段考詳解範圍：三角函數（弧度量、三角函數的圖形、和差角、倍角與半角公式、正餘弦的疊合）

興大附中 113 上
高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

Q: 興大附中 113 上 高二第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 17 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

Q: 興大附中 113 上 高二第一次段考數學哪幾題最容易錯？

多選第 7 題：邊長用正弦定理換成角 A 的餘弦之後要看角的範圍，周長的上界取不到等號，所以沒有最大值；銳角三角形那個選項給的範圍比精確範圍寬，但敘述仍然成立。單選第 1 題：要先由絕對值的範圍限制 x，再逐個山丘數交點，原點那一個根容易漏。單選第 4 題：P 點要先改寫成餘弦在前、正弦在後的形狀才能讀出角度，圓心角取小於半圈的那一個。選填 H（本頁第 15 題）：面積寫成一個角的函數後疊合，或看出對角線互相垂直時面積最大。詳解逐題寫在本頁。

Q: 我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

Q: 這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

原卷 17 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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題原卷全文

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則逐題詳解

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個單元，勾錯題號就知道錯在哪

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元，不用註冊

01 · 試題

原卷 17 題，照原卷順序

單選題 4 題（24 分）、多選題 3 題（24 分）、選填題 8 題（40 分）、混合題 2 題（12 分）。答案已與學校公布的答案逐題核對

第壹部分、選擇（填）題（合計占 88 分）一、單選題（占 24 分）：第 1 題至第 4 題，每題有 5 個選項，其中只有一個是正確或最適當的選項，請畫記在答案卡之「選擇（填）題答案區」。各題答對者，得 6 分；答錯、未作答或畫記多於一個選項者，該題以零分計算。

試問方程式

∣ sin 2 x ∣ = \frac{x}{2 π}

有多少個實根？

(1) $5$ 個
(2) $6$ 個
(3) $7$ 個
(4) $8$ 個
(5) $9$ 個

下列各選項中，哪一個值最大？

(1) $sin 1 cos 2 - cos 1 sin 2$
(2) $sin 1 + cos 1$
(3) $\frac{tan 1 + tan 2}{1 - tan 1 tan 2}$
(4) $cos 1 cos 2 - sin 1 sin 2$
(5) $1 - 2 sin^{2} 1$

如圖直角三角形

A B C

中，

∠ B = 9 0^{\circ}

，

\overline{A B} = 2

，

\overline{B D} = 1

，若

∠ B A C

的角平分線交

\overline{B C}

於

D

點，則

\overline{C D}

長為多少？

(1) $\frac{4}{3}$
(2) $\frac{5}{3}$
(3) $\frac{11}{9}$
(4) $\frac{13}{9}$
(5) $\frac{14}{9}$

載入中...

已知

P (sin 1, - cos 1)

、

Q (cos 4, sin 4)

為單位圓上兩點，

O

為原點（極點），若扇形圓心角

∠ P O Q \in (0, π)

，則扇形

P O Q

面積為

(1) $\frac{3}{2}$
(2) $\frac{3 π}{2} - 3$
(3) $\frac{3 π}{4} - \frac{3}{2}$
(4) $\frac{5 π}{2} - 5$
(5) $\frac{5 π}{4} - \frac{5}{2}$

二、多選題（占 24 分）：第 5 題至第 7 題，每題有 5 個選項，其中至少有一個是正確的選項，請將正確選項畫記在答案卡之「選擇（填）題答案區」。各題之選項獨立判定，所有選項均答對者，得 8 分；答錯 1 個選項者，得 4.8 分；答錯 2 個選項者，得 1.6 分；答錯多於 2 個選項或所有選項均未作答者，該題以零分計算。

在

△ A B C

中，若

∠ A

與

∠ B

均為銳角，且

sin A = \frac{3}{5}

，

sin B = \frac{7}{25}

，

\overline{A B} = 4

，則下列敘述哪些正確？

(1) $cos C = - \frac{3}{5}$ 。
(2) $cos C = \frac{4}{5}$ 。
(3) $△ A B C$ 為銳角三角形。
(4) $\overline{A C} > 2$ 。
(5) $△ A B C$ 面積為 $\frac{42}{25}$ 。

考慮函數

f (x) = 3 sin \frac{1}{2} x - 3 cos \frac{1}{2} x

，選出下列正確的敘述。

(1) $- 23 \leq f (x) \leq 23$ 。
(2) 函數 $f (x)$ 的週期與函數 $y = tan x$ 的週期相同。
(3) $f (2) < 0$ 。
(4) $y = f (x)$ 的圖形對稱於直線 $x = \frac{π}{3}$ 。
(5) 存在實數 $α$ 使得 $f (α) + α^{2} = 0$ 。

