興大附中 112 上
高三第二次段考
數學試題、答案與詳解

由對數的定義，${\log }_k\frac{1}{3}=\frac{1}{3}$ 就是 $k^{\frac{1}{3}}=\frac{1}{3}$。

兩邊三次方：$k={\left(\frac{1}{3}\right)}^3=\frac{1}{27}$。

底數要大於 $0$ 且不等於 $1$，$\frac{1}{27}$ 符合。答案 (1)。

答案 (2)(3)(5)。

(1) 錯誤。 $y=5^x$ 與 $y={\log }_{5}x$ 互為反函數，圖形對稱於 $y=x$。

兩者都遞增，若相交於 $(p,q)$，則 $5^p=q$ 且 $5^q=p$。$p<q$ 會推出 $q=5^p<5^q=p$，矛盾；$p>q$ 也一樣。所以交點只能在 $y=x$ 上，也就是 $5^x=x$。

但 $5^x>x$ 對所有實數都成立，分三種情形：

・$x\le 0$ 時，$5^x>0\ge x$。

・$0<x<1$ 時，$5^x>5^0=1>x$。

・$x\ge 1$ 時，取 $n$ 為 $x$ 的整數部分，$5^x\ge 5^n=(1+4{)}^n\ge 1+4n>n+1>x$。

所以 $5^x=x$ 沒有實數解，兩圖形不相交。

(2) 正確。 把 $y=7^x$ 的 $x$ 換成 $-x$ 就得 $y=7^{-x}$，兩圖形對稱於 $y$ 軸。

(3) 正確。 ${\log }_{\frac{1}{4}}x=\frac{\log x}{\log \frac{1}{4}}=-{\log }_{4}x$，把 $y$ 換成 $-y$，所以對稱於 $x$ 軸。

(4) 錯誤。 $y=2^x$ 與 $y={\log }_{2}x$ 互為反函數，對稱於直線 $y=x$，不是 $y$ 軸。例如 $(1,2)$ 在 $y=2^x$ 上，它對 $y$ 軸的對稱點 $(-1,2)$ 不在 $y={\log }_{2}x$ 上（${\log }_{2}x$ 的定義域是 $x>0$）。

(5) 正確。 $y=5^{-x}={\left(\frac{1}{5}\right)}^x$ 與 $y={\log }_{\frac{1}{5}}x$ 互為反函數，圖形對稱於 $y=x$，也就是直線 $x-y=0$。

三點共線，前兩點連線的斜率要等於後兩點連線的斜率。

① 前兩點的斜率：

$$\frac{{\log }_{3}6-{\log }_{3}2}{6-2}=\frac{{\log }_{3}3}{4}=\frac{1}{4}$$

② 後兩點的斜率也要是 $\frac{1}{4}$：

$$\frac{{\log }_{3}t-{\log }_{3}6}{18-6}=\frac{1}{4}\Rightarrow {\log }_3\frac{t}{6}=3$$

③ 所以 $\frac{t}{6}=27$，$t=162$。

答案 162。

沿經線走是在半徑 $r$ 的大圓上走，弧長 $=r\times$（圓心角的弧度）。

① 弧長 $\frac{7}{12}\pi r$ 對應的圓心角是 $\frac{7}{12}\pi$，也就是 $105^{\circ }$。

② 北極點與赤道相差 $90^{\circ }$。從甲地到北極的圓心角是 $105^{\circ }>90^{\circ }$，所以甲地在赤道以南 $105^{\circ }-90^{\circ }=15^{\circ }$，即南緯 $15^{\circ }$。

③ 往北移動不改變經度，經度可以是任何值；五個選項中只有 (3) 是南緯 $15^{\circ }$。

答案 (3)。

答案 (3)(5)。先看角 $3$（弧度）在哪裡：$\frac{5\pi }{6}\approx 2.62<3<\pi \approx 3.14$，在第二象限，而且很靠近 $\pi$。

在 $\frac{\pi }{2}\le x\le \pi$ 上，$\sin x$ 遞減、$\cos x$ 也遞減，所以

$$0=\sin \pi <\sin 3<\sin \frac{5\pi }{6}=\frac{1}{2},-1=\cos \pi <\cos 3<\cos \frac{5\pi }{6}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$$

