興大附中 114 上
高二第三次段考
數學試題、答案與詳解

答案 (4)。

① 兩個正三角形的每一邊都被三等分，所以整個圖形是中間一個正六邊形，外圍六個小正三角形，邊長都相同。

正六邊形的中心 $O$ 到每個頂點的距離也等於這個邊長。

② 設 $\vec{u}$ 的終點為 $T$，$\vec{v}$ 的終點為 $V$，$V$ 右邊相鄰的凹頂點為 $W$。四邊形 $OVTW$ 四邊等長，是菱形，所以

$$\overrightarrow{OW}=\overrightarrow{OT}-\overrightarrow{OV}=\vec{u}-\vec{v}$$

③ $A$、$V$、$W$ 在同一個大正三角形的邊上，且 $\overline{AV}=\overline{VW}$，所以

$$\overrightarrow{VA}=\overrightarrow{WV}=\vec{v}-\left(\vec{u}-\vec{v}\right)=2\vec{v}-\vec{u}$$

④ $\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{OV}+\overrightarrow{VA}=-\vec{u}+3\vec{v}$，得 $\alpha =-1$，$\beta =3$。

所以 $\alpha +\beta =2$，選 (4)。

答案 (4)。

① $\overrightarrow{AB}$ 與 $\overrightarrow{BC}$ 起點接起點時，夾角是 $180^{\circ }-\angle B$，所以

$$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BC}=-\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{BC}$$

② 由餘弦定理，

$$\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{BC}=\overline{BA}\times \overline{BC}\times \cos B=\frac{{\overline{BA}}^2+{\overline{BC}}^2-{\overline{CA}}^2}{2}=\frac{9+36-25}{2}=10$$

所以 $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BC}=-10$，選 (4)。

答案 (5)。

① 設 $\overline{AP}=a$，$\overline{PB}=a\phi$；$\overline{BQ}=b\phi$，$\overline{QC}=b$。於是 $\overline{AD}=\overline{BC}=b(1+\phi )$，$\overline{DC}=\overline{AB}=a(1+\phi )$。

② 三個都是直角三角形：

$$p=\frac{1}{2}\cdot a\cdot b(1+\phi ),q=\frac{1}{2}\cdot a\phi \cdot b\phi =\frac{1}{2}ab{\phi }^2,r=\frac{1}{2}\cdot b\cdot a(1+\phi )$$

③ 黃金分割數的性質：

$${\phi }^2=\frac{6+2\sqrt{5}}{4}=\frac{3+\sqrt{5}}{2}=1+\phi$$

所以 $p=q=r$，選 (5)。

答案 (1)。

① 正五邊形每個內角 $108^{\circ }$。看角 $A$：設圓心為 $I$，則 $\overline{IP}\perp \overline{AP}$、$\overline{IQ}\perp \overline{AQ}$，且 $\overline{AI}$ 平分角 $A$，所以 $\angle PAI=54^{\circ }$，$\angle AIP=36^{\circ }$。

② 直角三角形 $AIP$ 中，$\overline{AP}=\overline{IP}\tan 36^{\circ }=\tan 36^{\circ }$；同理 $\overline{AQ}=\tan 36^{\circ }$。

③ 每個角的直線部分少了 $2\tan 36^{\circ }$，五個角共少 $10\tan 36^{\circ }$。

④ 四邊形 $APIQ$ 中，$\angle PIQ=360^{\circ }-90^{\circ }-90^{\circ }-108^{\circ }=72^{\circ }$，每段圓弧是半徑 $1$ 的圓周的 $\frac{72}{360}=\frac{1}{5}$。五段圓弧合起來剛好一整圈，長 $2\pi$。