已知

△ A B C

中，

∠ B = 2∠ A

，

\overline{B C} = 4

，則下列選項哪些正確？（已知

sin 3 θ = 3 sin θ - 4 sin^{3} θ

）

(1) 線段 $\overline{A C}$ 長可能為 $8$ 。
(2) 線段 $\overline{A C}$ 長可能為 $6$ 。
(3) 線段 $\overline{A B}$ 長為 $8 cos^{2} A - 2$ 。
(4) 若 $△ A B C$ 為銳角三角形，則 $\frac{π}{6} < ∠ A < \frac{π}{3}$ 。
(5) 若 $△ A B C$ 為銳角三角形，則 $△ A B C$ 周長的最大值為 $12 + 43$ 。

三、選填題（占 40 分）：1. 第 A 至 H 題，將答案畫記在答案卡之「選擇（填）題答案區」所標示的列號（8-30）。2. 每題完全答對給 5 分，答錯不倒扣，未完全答對不給分。3. 若答案為分數，皆須化為最簡分數；若答案內有根號，皆須化為最簡根式。（本頁第 8～15 題依序為原卷的 A～H 題）

一扇形

O A B

的圓心角為

\frac{π}{3}

，半徑為

9

，若有一圓心為

M

之內切圓（如圖），則其斜線部分的面積為 ____。（原卷的答案格式為

◯ ◯ - ◯ π

；圖中斜線部分是頂點

O

與內切圓之間、由兩條半徑與圓弧圍成的區域）

載入中...

右圖為函數

y = f (x) = 2 sin (b x - c) + 1

的部分圖形，其中實數

b > 0

，

0 < c < \frac{π}{2}

，且圖形上

A

、

B

兩點坐標分別為

(\frac{π}{6}, 1)

與

(\frac{2 π}{3}, 1)

。老師上課說：「若將

y = 2 sin x + 1

圖形先經由水平伸縮

\frac{1}{b}

倍，再向右平移

h

單位後，就會和

y = f (x)

圖形重合。」但一位同學因手機震動分神沒聽清楚，請幫他寫出數對

(b, h) =

____。（請化為最簡分數；原卷的答案格式為

(◯, \frac{◯}{◯} π)

）

載入中...

已知

\frac{π}{6} \leq x \leq \frac{5 π}{6}

，若當

x = θ

時，函數

f (x) = cos \frac{π}{5} sin x + cos \frac{3 π}{10} cos x

有最大值，則

θ =

____。（請化為最簡分數；原卷的答案格式為

\frac{◯}{◯ ◯} π

）

若

27 0^{\circ} < θ < 36 0^{\circ}

，且

4 sin^{2} θ - 5 cos θ + 2 = 0

，則

cos \frac{θ}{2} =

____。（原卷的答案格式為

\frac{◯ ◯ ◯}{◯}

）

如圖，坐標平面上

△ O A B

中，

O

為原點，兩邊

\overline{O A}

、

\overline{O B}

的斜率分別為

- 3

與

4

。現以

O

為中心，將

△ O A B

順時針旋轉得到

△ O A^{'} B^{'}

，若

B^{'}

點落在

x

軸上，則

\overline{O A^{'}}

的斜率為 ____。（原卷的答案格式為

\frac{◯}{◯ ◯}

）

載入中...

設

18 0^{\circ} < θ < 27 0^{\circ}

，若

1 + sin 20 0^{\circ} - 1 - sin 20 0^{\circ} = 2 cos θ

，則

θ =

____

^{\circ}

。（原卷的答案格式為三位數

◯ ◯ ◯^{\circ}

）

如圖，一個凸四邊形

A B C D

，

\overline{A B} = 2

，

\overline{B C} = 22

，

\overline{C D} = \overline{D A} = 33

，

∠ A B C = 9 0^{\circ}

，若

\overline{A C}

與

\overline{B D}

為對角線，則

\overline{B D} =

____。（原卷的答案格式為

◯ ◯

）

載入中...

如圖，已知四邊形

A B C D

中，

\overline{A B} = 6

，

\overline{A D} = 4

，對角線

\overline{A C} = 8

，若

∠ B A D = 6 0^{\circ}

，則四邊形

A B C D

面積的最大值為 ____。（原卷的答案格式為

◯ ◯

）

載入中...