(1) 錯誤。 $\sin 3>0$。

(2) 錯誤。 $\cos 3<0$。

(3) 正確。 $\sin 3<\frac{1}{2}$。

(4) 錯誤。 $\left|\cos 3\right|>\frac{\sqrt{3}}{2}>\frac{1}{2}$。

(5) 正確。 $\left|\sin 3\right|<\frac{1}{2}<\frac{\sqrt{3}}{2}<\left|\cos 3\right|$。

方程式即 $\sin x=\frac{x}{12}$，實數解的個數就是 $y=\sin x$ 與直線 $y=\frac{x}{12}$ 的交點個數。

① $x=0$ 是一個解。兩個圖形都對稱於原點，所以正解與負解一樣多，只要數 $x>0$。

② $-1\le \sin x\le 1$，所以交點只在 $0<x\le 12$；而 $3\pi \approx 9.42<12<4\pi \approx 12.57$。

③ $0<x<\pi$：正弦曲線先在直線上方（$x=\frac{\pi }{2}$ 時 $1>\frac{\pi }{24}$），到 $x=\pi$ 時 $0<\frac{\pi }{12}$ 落到下方，交 $1$ 次。

④ $\pi \le x\le 2\pi$：$\sin x\le 0<\frac{x}{12}$，沒有交點。

⑤ $2\pi <x<3\pi$：兩端 $\sin x=0$ 在直線下方，中間 $x=\frac{5\pi }{2}$ 時 $1>\frac{5\pi }{24}\approx 0.65$，曲線穿上去再穿下來，交 $2$ 次。

⑥ $3\pi \le x\le 12$：$\sin x\le 0$，沒有交點。

所以正解 $3$ 個、負解 $3$ 個，連同 $0$ 共 7 個。

把內積拆開：

$$\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AM}\right)\cdot \overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AM}\cdot \overrightarrow{BC}$$

① 正三角形的中線也是高，$\overline{AM}\perp \overline{BC}$，所以 $\overrightarrow{AM}\cdot \overrightarrow{BC}=0$。

② $\overrightarrow{AB}$ 與 $\overrightarrow{BC}$ 起點接起來看，夾角是 $\angle B$ 的外角 $180^{\circ }-60^{\circ }=120^{\circ }$：

$$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BC}=2\times 2\times \cos 120^{\circ }=-2$$

③ 相加得 $-2$。

答案 (4)。

兩個向量都從 $B$ 出發，相減得到從 $A$ 指向 $C$ 的向量：

$$\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{AC}=(3-1,2-4)=(2,-2)$$

長度 $\left|\overrightarrow{AC}\right|=\sqrt{4+4}=\sqrt{8}$，和 $B$ 的坐標無關。

答案 (5)。

$\angle A$ 是 $\overrightarrow{AB}$ 與 $\overrightarrow{AC}$ 的夾角。

① $\overrightarrow{AB}=(3,1)$，$\overrightarrow{AC}=(2,4)$。

② $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=6+4=10$，$\left|\overrightarrow{AB}\right|=\sqrt{10}$，$\left|\overrightarrow{AC}\right|=\sqrt{20}$。

③ 所以

$$\cos A=\frac{10}{\sqrt{10}\times \sqrt{20}}=\frac{10}{10\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$$

答案 $\frac{\sqrt{2}}{2}$。

二階方陣 $\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]$ 的反方陣是 $\frac{1}{ad-bc}\left[\begin{array}{cc}d& -b\\ -c& a\end{array}\right]$。

① $\det A=2\times 3-(-1)\times 4=10$。

②

$$A^{-1}=\frac{1}{10}\left[\begin{array}{cc}3& 1\\ -4& 2\end{array}\right]$$

③ $x+y+z+k=\frac{3+1-4+2}{10}=\frac{2}{10}=\frac{1}{5}$。

答案 (2)。

答案 (1)(2)(3)(4)（題目要選「錯誤」的選項）。$A$ 是 $1\times 2$、$B$ 是 $2\times 2$、$C$ 是 $2\times 3$；$m\times n$ 乘 $n\times p$ 才能乘，結果是 $m\times p$。

