段考詳解範圍：多項式的除法原理與餘式定理、二次與三次函數的圖形、多項式不等式

興大附中 114 上
高一第三次段考
數學試題、答案與詳解

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01 · 試題

原卷 18 題，照原卷順序

單選題 2 題（8 分）、多選題 4 題（32 分）、選填題 12 題（60 分），合計 100 分。本頁第 7～18 題依序為原卷選填 A～L 題。答案已與學校公布的答案逐題核對，18 題全部一致；其中第 12 題題目所給的等式沒有多項式能滿足，本站另有說明（見詳解）。

(一) 單一選擇題（每題4分，共8分）(第1題至第2題，每題有5個選項，其中只有一個是正確或最適當的選項。各題答對者，得4分；答錯、未作答或畫記多於一個選項者，該題以零分計算)

已知

f (x)

除以

a x + b

之商式為

q (x)

，餘式為

r

，求

f (\frac{x}{a})

除以

x + b

之餘式？

(1) $\frac{r}{a}$
(2) $a r$
(3) $r$
(4) $r + b$
(5) 以上皆非

已知三次函數

y = f (x + 2)

的圖形如下圖，則不等式

(x - 3) f (x) < 0

解的範圍為＿＿＿。

(1) $- 2 < x < 1$ 或 $2 < x < 3$
(2) $- 6 < x < - 3$ 或 $0 < x < 1$
(3) $- 4 < x < 2$ 或 $1 < x < 3$
(4) $- 4 < x < - 1$ 或 $1 < x < 3$
(5) 以上皆非

載入中...

(二) 多重選擇題（每題8分，共32分）說明：第3題至第6題，每題有5個選項，其中至少有一個是正確的選項，請將正確選項畫記在答案卡之「選擇（填）題答案區」。各題之選項獨立判定，所有選項均答對者，得8分；只答錯1個選項者，得4.8分；答錯2個選項者，得1.6分；答錯多於2個選項或所有選項均未作答者，該題以零分計算。

下圖是為三個函數的圖形：

f (x) = a x + b

、

g (x) = c (x - c)^{3}

、

h (x) = d x^{4} + e

，其中

y = g (x)

與

y = h (x)

交於

A

、

B

兩點，且

A

、

B

兩點分別在

x

軸與

y

軸上，選出正確的選項？

(1) $a > 0$
(2) $b > 0$
(3) $c > 0$
(4) $e = - c^{4}$
(5) $d > 1$

載入中...

三次函數

y = f (x) = a (x - h)^{3} + p (x - h) + k

如圖所示，試問下列選項哪些是正確的？

(1) $a < 0$
(2) $p < 0$
(3) $h > 0$
(4) $k < 0$
(5) $- a h^{3} - p h + k > 0$

載入中...

設

b

、

c

為實數。已知二次方程式

x^{2} + b x + c = 0

有實根，但二次方程式

x^{2} + (b + 1) x + c = 0

沒有實根。試選出正確的選項。

(1) $c < 0$
(2) $b < 0$
(3) $x^{2} + (b + 1) x - c = 0$ 有實根
(4) $x^{2} + (b + 2) x - c = 0$ 有實根
(5) $x^{2} + (b - 2) x + c = 0$ 有實根

已知

f (x)

為實係數二次多項式，且

y = f (x)

的圖形開口向下，頂點在

(2, 3)

；而

g (x)

為實係數三次多項式，且

y = g (x)

的圖形最右方會下降到負無限大，對稱中心在

(2, - 1)

。試選出正確的選項。

(1) $y = f (- x)$ 的圖形開口向上
(2) $y = g (- x)$ 的圖形最右方會上升到正無限大
(3) $y = g (- x)$ 的圖形對稱中心在 $(- 2, 1)$
(4) $y = f (x) + g (x)$ 的圖形對稱中心在 $(2, 2)$
(5) $y = f (x)$ 的圖形與 $y = g (x)$ 的圖形在 $x < 2$ 時恰有一個交點

(三)選填題(每題5分，共60分　說明：1.第A至L題，將答案畫記在答案卡之「選擇（填）題答案區」所標示的列號（7–28）。2.每題完全答對給5分，答錯不倒扣，未完全答對不給分。

若多項式

f (x)

除以

x^{2} - 5 x + 4

，餘式為

x + 2

；除以

x^{2} - 5 x + 6

，餘式為

3 x + 4

。則多項式

f (x)

除以

x^{2} - 4 x + 3

，餘式為

a x + b

，則

a - b =

____。

設

(x^{2} + 2 x - 1)^{5} = a_{10} x^{10} + a_{9} x^{9} + \dots + a_{1} x + a_{0}

，則

a_{0} + a_{1} + a_{2} + a_{3} + \dots + a_{10} =

____。

已知實係數三次多項式

f (x)

除以

x - 5

得商式

q (x)

與餘式

5

。若

q (x)

在

x = 5

有最大值

2

，則

y = f (x)

圖形的對稱中心坐標為

(a, b)

，求

a + b =

____。

已知

f (x) = a x^{9} + b x^{7} + c x^{3} - 6

，若

f (x)

除以

x + 5

時，餘式為

2

，則

f (x)

除以

x - 5

時，其餘式為 ____。

設三次函數

y = f (x) = x^{3} + a x^{2} + b x + 1

的對稱中心點為

(1, 8)

，則

b - a =

____。

多項式

f (x)

滿足

9 f (x) - 5 x f (x^{3}) - 2 f (x^{2}) + 14 = 0

，則

f (x)

的常數項為 ____。

已知

f (x) = x^{2} - 6 x + 5

。若

a \leq x \leq b

，而且有

2

個

x

值能使

f (x)

得到最大值，則

a + b =

____。

利用

96

公尺長的繩子圍成矩形，使長與寬的比值不大於

5

且不小於

2

，則其面積最大為 ____ 平方公尺。

已知

α, β

為

x^{2} + k x + k + 3 = 0

之二實根，求

α^{2} + β^{2}

之最小值 ____。

已知三次函數

y = f (x) = a (x - 1)^{3} + b (x - 1)^{2} + c (x - 1) + d

滿足下列兩個條件： (I) 對稱中心為

(1, k)