第貳部分、混合題（合計占 12 分）：第貳部分為題組，第一題為單選題，請將答案畫記在答案卡之所標示的列號（31）（不需要計算過程）；第二題限使用黑色原子筆在標示題號答案卷內作答。請由左而右橫式書寫，作答時必須寫出計算過程或理由，否則將酌予扣分，只寫答案或未在答案卷上作答者均不予計分。（本頁第 16、17 題依序為原卷混合題的第一、二題）

混合題（第 16～17 題）　直角三角形

A B E

中，

∠ B E A = 9 0^{\circ}

，現以

\overline{B E}

為邊做一正方形

B C D E

，形成四邊形

A B C D

（如圖所示）。已知

\overline{A B} = 2

，

∠ B A E = θ

。

一、（單選題，4 分）四邊形

A B C D

面積可表示為哪個選項？（請於答案卡上劃記答案）

(1) $2 sin^{2} θ cos^{2} θ$
(2) $4 sin^{2} θ cos^{2} θ$
(3) $4 sin θ cos θ + 4 cos^{2} θ$
(4) $2 sin θ cos θ + 4 sin^{2} θ$
(5) $2 sin θ cos θ + 4 cos^{2} θ$

載入中...

二、（非選擇題，8 分）利用第一題之結果，當

θ

變動時

(0 < θ < \frac{π}{2})

，試求四邊形

A B C D

面積的最大值。並求當面積最大時，此時

sin 2 θ

的值為多少？（請於答案卷方框內做答）

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(4)

第 2 題(2)

第 3 題(2)

第 4 題(3)

第 5 題(1)(5)

第 6 題(1)(3)(5)

第 7 題(2)(4)

第 8 題

93 - 3 π

第 9 題

(2, \frac{1}{6} π)

第 10 題

\frac{3}{10} π

第 11 題

- \frac{14}{4}

第 12 題

\frac{7}{11}

第 13 題

26 0^{\circ}

第 14 題

43

第 15 題

87

第 16 題(4)

第 17 題面積的最大值為

5 + 2

，此時

sin 2 θ = \frac{5}{5}

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

考前先拿一份自己的考前藍圖

註冊之後，在首頁填上你們下一次段考的日期和範圍，練滿 15 題，系統就會照你做過的題、錯過的題，出一份考前藍圖 PDF：一份模擬卷、詳解，還有考前每天練哪一章。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選 1～4：圖形的交點個數、化簡後比大小、正切的倍角公式、弧度與扇形面積

第 1 題答案 (4)。左邊

0 \leq ∣ sin 2 x ∣ \leq 1

，所以有解時

0 \leq \frac{x}{2 π} \leq 1

，即

0 \leq x \leq 2 π

。

y = ∣ sin 2 x ∣

的週期是

\frac{π}{2}

，在

0 \leq x \leq 2 π

內共有

4

個「山丘」，每個山丘兩端的高度是

0

、正中央的高度是

1

；

y = \frac{x}{2 π}

是從

(0, 0)

上升到

(2 π, 1)

的直線。第 1 個山丘（

0 \leq x \leq \frac{π}{2}

）：

x = 0

時兩邊都是

0

，是一個根；山頂

x = \frac{π}{4}

處曲線高

1

、直線高

\frac{1}{8}

，右端

x = \frac{π}{2}

處曲線高

0

、直線高

\frac{1}{4}

，所以下坡時再交一次；上坡段

0 < x \leq \frac{π}{4}

的圖形在連接

(0, 0)

與

(\frac{π}{4}, 1)

的線段上方，

sin 2 x \geq \frac{4}{π} x > \frac{x}{2 π}

，除了原點不會再交。這個山丘共

2

個根。第 2、3、4 個山丘：兩端曲線高

0

，比直線低；山頂

x = \frac{3 π}{4}, \frac{5 π}{4}, \frac{7 π}{4}

處曲線高

1

，直線高

\frac{3}{8}, \frac{5}{8}, \frac{7}{8}

，曲線比直線高，所以上坡、下坡各交一次，各有

2

個根。

x = 2 π

時左邊是

0

、右邊是

1

，不是根。共

2 + 2 + 2 + 2 = 8

個。

x < 0

時右邊是負的，不可能等於絕對值；

x > 2 π

時右邊大於

1

，也不可能。第 4 個山丘的山頂在

x = \frac{7 π}{4}

，那裡直線的高度

\frac{7}{8}

還沒到

1

，所以仍然交兩次。

第 2 題答案 (2)。這裡的

1

、

2

都是弧度。(1)

= sin (1 - 2) = - sin 1 < 0

。(3)

= tan (1 + 2) = tan 3

，

\frac{π}{2} < 3 < π

，在第二象限，值為負。(4)

= cos (1 + 2) = cos 3 < 0

。(5)

