對稱於 y 軸。設 B(t, 6−t2)、A(−t, 6−t2)，其中 0<t<6​（A、B 在 x 軸上方）。長方形的寬 AB=2t，高 6−t2，面積

S(t)=2t(6−t2)=12t−2t3

S′(t)=12−6t2=0，得 t=2​。當 0<t<2​ 時 S′(t)>0，當 2​<t<6​ 時 S′(t)<0，所以 t=2​ 時面積最大：S(2​)=22​⋅(6−2)=82​。

附圖的長方形是示意，不是面積最大時的位置。
增減區間的分界點就是導函數的根；恆遞增看導函數的判別式；反曲點用二階導數等於 0。

04填充 B、C、G（本頁第 8、9、13 題）：微積分基本定理與面積

第 8 題由微積分基本定理，dxd​∫ax​f(t)dt=f(x)。等式兩邊對 x 微分，得 f(x)=2x−3，所以 f(5)=10−3=7。
a 要讓左邊在 x=a 時為 0：a2−3a−10=0，a=5 或 −2，這樣的 a 存在，題目成立；求 f(5) 用不到 a。
第 9 題

f(x)=−x2+3x−2=−(x−1)(x−2)，與 x 軸交於 x=1、x=2；開口向下，在 1≤x≤2 時 f(x)≥0。所圍面積

∫12​(−x2+3x−2)dx=[−3x3​+23x2​−2x]12​=(−38​+6−4)−(−31​+23​−2)=−32​+65​=61​

第 13 題

由圖，R1​ 在 x 軸下方、介於 x=−3 與 x=0 之間；R2​ 在 x 軸上方、介於 x=0 與 x=5 之間。設 R1​ 的面積為 s，則 R2​ 的面積為 3s。

∫−35​f(x)dx=∫−30​f(x)dx+∫05​f(x)dx=−s+3s=2s=8

所以 s=4，∫−30​f(x)dx=−s=−4。

上限是 x 的定積分對 x 微分，就回到被積分的函數；在 x 軸下方的面積，定積分要加負號。

05填充 D、H 與計算題（本頁第 10、14、16、17 題）：積分在經濟上的應用

第 10 題

總成本的增加量是邊際成本從 20 積分到 50：

C(50)−C(20)=∫2050​(4000−20x)dx=[4000x−10x2]2050​=(200000−25000)−(80000−4000)=99000

增加的產量是 50−20=30 雙，所以增加的平均成本為 99000÷30=3300 元。

固定成本 3000 元在相減時消去，用不到。
第 14 題

均衡點是需求等於供給：140−0.1x2=x+20，即 x2+10x−1200=0，(x+40)(x−30)=0。數量為正，m=30，均衡價格 n=30+20=50。消費者剩餘是需求曲線在均衡價格上方的面積：

k=∫030​(D(x)−50)dx=∫030​(90−0.1x2)dx=[90x−30x3​]030​=2700−900=1800

所以 m+n+k=30+50+1800=1880。

學校答案印 (30,50,1800)，寫的是 m、n、k 各自的值；題目問的是三者的和，本站答案寫 1880。
第 16 題均衡時需求等於供給：60−0.3x2=0.1x2+20，0.4x2=40，x2=100。數量為正，均衡數量 x=10 件。均衡價格 p∗=D(10)=60−30=30（也等於 S(10)=10+20=30）。
學校答案印 10，那是均衡數量；題目問的是均衡價格 p∗，依題意為 30，第 (2) 小題也要用 p∗=30 才算得出學校印的 3200​。本站答案寫 30。
第 17 題

生產者剩餘是均衡價格與供給曲線之間的面積（0≤x≤10）：

∫010​(30−S(x))dx=∫010​(10−0.1x2)dx=[10x−30x3​]010​=100−3100​=3200​

先解需求等於供給找均衡點；消費者剩餘在價格線上方、需求曲線下方，生產者剩餘在價格線下方、供給曲線上方。

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興大附中 113 上 高三第二次段考數學哪幾題最容易錯？

多選第 5 題：導數只在 x 等於 0 這一點為 0，函數仍是嚴格遞增，含 0 的區間也要選。多選第 6 題：陰影在 x 軸下方，定積分要記成負的；加上絕對值才是面積相加。填充 H（本頁第 14 題）：消費者剩餘要先減去均衡價格再積分。計算題第 1 題：均衡價格是代回需求函數算出的價格，不是均衡數量。詳解逐題寫在本頁。

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