⑤ 周長少了 $10\tan 36^{\circ }-2\pi$。

所以選 (1)。

答案 (3)(4)。設邊長為 $s$。

① 沿 $A\to B\to C\to D\to E\to A$ 走，每經過一個頂點，前進方向就轉一個外角 $72^{\circ }$。所以 $\overrightarrow{BC}$、$\overrightarrow{CD}$、$\overrightarrow{DE}$、$\overrightarrow{EA}$ 的方向依序比 $\overrightarrow{AB}$ 轉了 $72^{\circ }$、$144^{\circ }$、$216^{\circ }$、$288^{\circ }$。

因為夾角取 $0^{\circ }$ 到 $180^{\circ }$，與 $\overrightarrow{AB}$ 的夾角依序是 $72^{\circ }$、$144^{\circ }$、$144^{\circ }$、$72^{\circ }$。

② 內積的正負看夾角：小於 $90^{\circ }$ 為正，大於 $90^{\circ }$ 為負。

(1) 錯誤。 $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AB}=s^2>0$。

(2) 錯誤。 夾角 $72^{\circ }$，內積 $s^2\cos 72^{\circ }>0$。

(3) 正確。 夾角 $144^{\circ }$，內積 $s^2\cos 144^{\circ }<0$。

(4) 正確。 夾角 $144^{\circ }$，內積 $s^2\cos 144^{\circ }<0$。

(5) 錯誤。 夾角 $72^{\circ }$，內積為正。

所以選 (3)(4)。

答案 (3)(5)。設 $\left|\vec{a}\right|=\left|\vec{b}\right|=k>0$。

(1) 錯誤。 只有 $\vec{a}$、$\vec{b}$ 不平行時才對。若 $\vec{a}=\vec{b}$，取 $\alpha =1$、$\beta =-1$，就有 $\alpha \vec{a}+\beta \vec{b}=\vec{0}$。

(2) 錯誤。 ${\left|\vec{a}+\vec{b}\right|}^2-{\left|\vec{a}-\vec{b}\right|}^2=4\vec{a}\cdot \vec{b}$，要 $\vec{a}\cdot \vec{b}>0$ 才成立；例如 $\vec{a}\perp \vec{b}$ 時兩邊相等。

(3) 正確。 $\left(\vec{a}+\vec{b}\right)\cdot \left(\vec{a}-\vec{b}\right)={\left|\vec{a}\right|}^2-{\left|\vec{b}\right|}^2=0$。（若 $\vec{a}=-\vec{b}$，則 $\vec{a}+\vec{b}=\vec{0}$；依約定，零向量與任意向量垂直，所以仍成立。同理 $\vec{a}=\vec{b}$ 時 $\vec{a}-\vec{b}=\vec{0}$ 也成立。）

(4) 錯誤。 $\vec{u}-\vec{v}=-3\vec{a}+3\vec{b}$，只有 $\vec{a}=\vec{b}$ 時才是零向量；例如 $\vec{a}=(1,0)$、$\vec{b}=(0,1)$ 時，$\vec{u}=(2,5)$，$\vec{v}=(5,2)$。

(5) 正確。 兩者展開後相同：

$${\left|\vec{u}\right|}^2=4k^2+20\vec{a}\cdot \vec{b}+25k^2,{\left|\vec{v}\right|}^2=25k^2+20\vec{a}\cdot \vec{b}+4k^2$$

所以選 (3)(5)。

答案 (1)(3)。

① 從 $O$ 出發、與直線 $L$ 夾銳角 $45^{\circ }$ 的射線共有四條（$L$ 兩側各兩條），相鄰兩條夾 $90^{\circ }$。它們與圓 $\Gamma$ 只有四個交點，$A$、$B$ 是其中相異兩點。

② 所以 $\overrightarrow{OA}$ 與 $\overrightarrow{OB}$ 的夾角只能是 $90^{\circ }$ 或 $180^{\circ }$。

③ $\left|\overrightarrow{OA}\right|=\left|\overrightarrow{OB}\right|=2$：夾角 $90^{\circ }$ 時內積為 $0$；夾角 $180^{\circ }$ 時內積為 $2\times 2\times \cos 180^{\circ }=-4$。