= cos 2

，

\frac{π}{2} < 2 < π

，值為負。(2)

0 < 1 < \frac{π}{2}

，

sin 1

與

cos 1

都是正的，和為正。五個值裡只有 (2) 是正的，所以 (2) 最大。

(2) 也可以疊合成

2 sin (1 + \frac{π}{4}) \approx 1.38

。只要先分出正負，就不必算出每個值。

第 3 題答案 (2)。設

∠ B A D = ∠ D A C = α

。在直角三角形

A B D

中，

tan α = \frac{B D}{A B} = \frac{1}{2}

。由正切的倍角公式，

tan ∠ B A C = tan 2 α = \frac{2 tan α}{1 - tan ^{2} α} = \frac{1}{1 - \frac{1}{4}} = \frac{4}{3}

。在直角三角形

A B C

中，

\overline{B C} = \overline{A B} tan ∠ B A C = 2 \cdot \frac{4}{3} = \frac{8}{3}

，所以

\overline{C D} = \overline{B C} - \overline{B D} = \frac{8}{3} - 1 = \frac{5}{3}

。

驗算：

\overline{A C} = 2^{2} + (\frac{8}{3})^{2} = \frac{10}{3}

，角平分線把對邊分成

\overline{B D} : \overline{D C} = \overline{A B} : \overline{A C} = 2 : \frac{10}{3} = 3 : 5

，

1 : \frac{5}{3}

正好是

3 : 5

。

第 4 題答案 (3)。先把

P

寫成

(cos ϕ, sin ϕ)

的形狀：

sin 1 = cos (1 - \frac{π}{2})

，

- cos 1 = sin (1 - \frac{π}{2})

，所以

P

在單位圓上對應的角是

1 - \frac{π}{2}

（弧度，約

- 0.57

），

Q

對應的角是

4

。兩角相差

4 - (1 - \frac{π}{2}) = 3 + \frac{π}{2} \approx 4.57

，比

π

大，所以落在

(0, π)

的圓心角是另一側的

∠ P O Q = 2 π - (3 + \frac{π}{2}) = \frac{3 π}{2} - 3 \approx 1.71

。扇形面積

= \frac{1}{2} r^{2} θ = \frac{1}{2} \cdot 1^{2} \cdot (\frac{3 π}{2} - 3) = \frac{3 π}{4} - \frac{3}{2}

。

P

的坐標不是

(cos 1, sin 1)

的形狀，要先用餘角關係改寫才能讀出角度。圓心角要取

0

到

π

之間的那一個。

角度沒有寫度的符號就是弧度；先判斷角落在哪個象限，很多比較大小的題目就不必算出數值。

02多選 5～7：三角形的第三個角、疊合後的函數性質、兩倍角的三角形

第 5 題答案 (1)(5)。

∠ A

、

∠ B

都是銳角，所以

cos A = \frac{4}{5}

，

cos B = \frac{24}{25}

。(1)(2)

cos C = cos (18 0^{\circ} - A - B) = - cos (A + B) = - (cos A cos B - sin A sin B) = - (\frac{4}{5} \cdot \frac{24}{25} - \frac{3}{5} \cdot \frac{7}{25}) = - \frac{75}{125} = - \frac{3}{5}

，(1) 對、(2) 錯。(3)

cos C < 0

，

∠ C

是鈍角，錯。(4)

sin C = 1 - \frac{9}{25} = \frac{4}{5}

，由正弦定理

\frac{A C}{sin B} = \frac{A B}{sin C} = \frac{4}{\frac{4}{5}} = 5

，

\overline{A C} = 5 \cdot \frac{7}{25} = \frac{7}{5} < 2

，錯。(5) 面積

= \frac{1}{2} \cdot \overline{A B} \cdot \overline{A C} \cdot sin A = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot \frac{7}{5} \cdot \frac{3}{5} = \frac{42}{25}

，對。

(2) 的

\frac{4}{5}

是

sin C

的值，不是

cos C

。三角形裡

cos C = - cos (A + B)

，負號不要漏。

第 6 題答案 (1)(3)(5)。

(3)^{2} + 3^{2} = 23

，

f (x) = 23 (\frac{1}{2} sin \frac{x}{2} - \frac{3}{2} cos \frac{x}{2}) = 23 sin (\frac{x}{2} - \frac{π}{3})

。(1) 正弦值在

- 1

與

1

之間，所以

- 23 \leq f (x) \leq 23

，對。(2)

f (x)

的週期是

\frac{2 π}{\frac{1}{2}} = 4 π

，

y = tan x

的週期是

π

，錯。(3)

f (2) = 23 sin (1 - \frac{π}{3})