。 (II) 在

x = 1

附近的局部特徵近似於直線

y = 4 x - 1

。試問：

b + c + d + k =

____。

設

a

為整數且

∣ a ∣ \leq 20

，若二次不等式

(2 a - 3) x^{2} - 2 a x + (a + 2) \geq 0

恆成立，則符合條件的

a

有 ____ 個。

已知

f (x)

、

g (x)

、

h (x)

皆為實係數三次多項式，且除以

x^{2} + 2 x + 5

的餘式分別為

x + 1

、

x - 3

、

2

。若

x f (x) + a g (x) + bh (x)

可以被

x^{2} + 2 x + 5

整除，其中

a, b

為實數，則

a + b =

____。

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(3)

第 2 題(1)

第 3 題(2)(4)

第 4 題(1)(3)(4)

第 5 題(2)(3)(4)(5)

第 6 題(2)(5)

第 7 題

7

第 8 題

32

第 9 題

10

第 10 題

- 14

第 11 題

12

第 12 題

- 2

（照學校公布的答案；嚴格來說沒有多項式滿足此等式，見詳解）

第 13 題

6

第 14 題

512

第 15 題

2

第 16 題

10

第 17 題

19

第 18 題

5

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

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對完答案了？勾你錯的題號

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選 1～2：除法原理與高次不等式

第 1 題

① 由除法原理，對每一個 $x$ 都有

$f (x) = (a x + b) q (x) + r$

② $a x + b$ 是除式，所以 $a \neq = 0$ 。把式中的 $x$ 都換成 $\frac{x}{a}$ ：

$f (\frac{x}{a}) = (a \cdot \frac{x}{a} + b) q (\frac{x}{a}) + r = (x + b) q (\frac{x}{a}) + r$

③ $q (\frac{x}{a})$ 仍是多項式， $r$ 是常數，次數比一次的除式 $x + b$ 低。

④ 所以 $f (\frac{x}{a})$ 除以 $x + b$ 的餘式就是 $r$ 。

答案 (3)。

也可以用餘式定理：所求餘式等於

f (\frac{- b}{a})

；而

f (x)

除以

a x + b

的餘式

r

也等於

f (- \frac{b}{a})

，兩者相同。

第 2 題

① 由圖， $y = f (x + 2)$ 與 $x$ 軸交於 $x = - 4, - 1, 0$ ，而且最右方往上，所以

$f (x + 2) = k (x + 4) (x + 1) x, k > 0$

② 把 $x$ 換成 $x - 2$ ： $f (x) = k (x + 2) (x - 1) (x - 2)$ 。也就是 $y = f (x)$ 的圖形是原圖向右平移 $2$ ，與 $x$ 軸交於 $- 2, 1, 2$ 。

③ 不等式變成 $k (x + 2) (x - 1) (x - 2) (x - 3) < 0$ ； $k > 0$ ，兩邊同除以 $k$ ：

$(x + 2) (x - 1) (x - 2) (x - 3) < 0$

④ 分界點 $- 2, 1, 2, 3$ 。 $x > 3$ 時四個因式都是正的，往左每跨過一個分界點就變號一次（見下圖）。

⑤ 取負的區間： $- 2 < x < 1$ 或 $2 < x < 3$ 。

答案 (1)。

載入中...

常見的錯是把圖形往左移：

f (x + 2)

的根比

f (x)

的根小

2

，所以

f (x)

的根要各加

2

。

f (x)

的圖形向左平移

2

得到

f (x + 2)

；反過來求

f (x)

，根要各加

2

。高次不等式先因式分解，再看各區間的正負號。

02多選 3～6：看圖判斷係數、判別式與函數圖形的對稱

第 3 題

先認圖：長虛線的直線是 $y = f (x)$ ；左上到右下、只與 $x$ 軸交一次的短虛線曲線是三次函數 $y = g (x)$ ；兩端都往上的實線是四次函數 $y = h (x)$ 。

(1) 錯誤。 直線由左上往右下，斜率 $a < 0$ 。

(2) 正確。 直線與 $y$ 軸交在原點上方， $y$ 截距 $b > 0$ 。

(3) 錯誤。 $g (x) = c (x - c)^{3}$ 只在 $x = c$ 時為 $0$ ，所以 $A = (c, 0)$ ； $A$ 在原點左邊， $c < 0$ 。（短虛線最右方往下，首項係數 $c < 0$ ，也對得上。）

(4) 正確。 $B$ 在 $y$ 軸上，所以 $B = (0, g (0)) = (0, h (0))$ 。 $g (0) = c (- c)^{3} = - c^{4}$ ， $h (0) = e$ ，得 $e = - c^{4}$ 。

(5) 錯誤。 $A (c, 0)$ 也在 $y = h (x)$ 上： $d c^{4} + e = 0$ 。代入 $e = - c^{4}$ 得 $d c^{4} = c^{4}$ ； $c \neq = 0$ ，所以 $d = 1$ 。

答案 (2)(4)。

載入中...

選項 (5) 要從兩個交點的條件算出來，不能只看實線的形狀判斷。

第 4 題

三次函數 $y = a (x - h)^{3} + p (x - h) + k$ 的對稱中心是 $(h, k)$ ，圖形對這點對稱，所以局部最低點與局部最高點對稱於 $(h, k)$ ， $(h, k)$ 是兩點連線的中點。

(1) 正確。 圖形最右方往下降到負無限大，所以 $a < 0$ 。

(2) 錯誤。 若 $p \leq 0$ ， $a (x - h)^{3}$ 與 $p (x - h)$ 都隨 $x$ 變大而變小（或不變），圖形會一路往下，不會有先降後升再降的彎。圖上有彎，所以 $p > 0$ 。

(3) 正確。 局部最低點、局部最高點都在 $y$ 軸右側，它們的中點橫坐標 $h > 0$ 。

(4) 正確。 局部最高點只略高於 $x$ 軸，局部最低點遠在 $x$ 軸下方，兩點的中點在 $x$ 軸下方， $k < 0$ 。

(5) 錯誤。 $f (0) = a (- h)^{3} + p (- h) + k = - a h^{3} - p h + k$ ，就是圖形與 $y$ 軸交點的縱坐標；圖形交 $y$ 軸於原點下方，所以 $- a h^{3} - p h + k < 0$ 。

答案 (1)(3)(4)。

載入中...

