興大附中 114 上
高二第三次段考
數學試題、答案與詳解

① $P$ 在 $\overline{BD}$ 上。由 $\overline{AD}:\overline{DC}=2:1$ 得 $\overrightarrow{AD}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}$。設 $\overline{BP}:\overline{PD}=t:(1-t)$，則 $$\overrightarrow{AP}=(1-t)\overrightarrow{AB}+\frac{2t}{3}\overrightarrow{AC}$$

② $P$ 也在 $\overline{CE}$ 上。由 $\overrightarrow{AE}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}$，設 $\overline{EP}:\overline{PC}=s:(1-s)$，則 $$\overrightarrow{AP}=\frac{1-s}{3}\overrightarrow{AB}+s\overrightarrow{AC}$$

③ $\overrightarrow{AB}$、$\overrightarrow{AC}$ 不平行，兩種寫法的係數要相等：$1-t=\frac{1-s}{3}$ 且 $\frac{2t}{3}=s$。

④ 把 $s=\frac{2t}{3}$ 代入第一式：$3-3t=1-\frac{2t}{3}$，得 $t=\frac{6}{7}$。

所以 $x=1-t=\frac{1}{7}$，$y=\frac{2t}{3}=\frac{4}{7}$，答案 (1)。

① $\overrightarrow{OA}\perp \overrightarrow{OB}$，以 $O$ 為原點、$\overrightarrow{OA}$ 方向為 $x$ 軸：設 $A(a,0)$、$B(0,b)$，$a$、$b$ 都是正數。

② $\overrightarrow{OC}=\frac{3}{8}\overrightarrow{OA}+\frac{5}{8}\overrightarrow{OB}$ 的係數和為 $1$，$C$ 是 $\overline{AB}$ 上的內分點，坐標 $C\left(\frac{3a}{8},\frac{5b}{8}\right)$。

③ $3\overline{AD}=5\overline{BD}$ 就是 $\overline{AD}:\overline{BD}=5:3$。若 $D$ 是內分點，算出來就是 $C$ 本身，而 $\overrightarrow{OC}$ 不可能垂直自己，所以 $D$ 是外分點，在 $B$ 的外側： $$\overrightarrow{OD}=\frac{5\overrightarrow{OB}-3\overrightarrow{OA}}{5-3},D\left(-\frac{3a}{2},\frac{5b}{2}\right)$$

④ $\overrightarrow{OC}\cdot \overrightarrow{OD}=0$： $$\frac{3a}{8}\cdot \left(-\frac{3a}{2}\right)+\frac{5b}{8}\cdot \frac{5b}{2}=\frac{-9a^2+25b^2}{16}=0$$ 得 $25b^2=9a^2$，$\frac{b}{a}=\frac{3}{5}$。

所以 $\frac{\overline{OB}}{\overline{OA}}=\frac{3}{5}$，答案 (2)。

① $\overrightarrow{AB}$ 與 $\overrightarrow{BC}$ 頭尾相接，它們的夾角是 $180^{\circ }-B$，不是角 $B$。改用從 $B$ 出發的兩個向量：$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BC}=-\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{BC}$。

② $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{BA}$，兩邊平方： $${\left|\overrightarrow{AC}\right|}^2={\left|\overrightarrow{BA}\right|}^2+{\left|\overrightarrow{BC}\right|}^2-2\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{BC}$$

③ 代入邊長：$47=25+36-2\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{BC}$，得 $\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{BC}=7$。

所以 $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BC}=-7$，答案 (4)。

① 設 $\overrightarrow{a}=(a_1,a_2)$、$\overrightarrow{b}=(b_1,b_2)$，令 $\Delta =\left|\begin{array}{cc}{a}_1& a_2\\ b_1& b_2\end{array}\right|$，則 $\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$ 所張平行四邊形面積是 $|\Delta |$。

② 把 $3\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}$、$\overrightarrow{a}-3\overrightarrow{b}$ 的坐標排成行列式展開，交叉項 $a_1{a}_2$、$b_1{b}_2$ 都消掉： $$\left|\begin{array}{cc}3a_1+2b_1& 3a_2+2b_2\\ a_1-3b_1& a_2-3b_2\end{array}\right|=(3\cdot (-3)-2\cdot 1)\Delta =-11\Delta$$

③ 面積 $11|\Delta |=10$，所以 $|\Delta |=\frac{10}{11}$。

④ 同樣地，$2\overrightarrow{a}+3\overrightarrow{b}$、$3\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$ 的行列式是 $(2\cdot 1-3\cdot 3)\Delta =-7\Delta$，面積 $7|\Delta |=\frac{70}{11}$。