所以選 (1)(3)。

① 兩直線的法向量 ${\vec{n}}_1=(\sqrt{5},-1)$，${\vec{n}}_2=(7,\sqrt{5})$。兩直線的夾角等於法向量的夾角或它的補角，兩者的正弦相同。

② ${\vec{n}}_1\cdot {\vec{n}}_2=7\sqrt{5}-\sqrt{5}=6\sqrt{5}$，$\left|{\vec{n}}_1\right|=\sqrt{6}$，$\left|{\vec{n}}_2\right|=\sqrt{54}=3\sqrt{6}$。

③ 法向量夾角的餘弦為 $\frac{6\sqrt{5}}{\sqrt{6}\times 3\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{5}}{3}$。

④ $\sin \theta =\sqrt{1-\frac{5}{9}}=\frac{2}{3}$。

答案 $\frac{2}{3}$。

① $2\vec{a}+t\vec{b}=(2+2t,12-5t)$，$\vec{a}+\vec{b}=(3,1)$。

② 垂直表示內積為 $0$：

$$3(2+2t)+1\times (12-5t)=18+t=0$$

所以 $t=-18$。

① 兩式相加，$\vec{q}$ 消去：$2\vec{p}=(6,-4)$，$\vec{p}=(3,-2)$。

② $\left|\vec{p}\right|=\sqrt{3^2+(-2{)}^2}=\sqrt{13}$。

答案 $\sqrt{13}$。

① 梯形 $ABCD$ 的頂點依序相連，$\overline{AB}\parallel \overline{DC}$，所以 $\overrightarrow{DC}$ 與 $\overrightarrow{AB}$ 同方向，且長度是 $2$ 倍：$\overrightarrow{DC}=2\overrightarrow{AB}$。

② $\overrightarrow{AB}=(3,-4)$，$\overrightarrow{DC}=(6,-8)$。

③ $C=D+\overrightarrow{DC}=(-3+6,-1-8)=(3,-9)$，即 $t=3$，$k=-9$。

所以 $t+k=-6$。

① $\vec{c}=2\vec{a}-t\vec{b}=(-8-t,6+2t)$。

② 長度平方配方：

$${\left|\vec{c}\right|}^2=(t+8{)}^2+(2t+6{)}^2=5t^2+40t+100=5(t+4{)}^2+20$$

③ $t=-4$ 時 ${\left|\vec{c}\right|}^2$ 最小，為 $20$，此時 $\left|\vec{c}\right|=2\sqrt{5}$。

所以 $(k,m)=(-4,2\sqrt{5})$。

① 正射影是 $\frac{\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OC}}{{\left|\overrightarrow{OC}\right|}^2}\overrightarrow{OC}$，兩個正射影相同，就是

$$\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OB}\cdot \overrightarrow{OC}$$

② $\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OC}=18+4=22$，$\overrightarrow{OB}\cdot \overrightarrow{OC}=6+4a$。

③ $6+4a=22$，$a=4$。

① 單點透視中，前面 $DCGH$ 與後面 $ABFE$ 都畫成長方形，向後退的稜都連到消失點 $V$：$V$、$A$、$D$ 共線，$V$、$B$、$C$ 共線，$V$、$E$、$H$ 共線。

② $\overline{AB}\parallel \overline{DC}$，所以 $△VAB\sim △VDC$，$\overline{VA}:\overline{VD}=\overline{AB}:\overline{DC}=5:7$。

③ $\overline{AE}\parallel \overline{DH}$，所以 $△VAE\sim △VDH$，

$$\overline{DH}=\overline{AE}\times \frac{\overline{VD}}{\overline{VA}}=2\times \frac{7}{5}=\frac{14}{5}$$

答案 $\frac{14}{5}$ 公分。

① $△ABD$ 與 $△ACD$ 的高相同（$A$ 到 $\overleftrightarrow{BC}$ 的距離），所以 $\overline{BD}:\overline{DC}=12:8=3:2$，$\overrightarrow{BD}=\frac{3}{5}\overrightarrow{BC}$。