選項 (5) 的式子看起來複雜，其實就是

f (0)

：遇到這種組合，先試著代

x = 0

或

x = 1

看看是不是某個函數值。

第 5 題

① $x^{2} + b x + c = 0$ 有實根： $b^{2} - 4 c \geq 0$ ，即 $4 c \leq b^{2}$ 。

② $x^{2} + (b + 1) x + c = 0$ 沒有實根： $(b + 1)^{2} - 4 c < 0$ ，即 $(b + 1)^{2} < 4 c$ 。

③ 合起來： $(b + 1)^{2} < 4 c \leq b^{2}$ 。

(1) 錯誤。 $4 c > (b + 1)^{2} \geq 0$ ，所以 $c > 0$ 。

(2) 正確。 $(b + 1)^{2} < b^{2}$ ，展開得 $2 b + 1 < 0$ ， $b < - \frac{1}{2}$ ，當然 $b < 0$ 。

(3) 正確。 判別式 $(b + 1)^{2} + 4 c$ ，其中 $c > 0$ ，所以判別式 $> 0$ ，有實根。

(4) 正確。 判別式 $(b + 2)^{2} + 4 c > 0$ ，有實根。

(5) 正確。 判別式 $(b - 2)^{2} - 4 c \geq (b - 2)^{2} - b^{2} = 4 - 4 b$ ；又 $b < 0$ ， $4 - 4 b > 0$ ，有實根。

答案 (2)(3)(4)(5)。

載入中...

下圖以

b = - 3

、

c = 2

為例：

y = x^{2} - 3 x + 2

與

x

軸相交，把一次項係數加

1

後的

y = x^{2} - 2 x + 2

就碰不到

x

軸。常數項變成

- c

時，乘積

- c < 0

，兩根必定一正一負，(3)(4) 也可以這樣看。

第 6 題

設 $f (x) = - m (x - 2)^{2} + 3$ （ $m > 0$ ）， $g (x) = A (x - 2)^{3} + B (x - 2) - 1$ （ $A < 0$ ，對稱中心 $(2, - 1)$ ）。

(1) 錯誤。 $f (- x) = - m (x + 2)^{2} + 3$ ，平方項係數仍是 $- m < 0$ ，開口向下。

(2) 正確。 $g (- x) = - A (x + 2)^{3} - B (x + 2) - 1$ ，三次項係數 $- A > 0$ ，最右方上升到正無限大。

(3) 錯誤。 由上式， $y = g (- x)$ 的對稱中心是 $(- 2, - 1)$ （原圖對 $y$ 軸翻轉），不是 $(- 2, 1)$ 。

(4) 錯誤。 令 $t = x - 2$ ： $f (x) + g (x) = A t^{3} - m t^{2} + B t + 2$ ，有平方項。它的對稱中心在 $t = - \frac{- m}{3 A} = \frac{m}{3 A} < 0$ ，即 $x < 2$ ，不在 $x = 2$ 。

(5) 正確。 令 $s = 2 - x$ ， $x < 2$ 就是 $s > 0$ 。代入得

$f (x) - g (x) = A s^{3} - m s^{2} + B s + 4$

兩邊除以 $s$ （ $s > 0$ ）：

$\frac{f ( x ) - g ( x )}{s} = (A s^{2} - m s) + B + \frac{4}{s}$

$A s^{2} - m s$ 是開口向下、對稱軸 $s = \frac{m}{2 A} < 0$ 的二次函數，在 $s > 0$ 時遞減； $\frac{4}{s}$ 在 $s > 0$ 時也遞減。所以右邊在 $s > 0$ 時一直遞減，最多一個 $s$ 使它為 $0$ 。

又 $s$ 很接近 $0$ 時 $\frac{4}{s}$ 很大，右邊為正； $s$ 很大時 $A s^{2}$ 主導，右邊為負，所以恰有一個 $s > 0$ 使它為 $0$ ：兩圖形在 $x < 2$ 恰有一個交點。

答案 (2)(5)。

載入中...

選項 (5) 不論

g

有沒有局部極值都成立；下圖是一組

g

有彎的例子，在直線

x = 2

左側仍然只交一次。

三次函數寫成

a (x - h)^{3} + p (x - h) + k

後，對稱中心是

(h, k)

，常數項組合

- a h^{3} - p h + k

就是

f (0)

；判別式的題目先把條件寫成不等式再互相比較。

03選填 A～L（第 7～18 題）：餘式、係數和、對稱中心、配方與恆成立

第 7 題

① 因式分解： $x^{2} - 5 x + 4 = (x - 1) (x - 4)$ ， $x^{2} - 5 x + 6 = (x - 2) (x - 3)$ ， $x^{2} - 4 x + 3 = (x - 1) (x - 3)$ 。

② 由餘式定理： $f (1) = 1 + 2 = 3$ ， $f (3) = 3 \cdot 3 + 4 = 13$ 。

③ 設 $f (x) = (x - 1) (x - 3) Q (x) + a x + b$ ，代 $x = 1$ 、 $x = 3$ ： $a + b = 3$ ， $3 a + b = 13$ 。

④ 解得 $a = 5$ ， $b = - 2$ ，所以 $a - b = 7$ 。

答案 $7$ 。

只需要用到

f (1)

與

f (3)

；

f (4) = 6

、

f (2) = 10

這題用不到。

第 8 題

① 所有係數的和等於代 $x = 1$ 的值：

$a_{0} + a_{1} + \dots + a_{10} = (1^{2} + 2 \cdot 1 - 1)^{5}$

② $1 + 2 - 1 = 2$ ， $2^{5} = 32$ 。

答案 $32$ 。

第 9 題

① 由除法原理： $f (x) = (x - 5) q (x) + 5$ 。 $f (x)$ 是三次，所以 $q (x)$ 是二次。

② $q (x)$ 在 $x = 5$ 有最大值 $2$ ，開口向下： $q (x) = - m (x - 5)^{2} + 2$ ， $m > 0$ 。

③ 代回： $f (x) = - m (x - 5)^{3} + 2 (x - 5) + 5$ 。

④ 這是 $a (x - h)^{3} + p (x - h) + k$ 的形式，對稱中心 $(5, 5)$ ，所以 $a + b = 5 + 5 = 10$ 。

答案 $10$ 。

載入中...