，

\frac{π}{3} \approx 1.047 > 1

，角度

1 - \frac{π}{3}

是很小的負角，正弦值為負，對。(4) 對稱軸要通過最高點或最低點；

x = \frac{π}{3}

時

\frac{x}{2} - \frac{π}{3} = - \frac{π}{6}

，

f (\frac{π}{3}) = - 3

，不是最大值也不是最小值，錯。(5) 令

g (x) = f (x) + x^{2}

。

g (0) = f (0) = - 3 < 0

；

g (4) = f (4) + 16 \geq - 23 + 16 > 0

。

g (x)

的圖形連續不斷，從負變到正，中間一定有某個

α

使

g (α) = 0

，對。

(5) 等於在問

y = f (x)

與

y = - x^{2}

的圖形有沒有交點：

x = 0

時

f (0) = - 3

在拋物線頂點

0

的下方，而

x

夠大時

- x^{2}

會掉到

- 23

以下，所以一定相交。

第 7 題答案 (2)(4)。設

∠ A = A

，則

∠ B = 2 A

，

∠ C = π - 3 A

，三個角都要是正的，所以

0 < A < \frac{π}{3}

。由正弦定理

\frac{B C}{sin A} = \frac{A C}{sin 2 A} = \frac{A B}{sin ( π - 3 A )}

：

\overline{A C} = \frac{4 sin 2 A}{sin A} = 8 cos A

；

\overline{A B} = \frac{4 sin 3 A}{sin A} = 4 (3 - 4 sin^{2} A) = 12 - 16 (1 - cos^{2} A) = 16 cos^{2} A - 4

。(1)(2)

0 < A < \frac{π}{3}

時

\frac{1}{2} < cos A < 1

，所以

4 < \overline{A C} < 8

：不可能等於

8

，(1) 錯；

cos A = \frac{3}{4}

時

\overline{A C} = 6

，(2) 對。(3)