② $△APC$ 與 $△ADC$ 的高相同（$C$ 到 $\overleftrightarrow{AD}$ 的距離），所以 $\overline{AP}:\overline{AD}=5:8$。

③ $P$ 在 $\overline{AD}$ 上，

$$\overrightarrow{BP}=\frac{3}{8}\overrightarrow{BA}+\frac{5}{8}\overrightarrow{BD}=\frac{3}{8}\overrightarrow{BA}+\frac{5}{8}\times \frac{3}{5}\overrightarrow{BC}=\frac{3}{8}\overrightarrow{BA}+\frac{3}{8}\overrightarrow{BC}$$

所以 $\alpha +\beta =\frac{3}{8}+\frac{3}{8}=\frac{3}{4}$。

① $M$ 把 $\overline{BC}$ 分成 $\overline{BM}:\overline{MC}=3:2$，由分點公式，

$$\overrightarrow{AM}=\frac{2}{5}\overrightarrow{AB}+\frac{3}{5}\overrightarrow{AC}$$

② $\overline{AP}:\overline{PM}=4:1$，所以 $\overrightarrow{AP}=\frac{4}{5}\overrightarrow{AM}=\frac{8}{25}\overrightarrow{AB}+\frac{12}{25}\overrightarrow{AC}$。

③ $\alpha =\frac{8}{25}$，$\beta =\frac{12}{25}$。

所以 $\alpha -\beta =-\frac{4}{25}$。

① 由圖，$\angle ABC$ 是直角。以 $A$ 為原點、$\overrightarrow{AB}$ 方向為 $x$ 軸正向、$\overrightarrow{BC}$ 方向為 $y$ 軸正向，得 $A(0,0)$、$B(4,0)$、$C(4,3)$。

② 正方形 $ACDE$ 在 $\overline{AC}$ 不含 $B$ 的一側：$\overrightarrow{AC}=(4,3)$ 逆時針轉 $90^{\circ }$ 得 $\overrightarrow{CD}=(-3,4)$，所以 $D(1,7)$。

③ 正方形 $ABGF$ 在 $\overline{AB}$ 下方：$G(4,-4)$。

④ $\overrightarrow{AD}=(1,7)$，$\overrightarrow{AG}=(4,-4)$，

$$\overrightarrow{AD}\cdot \overrightarrow{AG}=4-28=-24$$

答案 $-24$。

① $D$ 是 $A$ 在 $\overleftrightarrow{BC}$ 上的垂足，$F$ 在 $\overline{AD}$ 上，所以 $\overline{FD}\perp \overleftrightarrow{BC}$：$\overrightarrow{BF}$ 在 $\overrightarrow{BC}$ 上的正射影就是 $\overrightarrow{BD}$，與 $E$ 的位置無關。

② $\overrightarrow{BD}$ 也是 $\overrightarrow{BA}$ 在 $\overrightarrow{BC}$ 上的正射影。$\overrightarrow{BA}=(8,-2)$，$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}=(1,1)$。

③ 正射影為

$$\frac{\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{BC}}{{\left|\overrightarrow{BC}\right|}^2}\overrightarrow{BC}=\frac{8-2}{2}(1,1)=(3,3)$$

答案 $(3,3)$。

① $\angle C=180^{\circ }-60^{\circ }-45^{\circ }=75^{\circ }$，是銳角，所以外心 $K$ 與 $C$ 在 $\overline{AB}$ 的同側，圓心角 $\angle AKB=2\angle C=150^{\circ }$。

② $\left|\overrightarrow{KA}\right|=\left|\overrightarrow{KB}\right|=2$（外接圓半徑）。

③ 展開：

$${\left|\overrightarrow{KA}+\overrightarrow{KB}\right|}^2=4+2\times 2\times 2\cos 150^{\circ }+4=8-4\sqrt{3}$$

答案 $8-4\sqrt{3}$。