(1) 敘述錯誤，要選。 $A$ 的行數 $2$ 等於 $C$ 的列數 $2$，$AC$ 存在，是 $1\times 3$ 矩陣。

(2) 敘述錯誤，要選。 $ABC$ 是 $(1\times 2)(2\times 2)(2\times 3)$，結果是 $1\times 3$ 階，不是 $3\times 1$。

(3) 敘述錯誤，要選。 $AB=\left[\begin{array}{cc}2\times 3+5\times (-1)& 2\times 1+5\times 2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1& 12\end{array}\right]$。

(4) 敘述錯誤，要選。 $B$ 的行數 $2$ 不等於 $A$ 的列數 $1$，$BA$ 不存在。

(5) 敘述正確，不選。 逐格計算：

$$BC=\left[\begin{array}{ccc}3\cdot 0+1\cdot 3& 3\cdot 1+1\cdot 0& 3\cdot (-1)+1\cdot 2\\ (-1)\cdot 0+2\cdot 3& (-1)\cdot 1+2\cdot 0& (-1)(-1)+2\cdot 2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}3& 3& -1\\ 6& -1& 5\end{array}\right]$$

記 $u=\left[\begin{array}{c}5\\ 15\end{array}\right]$，$v=\left[\begin{array}{c}5\\ -15\end{array}\right]$，條件是 $Au=v$，$Av=u$。

① $A^{2}v=A(Av)=Au=v$，所以每乘兩次 $A$，$v$ 回到自己。

② $A^{2023}v=A\left(A^{2022}v\right)=Av=u=\left[\begin{array}{c}5\\ 15\end{array}\right]$。

③ $a=5$，$b=15$，$a+b=20$。

答案 20。

$y^2=4x$ 寫成 $y^2=4cx$，$c=1$：焦點 $F(1,0)$，準線 $x=-1$。

① 拋物線上每一點到焦點的距離等於到準線的距離。

② $P(a,b)$ 到準線 $x=-1$ 的距離是 $a+1$（拋物線上 $a\ge 0$）。

③ $a+1=3$，$a=2$。

答案 (2)。

答案 (3)(5)。

(1) 錯誤。 反例：$E$、$F$ 交於直線 $m$，在 $F$ 上取一條與 $m$ 平行的直線 $L$，則 $L\parallel E$，但 $E$ 與 $F$ 相交、不平行。

(2) 錯誤。 反例：取 $E$ 為 $xy$ 平面，$L_1$：$y=1$、$z=1$（平行 $x$ 軸），$L_2$ 為 $z$ 軸。兩線不相交也不平行，是歪斜線；$L_1\parallel E$，但 $L_2$ 與 $E$ 交於原點。

(3) 正確。 $PA=PB=PC$ 的點，在平面 $ABC$ 上的正射影到 $A$、$B$、$C$ 也等距，就是 $△ABC$ 的外心。所以軌跡是過外心且垂直平面 $ABC$ 的直線。

(4) 錯誤。 過 $P$ 作 $E$ 的垂直線 $l$，任何包含 $l$ 的平面都垂直 $E$，這樣的平面有無限多個。

(5) 正確。 正四面體每個面都是正三角形。$△ACD$ 中 $AM$ 是中線，所以 $AM\perp CD$；同理 $△BCD$ 中 $BM\perp CD$。