\overline{A B} = 16 cos^{2} A - 4

，不是

8 cos^{2} A - 2

，錯。(4) 銳角三角形要

2 A < \frac{π}{2}

且

π - 3 A < \frac{π}{2}

，即

\frac{π}{6} < A < \frac{π}{4}

；在這個範圍內的

A

都滿足

\frac{π}{6} < A < \frac{π}{3}

，所以「若…則…」成立，對。(5) 周長

= 4 + 8 cos A + 16 cos^{2} A - 4 = 16 cos^{2} A + 8 cos A

。銳角三角形時

\frac{2}{2} < cos A < \frac{3}{2}

，周長隨

cos A

變大而變大，會無限接近

16 \cdot \frac{3}{4} + 8 \cdot \frac{3}{2} = 12 + 43

，但

cos A = \frac{3}{2}

（

A = \frac{π}{6}

，此時

∠ C = \frac{π}{2}

是直角）取不到，所以沒有最大值，錯。

(4) 的精確範圍是

\frac{π}{6} < ∠ A < \frac{π}{4}

，選項給的範圍比較寬；題目問的是「若是銳角三角形，則

∠ A

在這個範圍內」，範圍寬一點敘述仍然成立，學校的參考答案也把 (4) 算對。(5) 的數字

12 + 43

是周長的上界，差別只在等號取不到。

三角形的題目先把角的範圍寫出來；邊長用正弦定理換成同一個角的式子，再看範圍。

03選填 8～11（原卷 A～D）：扇形的內切圓、由圖形定係數、最大值發生的位置、半角公式

第 8 題設內切圓半徑為

r

。圓與兩條半徑

\overline{O A}

、

\overline{O B}

都相切，圓心

M

在

∠ A O B

的角平分線上，

∠ M O A = \frac{π}{6}

；設圓與

\overline{O A}

切於

T

，直角三角形

O M T

中

\overline{O M} = \frac{r}{sin \frac{π}{6}} = 2 r

。圓又與弧

A B

內切，所以

\overline{O M} + r = 9

，

3 r = 9

，

r = 3

，

\overline{O M} = 6

，

\overline{O T} = 33

。斜線部分

=

四邊形

O T M T^{'}

（

T^{'}

是

\overline{O B}

上的切點）的面積

-

圓內夾在

\overline{M T}

、

\overline{M T^{'}}

之間的扇形面積。四邊形是兩個全等的直角三角形：

2 \cdot \frac{1}{2} \cdot 33 \cdot 3 = 93

。

∠ T M T^{'} = 2 \cdot \frac{π}{3} = \frac{2 π}{3}

，扇形面積

= \frac{1}{2} \cdot 3^{2} \cdot \frac{2 π}{3} = 3 π

。所以斜線部分的面積為

93 - 3 π

。

直角三角形

O M T

中

∠ O M T = \frac{π}{2} - \frac{π}{6} = \frac{π}{3}

，所以兩條半徑

\overline{M T}

、

\overline{M T^{'}}

的夾角是

\frac{2 π}{3}

。

第 9 題

A

、

B

兩點的

y

坐標都是

1

，正好在振動的中心線

y = 1

上；由圖，圖形在

A

處往上、在

B

處往下，兩點之間沒有其他與

y = 1

的交點，所以

A

、

B

相距半個週期：

\frac{2 π}{3} - \frac{π}{6} = \frac{π}{2}

，週期為

π

，

b = \frac{2 π}{π} = 2

。在

A

處正弦值為

0

且往上：

2 \cdot \frac{π}{6} - c = 2 k π

（

k

為整數），由

0 < c < \frac{π}{2}

得

c = \frac{π}{3}

。所以

f (x) = 2 sin (2 x - \frac{π}{3}) + 1 = 2 sin 2 (x - \frac{π}{6}) + 1

。把

y = 2 sin x + 1

水平伸縮為

\frac{1}{2}

倍得

y = 2 sin 2 x + 1

，再向右平移

h

得

y = 2 sin 2 (x - h) + 1

，與

f (x)

比較得

h = \frac{π}{6}

。所以

(b, h) = (2, \frac{1}{6} π)

。

先伸縮再平移時，平移量要看

2 (x - h)

括號裡的

h

，是

\frac{π}{6}

而不是

\frac{π}{3}

。

y = 2 sin 2 x + 1

的週期是

π

，所以

h = \frac{π}{6} + k π

都會重合，答案格式對應的是

\frac{π}{6}

。驗算：

f (0) = 2 sin (- \frac{π}{3}) + 1 = 1 - 3 < 0

，與圖形在

y

軸上的位置相符。

第 10 題

\frac{3 π}{10} = \frac{π}{2} - \frac{π}{5}

，所以

cos \frac{3 π}{10} = sin \frac{π}{5}

。

f (x) = sin x cos \frac{π}{5} + cos x sin \frac{π}{5} = sin (x + \frac{π}{5})

。

\frac{π}{6} \leq x \leq \frac{5 π}{6}

時，

\frac{11 π}{30} \leq x + \frac{π}{5} \leq \frac{31 π}{30}

，這個範圍包含

\frac{π}{2}

，所以最大值

1

發生在

x + \frac{π}{5} = \frac{π}{2}

，即

θ = \frac{3}{10} π

。

兩個係數其實是同一個角

\frac{π}{5}

的餘弦與正弦，平方和是

1

，式子本身就是和角公式的展開。

\frac{3 π}{10}

在

\frac{π}{6}

與

\frac{5 π}{6}

之間，符合範圍。

第 11 題把

sin^{2} θ

換成

1 - cos^{2} θ

：

4 (1 - cos^{2} θ) - 5 cos θ + 2 = 0

，

4 cos^{2} θ + 5 cos θ - 6 = 0

，

(4 cos θ - 3) (cos θ + 2) = 0

。

cos θ = - 2

不可能，所以

cos θ = \frac{3}{4}

（第四象限餘弦為正，符合）。由半角公式

cos^{2} \frac{θ}{2} = \frac{1 + cos θ}{2} = \frac{7}{8}

。

27 0^{\circ} < θ < 36 0^{\circ}

時

13 5^{\circ} < \frac{θ}{2} < 18 0^{\circ}

，在第二象限，餘弦為負，所以

cos \frac{θ}{2} = - \frac{7}{8} = - \frac{14}{4}

。

正負號要看

\frac{θ}{2}

所在的象限，不是

θ

的象限。答案格式最前面的圓圈填負號。

半角公式開根號時，先把半角的範圍寫出來再決定正負號。

04選填 12～15（原卷 E～H）：旋轉後的斜率、去根號、對角線長、四邊形面積的最大值

第 12 題設

\overline{O A}

、

\overline{O B}

與

x

軸正向所夾的有向角分別為

α

、

β

（由圖，

A

在第二象限、

B

在第一象限），則

tan α = - 3

，

tan β = 4

。順時針旋轉後

B^{'}

落在

x

軸正向上，表示整個三角形順時針轉了

β

，所以

\overline{O A^{'}}

的有向角為

α - β

，斜率為

tan (α - β) = \frac{tan α - tan β}{1 + tan α tan β} = \frac{- 3 - 4}{1 + ( - 3 ) \cdot 4} = \frac{- 7}{- 11} = \frac{7}{11}