答案 (5)。

答案 (2)(4)(5)。

(1) 錯誤。 這個式子只說明 $O$ 是某個特定的點，三點不必共線。反例：$A(10,0)$、$B(0,10)$、$C(0,0)$ 不共線，取 $O(2,3)$，$2(8,-3)+3(-2,7)+5(-2,-3)=(0,0)$ 成立。

(2) 正確。 $\overrightarrow{AC}=\sqrt{2}\overrightarrow{AB}$，兩向量平行又有共同的起點 $A$，三點共線。

(3) 錯誤。 $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{CB}$ 對任意三點都成立，例如正三角形也滿足。

(4) 正確。 兩邊平方得 $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=\left|\overrightarrow{AB}\right|\left|\overrightarrow{AC}\right|$，夾角的餘弦為 $1$，兩向量同方向，三點共線。

(5) 正確。 係數和 $\frac{9}{7}-\frac{2}{7}=1$，$C$ 在直線 $AB$ 上；事實上 $\overrightarrow{AC}=-\frac{2}{7}\overrightarrow{AB}$，$C$ 在 $A$ 的外側。

答案 (2)(3)。

(1) 錯誤。 長的向量反而乘上較大的倍數，方向偏向較長的那一個。反例：$\overrightarrow{a}=(2,0)$、$\overrightarrow{b}=(0,1)$，$\left|\overrightarrow{a}\right|\overrightarrow{a}+\left|\overrightarrow{b}\right|\overrightarrow{b}=(4,1)$，而夾角的平分線方向是 $(1,1)$。

(2) 正確。 兩個單位向量等長，以它們為邊的平行四邊形是菱形，菱形的對角線平分頂角；$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$ 不平行，和不是零向量。

(3) 正確。 $(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})\cdot (\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})={\left|\overrightarrow{a}\right|}^2-{\left|\overrightarrow{b}\right|}^2=0$，所以 $\left|\overrightarrow{a}\right|=\left|\overrightarrow{b}\right|$。

(4) 錯誤。 左邊與 $\overrightarrow{a}$ 平行，右邊與 $\overrightarrow{c}$ 平行。反例：$\overrightarrow{a}=(1,0)$、$\overrightarrow{b}=(0,1)$、$\overrightarrow{c}=(1,1)$，左邊 $=(1,0)$，右邊 $=0\cdot \overrightarrow{c}=(0,0)$。

(5) 錯誤。 化簡只得到 $\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{c}=\overrightarrow{c}\cdot \overrightarrow{c}$，即 $(\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c})\cdot \overrightarrow{c}=0$。反例：$\overrightarrow{a}=(0,1)$、$\overrightarrow{b}=(1,1)$、$\overrightarrow{c}=(1,0)$，兩邊都是 $1$，但 $\overrightarrow{b}\ne \overrightarrow{c}$。

答案 (1)(4)(5)。$\left|\overrightarrow{OB}\right|=\sqrt{16+9}=5$，設 $\overrightarrow{OA}$、$\overrightarrow{OB}$ 的夾角為 $\theta$。

(1) 正確。 $\left|\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}\right|\le \left|\overrightarrow{OA}\right|+\left|\overrightarrow{OB}\right|=13$，兩向量同方向時等號成立。

(2) 錯誤。 兩向量反方向時 $\left|\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}\right|=8+5=13$，最大值是 $13$；$3$ 是同方向時的最小值。

(3) 錯誤。 面積 $=\frac{1}{2}\cdot 8\cdot 5\cdot \sin \theta \le 20$，$\theta =90^{\circ }$ 時最大值為 $20$。

(4) 正確。 $\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}=40\cos \theta \le 40$，同方向時等號成立。

(5) 正確。 ${\overline{AB}}^2={\left|\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}\right|}^2=25+64-2\cdot 10=69$，所以 $\overline{AB}=\sqrt{69}$。

答案 (1)(4)(5)。$D$ 是 $\overline{AB}$ 的中點，$\overline{BD}=4=\overline{BC}$，$△BCD$ 是等腰三角形；$\angle ABC$ 的平分線也平分 $\angle DBC$，等腰三角形頂角的平分線平分底邊，所以 $P$ 是 $\overline{CD}$ 的中點。

(1) 正確。 $\overline{CP}=\frac{1}{2}\overline{CD}$。

(2) 錯誤。 $\overrightarrow{AP}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}\right)=\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$，係數對調了。