$CD$ 垂直平面 $ABM$ 上兩條相交直線，所以 $CD$ 垂直平面 $ABM$。

答案 (1)(2)(3)。

(1) 正確。 對原點對稱，三個坐標都變號：$(2,-3,7)$。

(2) 正確。 對 $yz$ 平面（$x=0$）對稱，只有 $x$ 坐標變號：$(2,3,-7)$。

(3) 正確。 對 $x$ 軸對稱，$x$ 不變，$y$、$z$ 變號：$(-2,-3,7)$。

(4) 錯誤。 $zx$ 平面是 $y=0$，$P$ 到它的距離是 $\left|y\right|=3$。垂足是 $R(-2,0,-7)$。

(5) 錯誤。 $P$ 到 $y$ 軸的垂足是 $Q(0,3,0)$，距離是 $\sqrt{(-2{)}^2+(-7{)}^2}=\sqrt{53}$。

(4) 與 (5) 剛好把兩個數字對調了。

設底面圓心為 $N$。直圓柱的軸 $\overline{MN}$ 垂直底面，所以 $△MNA$ 在 $N$ 是直角。

① 半徑 $r=\overline{MB}=\sqrt{(1-3{)}^2+(1-2{)}^2+(0-2{)}^2}=\sqrt{9}=3$，底面半徑 $\overline{NA}$ 也是 $3$。

② ${\overline{MA}}^2=(0-3{)}^2+(-2-2{)}^2+(-1-2{)}^2=34$。

③ 高 $h=\overline{MN}=\sqrt{34-9}=5$。

④ 體積 $=\pi r^{2}h=\pi \times 9\times 5=45\pi$。

答案 $k=$ 45。

取相鄰兩側面 $OAB$ 與 $OBC$，交線是 $\overline{OB}$。$△OAB$ 與 $△OCB$ 全等，從 $A$、$C$ 向 $\overline{OB}$ 作垂線，垂足是同一點 $H$，$\angle AHC=\theta$。

① 側稜長：底面中心到頂點 $A$ 的距離是 $2\sqrt{2}$，$\overline{OA}=\sqrt{3^2+(2\sqrt{2}{)}^2}=\sqrt{17}$。

② $△OAB$ 是腰 $\sqrt{17}$、底 $4$ 的等腰三角形，底邊上的高 $\sqrt{17-4}=\sqrt{13}$，面積 $=\frac{1}{2}\times 4\times \sqrt{13}=2\sqrt{13}$。

③ $\overline{AH}=\frac{2\times 2\sqrt{13}}{\sqrt{17}}$，所以 ${\overline{AH}}^2={\overline{CH}}^2=\frac{208}{17}$；又 $\overline{AC}=4\sqrt{2}$，${\overline{AC}}^2=32$。

④ 在 $△AHC$ 用餘弦定理：

$$\cos \theta =\frac{{\overline{AH}}^2+{\overline{CH}}^2-{\overline{AC}}^2}{2\overline{AH}\cdot \overline{CH}}=\frac{\frac{416}{17}-32}{\frac{416}{17}}=1-\frac{544}{416}=-\frac{4}{13}$$

答案 $-\frac{4}{13}$。

先用圖上的點把 $a$、$k$ 求出來。

① 過 $(0,0)$：${\log }_{a}k=0$，所以 $k=1$。

② 過 $(1,2)$：${\log }_{a}2=2$，$a^2=2$，$a=\sqrt{2}$（底數為正）。

③ 檢查 $(3,4)$：${\log }_{\sqrt{2}}4=4$，因為 $(\sqrt{2}{)}^4=4$，符合。

(1) 錯誤。 $k=1>0$。

(2) 正確。 $a=\sqrt{2}\approx 1.414$，在 $0$ 與 $1.5$ 之間。

(3) 錯誤。 $\sqrt{2}<1.5$。

(4) 錯誤。 ${\log }_{\sqrt{2}}(x+1)=2{\log }_2(x+1)=\frac{2\log (x+1)}{\log 2}$，而 $\frac{2}{\log 2}\approx 6.6>1$。當 $x\ge 1$ 時 $\log (x+1)>0$，所以 $y={\log }_{\sqrt{2}}(x+1)$ 在 $y=\log (x+1)$ 的上方，敘述相反。

答案 (2)。

由第 1 小題，$y={\log }_{\sqrt{2}}(x+1)=2{\log }_2(x+1)$。

① 底數 $\sqrt{2}>1$，函數遞增，所以 $0\le x\le 30$ 內 $x=30$ 時賣得最多。

② $x=30$ 時：

$$y=2{\log }_{2}31<2{\log }_{2}32=2\times 5=10$$

③ 一千萬顆是 $10$ 百萬顆。30 天內預估賣出的總數量不到 $10$ 百萬顆。

答：不能達成目標。