。

旋轉不改變

\overline{O A}

與

\overline{O B}

的夾角，所以

\overline{O A^{'}}

的斜率就是「

\overline{O A}

相對於

\overline{O B}

」的角的正切值。斜率為正，與圖中

A^{'}

在第一象限相符。

第 13 題由

sin 20 0^{\circ} = 2 sin 10 0^{\circ} cos 10 0^{\circ}

與

sin^{2} 10 0^{\circ} + cos^{2} 10 0^{\circ} = 1

，

1 \pm sin 20 0^{\circ} = (sin 10 0^{\circ} \pm cos 10 0^{\circ})^{2}

，所以左式

= ∣ sin 10 0^{\circ} + cos 10 0^{\circ} ∣ - ∣ sin 10 0^{\circ} - cos 10 0^{\circ} ∣

。

sin 10 0^{\circ} = sin 8 0^{\circ} > 0

，

cos 10 0^{\circ} = - cos 8 0^{\circ} < 0

，且

sin 8 0^{\circ} > cos 8 0^{\circ}

，所以

sin 10 0^{\circ} + cos 10 0^{\circ} > 0

，

sin 10 0^{\circ} - cos 10 0^{\circ} > 0

。左式

= (sin 10 0^{\circ} + cos 10 0^{\circ}) - (sin 10 0^{\circ} - cos 10 0^{\circ}) = 2 cos 10 0^{\circ}

。於是

cos θ = cos 10 0^{\circ}

；餘弦值相同的角是

\pm 10 0^{\circ}

加上

36 0^{\circ}

的整數倍，在

18 0^{\circ} < θ < 27 0^{\circ}

內只有

θ = 36 0^{\circ} - 10 0^{\circ} = 26 0^{\circ}

。

X^{2} = ∣ X ∣

，去絕對值前要先判斷括號裡的正負。

cos 10 0^{\circ} < 0

，而第三象限的餘弦也是負的，所以範圍內找得到解。

第 14 題直角三角形

A B C

中，

\overline{A C} = 2^{2} + (22)^{2} = 23

，

cos ∠ B A C = \frac{2}{2 3} = \frac{1}{3}

，

sin ∠ B A C = \frac{2 2}{2 3} = \frac{2}{3}

。等腰三角形

D A C

中，從

D

作

\overline{A C}

的高，垂足是

\overline{A C}

的中點，所以

cos ∠ D A C = \frac{3}{3 3} = \frac{1}{3}

，

sin ∠ D A C = \frac{2 2}{3}

。凸四邊形中

B

、

D

在

\overline{A C}

的兩側，

∠ B A D = ∠ B A C + ∠ D A C

，

cos ∠ B A D = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} - \frac{2}{3} \cdot \frac{2 2}{3} = \frac{1 - 4}{3 3} = - \frac{1}{3}

。在

△ A B D

用餘弦定理：

\overline{B D}^{2} = 2^{2} + (33)^{2} - 2 \cdot 2 \cdot 33 \cdot (- \frac{1}{3}) = 4 + 27 + 12 = 43

，

\overline{B D} = 43

。

∠ B A D

不在任何一個已知三邊的三角形裡，要拆成兩個算得出正餘弦的角相加，再用和角公式。

cos ∠ B A D < 0

，

∠ B A D

是鈍角，與圖相符。

第 15 題設

∠ B A C = α

，則

∠ C A D = 6 0^{\circ} - α

（

0^{\circ} < α < 6 0^{\circ}

）。四邊形面積

= △ A B C + △ A C D = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 sin α + \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 8 sin (6 0^{\circ} - α) = 24 sin α + 16 (\frac{3}{2} cos α - \frac{1}{2} sin α) = 16 sin α + 83 cos α

。疊合：

1 6^{2} + (83)^{2} = 448 = 87

，面積

= 87 sin (α + ϕ)