第 10 題

① 令 $g (x) = a x^{9} + b x^{7} + c x^{3}$ ，則 $f (x) = g (x) - 6$ 。 $g$ 只有奇數次項，所以 $g (- x) = - g (x)$ 。

② $f (x)$ 除以 $x + 5$ 的餘式是 $f (- 5) = 2$ ，得 $g (- 5) = 8$ 。

③ 所以 $g (5) = - 8$ ， $f (5) = - 8 - 6 = - 14$ ，即 $f (x)$ 除以 $x - 5$ 的餘式。

答案 $- 14$ 。

第 11 題

① 三次函數 $x^{3} + a x^{2} + b x + 1$ 的對稱中心橫坐標是 $- \frac{a}{3}$ ，所以 $- \frac{a}{3} = 1$ ， $a = - 3$ 。

② 對稱中心在圖形上： $f (1) = 1 + a + b + 1 = 8$ ，代 $a = - 3$ 得 $b = 9$ 。

③ $b - a = 9 - (- 3) = 12$ 。

答案 $12$ 。

載入中...

檢查：

x^{3} - 3 x^{2} + 9 x + 1 = (x - 1)^{3} + 6 (x - 1) + 8

，確實沒有

(x - 1)^{2}

項，對稱中心

(1, 8)

。

第 12 題

① 題目的本意：代 $x = 0$ ，含 $x$ 的那一項 $- 5 x f (x^{3})$ 變成 $0$ ：

$9 f (0) - 0 - 2 f (0) + 14 = 0$

② 得 $7 f (0) = - 14$ ， $f (0) = - 2$ 。多項式的常數項就是 $f (0)$ ，學校答案為 $- 2$ 。

③ 但嚴格來說，沒有多項式滿足這個等式。設 $f (x)$ 是 $n$ 次、首項係數 $L \neq = 0$ ： $9 f (x)$ 是 $n$ 次， $2 f (x^{2})$ 是 $2 n$ 次， $5 x f (x^{3})$ 是 $3 n + 1$ 次，比另外兩項都高。

④ 最高次項 $- 5 L x^{3 n + 1}$ 沒有別的項可以抵消，左邊不可能恆等於 $0$ ；若 $f (x)$ 是零多項式，左邊等於 $14$ ，也不成立。

答案 $- 2$ （照學校公布的答案）。

這題只要用到「代

x = 0

」的技巧；但題目給的等式本身沒有多項式能滿足，所以「常數項」其實沒有對象。

第 13 題

① 配方： $f (x) = (x - 3)^{2} - 4$ ，開口向上，對稱軸 $x = 3$ 。

② 開口向上的拋物線在 $a \leq x \leq b$ 上，最大值只會出現在端點。

③ 有 $2$ 個 $x$ 值取得最大值，表示 $f (a) = f (b)$ 且 $a \neq = b$ ，兩端點對稱於 $x = 3$ 。

④ 所以 $\frac{a + b}{2} = 3$ ， $a + b = 6$ 。

答案 $6$ 。

載入中...

第 14 題

① 設長 $L$ 公尺，周長 $96$ ，所以寬是 $48 - L$ 公尺。

② 比值條件： $2 \leq \frac{L}{48 - L} \leq 5$ ，即 $2 (48 - L) \leq L \leq 5 (48 - L)$ ，解得 $32 \leq L \leq 40$ 。

③ 面積 $S = L (48 - L) = - (L - 24)^{2} + 576$ ，在 $L \geq 24$ 時遞減。

④ 所以 $L = 32$ 時面積最大： $32 \times 16 = 512$ 。

答案 $512$ 。

載入中...

頂點

L = 24

（正方形）不在允許範圍內，最大值落在最靠近頂點的端點

L = 32

。

第 15 題

① 有二實根：判別式 $k^{2} - 4 (k + 3) \geq 0$ ，即 $(k - 6) (k + 2) \geq 0$ ， $k \leq - 2$ 或 $k \geq 6$ 。

② 根與係數： $α + β = - k$ ， $α β = k + 3$ 。

$α^{2} + β^{2} = (α + β)^{2} - 2 α β = k^{2} - 2 k - 6 = (k - 1)^{2} - 7$

③ 頂點 $k = 1$ 不在範圍內。 $k \leq - 2$ 時遞減，最小在 $k = - 2$ ： $9 - 7 = 2$ ； $k \geq 6$ 時遞增，最小在 $k = 6$ ： $25 - 7 = 18$ 。

④ 兩者取小：最小值 $2$ 。

答案 $2$ 。

載入中...

若忘了「實根」的限制，會誤答頂點的值

- 7

；兩個實數的平方和不可能是負的。

第 16 題

① 對稱中心在 $x = 1$ ，所以寫成 $(x - 1)$ 的多項式時沒有平方項： $b = 0$ ，且 $k = f (1) = d$ 。

② 在 $x = 1$ 附近 $(x - 1)^{3}$ 、 $(x - 1)^{2}$ 都很小，局部特徵是一次部分 $y = c (x - 1) + d$ 。

③ $c (x - 1) + d = 4 x - 1$ ，比較係數： $c = 4$ ， $d - c = - 1$ ，所以 $d = 3$ ， $k = 3$ 。

④ $b + c + d + k = 0 + 4 + 3 + 3 = 10$ 。

答案 $10$ 。

載入中...

a

的值題目沒有給，也用不到；下圖取

a = 1

為例。

第 17 題

① $a$ 是整數， $2 a - 3 \neq = 0$ 。若 $2 a - 3 < 0$ ，開口向下， $x$ 很大時左邊為負，不可能恆成立。所以 $2 a - 3 > 0$ ，即 $a > \frac{3}{2}$ 。

② 開口向上又恆 $\geq 0$ ：判別式 $\leq 0$ 。

$(- 2 a)^{2} - 4 (2 a - 3) (a + 2) \leq 0$

③ 化簡： $4 a^{2} - 4 (2 a^{2} + a - 6) \leq 0$ ，即 $a^{2} + a - 6 \geq 0$ ， $(a + 3) (a - 2) \geq 0$ ， $a \leq - 3$ 或 $a \geq 2$ 。

④ 與 $a > \frac{3}{2}$ 、 $∣ a ∣ \leq 20$ 取交集： $2 \leq a \leq 20$ 的整數，共 $20 - 2 + 1 = 19$ 個。

答案 $19$ 。

載入中...