(3) 錯誤。 餘弦定理：$\cos \angle ACB=\frac{6^2+4^2-8^2}{2\cdot 6\cdot 4}=-\frac{1}{4}$。

(4) 正確。 海龍公式：$s=9$，$△ABC=\sqrt{9\cdot 1\cdot 3\cdot 5}=3\sqrt{15}$。$D$ 是中點，$△ACD=\frac{1}{2}△ABC$；$P$ 是 $\overline{CD}$ 中點，$△ACP=\frac{1}{2}△ACD=\frac{3}{4}\sqrt{15}$。

(5) 正確。 $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=\frac{64+36-16}{2}=42$， $${\left|\overrightarrow{AP}\right|}^2=\frac{1}{16}\cdot 64+\frac{1}{4}\cdot 36+2\cdot \frac{1}{4}\cdot \frac{1}{2}\cdot 42=4+9+\frac{21}{2}=\frac{94}{4}$$ 所以 $\left|\overrightarrow{AP}\right|=\frac{\sqrt{94}}{2}$。

① $G$ 是重心：$\overrightarrow{AG}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$。

② $\overline{AD}:\overline{DB}=5:2$，所以 $\overrightarrow{AB}=\frac{7}{5}\overrightarrow{AD}$。設 $\overrightarrow{AE}=k\overrightarrow{AC}$，則 $\overrightarrow{AC}=\frac{1}{k}\overrightarrow{AE}$，代入： $$\overrightarrow{AG}=\frac{7}{15}\overrightarrow{AD}+\frac{1}{3k}\overrightarrow{AE}$$

③ $G$ 在直線 $DE$ 上，係數和為 $1$：$\frac{7}{15}+\frac{1}{3k}=1$，得 $\frac{1}{3k}=\frac{8}{15}$，$k=\frac{5}{8}$。

④ $\overline{AE}:\overline{AC}=5:8$，所以 $\overline{AE}:\overline{EC}=5:3$。

答案 $\frac{\overline{AE}}{\overline{EC}}=\frac{5}{3}$。

① $P$ 在 $\overline{AC}$ 的中垂線上，$\overrightarrow{AP}$ 在 $\overrightarrow{AC}$ 上的正射影是 $\overrightarrow{AE}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$，所以 $$\overrightarrow{AP}\cdot \overrightarrow{AC}=\frac{1}{2}{\left|\overrightarrow{AC}\right|}^2=18$$

② $P$ 在高 $\overline{CD}$ 上，$\overrightarrow{CP}\perp \overrightarrow{AB}$，所以 $\overrightarrow{AP}\cdot \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{AB}$。

③ 由三邊長：$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=\frac{25+36-49}{2}=6$。

④ 代入 $\overrightarrow{AP}=x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AC}$： $$\{\begin{array}{l}25x+6y=6\\ 6x+36y=18\end{array}$$

⑤ 第二式化成 $x=3-6y$，代入第一式：$75-144y=6$，$y=\frac{23}{48}$，$x=\frac{1}{8}$。

答案 $(x,y)=\left(\frac{1}{8},\frac{23}{48}\right)$。

① $\overrightarrow{u}$ 是 $\overrightarrow{a}$ 在 $\overrightarrow{b}$ 上的正射影：$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=2+6=8$，${\left|\overrightarrow{b}\right|}^2=5$， $$\overrightarrow{u}=\frac{\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}}{{\left|\overrightarrow{b}\right|}^2}\overrightarrow{b}=\frac{8}{5}(1,2)=\left(\frac{8}{5},\frac{16}{5}\right)$$

② $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{a}-\overrightarrow{u}=\left(2-\frac{8}{5},3-\frac{16}{5}\right)=\left(\frac{2}{5},-\frac{1}{5}\right)$。

答案 $\overrightarrow{v}=\left(\frac{2}{5},-\frac{1}{5}\right)$。

① $\overrightarrow{OP}$ 在 $\overrightarrow{OA}$ 上的正射影是 $\frac{\overrightarrow{OP}\cdot \overrightarrow{OA}}{{\left|\overrightarrow{OA}\right|}^2}\overrightarrow{OA}$，兩個正射影相同，就是 $\overrightarrow{OP}\cdot \overrightarrow{OA}=\overrightarrow{OB}\cdot \overrightarrow{OA}$。

② 設 $P(p,0)$：$5p=5\cdot (-6)+9\cdot 10=60$，$p=12$。

答案 $P(12,0)$。

① 設 $\overrightarrow{a}=(a_1,a_2)$、$\overrightarrow{b}=(b_1,b_2)$，$\overrightarrow{c}=x\overrightarrow{a}+y\overrightarrow{b}$。$\overrightarrow{a}$ 與 $\overrightarrow{c}$ 的行列式中，$x\overrightarrow{a}$ 那一部分與第一列成比例，消掉： $$\left|\begin{array}{cc}{a}_1& a_2\\ x{a}_1+y{b}_1& x{a}_2+y{b}_2\end{array}\right|=y\left|\begin{array}{cc}{a}_1& a_2\\ b_1& b_2\end{array}\right|$$