，其中

cos ϕ = \frac{2}{7}

，

sin ϕ = \frac{3}{7}

，

ϕ

是銳角。最大值

87

發生在

α = 9 0^{\circ} - ϕ

，此時

tan α = \frac{2}{3}

，

α \approx 49. 1^{\circ}

，在

0^{\circ}

與

6 0^{\circ}

之間，取得到。所以面積的最大值為

87

。

另一個看法：對角線互相垂直時面積最大，等於兩對角線長乘積的一半。由餘弦定理

\overline{B D}^{2} = 6^{2} + 4^{2} - 2 \cdot 6 \cdot 4 \cdot \frac{1}{2} = 28

，

\overline{B D} = 27

，面積

= \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 27 = 87

，結果相同。

不在已知三角形裡的角，拆成兩個算得出正餘弦的角相加減；會變動的量寫成一個角的函數後用疊合求極值。

05混合題 16～17（原卷混合題第一、二題）：用三角比表示面積、降次後疊合

第 16 題答案 (4)。直角三角形

A B E

中，斜邊

\overline{A B} = 2

，

∠ B A E = θ

，所以

\overline{B E} = 2 sin θ

，

\overline{A E} = 2 cos θ

。正方形

B C D E

的邊長是

\overline{B E} = 2 sin θ

，面積為

4 sin^{2} θ

；

△ A B E

的面積為

\frac{1}{2} \cdot 2 cos θ \cdot 2 sin θ = 2 sin θ cos θ

。四邊形

A B C D

由這兩塊拼成，面積

= 2 sin θ cos θ + 4 sin^{2} θ

。

\overline{B E}

是

θ

的對邊，用正弦；正方形的邊是

\overline{B E}

不是

\overline{A E}

，所以平方項是

sin^{2} θ

。

第 17 題由第一題，面積

S = 2 sin θ cos θ + 4 sin^{2} θ

。用倍角公式

2 sin θ cos θ = sin 2 θ

與

sin^{2} θ = \frac{1 - cos 2 θ}{2}

：

S = sin 2 θ + 4 \cdot \frac{1 - cos 2 θ}{2} = sin 2 θ - 2 cos 2 θ + 2

。疊合：

1^{2} + 2^{2} = 5

，

S = 5 (sin 2 θ \cdot \frac{1}{5} - cos 2 θ \cdot \frac{2}{5}) + 2 = 5 sin (2 θ - ϕ) + 2

，其中

cos ϕ = \frac{1}{5} = \frac{5}{5}

，

sin ϕ = \frac{2}{5} = \frac{2 5}{5}

，

ϕ

是銳角。

0 < θ < \frac{π}{2}

時

- ϕ < 2 θ - ϕ < π - ϕ

，這個範圍包含

\frac{π}{2}

，所以

sin (2 θ - ϕ) = 1

取得到，面積的最大值為

5 + 2

。此時

2 θ = \frac{π}{2} + ϕ

，

sin 2 θ = sin (\frac{π}{2} + ϕ) = cos ϕ = \frac{5}{5}

。

這題不必求出

θ

是多少，只要用「最大值發生時

2 θ - ϕ = \frac{π}{2}

」把

sin 2 θ

換成

cos ϕ

。此時

cos 2 θ = - sin ϕ = - \frac{2 5}{5}

，代回

S = \frac{5}{5} + \frac{4 5}{5} + 2 = 5 + 2

，相符。原卷評分標準：降次化成

sin 2 θ - 2 cos 2 θ + 2

得 2 分；疊合成

5 sin (2 θ - ϕ) + 2

得 2 分，寫出

sin ϕ

或

cos ϕ

的值得 1 分；寫出最大值

5 + 2

得 1 分；求出

sin 2 θ = \frac{5}{5}

得 2 分。

正弦與餘弦的二次式先用倍角公式降次，再疊合；疊合後記得檢查角度範圍是否含得到最高點。

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本頁列出全部 17 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

興大附中 113 上高二第一次段考數學哪幾題最容易錯？

多選第 7 題：邊長用正弦定理換成角 A 的餘弦之後要看角的範圍，周長的上界取不到等號，所以沒有最大值；銳角三角形那個選項給的範圍比精確範圍寬，但敘述仍然成立。單選第 1 題：要先由絕對值的範圍限制 x，再逐個山丘數交點，原點那一個根容易漏。單選第 4 題：P 點要先改寫成餘弦在前、正弦在後的形狀才能讀出角度，圓心角取小於半圈的那一個。選填 H（本頁第 15 題）：面積寫成一個角的函數後疊合，或看出對角線互相垂直時面積最大。詳解逐題寫在本頁。

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可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

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題目取自興大附中 113 學年度上學期高二第一次段考數學A，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

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01單選 1～4：圖形的交點個數、化簡後比大小、正切的倍角公式、弧度與扇形面積

02多選 5～7：三角形的第三個角、疊合後的函數性質、兩倍角的三角形

03選填 8～11（原卷 A～D）：扇形的內切圓、由圖形定係數、最大值發生的位置、半角公式

04選填 12～15（原卷 E～H）：旋轉後的斜率、去根號、對角線長、四邊形面積的最大值

05混合題 16～17（原卷混合題第一、二題）：用三角比表示面積、降次後疊合

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