第 18 題

① 看各項除以 $x^{2} + 2 x + 5$ 的餘式。 $x f (x)$ 的餘式等於 $x (x + 1) = x^{2} + x$ 的餘式：

$x^{2} + x = (x^{2} + 2 x + 5) - x - 5$

所以餘式是 $- x - 5$ 。

② $a g (x)$ 的餘式是 $a (x - 3)$ ， $bh (x)$ 的餘式是 $2 b$ 。

③ 三者相加： $(- x - 5) + a (x - 3) + 2 b = (a - 1) x + (2 b - 3 a - 5)$ ，次數低於二次，就是 $x f (x) + a g (x) + bh (x)$ 的餘式。

④ 整除表示餘式為 $0$ ： $a - 1 = 0$ ， $2 b - 3 a - 5 = 0$ ，得 $a = 1$ ， $b = 4$ ， $a + b = 5$ 。

答案 $5$ 。

求餘式先寫「被除式＝除式×商式＋餘式」再代入特殊值；三次函數的對稱中心看平方項是否消失；求二次函數的最大最小值，先看頂點是否在允許的範圍內。

同一次段考的其他學校

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常見問題

興大附中 114 上高一第三次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 18 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

興大附中 114 上高一第三次段考數學哪幾題最容易錯？

多選第 6 題選項 (5) 要說明 x 小於 2 時恰有一個交點，把兩函數相減後除以 2−x，看出它一路遞減；多選第 4 題選項 (5) 的式子其實就是 f(0)。選填 I 題（本頁第 15 題）最容易忘記實根的限制而誤答 −7；選填 F 題（本頁第 12 題）的等式沒有多項式能滿足，學校答案是代 x 等於 0 得到的值。詳解逐題寫在本頁。

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題目取自興大附中 114 學年度上學期高一第三次段考數學，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

御藍教育／段考卷／高一

段考詳解範圍：多項式的除法原理與餘式定理、二次與三次函數的圖形、多項式不等式

興大附中 114 上
高一第三次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 18 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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01 · 試題

原卷 18 題，照原卷順序

已知

f (x)

除以

a x + b

之商式為

q (x)

，餘式為

r

，求

f (\frac{x}{a})

除以

x + b

之餘式？

(1) $\frac{r}{a}$
(2) $a r$
(3) $r$
(4) $r + b$
(5) 以上皆非

已知三次函數

y = f (x + 2)

的圖形如下圖，則不等式

(x - 3) f (x) < 0

解的範圍為＿＿＿。

(1) $- 2 < x < 1$ 或 $2 < x < 3$
(2) $- 6 < x < - 3$ 或 $0 < x < 1$
(3) $- 4 < x < 2$ 或 $1 < x < 3$
(4) $- 4 < x < - 1$ 或 $1 < x < 3$
(5) 以上皆非

載入中...

下圖是為三個函數的圖形：

f (x) = a x + b

、

g (x) = c (x - c)^{3}

、

h (x) = d x^{4} + e

，其中

y = g (x)

與

y = h (x)

交於

A

、

B

兩點，且

A

、

B

兩點分別在

x

軸與

y

軸上，選出正確的選項？

(1) $a > 0$
(2) $b > 0$
(3) $c > 0$
(4) $e = - c^{4}$
(5) $d > 1$

載入中...

三次函數

y = f (x) = a (x - h)^{3} + p (x - h) + k

如圖所示，試問下列選項哪些是正確的？

(1) $a < 0$
(2) $p < 0$
(3) $h > 0$
(4) $k < 0$
(5) $- a h^{3} - p h + k > 0$

載入中...

設

b

、

c

為實數。已知二次方程式

x^{2} + b x + c = 0

有實根，但二次方程式

x^{2} + (b + 1) x + c = 0

沒有實根。試選出正確的選項。

(1) $c < 0$
(2) $b < 0$
(3) $x^{2} + (b + 1) x - c = 0$ 有實根
(4) $x^{2} + (b + 2) x - c = 0$ 有實根
(5) $x^{2} + (b - 2) x + c = 0$ 有實根

已知

f (x)

為實係數二次多項式，且

y = f (x)

的圖形開口向下，頂點在

(2, 3)

；而

g (x)

為實係數三次多項式，且

y = g (x)

的圖形最右方會下降到負無限大，對稱中心在

(2, - 1)

。試選出正確的選項。

(1) $y = f (- x)$ 的圖形開口向上
(2) $y = g (- x)$ 的圖形最右方會上升到正無限大
(3) $y = g (- x)$ 的圖形對稱中心在 $(- 2, 1)$
(4) $y = f (x) + g (x)$ 的圖形對稱中心在 $(2, 2)$
(5) $y = f (x)$ 的圖形與 $y = g (x)$ 的圖形在 $x < 2$ 時恰有一個交點

若多項式

f (x)

除以

x^{2} - 5 x + 4

，餘式為

x + 2

；除以

x^{2} - 5 x + 6

，餘式為

3 x + 4

。則多項式

f (x)

除以

x^{2} - 4 x + 3

，餘式為

a x + b

，則

a - b =

____。

設

(x^{2} + 2 x - 1)^{5} = a_{10} x^{10} + a_{9} x^{9} + \dots + a_{1} x + a_{0}

，則

a_{0} + a_{1} + a_{2} + a_{3} + \dots + a_{10} =

____。

已知實係數三次多項式

f (x)

除以

x - 5

得商式

q (x)

與餘式

5

。若

q (x)

在

x = 5

有最大值

2

，則

y = f (x)

圖形的對稱中心坐標為

(a, b)

，求

a + b =

____。

已知

f (x) = a x^{9} + b x^{7} + c x^{3} - 6

，若

f (x)

除以

x + 5

時，餘式為

2

，則

f (x)

除以

x - 5

時，其餘式為 ____。

設三次函數

y = f (x) = x^{3} + a x^{2} + b x + 1

的對稱中心點為

(1, 8)

，則

b - a =

____。

多項式

f (x)