② 取絕對值得面積：$7=|y|\cdot 5$，$|y|=\frac{7}{5}$。

③ 同理 $\overrightarrow{b}$ 與 $\overrightarrow{c}$ 的行列式是 $x\left|\begin{array}{cc}{b}_1& b_2\\ a_1& a_2\end{array}\right|$，面積 $8=|x|\cdot 5$，$|x|=\frac{8}{5}$。

④ 由圖，$E$ 在射線 $OA$ 上、$F$ 在射線 $OB$ 上，$x$、$y$ 都是正數。

答案 $(x,y)=\left(\frac{8}{5},\frac{7}{5}\right)$。

令 $\Delta =\left|\begin{array}{cc}{a}_1& b_1\\ a_2& b_2\end{array}\right|$，${\Delta }_x=\left|\begin{array}{cc}{c}_1& b_1\\ c_2& b_2\end{array}\right|$，${\Delta }_y=\left|\begin{array}{cc}{a}_1& c_1\\ a_2& c_2\end{array}\right|$。

① 第一式：第一行減去第二行的 $3$ 倍，值不變，所以 $\Delta =2$。

② 第二式：兩行各提出 $2$，$4\left|\begin{array}{cc}{b}_1& c_1\\ b_2& c_2\end{array}\right|=16$，所以 $\left|\begin{array}{cc}{b}_1& c_1\\ b_2& c_2\end{array}\right|=4$；兩行對調變號，${\Delta }_x=-4$。

③ 第三式：把第一行拆開，再去掉與另一行成比例的部分： $$\left|\begin{array}{cc}{a}_1& 3a_1+c_1\\ a_2& 3a_2+c_2\end{array}\right|+2\left|\begin{array}{cc}{c}_1& 3a_1+c_1\\ c_2& 3a_2+c_2\end{array}\right|={\Delta }_y+6\left|\begin{array}{cc}{c}_1& a_1\\ c_2& a_2\end{array}\right|=-5{\Delta }_y$$ 由 $-5{\Delta }_y=-10$ 得 ${\Delta }_y=2$。

④ 克拉瑪公式：$x=\frac{{\Delta }_x}{\Delta }=-2$，$y=\frac{{\Delta }_y}{\Delta }=1$。

答案 $(x,y)=(-2,1)$。

① 由 $2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+3\overrightarrow{c}=\overrightarrow{0}$ 得 $\overrightarrow{b}=-(2\overrightarrow{a}+3\overrightarrow{c})$，兩邊平方： $$4=4\cdot 9+12\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{c}+9\cdot 4$$ 所以 $\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{c}=-\frac{17}{3}$。

② 用 $\overrightarrow{b}$ 消去：$3\overrightarrow{a}+4\overrightarrow{b}+6\overrightarrow{c}=3\overrightarrow{a}-8\overrightarrow{a}-12\overrightarrow{c}+6\overrightarrow{c}=-5\overrightarrow{a}-6\overrightarrow{c}$。

③ 平方： $${\left|5\overrightarrow{a}+6\overrightarrow{c}\right|}^2=25\cdot 9+60\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{c}+36\cdot 4=225-340+144=29$$

答案 $\sqrt{29}$。

① $1^2+2^2=(\sqrt{5}{)}^2$，$\angle A=90^{\circ }$，$△ABC$ 面積 $=\frac{1}{2}\cdot 1\cdot 2=1$。

② 以 $P$ 把三角形分成三塊： $$\frac{1}{2}\cdot 1\cdot x+\frac{1}{2}\cdot 2\cdot y+\frac{1}{2}\cdot \sqrt{5}\cdot \frac{1}{\sqrt{5}}=1$$ 得 $x+2y=1$。

③ 配方：$x^2+y^2+2x+4y=(x+1{)}^2+(y+2{)}^2-5$。

④ 柯西不等式： $$\left[(x+1{)}^2+(y+2{)}^2\right]\left(1^2+2^2\right)\ge {\left[(x+1)+2(y+2)\right]}^2=(x+2y+5{)}^2=36$$ 所以 $(x+1{)}^2+(y+2{)}^2\ge \frac{36}{5}$。

⑤ 等號在 $\frac{x+1}{1}=\frac{y+2}{2}$，即 $y=2x$ 時成立，配合 $x+2y=1$ 得 $x=\frac{1}{5}$、$y=\frac{2}{5}$，都是正數，$P$ 確實在三角形內部。

最小值為 $\frac{36}{5}-5=\frac{11}{5}$。