滿足

9 f (x) - 5 x f (x^{3}) - 2 f (x^{2}) + 14 = 0

，則

f (x)

的常數項為 ____。

已知

f (x) = x^{2} - 6 x + 5

。若

a \leq x \leq b

，而且有

2

個

x

值能使

f (x)

得到最大值，則

a + b =

____。

利用

96

公尺長的繩子圍成矩形，使長與寬的比值不大於

5

且不小於

2

，則其面積最大為 ____ 平方公尺。

已知

α, β

為

x^{2} + k x + k + 3 = 0

之二實根，求

α^{2} + β^{2}

之最小值 ____。

已知三次函數

y = f (x) = a (x - 1)^{3} + b (x - 1)^{2} + c (x - 1) + d

滿足下列兩個條件： (I) 對稱中心為

(1, k)

。 (II) 在

x = 1

附近的局部特徵近似於直線

y = 4 x - 1

。試問：

b + c + d + k =

____。

設

a

為整數且

∣ a ∣ \leq 20

，若二次不等式

(2 a - 3) x^{2} - 2 a x + (a + 2) \geq 0

恆成立，則符合條件的

a

有 ____ 個。

已知

f (x)

、

g (x)

、

h (x)

皆為實係數三次多項式，且除以

x^{2} + 2 x + 5

的餘式分別為

x + 1

、

x - 3

、

2

。若

x f (x) + a g (x) + bh (x)

可以被

x^{2} + 2 x + 5

整除，其中

a, b

為實數，則

a + b =

____。

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(3)

第 2 題(1)

第 3 題(2)(4)

第 4 題(1)(3)(4)

第 5 題(2)(3)(4)(5)

第 6 題(2)(5)

第 7 題

7

第 8 題

32

第 9 題

10

第 10 題

- 14

第 11 題

12

第 12 題

- 2

（照學校公布的答案；嚴格來說沒有多項式滿足此等式，見詳解）

第 13 題

6

第 14 題

512

第 15 題

2

第 16 題

10

第 17 題

19

第 18 題

5

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選 1～2：除法原理與高次不等式

第 1 題

① 由除法原理，對每一個 $x$ 都有

$f (x) = (a x + b) q (x) + r$

② $a x + b$ 是除式，所以 $a \neq = 0$ 。把式中的 $x$ 都換成 $\frac{x}{a}$ ：

$f (\frac{x}{a}) = (a \cdot \frac{x}{a} + b) q (\frac{x}{a}) + r = (x + b) q (\frac{x}{a}) + r$

③ $q (\frac{x}{a})$ 仍是多項式， $r$ 是常數，次數比一次的除式 $x + b$ 低。

④ 所以 $f (\frac{x}{a})$ 除以 $x + b$ 的餘式就是 $r$ 。

答案 (3)。

也可以用餘式定理：所求餘式等於

f (\frac{- b}{a})

；而

f (x)

除以

a x + b

的餘式

r

也等於

f (- \frac{b}{a})

，兩者相同。

第 2 題

① 由圖， $y = f (x + 2)$ 與 $x$ 軸交於 $x = - 4, - 1, 0$ ，而且最右方往上，所以

$f (x + 2) = k (x + 4) (x + 1) x, k > 0$

② 把 $x$ 換成 $x - 2$ ： $f (x) = k (x + 2) (x - 1) (x - 2)$ 。也就是 $y = f (x)$ 的圖形是原圖向右平移 $2$ ，與 $x$ 軸交於 $- 2, 1, 2$ 。

③ 不等式變成 $k (x + 2) (x - 1) (x - 2) (x - 3) < 0$ ； $k > 0$ ，兩邊同除以 $k$ ：

$(x + 2) (x - 1) (x - 2) (x - 3) < 0$

④ 分界點 $- 2, 1, 2, 3$ 。 $x > 3$ 時四個因式都是正的，往左每跨過一個分界點就變號一次（見下圖）。

⑤ 取負的區間： $- 2 < x < 1$ 或 $2 < x < 3$ 。

答案 (1)。

載入中...

常見的錯是把圖形往左移：

f (x + 2)

的根比

f (x)

的根小

2

，所以

f (x)

的根要各加

2

。

f (x)

的圖形向左平移

2

得到

f (x + 2)

；反過來求

f (x)

，根要各加

2

。高次不等式先因式分解，再看各區間的正負號。

02多選 3～6：看圖判斷係數、判別式與函數圖形的對稱

第 3 題

先認圖：長虛線的直線是 $y = f (x)$ ；左上到右下、只與 $x$ 軸交一次的短虛線曲線是三次函數 $y = g (x)$ ；兩端都往上的實線是四次函數 $y = h (x)$ 。

(1) 錯誤。 直線由左上往右下，斜率 $a < 0$ 。

(2) 正確。 直線與 $y$ 軸交在原點上方， $y$ 截距 $b > 0$ 。

(4) 正確。 $B$ 在 $y$ 軸上，所以 $B = (0, g (0)) = (0, h (0))$ 。 $g (0) = c (- c)^{3} = - c^{4}$ ， $h (0) = e$ ，得 $e = - c^{4}$ 。

(5) 錯誤。 $A (c, 0)$ 也在 $y = h (x)$ 上： $d c^{4} + e = 0$ 。代入 $e = - c^{4}$ 得 $d c^{4} = c^{4}$ ； $c \neq = 0$ ，所以 $d = 1$ 。

答案 (2)(4)。

載入中...

選項 (5) 要從兩個交點的條件算出來，不能只看實線的形狀判斷。

第 4 題

(1) 正確。 圖形最右方往下降到負無限大，所以 $a < 0$ 。

(3) 正確。 局部最低點、局部最高點都在 $y$ 軸右側，它們的中點橫坐標 $h > 0$ 。

(4) 正確。 局部最高點只略高於 $x$ 軸，局部最低點遠在 $x$ 軸下方，兩點的中點在 $x$ 軸下方， $k < 0$ 。

(5) 錯誤。 $f (0) = a (- h)^{3} + p (- h) + k = - a h^{3} - p h + k$ ，就是圖形與 $y$ 軸交點的縱坐標；圖形交 $y$ 軸於原點下方，所以 $- a h^{3} - p h + k < 0$ 。

答案 (1)(3)(4)。

載入中...

選項 (5) 的式子看起來複雜，其實就是

f (0)

：遇到這種組合，先試著代

x = 0

或

x = 1

看看是不是某個函數值。

第 5 題

① $x^{2} + b x + c = 0$ 有實根： $b^{2} - 4 c \geq 0$ ，即 $4 c \leq b^{2}$ 。

② $x^{2} + (b + 1) x + c = 0$ 沒有實根： $(b + 1)^{2} - 4 c < 0$ ，即 $(b + 1)^{2} < 4 c$ 。

③ 合起來： $(b + 1)^{2} < 4 c \leq b^{2}$ 。

(1) 錯誤。 $4 c > (b + 1)^{2} \geq 0$ ，所以 $c > 0$ 。

(2) 正確。 $(b + 1)^{2} < b^{2}$ ，展開得 $2 b + 1 < 0$ ， $b < - \frac{1}{2}$ ，當然 $b < 0$ 。

(3) 正確。 判別式 $(b + 1)^{2} + 4 c$ ，其中 $c > 0$ ，所以判別式 $> 0$ ，有實根。

(4) 正確。 判別式 $(b + 2)^{2} + 4 c > 0$ ，有實根。

(5) 正確。 判別式 $(b - 2)^{2} - 4 c \geq (b - 2)^{2} - b^{2} = 4 - 4 b$ ；又 $b < 0$ ， $4 - 4 b > 0$ ，有實根。

答案 (2)(3)(4)(5)。

載入中...

下圖以

b = - 3

、

c = 2

為例：

y = x^{2} - 3 x + 2

與

x

軸相交，把一次項係數加

1

後的

y = x^{2} - 2 x + 2

就碰不到

x

軸。常數項變成

- c

時，乘積

- c < 0

，兩根必定一正一負，(3)(4) 也可以這樣看。

第 6 題

設 $f (x) = - m (x - 2)^{2} + 3$ （ $m > 0$ ）， $g (x) = A (x - 2)^{3} + B (x - 2) - 1$ （ $A < 0$ ，對稱中心 $(2, - 1)$ ）。

(1) 錯誤。 $f (- x) = - m (x + 2)^{2} + 3$ ，平方項係數仍是 $- m < 0$ ，開口向下。

(2) 正確。 $g (- x) = - A (x + 2)^{3} - B (x + 2) - 1$ ，三次項係數 $- A > 0$ ，最右方上升到正無限大。

(3) 錯誤。 由上式， $y = g (- x)$ 的對稱中心是 $(- 2, - 1)$ （原圖對 $y$ 軸翻轉），不是 $(- 2, 1)$ 。

(5) 正確。 令 $s = 2 - x$ ， $x < 2$ 就是 $s > 0$ 。代入得

$f (x) - g (x) = A s^{3} - m s^{2} + B s + 4$

兩邊除以 $s$ （ $s > 0$ ）：

$\frac{f ( x ) - g ( x )}{s} = (A s^{2} - m s) + B + \frac{4}{s}$

又 $s$ 很接近 $0$ 時 $\frac{4}{s}$ 很大，右邊為正； $s$ 很大時 $A s^{2}$ 主導，右邊為負，所以恰有一個 $s > 0$ 使它為 $0$ ：兩圖形在 $x < 2$ 恰有一個交點。

答案 (2)(5)。

載入中...

選項 (5) 不論

g

有沒有局部極值都成立；下圖是一組

g

有彎的例子，在直線

x = 2

左側仍然只交一次。

三次函數寫成

a (x - h)^{3} + p (x - h) + k

後，對稱中心是

(h, k)

，常數項組合

- a h^{3} - p h + k

就是

f (0)

；判別式的題目先把條件寫成不等式再互相比較。

03選填 A～L（第 7～18 題）：餘式、係數和、對稱中心、配方與恆成立

第 7 題

① 因式分解： $x^{2} - 5 x + 4 = (x - 1) (x - 4)$ ， $x^{2} - 5 x + 6 = (x - 2) (x - 3)$ ， $x^{2} - 4 x + 3 = (x - 1) (x - 3)$ 。

② 由餘式定理： $f (1) = 1 + 2 = 3$ ， $f (3) = 3 \cdot 3 + 4 = 13$ 。

③ 設 $f (x) = (x - 1) (x - 3) Q (x) + a x + b$ ，代 $x = 1$ 、 $x = 3$ ： $a + b = 3$ ， $3 a + b = 13$ 。

④ 解得 $a = 5$ ， $b = - 2$ ，所以 $a - b = 7$ 。

答案 $7$ 。

只需要用到

f (1)

與

f (3)

；

f (4) = 6

、

f (2) = 10

這題用不到。

第 8 題

① 所有係數的和等於代 $x = 1$ 的值：

$a_{0} + a_{1} + \dots + a_{10} = (1^{2} + 2 \cdot 1 - 1)^{5}$

② $1 + 2 - 1 = 2$ ， $2^{5} = 32$ 。

答案 $32$ 。

第 9 題

① 由除法原理： $f (x) = (x - 5) q (x) + 5$ 。 $f (x)$ 是三次，所以 $q (x)$ 是二次。

② $q (x)$ 在 $x = 5$ 有最大值 $2$ ，開口向下： $q (x) = - m (x - 5)^{2} + 2$ ， $m > 0$ 。

③ 代回： $f (x) = - m (x - 5)^{3} + 2 (x - 5) + 5$ 。

④ 這是 $a (x - h)^{3} + p (x - h) + k$ 的形式，對稱中心 $(5, 5)$ ，所以 $a + b = 5 + 5 = 10$ 。

答案 $10$ 。

載入中...

第 10 題

① 令 $g (x) = a x^{9} + b x^{7} + c x^{3}$ ，則 $f (x) = g (x) - 6$ 。 $g$ 只有奇數次項，所以 $g (- x) = - g (x)$ 。

② $f (x)$ 除以 $x + 5$ 的餘式是 $f (- 5) = 2$ ，得 $g (- 5) = 8$ 。

③ 所以 $g (5) = - 8$ ， $f (5) = - 8 - 6 = - 14$ ，即 $f (x)$ 除以 $x - 5$ 的餘式。

答案 $- 14$ 。

第 11 題

① 三次函數 $x^{3} + a x^{2} + b x + 1$ 的對稱中心橫坐標是 $- \frac{a}{3}$ ，所以 $- \frac{a}{3} = 1$ ， $a = - 3$ 。

② 對稱中心在圖形上： $f (1) = 1 + a + b + 1 = 8$ ，代 $a = - 3$ 得 $b = 9$ 。

③ $b - a = 9 - (- 3) = 12$ 。

答案 $12$ 。

載入中...

檢查：

x^{3} - 3 x^{2} + 9 x + 1 = (x - 1)^{3} + 6 (x - 1) + 8

，確實沒有

(x - 1)^{2}

項，對稱中心

(1, 8)

。

第 12 題

① 題目的本意：代 $x = 0$ ，含 $x$ 的那一項 $- 5 x f (x^{3})$ 變成 $0$ ：

$9 f (0) - 0 - 2 f (0) + 14 = 0$

② 得 $7 f (0) = - 14$ ， $f (0) = - 2$ 。多項式的常數項就是 $f (0)$ ，學校答案為 $- 2$ 。

④ 最高次項 $- 5 L x^{3 n + 1}$ 沒有別的項可以抵消，左邊不可能恆等於 $0$ ；若 $f (x)$ 是零多項式，左邊等於 $14$ ，也不成立。

答案 $- 2$ （照學校公布的答案）。

這題只要用到「代

x = 0

」的技巧；但題目給的等式本身沒有多項式能滿足，所以「常數項」其實沒有對象。

第 13 題

① 配方： $f (x) = (x - 3)^{2} - 4$ ，開口向上，對稱軸 $x = 3$ 。

② 開口向上的拋物線在 $a \leq x \leq b$ 上，最大值只會出現在端點。

③ 有 $2$ 個 $x$ 值取得最大值，表示 $f (a) = f (b)$ 且 $a \neq = b$ ，兩端點對稱於 $x = 3$ 。

④ 所以 $\frac{a + b}{2} = 3$ ， $a + b = 6$ 。

答案 $6$ 。

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第 14 題

① 設長 $L$ 公尺，周長 $96$ ，所以寬是 $48 - L$ 公尺。

② 比值條件： $2 \leq \frac{L}{48 - L} \leq 5$ ，即 $2 (48 - L) \leq L \leq 5 (48 - L)$ ，解得 $32 \leq L \leq 40$ 。

③ 面積 $S = L (48 - L) = - (L - 24)^{2} + 576$ ，在 $L \geq 24$ 時遞減。

④ 所以 $L = 32$ 時面積最大： $32 \times 16 = 512$ 。

答案 $512$ 。

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頂點

L = 24

（正方形）不在允許範圍內，最大值落在最靠近頂點的端點

L = 32

。

第 15 題

① 有二實根：判別式 $k^{2} - 4 (k + 3) \geq 0$ ，即 $(k - 6) (k + 2) \geq 0$ ， $k \leq - 2$ 或 $k \geq 6$ 。

② 根與係數： $α + β = - k$ ， $α β = k + 3$ 。

$α^{2} + β^{2} = (α + β)^{2} - 2 α β = k^{2} - 2 k - 6 = (k - 1)^{2} - 7$

③ 頂點 $k = 1$ 不在範圍內。 $k \leq - 2$ 時遞減，最小在 $k = - 2$ ： $9 - 7 = 2$ ； $k \geq 6$ 時遞增，最小在 $k = 6$ ： $25 - 7 = 18$ 。

④ 兩者取小：最小值 $2$ 。

答案 $2$ 。

載入中...

若忘了「實根」的限制，會誤答頂點的值

- 7

；兩個實數的平方和不可能是負的。

第 16 題

① 對稱中心在 $x = 1$ ，所以寫成 $(x - 1)$ 的多項式時沒有平方項： $b = 0$ ，且 $k = f (1) = d$ 。

② 在 $x = 1$ 附近 $(x - 1)^{3}$ 、 $(x - 1)^{2}$ 都很小，局部特徵是一次部分 $y = c (x - 1) + d$ 。

③ $c (x - 1) + d = 4 x - 1$ ，比較係數： $c = 4$ ， $d - c = - 1$ ，所以 $d = 3$ ， $k = 3$ 。

④ $b + c + d + k = 0 + 4 + 3 + 3 = 10$ 。

答案 $10$ 。

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a

的值題目沒有給，也用不到；下圖取

a = 1

為例。

第 17 題

① $a$ 是整數， $2 a - 3 \neq = 0$ 。若 $2 a - 3 < 0$ ，開口向下， $x$ 很大時左邊為負，不可能恆成立。所以 $2 a - 3 > 0$ ，即 $a > \frac{3}{2}$ 。

② 開口向上又恆 $\geq 0$ ：判別式 $\leq 0$ 。

$(- 2 a)^{2} - 4 (2 a - 3) (a + 2) \leq 0$

③ 化簡： $4 a^{2} - 4 (2 a^{2} + a - 6) \leq 0$ ，即 $a^{2} + a - 6 \geq 0$ ， $(a + 3) (a - 2) \geq 0$ ， $a \leq - 3$ 或 $a \geq 2$ 。

④ 與 $a > \frac{3}{2}$ 、 $∣ a ∣ \leq 20$ 取交集： $2 \leq a \leq 20$ 的整數，共 $20 - 2 + 1 = 19$ 個。

答案 $19$ 。

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第 18 題

① 看各項除以 $x^{2} + 2 x + 5$ 的餘式。 $x f (x)$ 的餘式等於 $x (x + 1) = x^{2} + x$ 的餘式：

$x^{2} + x = (x^{2} + 2 x + 5) - x - 5$

所以餘式是 $- x - 5$ 。

② $a g (x)$ 的餘式是 $a (x - 3)$ ， $bh (x)$ 的餘式是 $2 b$ 。

③ 三者相加： $(- x - 5) + a (x - 3) + 2 b = (a - 1) x + (2 b - 3 a - 5)$ ，次數低於二次，就是 $x f (x) + a g (x) + bh (x)$ 的餘式。

④ 整除表示餘式為 $0$ ： $a - 1 = 0$ ， $2 b - 3 a - 5 = 0$ ，得 $a = 1$ ， $b = 4$ ， $a + b = 5$ 。

答案 $5$ 。

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